"É melhor praticar para a nota" - Como avaliar comportamentos em contextos de...
Revisão de potenciação, equações exponenciais e logaritmos
1. 1
MATERIAL PARA O 1º BIMESTRE -
MATEMÁTICA
2º ANO DO ENSINO MÉDIO
DOCENTE: IVE PINA
POTÊNCIA, EQUAÇÃO EXPONENCIAL E LOGARITMO
REVISÃO DE POTENCIAÇÃO
Podemos dizer que potenciação representa uma multiplicação de fatores iguais, se
temos a seguinte multiplicação: 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2, podemos representá-la usando a
potência 26
, onde 2 é a base e 6 o expoente (Leia: dois elevado a sexta potência).
I - Potências de Base Real com Expoente Inteiro
Nestas condições há quatro situações em particular que iremos tratar. A saber,
quando o expoente é maior que um, quando é igual a um, quando é igual a zero e
quando é negativo.
1) Expoente Maior que 1
a) De forma geral:
, isto é, a multiplicação de n fatores iguais a α.
Este é o caso de mais fácil compreensão, pois o conceito da potenciação está bem
claro. Observe a expressão abaixo:
26
= 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64
42
= 4 x 4 = 16
53
= 5 x 5 x 5 = 125
102
= 10 x 10 = 100
122
= 12 x 12 = 144
35
= 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243
63
= 6 x 6 x 6 = 216
b) Apesar de estarmos trabalhando com expoentes inteiros, as bases podem ser
decimais:
3,23
= 3,2. 3,2. 3,2 = 32,768
1,2² = 1,2 . 1,2 = 1,44
0,6³ = 0,6. 0,6. 0,6 = 0,216
0,25
= 0,2. 0,2. 0,2. 0,2. 0,2 = 0,00032
c) Assim como também podem ser fracionárias:
4
1
2
1
.
2
1
2
1
2
125
8
5
2
.
5
2
.
5
2
5
2
3
25
36
5
6
.
5
6
5
6
2
243
32
3
2
.
3
2
.
3
2
.
3
2
.
3
2
3
2
5
d) Assim como podem ser negativas. Temos 2 casos:
i) Base negativa e expoente ímpar, resultado negativo.
(-3)3
= (-3) x (-3) x (-3) = -27
(-4)5
= (-4) x (-4) x (-4) x (-4) x (-4) = -1024
(-2)7
= (-2) x (-2) x (-2) x (-2) x (-2) x (-2) x (-2) = -128
-33
= -27
2. 2
ii) Base negativa e expoente par, resultado positivo.
(-2)4
= (-2) x (-2) x (-2) x (-2) = + 16
(-6)2
= (-6) x (-6) = + 36
(-7)2
= (-7) x (-7) = + 49
-24
= -16
2) Expoente Igual a 1
Todo número diferente de zero e elevado a um é o próprio número.
21
= 2
31
= 3
151
= 15
201
= 20
121
= 12
3) Expoente Igual a 0
Todo número diferente de zero e elevado a zero é um.
20
= 1
30
= 1
100
= 1
40
= 1
1250
= 1
OBS: Base zero e qualquer número no expoente, o resultado será zero.
05
= 0
012
= 0
0100
= 0
07
= 0
025
= 0
4) Expoente Negativo
Quando o expoente é um número negativo: invertemos a base e mudamos o sinal do
expoente para positivo.
16
1
2
1
2
4
4
27
1
3
1
3
3
3
32
1
2
1
2
5
5
9
1
3
1
3
2
2
10244
4
1 5
5
813
3
1 4
4
4
9
2
3
3
2
22
64
125
4
5
5
4
33
II - Potência de um Expoente Racional
Revendo as raízes:
416
(4.4 = 16)
2164
(2.2.2.2 = 16)
283
(2.2.2 = 8)
56254
(5.5.5.5 = 625)
32435
(3.3.3.3.3 = 243)
4643
(4.4.4 = 64)
3
5
9
25
(5.5 = 25 e 3.3 = 9)
551
005
16 não existe
283
(-2).(-2).(-2) = - 8
115
(-1)(-1)(-1)(-1)(-1) = -1
2550
(5.5.2 = 50)
33
2354
(3.3.3.2 = 54)
6354
(3.3.3.2 = 54)
3
32
27
24 3
3
(2.2.2.3 = 24
e 3.3.3 = 27)
3. 3
Podemos transformar uma potência com expoente fracionário em um radical e vice-
versa:
Exemplos:
5
2
5 2
44
4 74
7
33
4
3
4 3
22
9333 25
10
5 10
3999 2
1
5,0
2
1
16
1
16
1
161616 44
1
4 14
1
25,0
Potência de uma Raiz
Ao elevarmos um radical a uma dada potência, estaremos obtendo o mesmo resultado
que obteríamos se elevássemos apenas o seu radicando a esta mesma potência:
Exemplo:
Exercícios:
1) Calcule o valor das potências:
a) 25
b) 132
c) (1,1)2
d) (0,4)5
e)
3
4
1
f)
2
7
5
g) 2
5
h) 2
5
i) 3
2
j) 251
k) 90
l) 031
m) 143
n) (-1)13
o) 2
5
p) (-2)-5
q) (-3)-4
r)
3
3
1
s)
4
3
2
2) Calcule ou simplifique as raízes:
a) 3
125
b) 4
81
c) 49
d) 3
1
e) 7
0
f) 1
12
g) 3
125
h) 5
32
i) 9
1
j) 4
16
k) 12
l) 18
m) 3
24
n) 4
32
o) 40
p)
25
48
q) 3
8
81
3) Represente os radicais sob a forma de potência e resolva quando possível:
a) 5 10
2
b) 3 9
5
c) 7 7
)2(
d) 3
2
e) 5
2
f) 3
3
g) 5
h) 3
8
REVISÃO DE EQUAÇÕES EXPONENCIAIS
1) Calcule as seguintes equações exponenciais:
a) 22242 2
xxx
(2.2 = 4)
b) 23393 2
xxx
(3.3 = 9)
c) 622642 6
xxx
(2.2.2.2.2.2= 64)
d) 433813 4
xxx
(3.3.3.3 = 81)
5. 5
x) 031232 00
xxx
y) 210 x
Exercícios:
1) Resolva em IR as seguintes equações exponenciais:
a) 497 x
b) 162 x
c) 273 x
d) 2562 x
e) 644 x
f) 324 x
g) 279 x
h) 25664 x
i) 1000100 x
j) 125625 x
k)
16
1
2 x
l) 81
3
1
x
m) 125
5
1
x
n)
8
1
4 x
o) 77 x
p) 16 x
q) 25,08 x
r)
32
1
5,0
x
s) )25,0(
4
1
x
t) 3
2562 x
u)
27
1
9 x
v) 5,026
x
w) 34
93
x
x) xx
34
y) 142 x
2) (FCC – UFS – PM – SE – 2002 – Curso de Formação de Soldados) Se x é um
número real tal que 10248 x
, então:
(A) 30 x (B) 53 x (C) 85 x (D) 108 x (E) 10x
3) (VUNESP – SEE – 1998 – Professor de Matemática) Uma solução da equação
exponencial 04,05 x
é:
(A) x = 2 (B) x = 1 (C) x = 0 (D) x = -1 (E) x = -2
FUNÇÃO LOGARÍTMICA
Como resolver esse tipo de problema?
210 x
Por tentativa:
...16,3101010 2
1
5,0
...995,11000101010 1010 310
3
3,0
...
210 ...3010,0
Foi fácil?
Os logaritmos surgiram, entre outros motivos, para facilitar o cálculo em equações
exponenciais de maior complexidade.
Através do conceito de logaritmos e de algumas tabelas especiais, o cálculo de
equações exponenciais foi bastante facilitado quando as bases não podem ser
facilmente igualadas.
Logaritmos apresentam várias aplicações nas ciências (química, física, engenharia,
em mecanismos de criptografia, etc.), veja alguns exemplos:
6. 6
Medição de terremotos pela movimentação das placas tectônicas: escala
Richter.
A força física envolvida em certos sons é uma potência de base 10, uma
conversa em voz alta é 106,5. A intensidade de um som é o logaritmo decimal
(na base 10) de sua intensidade física.
Crescimento populacional.
A meia-vida de uma substância química.
Altura de uma criança.
Conceito de Logaritmo
Lei do Logaritmo: Sejam a e b números reais positivos e b ≠ 1. Chama-se logaritmo
de a na base b o expoente x tal que bx
= a. Em símbolos: abxa x
b log .
Nomenclaturas:
a é chamado de logaritmando
b é chamado de base do logaritmo
x é chamado de logaritmo de a na base b
Exemplos:
a) 416log2 (24
= 16)
b) 2
25
1
log5 (
25
1
5 2
)
c) 01log7 (70
= 1)
d)
3
1
5log 3
5 ( 33
1
55 )
e) 225log255 5
2
f) 2
9
1
log
9
1
3 3
2
g) 4
16
1
log
16
1
2
1
2
1
4
Ou seja, logaritmos podem simbolizar potências de outra forma. Como 10² = 100,
então veremos que 2100log .
Eles são mais curtos que as potências. Imaginem que as potências indicam a altura de
um foguete que, depois de lançado, atinge 10 m em 1 segundo, 100 m em 2
segundos, e assim, sucessivamente. Diz-se, então, que o tempo é sempre o logaritmo
da altitude.
Se o foguete está a 10.000 m acima do solo, o tempo que levou então foi de 4
segundos. Portanto, o logaritmo de 10.000 é 4.
Assim, para compreender o que é um logaritmo, considere uma potência de base
positiva e diferente de 1. Por exemplo: 2³ = 8. Ao expoente dessa potência damos o
nome de logaritmo. Dizemos que 3 é o logaritmo de 8 na base 2. Em símbolos:
38log82 2
3
Logaritmo decimal: Chama-se logaritmo decimal aquele de base 10. Indica-se o
logaritmo decimal de um número a simplesmente por log a (a base 10 fica
subentendida). Ou seja, log a = a10log .
Exemplo: 3
1000
1
log
000.1
1
log 10 (
000.1
1
10 3
)
11. 11
L.3. caca bb loglog
Exemplos: 16log16log 22 cc
L.4. aya b
y
b log.log , ( y , com y IR)
Exemplos:
1) Ida:
2
5
32log2log 4
5
4
Volta:
2
5
2
1
.52log.52log 4
5
4
2) Ida:
2
3
27log3log 9
3
9
Volta:
2
3
2
1
.33log.33log 9
3
9
3) 585,17925,0.23log.23log 4
2
4
4) 2175,87425,1.546log.546log 9
5
9
5) Sabendo-se que 3log ab , calcular 5
log ab .
153.5log5log 5
aa bb .
L.5. yby
b log
Exemplos:
1) 31.33log.33log27log 3
3
33 .
2)
2
5
1.
2
5
2log.
2
5
2log2log32log 2
2
5
2
5
22
L.6. ab ab
log
aa bb loglog
Exemplos:
1)
125log5
5 = 125
2)
2log7
7 = 2
3) Calcular o valor da expressão:
2log4 5
5
16555
16log2log2log4 5
4
55
4) Calcular o valor da expressão:
1,0log2
10
01,0101010 01.0log1,0log1,0log2 2
5) Calcular o valor da expressão: 1log6log3 86
5log3
E .
E = 5 + 1 – 0 = 6
L.7. caac bbb logloglog
Exemplos:
1) Ida: 32log8log)2.4(log 3
222
Volta: 31212log2log4log)2.4(log 2
2222
12. 12
2) Ida: 778125log)125.625(log 55
Volta: 7345log5log125log625log)125.625(log 3
5
4
5555
3) Ida: 1293,535log)5.7(log 22
Volta: 1293,53219,28074,25log7log)5.7(log 222
4) Sabendo-se que 898,05log6 e 386,02log6 , calcular 10log6 .
284,1898,0386,05log2log)5.2(log10log 6666
OBS: )(log cab não existe propriedade específica.
Exemplo: )24(log2 = 6log2
L.8. ca
c
a
bbb logloglog
Exemplos:
1) Ida: 22log4log
2
8
log 2
222
Volta: 21312log2log8log
2
8
log 3
2222
2) Ida: 15log
125
625
log 52
Volta: 1345log5log125log625log
125
625
log 3
5
4
5552
3) Ida: ...)666,1log(
3
5
log Não tem na tabela.
Volta: 221849,0477121,069897,03log5log
3
5
log
4) Ida: )6,0log(
5
3
log Não tem na tabela.
Volta: 221849,069897,0477121,05log3log
5
3
log
5) Sabendo-se que 898,05log6 e 386,02log6 , calcular:
a) 5,2log6
512,0386,0898,02log5log
2
5
log5,2log 6666
b) 4,0log6
512,0898,0386,05log2log
5
2
log4,0log 6666
OBS: )(log cab não existe propriedade específica.
Exemplo: )39(log3 = 6log3
13. 13
L.9. Mudança de base:
b
a
a
k
k
b
log
log
log , ( k , com k IR*
, e k ≠ 1)
Exemplos:
1) Ida:
6
5
32log64
Volta:
6
5
2log
2log
64log
32log
32log 6
2
5
2
2
2
64
2) Ida:
2
1
4
2
9log
2:
2:
81
Volta:
2
1
4
2
3log
3log
81log
9log
9log
2:
2:
4
3
2
3
3
3
81
3) Sabendo-se que 898,05log6 e 386,02log6 , calcular:
a) 5log2
5log2 = 32,2
386,0
898,0
2log
5log
6
6
b) 2log5 =
43,0
898,0
386,0
5log
2log
6
6
Exercícios:
1) SAERJ – 1° BIM – 2012 (2° ANO)
2) (SAERJ-2014) Qual é o valor de log3 9 √ ?
A) 2 √ B) 9 C) 5 D) 7 E) 1
2 2
3) (SAERJ-2014) Qual é o valor da expressão log2 16 – log2 4 + log2 2?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 10 E) 11
4) (SAERJ-2013) André observou no enunciado de um exercício que os valores
aproximados dos logaritmos de 2 e 3 na base 10 são, respectivamente, log 2 ≅ 0,30 e
log 3 ≅ 0,48. Porém, na resolução desse exercício, André precisou fazer uso do valor
de log 6. André encontrou corretamente esse valor e finalizou a resolução do
exercício. O valor encontrado por André para log 6 foi
A) 0,144 B) 0,780 C) 0,810 D) 0,900 E) 1,080
14. 14
5) SAERJ – 1º BIM – 2011 (2º ANO)
6) SAERJ – 1º BIM – 2012 (2° ANO)
7) SAERJ – 2° BIM – 2012 (2° ANO)
8) (SAERJ-2013) Qual é o valor aproximado do log 27?
A) 0,11 B) 1,44 C) 2,52 D) 3,48 E) 4,32
Considere: log 3 = 0,48
9) (SAERJ-2014) Se log3 = 0,4 e log7 = 0,8 , o valor aproximado de log189 é
A) 3,6 B) 2,0 C) 0,96 D) 0,864 E) 0,0512
10) (SAERJ-2013) Qual é o valor aproximado do log 21?
A) 0,36 B) 0,40 C) 1,32 D) 2,52 E) 3,36
Considere:
log 3 = 0,48 e log 7 = 0,84
11) (SAERJ-2013) A expressão log2 6 + 2log2 5, equivale a
A) log2 16 B) log2 22 C) log2 75 D) log2 150 E) log2 900
12) SAERJ – 1° BIM – 2012 (2° ANO)
13) (SAERJ-2013) Qual é o valor aproximado do log 12?
A) 0,69 B) 1,08 C) 1,30 D) 1,80 E) 4,60
Considere: log 2 = 0,30 e log 24 = 1,38
15. 15
14) SAERJ – 1° BIM – 2012 (2° ANO)
15) (SAERJ-2013) Qual é o valor aproximado do log5 11?
A) 0,34 B) 0,67 C) 0,73 D) 1,48 E) 1,74
Considere: log 5 = 0,70 e log 11 = 1,0
16) Sabendo-se que 464,15log3 , calcule:
a) 25log3
b) 125log3
c)
5
1
log3
17) Calcule o valor de:a)
3log5
5
b)
3log5
25
18) Resolva a expressão:
5log3log10
275
34
949log1log
19) Sabendo-se que 9log ab , calcule 6
log ab .
20) Sabendo-se que 8log 2
ab e que a > 0, calcule 3
log ab .
21) Sabendo-se que 9log ab , calcule
3
log ab .