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TESTES DE HIPÓTESES
MATERIAL DE SUPORTE AO 6 - XVI EDIÇÃO DA PG LEAN MANAGEMENT
JOÃO PAULO PINTO – 2015 JUNHO 13
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APRESENTAÇÃO DO CONCEITO
 Considere-se uma máquina de encher pacotes de açúcar…
 O peso de cada pacote deve ser ≈ 8g (isto é, µ = 8);
 Será que a máquina está a funcionar correctamente?
D E F I N I Ç Ã O
Uma hipótese estatística é uma afirmação acerca dos parâmetros de
uma ou mais populações (testes paramétricos) ou acerca da
distribuição da população (testes de ajustamento).
Vamos abordar os testes paramétricos…
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 De volta aos pacotes de açúcar…
 Temos duas hipóteses:
 A máquina funciona correctamente (µ = 8)  H0 :µ = 8
Esta é chamada de hipótese nula (H0)
 A máquina não funciona correctamente (µ ≠ 8)  H1 :µ ≠ 8
Esta é chamada de hipótese alternativa (H0)
Para H0 temos ainda a considerar:
 Hipótese simples: é especificado apenas um valor para o parâmetro;
 Hipótese composta: é especificado mais de um valor para o parâmetro.
 Por agora vamos considerar sempre H0 como hipótese simples…
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Para a hipótese alternativa H1 temos a considerar:
 H1 :µ ≠ 8 hipótese alternativa bilateral
 H1 :µ > 8 hipótese alternativa unilateral (superior)
 H1 :µ < 8 hipótese alternativa unilateral (inferior)
D E F I N I Ç Ã O
Teste de hipóteses é um procedimento que conduz a uma decisão
acerca das hipóteses (com base numa amostra aleatória).
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ALGUNS COMENTÁRIOS SOBRE AS HIPÓTESES
1. A hipótese nula (H0) representa o status quo ou crença atual em uma situação;
2. A hipótese alternativa (H1) é o oposto da hipótese nula e representa uma questão
de investigação que se pretende estudar;
3. Se rejeitarmos H0, então temos a prova estatística de que H1 é verdadeira;
4. Se não rejeitarmos H0, então não foi possível provar a hipótese alternativa, H1.
Falhar a demonstração de H1 não quer dizer que H0 esteja demonstrada;
5. A hipótese nula (H0) refere-se sempre a um valor especifico da população (ex. μ)
e não uma estatística da amostra (como media da amostra, |X);
6. A declaração de H0 tem sempre um sinal de igual em relação ao valor
especificado do parâmetro (por exemplo, H0: μ1 = μ2);
7. A declaração da hipótese alternativa nem sempre contém um sinal de igual em
relação ao valor do parâmetro especificado (por exemplo, H1: μ1 ≠ μ2).
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 Voltando aos pacotes de açúcar…
 Considere X uma variável aleatória que representa o peso de um pacote de
açúcar, então temos:
 E(X) = µ e V(X) = σ2 (variância).
 Logo, H0 :µ = 8 vs H1 :µ ≠ 8
 Agora dispomos de uma amostra de 10 observações: X1 a X10;
 Então faz sentido decidir com base em X , aceitando H0 se X estiver
próxima de 8 e rejeitando H0 se X estiver longe de 8…
 Observemos a figura que se segue…
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Aceitar H1Aceitar H1 Aceitar H0
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
REGIÃO CRÍTICAREGIÃO CRÍTICA
REGIÃO DE
ACEITAÇÃO
c = ponto de fronteira e µ = 8
cc
Região crítica: X < 8 − c ou X > 8 + c
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PROCEDIMENTO GERAL
DO TESTE DE HIPÓTESES
1. Pelo contexto do problema identificar o parâmetro de interesse;
2. Especificar a hipótese nula, H0;
3. Especificar uma hipótese alternativa apropriada, H1;
4. Escolher o nível de significância α (é a probabilidade de
rejeitar H0 sendo ela verdadeira);
5. Escolher uma estatística de teste adequada, ie Z0;
6. Fixar a região crítica do teste (µ +/- c);
7. Recolher uma amostra (de tamanho n) e calcular o valor
observado da estatística de teste;
8. Decidir sobre a rejeição, ou não, de H0.
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TESTE DE HIPÓTESES PARA MÉDIA
E VARIÂNCIA CONHECIDAS
 Considere a população de X tal que:
E(X) = µ (desconhecido) V(X) = σ 2 (conhecido)
Para valores de X1 a Xn e amostra de dimensão n
 Teste de hipóteses: H0: µ = µ0 vs H1: µ ≠ µ0
Assim:
 Rejeita-se H0 se 𝑋 < 𝜇0 − 𝑐 ∗
𝜎
𝑛
ou 𝑋 > 𝜇0 + 𝑐 ∗
𝜎
𝑛
 E não se rejeita H0 se 𝜇0 − 𝑐 ∗
𝜎
𝑛
≤ 𝑋 ≤ 𝜇0 + 𝑐 ∗
𝜎
𝑛
Considere de novo a Dist Normal para perceber melhor…
Eq. 01
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1-
aka, Intervalo de Confiança
 - nível de significância,
probabilidade de rejeitar H0
Quanto maior  maior a
exigência do teste.
c – ponto de fronteira.
Nota que c depende de .
/2 /2
c c
 - desvio
padrão da
amostra
A estatística do teste é dado por:
Z0 =
𝑋−𝜇0
𝜎/ 𝑛 Eq. 02
Considerando as equações 01 e 02, a aceitação de H0 acontece se -c ≤ Z0 ≤ c
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EXERCÍCIO 1.
 Voltando ao pacote de açúcar…
 Recolhemos uma amostra de 20 pacotes, ver ao lado 
 Assuma um nível de significância de 5% (ie, o risco de rejeitar
H0 sendo ela verdadeira);
 Pretende-se saber se a máquina está afinada tendo como base
esta amostra (n = 20) para H0: µ = 8 gramas
A resposta é: Aceitar H0, ou seja para este nível de significância
() podemos considerar que a máquina está afinada.
E se aumentarmos o valor de  o que se pode esperar?
O que significa um aumento desse parâmetro?
# Peso
1 9
2 7
3 8
4 7
5 8
6 7
7 9
8 6
9 9
10 8
11 8
12 9
13 8
14 8
15 10
16 8
17 10
18 9
19 8
20 11
(gramas)Ver file xlsx
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# Peso Nível de Significância 5% ("alfa" ou NS) dados Nota: neste caso usamos uma amostra de
1 9 apenas 20 dados, o ideal seria n > 30
2 7 Hipoteses a considerar: para garantir que a Distr Normal estaria
3 8 H0: Média do processo = 8 gramas 8 µ0 presente… para n < 30 é necessário garan-
4 7 H1: Média do processo diferente de 8 gramas tir que os dados estão normalmente
5 8 distribuídos… Fazer o teste de
6 7 Resolução Anderson-Darling
7 9 Média da amostra 8,35 gramas (X barra)
8 6 Desvio da Amostra 1,18 gramas
9 9
10 8 Estatística do Teste, Z0 1,3241207
11 8
12 9 Com o valor de "alfa" (NS) obtém-se "c" (necessário obter a área da Distrib Normal):
13 8 área da Distr Normal =1-1/2*NS
14 8 área = 0,975 ou 97,50% Consultar agora a Distr Normal para obter "c"
15 10 Ponto de Fronteira "c" = 1,96
16 8
17 10 Aceitação ou rejeição da Hipotese Nula (H0) - decisão tomada com base em "c" e "Zo":
18 9
19 8 -1,96 < 1,3241207 < 1,96
20 11
(gramas)
Aceita Ho
Aceita Ho
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EXERCÍCIO 2.
 Suponha que a média de todas as notas do M1 da PG-LM (das 17 edições,
mais de 500 formandos) é 12 valores com desvio padrão 6;
 Na actual turma (30 formandos), a média deste módulo é 16;
 Research question: Posso afirmar que a actual turma é significativamente
diferente de todos os formandos da PG LM (a população)?
Resolução
 H0: µ = 12 H1:  ≠ 12
 Z0 = 3.65 Para  = 5% temos c = 1.96
 Rejeitamos Ho ou seja esta turma é significativamente diferente…
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EXERCÍCIO 3.
 Suponha que queremos saber se há diferença nos salários para os
professores masculinos e femininos;
 Poderíamos obter duas amostras (homens e outra de mulheres), para
determinar os respectivos níveis salariais médios (M1 e M2);
 M1 e M2 são estimativas das medias da população, 1 e 2.
 Formule as hipóteses nula e alternativa.
Resposta:
 Ho: 1 = 2
 H1: 1  2
 Suponha que a crença é que eles ganham mais que elas…
Formule de novo as hipóteses…
H1: 1 - 2 > 0
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EXERCÍCIO 4.
 Um fabricante de lâminas de barbear afirma que suas lâminas
dão em média 15 boas intervenções;
 Foi feito um teste, pedindo a 10 homens escolhidos aleatoriamente para testar
as lâminas de. O número médio de boas intervenções relatados é de 13 e o
desvio padrão é 3.62;
 O fabricante insiste que o verdadeiro número de acções (ou valor da
população) é 15… (não seria de esperar outra coisa).
 Formule as hipóteses nula e alternativa…
Resposta:
 Ho:  = 15
 Se quisermos desafiar o fabricante: H1:  < 15
 Então se formos totalmente agnósticos: H1:   15
MUITO OBRIGADO
PELA ATENÇÃO
CLT VALUEBASED SERVICES
Av da República, 2491 – Sala 41, 4º Piso
4430 208 VN de Gaia
Telf. 93.600.00.79/88
Fax. 220.162.407
mgt@cltservices.net
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Testes de hipóteses

  • 1. TESTES DE HIPÓTESES MATERIAL DE SUPORTE AO 6 - XVI EDIÇÃO DA PG LEAN MANAGEMENT JOÃO PAULO PINTO – 2015 JUNHO 13
  • 2. João Paulo Pinto – COMUNIDADE LEAN THINKING 2015/16 © 2 de 15 APRESENTAÇÃO DO CONCEITO  Considere-se uma máquina de encher pacotes de açúcar…  O peso de cada pacote deve ser ≈ 8g (isto é, µ = 8);  Será que a máquina está a funcionar correctamente? D E F I N I Ç Ã O Uma hipótese estatística é uma afirmação acerca dos parâmetros de uma ou mais populações (testes paramétricos) ou acerca da distribuição da população (testes de ajustamento). Vamos abordar os testes paramétricos…
  • 3. João Paulo Pinto – COMUNIDADE LEAN THINKING 2015/16 © 3 de 15  De volta aos pacotes de açúcar…  Temos duas hipóteses:  A máquina funciona correctamente (µ = 8)  H0 :µ = 8 Esta é chamada de hipótese nula (H0)  A máquina não funciona correctamente (µ ≠ 8)  H1 :µ ≠ 8 Esta é chamada de hipótese alternativa (H0) Para H0 temos ainda a considerar:  Hipótese simples: é especificado apenas um valor para o parâmetro;  Hipótese composta: é especificado mais de um valor para o parâmetro.  Por agora vamos considerar sempre H0 como hipótese simples…
  • 4. João Paulo Pinto – COMUNIDADE LEAN THINKING 2015/16 © 4 de 15 Para a hipótese alternativa H1 temos a considerar:  H1 :µ ≠ 8 hipótese alternativa bilateral  H1 :µ > 8 hipótese alternativa unilateral (superior)  H1 :µ < 8 hipótese alternativa unilateral (inferior) D E F I N I Ç Ã O Teste de hipóteses é um procedimento que conduz a uma decisão acerca das hipóteses (com base numa amostra aleatória).
  • 5. João Paulo Pinto – COMUNIDADE LEAN THINKING 2015/16 © 5 de 15 ALGUNS COMENTÁRIOS SOBRE AS HIPÓTESES 1. A hipótese nula (H0) representa o status quo ou crença atual em uma situação; 2. A hipótese alternativa (H1) é o oposto da hipótese nula e representa uma questão de investigação que se pretende estudar; 3. Se rejeitarmos H0, então temos a prova estatística de que H1 é verdadeira; 4. Se não rejeitarmos H0, então não foi possível provar a hipótese alternativa, H1. Falhar a demonstração de H1 não quer dizer que H0 esteja demonstrada; 5. A hipótese nula (H0) refere-se sempre a um valor especifico da população (ex. μ) e não uma estatística da amostra (como media da amostra, |X); 6. A declaração de H0 tem sempre um sinal de igual em relação ao valor especificado do parâmetro (por exemplo, H0: μ1 = μ2); 7. A declaração da hipótese alternativa nem sempre contém um sinal de igual em relação ao valor do parâmetro especificado (por exemplo, H1: μ1 ≠ μ2).
  • 6. João Paulo Pinto – COMUNIDADE LEAN THINKING 2015/16 © 6 de 15  Voltando aos pacotes de açúcar…  Considere X uma variável aleatória que representa o peso de um pacote de açúcar, então temos:  E(X) = µ e V(X) = σ2 (variância).  Logo, H0 :µ = 8 vs H1 :µ ≠ 8  Agora dispomos de uma amostra de 10 observações: X1 a X10;  Então faz sentido decidir com base em X , aceitando H0 se X estiver próxima de 8 e rejeitando H0 se X estiver longe de 8…  Observemos a figura que se segue…
  • 7. João Paulo Pinto – COMUNIDADE LEAN THINKING 2015/16 © 7 de 15 Aceitar H1Aceitar H1 Aceitar H0 DISTRIBUIÇÃO NORMAL REGIÃO CRÍTICAREGIÃO CRÍTICA REGIÃO DE ACEITAÇÃO c = ponto de fronteira e µ = 8 cc Região crítica: X < 8 − c ou X > 8 + c
  • 8. João Paulo Pinto – COMUNIDADE LEAN THINKING 2015/16 © 8 de 15 PROCEDIMENTO GERAL DO TESTE DE HIPÓTESES 1. Pelo contexto do problema identificar o parâmetro de interesse; 2. Especificar a hipótese nula, H0; 3. Especificar uma hipótese alternativa apropriada, H1; 4. Escolher o nível de significância α (é a probabilidade de rejeitar H0 sendo ela verdadeira); 5. Escolher uma estatística de teste adequada, ie Z0; 6. Fixar a região crítica do teste (µ +/- c); 7. Recolher uma amostra (de tamanho n) e calcular o valor observado da estatística de teste; 8. Decidir sobre a rejeição, ou não, de H0.
  • 9. João Paulo Pinto – COMUNIDADE LEAN THINKING 2015/16 © 9 de 15 TESTE DE HIPÓTESES PARA MÉDIA E VARIÂNCIA CONHECIDAS  Considere a população de X tal que: E(X) = µ (desconhecido) V(X) = σ 2 (conhecido) Para valores de X1 a Xn e amostra de dimensão n  Teste de hipóteses: H0: µ = µ0 vs H1: µ ≠ µ0 Assim:  Rejeita-se H0 se 𝑋 < 𝜇0 − 𝑐 ∗ 𝜎 𝑛 ou 𝑋 > 𝜇0 + 𝑐 ∗ 𝜎 𝑛  E não se rejeita H0 se 𝜇0 − 𝑐 ∗ 𝜎 𝑛 ≤ 𝑋 ≤ 𝜇0 + 𝑐 ∗ 𝜎 𝑛 Considere de novo a Dist Normal para perceber melhor… Eq. 01
  • 10. João Paulo Pinto – COMUNIDADE LEAN THINKING 2015/16 © 10 de 15 1- aka, Intervalo de Confiança  - nível de significância, probabilidade de rejeitar H0 Quanto maior  maior a exigência do teste. c – ponto de fronteira. Nota que c depende de . /2 /2 c c  - desvio padrão da amostra A estatística do teste é dado por: Z0 = 𝑋−𝜇0 𝜎/ 𝑛 Eq. 02 Considerando as equações 01 e 02, a aceitação de H0 acontece se -c ≤ Z0 ≤ c
  • 11. João Paulo Pinto – COMUNIDADE LEAN THINKING 2015/16 © 11 de 15 EXERCÍCIO 1.  Voltando ao pacote de açúcar…  Recolhemos uma amostra de 20 pacotes, ver ao lado   Assuma um nível de significância de 5% (ie, o risco de rejeitar H0 sendo ela verdadeira);  Pretende-se saber se a máquina está afinada tendo como base esta amostra (n = 20) para H0: µ = 8 gramas A resposta é: Aceitar H0, ou seja para este nível de significância () podemos considerar que a máquina está afinada. E se aumentarmos o valor de  o que se pode esperar? O que significa um aumento desse parâmetro? # Peso 1 9 2 7 3 8 4 7 5 8 6 7 7 9 8 6 9 9 10 8 11 8 12 9 13 8 14 8 15 10 16 8 17 10 18 9 19 8 20 11 (gramas)Ver file xlsx
  • 12. João Paulo Pinto – COMUNIDADE LEAN THINKING 2015/16 © 12 de 15 # Peso Nível de Significância 5% ("alfa" ou NS) dados Nota: neste caso usamos uma amostra de 1 9 apenas 20 dados, o ideal seria n > 30 2 7 Hipoteses a considerar: para garantir que a Distr Normal estaria 3 8 H0: Média do processo = 8 gramas 8 µ0 presente… para n < 30 é necessário garan- 4 7 H1: Média do processo diferente de 8 gramas tir que os dados estão normalmente 5 8 distribuídos… Fazer o teste de 6 7 Resolução Anderson-Darling 7 9 Média da amostra 8,35 gramas (X barra) 8 6 Desvio da Amostra 1,18 gramas 9 9 10 8 Estatística do Teste, Z0 1,3241207 11 8 12 9 Com o valor de "alfa" (NS) obtém-se "c" (necessário obter a área da Distrib Normal): 13 8 área da Distr Normal =1-1/2*NS 14 8 área = 0,975 ou 97,50% Consultar agora a Distr Normal para obter "c" 15 10 Ponto de Fronteira "c" = 1,96 16 8 17 10 Aceitação ou rejeição da Hipotese Nula (H0) - decisão tomada com base em "c" e "Zo": 18 9 19 8 -1,96 < 1,3241207 < 1,96 20 11 (gramas) Aceita Ho Aceita Ho
  • 13. João Paulo Pinto – COMUNIDADE LEAN THINKING 2015/16 © 13 de 15 EXERCÍCIO 2.  Suponha que a média de todas as notas do M1 da PG-LM (das 17 edições, mais de 500 formandos) é 12 valores com desvio padrão 6;  Na actual turma (30 formandos), a média deste módulo é 16;  Research question: Posso afirmar que a actual turma é significativamente diferente de todos os formandos da PG LM (a população)? Resolução  H0: µ = 12 H1:  ≠ 12  Z0 = 3.65 Para  = 5% temos c = 1.96  Rejeitamos Ho ou seja esta turma é significativamente diferente…
  • 14. João Paulo Pinto – COMUNIDADE LEAN THINKING 2015/16 © 14 de 15 EXERCÍCIO 3.  Suponha que queremos saber se há diferença nos salários para os professores masculinos e femininos;  Poderíamos obter duas amostras (homens e outra de mulheres), para determinar os respectivos níveis salariais médios (M1 e M2);  M1 e M2 são estimativas das medias da população, 1 e 2.  Formule as hipóteses nula e alternativa. Resposta:  Ho: 1 = 2  H1: 1  2  Suponha que a crença é que eles ganham mais que elas… Formule de novo as hipóteses… H1: 1 - 2 > 0
  • 15. João Paulo Pinto – COMUNIDADE LEAN THINKING 2015/16 © 15 de 15 EXERCÍCIO 4.  Um fabricante de lâminas de barbear afirma que suas lâminas dão em média 15 boas intervenções;  Foi feito um teste, pedindo a 10 homens escolhidos aleatoriamente para testar as lâminas de. O número médio de boas intervenções relatados é de 13 e o desvio padrão é 3.62;  O fabricante insiste que o verdadeiro número de acções (ou valor da população) é 15… (não seria de esperar outra coisa).  Formule as hipóteses nula e alternativa… Resposta:  Ho:  = 15  Se quisermos desafiar o fabricante: H1:  < 15  Então se formos totalmente agnósticos: H1:   15
  • 16. MUITO OBRIGADO PELA ATENÇÃO CLT VALUEBASED SERVICES Av da República, 2491 – Sala 41, 4º Piso 4430 208 VN de Gaia Telf. 93.600.00.79/88 Fax. 220.162.407 mgt@cltservices.net www.cltservices.net