Este documento contém 8 exercícios sobre funções exponenciais e logarítmicas. Os exercícios abordam tópicos como obter o gráfico de uma função exponencial a partir de outro, provar a propriedade de determinação de uma função exponencial por dois pontos e modelar o crescimento populacional usando funções exponenciais.

1. A Matem´tica do Ensino M´dio, vol. 1
a e
Exerc´
ıcios do Cap´
ıtulo 8 (Fun¸˜es Exponenciais e Logar´
co ıtmicas)
1. Com um l´pis cuja ponta tem 0,02 mm de espessura, deseja-se tra¸ar o gr´fico da
a c a
fun¸˜o f (x) = 2x . At´ que distˆncia ` esquerda do eixo vertical pode-se ir sem que o
ca e a a
gr´fico atinja o eixo horizontal?
a
Solu¸˜o: Podemos admitir que a ponta do l´pis ´ um disco com raio de 0,01 mm.
ca a e
O gr´fico tocar´ o eixo horizontal num ponto (x, 2x ) sempre que 2x < 0, 001 mm, ou
a a
seja quando x · log 2 < log 0, 01, donde x < log 0, 01/ log 2 = − log 100/ log 2. Tomando
logaritmos de base 10, temos log 100 = 2 e log 2 = 0, 301. Ent˜o o gr´fico tocar´ o eixo
a a a
horizontal nos pontos de abcissa x < −6, 644 mm.
2. Seja f (b, t) uma fun¸˜o positiva, definida para b ≥ 0 e t ∈ R, linear em b crescente (ou
ca
decrescente) em t, tal que f (b, s + t) = f (f (b, s), t) para quaisquer b, s, t. Prove que f ´
e
de tipo exponencial.
Solu¸˜o: Ponhamos ϕ(t) = f (1, t). Ent˜o ϕ ´ estritamente mon´tona e ϕ(s + t) =
ca a e o
f (1, s + t) = f (f (1, s), t) = f (f (1, s) · 1, t) = f (1, s) · f (1, t) = ϕ(s) · ϕ(t). Pelo Teorema
de Caracteriza¸˜o da Fun¸˜o Exponencial (M.E.M. vol. 1, pag. 183) segue-se que, pondo
ca ca
a = ϕ(1) = f (1, 1), tem-se f (1, t) = ϕ(t) = at para todo t ∈ R. Da´ f (b, t) = f (b · 1, t) =
ı
b · f (1, t) = b · at .
3. Dados a > 0 e b > 0, ambos diferentes de 1, qual a propriedade da fun¸˜o exponencial
ca
que assegura a existˆncia de h = 0 tal que bx = ax/h para todo x ∈ R? Mostre como obter
e
o gr´fico de y = bx a partir do gr´fico de y = ax . Use sua conclus˜o para tra¸ar o gr´fico
a a a c a
√ x
de y = 1/ 3 4 a partir do gr´fico de y = 2x .
a
Solu¸˜o: A propriedade em quest˜o diz que a fun¸˜o exponencial f : R → R+ , definida
ca a ca
por f (x) = bx , ´ sobrejetiva. Portanto, dado a > 0, existe h ∈ R tal que bh = a, ou seja,
e
1

2. b = a1/h . Da´ bx = ax/h para todo x ∈ R.
ı
y = ax
y = bx
x/h x
Para obter o gr´fico de y = bx , trace a reta horizontal que passa pelo ponto de abcissa
a
x/h no gr´fico de y = ax . O ponto dessa reta que tem abcissa x ´ (x, bx ). Quando a = 2
a e
√
e b = 1/ 3 4, a igualdade ax/h = bx , que equivale a h = log a/ log b, nos d´ h = −3/2 e
a
x/h = −2x/3.
4. Prove que uma fun¸˜o do tipo exponencial fica determinada quando se conhecem
ca
dois dos seus valores. Mais precisamente, se f (x) = b · ax e F (x) = B · Ax s˜o tais que
a
f (x1 ) = F (x1 ) e f (x2 ) = F (x2 ) com x1 = x2 ent˜o a = A e b = B.
a
Solu¸˜o: Se bax1 = BAx1 e bax2 = BAx2 ent˜o (a/A)x1 = B/b = (a/A)x2 . Como
ca a
x1 = x2 , isto obriga a/A = 1, ou seja, a = A. Ent˜o bAx1 = BAx1 , logo b = B.
a
5. Dados x0 = 0 e y0 > 0 quaisquer, mostre que existe a > 0 tal que ax0 = y0 .
2

3. 1/x0
Solu¸˜o: Basta tomar a = y0
ca .
6. Dados x0 = x1 e y0 , y1 n˜o-nulos e de mesmo sinal, prove que existem a > 0 e b tais
a
que b · ax0 = y0 e b · ax1 = y1 .
1
Solu¸˜o: Basta tomar a = y0 /y1
ca x0 −x1
e b = y0 · a−x0 .
7. A grandeza y se exprime como y = b · at em fun¸˜o do tempo t. Sejam d o acr´scimo
ca e
que se deve dar a t para que y dobre e m (meia-vida de y) o acr´scimo de t necess´rio para
e a
que y se reduza ` metade. Mostre que m = −d e y = b · 2t/d , logo d = loga 2 = 1/ log2 a.
a
Solu¸˜o: Deve-se ter b · ad = 2b, portanto ad = 2, donde d = loga 2 = 1/ log2 a.
ca
Observa¸˜o: geralmente m (e, equivalentemente, d) ´ conhecido experimentalmente,
ca e
enquanto a se obt´m a partir de m: de ad = 2, ou seja, a−m = 2, resulta que a = 2m .
e
Assim a express˜o de y em fun¸˜o de t fica y = b · 2mt , onde b ´ o valor inicial de y
a ca e
(correspondente a t = 0).
8. Observa¸˜es feitas durante longo tempo mostram que, ap´s per´
co o ıodo de mesma dura¸ao,
c˜
a popula¸˜o da terra fica multiplicada pelo mesmo fator. Sabendo que essa popula¸˜o era
ca ca
de 2,68 bilh˜es em 1956 e 3,78 bilh˜es em 1972, pede-se:
o o
(a) O tempo necess´rio para que a popula¸˜o da terra dobre de valor.
a ca
(b) A popula¸˜o estimada para o ano 2012.
ca
(c) Em que ano a popula¸˜o da terra era de 1 bilh˜o.
ca a
Solu¸˜o: (a) As observa¸˜es indicam que se b ´ a popula¸˜o num determinado ano e t
ca co e ca
´ o n´mero de anos decorridos a partir da´ ent˜o a popula¸˜o ap´s esses t anos ´ dada
e u ı a ca o e
por uma express˜o do tipo y = b · eat . Come¸ando a contar os anos a partir de 1956,
a c
temos b = 2, 68 bilh˜es. Para determinar o coeficiente a, usaremos a observa¸˜o de
o ca
1972, segundo a qual se tem 2, 68e16a = 3, 78 (lembrando que t = 1972 − 1956 = 16.
Portanto e16a = 3, 78 ÷ 2, 68 = 1, 41. Da´ a = (log 1, 41) ÷ 16 = 0, 0215. O tempo
ı
necess´rio para que a popula¸˜o dobre ´ o n´mero t de anos tal que e0,0215t = 2. Da´ vem
a ca e u ı
3

4. t = (log 1) ÷ 0, 0215 = 32, 24 anos, aproximadamente 32 anos e 3 meses.
(b) Em 2012 teremos t = 2012 − 1956 = 56, portanto 2, 68 e0,0215·56 = 8, 9 bilh˜es ser´
o a
a popula¸˜o da terra.
ca
(c) A popula¸˜o da terra era de 1 bilh˜o quando 2, 68 · e0,0215t = 1, donde e0,0215t =
ca a
1 ÷ 2, 68 = 0, 373. Isto nos d´ 0, 0215t = log 0, 373 portanto t = −45, 87 = −(45 anos e
a
10 meses). Isto ocorreu em 1910.
Observa¸˜o: Usamos logaritmos naturais.
ca
9. Dˆ um argumento independente de observa¸˜es para justificar que, em condi¸oes
e co c˜
normais, a popula¸˜o da terra ap´s o decurso de per´
ca o ıodos iguais fica multiplicada pela
mesma constante.
Solu¸˜o: Por “independente de observa¸˜es” deve-se entender sem coleta de dados
ca co
estat´
ısticos, ou seja, um argumento baseado na reflex˜o. “Em condi¸˜es normais” significa
a co
que n˜o ocorreram repetidas cat´strofes nem houve a descoberta do elixir da imortalidade.
a a
Ent˜o, se come¸armos a contar os anos a partir de quando a popula¸˜o da terra era de
a c ca
b bilh˜es de pessoas, indicaremos com f (b, t) a popula¸˜o ap´s o decurso de t anos. A
o ca o
primeira constata¸˜o que fizemos ´ que f (b, t) depende linearmente de b. Com efeito, ´
ca e e
claro que f (b, t) ´ fun¸˜o crescente de b. Em seguida, notamos que f (n · b, t) = n · f (b, t)
e ca
como se vˆ ao imaginarmos n planetas exatamente iguais ` terra, cada um deles com b
e a
bilh˜es de pessoas no mesmo ano t = 0. O Teorema Fundamental da Proporcionalidade
o
nos garante ent˜o que f (b, t) depende linearmente de t. Finalmente, temos f (f (b, s), t) =
a
f (b, s + t) pois esta igualdade significa que, se come¸armos a contar os anos a partir do
c
ano s, quando a popula¸˜o seria de f (b, s) bilh˜es, ap´s decorridos t anos a popula¸˜o ser´
ca o o ca a
de f (f (b, s), t) bilh˜es, a mesma que obter´
o ıamos se tiv´ssemos considerado a popula¸˜o
e ca
de b bilh˜es, quando s = t = 0, e olh´ssemos para essa popula¸˜o ap´s s + t anos, quando
o a ca o
seu valor seria f (b, s + t). Portanto f (f (b, s), t) = f (b, s + t). Pelo Exerc´ 2, vemos que
ıcio
f (b, t) ´ do tipo exponencial.
e
4