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Matemática 1                                                 Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL


     Exercícios resolvidos. Funções trigonométricas e as suas inversas.
       Definição. A função f (x) de domínio D f diz-se periódica com o valor do
período mínimo positivo T se:
              a) ∀x ∈ D f tem-se x ± T ∈ D f ;
            b) f ( x ± T ) = f ( x) .
Nota. O domínio de uma função periódica é um conjunto ilimitado à esquerda e à
direita.

1) Determinar, caso existem, os valores dos períodos mínimos positivos das funções.

1.1) f ( x) = sen(4 x − 1) .
       A função f ( x) = sen(4 x − 1) é f (u ) = senu de domínio R composta com a
função u = 4 x − 1 de domínio R e contradomínio R . Portanto D f = R .
        Seja T > 0 .
        Porque D f = R resulta que ∀x ∈ D f tem-se x ± T ∈ D f .
 f ( x ± T ) = sen(4 ⋅ ( x ± T ) − 1) = sen(4 ⋅ x ± 4 ⋅ T − 1) = sen((4 ⋅ x − 1) ± 4 ⋅ T ) = (∗)
Substituindo 4 ⋅ x − 1 = α na continuação temos :
(∗) = sen(α ± 4 ⋅ T ) = (∗ ∗)
Porque o valor do período mínimo positivo da função seno é 2π e ∀α ∈ R tem-se
                                                                     2π π                        π
sen(α ± 2π ) = senα fazendo ± 4T = ±2π obtemos T =                        = . Portanto T =         éo
                                                                      4      2                   2
valor mínimo positivo que verifica a relação ± 4T = ±2π é portanto é o período
                                                      π
mínimo positivo da função. Substituindo T =               na continuação temos:
                                                      2
(∗ ∗) = sen  α ± 4 ⋅ π  = sen(α ± 2π ) = senα = sen(4 x − 1) .
                       
                  2
Portanto foi provado que para a função f ( x) = sen(4 x − 1) de domínio R tem-se:
                                                 π
                  a) ∀x ∈ D f = R tem-se x ±          ∈ Df = R ;
                                                  2
                             π
                  b)   f  x ±  = f ( x) ,
                             2
              π
isto é, T =       é o período mínimo positivo da função.
              2




                                                                                                   1
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1.2) f ( x) = cos (π ⋅ x − 1) .
       A função f ( x) = cos (π ⋅ x − 1) é f (u ) = cos u de domínio R composta com a
função u = π ⋅ x − 1 de domínio R e contradomínio R . Portanto D f = R .
        Seja T > 0 .
        Porque D f = R resulta que ∀x ∈ D f tem-se x ± T ∈ D f .
 f ( x ± T ) = cos (π ⋅ ( x ± T ) − 1) = cos (π ⋅ x ± π ⋅ T − 1) = cos ((π ⋅ x − 1) ± π ⋅ T ) = (∗)
Substituindo π ⋅ x − 1 = α na continuação temos :
(∗) = cos (α ± π ⋅ T ) = (∗ ∗)
Porque o valor do período mínimo positivo da função cosseno é 2π e ∀α ∈ R tem-se
cos (α ± 2π ) = cos α fazendo ± π ⋅ T = ±2π obtemos T = 2 . Portanto T = 2 é o valor
mínimo positivo que verifica a relação ± π ⋅ T = ±2π é portanto é o período mínimo
positivo da função. Substituindo T = 2 na continuação temos:
(∗ ∗) = cos (α ± π ⋅ 2) = cos α = cos (π ⋅ x − 1) .
Portanto foi provado que para a função f ( x) = cos (π ⋅ x − 1) de domínio R tem-se:
                  a) ∀x ∈ D f = R tem-se x ± 2 ∈ D f = R ;
               b) f ( x ± 2) = f ( x) ,
isto é, T = 2 é o período mínimo positivo da função.




1.3) f ( x) = c os ( 2 ⋅ x − 1) .
        A função f ( x) = c os ( 2 ⋅ x − 1) é f (u ) = cos u de domínio R composta com a
função u = 2 ⋅ x − 1 de domínio R e contradomínio R . Portanto D f = R .
        Seja T > 0 .
        Porque D f = R resulta que ∀x ∈ D f tem-se x ± T ∈ D f .
f ( x ± T ) = cos ( 2 ⋅ ( x ± T ) − 1) = cos ( 2 ⋅ x ± 2 ⋅ T − 1) = c os (( 2 ⋅ x − 1) ± 2 ⋅ T ) = (∗)
Substituindo 2 ⋅ x − 1 = α na continuação temos :
(∗) = cos (α ± 2 ⋅ T ) = (∗ ∗)
Porque o valor do período mínimo positivo da função cosseno é 2π e ∀α ∈ R tem-se
                                                             2π
cos (α ± 2π ) = cos α fazendo ± 2 ⋅ T = ±2π obtemos T =         = 2π . Portanto
                                                              2




                                                                                                   2
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T = 2π é o valor mínimo positivo que verifica a relação ± 2 ⋅ T = ±2π é portanto é
o período mínimo positivo da função. Substituindo T = 2π na continuação temos:
(∗ ∗) = cos (α ± 2 ⋅ 2 ⋅ π ) = cos (α ± 2 ⋅ π ) = cos α = cos ( 2 ⋅ x − 1) .
Portanto foi provado que para a função f ( x) = c os ( 2 ⋅ x − 1) de domínio R tem-se:
                a) ∀x ∈ D f = R tem-se x ± 2 ⋅ π ∈ D f ;
                b)      (            )
                      f x ± 2 ⋅ π = f ( x) ,
isto é, T = 2 ⋅ π é o período mínimo positivo da função.




1.4) f ( x) = tg (5 ⋅ x + 4) .
       O domínio da função f ( x) = tg (5 ⋅ x + 4) é
                                                                             π                  
 D f = R  { x ∈ R : cos (5 x + 4) = 0 } = R   x ∈ R : 5 x + 4 = + k ⋅ π , k ∈ Z  =
                                                                              2                 
                           π 4          π                   π 4            π π 4                π 
= R   x∈R: x =               − + k ⋅ , k ∈ Z  = U  − + k ⋅ , − + (k + 1) ⋅  .
                          10 5          5              k∈Z  10 5            5 10 5              5
          Seja T > 0 .
 f ( x ± T ) = tg (5 ⋅ ( x ± T ) + 4) = tg (5 ⋅ x ± 5 ⋅ T + 4) = tg ((5 ⋅ x + 4) ± 5 ⋅ T ) = (∗)
Substituindo 5 ⋅ x + 4 = α na continuação temos :
(∗) = tg (α ± 5 ⋅ T ) .
Porque o valor do período mínimo positivo da função tangente é π e para qualquer α
do domínio da função tangente tem-se tg (α ± π ) = tg α fazendo ± 5 ⋅ T = ±π obtemos
     π                      π
T=       . Portanto T =         é o valor mínimo positivo que verifica a relação ± 5 ⋅ T = ± π .
     5                      5
            π
Com T =         tem-se:
            5
                           π 4         π                                π
 x ∈ Df = R   x ∈ R : x =   − +k⋅ , k∈N  ⇒                        x±       ∈ Df .
                           10 5        5                                5
       π 4         π π 4               π 
Se x ∈  − + k ⋅ ,         − + (k + 1) ⋅  então
        10 5       5 10 5               5




                                                                                                    3
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                                 π  π 4           π π 4    π 
                            x−    ∈  − + (k − 1) ⋅ ,  − +k⋅ 
                                 5  10 5          5 10 5   5
e
                            π
                         π 4           π π 4               π 
                       x+
                       ∈  − + (k + 1) ⋅ ,   − + ( k + 2) ⋅  .
                     5  10 5           5 10 5               5
        Portanto foi provado que para a função f ( x) = tg (5 ⋅ x + 4) de domínio
                      π 4      π             π 4     π π 4           π 
Df = R   x ∈ R : x =   − + k ⋅ , k ∈ Z  = U  − + k ⋅ , − + (k + 1) ⋅ 
                      10 5     5         k∈Z  10 5   5 10 5          5
tem-se:
                                              π
                  a) ∀x ∈ D f tem-se x ±          ∈ Df ;
                                              5
                             π
                  b)   f  x ±  = f ( x) ,
                             5
              π
isto é, T =       é o período mínimo positivo da função.
              5




1.5) f ( x) = sen (3 2 ⋅ x + 4) .
        A função f ( x) = sen (3 2 ⋅ x + 4) é f (u ) = sen u de domínio R composta com
a função u = 3 2 ⋅ x + 4 de domínio R e contradomínio R . Portanto D f = R .
        Seja T > 0 .
        Porque D f = R resulta que ∀x ∈ D f tem-se x ± T ∈ D f .
f ( x ± T ) = sen (3 2 ⋅ ( x ± T ) + 4) = sen (3 2 ⋅ x ± 3 2 ⋅ T + 4) = sen ((3 2 ⋅ x + 4) ± 3 2 ⋅ T ) = (∗)
Substituindo 3 2 ⋅ x + 4 = α na continuação temos :


                                                                                                4
Matemática 1                                            Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL


(∗) = sen (α ± 3  2 ⋅ T ) = (∗ ∗)
Porque o valor do período mínimo positivo da função seno é 2π e ∀α ∈ R tem-se
                                                                   2π      2π
sen (α ± 2π ) = sen α fazendo ± 3 2 ⋅ T = ±2π obtemos T =              =      . Portanto
                                                                  3 2      3
       2π
T=          é o valor mínimo positivo que verifica a relação ± 3 2 ⋅ T = ±2π é portanto
       3
                                                             2π
é o período mínimo positivo da função. Substituindo T =           na continuação temos:
                                                             3

                                                                              (          )
(∗ ∗) = sen (α ± 3 2 ⋅ T ) = sen (α ± 3 2 ⋅ 2π ) = sen (α ± 2π ) = senα = sen 3 2 ⋅ x + 4 .
                                            3
Portanto foi provado que para a função f ( x) = sen (3 2 ⋅ x + 4) de domínio R tem-se:
                                                2π
                 a) ∀x ∈ D f = R tem-se x ±        = Df ;
                                                3
                           2π 
                 b)   f x±
                        
                                = f ( x) ,
                           3 
                2π
isto é, T =        é o período mínimo positivo da função.
                3




1.6) f ( x) = sen(4 x − 1) − tg (5 ⋅ x + 4) .

D f = Dsen I Dtg .
Dsen = R (exemplo 1.1)
e
                       π 4      π        
Dtg = R   x ∈ R : x =   − + k ⋅ , k ∈ Z  (exemplo 1.4).
                       10 5     5        

Portanto o domínio da função f ( x) = sen(4 x − 1) − tg (5 ⋅ x + 4) é
                           π 4    π                  
Df = R I  R   x ∈ R : x =
                              − +k⋅ , k ∈Z             =
                                                        
                           10 5   5                  


                                                                                         5
Matemática 1                                                          Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL


                     π 4          π                π 4          π π 4             π 
= R   x∈R: x =          − + k ⋅ , k ∈ Z  = U  − + k ⋅ , − + (k + 1) ⋅  .
                     10 5         5           k∈Z  10 5         5 10 5             5
        A função f 1 ( x) = sen(4 x − 1) é periódica e o valor do período mínimo positivo
           π
é Tsen =      (exemplo 1.1).
           2
          A função f 2 ( x) = tg (5 ⋅ x + 4) é periódica e o valor do período mínimo positivo
          π
é Ttg =     (exemplo 1.4).
          5
          Levando em conta que para a função periódica f 1 ( x) = sen(4 x − 1)                          com o
                                                       π                                 π
valor do período mínimo positivo Tsen =                      tem-se que n ⋅ Tsen = n ⋅
                                                                        , n ∈ N , também
                                      2                               2
é período da função e para a função periódica f 2 ( x) = tg (5 ⋅ x + 4) com o valor do
                                             π                                    π
período mínimo positivo Ttg =                     tem-se que m ⋅ Tsen = m ⋅
                                                                         , m ∈ N , também é
                                          5                            5
período       da       função         concluímos       que     o    período     da    função
 f ( x) = sen(4 x − 1) − tg (5 ⋅ x + 4) , caso existe, Portanto o período mínimo positivo T f
da   função       f ( x) = sen(4 x − 1) − tg (5 ⋅ x + 4) ,          caso   existe,    verifica      a   relação
                       π                     π
T f = n ⋅ Tsen = n ⋅       = m ⋅ Ttg = m ⋅
                                     .
                    2             5
           Porque com n, m ∈ N a relação
                                                  π         2π
                                             n⋅       = m⋅       ⇔ n = m⋅
                                    2      5                5
se verifica para n = 2, m = 5 concluímos que a função f ( x) = sen(4 x − 1) − tg (5 ⋅ x + 4)
                                                                             π           π
é periódica e o valor do período mínimo positivo é T f = n ⋅                      =m⋅        =π .
                                                                              2          5




                                                                                                             6
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1.7) f ( x) = cos ( 2 ⋅ x − 1) + sen (3 2 ⋅ x + 4) .
D f = Dc os I Dsen .
Dc os = R (exemplo 1.3) e Dsen = R (exemplo 1.5).

Portanto o domínio da função f ( x) = cos ( 2 ⋅ x − 1) + sen (3 2 ⋅ x + 4) é D f = R .
Porque D f = R resulta que ∀x ∈ D f tem-se x ± T ∈ D f , ∀T > 0 .
        A função f 1 ( x) = c os ( 2 ⋅ x − 1) é periódica e o valor do período mínimo
positivo é Tc os = 2π (exemplo 1.3).
        A função f 2 ( x) = sen (3 2 ⋅ x + 4) é periódica e o valor do período mínimo
                     2π
positivo é Tsen =        (exemplo 1.5).
                     3
        Portanto        o      período             mínimo           positivo              Tf       da
função f ( x) = cos ( 2 ⋅ x − 1) + sen (3 2 ⋅ x + 4) ,    caso   existe,   verifica        a   relação
                                    2π
T f = n ⋅ Tc os = n ⋅ 2π = m ⋅ Tsen = m ⋅
                                       .
                                    3
        Porque com n, m ∈ N a relação
                                                       2π           m
                                    n ⋅ 2π = m ⋅            ⇔ n=
                                                       3            3
se       verifica      para        n = 1, m = 3          concluímos        que        a        função
f ( x) = cos ( 2 ⋅ x − 1) + sen (3 2 ⋅ x + 4) é periódica e o valor do período mínimo
                                   2π
positivo é T f = n ⋅ 2π = m ⋅         = 2π .
                                   3




                                                                                                    7
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1.8) f ( x) = cos (π ⋅ x − 1) + sen (3 2 ⋅ x + 4) .
D f = Dc os I Dsen .
Dc os = R (exemplo 1.2) e Dsen = R (exemplo 1.5).

Portanto o domínio da função f ( x) = cos (π ⋅ x − 1) + sen (3 2 ⋅ x + 4) é D f = R .
Porque D f = R resulta que ∀x ∈ D f tem-se x ± T ∈ D f , ∀T > 0 .
           A função f 1 ( x) = c os (π ⋅ x − 1) é periódica e o valor do período mínimo positivo
é Tc os   = 2 (exemplo 1.2).
              A função f 2 ( x) = sen (3 2 ⋅ x + 4) é periódica e o valor do período mínimo
                           2π
positivo é Tsen =              (exemplo 1.5).
                           3
              Portanto        o      período          mínimo        positivo          Tf       da
função f ( x) = cos ( 2 ⋅ x − 1) + sen (3 2 ⋅ x + 4) ,    caso   existe,   verifica    a   relação
                                              2π
T f = n ⋅ Tc os = n ⋅ 2 = m ⋅ Tsen = m ⋅         .
                                              3
              Porque
                                            2π               2π       π
                                   n⋅2 = m⋅       ⇔ n = m⋅      = m⋅
                                            3                6       3 2
e não existem n, m ∈ N                que verificam a relação concluímos que a função
 f ( x) = cos (π ⋅ x − 1) + sen (3 2 ⋅ x + 4) não é periódica.




1.9) f ( x) = cos x 2 .  ( )
                                     ( )
        A função f ( x) = cos x 2 é f (u ) = cos u de domínio R composta com a função
u = x 2 de domínio R e contradomínio R0+ . Portanto D f = R .
       Com T > 0 tem-se:
          2
                    (
cos (x ) = cos ( x ± T )
                         2
                               )
                           ⇔ cos (x 2 ) = c os (x 2 ± 2 xT + T 2 ) ⇔

     ( )            (      (
cos x 2 = cos x 2 ± 2 xT m T 2        ))   ⇔    (∗)

                                                                                                8
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Levando em conta que o período mínimo positivo da função cosseno é 2π tem-se:

                                                                − 2 x ± 4 x 2 ± 8π
2 xT m T 2 = 2π      ⇔ m T 2 + 2 xT − 2π = 0 ⇔ T =                                  .
                                                                        m2
Obtemos que T depende de x e portanto não existe T > 0 tal que ∀x ∈ R se verifica
               (         )
cos (x 2 ) = c os ( x ± T ) , isto é, a função f ( x) = cos (x 2 ) não é periódica.
                           2




2)    Calcular os valores das seguintes expressões que envolvem as funções
trigonométricas e as funções trigonométricas inversas:

                 37π 
2.1) arcsen  sen     .
                  6 
       Levando em conta que a função y = sen x tem o domínio Dsen = R e o
contradomínio CDsen = [ −1, 1 ] , e a função y = arcsen x tem o domínio
                                                          π π 
Darcsen = CDsen = [ −1, 1 ] e o contradomínio CDarcsen =  − ,  (a restrição principal
                                                          2 2
da função y = sen x ) resulta que
                                                              π π 
                     arcsen  sen x  = x , se e só se x ∈  − ,  .
                                   
                                                            2 2
Na base da periodicidade da função y = sen x tem-se sen(α + 2kπ ) = senα , ∀ α ∈ R e
∀k ∈ Z .
       Então temos:
            37π                 36π π                        π 
arcsen  sen      = arcsen  sen 
                                         +   = arcsen  sen  6π +   =
                                                        
             6                  6       6                    6 
                                                                        
                                π π
                   = arcsen  sen  = .
                                6 6



                                                                                     9
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                  45π  
2.2) arcsen  sen  −
                           .
                     4  
Analogamente tem-se:
              45π                    40π 5π                              5π  
arcsen  sen  −
                       = arcsen  sen  −
                                               −      = arcsen  sen  − 10π −
                                                                                     =
                 4                       4    4                           4 
                5π                         π                 π π
= arcsen  sen  −
                        = arcsen  sen  − π −   = arcsen  sen  = .
                                                  
                4                          4                 4 4


                   43π 
2.3) arc cos  c os     .
                    6 
      Levando em conta que a função y = c os x tem o domínio Dc os = R e o
contradomínio      CDc os = [ −1, 1 ] ,   e   a   função      y = arccos x     tem     o   domínio
                                                                    
 Darcc os = CDc os = [ −1, 1 ] e o contradomínio CDarcc os =  0 , π  (a restrição principal da
                                                                    
função y = c os x ) resulta que
                                                                         
                        arccos  cos x  = x , se e só se x ∈  0 , π  .
                                        
                                                                       
Na base da periodicidade da função y = c os x tem-se cos (α + 2kπ ) = c osα , ∀ α ∈ R
e ∀k ∈ Z .
        Então temos:
              43π                   36π 7π                            7π  
arc cos  cos       = arc cos  c os 
                                          +        = arcc os  cos  6π +
                                                                                =
               6                    6      6                           6 
               7π                       5π                5π  
= arc cos  c os  = arc cos  cos  2π −
                                                 = arc cos  c os −
                                                                           =
                                                                             
                6                         6               6 
            5π       5π
= arc cos  c os
                     =
                           .
            6       6


                   28π     
2.4) arc cos  cos  −
                             .
                              
                   3       
Analogamente tem-se:

              28π                       28π                    24π 4π  
arc cos  cos  −
                        = arcc os  cos 
                                                  = arc cos  cos 
                                                                            +     =
                   3                    3                      3       3 
                                                                                    
                      4π                    4π                         2π  
= arc cos  c os  8π +
                             = arcc os  cos 
                                                      = arcc os  cos  2π −
                                                                                   =
                       3                    3                           3 
                 2π                      2π   2π
= arc cos  c os  −
                         = arc cos  c os 
                                                 =
                                                           .
                 3                       3  3




                                                                                               10
Matemática 1                                               Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL


                    11π  
2.5) arc sen  cos 
                           .
                            
                    3 
              11π                    12π π                      π 
arc sen  cos 
                     = arc sen  c os 
                                            −   = arc sen  cos  4π −   =
                                                             
              3                      3   3                      3 
                                                                             
                 π                   π                 π π 
= arc sen  c os  −   = arc sen  cos    = arc sen  sen  −   =
                                                                 
                 3                   3                 2 3 
                 π  π
= arc sen  sen    = .
                     
                 6  6

                     29π  
2.6) arc cos  sen  −
                               .
                          9 
              29π                       36π 7π                              7π   
arc cos  sen  −
                         = arc cos  sen  −
                                               +        = arc cos  sen  − 4π +
                                                                                          =
                                                                                            
                  9                     9      9                             9   
                 7π                   π 5π                   5π   5π
= arc cos  sen 
                       = arc cos  sen  +
                                                 = arccos  c os    =
                                                                                 .
                 9                    2 18                   18   18

                  1 
2.7) tg  arc cos 
                      .
                       
                   3 
                                                 senα
        Levando em conta que tgα =                          e que com         − 1 ≤ c ≤ 1 tem-se
                                                 c osα
cos (arcc os (c )) = c obtemos
                                     1                 1 
                       sen  arcc os 
                                         sen  arcc os 
                                                           
                                                               
             1                   3                 3 
    arc cos 
tg             
                  =                       =                     = (∗)
             3                   1            1
                       cos  arcc os 
                                       
                                         
                                     3              3
                1 
Seja arc cos       = α com α ∈ [ 0 , π ] (na base da definição da função y = arcc os x ).
                    
                3
Levando em conta que sen 2α + cos 2α = 1 ⇔ senα = ± 1 − c os 2α e com
α ∈ [ 0, π   ]   tem-se
                                                                                     2
                                     1                       1 
senα = 1 − cos α = 1 − cos  arc cos 
                         2
                           
                                  2
                                          = 1 −  cos arcc os 
                                                                   =
                                                                      
                                      3                        3 
                                                                      
                 2
       1             1    2     2
= 1−       = 1− =
                             =      .
       3             3    3     3
 na continuação temos
                   1                2
     sen  arcc os 
                     
                       
                    3   sen (α )
(∗) =                    =         =
                                        3
                                          = 2.
              1               1        1
                     3                3     3


                                                                                                  11
Matemática 1                                                       Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL


             41π                        25π   
2.8) arctg  tg 
                            + tg  arctg 
                                                   .
                                                     
             6                          6     

                       Na base da definição da função y = arctg x tem-se:
                                      π π 
             arctg (tg x ) = x, ∀x ∈  − ,  e tg (arctg x ) = x, ∀x ∈ R .
                                      2 2


Portanto temos:
        41π                 25π
                                              42π π   25π
arctg  tg 
                + tg  arctg 
                                  = arctg  tg 
                                                     −  +    =
        6                   6
                                              6      6 
                                                             6
                 π   25π            π   25π        π 25π
= arctg  tg  7π −   +
                           = arctg  tg  −   +
                                                      =− +     = 4π .
                 6    6             6        6      6 6


              41π                           25π       
2.9) arcctg  ctg 
                              + ctg  arcctg 
                                                           .
                                                             
              6                             6         

                      Na base da definição da função y = arcctg x tem-se:
             arcctg (ctg x ) = x, ∀x ∈ ] 0 , π [ e ctg (arcctg x ) = x, ∀x ∈ R .


Portanto temos:
         41π                      25π              36π 5π   25π
arcctg  ctg 
                    + ctg  arcctg 
                                            = arcctg  ctg 
                                                                  +     +    =
         6                        6                6         6    6
                     5π   25π                 5π   25π 5π 25π 30π
= arcctg  ctg  6π +
                           +
                                     = arcctg  ctg    +
                                                                 =     +     =   = 5π .
                      6       6               6          6    6      6   6

              41π                          25π       
2.10) arctg  ctg 
                              + ctg  arctg 
                                                          .
                                                            
              6                            6         

        41π                42π π                     π            π 
arctg  ctg 
                  = arctg  ctg 
                                   −   = arctg  ctg  7π −   = arctg  ctg  −   =
                                                                                    
        6                  6    6                    6            6 
           π         π
= arctg  tg  −   = − .
                  
           3         3

            25π                 1                   1   6
ctg  arctg 
                    =
                                                  =      =    .
            6                     25π          25π 25π
                           tg  arctg 
                                             
                                               
                                      6             6
Portanto
        41π                       25π       π  6    − 25π 2 + 18
arctg  ctg 
                     + ctg  arctg 
                                             = − +
                                                         =              .
        6                         6         3 25π       75π


                                                                                                 12
Matemática 1                                                    Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL


               41π                         25π     
2.11) arcctg  tg 
                              + tg  arcctg 
                                                        .
                                                          
               6                           6       

         41π                 42π π               π                      π 
arcctg  tg 
                   = arcctg  tg 
                                      −   = arcctg  tg  −   = arcctg  − tg    =
                                                                                     
         6                   6     6             6                      6 
                 π π                   π             π 
= arcctg  − ctg  −   = arcctg  − ctg    = arcctg  ctg  −   =
                                                                  
                 2 6                   3             3 
           π                      2π                 2π
= arcctg  ctg  − + π   = arcctg  ctg 
                                                       =
                                                               .
           3                      3                 3

            25π                  1                    1   6
tg  arcctg 
                    =
                                                    =      =    .
            6                       25π          25π 25π
                           ctg  arcctg 
                                               
                                                 
                                        6             6
Portanto
         41π                      25π     2π   6   50π 2 + 18
arcctg  tg 
                     + tg  arcctg 
                                            =   +   =            .
         6                        6       3 25π      75π




                                                                                              13

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Exercícios resolvidos matematica 01

  • 1. Matemática 1 Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL Exercícios resolvidos. Funções trigonométricas e as suas inversas. Definição. A função f (x) de domínio D f diz-se periódica com o valor do período mínimo positivo T se: a) ∀x ∈ D f tem-se x ± T ∈ D f ; b) f ( x ± T ) = f ( x) . Nota. O domínio de uma função periódica é um conjunto ilimitado à esquerda e à direita. 1) Determinar, caso existem, os valores dos períodos mínimos positivos das funções. 1.1) f ( x) = sen(4 x − 1) . A função f ( x) = sen(4 x − 1) é f (u ) = senu de domínio R composta com a função u = 4 x − 1 de domínio R e contradomínio R . Portanto D f = R . Seja T > 0 . Porque D f = R resulta que ∀x ∈ D f tem-se x ± T ∈ D f . f ( x ± T ) = sen(4 ⋅ ( x ± T ) − 1) = sen(4 ⋅ x ± 4 ⋅ T − 1) = sen((4 ⋅ x − 1) ± 4 ⋅ T ) = (∗) Substituindo 4 ⋅ x − 1 = α na continuação temos : (∗) = sen(α ± 4 ⋅ T ) = (∗ ∗) Porque o valor do período mínimo positivo da função seno é 2π e ∀α ∈ R tem-se 2π π π sen(α ± 2π ) = senα fazendo ± 4T = ±2π obtemos T = = . Portanto T = éo 4 2 2 valor mínimo positivo que verifica a relação ± 4T = ±2π é portanto é o período π mínimo positivo da função. Substituindo T = na continuação temos: 2 (∗ ∗) = sen  α ± 4 ⋅ π  = sen(α ± 2π ) = senα = sen(4 x − 1) .    2 Portanto foi provado que para a função f ( x) = sen(4 x − 1) de domínio R tem-se: π a) ∀x ∈ D f = R tem-se x ± ∈ Df = R ; 2  π b) f  x ±  = f ( x) ,  2 π isto é, T = é o período mínimo positivo da função. 2 1
  • 2. Matemática 1 Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL 1.2) f ( x) = cos (π ⋅ x − 1) . A função f ( x) = cos (π ⋅ x − 1) é f (u ) = cos u de domínio R composta com a função u = π ⋅ x − 1 de domínio R e contradomínio R . Portanto D f = R . Seja T > 0 . Porque D f = R resulta que ∀x ∈ D f tem-se x ± T ∈ D f . f ( x ± T ) = cos (π ⋅ ( x ± T ) − 1) = cos (π ⋅ x ± π ⋅ T − 1) = cos ((π ⋅ x − 1) ± π ⋅ T ) = (∗) Substituindo π ⋅ x − 1 = α na continuação temos : (∗) = cos (α ± π ⋅ T ) = (∗ ∗) Porque o valor do período mínimo positivo da função cosseno é 2π e ∀α ∈ R tem-se cos (α ± 2π ) = cos α fazendo ± π ⋅ T = ±2π obtemos T = 2 . Portanto T = 2 é o valor mínimo positivo que verifica a relação ± π ⋅ T = ±2π é portanto é o período mínimo positivo da função. Substituindo T = 2 na continuação temos: (∗ ∗) = cos (α ± π ⋅ 2) = cos α = cos (π ⋅ x − 1) . Portanto foi provado que para a função f ( x) = cos (π ⋅ x − 1) de domínio R tem-se: a) ∀x ∈ D f = R tem-se x ± 2 ∈ D f = R ; b) f ( x ± 2) = f ( x) , isto é, T = 2 é o período mínimo positivo da função. 1.3) f ( x) = c os ( 2 ⋅ x − 1) . A função f ( x) = c os ( 2 ⋅ x − 1) é f (u ) = cos u de domínio R composta com a função u = 2 ⋅ x − 1 de domínio R e contradomínio R . Portanto D f = R . Seja T > 0 . Porque D f = R resulta que ∀x ∈ D f tem-se x ± T ∈ D f . f ( x ± T ) = cos ( 2 ⋅ ( x ± T ) − 1) = cos ( 2 ⋅ x ± 2 ⋅ T − 1) = c os (( 2 ⋅ x − 1) ± 2 ⋅ T ) = (∗) Substituindo 2 ⋅ x − 1 = α na continuação temos : (∗) = cos (α ± 2 ⋅ T ) = (∗ ∗) Porque o valor do período mínimo positivo da função cosseno é 2π e ∀α ∈ R tem-se 2π cos (α ± 2π ) = cos α fazendo ± 2 ⋅ T = ±2π obtemos T = = 2π . Portanto 2 2
  • 3. Matemática 1 Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL T = 2π é o valor mínimo positivo que verifica a relação ± 2 ⋅ T = ±2π é portanto é o período mínimo positivo da função. Substituindo T = 2π na continuação temos: (∗ ∗) = cos (α ± 2 ⋅ 2 ⋅ π ) = cos (α ± 2 ⋅ π ) = cos α = cos ( 2 ⋅ x − 1) . Portanto foi provado que para a função f ( x) = c os ( 2 ⋅ x − 1) de domínio R tem-se: a) ∀x ∈ D f = R tem-se x ± 2 ⋅ π ∈ D f ; b) ( ) f x ± 2 ⋅ π = f ( x) , isto é, T = 2 ⋅ π é o período mínimo positivo da função. 1.4) f ( x) = tg (5 ⋅ x + 4) . O domínio da função f ( x) = tg (5 ⋅ x + 4) é  π  D f = R { x ∈ R : cos (5 x + 4) = 0 } = R  x ∈ R : 5 x + 4 = + k ⋅ π , k ∈ Z  =  2   π 4 π  π 4 π π 4 π  = R  x∈R: x = − + k ⋅ , k ∈ Z  = U  − + k ⋅ , − + (k + 1) ⋅  .  10 5 5  k∈Z  10 5 5 10 5 5 Seja T > 0 . f ( x ± T ) = tg (5 ⋅ ( x ± T ) + 4) = tg (5 ⋅ x ± 5 ⋅ T + 4) = tg ((5 ⋅ x + 4) ± 5 ⋅ T ) = (∗) Substituindo 5 ⋅ x + 4 = α na continuação temos : (∗) = tg (α ± 5 ⋅ T ) . Porque o valor do período mínimo positivo da função tangente é π e para qualquer α do domínio da função tangente tem-se tg (α ± π ) = tg α fazendo ± 5 ⋅ T = ±π obtemos π π T= . Portanto T = é o valor mínimo positivo que verifica a relação ± 5 ⋅ T = ± π . 5 5 π Com T = tem-se: 5  π 4 π  π x ∈ Df = R  x ∈ R : x = − +k⋅ , k∈N  ⇒ x± ∈ Df .  10 5 5  5 π 4 π π 4 π  Se x ∈  − + k ⋅ , − + (k + 1) ⋅  então  10 5 5 10 5 5 3
  • 4. Matemática 1 Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL π π 4 π π 4 π  x− ∈  − + (k − 1) ⋅ , − +k⋅  5  10 5 5 10 5 5 e π π 4 π π 4 π  x+ ∈  − + (k + 1) ⋅ , − + ( k + 2) ⋅  . 5  10 5 5 10 5 5 Portanto foi provado que para a função f ( x) = tg (5 ⋅ x + 4) de domínio  π 4 π  π 4 π π 4 π  Df = R  x ∈ R : x = − + k ⋅ , k ∈ Z  = U  − + k ⋅ , − + (k + 1) ⋅   10 5 5  k∈Z  10 5 5 10 5 5 tem-se: π a) ∀x ∈ D f tem-se x ± ∈ Df ; 5  π b) f  x ±  = f ( x) ,  5 π isto é, T = é o período mínimo positivo da função. 5 1.5) f ( x) = sen (3 2 ⋅ x + 4) . A função f ( x) = sen (3 2 ⋅ x + 4) é f (u ) = sen u de domínio R composta com a função u = 3 2 ⋅ x + 4 de domínio R e contradomínio R . Portanto D f = R . Seja T > 0 . Porque D f = R resulta que ∀x ∈ D f tem-se x ± T ∈ D f . f ( x ± T ) = sen (3 2 ⋅ ( x ± T ) + 4) = sen (3 2 ⋅ x ± 3 2 ⋅ T + 4) = sen ((3 2 ⋅ x + 4) ± 3 2 ⋅ T ) = (∗) Substituindo 3 2 ⋅ x + 4 = α na continuação temos : 4
  • 5. Matemática 1 Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL (∗) = sen (α ± 3 2 ⋅ T ) = (∗ ∗) Porque o valor do período mínimo positivo da função seno é 2π e ∀α ∈ R tem-se 2π 2π sen (α ± 2π ) = sen α fazendo ± 3 2 ⋅ T = ±2π obtemos T = = . Portanto 3 2 3 2π T= é o valor mínimo positivo que verifica a relação ± 3 2 ⋅ T = ±2π é portanto 3 2π é o período mínimo positivo da função. Substituindo T = na continuação temos: 3 ( ) (∗ ∗) = sen (α ± 3 2 ⋅ T ) = sen (α ± 3 2 ⋅ 2π ) = sen (α ± 2π ) = senα = sen 3 2 ⋅ x + 4 . 3 Portanto foi provado que para a função f ( x) = sen (3 2 ⋅ x + 4) de domínio R tem-se: 2π a) ∀x ∈ D f = R tem-se x ± = Df ; 3  2π  b) f x±   = f ( x) ,  3  2π isto é, T = é o período mínimo positivo da função. 3 1.6) f ( x) = sen(4 x − 1) − tg (5 ⋅ x + 4) . D f = Dsen I Dtg . Dsen = R (exemplo 1.1) e  π 4 π  Dtg = R  x ∈ R : x = − + k ⋅ , k ∈ Z  (exemplo 1.4).  10 5 5  Portanto o domínio da função f ( x) = sen(4 x − 1) − tg (5 ⋅ x + 4) é   π 4 π  Df = R I  R  x ∈ R : x =  − +k⋅ , k ∈Z  =    10 5 5  5
  • 6. Matemática 1 Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL  π 4 π  π 4 π π 4 π  = R  x∈R: x = − + k ⋅ , k ∈ Z  = U  − + k ⋅ , − + (k + 1) ⋅  .  10 5 5  k∈Z  10 5 5 10 5 5 A função f 1 ( x) = sen(4 x − 1) é periódica e o valor do período mínimo positivo π é Tsen = (exemplo 1.1). 2 A função f 2 ( x) = tg (5 ⋅ x + 4) é periódica e o valor do período mínimo positivo π é Ttg = (exemplo 1.4). 5 Levando em conta que para a função periódica f 1 ( x) = sen(4 x − 1) com o π π valor do período mínimo positivo Tsen = tem-se que n ⋅ Tsen = n ⋅ , n ∈ N , também 2 2 é período da função e para a função periódica f 2 ( x) = tg (5 ⋅ x + 4) com o valor do π π período mínimo positivo Ttg = tem-se que m ⋅ Tsen = m ⋅ , m ∈ N , também é 5 5 período da função concluímos que o período da função f ( x) = sen(4 x − 1) − tg (5 ⋅ x + 4) , caso existe, Portanto o período mínimo positivo T f da função f ( x) = sen(4 x − 1) − tg (5 ⋅ x + 4) , caso existe, verifica a relação π π T f = n ⋅ Tsen = n ⋅ = m ⋅ Ttg = m ⋅ . 2 5 Porque com n, m ∈ N a relação π 2π n⋅ = m⋅ ⇔ n = m⋅ 2 5 5 se verifica para n = 2, m = 5 concluímos que a função f ( x) = sen(4 x − 1) − tg (5 ⋅ x + 4) π π é periódica e o valor do período mínimo positivo é T f = n ⋅ =m⋅ =π . 2 5 6
  • 7. Matemática 1 Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL 1.7) f ( x) = cos ( 2 ⋅ x − 1) + sen (3 2 ⋅ x + 4) . D f = Dc os I Dsen . Dc os = R (exemplo 1.3) e Dsen = R (exemplo 1.5). Portanto o domínio da função f ( x) = cos ( 2 ⋅ x − 1) + sen (3 2 ⋅ x + 4) é D f = R . Porque D f = R resulta que ∀x ∈ D f tem-se x ± T ∈ D f , ∀T > 0 . A função f 1 ( x) = c os ( 2 ⋅ x − 1) é periódica e o valor do período mínimo positivo é Tc os = 2π (exemplo 1.3). A função f 2 ( x) = sen (3 2 ⋅ x + 4) é periódica e o valor do período mínimo 2π positivo é Tsen = (exemplo 1.5). 3 Portanto o período mínimo positivo Tf da função f ( x) = cos ( 2 ⋅ x − 1) + sen (3 2 ⋅ x + 4) , caso existe, verifica a relação 2π T f = n ⋅ Tc os = n ⋅ 2π = m ⋅ Tsen = m ⋅ . 3 Porque com n, m ∈ N a relação 2π m n ⋅ 2π = m ⋅ ⇔ n= 3 3 se verifica para n = 1, m = 3 concluímos que a função f ( x) = cos ( 2 ⋅ x − 1) + sen (3 2 ⋅ x + 4) é periódica e o valor do período mínimo 2π positivo é T f = n ⋅ 2π = m ⋅ = 2π . 3 7
  • 8. Matemática 1 Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL 1.8) f ( x) = cos (π ⋅ x − 1) + sen (3 2 ⋅ x + 4) . D f = Dc os I Dsen . Dc os = R (exemplo 1.2) e Dsen = R (exemplo 1.5). Portanto o domínio da função f ( x) = cos (π ⋅ x − 1) + sen (3 2 ⋅ x + 4) é D f = R . Porque D f = R resulta que ∀x ∈ D f tem-se x ± T ∈ D f , ∀T > 0 . A função f 1 ( x) = c os (π ⋅ x − 1) é periódica e o valor do período mínimo positivo é Tc os = 2 (exemplo 1.2). A função f 2 ( x) = sen (3 2 ⋅ x + 4) é periódica e o valor do período mínimo 2π positivo é Tsen = (exemplo 1.5). 3 Portanto o período mínimo positivo Tf da função f ( x) = cos ( 2 ⋅ x − 1) + sen (3 2 ⋅ x + 4) , caso existe, verifica a relação 2π T f = n ⋅ Tc os = n ⋅ 2 = m ⋅ Tsen = m ⋅ . 3 Porque 2π 2π π n⋅2 = m⋅ ⇔ n = m⋅ = m⋅ 3 6 3 2 e não existem n, m ∈ N que verificam a relação concluímos que a função f ( x) = cos (π ⋅ x − 1) + sen (3 2 ⋅ x + 4) não é periódica. 1.9) f ( x) = cos x 2 . ( ) ( ) A função f ( x) = cos x 2 é f (u ) = cos u de domínio R composta com a função u = x 2 de domínio R e contradomínio R0+ . Portanto D f = R . Com T > 0 tem-se: 2 ( cos (x ) = cos ( x ± T ) 2 ) ⇔ cos (x 2 ) = c os (x 2 ± 2 xT + T 2 ) ⇔ ( ) ( ( cos x 2 = cos x 2 ± 2 xT m T 2 )) ⇔ (∗) 8
  • 9. Matemática 1 Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL Levando em conta que o período mínimo positivo da função cosseno é 2π tem-se: − 2 x ± 4 x 2 ± 8π 2 xT m T 2 = 2π ⇔ m T 2 + 2 xT − 2π = 0 ⇔ T = . m2 Obtemos que T depende de x e portanto não existe T > 0 tal que ∀x ∈ R se verifica ( ) cos (x 2 ) = c os ( x ± T ) , isto é, a função f ( x) = cos (x 2 ) não é periódica. 2 2) Calcular os valores das seguintes expressões que envolvem as funções trigonométricas e as funções trigonométricas inversas:  37π  2.1) arcsen  sen .  6  Levando em conta que a função y = sen x tem o domínio Dsen = R e o contradomínio CDsen = [ −1, 1 ] , e a função y = arcsen x tem o domínio  π π  Darcsen = CDsen = [ −1, 1 ] e o contradomínio CDarcsen =  − ,  (a restrição principal  2 2 da função y = sen x ) resulta que  π π  arcsen  sen x  = x , se e só se x ∈  − ,  .      2 2 Na base da periodicidade da função y = sen x tem-se sen(α + 2kπ ) = senα , ∀ α ∈ R e ∀k ∈ Z . Então temos:  37π    36π π     π  arcsen  sen  = arcsen  sen   +   = arcsen  sen  6π +   =    6    6 6    6    π π = arcsen  sen  = .  6 6 9
  • 10. Matemática 1 Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL   45π   2.2) arcsen  sen  −   .   4   Analogamente tem-se:   45π     40π 5π     5π   arcsen  sen  −    = arcsen  sen  −   −   = arcsen  sen  − 10π −    =   4    4 4    4    5π     π   π π = arcsen  sen  −    = arcsen  sen  − π −   = arcsen  sen  = .      4    4   4 4  43π  2.3) arc cos  c os .  6  Levando em conta que a função y = c os x tem o domínio Dc os = R e o contradomínio CDc os = [ −1, 1 ] , e a função y = arccos x tem o domínio   Darcc os = CDc os = [ −1, 1 ] e o contradomínio CDarcc os =  0 , π  (a restrição principal da   função y = c os x ) resulta que   arccos  cos x  = x , se e só se x ∈  0 , π  .       Na base da periodicidade da função y = c os x tem-se cos (α + 2kπ ) = c osα , ∀ α ∈ R e ∀k ∈ Z . Então temos:  43π    36π 7π     7π   arc cos  cos  = arc cos  c os   +   = arcc os  cos  6π +    =  6    6 6    6   7π    5π     5π   = arc cos  c os  = arc cos  cos  2π −    = arc cos  c os −    =   6    6    6    5π   5π = arc cos  c os   =  .   6  6   28π  2.4) arc cos  cos  −   .    3  Analogamente tem-se:   28π     28π     24π 4π   arc cos  cos  −    = arcc os  cos      = arc cos  cos    +  =   3    3    3 3     4π     4π     2π   = arc cos  c os  8π +    = arcc os  cos      = arcc os  cos  2π −    =   3    3    3    2π     2π   2π = arc cos  c os  −    = arc cos  c os     =  .   3    3  3 10
  • 11. Matemática 1 Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL   11π   2.5) arc sen  cos    .    3    11π     12π π     π  arc sen  cos     = arc sen  c os    −   = arc sen  cos  4π −   =     3    3 3    3     π    π    π π  = arc sen  c os  −   = arc sen  cos    = arc sen  sen  −   =         3    3    2 3    π  π = arc sen  sen    = .     6  6   29π   2.6) arc cos  sen  −   .   9    29π     36π 7π     7π  arc cos  sen  −    = arc cos  sen  −   +   = arc cos  sen  − 4π +    =    9    9 9    9    7π     π 5π     5π   5π = arc cos  sen     = arc cos  sen  +     = arccos  c os    =    .   9    2 18     18   18   1  2.7) tg  arc cos     .    3  senα Levando em conta que tgα = e que com − 1 ≤ c ≤ 1 tem-se c osα cos (arcc os (c )) = c obtemos   1    1  sen  arcc os      sen  arcc os         1    3    3   arc cos  tg     = = = (∗)   3    1  1 cos  arcc os        3  3  1  Seja arc cos    = α com α ∈ [ 0 , π ] (na base da definição da função y = arcc os x ).   3 Levando em conta que sen 2α + cos 2α = 1 ⇔ senα = ± 1 − c os 2α e com α ∈ [ 0, π ] tem-se 2   1     1  senα = 1 − cos α = 1 − cos  arc cos  2  2    = 1 −  cos arcc os      =   3    3      2  1  1 2 2 = 1−   = 1− =  = .  3 3 3 3 na continuação temos   1  2 sen  arcc os       3   sen (α ) (∗) =  = = 3 = 2. 1 1 1 3 3 3 11
  • 12. Matemática 1 Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL   41π    25π  2.8) arctg  tg     + tg  arctg     .    6    6  Na base da definição da função y = arctg x tem-se:  π π  arctg (tg x ) = x, ∀x ∈  − ,  e tg (arctg x ) = x, ∀x ∈ R .  2 2 Portanto temos:   41π     25π    42π π   25π arctg  tg     + tg  arctg      = arctg  tg    −  + =   6    6    6 6   6   π   25π   π   25π π 25π = arctg  tg  7π −   +   = arctg  tg  −   +   =− + = 4π .   6  6   6  6 6 6   41π    25π  2.9) arcctg  ctg     + ctg  arcctg     .    6    6  Na base da definição da função y = arcctg x tem-se: arcctg (ctg x ) = x, ∀x ∈ ] 0 , π [ e ctg (arcctg x ) = x, ∀x ∈ R . Portanto temos:   41π    25π     36π 5π   25π arcctg  ctg     + ctg  arcctg      = arcctg  ctg    +  + =   6    6    6 6  6   5π   25π   5π   25π 5π 25π 30π = arcctg  ctg  6π +   +  = arcctg  ctg    +   = + = = 5π .   6  6   6  6 6 6 6   41π    25π  2.10) arctg  ctg     + ctg  arctg     .    6    6    41π     42π π     π    π  arctg  ctg     = arctg  ctg    −   = arctg  ctg  7π −   = arctg  ctg  −   =        6    6 6    6    6    π  π = arctg  tg  −   = − .     3  3   25π  1 1 6 ctg  arctg    =  = = .   6    25π  25π 25π tg  arctg       6  6 Portanto   41π    25π  π 6 − 25π 2 + 18 arctg  ctg     + ctg  arctg     = − +  = .   6    6  3 25π 75π 12
  • 13. Matemática 1 Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL   41π    25π  2.11) arcctg  tg     + tg  arcctg     .    6    6    41π     42π π     π    π  arcctg  tg     = arcctg  tg    −   = arcctg  tg  −   = arcctg  − tg    =        6    6 6    6    6    π π    π    π  = arcctg  − ctg  −   = arcctg  − ctg    = arcctg  ctg  −   =         2 6    3    3    π    2π   2π = arcctg  ctg  − + π   = arcctg  ctg      =  .   3    3  3   25π  1 1 6 tg  arcctg    =  = = .   6    25π  25π 25π ctg  arcctg       6  6 Portanto   41π    25π   2π 6 50π 2 + 18 arcctg  tg     + tg  arcctg    = + = .   6    6   3 25π 75π 13