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GABARITO                    Caderno do Aluno            Matemática – 3a série – Volume 3


 SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1

 GRANDEZAS, INTERDEPENDÊNCIA: UM PANORAMA
 SOBRE FUNÇÕES




Página 3

Pessoal.




Páginas 4 - 9
1.
(I) O comprimento C de uma circunferência
é uma função de seu raio x: C = 2x.
                                                (III)




(II) A área A de um quadrado é uma função
de seu lado x: A = x2.




                                                (V)

(III) A massa m de uma substância radioativa
diminui com o tempo, ou seja, é uma função do
tempo de decomposição t: m = f(t). Para certa
substância, tem-se m = mo2-0,1t, onde mo é a
massa inicial e t o tempo de decomposição em
horas.
                                                (II)



                                                                                      1
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(IV) Uma pequena bola é presa a uma mola
     perfeitamente elástica. Afastada da posição (I)
     O de equilíbrio, a uma distância a, a bola
     oscila em torno da mola, deslocando-se em
     uma superfície lisa, horizontal. A distância x
     da bola até o ponto O depende do instante t
     considerado, ou seja, é uma função de t:
     x = f(t). No caso, temos x = a.cos(kt), onde
     k é uma constante que depende da
     elasticidade da mola e da massa da bola.

(V) Mantendo-se constante a temperatura, a (IV)
     pressão P de um gás no interior de um
     recipiente de volume variável V é uma
     função de V: P = f(V). No caso, temos
          k
     P=     , onde k é uma constante.
          v




2.




Escolhendo o sistema de coordenadas XOY indicado na figura, a parábola será o gráfico
da função f(x) = ax2 + c, com a < 0. Como as hastes são igualmente espaçadas, os
comprimentos das hastes serão os valores de f(x) para x1 = 5, x2 = 10 e x3 = 15. Como a
flecha do arco de parábola é f = 5, segue que c = 5 e f(x) = ax2 + 5. Como o ponto B tem
abscissa x = 20 e ordenada y = 0, segue que: f(20) = 0 e, então, 0 = a . 202 + 5, ou seja,
       1                  1 2
a=–       . Logo, f(x) = – x  5 e os valores procurados são:
       80                 80
                              75
     y 1  f(x 1 )  f(5)        4,69 m ;
                              16
                                                                                             2
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                               15
     y 2  f(x 2 )  f(10)        3,75 m ;
                                4
                               35
     y 3  f(x 3 )  f(15)        2,19 m .
                               16


3. Um retângulo de perímetro de 24 m pode ser bem “magrinho”, tendo área muito
pequena. Chamando de x e y os lados de um retângulo, seu perímetro será p = 2x + 2y e
sua área será A = xy. Como devemos ter p = 24,              a   cada      valor   de   x    escolhido
corresponderá um valor para y, ou seja, y é uma função de x. No caso, temos y = 12 – x.
A área do retângulo é uma função de x e y, mas, como y = 12 – x, segue que a área A é
uma função de x: A = f(x) = x . (12 – x) = 12x – x2. Essa função é um trinômio de 2o
grau que se anula para x1 = 0 e para x2 = 12. Seu gráfico é uma parábola com a
concavidade voltada para baixo, ou seja, a função área apresenta um valor máximo no
                                               (x 1  x 2 )
ponto de coordenadas (u; v), sendo u =                      e v = f(u).
                                                    2
Logo, u = 6 e Amáx = f(6) = 36. O retângulo de perímetro de 24 m e área máxima é, pois,
o quadrado de lado 6 m; a área máxima é igual a 36 m2.


4.
     a)




     A população N é uma função do tempo t, contado a partir da fundação:
     N = f(t)= 3 000 . 100,1t. O gráfico de f(t), neste caso, é o de uma função exponencial
     crescente, cujo valor inicial (para t = 0) é 3 000.



                                                                                                     3
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     b) O valor de N para t = 15 é N = f(15) = 3 000.100,1.15 = 3 000.10 2  94 868

     habitantes.
     c) O valor de N será 216 000 para um valor de t tal que f(t) = 216 000, ou seja,
     3 000 . 100,1t.= 216 000. Logo, 100,1t = 72 e 0,1t = log 72. Consultando uma tabela de
     logaritmos ou usando uma calculadora, obtemos log 72 = 1,86, seguindo daí que o
     valor de t pedido: t  18,6 anos.


5.
     a) A função m = f(t) = 60 . 2-0,25t é uma exponencial decrescente, a partir do valor
     inicial 60.




     b) O valor de f(t) para t = 8 é: m = f(8) = 60 . 2-0,25 . 8 = 15 g.
     c) Expressando t em termos de m, ou seja, escrevendo t como uma função de m,
     obtemos sucessivamente:
                                           m                                 m                             m
     60 . 2-0,25t  m          2-0,25t                   – 0,25t  log2 (      )       t = – 4 . log2 (      ).
                                           60                                60                            60
     d) Para saber após quanto tempo a massa m será igual a 12 g, podemos usar a
     expressão de m em função de t ou a expressão de t em função de m obtida no item c:
                         12                  1
     t   4 . log 2 (      )   4 . log 2 ( )  4 . log 2 5.
                         60                  5
     Usando uma calculadora, obtemos o valor log25  2,32; segue que t  9,28 h.


6.
     a) Sabemos que para t = 0, x = 10 e que para t = 4, temos x = 10 (primeiro retorno à
     posição inicial), resulta, então: 10 = 10.cos(k.4).
                                                                               
     Logo, cos(4k) = 1, o que implica: 4k  2 ou seja,                k           .
                                                                               2
                                                                                                                   4
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   Note que, para t = 8, também temos 10cos(k.8) = 10, e cos(8k) = 1; também temos
   8k = 4 (segundo retorno à posição inicial).

                          
   b) Sendo x  10 . cos  t  , calculemos os valores de x para os valores indicados
                         2 
   de t:
                                       
        t 1           x  10  cos        0 cm
                                       2
                                   
        t2       x  10  cos (  2)  10 cos   10 cm
                                   2
                                   
        t 3      x  10  cos (  3)  0 cm
                                   2
             10                        10             5       1
        t             x  10  cos (  )  10  cos ( )  10   5 cm
              3                       2 3               3       2
                                                
   c) O gráfico da função x  f (t )  10 . cos t  é mostrado a seguir:
                                               2 




Páginas 9 - 11
1. Analogamente ao que foi feito no exemplo, temos:
   • as raízes da equação polinomial de grau 4 representada pela igualdade f(x) = 0 são
   x = 0, x = –1, x = 2 e x = 3;
   • sendo a equação de grau 4, ela terá no máximo 4 raízes reais, ou seja, o gráfico
   somente cortará o eixo x nos pontos correspondentes às 4 raízes mencionadas;
   • notamos, mesmo sem efetuar os cálculos, que o coeficiente do termo em x4 é
   positivo e igual a 1, ou seja, quando os valores de x crescem muito, os valores de f(x)
   são “dominados” pelos valores de x4, ou seja, tornam-se cada vez maiores; o mesmo

                                                                                           5
GABARITO                    Caderno do Aluno            Matemática – 3a série – Volume 3


  ocorre quando x se torna muito pequeno (–1 000 000, por exemplo), uma vez que o
  maior expoente de x é par;
  • segue o esboço do gráfico de f(x):




Construindo efetivamente o gráfico usando um software, obtemos:




                                                                                      6
GABARITO                  Caderno do Aluno   Matemática – 3a série – Volume 3


   SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2

   CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS: UM OLHAR “FUNCIONAL”




Páginas 14 - 18
1. (a), (b), (c) e (d).




2. (a), (b), (c).




                                                                           7
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3.




4.




                                                            8
GABARITO   Caderno do Aluno   Matemática – 3a série – Volume 3


5.




6.




7.




                                                            9
GABARITO                       Caderno do Aluno                 Matemática – 3a série – Volume 3




Páginas 18 - 19
1.




2.




                                                     1
     Note que o valor de g(x) para x = 0 é igual a     , ou seja, é o inverso do valor de f(x)
                                                     3
     para x = 0, que é 3.




                                                                                             10
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 SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3

 AS TRÊS FORMAS BÁSICAS DE CRESCIMENTO OU
 DECRESCIMENTO: A VARIAÇÃO E A VARIAÇÃO DA
 VARIAÇÃO




Desafio!

Páginas 21 - 23
A forma padrão de crescimento ou decrescimento é: f(x) = ax + b.
a) No país A, os preços mantiveram-se constantes.
b) No país B, os preços variaram tendo como gráfico uma reta inclinada com inclinação
   positiva.
c) No país D, os preços cresceram tendo o gráfico encurvado para cima, o que significa
   taxas crescentes.
d) No país C, os preços decresceram tendo como gráfico uma reta com inclinação
   negativa.
e) No país F, os preços cresceram tendo o gráfico encurvado para baixo.
f) No país E, os preços decresceram tendo o gráfico encurvado para cima.
g) No país J, os preços inicialmente tiveram um gráfico retilíneo. Depois, seguiram uma
   curva voltada para baixo.
h) No país G, os preços decresceram tendo o gráfico encurvado para baixo.
i) No país H os preços inicialmente tiveram um gráfico voltado para cima. A partir de
   certo ponto, o gráfico encurvou-se para baixo.
j) No país I, os preços decresceram segundo um gráfico voltado para baixo. Depois,
   segundo um gráfico voltado para cima.




Páginas 27 - 30
1. O aluno aqui fará a correção do desafio proposto no inicio desta Situação de
   Aprendizagem. É importante que você, professor, esteja atento a qualquer dúvida que
   poderá surgir.

                                                                                        11
GABARITO                          Caderno do Aluno               Matemática – 3a série – Volume 3


2.
     a) Temos f(x) > 0 para x entre x2 e x7 e para x entre x10 e x12.
     b) Temos f(x) < 0 para x entre x1 e x2 e para x entre x7 e x10.
     c) A função f(x) é constante para valores de x entre x4 e x5 e para x entre x8 e x9.
     d) A função f(x) é crescente para x entre x1 e x4, e para x entre x9 e x12.
     e) A função f(x) é decrescente para x entre x5 e x8.
     f)     A função f(x) cresce a uma taxa constante nos intervalos em que o gráfico é um
     segmento de reta ascendente, ou seja, para x entre x1 e x3 e para x entre x10 e x11.
     g) A função f(x) decresce a uma taxa constante no intervalo em que o gráfico é um
     segmento de reta descendente, ou seja, para x entre x6 e x7.
     h) A função f(x) cresce a taxas crescentes no intervalo em que é crescente e o
     gráfico é encurvado para cima, ou seja, para x entre x9 e x10.
     i)     A função f(x) cresce a taxas decrescentes nos intervalos em que é crescente e o
     gráfico está encurvado para baixo, ou seja, para x entre x3 e x4 e para x entre x11 e
     x12.
     j)     A função f(x) decresce a taxas crescentes no intervalo em que é decrescente e o
     gráfico é encurvado para baixo, ou seja, para x entre x5 e x6.
     k) A função f(x) decresce a taxas decrescentes no intervalo em que é decrescente e
     o gráfico é encurvado para cima, ou seja, para x entre x7 e x8.


3. (a), (b), (c) , (d) e (e).
     •      O gráfico da velocidade v como função do tempo t é uma semirreta, com início
     no ponto (0; 40) e com inclinação negativa e igual a –10. Como v diminui 10 m/s a
     cada segundo, após 4 s a velocidade será igual a 0, ou seja, a semirreta corta o eixo x
     (ver figura a seguir).
     •      O gráfico da altura h em função do tempo t é um arco de parábola, iniciando no
     ponto (0; 45), com a concavidade para baixo. Seu ponto de máximo coincide com o
     instante em que a velocidade é igual à 0, ou seja, ocorre para t = 4 s. A altura
     máxima é o valor de h(t) para t = 4, ou seja, é h(4) = 125 m.
     •      A pedra leva 4 s subindo até a altura máxima e igual tempo descendo até a
     posição de partida; logo, após 8 s estará de volta à posição inicial.
     •      O instante em que ela toca o solo é o valor de t para h = 0, ou seja, é a raiz da
     equação 0 = 45 + 40t – 5t2. Resolvendo, encontramos t = 9 s.
                                                                                              12
GABARITO                      Caderno do Aluno               Matemática – 3a série – Volume 3


   Todos esses resultados estão sintetizados nos seguintes gráficos:




   f)   Observando os gráficos e especialmente as concavidades, concluímos que as três
   afirmações são verdadeiras.




Páginas 31 - 32
1. Para construir o gráfico de f(x), sabemos que ele é uma parábola com a concavidade
   para cima, pois o coeficiente de x2 é positivo (igual a 1), e temos as raízes da equação
   f(x) = 0, que são x = –1 e x = 5. Sabemos ainda que o vértice da parábola se encontra



                                                                                          13
GABARITO                      Caderno do Aluno             Matemática – 3a série – Volume 3


  no ponto médio do segmento determinado pelas raízes, ou seja, no ponto em que
  x = 2.
  Logo, temos:




  Observando o gráfico, concluímos:
  a) f(x) > 0 para x > 5, ou então para x < –1;
  f(x) < 0 para x entre –1 e 5.
  b) f(x) é crescente para x > 2;
  f(x) é decrescente para x < 2.
  c) Para x > 2, f(x) cresce a taxas crescentes (concavidade para cima);
  para x < 2, f(x) decresce a taxas decrescentes (concavidade para cima).


2. Basta notar a concavidade do gráfico em cada caso.




  Concluímos que:
  a) f(x) cresce a taxas crescentes;
  b) g(x) decresce a taxas decrescentes;
  c) h(x) cresce a taxas decrescentes;
                                                                                        14
GABARITO                          Caderno do Aluno                      Matemática – 3a série – Volume 3


     d) m(x) decresce a taxas decrescentes.




Páginas 33 - 34
1.




     a) No intervalo considerado, temos:
                                                                 
     f(x) é crescente para x entre 0 e         e para x entre 3       e 2;
                                           2                      2
                                                   
     f(x) é decrescente para x entre           e3       ;
                                         2          2
     g(x) é crescente para x entre  e 2;
     g(x) é decrescente para x entre 0 e .
                                                                                
     b) Notamos que o valor máximo de f(x) ocorre no ponto x =                      e o valor mínimo
                                                                                2
                              
     ocorre no ponto x = 3        ; nesses pontos, temos g(x) = 0. Analogamente, o valor
                              2
     máximo de g(x) ocorre nos pontos x = 0 e x = 2, e o valor mínimo, no ponto x = ;
     nesses pontos, temos f(x) = 0.
     c) Notamos que o gráfico de f(x) passa de voltado para baixo a voltado para cima
     no ponto x = , em que g(x) assume o valor mínimo. Analogamente, o gráfico de



                                                                                                     15
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                                                                            
  g(x) passa de voltado para baixo a voltado para cima no ponto x =             , máximo para
                                                                            2
                                                                
  f(x), e volta a se tornar voltado para baixo no ponto x = 3       , mínimo de f(x).
                                                                2




                                                                                          16
GABARITO                        Caderno do Aluno               Matemática – 3a série – Volume 3



     SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4

     OS FENÔMENOS NATURAIS E O CRESCIMENTO OU
     DECRESCIMENTO EXPONENCIAL: O NÚMERO ℮




Página 36 - 37
1.




 Notamos que, quando x aumenta uma unidade, a partir de x = 0, a variação em f(x) é
 igual, sucessivamente, a 2, 6, 18, 54, 162,..., ou seja, a taxa de variação unitária, que é
 igual a f(x+1) – f(x), é igual ao dobro do valor de f(x):
 f(1) – f(0) = 2f(0) = 2                       f(2) – f(1) = 2f(1) = 6
 f(3) – f(2) = 2f(2) = 18                      f(4) – f(3) = 2f(3) = 54
 f(5) – f(4) = 2f(4) = 162                     e assim por diante.
 A taxa de variação unitária de f(x) = 3x é, portanto, igual a 2f(x).
 Chamando, como anteriormente, a taxa unitária de f1(x) e calculando seu valor para
 um x qualquer, temos, de fato: f1(x) = f(x + 1) – f(x) = 3x+1 – 3x = 3x . (3 – 1) = 2 . 3x.


2.
     a) f1(1) = f(2) – f(1) = 4 000 – 2 000 = 2 000;
     f1(2) = f(3) – f(2) = 8 000 – 4 000 = 4 000.
     b) O aumento citado é igual a f(7) – f(6) = 1 000 . (27 – 26) = 1 000 . 26. (2 – 1) =
     = 1 000 . 26 = f(6), ou seja, a taxa de variação unitária para t = 6 é igual ao valor de
     f(6).



                                                                                             17
GABARITO                         Caderno do Aluno                 Matemática – 3a série – Volume 3




Página 37
1.
     a) f1(2) = f(3) – f(2) = 600 . 103 - 600 . 102 = 540 000.
     b) O aumento pedido é igual a:
     f(8) – f(7) = 600 . (108 – 107) = 600 . 107. (10 – 1) = 600 . 107. 9 = 9 . f(7),
     ou seja, a taxa de variação unitária para t = 7 é igual a 9 vezes o valor de f(7).




Páginas 44 - 45
1.
     a) Se os juros são simples, então o capital C1 ao final do ano será 12% maior, ou
     seja, C1 = 1,12 . 1 000 = R$ 1 120,00.
     b) Se os juros são distribuídos (1% ao mês) e incorporados ao capital mês a mês,
     temos:

     •   ao final do 1o mês: C 1 = 1,01 . 1 000;
                                12


     •   ao final do 2o mês: C 1 = (1,01)2 . 1 000;
                                12


     •   analogamente, ao final do 12o mês: C1 = (1,01)12 . 1 000 , ou seja,
     C1 = 1,1268 . 1 000 ≈ R$ 1 126,80.
     c) Se os juros são incorporados continuamente ao capital, temos: C = 1 000 . ℮0,12t.
     Ao final do primeiro ano, ou seja, para t = 1, temos C1 = 1 000. ℮0,12, ou seja,
     C1 = 1,1275 . 1000 = R$ 1 127,50.


2.
     a) Se os juros são incorporados ao capital apenas ao final de cada ano, temos:
     C(t) = Co . (1,12)t, com t em anos.
     Para termos C(t) = 2Co, devemos ter: 2 Co = Co (1,12)t.
                                                                                   ln 2
     Daí, segue que (1,12)t = 2 e, portanto, t . ln(1,12) = ln 2, ou seja, t =             .
                                                                                 ln (1,12)
                                                                                               18
GABARITO                          Caderno do Aluno                 Matemática – 3a série – Volume 3


     Consultando uma tabela ou usando uma calculadora, obtemos: t  6,12 anos, ou seja,
     o capital dobrará de valor somente após o sexto ano. Se os juros somente são
     incorporados ano a ano, somente poderá ser resgatado o capital após completar o
     sétimo ano.
     b) Se os juros são incorporados ao capital ao final de cada mês, temos:
     C(t) = Co (1,01)t, com t em meses.
     Para termos C(t) = 2Co, devemos ter: 2Co = Co . (1,01)t, ou seja, 2 = (1,01)t.
     Daí, segue que t . ln(1,01) = ln 2, de onde obtemos: t  69,66 meses  5,8 anos. Se os
     juros somente são incorporados mês a mês, o capital dobrado somente poderá ser
     resgatado após 5 anos e 10 meses.
     c) Se os juros são incorporados continuamente ao capital, temos:C(t) = Co. ℮0,12t,
     com t em anos. Para termos C(t) = 2Co, devemos ter 2Co = Co. ℮0,12t.
     Daí, segue que 2 = ℮0,12t, ou seja, 0,12 . t = ln 2, de onde obtemos t ≈ 5,78 anos.




Páginas 45 - 46
1.
     a) Supondo que m(t) = mo.2bt, ou seja, m(t) = 60.2bt, e sabendo que quando t = 4
                                                      1                              1
     temos m = 30, resulta: 30 = 60.24b, ou seja, 24b= . Em consequência, 4b = log 2   .
                                                      2                              2
                                                   1
     Como log22 = 1, segue que 4b = –1, pois log 2   = log21 – log22 = –log22 = –1.
                                                   2
     Segue que b = –0,25 e, então, m(t) = 60.2– 0,25t.
     b) Supondo m(t) = mo . ℮at, ou seja, m(t) = 60 . ℮at, e sabendo que quando
                                                                   1
     t = 4, temos m = 30, resulta: 30 = 60 . ℮4a, ou seja, ℮4a =     . Em consequência,
                                                                   2
            1
     4a = ln  . Obtendo o valor de ln 2 em uma calculadora, obtemos ln 2  0,6932, de
            2
     onde segue que 4a = –0,6932, ou seja, a = –0,1733. Assim, a função obtida é
     m(t) = 60.℮–   0,1733t
                              .




                                                                                                19
GABARITO                         Caderno do Aluno                Matemática – 3a série – Volume 3


     c) Calculando 2-0,25, com uma calculadora (ou uma tabela de logaritmos), obtemos
     0,8409. Calculando ℮-0,1733, obtemos o mesmo valor, 0,8409, o que significa que (2-
     0.25 t
         ) = (e-0,1733)t, ou seja, as duas expressões para a função m(t) são equivalentes.
     d) Em qualquer uma das expressões para m(t), substituindo t por 8 obtemos a
     massa restante após 8 h: m(8) = 60. 2-0,25.8 = 60.2-2 = 15 g.
     e) Para saber após quanto tempo a massa será reduzida a 12 g, basta determinar o
     valor de t em qualquer uma das expressões:
                                                 12 
     12 = 60 . e-0,1733t, ou seja, –0,1733t = ln  , isto é, –0,1733t = –ln 5.
                                                 60 
     Recorrendo a uma calculadora (ou a uma tabela de logaritmos), obtemos
     ln 5 = 1,6094; segue que t = 9,29 h, ou seja, aproximadamente, 9h17.




Página 47
1.




     Os gráficos de f(x) e de g(x) são simétricos em relação ao eixo y, uma vez que os
     valores de f(x), quando trocamos x por –x, coincidem com os valores de g(x).
     Os gráficos de m(x) e h(x) também são simétricos em relação ao eixo y. Notamos
     que, para x = –2, a função m(x) assume o mesmo valor que a função h(x) para x = 2.
     Naturalmente, o domínio de h(x) é o conjunto dos números reais positivos, enquanto
     o domínio de m(x) é o conjunto dos números reais negativos.




                                                                                              20
GABARITO                        Caderno do Aluno              Matemática – 3a série – Volume 3


     a) Observando os gráficos e lembrando o significado da taxa de variação unitária,
     notamos que ela é crescente em f(x), o que faz com que o gráfico resulte encurvado
     para cima; f(x) é crescente a taxas crescentes.
     b) No gráfico de h(x) = ln x, notamos que a taxa de variação unitária é decrescente,
     o que faz com que o gráfico seja encurvado para baixo; h(x) é crescente a taxas
     decrescentes.
     c) O gráfico de m(x) representa uma função decrescente e notamos que as taxas de
     variação são crescentes em valor absoluto; m(x) decresce a taxas crescentes.
     d) O gráfico de g(x) representa uma função decrescente e notamos que as taxas de
     variação são decrescentes em valor absoluto; g(x) decresce a taxas decrescentes.


2.




                                                                                           21

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Funções de crescimento e decrescimento

  • 1. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 3 SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1 GRANDEZAS, INTERDEPENDÊNCIA: UM PANORAMA SOBRE FUNÇÕES Página 3 Pessoal. Páginas 4 - 9 1. (I) O comprimento C de uma circunferência é uma função de seu raio x: C = 2x. (III) (II) A área A de um quadrado é uma função de seu lado x: A = x2. (V) (III) A massa m de uma substância radioativa diminui com o tempo, ou seja, é uma função do tempo de decomposição t: m = f(t). Para certa substância, tem-se m = mo2-0,1t, onde mo é a massa inicial e t o tempo de decomposição em horas. (II) 1
  • 2. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 3 (IV) Uma pequena bola é presa a uma mola perfeitamente elástica. Afastada da posição (I) O de equilíbrio, a uma distância a, a bola oscila em torno da mola, deslocando-se em uma superfície lisa, horizontal. A distância x da bola até o ponto O depende do instante t considerado, ou seja, é uma função de t: x = f(t). No caso, temos x = a.cos(kt), onde k é uma constante que depende da elasticidade da mola e da massa da bola. (V) Mantendo-se constante a temperatura, a (IV) pressão P de um gás no interior de um recipiente de volume variável V é uma função de V: P = f(V). No caso, temos k P= , onde k é uma constante. v 2. Escolhendo o sistema de coordenadas XOY indicado na figura, a parábola será o gráfico da função f(x) = ax2 + c, com a < 0. Como as hastes são igualmente espaçadas, os comprimentos das hastes serão os valores de f(x) para x1 = 5, x2 = 10 e x3 = 15. Como a flecha do arco de parábola é f = 5, segue que c = 5 e f(x) = ax2 + 5. Como o ponto B tem abscissa x = 20 e ordenada y = 0, segue que: f(20) = 0 e, então, 0 = a . 202 + 5, ou seja, 1 1 2 a=– . Logo, f(x) = – x  5 e os valores procurados são: 80 80 75 y 1  f(x 1 )  f(5)   4,69 m ; 16 2
  • 3. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 3 15 y 2  f(x 2 )  f(10)   3,75 m ; 4 35 y 3  f(x 3 )  f(15)   2,19 m . 16 3. Um retângulo de perímetro de 24 m pode ser bem “magrinho”, tendo área muito pequena. Chamando de x e y os lados de um retângulo, seu perímetro será p = 2x + 2y e sua área será A = xy. Como devemos ter p = 24, a cada valor de x escolhido corresponderá um valor para y, ou seja, y é uma função de x. No caso, temos y = 12 – x. A área do retângulo é uma função de x e y, mas, como y = 12 – x, segue que a área A é uma função de x: A = f(x) = x . (12 – x) = 12x – x2. Essa função é um trinômio de 2o grau que se anula para x1 = 0 e para x2 = 12. Seu gráfico é uma parábola com a concavidade voltada para baixo, ou seja, a função área apresenta um valor máximo no (x 1  x 2 ) ponto de coordenadas (u; v), sendo u = e v = f(u). 2 Logo, u = 6 e Amáx = f(6) = 36. O retângulo de perímetro de 24 m e área máxima é, pois, o quadrado de lado 6 m; a área máxima é igual a 36 m2. 4. a) A população N é uma função do tempo t, contado a partir da fundação: N = f(t)= 3 000 . 100,1t. O gráfico de f(t), neste caso, é o de uma função exponencial crescente, cujo valor inicial (para t = 0) é 3 000. 3
  • 4. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 3 3 b) O valor de N para t = 15 é N = f(15) = 3 000.100,1.15 = 3 000.10 2  94 868 habitantes. c) O valor de N será 216 000 para um valor de t tal que f(t) = 216 000, ou seja, 3 000 . 100,1t.= 216 000. Logo, 100,1t = 72 e 0,1t = log 72. Consultando uma tabela de logaritmos ou usando uma calculadora, obtemos log 72 = 1,86, seguindo daí que o valor de t pedido: t  18,6 anos. 5. a) A função m = f(t) = 60 . 2-0,25t é uma exponencial decrescente, a partir do valor inicial 60. b) O valor de f(t) para t = 8 é: m = f(8) = 60 . 2-0,25 . 8 = 15 g. c) Expressando t em termos de m, ou seja, escrevendo t como uma função de m, obtemos sucessivamente: m m m 60 . 2-0,25t  m 2-0,25t  – 0,25t  log2 ( ) t = – 4 . log2 ( ). 60 60 60 d) Para saber após quanto tempo a massa m será igual a 12 g, podemos usar a expressão de m em função de t ou a expressão de t em função de m obtida no item c: 12 1 t   4 . log 2 ( )   4 . log 2 ( )  4 . log 2 5. 60 5 Usando uma calculadora, obtemos o valor log25  2,32; segue que t  9,28 h. 6. a) Sabemos que para t = 0, x = 10 e que para t = 4, temos x = 10 (primeiro retorno à posição inicial), resulta, então: 10 = 10.cos(k.4).  Logo, cos(4k) = 1, o que implica: 4k  2 ou seja, k . 2 4
  • 5. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 3 Note que, para t = 8, também temos 10cos(k.8) = 10, e cos(8k) = 1; também temos 8k = 4 (segundo retorno à posição inicial).   b) Sendo x  10 . cos  t  , calculemos os valores de x para os valores indicados 2  de t:  t 1  x  10  cos  0 cm 2  t2  x  10  cos (  2)  10 cos   10 cm 2  t 3  x  10  cos (  3)  0 cm 2 10  10 5 1 t  x  10  cos (  )  10  cos ( )  10   5 cm 3 2 3 3 2   c) O gráfico da função x  f (t )  10 . cos t  é mostrado a seguir: 2  Páginas 9 - 11 1. Analogamente ao que foi feito no exemplo, temos: • as raízes da equação polinomial de grau 4 representada pela igualdade f(x) = 0 são x = 0, x = –1, x = 2 e x = 3; • sendo a equação de grau 4, ela terá no máximo 4 raízes reais, ou seja, o gráfico somente cortará o eixo x nos pontos correspondentes às 4 raízes mencionadas; • notamos, mesmo sem efetuar os cálculos, que o coeficiente do termo em x4 é positivo e igual a 1, ou seja, quando os valores de x crescem muito, os valores de f(x) são “dominados” pelos valores de x4, ou seja, tornam-se cada vez maiores; o mesmo 5
  • 6. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 3 ocorre quando x se torna muito pequeno (–1 000 000, por exemplo), uma vez que o maior expoente de x é par; • segue o esboço do gráfico de f(x): Construindo efetivamente o gráfico usando um software, obtemos: 6
  • 7. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 3 SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2 CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS: UM OLHAR “FUNCIONAL” Páginas 14 - 18 1. (a), (b), (c) e (d). 2. (a), (b), (c). 7
  • 8. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 3 3. 4. 8
  • 9. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 3 5. 6. 7. 9
  • 10. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 3 Páginas 18 - 19 1. 2. 1 Note que o valor de g(x) para x = 0 é igual a , ou seja, é o inverso do valor de f(x) 3 para x = 0, que é 3. 10
  • 11. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 3 SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3 AS TRÊS FORMAS BÁSICAS DE CRESCIMENTO OU DECRESCIMENTO: A VARIAÇÃO E A VARIAÇÃO DA VARIAÇÃO Desafio! Páginas 21 - 23 A forma padrão de crescimento ou decrescimento é: f(x) = ax + b. a) No país A, os preços mantiveram-se constantes. b) No país B, os preços variaram tendo como gráfico uma reta inclinada com inclinação positiva. c) No país D, os preços cresceram tendo o gráfico encurvado para cima, o que significa taxas crescentes. d) No país C, os preços decresceram tendo como gráfico uma reta com inclinação negativa. e) No país F, os preços cresceram tendo o gráfico encurvado para baixo. f) No país E, os preços decresceram tendo o gráfico encurvado para cima. g) No país J, os preços inicialmente tiveram um gráfico retilíneo. Depois, seguiram uma curva voltada para baixo. h) No país G, os preços decresceram tendo o gráfico encurvado para baixo. i) No país H os preços inicialmente tiveram um gráfico voltado para cima. A partir de certo ponto, o gráfico encurvou-se para baixo. j) No país I, os preços decresceram segundo um gráfico voltado para baixo. Depois, segundo um gráfico voltado para cima. Páginas 27 - 30 1. O aluno aqui fará a correção do desafio proposto no inicio desta Situação de Aprendizagem. É importante que você, professor, esteja atento a qualquer dúvida que poderá surgir. 11
  • 12. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 3 2. a) Temos f(x) > 0 para x entre x2 e x7 e para x entre x10 e x12. b) Temos f(x) < 0 para x entre x1 e x2 e para x entre x7 e x10. c) A função f(x) é constante para valores de x entre x4 e x5 e para x entre x8 e x9. d) A função f(x) é crescente para x entre x1 e x4, e para x entre x9 e x12. e) A função f(x) é decrescente para x entre x5 e x8. f) A função f(x) cresce a uma taxa constante nos intervalos em que o gráfico é um segmento de reta ascendente, ou seja, para x entre x1 e x3 e para x entre x10 e x11. g) A função f(x) decresce a uma taxa constante no intervalo em que o gráfico é um segmento de reta descendente, ou seja, para x entre x6 e x7. h) A função f(x) cresce a taxas crescentes no intervalo em que é crescente e o gráfico é encurvado para cima, ou seja, para x entre x9 e x10. i) A função f(x) cresce a taxas decrescentes nos intervalos em que é crescente e o gráfico está encurvado para baixo, ou seja, para x entre x3 e x4 e para x entre x11 e x12. j) A função f(x) decresce a taxas crescentes no intervalo em que é decrescente e o gráfico é encurvado para baixo, ou seja, para x entre x5 e x6. k) A função f(x) decresce a taxas decrescentes no intervalo em que é decrescente e o gráfico é encurvado para cima, ou seja, para x entre x7 e x8. 3. (a), (b), (c) , (d) e (e). • O gráfico da velocidade v como função do tempo t é uma semirreta, com início no ponto (0; 40) e com inclinação negativa e igual a –10. Como v diminui 10 m/s a cada segundo, após 4 s a velocidade será igual a 0, ou seja, a semirreta corta o eixo x (ver figura a seguir). • O gráfico da altura h em função do tempo t é um arco de parábola, iniciando no ponto (0; 45), com a concavidade para baixo. Seu ponto de máximo coincide com o instante em que a velocidade é igual à 0, ou seja, ocorre para t = 4 s. A altura máxima é o valor de h(t) para t = 4, ou seja, é h(4) = 125 m. • A pedra leva 4 s subindo até a altura máxima e igual tempo descendo até a posição de partida; logo, após 8 s estará de volta à posição inicial. • O instante em que ela toca o solo é o valor de t para h = 0, ou seja, é a raiz da equação 0 = 45 + 40t – 5t2. Resolvendo, encontramos t = 9 s. 12
  • 13. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 3 Todos esses resultados estão sintetizados nos seguintes gráficos: f) Observando os gráficos e especialmente as concavidades, concluímos que as três afirmações são verdadeiras. Páginas 31 - 32 1. Para construir o gráfico de f(x), sabemos que ele é uma parábola com a concavidade para cima, pois o coeficiente de x2 é positivo (igual a 1), e temos as raízes da equação f(x) = 0, que são x = –1 e x = 5. Sabemos ainda que o vértice da parábola se encontra 13
  • 14. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 3 no ponto médio do segmento determinado pelas raízes, ou seja, no ponto em que x = 2. Logo, temos: Observando o gráfico, concluímos: a) f(x) > 0 para x > 5, ou então para x < –1; f(x) < 0 para x entre –1 e 5. b) f(x) é crescente para x > 2; f(x) é decrescente para x < 2. c) Para x > 2, f(x) cresce a taxas crescentes (concavidade para cima); para x < 2, f(x) decresce a taxas decrescentes (concavidade para cima). 2. Basta notar a concavidade do gráfico em cada caso. Concluímos que: a) f(x) cresce a taxas crescentes; b) g(x) decresce a taxas decrescentes; c) h(x) cresce a taxas decrescentes; 14
  • 15. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 3 d) m(x) decresce a taxas decrescentes. Páginas 33 - 34 1. a) No intervalo considerado, temos:   f(x) é crescente para x entre 0 e e para x entre 3 e 2; 2 2   f(x) é decrescente para x entre e3 ; 2 2 g(x) é crescente para x entre  e 2; g(x) é decrescente para x entre 0 e .  b) Notamos que o valor máximo de f(x) ocorre no ponto x = e o valor mínimo 2  ocorre no ponto x = 3 ; nesses pontos, temos g(x) = 0. Analogamente, o valor 2 máximo de g(x) ocorre nos pontos x = 0 e x = 2, e o valor mínimo, no ponto x = ; nesses pontos, temos f(x) = 0. c) Notamos que o gráfico de f(x) passa de voltado para baixo a voltado para cima no ponto x = , em que g(x) assume o valor mínimo. Analogamente, o gráfico de 15
  • 16. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 3  g(x) passa de voltado para baixo a voltado para cima no ponto x = , máximo para 2  f(x), e volta a se tornar voltado para baixo no ponto x = 3 , mínimo de f(x). 2 16
  • 17. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 3 SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4 OS FENÔMENOS NATURAIS E O CRESCIMENTO OU DECRESCIMENTO EXPONENCIAL: O NÚMERO ℮ Página 36 - 37 1. Notamos que, quando x aumenta uma unidade, a partir de x = 0, a variação em f(x) é igual, sucessivamente, a 2, 6, 18, 54, 162,..., ou seja, a taxa de variação unitária, que é igual a f(x+1) – f(x), é igual ao dobro do valor de f(x): f(1) – f(0) = 2f(0) = 2 f(2) – f(1) = 2f(1) = 6 f(3) – f(2) = 2f(2) = 18 f(4) – f(3) = 2f(3) = 54 f(5) – f(4) = 2f(4) = 162 e assim por diante. A taxa de variação unitária de f(x) = 3x é, portanto, igual a 2f(x). Chamando, como anteriormente, a taxa unitária de f1(x) e calculando seu valor para um x qualquer, temos, de fato: f1(x) = f(x + 1) – f(x) = 3x+1 – 3x = 3x . (3 – 1) = 2 . 3x. 2. a) f1(1) = f(2) – f(1) = 4 000 – 2 000 = 2 000; f1(2) = f(3) – f(2) = 8 000 – 4 000 = 4 000. b) O aumento citado é igual a f(7) – f(6) = 1 000 . (27 – 26) = 1 000 . 26. (2 – 1) = = 1 000 . 26 = f(6), ou seja, a taxa de variação unitária para t = 6 é igual ao valor de f(6). 17
  • 18. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 3 Página 37 1. a) f1(2) = f(3) – f(2) = 600 . 103 - 600 . 102 = 540 000. b) O aumento pedido é igual a: f(8) – f(7) = 600 . (108 – 107) = 600 . 107. (10 – 1) = 600 . 107. 9 = 9 . f(7), ou seja, a taxa de variação unitária para t = 7 é igual a 9 vezes o valor de f(7). Páginas 44 - 45 1. a) Se os juros são simples, então o capital C1 ao final do ano será 12% maior, ou seja, C1 = 1,12 . 1 000 = R$ 1 120,00. b) Se os juros são distribuídos (1% ao mês) e incorporados ao capital mês a mês, temos: • ao final do 1o mês: C 1 = 1,01 . 1 000; 12 • ao final do 2o mês: C 1 = (1,01)2 . 1 000; 12 • analogamente, ao final do 12o mês: C1 = (1,01)12 . 1 000 , ou seja, C1 = 1,1268 . 1 000 ≈ R$ 1 126,80. c) Se os juros são incorporados continuamente ao capital, temos: C = 1 000 . ℮0,12t. Ao final do primeiro ano, ou seja, para t = 1, temos C1 = 1 000. ℮0,12, ou seja, C1 = 1,1275 . 1000 = R$ 1 127,50. 2. a) Se os juros são incorporados ao capital apenas ao final de cada ano, temos: C(t) = Co . (1,12)t, com t em anos. Para termos C(t) = 2Co, devemos ter: 2 Co = Co (1,12)t. ln 2 Daí, segue que (1,12)t = 2 e, portanto, t . ln(1,12) = ln 2, ou seja, t = . ln (1,12) 18
  • 19. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 3 Consultando uma tabela ou usando uma calculadora, obtemos: t  6,12 anos, ou seja, o capital dobrará de valor somente após o sexto ano. Se os juros somente são incorporados ano a ano, somente poderá ser resgatado o capital após completar o sétimo ano. b) Se os juros são incorporados ao capital ao final de cada mês, temos: C(t) = Co (1,01)t, com t em meses. Para termos C(t) = 2Co, devemos ter: 2Co = Co . (1,01)t, ou seja, 2 = (1,01)t. Daí, segue que t . ln(1,01) = ln 2, de onde obtemos: t  69,66 meses  5,8 anos. Se os juros somente são incorporados mês a mês, o capital dobrado somente poderá ser resgatado após 5 anos e 10 meses. c) Se os juros são incorporados continuamente ao capital, temos:C(t) = Co. ℮0,12t, com t em anos. Para termos C(t) = 2Co, devemos ter 2Co = Co. ℮0,12t. Daí, segue que 2 = ℮0,12t, ou seja, 0,12 . t = ln 2, de onde obtemos t ≈ 5,78 anos. Páginas 45 - 46 1. a) Supondo que m(t) = mo.2bt, ou seja, m(t) = 60.2bt, e sabendo que quando t = 4 1 1 temos m = 30, resulta: 30 = 60.24b, ou seja, 24b= . Em consequência, 4b = log 2   . 2 2 1 Como log22 = 1, segue que 4b = –1, pois log 2   = log21 – log22 = –log22 = –1. 2 Segue que b = –0,25 e, então, m(t) = 60.2– 0,25t. b) Supondo m(t) = mo . ℮at, ou seja, m(t) = 60 . ℮at, e sabendo que quando 1 t = 4, temos m = 30, resulta: 30 = 60 . ℮4a, ou seja, ℮4a = . Em consequência, 2 1 4a = ln  . Obtendo o valor de ln 2 em uma calculadora, obtemos ln 2  0,6932, de 2 onde segue que 4a = –0,6932, ou seja, a = –0,1733. Assim, a função obtida é m(t) = 60.℮– 0,1733t . 19
  • 20. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 3 c) Calculando 2-0,25, com uma calculadora (ou uma tabela de logaritmos), obtemos 0,8409. Calculando ℮-0,1733, obtemos o mesmo valor, 0,8409, o que significa que (2- 0.25 t ) = (e-0,1733)t, ou seja, as duas expressões para a função m(t) são equivalentes. d) Em qualquer uma das expressões para m(t), substituindo t por 8 obtemos a massa restante após 8 h: m(8) = 60. 2-0,25.8 = 60.2-2 = 15 g. e) Para saber após quanto tempo a massa será reduzida a 12 g, basta determinar o valor de t em qualquer uma das expressões:  12  12 = 60 . e-0,1733t, ou seja, –0,1733t = ln  , isto é, –0,1733t = –ln 5.  60  Recorrendo a uma calculadora (ou a uma tabela de logaritmos), obtemos ln 5 = 1,6094; segue que t = 9,29 h, ou seja, aproximadamente, 9h17. Página 47 1. Os gráficos de f(x) e de g(x) são simétricos em relação ao eixo y, uma vez que os valores de f(x), quando trocamos x por –x, coincidem com os valores de g(x). Os gráficos de m(x) e h(x) também são simétricos em relação ao eixo y. Notamos que, para x = –2, a função m(x) assume o mesmo valor que a função h(x) para x = 2. Naturalmente, o domínio de h(x) é o conjunto dos números reais positivos, enquanto o domínio de m(x) é o conjunto dos números reais negativos. 20
  • 21. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 3 a) Observando os gráficos e lembrando o significado da taxa de variação unitária, notamos que ela é crescente em f(x), o que faz com que o gráfico resulte encurvado para cima; f(x) é crescente a taxas crescentes. b) No gráfico de h(x) = ln x, notamos que a taxa de variação unitária é decrescente, o que faz com que o gráfico seja encurvado para baixo; h(x) é crescente a taxas decrescentes. c) O gráfico de m(x) representa uma função decrescente e notamos que as taxas de variação são crescentes em valor absoluto; m(x) decresce a taxas crescentes. d) O gráfico de g(x) representa uma função decrescente e notamos que as taxas de variação são decrescentes em valor absoluto; g(x) decresce a taxas decrescentes. 2. 21