Lista de exercicios

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Lista de exercicios

  1. 1. Lista de Exercícios (Subsequente) (Função do 1° Grau, Função do 2° grau, Função Exponencial e Função Logarítmica) Função do 1° Grau: 1. Quais dos diagramas a seguir se encaixa na definição de função de A em B, onde A={a,b,c} e B={1,2,3}. Justifique. 2. Dado o esquema abaixo, representando uma função de "A" em "B", determine: a) O Domínio: b) A imagem c) f(5) d) f(12) 3. Dada a função f:R→R definida por: determinar: f(0), f(-4), f(2) e f(10). 4. Obtenha a equação da reta que passa pelo ponto (-4, 5) e tem coeficiente angular igual a -2. 5. Construa o gráfico de cada uma das seguintes funções: a) y = x b) y = 2x + 2 c) y = -2x
  2. 2. 6. Se uma função do primeiro grau é da forma f(x) = ax + b tal que b = -11 e f(3) = 7, obtenha o valor da constante a. 7. A função f é definida por f(x) = ax + b. Sabe-se que f(-1) = 3 e f(3) = 1, então pode-se afirmar que f(1) é igual a: 8. Por definição, zero de uma função é o ponto do domínio de f onde a função se anula. Dadas as quatro funções: f(x) = 3x - 8, g(x) = 2x + 6, h(x) = x - 1 e i(x) = 15x - 30 Ache o zero de cada função. 9. Obter a função f(x) = ax + b tal que f(-3) = 9 e f(5) = -7. Obtenha f(1) e o zero desta função. 10. (EDSON QUEIROZ - CE) O gráfico abaixo representa a função de ℝ em ℝ dada por f(x) = ax + b. De acordo com o gráfico abaixo, conclui-se que: a) a < 0 e b >0 b) a < 0 e b < 0 c) a > 0 e b > 0 d) a > 0 e b < 0 e) a > o e b = 0 11. O custo C de produção de 𝑥 litros de certa substância é dado por uma função linear de 𝑥, com 𝑥   ≥  0, cujo gráfico está representado abaixo. Nessas condições, o custo de R$ 700,00 corresponde à produção de quantos litros?
  3. 3. 12. Discuta, em função do parâmetro m, a “variação” (crescente, decrescente ou constante) de cada uma das funções abaixo: a) f(x) = (m + 2)x – 3 b) f(x) = (4 – m)x + 2 c) f(x) = m(x – 1) + 3 - x 13. Estude o sinal de cada uma das seguintes funções de ℝ em ℝ: a) y = 2x + 5 b) y = -5x -3 c) y = 10x d) y = 3 – x/2 e) y = 2x – 4/3 f) y = -1000x 14. Resolva, em ℝ, as inequações: a) 3𝑥 − 4 ≤ 𝑥 + 5 b) 19 − 17𝑥 < 7 − 11𝑥   c) 2 𝑥 + 3 < −2(3𝑥 + 1)   d) 4 𝑥 + 2 > 2 𝑥 − 1 + 3(𝑥 + 1)   e) −2 < 3𝑥 − 1 < 4 f) −3 < −𝑥 < 1 g) −4 < 4 − 2𝑥 ≤ 3 h) 3𝑥 + 3 5𝑥 − 3 > 0 i) 4 − 2𝑥 5 + 2𝑥 < 0 j) 3𝑥 + 2 −3𝑥 + 4 𝑥 − 6 < 0 k) !!!! !!! < 0 l) !!!! !!!! < 0 m) !!!! (!!!!) !!! < 0 n) !!!! !!! < −3 o) !!!! !!!! ≥ 2 15. Para ser aprovado, um aluno precisa ter média igual ou maior a 5. Se ele obteve notas 3 e 6 nas provas parciais (que têm peso 1, cada uma), quanto ele precisa tirar na nota final (que tem peso 2) para ser aprovado? 16. O preço do aluguel corresponde à quinta parte do salário de Kássia Ataliba; as despesas com alimentação e transporte correspondem a dois sétimos de seu salário. Qual é o salário que Kássia deve receber a fim de que, descontadas todas essas despesas, sobrem a ele, R$ 540,00? 17. A academia “Muita Pelanca” cobra uma taxa de matrícula de R$ 90,00 e uma mensalidade de R$ 45,00. A academia “Gordura Flácida” cobra uma taxa de matrícula de R$ 70,00 e uma mensalidade de R$ 50,00. A partir de quanto tempo a academia “Muita Pelanca” se tornará mais vantajosa? 18. Qual o domínio da função f(x) = !!! !!!! ? 19. Qual o domínio da função f(x) = !"! !!!! ?
  4. 4. Função do 2° Grau: 20. Determine m a fim de que a função definida por f x = 2m − 3 x! + 5x + 15, seja do 2º grau. 21. Determine os valores de k para que a função real f, definida por: 𝑓 𝑥 = 𝑘 − 5 2𝑘 − 12 𝑥! + 3𝑥 + 2, seja do 2º grau. 22. Determine t para que a parábola representativa da função y = 4 + 2t x! + 5x + 4: a) Tenha concavidade voltada para cima; b) Tenha uma raiz dupla; c) Tenha duas raízes reais e distintas. 23. A diferença entre o dobro do quadrado de um número positivo e o triplo desse número é 77. Calcule o número. (R: 7) 24. Determine dois números ímpares consecutivos cujo produto seja 143. (R: 11 e 13 ou -11, -13) 25. Um azulejista usou 2000 azulejos quadrados e iguais para revestir 45m² de parede. Qual é a medida do lado de cada azulejo? (R: 15 cm) 26. Determine o vértice de cada uma das parábolas representativas das seguintes funções. a) y = x! − 4 b) y = 2x! − 5x + 2 c) y = −x! + x − ! ! 27. Determine o valor de m na função real f x = mx! + m − 1 x + (m + 2) para que o valor máximo assumido por y seja 2. 28. A parábola de equação y = −2x! + bx + c passa pelo ponto (1, 0) e seu vértice é o ponto de coordenadas (3, y). Determine y. 29. Determine p a fim de que o gráfico de f x = 2x! + x + (p − 1) não intercepte o eixo das abscissas. 30. Determine os valores de m para que a função quadrática definida por f x = x! + 3m + 2 x + (m! + m + 2) tenha um zero real duplo. 31. Estima-se que, daqui a x anos, o número de pessoas que visitarão um determinado museu será dado por N x = 3x! − 120x + 3000. a) Atualmente, qual é o número de pessoas que visitam o museu? b) Quantas pessoas visitarão o museu no 10º ano? c) Daqui a quantos anos será registrado o menor número de visitantes? d) Qual é esse menor número de visitantes? 32. Dentre todos os números reais x  e  y tais que x + y = 10, determine aqueles cujo produto é máximo.
  5. 5. 33. Dentre todos os números reais x  e  y de soma 6, determine aqueles cuja soma dos quadrados é mínima. 34. Construa o gráfico cartesiano de cada uma das funções definidas nos reais e forneça também o conjunto imagem: a) y = 2x! − 5x + 2 b) y = −x! − x − 3 c) y = x! − 2x + 1 d) y = x! − 2x − 3 e) y = x! f) y = −x! 35. Qual é a função real cujo gráfico está representado ao lado? 36. (Vunesp – SP) Duas plantas de mesma espécie, A e B, que nasceram no mesmo dia, foram tratadas desde o início, com adubos diferentes. Um botânico mediu todos os dias o crescimento, em centímetros, destas plantas. Após 10 dias de observação, ele notou que o gráfico que representa o crescimento da planta A é uma reta passando por (2, 3) e o que representa o crescimento da planta B pode ser descrito pela lei matemática y = !"#!!! !" . Um esboço desses gráficos está apresentado na figura. a) Determine a equação da reta. b) Determine o dia em que as plantas A e B atingiram a mesma altura e qual foi essa altura? c) Em que dia a planta B atinge a altura máxima? 37. Estude os sinais das seguintes funções quadráticas: a) y = x! − 5x + 6 b) y = −6x! + x + 1 c) y = 4x! − 12x + 9 d) y = −x! + 6x − 9 e) y = 3x! − 2x + 5 f) y = −x! + 2x + 3 38. Resolva, em R, as inequações: a) 6x! − 5x + 1 ≤ 0 b) 2x! − x ≥ x! + 2x c) 2x! + 3x + 1 < −x(1 + 2x) d) 1 < x! ≤ 4 e) (2x! − 5x)(2 + x − x! ) < 0 f) !!!!"!! !!!!"!! ≥ 0 g) (!!!!"!!)(!"!!) (!!!!"!!) ≤ 0
  6. 6. 39. Qual o domínio da função real definida por f x = 3x! − 8x − 3? Função Exponencial: 40. (FEI-SP) Que número real representa a expressão:   (!,!)!!!(!,!)! ! ! ∙ ! ! !! ∙ ! ! ! !! ? 41. Se a ≠ 0  e  b ≠ 0, simplifique !!!!! !! !!!!! ! . 42. Resolva as equações exponenciais: xx 279 3 =+ 125 27 3 5 2 =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ x 832 12 =+x 43. (UFAL) Determine a solução real da equação: 4!!! − !! !" = 0 44. A lei que representa o crescimento de bactérias é dado por 𝑁 𝑡 = 𝑎. 2!" , onde N(t) representa o número de bactérias no instante t e a e b são constantes reais. Sabendo que no início da observação havia 3.000 bactérias e que, após duas horas de observação, havia 48.000, determine: a) os valores de a e b; b) o número de bactérias existentes após meia hora de observação; 45. (Unirio-RJ) Segundo dados de uma pesquisa, a população de certa região do país vem crescendo em relação ao tempo, contado em anos, aproximadamente, segundo a relação: 𝑃 𝑡 = 𝑃 0 . 2!!,!"! 46. Sendo P(0) uma constante que representa a população inicial dessa região e P(t) a população t anos após, determine quantos anos se passarão para que essa população fique reduzida à quarta parte da inicial. a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 15 47. (Unit-SE) Uma determinada máquina industrial se deprecia de tal forma que seu valor, t anos após a sua compra, é dado por 𝒗(𝒕)  =   𝒗 𝟎  . 𝟐–𝟎,𝟐𝒕 , em que v0 é uma constante real. Se, após 10 anos, a máquina estiver valendo R$ 12.000,00, determine o valor que ela foi comprada. 48. A massa de substância radioativa em certa amostra é dada, pela expressão A t = 500 ∙ 2!,!"# , com t em anos e A(t) em gramas. Quantos gramas havia no início da contagem do tempo? E 100 anos depois? 49. A função P x = 25000 ! ! !! é usada para determinar o valor, em euros, de um carro x anos depois da sua compra.
  7. 7. a) Qual é o custo inicial do carro? b) Determine o valor do carro dois anos depois da compra. 50. A população de uma colônia de fungos cresce, exponencialmente, de acordo com a fórmula N t = N! ∙ 2!" , em que N! representa o número inicial de fungos e t o número de dias decorridos desde o instante inicial. Sabendo que N! = 1000 e que o número de fungos duplica ao fim de 10 dias, qual é o valor de k? 51. (U. Amazonas – AM) Em uma pesquisa realizada, constatou-se que a população (P) de determinada bactéria cresce segundo a expressão P(t)  =  25 ∙  2! , onde t representa o tempo em horas. Para atingir uma população de 400 bactérias, será necessário um tempo de? 52. (Cefet – PA) No período de eleição, os canais de televisão disponibilizam um horário de propaganda gratuito. Admita que certo candidato apareça diariamente num certo horário e “n” dias após o início da aparição o número “P” de pessoas que ficam conhecendo o candidato é dado pela expressão P   =  5   +  5  . (25)! . Se 3130 pessoas já viram o candidato no horário de propaganda na televisão, então “n” é igual a? 53. Uma população de bactérias aumenta 50% em cada hora. No início eram 100 bactérias. a) Determine uma expressão para a função. b) Determine o número de bactérias ao fim de 4 horas? 54. (IMS) Uma máquina, ao sair da fábrica, sofre uma desvalorização constante pelo seu uso, representada pela função P(t)  =  50   +  5! , onde (P) é o preço da máquina (em reais) e (t) o tempo de uso (em anos). Determine o tempo para que essa máquina passe a custar R$ 75,00. 55. (UFGO) Uma casa popular na periferia de certa cidade brasileira vale atualmente R$ 20 000,00, porém o abandono sofrido pelo imóvel e a ação do tempo, tem feito com que o mesmo se desvalorize 10% a cada ano sem nenhuma reforma. A expressão V(t) que dá o valor do imóvel após t anos é dada por: V(t)  =  20.000. (0,9)! . Desta forma, após quanto tempo o imóvel valerá R$ 16.200,00? 56. (UFPA) Uma das práticas mais prazerosas da relação humana – o beijo – pode ser, paradoxalmente, um dos maiores meios de transmissão de bactérias. Supondo que o número de bactérias (N) por beijo (b) é determinado pela expressão N(b)  =  500  . 2! , para que o número de bactérias seja 32 000, você terá de dar quantos beijos? 57. (UFRJ) Um empregado está executando a sua tarefa com mais eficiência a cada dia. Suponha que N   =  640  (1  –  2!!,!" ) seja o número de unidades fabricadas por dia por esse empregado, após t dias do início do processo de fabricação. Para N = 635, determine t. 58. (U. E. FEIRA DE SANTANA) O produto das soluções da equação (4!  !  ! )!  !  ! =  1 é?
  8. 8. 59. Determinar os valores de x para os quais 2! = 32. 60. Determinar os valores de x para os quais 2! = 1. 61. Resolver a equação 27!  =  243. 62. Resolver a equação 625!  =  25. 63. Determinar o valor de x para o qual (1/3)! = 3. 64. Determinar o valor de x para o qual (4/9)! = 81/16 . 65. Qual é o conjunto solução da equação exponencial 5!!! = 125! ? 66. Determinar o conjunto solução de 2! = 5! . 67. Qual é o conjunto solução de 7!"!! − 49 = 0? 68. Determinar o conjunto solução da equação 4! + 3(2!!! ) = 16. 69. Obter o conjunto solução da equação ( 3)!!! = 243. 70. Determinar o conjunto solução da equação 3! − 3!!! = 24. 71. Determinar o conjunto solução do sistema com as duas equações exponenciais: 3!!! = 81 e 3!!! = 1. 72. Determine o conjunto solução do sistema de equações: 2!"!!  =  4 e 2!!!  =  2!!/! 73. Qual é a solução da equação exponencial 5!!!  –  9. 5!  =  2!!!  +  113. 2! ? 74. Resolver a equação exponencial 2!"!!  −  2!!!  −  2!  +  8   =  0. 75. Resolver a equação exponencial 4  ( 3)!!! =  9  ( 2)!!! . 76. (PUCRS) Se , então x é? 77. (UNISINOS) Se , então x é? 78. (CAJU) produto dos valores das soluções da equação 7!!! − 50 = −7!!! é?
  9. 9. 79. Resolva: 80. Determinar o conjunto solução para a desigualdade 5! > 625. 81. (Cefet – MG) O conjunto solução da inequação ! ! !!! ≤ ! ! é? 82. Obter o conjunto solução para a desigualdade (1/3)! < 81. 83. Determinar o conjunto solução para a desigualdade 2!"!! > 8. 84. Determinar as soluções para a desigualdade 9!!! > 243. 85. Determinar todas as soluções possíveis para a desigualdade 5!(!!!) > 1/25. 86. Determinar todas as soluções possíveis para a desigualdade 2!" − 3. 2!!! < −8. 87. Obter o conjunto solução para a desigualdade 2! + 32. 2!! − 12   < 0. 88. (Unirio-RJ) O conjunto solução da inequação x!" ≥ x!!! , onde x > 0  e  x ≠ 1, é? 89. (FGV-SP) Determine a solução da desigualdade ! ! !!!! ≤ 8!!! . 90. (UEL-PR) A relação 𝑃 = 64  000. (1 − 2!!,!! ) descreve o crescimento de uma população de microorganismos, sendo P o número de microorganismos, t dias após o instante 0. O valor de P é superior a 63 000 se, e somente se, t satisfizer à condição: a) 2 < t < 16 b) t > 16 c) t < 30 d) t > 60 e) 32 < t < 64 Função Logarítmica: 91. Calcule, a partir da definição e de suas respectivas consequências, os seguintes logaritmos: a) 10!"# !   c) 10!!!"# !   d) log! 64 + log! 64   e) log! 375 − log! 3   f) log!" 32   g) log!/! 32   h) log! 1/81   i) 3!!!"#! !   j) 5!!!"#! !   k) 16! !!"#! !   l) log! 4 + log ! 1 + 2 log 10   m) 25 ! !!!"#! !
  10. 10. 92. Sabendo que log 2 = a; log 3 = b; log 7 = c, determine: a) log 6   b) log 49   c) log 2   d) log 700   e) log 0,125   f) log! 2   g) log 5   h) log 20   i) log 343   93. (UFRJ) Dado log! A = 2 log! M + log! N, calcular A em função de M e N. 94. Qual é o valor de x se o logaritmo do número 16/25 na base x é 2? 95. Seja x um número real positivo. Qual é o valor da base a para que o logaritmo de x na base a: a) seja  igual  a  0.   b) seja  igual  a  1.   c) seja  igual  a  -­‐1.   96. (UEFS) Sendo log 2 = 0,301, o número log 5!" é? 97. (UFCE) Sendo a e b números reais positivos tais que log ! a = 224 e log ! b = 218, calcule o valor de a b. 98. Supondo que a, b e c reais positivos, desenvolva, aplicando as propriedades operatórias dos logaritmos. a) log !"#$ ! b) log! !"!! !!! c) log! !! ! ! d) log !!! ! !""# ! 99. Sabendo que log 2 = 0,301, calcule o valor de: a) log 200   b) log !"# !   c) log 2 ! ∙ 10!!   100. (VUNESP) Se log 8 = 0,903 e log 70 = 1,845, então log 14 é igual a: a) 1,146 b) 1,164 c) 1,182 d) 1,208 e) 1,190 101. (UFSCar – SP) A altura média do tronco de certa espécie de árvore, que se destina à produção de madeira, evolui, desde que é plantada, segundo o seguinte modelo matemático: h t = 1,5 + log! t + 1 , com h(t) em metros e t em anos. Se uma dessas árvores foi cortada quando seu tronco atingiu 3,5 m de altura, o tempo, (em anos) transcorrido do momento da plantação até o do corte foi de? 102. Calcule a soma S em cada caso: a) S = log! 8 + log! ! ! +log! 5 b) S = log!"" 0,1 + log!" 5 ! +log ! 2 103. (IME – RJ) Calcule o logaritmo de 625 na base 5 5 ! .
  11. 11. 104. (FAAP – SP) Ache y real sabendo-se que: log! y = log! 3 + log! 6 − 3 log! 4. 105. (FGV – SP) Considerando log 2 = 0,301 e log 3 = 0,4771, então log 0,6 é igual a? 106. (PUC – SP) O valor de log!,!" 125 é igual a? 107. (FUVEST – SP) Sendo a! + b! = 70ab, calcule log! !!! ! !" em função de m = log! 2 e n = log! 3. 108. Sabendo que log x + log y = m, determine em função de m: a) log ! ! +log ! !   b) log ! !! +log ! !!   c) log x!" +log y!"   109. (UFRS) Se log! a − b = 6 e  a + b = 8, qual o valor de log! a! − b! ? 110. Se x  e  y são reais positivos e log! x = 3, qual o valor de: a) log! y   b) log!! y   111. Qual é o valor de y = log! 5 ∙ log! 27? 112. Qual o valor de: y = log! 2 ∙ log! 3 ∙ log! 4 ∙ log! 5 ∙ log! 6 ∙ log! 7 ∙ log! 8 ∙ log!" 9? 113. Sabendo que log! x = k, determine, em função de k, os seguintes logaritmos: a) log! x   b) log! 16   114. (CESGRANRIO) As indicações R1 e R2, na escala Richter, de dois terremotos estão relacionadas pela fórmula: R1 – R2 = log (M1/M2), onde M1 e M2 medem a energia liberada pelos terremotos sob a forma de ondas que se propagam pela crosta terrestre. Houve dois terremotos: um correspondente a R1 = 8 e outro correspondente a R2 = 6. Então, a razão (M1/M2) vale: a) 100   b) 2   c) 4/3   d) 10   e) 1   115. (UFRN) O valor da expressão log! 64 − log! 27 é igual a? 116. (ITA – SP) log! 16 − log! 32 é igual a? 117. (UEL) O valor de um automóvel (em reais) sofre uma depreciação de 4% ao ano. Sabendo-se que o valor atual de um carro é de 40 000 reais, depois de quantos anos o valor desse carro será de 16 000 reais? Use o valor de 0,3 para log2 e o valor de 0,48 para log3. 118. (FUVEST) A curva ao lado representa o gráfico da função y = log x, x > 0. Qual o valor da área pintada?
  12. 12. 119. (CAJU) Qual o valor de x na equação 10! = 4? a) 2   b) 2 log 2   c) log 2   d) log! 10   120. (UFGO) Se a curva da figura representa o gráfico da função y = log x, onde x é um número positivo, calcule o valor da área hachurada. 121. (UFRGS) A representação geométrica que melhor representa o gráfico da função real de variável real x, dada por: f x = log! ! x, é: 122. (UFC) Suponha que o nível sonoro b e a intensidade I de um som estejam relacionados pela equação logarítmica b = 120 + 10 log I, em que b é medido em decibéis e I, em watts por metro quadrado. Sejam I1 a intensidade correspondente ao nível sonoro de 80 decibéis de um cruzamento de duas avenidas movimentadas e I2 a intensidade correspondente ao nível sonoro de 60 decibéis do interior de um automóvel com ar-condicionado. A razão I1/I2 é igual a: a) 10   b) 1/10   c) 1   d) 100   e) 100   123. (FUVEST) Se log! 7 = x e log!" 49 = y, então x − y é igual a? 124. Resolva, em ℝ, as seguintes equações: a) log!(3x + 2) = log!(2x + 5)   b) log!(5x! − 14x + 1) = log!(4x! − 4x − 20)   c) log! ! 5x − 4 = log! ! 6   d) log! 6x − 5 = log! 2x − 1   e) log!(2x − 11) = 3   f) log!(3x! − 13x + 15) = 2   g) log(!!!)(2x! − 11x + 16) = 2   h) log!( log! x) = 1   i) log! x ! − 7 log! x = −6   j) 2 log! x ! + 2 = 5 log! x   k) log x ! = 4 log x   l) log! x − 3 + log! x + 3 = 4   m) log x + log x − 21 = 2   125. (CESGRANRIO-RJ) Se log x representa o logaritmo decimal do número positivo x, a soma das raízes de log!  x  –  log  x!  =  0 é: a) 1         b) 1/10     c) -­‐1         d) 100         e) 1
  13. 13. 126. Resolva, em ℝ, as seguintes inequações: a) log! x > log! 5   b) log! ! x > log! ! 3   c) log(x − 1) < log 2   d) log!,! 4x − 3 ≤ log!,! 5   e) log! 5x − 2 ≤ log! 7   f) log! x > 3   g) log! ! x > 1   h) log!(3x + 5) > 3   i) 3 log! x ! + 5 log! x − 2 ≤ 0  

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