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Fu log 2016

Material de Função Logarítmica. Para 2001.

Fu log 2016

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MATERIAL PARA O 1º BIMESTRE -
MATEMÁTICA
2º ANO DO ENSINO MÉDIO
DOCENTE: IVE PINA
FUNÇÃO EXPONENCIAL E LOGARITMICA
FUNÇÃO EXPONENCIAL
Toda relação de dependência, em que uma incógnita depende do valor da outra, é
denominada função. A função denominada como exponencial possui essa relação de
dependência e sua principal característica é que a parte variável representada por x se
encontra no expoente. Observe:
y = 2 x
y = 3 x + 4
y = 0,5 x
y = 4 x
A lei de formação de uma função exponencial indica que a base elevada ao expoente
x precisa ser maior que zero e diferente de um, conforme a seguinte notação:
f: IR→IR+
*
tal que f(x) = a x
, sendo que a > 1 ou 0 < a < 1.
Neste tipo de função como podemos observar em f(x) = ax
, a base a é um valor real
constante, isto é, um número real. Note que temos algumas restrições, visto que
temos e a ≠ 1 e a > 0.
Se a = 1 teríamos uma função constante e não exponencial, pois 1 elevado a
qualquer x real sempre resultaria em 1. Neste caso f(x) = 1x
equivaleria a f(x) = 1 que é
uma função constante.
E para a = 0, por que tal restrição?
Ao estudarmos a potenciação vimos que 00
é indeterminado, então seria
indeterminado quando .
No caso de a < 0 não devemos nos esquecer de que não existe a raiz real de um
radicando negativo e índice par, portanto se tivermos, por exemplo, a = -3 e x = ¼ o
valor de não será um número real, pois teremos:
E como sabemos .
Uma função exponencial é utilizada na representação de situações em que a taxa de
variação é considerada grande, por exemplo, em rendimentos financeiros
capitalizados por juros compostos, no decaimento radioativo de substâncias químicas,
desenvolvimento de bactérias e micro-organismos, crescimento populacional entre
outras situações. As funções exponenciais devem ser resolvidas utilizando, se
necessário, as regras envolvendo potenciação.
Vamos apresentar alguns exemplos envolvendo o uso de funções exponenciais.
2
Exemplos:
1) Nas proximidades da superfície terrestre, a pressão atmosférica P, em
atmosfera (atm), é dada em função da altitude h, em quilômetros,
aproximadamente por P(h) = 0,9h
. Se, no topo de uma montanha, a pressão é
0,729 atm, conclui-se que a altitude desse topo é:
A) 6 km B) 5,2km C) 5 km D) 4 km E) 3 km
P(h) = 0,729 e P(h) = 0,9h
0,9h
= 0,729
0,9h
= 0,93
h = 3
R: E
2) (U. Amazonas) em pesquisa realizada, constatou-se que a população (P) de
determinada bactéria cresce segundo a expressão P(t) = 25. 2t
, em que t
representa o tempo em horas. Para atingir uma população de 400 bactérias,
será necessário um tempo de:
A) 4 horas
B) 3 horas
C) 2 horas e 30 minutos
D) 2 horas
E) 1 hora
P(t) = 400 e P(t) = 25 . 2t
25 . 2t
= 400
2t
=
2t
= 16
2t
= 24
t = 4
R: A
3) (Unit-SE) Uma determinada máquina industrial se deprecia de tal forma que
seu valor, t anos após a sua compra, é dado por v(t) = v0 * 2 –0,2t
, em que v0 é
uma constante real. Se, após 10 anos, a máquina estiver valendo R$ 12000,00,
determine o valor que ela foi comprada.
v(10) = 12 000 e v(10) = v0 * 2 –0,2*10
12 000 = v0 * 2 –2
12 000 = v0 * ¼
12 000 : ¼ = v0
v0 = 12 000 * 4
v0 = 48 000
R: A máquina foi comprada pelo valor de R$ 48 000,00.
4) (Uneb-BA) A expressão P(t) = K . 20,05t
fornece o número P de milhares de
habitantes de uma cidade em função do tempo t em anos. Se em 1990, essa
cidade tinha 300.000 habitantes, quantos habitantes, aproximadamente,
espera-se que ele tenha no ano 2000?
A) 352 000
B) 401 000
C) 423 000
D) 439 000
E) 441 000
1990 => t = 0
1991 => t = 1
1992 => t = 2
...
2000 => t = 10
3
Em 1990: P(0) = 300 000 e P(0) = K . 20,05 . 0
300 000 = K . 20
300 000 = K . 1
K = 300 000
Em 2000: P(10) = 300 000. 20,05.10
= 300 000 . 20,5
= 300 000 . = 300 000. √
= 300 000 . 1,41 = 423 000
Resposta: C
5) Uma maionese mal conservada causou mal-estar nos frequentadores de um
clube. Uma investigação revelou a presença da bactéria salmonela, que se
multiplica segundo a lei:
n(t) = 200 . 2at
Em que n(t) é o número de bactérias encontradas na amostra de maionese t
horas após o inicio do almoço e a é uma constante real.
a) Determine o número de bactérias no instante em que foi servido o almoço?
No instante em que foi servido o almoço, t = 0.
n(0) = 200. 2ª.0
= 200. 20
= 200 . 1 = 200 bactérias.
b) Sabendo que após 3 horas do início do almoço, o número de bactérias era
de 800, determine o valor da constante a.
n(3) = 800 e n(3) = 200. 2ª.3
200. 2ª.3
= 800
23
ª =
23
ª = 4
23
ª = 2²
3a = 2
a =
c) Determine o número de bactérias após 12 horas da realização do almoço
n(12) = 200. bactérias
6) O preço p, em unidades monetárias, de uma ação de uma empresa
siderúrgica, comercializada em bolsa de valores, oscilou de 1990 a 2010 de
acordo com a lei:
P(t) = 3,20 .
Em que t é o tempo, em anos, contado a partir de 1990.
a) Qual era o valor da ação em 1994? E em 1999?
1990 => t = 0
1991 => t = 1
1994 => t = 4
1999 => t = 9
Em 1994 => P(4) = 3,20 . = 3,20 . = 3,20 . 2¹ = 3,20 . 1 = 3,20
Em 1999 => P(9) = 3,20 . = 3,20 . = 3,20 . 2² = 3,20 . 4 = 12,80
b) Em que ano a ação passou a valer oito vezes o valor de 1990?
Em 1990 => P(0) = 3,20 . = 3,20 .
8 vezes o valor de 1990 => 8 . 3,20. = 2³. 3,20. = 3,20. = 3,20.
3,20 . = 3,20.
t = 15 anos
4
FUNÇÃO LOGARÍTMICA
Toda função definida pela lei de formação f(x) = logax, com a ≠ 1 e a > 0 é denominada
função logarítmica de base a. Nesse tipo de função o domínio é representado pelo
conjunto dos números reais maiores que zero e o contradomínio, o conjunto dos reais.
Exemplos de funções logarítmicas:
f(x) = log2x
f(x) = log3x
f(x) = log1/2x
f(x) = log10x
f(x) = log1/3x
f(x) = log4x
f(x) = log2(x – 1)
f(x) = log0,5x
Função logarítmica de base a é toda função , definida
por com e .
Podemos observar neste tipo de função que a variável independente x é um
logaritmando, por isto a denominamos função logarítmica. Observe que a base a é um
valor real constante, não é uma variável, mas sim um número real.
A função logarítmica de é inversa da função exponencial de e vice-
versa, pois:
Note que na definição nós temos algumas restrições, sendo elas:
• A base do logaritmo deve ser maior do que zero e diferente de 1 (0 < a ≠ 1);
• O valor de x está determinado no conjunto dos números reais positivos, sem
incluir o zero. Portanto, o logaritmando x deve ser: x > 0.
As funções logarítmicas envolvem em sua resolução, propriedades destinadas ao
estudo dos logaritmos. Portanto, o seu desenvolvimento depende do conhecimento
prévio dessas propriedades.
Exemplos:
1) Vamos resolver a equação 3x
= 5.
3x
= 5
log 3x
= log 5
x.log3 = log 5
x =
2) (Fuvest-SP) A intensidade I de um terremoto, medida na escala Richter, é um
número que varia de I = 0 até I = 8,9 para o maior terremoto conhecido. I é
dado pela fórmula:
I =
Na qual E é a energia liberada no terremoto em KWH e E0 = 7 . 10-3
KWH.
Qual é a energia liberada em um terremoto de intensidade 8 na escala Richter?
I = e I = 8
= 8
= 8
5
log =
log = 12
1012
=
E = 7 . 10-3
. 1012
= 7 . 10-3 + 12
= 7. 109
KWH
3) Dentro de t décadas, contadas a partir de hoje, o valor em reais de um imóvel
será dado por v = 80 000 . 0,9t
.
a) Qual é o valor atual deste imóvel?
t = 0 => v = 80 000 . 0,90
= 80 000 . 1 = 80 000
b) Qual é a perda de valor deste imóvel durante a primeira década?
t = 1 => v = 80 000 . 0,9¹ = 80 000 . 0,9 = 72 000
Perda: 80 000 – 72 000 = 8 000
c) Qual é o tempo mínimo necessário, em anos, para que o valor do imóvel,
seja de R$ 60 000,00? (Use as aproximações: log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48)
v = 60 000 e v = 80 000 . 0,9t
.
80 000 . 0,9t
= 60 000
0,9t
=
0,9t
=
log 0,9t
= log
t. log = log 3 – log 4
t. (log 3² - log 10) = log 3 – log 2²
t. (2.log3 – log 10) = log 3 – 2.log2
t. (2. 0,48 – 1) = 0,48 – 2.0,30
t. (0,96 – 1) = 0,48 – 0,60
t. (-0,04) = -0,12
t = décadas
R: 30 anos.
4) A expressão seguinte relaciona o valor v, em reais, que um objeto de arte terá t
anos após sua aquisição:
v(t) = 500.2kt
(k é uma constante positiva)
a) Sabendo que o valor do objeto, após 3 anos de sua aquisição, é de R$
2000,00, determine o valor de k.
t = 3 e v(3) = 2000
2000 = 500.2k.3
= 23k
4 = 23k
2² = 23k
3k = 2
k =
b) Por qual valor esse objeto de arte foi adquirido?
t = 0 => v(0) = 500 . = 500 . 20
= 500 reais
c) Qual é o número inteiro de anos necessários para que o valor do objeto
seja de R$ 5 000,00? (Use a aproximação: log 2 = 0,30)
6
v(t) = 5000 e v(t) = 500.
500. = 5000
=
= 10
2t . 0,10 = 1
t. 0,2 = 1
t = anos
5) A população de certa espécie de mamífero em uma região da Amazônia cresce
segundo a lei n(t) = 5 000 . e0,02t
em que n(t) é o número de elementos
estimados da espécie no ano t (t = 0, 1, 2, 3, ...), contado a partir de hoje (t= 0).
Determine o número inteiro mínimo de anos necessários para que a população
atinja: (use as aproximações ln 2= 0,69 e ln 5 = 1,6)
a) 8 000 elementos?
n(t) = 8000 e n(t) = 5000 . e0,02t
5000. e0,02t
= 8000
e0,02t
=
e0,02t
=
ln e0,02t
= ln
0,02t. lne = ln 8 – ln 5
0,02t . 1 = ln 2³ - ln 5
0,02t = 3.0,69 – 1,6
0,02t = 2,07 – 1,6
0,02t = 0,47
t =
R: 24 anos
b) 10 000 elementos?
n(t) = 10000 e n(t) = 5000 . e0,02t
5000. e0,02t
= 10000
e0,02t
=
e0,02t
= 2
ln e0,02t
= ln2
0,02t. lne = 0,69
0,02t . 1 = 0,69
0,02t = 0,69
t =
R: 35 anos
Exercícios:
1) (SAERJ-2011) A quantidade de produtos fabricados em uma indústria em
função do tempo, t, em anos de funcionamento é dada por P(t) = 10 000 . (3)t-1
.
Qual é a quantidade de produtos fabricados por essa indústria em 4 anos de
funcionamento?
A) 30 000 B) 90 000 C) 120 000 D) 270 000 E) 810 000
2) (SAERJ-2014) Uma determinada vegetação aquática começou a se reproduzir
de forma desordenada em um rio. A área invadida por essa vegetação, em m²,
em função do tempo t, dado em meses, pode ser calculada por meio da
expressão f(t) = 100 . (1,25)t
. Após dois meses, a área invadida por essa
vegetação era de
A) 125 m2
B) 156,25 m2
C) 250 m2
D) 12 500 m2
E) 15 625 m2
3) (SAERJ-2014) Marcelo consultou o gerente de seu banco para simular um
empréstimo de R$ 1 000,00. O gerente lhe informou que o valor a ser pago por
esse empréstimo pode ser calculado por meio da expressão V(t) = 1 000. (1,1)t
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  • 1. 1 MATERIAL PARA O 1º BIMESTRE - MATEMÁTICA 2º ANO DO ENSINO MÉDIO DOCENTE: IVE PINA FUNÇÃO EXPONENCIAL E LOGARITMICA FUNÇÃO EXPONENCIAL Toda relação de dependência, em que uma incógnita depende do valor da outra, é denominada função. A função denominada como exponencial possui essa relação de dependência e sua principal característica é que a parte variável representada por x se encontra no expoente. Observe: y = 2 x y = 3 x + 4 y = 0,5 x y = 4 x A lei de formação de uma função exponencial indica que a base elevada ao expoente x precisa ser maior que zero e diferente de um, conforme a seguinte notação: f: IR→IR+ * tal que f(x) = a x , sendo que a > 1 ou 0 < a < 1. Neste tipo de função como podemos observar em f(x) = ax , a base a é um valor real constante, isto é, um número real. Note que temos algumas restrições, visto que temos e a ≠ 1 e a > 0. Se a = 1 teríamos uma função constante e não exponencial, pois 1 elevado a qualquer x real sempre resultaria em 1. Neste caso f(x) = 1x equivaleria a f(x) = 1 que é uma função constante. E para a = 0, por que tal restrição? Ao estudarmos a potenciação vimos que 00 é indeterminado, então seria indeterminado quando . No caso de a < 0 não devemos nos esquecer de que não existe a raiz real de um radicando negativo e índice par, portanto se tivermos, por exemplo, a = -3 e x = ¼ o valor de não será um número real, pois teremos: E como sabemos . Uma função exponencial é utilizada na representação de situações em que a taxa de variação é considerada grande, por exemplo, em rendimentos financeiros capitalizados por juros compostos, no decaimento radioativo de substâncias químicas, desenvolvimento de bactérias e micro-organismos, crescimento populacional entre outras situações. As funções exponenciais devem ser resolvidas utilizando, se necessário, as regras envolvendo potenciação. Vamos apresentar alguns exemplos envolvendo o uso de funções exponenciais.
  • 2. 2 Exemplos: 1) Nas proximidades da superfície terrestre, a pressão atmosférica P, em atmosfera (atm), é dada em função da altitude h, em quilômetros, aproximadamente por P(h) = 0,9h . Se, no topo de uma montanha, a pressão é 0,729 atm, conclui-se que a altitude desse topo é: A) 6 km B) 5,2km C) 5 km D) 4 km E) 3 km P(h) = 0,729 e P(h) = 0,9h 0,9h = 0,729 0,9h = 0,93 h = 3 R: E 2) (U. Amazonas) em pesquisa realizada, constatou-se que a população (P) de determinada bactéria cresce segundo a expressão P(t) = 25. 2t , em que t representa o tempo em horas. Para atingir uma população de 400 bactérias, será necessário um tempo de: A) 4 horas B) 3 horas C) 2 horas e 30 minutos D) 2 horas E) 1 hora P(t) = 400 e P(t) = 25 . 2t 25 . 2t = 400 2t = 2t = 16 2t = 24 t = 4 R: A 3) (Unit-SE) Uma determinada máquina industrial se deprecia de tal forma que seu valor, t anos após a sua compra, é dado por v(t) = v0 * 2 –0,2t , em que v0 é uma constante real. Se, após 10 anos, a máquina estiver valendo R$ 12000,00, determine o valor que ela foi comprada. v(10) = 12 000 e v(10) = v0 * 2 –0,2*10 12 000 = v0 * 2 –2 12 000 = v0 * ¼ 12 000 : ¼ = v0 v0 = 12 000 * 4 v0 = 48 000 R: A máquina foi comprada pelo valor de R$ 48 000,00. 4) (Uneb-BA) A expressão P(t) = K . 20,05t fornece o número P de milhares de habitantes de uma cidade em função do tempo t em anos. Se em 1990, essa cidade tinha 300.000 habitantes, quantos habitantes, aproximadamente, espera-se que ele tenha no ano 2000? A) 352 000 B) 401 000 C) 423 000 D) 439 000 E) 441 000 1990 => t = 0 1991 => t = 1 1992 => t = 2 ... 2000 => t = 10
  • 3. 3 Em 1990: P(0) = 300 000 e P(0) = K . 20,05 . 0 300 000 = K . 20 300 000 = K . 1 K = 300 000 Em 2000: P(10) = 300 000. 20,05.10 = 300 000 . 20,5 = 300 000 . = 300 000. √ = 300 000 . 1,41 = 423 000 Resposta: C 5) Uma maionese mal conservada causou mal-estar nos frequentadores de um clube. Uma investigação revelou a presença da bactéria salmonela, que se multiplica segundo a lei: n(t) = 200 . 2at Em que n(t) é o número de bactérias encontradas na amostra de maionese t horas após o inicio do almoço e a é uma constante real. a) Determine o número de bactérias no instante em que foi servido o almoço? No instante em que foi servido o almoço, t = 0. n(0) = 200. 2ª.0 = 200. 20 = 200 . 1 = 200 bactérias. b) Sabendo que após 3 horas do início do almoço, o número de bactérias era de 800, determine o valor da constante a. n(3) = 800 e n(3) = 200. 2ª.3 200. 2ª.3 = 800 23 ª = 23 ª = 4 23 ª = 2² 3a = 2 a = c) Determine o número de bactérias após 12 horas da realização do almoço n(12) = 200. bactérias 6) O preço p, em unidades monetárias, de uma ação de uma empresa siderúrgica, comercializada em bolsa de valores, oscilou de 1990 a 2010 de acordo com a lei: P(t) = 3,20 . Em que t é o tempo, em anos, contado a partir de 1990. a) Qual era o valor da ação em 1994? E em 1999? 1990 => t = 0 1991 => t = 1 1994 => t = 4 1999 => t = 9 Em 1994 => P(4) = 3,20 . = 3,20 . = 3,20 . 2¹ = 3,20 . 1 = 3,20 Em 1999 => P(9) = 3,20 . = 3,20 . = 3,20 . 2² = 3,20 . 4 = 12,80 b) Em que ano a ação passou a valer oito vezes o valor de 1990? Em 1990 => P(0) = 3,20 . = 3,20 . 8 vezes o valor de 1990 => 8 . 3,20. = 2³. 3,20. = 3,20. = 3,20. 3,20 . = 3,20. t = 15 anos
  • 4. 4 FUNÇÃO LOGARÍTMICA Toda função definida pela lei de formação f(x) = logax, com a ≠ 1 e a > 0 é denominada função logarítmica de base a. Nesse tipo de função o domínio é representado pelo conjunto dos números reais maiores que zero e o contradomínio, o conjunto dos reais. Exemplos de funções logarítmicas: f(x) = log2x f(x) = log3x f(x) = log1/2x f(x) = log10x f(x) = log1/3x f(x) = log4x f(x) = log2(x – 1) f(x) = log0,5x Função logarítmica de base a é toda função , definida por com e . Podemos observar neste tipo de função que a variável independente x é um logaritmando, por isto a denominamos função logarítmica. Observe que a base a é um valor real constante, não é uma variável, mas sim um número real. A função logarítmica de é inversa da função exponencial de e vice- versa, pois: Note que na definição nós temos algumas restrições, sendo elas: • A base do logaritmo deve ser maior do que zero e diferente de 1 (0 < a ≠ 1); • O valor de x está determinado no conjunto dos números reais positivos, sem incluir o zero. Portanto, o logaritmando x deve ser: x > 0. As funções logarítmicas envolvem em sua resolução, propriedades destinadas ao estudo dos logaritmos. Portanto, o seu desenvolvimento depende do conhecimento prévio dessas propriedades. Exemplos: 1) Vamos resolver a equação 3x = 5. 3x = 5 log 3x = log 5 x.log3 = log 5 x = 2) (Fuvest-SP) A intensidade I de um terremoto, medida na escala Richter, é um número que varia de I = 0 até I = 8,9 para o maior terremoto conhecido. I é dado pela fórmula: I = Na qual E é a energia liberada no terremoto em KWH e E0 = 7 . 10-3 KWH. Qual é a energia liberada em um terremoto de intensidade 8 na escala Richter? I = e I = 8 = 8 = 8
  • 5. 5 log = log = 12 1012 = E = 7 . 10-3 . 1012 = 7 . 10-3 + 12 = 7. 109 KWH 3) Dentro de t décadas, contadas a partir de hoje, o valor em reais de um imóvel será dado por v = 80 000 . 0,9t . a) Qual é o valor atual deste imóvel? t = 0 => v = 80 000 . 0,90 = 80 000 . 1 = 80 000 b) Qual é a perda de valor deste imóvel durante a primeira década? t = 1 => v = 80 000 . 0,9¹ = 80 000 . 0,9 = 72 000 Perda: 80 000 – 72 000 = 8 000 c) Qual é o tempo mínimo necessário, em anos, para que o valor do imóvel, seja de R$ 60 000,00? (Use as aproximações: log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48) v = 60 000 e v = 80 000 . 0,9t . 80 000 . 0,9t = 60 000 0,9t = 0,9t = log 0,9t = log t. log = log 3 – log 4 t. (log 3² - log 10) = log 3 – log 2² t. (2.log3 – log 10) = log 3 – 2.log2 t. (2. 0,48 – 1) = 0,48 – 2.0,30 t. (0,96 – 1) = 0,48 – 0,60 t. (-0,04) = -0,12 t = décadas R: 30 anos. 4) A expressão seguinte relaciona o valor v, em reais, que um objeto de arte terá t anos após sua aquisição: v(t) = 500.2kt (k é uma constante positiva) a) Sabendo que o valor do objeto, após 3 anos de sua aquisição, é de R$ 2000,00, determine o valor de k. t = 3 e v(3) = 2000 2000 = 500.2k.3 = 23k 4 = 23k 2² = 23k 3k = 2 k = b) Por qual valor esse objeto de arte foi adquirido? t = 0 => v(0) = 500 . = 500 . 20 = 500 reais c) Qual é o número inteiro de anos necessários para que o valor do objeto seja de R$ 5 000,00? (Use a aproximação: log 2 = 0,30)
  • 6. 6 v(t) = 5000 e v(t) = 500. 500. = 5000 = = 10 2t . 0,10 = 1 t. 0,2 = 1 t = anos 5) A população de certa espécie de mamífero em uma região da Amazônia cresce segundo a lei n(t) = 5 000 . e0,02t em que n(t) é o número de elementos estimados da espécie no ano t (t = 0, 1, 2, 3, ...), contado a partir de hoje (t= 0). Determine o número inteiro mínimo de anos necessários para que a população atinja: (use as aproximações ln 2= 0,69 e ln 5 = 1,6) a) 8 000 elementos? n(t) = 8000 e n(t) = 5000 . e0,02t 5000. e0,02t = 8000 e0,02t = e0,02t = ln e0,02t = ln 0,02t. lne = ln 8 – ln 5 0,02t . 1 = ln 2³ - ln 5 0,02t = 3.0,69 – 1,6 0,02t = 2,07 – 1,6 0,02t = 0,47 t = R: 24 anos b) 10 000 elementos? n(t) = 10000 e n(t) = 5000 . e0,02t 5000. e0,02t = 10000 e0,02t = e0,02t = 2 ln e0,02t = ln2 0,02t. lne = 0,69 0,02t . 1 = 0,69 0,02t = 0,69 t = R: 35 anos Exercícios: 1) (SAERJ-2011) A quantidade de produtos fabricados em uma indústria em função do tempo, t, em anos de funcionamento é dada por P(t) = 10 000 . (3)t-1 . Qual é a quantidade de produtos fabricados por essa indústria em 4 anos de funcionamento? A) 30 000 B) 90 000 C) 120 000 D) 270 000 E) 810 000 2) (SAERJ-2014) Uma determinada vegetação aquática começou a se reproduzir de forma desordenada em um rio. A área invadida por essa vegetação, em m², em função do tempo t, dado em meses, pode ser calculada por meio da expressão f(t) = 100 . (1,25)t . Após dois meses, a área invadida por essa vegetação era de A) 125 m2 B) 156,25 m2 C) 250 m2 D) 12 500 m2 E) 15 625 m2 3) (SAERJ-2014) Marcelo consultou o gerente de seu banco para simular um empréstimo de R$ 1 000,00. O gerente lhe informou que o valor a ser pago por esse empréstimo pode ser calculado por meio da expressão V(t) = 1 000. (1,1)t ,
  • 7. 7 na qual V(t) representa o saldo devedor t meses após a realização do empréstimo. Qual será o valor V(t) do saldo devedor 3 meses após a realização desse empréstimo? A) R$ 1 100,00 B) R$ 1 210,00 C) R$ 1 331,00 D) R$ 3 000,00 E) R$ 3 330,00 4) (SAERJ-2013) O valor V(t) de uma máquina industrial, em função do tempo t (em anos) após sua aquisição, é dado pela expressão V(t) = 6 000 . sendo 0 ≤ t ≤ 30. Após 20 anos de sua aquisição, essa máquina sofreu uma desvalorização de, aproximadamente, A) R$ 54 000,00 B) R$ 5 333,33 C) R$ 5 000,00 D) R$ 1 000,00 E) R$ 666,67 5) (SAERJ-2013) A massa residual de um isótopo radioativo de iodo – 131 pode ser expressa pela função ( ) , na qual M representa a quantidade de massa residual após certo tempo dado em gramas, sendo m0 a massa total inicial em gramas, e x o tempo em dias. Um hospital possui 10 g desse isótopo em estoque para fins de tratamento contra o câncer de tireoide. Após 32 dias sem ocorrer nenhum tratamento, qual é massa residual desse isótopo de iodo – 131? A) 160 g B) 20 g C) 5 g D) 1,25 g E) 0,625 g 6) (SAERJ-2014) Os imóveis construídos em uma região da cidade do Rio de Janeiro - RJ sofreram uma valorização anual que pode ser calculada por meio da expressão V(t) = P0 . log3t, na qual P0 representa o preço do imóvel no ato de sua aquisição e V(t) é o valor do imóvel t anos após a sua aquisição, com t>3. Após 9 anos, o preço de um imóvel dessa região atingiu o valor de R$200000,00.Qual era o preço desse imóvel no ato de sua aquisição? A) R$ 22 222,22 B) R$ 66 666,66 C) R$ 100 000,00 D) R$ 400 000,00 E) R$ 600 000,00 7) (SAERJ-2013) O cálculo da quantidade de decibéis de um som é expresso por ( ) na qual I representa a intensidade do som e l0 = 10– 12 W/m2 que é a menor intensidade do som captado pelo ouvido humano. Um avião a jato, ao aterrissar, produz uma intensidade sonora l = 100 W/m2 . Qual é o nível sonoro desse avião, em decibéis, durante a aterrissagem? A) 15 B) 24 C) 60 D) 100 E) 140 8) (SAERJ-2014) A acidez de uma substância é indicada pelo seu pH, que pode ser calculado através da expressão ( ) ( ) , na qual H+ é a concentração de hidrogênio, em íons-grama por litro de solução. Qual é o pH de um cosmético cuja concentração de hidrogênio em íons-grama por litro é de 1,0 x 10– 8 ? A) 1,25 B) 1,80 C) 7 D) 8 E) 9 9) (SAERJ-2012) A intensidade M de um terremoto pode ser calculada de acordo com a função ( ) ( ) onde e indica a energia liberada no terremoto, em quilowatt-hora, e e0 = 7 x 10– 3 kw/h. O terremoto do Japão, ocorrido em março de 2011, atingiu, aproximadamente, uma intensidade M = 9 na escala Richter. Qual foi, aproximadamente, a energia liberada nesse terremoto no Japão? (Considere log 7 = 0,84) A) e = 1017,34 kw/h B) e = 1015,66 kw/h C) e = 1013,5 kw/h D) e = 1011,34 kw/h E) e = 1011,34 kw/h 7 x10-3
  • 8. 8 Representação da Função Exponencial no Plano Cartesiano Para representarmos graficamente uma função exponencial, podemos arbitrarmos alguns valores para x, montarmos uma tabela com os respectivos valores de f(x), localizarmos os pontos no plano cartesiano e traçarmos a curva do gráfico. Exemplo: Para a representação gráfica da função arbitraremos os seguintes valores para x: -6, -3, -1, 0, 1 e 2. Montando a tabela temos: x y = 1,8x -6 y = 1,8-6 = 0.03 -3 y = 1,8-3 = 0.17 -1 y = 1,8-1 = 0.56 0 y = 1,80 = 1 1 y = 1,81 = 1.8 2 y = 1,82 = 3.24 Acima temos o gráfico desta função exponencial, onde localizamos cada um dos pontos obtidos da tabela e os interligamos através da curva da função. Função Crescente e Decrescente: As funções exponenciais também podem ser classificadas como função crescente ou função decrescente. Isto se dará em função da base a ser maior ou menor que 1. Lembre-se que segundo a definição da função exponencial , definida por , temos que e . Função Exponencial Crescente: Se temos uma função exponencial crescente, qualquer que seja o valor real de x. No gráfico da função ao lado podemos observar que à medida que x aumenta,f(x) ou y também aumenta. Graficamente vemos que a curva da função é crescente. Função Exponencial Decrescente: Se temos uma função exponencial decrescente em todo o domínio da função. Neste outro gráfico podemos observar que à medida que x aumenta, y diminui. Graficamente observamos que a curva da função é decrescente.
  • 9. 9 1) Traçando o gráfico das seguintes funções exponenciais: f(x) = 2x , g(x) = (1,2)x e h(x) = x       2 5 2) Traçando o gráfico das seguintes funções exponenciais: f(x) = x       2 1 , g(x) = x       3 1 , h(x) = (0,2)x e p(x) = (0,7)x . Note também que independentemente de a função ser crescente ou decrescente, o gráfico da função sempre cruza o eixo das ordenadas no ponto (0, 1), além de nunca cruzar o eixo das abscissas. Representação da Função Logarítmica no Plano Cartesiano Podemos representar graficamente uma função logarítmica da mesma forma que fizemos com a função exponencial, ou seja, escolhendo alguns valores para x e montando uma tabela com os respectivos valores de f(x). Depois localizamos os pontos no plano cartesiano e traçamos a curva do gráfico.
  • 10. 10 Exemplo: Vamos representar graficamente a função e como estamos trabalhando com um logaritmo de base 10, para simplificar os cálculos vamos escolher para x alguns valores que são potências de 10: 0,001, 0,01, 0,1, 1, 10 e 2. Temos então seguinte a tabela: x y = log x 0,001 y = log 0,001 = -3 0,01 y = log 0,01 = -2 0,1 y = log 0,1 = -1 1 y = log 1 = 0 10 y = log 10 = 1 Ao lado temos o gráfico desta função logarítmica, no qual localizamos cada um dos pontos obtidos da tabela e os interligamos através da curva da função: Veja que para valores de y < 0,01 os pontos estão quase sobre o eixo das ordenadas, mas de fato nunca chegam a estar. Note também que neste tipo de função uma grande variação no valor de x implica numa variação bem inferior no valor de y. Por exemplo, se passarmos de x = 100 para x = 1000000, a variação de y será apenas de 2 para 6. Isto porque: Função Crescente e Decrescente: Assim como no caso das funções exponenciais, as funções logarítmicas também podem ser classificadas como função crescente ou função decrescente. Isto se dará em função da base a ser maior ou menor que 1. Lembre-se que segundo a definição da função logarítmica , definida por , temos que e . Função Logarítmica Crescente: Se temos uma função logarítmica crescente, qualquer que seja o valor real positivo de x. No gráfico da função ao lado podemos observar que à medida que x aumenta, também aumenta f(x) ou y. Graficamente vemos que a curva da função é crescente. Também podemos observar através do gráfico, que para dois valores de x (x1 e x2),que , isto para x1, x2 e a números reais positivos, com a > 1.
  • 11. 11 Função Logarítmica Decrescente: Se temos uma função logarítmica decrescente em todo o domínio da função. Neste outro gráfico podemos observar que à medida que x aumenta, y diminui. Graficamente observamos que a curva da função é decrescente. No gráfico também observamos que para dois valores de x (x1 e x2), que , isto para x1, x2 e a números reais positivos, com 0 < a < 1. 1) Traçando o gráfico das seguintes funções logarítmicas: f(x) = x2log g(x) = x3log , h(x) = x5,1log 2) Traçando o gráfico das seguintes funções logarítmicas: f(x) = x 2 1log ,g(x) = x 3 1log , e h(x) = x7,0log .
  • 12. 12 É importante frisar que independentemente de a função ser crescente ou decrescente, o gráfico da função sempre cruza o eixo das abscissas no ponto (1, 0), além de nunca cruzar o eixo das ordenadas e que o , isto para x1, x2 e a números reais positivos, com a ≠ 1. Torre Eiffel, uma função bem resolvida Se o professor pedisse a você que construísse o gráfico da função logarítmica y = x 2 1log , para x igual a ¼, ½, 1, 2 e 4, conseguiríamos identificar uma das prováveis fórmulas que delineou o perfil do cartão-postal francês, a Torre Eiffel. Veja o gráfico ao lado que a parte da curva em que y ≥ o respeita a arquitetura da torre mais famosa do mundo. Exemplos: 1) (SAERJ-2011) O gráfico que representa a função y = 3-2x é: A função y = 3-2x é a mesma que y = ( ) ( ) . Como a função y = ( ) é exponencial decrescente, as funções das letras C, D não podem ser resposta, por se tratarem de gráficos de função exponencial crescentes. E a função da letra E representa a curva de uma função logarítmica. Logo, restam como opções as letras A e B. Note que na A, os valores tomados para x são x = - ½ e x = ½. E na letra B, os valores tomados para x são x = -1 e x = 1. Substituindo esses valores na função y = ( ) . Teremos: A) x = - ½ => y = ( ) √ √ => (x,y) = ( ) x = ½ => y = ( ) √( ) √ => (x,y) = ( ) B) x = -1 => y = ( ) => (x,y) = (-1,9) x = 1 => y = ( ) => (x,y) = ( ) No entanto, os pontos marcados na letra B são: (-1, 3) e (1, ), não correspondendo aos pontos da função exponencial y = ( ) . Portanto, a opção correta é a letra A.
  • 13. 13 2) (SAERJ-2013) O gráfico exposto é o gráfico de uma função exponencial crescente. Portanto, as letras D e E não podem ser resposta da questão por se tratar de funções logarítmicas, e a letra A também não pode ser resposta da questão, porque é uma função exponencial de base a < 1, e por isso, é decrescente. Logo, como resposta para a questão resta as opções B e C. Note que os pontos marcados na curva são (0,1) e (1,3). Vamos verificar quais das duas opções nos fornece esta resposta. B) f(0) = 30 = 1 => (x,y) = (0,1) f(1) = 3¹ = 3 => (x,y) = (1,3) C) f(0) = 30 + 1 = 1 + 1 = 2 => (x,y) = (0,2) f(1) = 3¹ + 1 = 3 + 1 = 4 => (x,y) = (1,4) Logo, a resposta correta é a letra B. 3) (UFRGS) A representação geométrica que melhor representa o gráfico da função real de variável real x, dada por , é: (A) (B) (C) (D) (E) A função logarítmica é decrescente, pois tem base b < 1. Logo, a letra B, C e E não podem ser resposta para a função por se tratar de funções logarítmicas crescentes. Restando as opções A e D para solução da questão. Testaremos as opções: A) x = 1 => log½1 = 0 => (x,y) = (1,0) D) x = ½ => log½ ½ = 1 => (x,y) = (½, 1) ≠ (½, 0) Logo, a opção correta é a letra A. 4) (UFRGS) Na figura, a curva S representa o conjunto solução da equação y=logax e a curva T, o conjunto solução da equação y = logbx. Tem-se: A) a < b < 1 B) 1 < b < a C) 1 < a < b D) b < a < 1 E) b < 1 < a
  • 14. 14 A curva S e a curva T são representações de funções logarítmicas crescentes, portanto, a base a > 1 e a base b > 1. Como S está abaixo de T, b > a. Portanto, a resposta correta da questão é b > a > 1, numa notação equivalente: 1 < a < b. Logo, a resposta é a letra C. 5) (Ufsm 2002) O gráfico mostra o comportamento da função logarítmica na base a. Então o valor de a é A) 10 B) 2 C) 1 D) ½ E) -2 Segundo o enunciado temos y = logax. Como a curva que está sendo representada é de uma função logarítmica decrescente, a única opção possível para resposta seria a letra D. Vamos testá-la para confirmação: y = log½x x = 1 => y = log½1= 0 => (x,y) = (1,0) x = 4 => y = log½4 = log½2² = y = log½(½)-2 = -2 => (x,y) = (4, -2) Logo, a letra D é resposta da questão. 6) (SAERJ-2013) Observe abaixo o gráfico de uma função definida de IR* +-> IR. Qual é a representação algébrica dessa função? A) y= x - 1 4 B) y = 5x + 1 C) y = D) y = E) y = 5x A curva representada se trata de uma função logarítmica crescente. Portanto, as letras A e B não podem ser resposta para questão por se tratar de funções afins e, nem a letra E, por se tratar de uma função exponencial, e nem a letra C por ser uma função logarítmica de base b < 1 e, portanto, decrescente. Logo, a resposta só pode ser a letra D. Testando para confirmação, temos: x = 1 => y = log51 = 0 => (x,y) = (1,0) x = 5 => y = log55 = 1 => (x,y) = (5,1) Resposta: D. Exercícios: 1)(SAERJ-2014)
  • 15. 15 2) (SAERJ-2013) 3) (SAERJ-2014) Observe abaixo o gráfico de uma função real.
  • 16. 16 4) (SAERJ-2014) 5) (SAERJ–2012) 6) (SAERJ–2011) Função inversa: A função logarítmica é a função inversa da função exponencial. Observe: y = ax  x = yalog
  • 17. 17 Como os gráficos de funções inversas são simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares, o gráfico da função logarítmica é de imediata construção, uma vez que já vimos o gráfico da função exponencial. Note que:  Se a > 1, a função f(x) = xalog é crescente. Se 0 < a < 1, a função f(x) = xalog é decrescente. Exemplos: 1) (SAERJ-2014) Para fazer a inversa de f(x), temos que trocar f(x) por x e x por y. Logo teremos: x = 2y + 1 Isolando o y: x – 1 = 2y log2(x – 1) = log22y log2(x – 1) = y . log22 log2(x – 1) = y . 1 log2(x – 1) = y Resposta: E 2) (SAERJ-2013)
  • 18. 18 Para fazer a inversa de f(x), temos que trocar f(x) por x e x por y. Logo teremos: x = (½) y Isolando o y: log½x = log½(½)y log½x = y. log½(½) log½x = y . 1 log½x = y As únicas funções logarítmicas estão nas letras A e E. Sendo a letra A crescente e a letra E decrescente. Portanto, a opção correta é a letra E. Conferindo: x = 1 => y = log½1 = 0 => (x,y) = (1,0) x = 2 => y = log½2 = log½(½)-1 = -1 => (x,y) = (2,-1) E os pontos (1,0) e (2,-1) pertencem a curva da letra E. 3) (SAERJ-2014) A f(x) é uma função exponencial crescente, logo a f-1 (x) é uma função logarítmica crescente. Logo, a letra A e B estão erradas, por serem a f e não a f-1 . A letra E não representa uma função exponencial. E a letra D, é uma função logarítmica decrescente. Logo, a opção correta seria a letra C. Conferindo: f-1 (x) = log3x x = 1 => f-1 (1) = log31 = 0 => (x,y) = (1,0) x = 3 => f-1 (3) = log33 = 1 => (x,y) = (3,1) E os pontos (1,0) e (3,1) pertencem a curva f-1 (x).
  • 19. 19 Exercícios: 1) (SAERJ-2013) 2) (SAERJ) Qual é o gráfico que melhor representa a função inversa da função f: IR -> IR*+, definida por f(x) = 10x ? 3) (SAERJ-2014)
  • 20. 20 Demais gráficos da função logarítmica Observe abaixo nos seguintes gráficos da função logarítmica que, como o domínio da função altera, a assíntota altera de acordo com cada domínio. No entanto, o formado da curva é preservado. 1) )1(log3 x Base: b = 3 Domínio: x + 1 > 0 => x > 0 – 1 => x > -1 Assíntota: reta x = -1 2) )12(log3 x Base: b = 3 Domínio: 2x – 1 > 0 => 2x > 0 + 1 => 2x > 1 => x > ½ Assíntota: reta x = ½
  • 21. 21 3) )3(log 3 1 x Base: 1/3 Domínio: x + 3 > 0 => x > -3 Assíntota: reta x = -3 4) )12(log 3 1 x Base: 1/3 Domínio: 2x + 1 > 0 => 2x > -1 => x > - ½ Assíntota: x = - ½ Observe que, independentemente das funções serem crescentes ou decrescentes, mantendo-se a base, e não mudando a constante real que acompanha x, o que se visualiza é um deslocamento horizontal do gráfico e de suas assíntotas, diretamente relacionadas com seu domínio.
  • 22. 22 Vejamos apenas as funções crescentes em um único gráfico. Sejam as funções: f(x) = x3log , g(x) = )1(log3 x , h(x) = )4(log3 x e p(x) = )5(log3 x . Agora, observe que, se as funções tiverem o mesmo domínio, mas bases diferentes, teremos a mesma assíntota, e crescimentos de funções mais rápidos ou mais lentos. Sejam as funções: f(x) = )1(log3 x , g(x) = )1(log2 x . Exemplos: 1) (SAERJ-2014)
  • 23. 23 A função h(x) = log6(x) + 1 é uma função logarítmica crescente, pois b = 6 > 1. Logo, a letra C e D não podem ser resposta da questão porque são funções exponenciais. E a letra A também não pode ser reposta porque trata de uma função decrescente. Restando as opções B e E, na qual os valores de x escolhidos para ambas foram x = 1 e x = 6. Vamos testar e ver o resultado: x = 1 => h(1) = log6(1) + 1 = 0 + 1 = 1 => (x,y) = (1,1) x = 6 => h(6) = log6(6) + 1 = 1 + 1 = 2 => (x,y) = (6,2) Os pontos (1,1) e (6,2) estão representados na curva da letra B, que é a resposta da questão. 2) (Saerj-2013) A curva representada na questão é uma função logarítmica decrescente, porque corta o eixo x e não o eixo y. Portanto as letras D e E não podem ser respostas para a questão, pois são funções exponenciais, nem a letra A, por ter base b = 3 > 1 e ser uma função crescente. Logo as opções possíveis são B e C. Testaremos os valores de x = -1 e x = 7 nas funções e vamos assim descobrir qual é a resposta correta. B)x = -1 => ( ) = ( ) que não existe. C) x = -1 => ( ) = => (x,y) = (-1,0) x = 7 => ( ) = ( ) => (x,y) = (7, -2) Portanto, a opção correta é a letra C.