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Trigonometria
PROFESSORA: MARLEIDE COAN CARDOSO
                  Apostila 4
Trigonometria
Texto extraído do site
http://www.infoescola.com/matematica/trigonometria/
Autor Prof. Ailton Feitosa.

A trigonometria, palavra formada por três radicais gregos: tri (três), gonos (ângulos) e metron
(medir), têm por objetivo o cálculo das medidas dos lados e ângulos de um triângulo.

Medir distâncias é uma necessidade antiga da humanidade, facilmente atendida no caso de envolver
pontos próximos. Basta verificar quantas vezes uma dada unidade de medida está contida no
comprimento a ser medido. Este é o princípio dos instrumentos mais comuns para medir
comprimentos: réguas, fitas métricas, trenas, etc.

Por que estudar Trigonometria?

Há situações, em que se deseja efetuar medidas envolvendo objetos que não são diretamente
acessíveis. Atualmente, a trigonometria não se limita apenas a estudar os triângulos. Sua aplicação se
estende a outros campos da Matemática, como análise, e a outros campos da atividade humana, como
a Eletricidade, a Mecânica, a Acústica, a Música, a Topologia, a Engenharia Civil etc.

Observem algumas situações:

    a. Você já parou para imaginar como os navegadores da antiguidade faziam para calcular a que
       distância da terra eles encontravam-se enquanto navegavam?
    b. Seria impossível medir a distância da Terra à Lua, porém com a trigonometria se torna
       simples.
    c. Um engenheiro precisa saber a largura de um rio para construir uma ponte, o trabalho dele é
       mais fácil quando ele usa dos recursos trigonométricos.
    d. Um cartógrafo (desenhista de mapas) precisa saber a altura de uma montanha, o comprimento
       de um rio, etc. Sem a trigonometria ele demoraria anos para desenhar um mapa.

     Astrolábio (no passado)                        Teodolito (no presente)




     Um dos mais antigos instrumentos
                                                  Instrumento geodésico, que serve para
     científicos, que teria surgido no século III
                                                  levantar plantas, medir ângulos reduzidos
     a.C. A sua invenção é atribuída ao
                                                  ao horizonte e distâncias.
     matemático e astrônomo grego Hiparco.
Relembrando as relações métricas no triângulo retângulo
Fórmulas necessárias


a2  b2  c2
a.h  bc
h ²  m.n
c ²  a.m
b ²  a.n


As Razões trigonométricas no triângulo retângulo.
Características do triângulo retângulo e nome dos lados.
Tabela de valores seno cosseno e tangente dos ângulos fundamentais
Relações trigonométricas no triângulo qualquer




Fórmula fundamental da trigonometria
Sen²(x) + cos²(x) = 1

Exercícios
Em cada caso resolva o que se pede aplicando os conceitos de trigonometria.
2)




3)




4) Calcule o valor de x em cada um dos casos.
a)                                b)
5) Determine o valor de x em cada caso
                                                              c)




d)                          e)




     6) Dois ciclistas partem do ponto P, no mesmo instante, segundo as direções indicadas na figura
        abaixo. A velocidade média de um é 15 km/h e a do outro é de 20km/h. após 4 horas, eles
                                                         estão em pontos A e B, respectivamente.
                                                         Nesse instante qual a distância entre eles?




     7) Uma rampa lisa, de 20m de comprimento, forma um ângulo de 30° com o plano
        horizontal. Uma pessoa que sobe essa rampa inteira eleva-se horizontalmente de:
        a) ( ) 17m         b) ( ) 10m         c) ( ) 15 m        d) ( ) 5 m      e) ( ) 8m
Funções trigonométricas

As funções trigonométricas são representadas a partir dos valores dos ângulos
notáveis em radianos. Observe o gráfico abaixo e seus respectivos valores.
1) A função seno


                                              y                                f(x)=sin(x)
                                         9

                                         8

                                         7

                                         6

                                         5

                                         4

                                         3

                                         2

                                         1
                                                                                         x
 -3π   -5π/2   -2π   -3π/2   -π   -π/2            π/2   π   3π/2   2π   5π/2        3π
                                         -1

                                         -2

                                         -3

                                         -4

                                         -5

                                         -6

                                         -7

                                         -8

                                         -9


Pelo gráfico pode-se observar que:
Domínio = R
Imagem [-1,1]
Período onde a função passa a repetir 2 
Tem intervalos crescentes e decrescentes.
Exemplo: Represente graficamente a função
   a) f(x) = 2 sen(x)
2) A função cosseno

Observe agora que

                                              y                                f(x)=cos(x)
                                         9

                                         8

                                         7

                                         6

                                         5

                                         4

                                         3

                                         2

                                         1
                                                                                         x
 -3π   -5π/2   -2π   -3π/2   -π   -π/2            π/2   π   3π/2   2π   5π/2        3π
                                         -1

                                         -2

                                         -3

                                         -4

                                         -5

                                         -6

                                         -7

                                         -8

                                         -9


D=R
Imagem [-1,1]
Período onde a função passa a repetir 2 
Tem intervalos crescentes e decrescentes.
A função é positiva onde fica acima do eixo x e negativa quando fica abaixo do eixo
x.

Exemplo: Represente graficamente a função
   a) f(x) = 2 cos(x)
3) A função tangente

Agora veja como se comporta a Tangente
Como ela é a razão entre seno e cosseno, ela não é definida para cos(x) = 0

                                                      y                           f(x)=sin(x)/cos(x)
                                                 9

                                                 8

                                                 7

                                                 6

                                                 5

                                                 4

                                                 3

                                                 2

                                                 1
                                                                                                   x
 -3π   -5π/2   -2π         -3π/2   -π     -π/2            π/2   π   3π/2   2π   5π/2          3π
                                                 -1

                                                 -2

                                                 -3

                                                 -4

                                                 -5

                                                 -6

                                                 -7

                                                 -8

                                                 -9


                  
D = { xR / x            k e k  Z }
                     2
Imagem = R
Período onde a função passa a repetir 
È uma função crescente
A função é positiva onde fica acima do eixo x e negativa quando fica abaixo do eixo
x.
Exemplo: Represente graficamente a função
   a) f(x) = 2 tg(x)
4) A função cotangente

Agora analisamos a cotangente

A função cotangente corresponde a cos(x) / sen(x) não sendo definida para os
pontos em que o seno se anula.

                                              y                           f(x)=cos(x)/sin(x)
                                         9

                                         8

                                         7

                                         6

                                         5

                                         4

                                         3

                                         2

                                         1
                                                                                           x
 -3π   -5π/2   -2π   -3π/2   -π   -π/2            π/2   π   3π/2   2π   5π/2          3π
                                         -1

                                         -2

                                         -3

                                         -4

                                         -5

                                         -6

                                         -7

                                         -8

                                         -9




D = { x  R / x    k e k  Z}
Imagem = R
Período onde a função passa a repetir 
È uma função decrescente
A função é positiva onde fica acima do eixo x e negativa quando fica abaixo do eixo
x.

Exemplo: Represente graficamente a função
   a) f(x) = 2 cotg(x)
3) A função secante

Agora vamos observar como se comporta o gráfico da secante
Como esta função é f(x) = 1/ cos(x) então temos que esta não é definida para os
valores que anulam o cosseno
                                               y                                f(x)=1/cos(x)
                                          9

                                          8

                                          7

                                          6

                                          5

                                          4

                                          3

                                          2

                                          1
                                                                                            x
 -3π   -5π/2   -2π    -3π/2   -π   -π/2            π/2   π   3π/2   2π   5π/2          3π
                                          -1

                                          -2

                                          -3

                                          -4

                                          -5

                                          -6

                                          -7

                                          -8

                                          -9




                  
D = { xR / x     k e k  Z }
               2
Imagem = ]-∞, -1] U[1,+∞[
Período onde a função passa a repetir 2 
Tem intervalos crescentes e decrescentes
A função é positiva onde fica acima do eixo x e negativa quando fica abaixo do eixo
x.


Exemplo: Represente graficamente a função
   a) f(x) = 2 sec(x)
4) A função cossecante

Finalmente vamos analisar a função cossecante

Como esta função é f(x) = 1/ sen(x) então temos que esta não é definida para os
valores que anulam o seno

                                              y                                f(x)=1/sin(x)
                                         9

                                         8

                                         7

                                         6

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 -3π   -5π/2   -2π   -3π/2   -π   -π/2            π/2   π   3π/2   2π   5π/2          3π
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D = { x  R / x    k e k  Z}
Imagem = ]-∞, -1] U[1,+∞[
Período onde a função passa a repetir 2 
Tem intervalos crescentes e decrescentes
A função é positiva onde fica acima do eixo x e negativa quando fica abaixo do eixo
x.

Exemplo: Represente graficamente a função
   a) f(x) = 2 cosec(x)
Esta questão envolve trigonometria e outros conceitos de mecânica dos sólidos

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Apostila trigonometria

  • 2. Trigonometria Texto extraído do site http://www.infoescola.com/matematica/trigonometria/ Autor Prof. Ailton Feitosa. A trigonometria, palavra formada por três radicais gregos: tri (três), gonos (ângulos) e metron (medir), têm por objetivo o cálculo das medidas dos lados e ângulos de um triângulo. Medir distâncias é uma necessidade antiga da humanidade, facilmente atendida no caso de envolver pontos próximos. Basta verificar quantas vezes uma dada unidade de medida está contida no comprimento a ser medido. Este é o princípio dos instrumentos mais comuns para medir comprimentos: réguas, fitas métricas, trenas, etc. Por que estudar Trigonometria? Há situações, em que se deseja efetuar medidas envolvendo objetos que não são diretamente acessíveis. Atualmente, a trigonometria não se limita apenas a estudar os triângulos. Sua aplicação se estende a outros campos da Matemática, como análise, e a outros campos da atividade humana, como a Eletricidade, a Mecânica, a Acústica, a Música, a Topologia, a Engenharia Civil etc. Observem algumas situações: a. Você já parou para imaginar como os navegadores da antiguidade faziam para calcular a que distância da terra eles encontravam-se enquanto navegavam? b. Seria impossível medir a distância da Terra à Lua, porém com a trigonometria se torna simples. c. Um engenheiro precisa saber a largura de um rio para construir uma ponte, o trabalho dele é mais fácil quando ele usa dos recursos trigonométricos. d. Um cartógrafo (desenhista de mapas) precisa saber a altura de uma montanha, o comprimento de um rio, etc. Sem a trigonometria ele demoraria anos para desenhar um mapa. Astrolábio (no passado) Teodolito (no presente) Um dos mais antigos instrumentos Instrumento geodésico, que serve para científicos, que teria surgido no século III levantar plantas, medir ângulos reduzidos a.C. A sua invenção é atribuída ao ao horizonte e distâncias. matemático e astrônomo grego Hiparco.
  • 3. Relembrando as relações métricas no triângulo retângulo Fórmulas necessárias a2  b2  c2 a.h  bc h ²  m.n c ²  a.m b ²  a.n As Razões trigonométricas no triângulo retângulo. Características do triângulo retângulo e nome dos lados.
  • 4. Tabela de valores seno cosseno e tangente dos ângulos fundamentais
  • 5. Relações trigonométricas no triângulo qualquer Fórmula fundamental da trigonometria Sen²(x) + cos²(x) = 1 Exercícios Em cada caso resolva o que se pede aplicando os conceitos de trigonometria.
  • 6. 2) 3) 4) Calcule o valor de x em cada um dos casos. a) b)
  • 7. 5) Determine o valor de x em cada caso c) d) e) 6) Dois ciclistas partem do ponto P, no mesmo instante, segundo as direções indicadas na figura abaixo. A velocidade média de um é 15 km/h e a do outro é de 20km/h. após 4 horas, eles estão em pontos A e B, respectivamente. Nesse instante qual a distância entre eles? 7) Uma rampa lisa, de 20m de comprimento, forma um ângulo de 30° com o plano horizontal. Uma pessoa que sobe essa rampa inteira eleva-se horizontalmente de: a) ( ) 17m b) ( ) 10m c) ( ) 15 m d) ( ) 5 m e) ( ) 8m
  • 8. Funções trigonométricas As funções trigonométricas são representadas a partir dos valores dos ângulos notáveis em radianos. Observe o gráfico abaixo e seus respectivos valores. 1) A função seno y f(x)=sin(x) 9 8 7 6 5 4 3 2 1 x -3π -5π/2 -2π -3π/2 -π -π/2 π/2 π 3π/2 2π 5π/2 3π -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 Pelo gráfico pode-se observar que: Domínio = R Imagem [-1,1] Período onde a função passa a repetir 2  Tem intervalos crescentes e decrescentes. Exemplo: Represente graficamente a função a) f(x) = 2 sen(x)
  • 9. 2) A função cosseno Observe agora que y f(x)=cos(x) 9 8 7 6 5 4 3 2 1 x -3π -5π/2 -2π -3π/2 -π -π/2 π/2 π 3π/2 2π 5π/2 3π -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 D=R Imagem [-1,1] Período onde a função passa a repetir 2  Tem intervalos crescentes e decrescentes. A função é positiva onde fica acima do eixo x e negativa quando fica abaixo do eixo x. Exemplo: Represente graficamente a função a) f(x) = 2 cos(x)
  • 10. 3) A função tangente Agora veja como se comporta a Tangente Como ela é a razão entre seno e cosseno, ela não é definida para cos(x) = 0 y f(x)=sin(x)/cos(x) 9 8 7 6 5 4 3 2 1 x -3π -5π/2 -2π -3π/2 -π -π/2 π/2 π 3π/2 2π 5π/2 3π -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9  D = { xR / x   k e k  Z } 2 Imagem = R Período onde a função passa a repetir  È uma função crescente A função é positiva onde fica acima do eixo x e negativa quando fica abaixo do eixo x. Exemplo: Represente graficamente a função a) f(x) = 2 tg(x)
  • 11. 4) A função cotangente Agora analisamos a cotangente A função cotangente corresponde a cos(x) / sen(x) não sendo definida para os pontos em que o seno se anula. y f(x)=cos(x)/sin(x) 9 8 7 6 5 4 3 2 1 x -3π -5π/2 -2π -3π/2 -π -π/2 π/2 π 3π/2 2π 5π/2 3π -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 D = { x  R / x    k e k  Z} Imagem = R Período onde a função passa a repetir  È uma função decrescente A função é positiva onde fica acima do eixo x e negativa quando fica abaixo do eixo x. Exemplo: Represente graficamente a função a) f(x) = 2 cotg(x)
  • 12. 3) A função secante Agora vamos observar como se comporta o gráfico da secante Como esta função é f(x) = 1/ cos(x) então temos que esta não é definida para os valores que anulam o cosseno y f(x)=1/cos(x) 9 8 7 6 5 4 3 2 1 x -3π -5π/2 -2π -3π/2 -π -π/2 π/2 π 3π/2 2π 5π/2 3π -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9  D = { xR / x   k e k  Z } 2 Imagem = ]-∞, -1] U[1,+∞[ Período onde a função passa a repetir 2  Tem intervalos crescentes e decrescentes A função é positiva onde fica acima do eixo x e negativa quando fica abaixo do eixo x. Exemplo: Represente graficamente a função a) f(x) = 2 sec(x)
  • 13. 4) A função cossecante Finalmente vamos analisar a função cossecante Como esta função é f(x) = 1/ sen(x) então temos que esta não é definida para os valores que anulam o seno y f(x)=1/sin(x) 9 8 7 6 5 4 3 2 1 x -3π -5π/2 -2π -3π/2 -π -π/2 π/2 π 3π/2 2π 5π/2 3π -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 D = { x  R / x    k e k  Z} Imagem = ]-∞, -1] U[1,+∞[ Período onde a função passa a repetir 2  Tem intervalos crescentes e decrescentes A função é positiva onde fica acima do eixo x e negativa quando fica abaixo do eixo x. Exemplo: Represente graficamente a função a) f(x) = 2 cosec(x)
  • 14. Esta questão envolve trigonometria e outros conceitos de mecânica dos sólidos