1. Trigonometria
PROFESSORA: MARLEIDE COAN CARDOSO
Apostila 4

2. Trigonometria
Texto extraído do site
http://www.infoescola.com/matematica/trigonometria/
Autor Prof. Ailton Feitosa.
A trigonometria, palavra formada por três radicais gregos: tri (três), gonos (ângulos) e metron
(medir), têm por objetivo o cálculo das medidas dos lados e ângulos de um triângulo.
Medir distâncias é uma necessidade antiga da humanidade, facilmente atendida no caso de envolver
pontos próximos. Basta verificar quantas vezes uma dada unidade de medida está contida no
comprimento a ser medido. Este é o princípio dos instrumentos mais comuns para medir
comprimentos: réguas, fitas métricas, trenas, etc.
Por que estudar Trigonometria?
Há situações, em que se deseja efetuar medidas envolvendo objetos que não são diretamente
acessíveis. Atualmente, a trigonometria não se limita apenas a estudar os triângulos. Sua aplicação se
estende a outros campos da Matemática, como análise, e a outros campos da atividade humana, como
a Eletricidade, a Mecânica, a Acústica, a Música, a Topologia, a Engenharia Civil etc.
Observem algumas situações:
a. Você já parou para imaginar como os navegadores da antiguidade faziam para calcular a que
distância da terra eles encontravam-se enquanto navegavam?
b. Seria impossível medir a distância da Terra à Lua, porém com a trigonometria se torna
simples.
c. Um engenheiro precisa saber a largura de um rio para construir uma ponte, o trabalho dele é
mais fácil quando ele usa dos recursos trigonométricos.
d. Um cartógrafo (desenhista de mapas) precisa saber a altura de uma montanha, o comprimento
de um rio, etc. Sem a trigonometria ele demoraria anos para desenhar um mapa.
Astrolábio (no passado) Teodolito (no presente)
Um dos mais antigos instrumentos
Instrumento geodésico, que serve para
científicos, que teria surgido no século III
levantar plantas, medir ângulos reduzidos
a.C. A sua invenção é atribuída ao
ao horizonte e distâncias.
matemático e astrônomo grego Hiparco.

3. Relembrando as relações métricas no triângulo retângulo
Fórmulas necessárias
a2  b2  c2
a.h  bc
h ²  m.n
c ²  a.m
b ²  a.n
As Razões trigonométricas no triângulo retângulo.
Características do triângulo retângulo e nome dos lados.

4. Tabela de valores seno cosseno e tangente dos ângulos fundamentais

5. Relações trigonométricas no triângulo qualquer
Fórmula fundamental da trigonometria
Sen²(x) + cos²(x) = 1
Exercícios
Em cada caso resolva o que se pede aplicando os conceitos de trigonometria.

6. 2)
3)
4) Calcule o valor de x em cada um dos casos.
a) b)

7. 5) Determine o valor de x em cada caso
c)
d) e)
6) Dois ciclistas partem do ponto P, no mesmo instante, segundo as direções indicadas na figura
abaixo. A velocidade média de um é 15 km/h e a do outro é de 20km/h. após 4 horas, eles
estão em pontos A e B, respectivamente.
Nesse instante qual a distância entre eles?
7) Uma rampa lisa, de 20m de comprimento, forma um ângulo de 30° com o plano
horizontal. Uma pessoa que sobe essa rampa inteira eleva-se horizontalmente de:
a) ( ) 17m b) ( ) 10m c) ( ) 15 m d) ( ) 5 m e) ( ) 8m

8. Funções trigonométricas
As funções trigonométricas são representadas a partir dos valores dos ângulos
notáveis em radianos. Observe o gráfico abaixo e seus respectivos valores.
1) A função seno
y f(x)=sin(x)
9
8
7
6
5
4
3
2
1
x
-3π -5π/2 -2π -3π/2 -π -π/2 π/2 π 3π/2 2π 5π/2 3π
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
Pelo gráfico pode-se observar que:
Domínio = R
Imagem [-1,1]
Período onde a função passa a repetir 2 
Tem intervalos crescentes e decrescentes.
Exemplo: Represente graficamente a função
a) f(x) = 2 sen(x)

9. 2) A função cosseno
Observe agora que
y f(x)=cos(x)
9
8
7
6
5
4
3
2
1
x
-3π -5π/2 -2π -3π/2 -π -π/2 π/2 π 3π/2 2π 5π/2 3π
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
D=R
Imagem [-1,1]
Período onde a função passa a repetir 2 
Tem intervalos crescentes e decrescentes.
A função é positiva onde fica acima do eixo x e negativa quando fica abaixo do eixo
x.
Exemplo: Represente graficamente a função
a) f(x) = 2 cos(x)

10. 3) A função tangente
Agora veja como se comporta a Tangente
Como ela é a razão entre seno e cosseno, ela não é definida para cos(x) = 0
y f(x)=sin(x)/cos(x)
9
8
7
6
5
4
3
2
1
x
-3π -5π/2 -2π -3π/2 -π -π/2 π/2 π 3π/2 2π 5π/2 3π
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9

D = { xR / x   k e k  Z }
2
Imagem = R
Período onde a função passa a repetir 
È uma função crescente
A função é positiva onde fica acima do eixo x e negativa quando fica abaixo do eixo
x.
Exemplo: Represente graficamente a função
a) f(x) = 2 tg(x)

11. 4) A função cotangente
Agora analisamos a cotangente
A função cotangente corresponde a cos(x) / sen(x) não sendo definida para os
pontos em que o seno se anula.
y f(x)=cos(x)/sin(x)
9
8
7
6
5
4
3
2
1
x
-3π -5π/2 -2π -3π/2 -π -π/2 π/2 π 3π/2 2π 5π/2 3π
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
D = { x  R / x    k e k  Z}
Imagem = R
Período onde a função passa a repetir 
È uma função decrescente
A função é positiva onde fica acima do eixo x e negativa quando fica abaixo do eixo
x.
Exemplo: Represente graficamente a função
a) f(x) = 2 cotg(x)

12. 3) A função secante
Agora vamos observar como se comporta o gráfico da secante
Como esta função é f(x) = 1/ cos(x) então temos que esta não é definida para os
valores que anulam o cosseno
y f(x)=1/cos(x)
9
8
7
6
5
4
3
2
1
x
-3π -5π/2 -2π -3π/2 -π -π/2 π/2 π 3π/2 2π 5π/2 3π
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9

D = { xR / x   k e k  Z }
2
Imagem = ]-∞, -1] U[1,+∞[
Período onde a função passa a repetir 2 
Tem intervalos crescentes e decrescentes
A função é positiva onde fica acima do eixo x e negativa quando fica abaixo do eixo
x.
Exemplo: Represente graficamente a função
a) f(x) = 2 sec(x)

13. 4) A função cossecante
Finalmente vamos analisar a função cossecante
Como esta função é f(x) = 1/ sen(x) então temos que esta não é definida para os
valores que anulam o seno
y f(x)=1/sin(x)
9
8
7
6
5
4
3
2
1
x
-3π -5π/2 -2π -3π/2 -π -π/2 π/2 π 3π/2 2π 5π/2 3π
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
D = { x  R / x    k e k  Z}
Imagem = ]-∞, -1] U[1,+∞[
Período onde a função passa a repetir 2 
Tem intervalos crescentes e decrescentes
A função é positiva onde fica acima do eixo x e negativa quando fica abaixo do eixo
x.
Exemplo: Represente graficamente a função
a) f(x) = 2 cosec(x)

14. Esta questão envolve trigonometria e outros conceitos de mecânica dos sólidos