Distribuicao de probabilidades

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Distribuicao de probabilidades

  1. 1. 01/17 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADESAs distribuições de probabilidades mais conhecidas e utilizadasna maioria das aplicações são:-Distribuição binomial - π e n (variável discreta)-Distribuição normal - µ e σ2 (variável contínua) Uma função f(x) é quem define o comportamento das variáveis em termos de resultados de probabilidade (distribuição).Função de probabilidade – f(x) – variável discretaFunção densidade de probabilidade – f(x) – variável contínua
  2. 2. 02/17 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADESUma diferença fundamental separa as variáveis aleatóriasdiscretas e as contínuas em termos de como as probabilidadessão calculadas.Quanto a variável aleatória discreta, f(x) produz a probabili-dade de a variável aleatória assumir um valor em particular.Quanto a variável aleatória contínua, f(x) não produz probabili-dade diretamente; associa a área sob o gráfico de f(x) corres-pondente a determinado intervalo.Então, quando se calculam probabilidades de variáveis aleató-rias contínuas, calcula-se a probabilidade de a variável aleató-ria assumir qualquer valor nesse intervalo.
  3. 3. 03/17 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADESFUNÇÃO DE PROBABILIDADE DISCRETA → f(x) ≥ 0 Σf(x) = 1VALOR ESPERADO DE UMA V.A.D. → E(x)=µ=Σxf(x)VARIÂNCIA DE UMA V.A.D. → Var(x)=σ2=Σ(x-µ)2f(x)No. Chamadas Probabilidades No. Chamadas Probabilidades 0 0,10 3 0,20 1 0,15 4 0,15 2 0,30 5 0,101) No. esperado de chamadas: E(x)=µ=2,052) Variância: σ2=2,05 Desvio Padrão: σ=1,43
  4. 4. 04/17 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES DISTRIBUIÇÃO BINOMIALVALOR ESPERADO: E(x)=µ=npVARIÂNCIA: Var(x)=σ2=np(1-p)Exemplo:Considere um experimento binomial com n=10 e p=0,10a) Calcular f(0)= 0,3487b) Calcular f(2)= 0,1937c) Calcular P(x≤2)= 0,9298d) Calcular P(x≥1)= 0,6513e) Calcular E(x)= 1,0f) Calcular Var(x)=σ2= 0,9g) Calcular o desvio padrão - σ= 0,95
  5. 5. 05/17 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADESAplicação:Os sistemas militares de radar e de mísseis são concebidos para umpaís precaver-se de ataques inimigos. Uma questão de confiabilidade ésaber se um sistema de detecção será capaz de identificar um ataqueinimigo e disparar um alarme. Considere que determinado sistema dedetecção tenha 90% de probabilidade de detectar um ataque demísseis. Use a distribuição binomial para responder as questões aseguir:a) Qual a probabilidade de um único sistema de detecção detectar um ataque? R: 0,90b) Se dois sistemas são instalados na área e operam independentes, qual é a probabilidade de pelo menos um deles detectar o ataque? R: 0,99c) Se três sistemas ... De pelo menos um detectar? R: 0,999d) Você recomendaria o uso de múltiplos sistemas? R: sim
  6. 6. 06/17 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADESA DISTRIBUIÇÃO NORMAL DE PROBABILIDADES 1 − ( x − µ ) 2 / 2σ 2Função Densidade Normal de Probabilidade: f ( x) = e σ 2πonde: µ = média σ = desvio padrão π = número pi – 3,141596259 e = 2,7182 1 − z2 / 2Função Densidade Normal Padrão de Probabilidade: f ( x) = e 2πCom z = (x - µ)/σ
  7. 7. 06A/17 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADESCurva em forma de sinocorrespondente adistribuição normal deprobabilidade.Três distribuiçõesnormais com o mesmodesvio padrão (σ), mascom três diferentesmédias (-10, 0 e 20).
  8. 8. 06B/17 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADESDuas distribuições normais Áreas sob a curva de umacom a mesma média (µ), mas distribuição normal qualquer.com desvios padrão (σ)diferentes.
  9. 9. 06C/17 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADESÁrea sob a curva normalpadrão = probabilidade A distribuição normal padrão: - Média µ=0 - Desvio padrão σ=1
  10. 10. 07/17 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADESCARACTERÍSTICAS DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL1. Possui dois parâmetros: a média µ e o desvio padrão σ;2. Ponto máximo da curva é a média = mediana = moda;3. A média da distribuição pode ser qualquer valor: negativo, zero ou positivo;4. A distribuição normal é simétrica em relação a média;5. O desvio padrão determina quanto uma curva é achatada ou larga;6. As probabilidades da va são dadas por área sob a curva; a área total é igual a 1; como a curva é simétrica, a área, a direita e a esquerda da média valem 0,5;7. As porcentagens dos valores de alguns intervalos: a) 68,3% dos valores de uma va estão dentro de ±1σ da média; b) 95,4% dos valores de uma va estão dentro de ±2σ da média; c) 99,7% dos valores de uma va estão dentro de ±3σ da média.
  11. 11. 08/17 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADESDISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO DE PROBABILIDADESUma variável aleatória que tem uma distribuição normal com médiaigual a zero e desvio padrão igual a um, diz-se que esta variáveltem distribuição normal padrão de probabilidade.Para encontrar a probabilidade de uma va estar contida em umintervalo específico, deve-se calcular a área sob a curva normal aolongo deste intervalo.Existem tabelas que podem ser usadas para o cálculo dasprobabilidades; estas tabelas foram geradas para uma va comdistribuição normal padrão de µ=0 e σ=1
  12. 12. 09/17 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADESDISTRIBUIÇÃO NORMAL – APLICAÇÃOUma empresa desenvolveu um novo pneu radial com cinturão deaço que será vendido por meio de uma cadeia nacional. Uma vezque este tipo de pneu é um produto novo, os gerentes da empresaacreditam que a durabilidade (em termos de km rodados) oferecidacom o pneu será um fator importante na aceitação do produto.Antes de fechar os termos do contrato de garantia de durabilidadedo pneu, os gerentes desejam obter informações de probabilidade arespeito do número de km que os pneus durarão. Dos testes reaisde estrada com os pneus, a equipe de engenharia da empresaestima que a durabilidade média dos pneus é 36500km e que odesvio padrão é 5000. Além disso, os dados coletados indicam que adistribuição normal é uma hipótese razoável.a) Qual percentagem dos pneus duraria mais de 40 mil km? Ou,qual é a probabilidade de a durabilidade do pneu ultrapassar 40 milkm?
  13. 13. 10/17 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES x−µ 40000 − 36500 z= = = 0, 70 σ 5000Consultando a tabela de dis-tribuição normal padrão comz=0,70 observamos que aárea para valores iguais oumaior que z=0,70 é 0,2420.Esta é a probabilidade de xultrapassar o valor 40000.Conclui-se que 24,2% dospneus terão uma durabili-dade maior que 40000 km.
  14. 14. 11/17 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADESb) A empresa estáconsiderando a possibi-lidade de dar umagarantia que concede umdesconto na troca depneus se os originais nãoresistirem ao número dekm estipulados nagarantia. Qual deve ser onúmero de km cobertopela garantia levando-seem conta que a empresaquer que não mais de10% dos pneus sehabilitem à garantia dodesconto?
  15. 15. 12/17 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADESAgora, usando a tabela normal padrão, devemos determinar o valorde z que produz uma área de 0,10 (10%) sob a curva normal. Estevalor é 1,28; por simetria o valor de z procurado encontra-se aesquerda da média; z=-1,28.Para encontrar o valor de x correspondente a z=-1,28 calculamos aexpressão z = x − µ com µ=36500 e σ=5000. Encontra-se x=30100. σAssim, a empresa poderá fixar a garantia de durabilidade de seuspneus em 30.000km, uma vez que este valor garante que apenas10% dos pneus produzidos se habilitarão à garantia.
  16. 16. 13/17 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADESAPROXIMAÇÃO NORMAL ÀS PROBABILIDADES BINOMIAISAdota-se a aproximação normal às probabilidades binomiais quandoo número de ensaios torna-se grande.É lícito usar a aproximação quando: a) np ≥ 5; b) n(1-p) ≥ 5.Ao usar a aproximação normal às probabilidades binomiais ajusta-seuma curva normal da seguinte maneira: µ = np e σ2 = np(1-p)A distribuição normal trabalha com va contínua e a probabilidade éobtida a partir da área sob a curva normal. A distribuição binomialtrabalha com va discreta e a probabilidade é obtida para cada valorassumido por x.Truque: P(x=12) da binomial é igual a P(11,5 ≤ x ≤ 12,5) da normal.
  17. 17. 14/17 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADESEXERCÍCIOS

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