Estatística Suciente
Anselmo Alves de Sousa
August 14, 2015
Anselmo Alves de Sousa Estatística Suciente August 14, 2015 1 ...
Enunciado
Anselmo Alves de Sousa Estatística Suciente August 14, 2015 2 / 6
Enunciado
1. Sejam X1 e X2 variáveis aleatórias independentes com distribuição de Poisson(λ).
Então
T = X1 + X2
é uma esta...
Enunciado
1. Sejam X1 e X2 variáveis aleatórias independentes com distribuição de Poisson(λ).
Então
T = X1 + X2
é uma esta...
Enunciado
1. Sejam X1 e X2 variáveis aleatórias independentes com distribuição de Poisson(λ).
Então
T = X1 + X2
é uma esta...
Enunciado
1. Sejam X1 e X2 variáveis aleatórias independentes com distribuição de Poisson(λ).
Então
T = X1 + X2
é uma esta...
Resolução
Anselmo Alves de Sousa Estatística Suciente August 14, 2015 3 / 6
Resolução
Por denição dizemos que T = g(X1, X2, . . . , Xn) é uma estatística suciente para λ
se a distribuição condiciona...
Resolução
Por denição dizemos que T = g(X1, X2, . . . , Xn) é uma estatística suciente para λ
se a distribuição condiciona...
Resolução
Anselmo Alves de Sousa Estatística Suciente August 14, 2015 4 / 6
Resolução
P(X1, X2|T = t) =
P(X1 = x1) × P(X2 = t − x1)
P(T = t)
Resolução
P(X1, X2|T = t) =
P(X1 = x1) × P(X2 = t − x1)
P(T = t)
(considerando a independência!)
=
e−λλx1
x1!
Resolução
P(X1, X2|T = t) =
P(X1 = x1) × P(X2 = t − x1)
P(T = t)
(considerando a independência!)
=
e−λλx1
x1! × e−λλt−x1
(...
Resolução
P(X1, X2|T = t) =
P(X1 = x1) × P(X2 = t − x1)
P(T = t)
(considerando a independência!)
=
e−λλx1
x1! × e−λλt−x1
(...
Resolução
P(X1, X2|T = t) =
P(X1 = x1) × P(X2 = t − x1)
P(T = t)
(considerando a independência!)
=
e−λλx1
x1! × e−λλt−x1
(...
Resolução
P(X1, X2|T = t) =
P(X1 = x1) × P(X2 = t − x1)
P(T = t)
(considerando a independência!)
=
e−λλx1
x1! × e−λλt−x1
(...
Resolução
P(X1, X2|T = t) =
P(X1 = x1) × P(X2 = t − x1)
P(T = t)
(considerando a independência!)
=
e−λλx1
x1! × e−λλt−x1
(...
Resolução
P(X1, X2|T = t) =
P(X1 = x1) × P(X2 = t − x1)
P(T = t)
(considerando a independência!)
=
e−λλx1
x1! × e−λλt−x1
(...
Resolução
P(X1, X2|T = t) =
P(X1 = x1) × P(X2 = t − x1)
P(T = t)
(considerando a independência!)
=
e−λλx1
x1! × e−λλt−x1
(...
Resolução
P(X1, X2|T = t) =
P(X1 = x1) × P(X2 = t − x1)
P(T = t)
(considerando a independência!)
=
e−λλx1
x1! × e−λλt−x1
(...
Adquira a Série 52 Questões de Concursos!
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Adquira a Série 52 Questões de Concursos!
1. 52 Questões de Séries Temporais
2. 52 Questões de Estatística Descritiva
3. 5...
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  1. 1. Estatística Suciente Anselmo Alves de Sousa August 14, 2015 Anselmo Alves de Sousa Estatística Suciente August 14, 2015 1 / 6
  2. 2. Enunciado Anselmo Alves de Sousa Estatística Suciente August 14, 2015 2 / 6
  3. 3. Enunciado 1. Sejam X1 e X2 variáveis aleatórias independentes com distribuição de Poisson(λ). Então T = X1 + X2 é uma estatística suciente para o parâmetro λ. Neste exercício estamos considerando uma amostra aleatória de tamanho n = 2. Em princípio sabemos que T ∼ Poisson(2λ) Anselmo Alves de Sousa Estatística Suciente August 14, 2015 2 / 6
  4. 4. Enunciado 1. Sejam X1 e X2 variáveis aleatórias independentes com distribuição de Poisson(λ). Então T = X1 + X2 é uma estatística suciente para o parâmetro λ. Neste exercício estamos considerando uma amostra aleatória de tamanho n = 2. Em princípio sabemos que T ∼ Poisson(2λ) Prove! Dica use F.G.M. Anselmo Alves de Sousa Estatística Suciente August 14, 2015 2 / 6
  5. 5. Enunciado 1. Sejam X1 e X2 variáveis aleatórias independentes com distribuição de Poisson(λ). Então T = X1 + X2 é uma estatística suciente para o parâmetro λ. Neste exercício estamos considerando uma amostra aleatória de tamanho n = 2. Em princípio sabemos que T ∼ Poisson(2λ) Prove! Dica use F.G.M. P(T = t) = (2λt)e−2λ t! , t = 0, 1, 2, 3 . . . Anselmo Alves de Sousa Estatística Suciente August 14, 2015 2 / 6
  6. 6. Enunciado 1. Sejam X1 e X2 variáveis aleatórias independentes com distribuição de Poisson(λ). Então T = X1 + X2 é uma estatística suciente para o parâmetro λ. Neste exercício estamos considerando uma amostra aleatória de tamanho n = 2. Em princípio sabemos que T ∼ Poisson(2λ) Prove! Dica use F.G.M. P(T = t) = (2λt)e−2λ t! , t = 0, 1, 2, 3 . . . Adquira 52 Questões de Concursos de Momentos e Esperança Condicional e veja questões de F.G.M! Anselmo Alves de Sousa Estatística Suciente August 14, 2015 2 / 6
  7. 7. Resolução Anselmo Alves de Sousa Estatística Suciente August 14, 2015 3 / 6
  8. 8. Resolução Por denição dizemos que T = g(X1, X2, . . . , Xn) é uma estatística suciente para λ se a distribuição condicional de X1, X2, . . . , Xn dado T = t for independente de λ. P(X1, X2|T = t) = 0 , se x1 + x2 = t P(X1=x1,X2=x2) P(T=t) , se x1 + x2 = t
  9. 9. Resolução Por denição dizemos que T = g(X1, X2, . . . , Xn) é uma estatística suciente para λ se a distribuição condicional de X1, X2, . . . , Xn dado T = t for independente de λ. P(X1, X2|T = t) = 0 , se x1 + x2 = t P(X1=x1,X2=x2) P(T=t) , se x1 + x2 = t P(X1, X2|T = t) = 0 , se x1 + x2 = t P(X1=x1,X2=t−x1) P(T=t) , se x1 + x2 = t Anselmo Alves de Sousa Estatística Suciente August 14, 2015 3 / 6
  10. 10. Resolução Anselmo Alves de Sousa Estatística Suciente August 14, 2015 4 / 6
  11. 11. Resolução P(X1, X2|T = t) = P(X1 = x1) × P(X2 = t − x1) P(T = t)
  12. 12. Resolução P(X1, X2|T = t) = P(X1 = x1) × P(X2 = t − x1) P(T = t) (considerando a independência!) = e−λλx1 x1!
  13. 13. Resolução P(X1, X2|T = t) = P(X1 = x1) × P(X2 = t − x1) P(T = t) (considerando a independência!) = e−λλx1 x1! × e−λλt−x1 (t−x1)!
  14. 14. Resolução P(X1, X2|T = t) = P(X1 = x1) × P(X2 = t − x1) P(T = t) (considerando a independência!) = e−λλx1 x1! × e−λλt−x1 (t−x1)!
  15. 15. Resolução P(X1, X2|T = t) = P(X1 = x1) × P(X2 = t − x1) P(T = t) (considerando a independência!) = e−λλx1 x1! × e−λλt−x1 (t−x1)! e−2λ(2λ)t t!
  16. 16. Resolução P(X1, X2|T = t) = P(X1 = x1) × P(X2 = t − x1) P(T = t) (considerando a independência!) = e−λλx1 x1! × e−λλt−x1 (t−x1)! e−2λ(2λ)t t! = t! x1!(t − x1)!
  17. 17. Resolução P(X1, X2|T = t) = P(X1 = x1) × P(X2 = t − x1) P(T = t) (considerando a independência!) = e−λλx1 x1! × e−λλt−x1 (t−x1)! e−2λ(2λ)t t! = t! x1!(t − x1)! × e−2λ e−2λ
  18. 18. Resolução P(X1, X2|T = t) = P(X1 = x1) × P(X2 = t − x1) P(T = t) (considerando a independência!) = e−λλx1 x1! × e−λλt−x1 (t−x1)! e−2λ(2λ)t t! = t! x1!(t − x1)! × e−2λ e−2λ × λt (2λ)t = t x1 1 2t
  19. 19. Resolução P(X1, X2|T = t) = P(X1 = x1) × P(X2 = t − x1) P(T = t) (considerando a independência!) = e−λλx1 x1! × e−λλt−x1 (t−x1)! e−2λ(2λ)t t! = t! x1!(t − x1)! × e−2λ e−2λ × λt (2λ)t = t x1 1 2t Veja que a distribuição condicional de (X1, X2|T) não depende de λ
  20. 20. Resolução P(X1, X2|T = t) = P(X1 = x1) × P(X2 = t − x1) P(T = t) (considerando a independência!) = e−λλx1 x1! × e−λλt−x1 (t−x1)! e−2λ(2λ)t t! = t! x1!(t − x1)! × e−2λ e−2λ × λt (2λ)t = t x1 1 2t Veja que a distribuição condicional de (X1, X2|T) não depende de λ, logo T é uma estatística suciente para o parâmetro λ. Anselmo Alves de Sousa Estatística Suciente August 14, 2015 4 / 6
  21. 21. Adquira a Série 52 Questões de Concursos! Anselmo Alves de Sousa Estatística Suciente August 14, 2015 5 / 6
  22. 22. Adquira a Série 52 Questões de Concursos! 1. 52 Questões de Séries Temporais 2. 52 Questões de Estatística Descritiva 3. 52 Questões de Probabilidade I 4. 52 Questões de Técnicas de Amostragem 5. 52 Questões de Inferência 6. 52 Questões de Cálculo 7. 52 Questões de Estatística 8. 52 Questões de Momentos e Esperança Condicional 9. 52 Questões de Estatística Multivariada 10. 52 Questões da Banca AOCP 11. 52 Questões de Testes de Hióteses 12. 52 Questões de Regressão Linear Simples 13. 52 Questões da Banca FCC 14. 52 Questões da Banca CESPE-UNB Anselmo Alves de Sousa Estatística Suciente August 14, 2015 5 / 6
  23. 23. Anselmo Alves de Sousa Estatística Suciente August 14, 2015 6 / 6

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