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Universidade do Sul de Santa Catarina




 Trigonometria e
Números Complexos
Disciplina na modalidade a distância




               Palhoça
             UnisulVirtual
                 2007
Créditos
Unisul - Universidade do Sul de Santa Catarina
UnisulVirtual - Educação Superior a Distância

Campus UnisulVirtual                 Diva Marília Flemming                Monitoria e Suporte               Equipe Didático-
Rua João Pereira dos Santos, 303     Itamar Pedro Bevilaqua               Rafael da Cunha Lara              pedagógica
Palhoça - SC - 88130-475             Janete Elza Felisbino                (Coordenador)
Fone/fax: (48) 3279-1541 e           Jucimara Roesler                     Adriana Silveira                  Capacitação e Apoio
3279-1542                            Lilian Cristina Pettres (Auxiliar)   Caroline Mendonça                 Pedagógico à Tutoria
E-mail: cursovirtual@unisul.br       Lauro José Ballock                   Dyego Rachadel                    Angelita Marçal Flores
Site: www.virtual.unisul.br          Luiz Guilherme Buchmann              Edison Rodrigo Valim              (Coordenadora)
                                     Figueiredo                           Francielle Arruda                 Caroline Batista
Reitor Unisul                        Luiz Otávio Botelho Lento            Gabriela Malinverni Barbieri      Enzo de Oliveira Moreira
                                     Marcelo Cavalcanti                   Josiane Conceição Leal            Patrícia Meneghel
Gerson Luiz Joner da Silveira        Mauri Luiz Heerdt                    Maria Eugênia Ferreira Celeghin   Vanessa Francine Corrêa
                                     Mauro Faccioni Filho                 Rachel Lopes C. Pinto
Vice-Reitor e Pró-Reitor             Michelle Denise Durieux Lopes
Acadêmico                                                                 Simone Andréa de Castilho         Design Instrucional
                                     Destri                               Tatiane Silva
Sebastião Salésio Heerdt             Moacir Heerdt                                                          Daniela Erani Monteiro Will
                                                                          Vinícius Maycot Serafim            (Coordenadora)
                                     Nélio Herzmann
Chefe de Gabinete da Reitoria        Onei Tadeu Dutra                                                       Carmen Maria Cipriani Pandini
                                                                          Produção Industrial e             Carolina Hoeller da Silva Boeing
Fabian Martins de Castro             Patrícia Alberton                    Suporte
                                     Patrícia Pozza                                                         Dênia Falcão de Bittencourt
                                     Raulino Jacó Brüning                 Arthur Emmanuel F. Silveira       Flávia Lumi Matuzawa
Pró-Reitor Administrativo                                                 (Coordenador)
                                     Rose Clér E. Beche                                                     Karla Leonora Dahse Nunes
Marcus Vinícius Anátoles da Silva                                         Francisco Asp                     Leandro Kingeski Pacheco
Ferreira                             Tade-Ane de Amorim
                                     (Disciplinas a Distância)                                              Ligia Maria Soufen Tumolo
                                                                          Projetos Corporativos             Márcia Loch
Campus Sul                                                                Diane Dal Mago                    Viviane Bastos
                                     Design Gráfico
Diretor: Valter Alves Schmitz Neto                                        Vanderlei Brasil                  Viviani Poyer
Diretora adjunta: Alexandra          Cristiano Neri Gonçalves Ribeiro
                                     (Coordenador)                                                          Núcleo de Avaliação da
Orsoni                                                                    Secretaria de Ensino a            Aprendizagem
                                     Adriana Ferreira dos Santos
                                     Alex Sandro Xavier                   Distância                         Márcia Loch (Coordenadora)
Campus Norte                                                              Karine Augusta Zanoni
                                     Evandro Guedes Machado                                                 Cristina Klipp de Oliveira
Diretor: Ailton Nazareno Soares      Fernando Roberto Dias                (Secretária de Ensino)            Silvana Denise Guimarães
Diretora adjunta: Cibele Schuelter   Zimmermann                           Ana Luísa Mittelztatt
                                     Higor Ghisi Luciano                  Ana Paula Pereira                 Pesquisa e Desenvolvimento
Campus UnisulVirtual                 Pedro Paulo Alves Teixeira           Djeime Sammer Bortolotti          Dênia Falcão de Bittencourt
Diretor: João Vianney                Rafael Pessi                         Carla Cristina Sbardella          (Coordenadora)
Diretora adjunta: Jucimara           Vilson Martins Filho                 Franciele da Silva Bruchado
Roesler                                                                   Grasiela Martins                  Núcleo de Acessibilidade
                                     Gerência de Relacionamento           James Marcel Silva Ribeiro        Vanessa de Andrade Manuel
                                     com o Mercado                        Lamuniê Souza
Equipe UnisulVirtual                 Walter Félix Cardoso Júnior          Liana Pamplona
                                                                          Marcelo Pereira
Administração                        Logística de Encontros               Marcos Alcides Medeiros Junior
Renato André Luz                     Presenciais                          Maria Isabel Aragon
Valmir Venício Inácio                                                     Olavo Lajús
                                     Marcia Luz de Oliveira               Priscilla Geovana Pagani
                                     (Coordenadora)                       Silvana Henrique Silva
Bibliotecária                        Aracelli Araldi                      Vilmar Isaurino Vidal
Soraya Arruda Waltrick               Graciele Marinês Lindenmayr
                                     Guilherme M. B. Pereira              Secretária Executiva
Cerimonial de Formatura              José Carlos Teixeira
                                     Letícia Cristina Barbosa             Viviane Schalata Martins
Jackson Schuelter Wiggers
                                     Kênia Alexandra Costa Hermann
                                     Priscila Santos Alves                Tecnologia
Coordenação dos Cursos
                                                                          Osmar de Oliveira Braz Júnior
Adriano Sérgio da Cunha              Logística de Materiais               (Coordenador)
Aloísio José Rodrigues                                                    Ricardo Alexandre Bianchini
Ana Luisa Mülbert                    Jeferson Cassiano Almeida da
                                     Costa (Coordenador)                  Rodrigo de Barcelos Martins
Ana Paula Reusing Pacheco
Cátia Melissa S. Rodrigues           Eduardo Kraus
(Auxiliar)
Charles Cesconetto
Apresentação

Este livro didático corresponde à disciplina Trigonometria e
Números Complexos.

O material foi elaborado visando a uma aprendizagem autônoma,
abordando conteúdos especialmente selecionados e adotando uma
linguagem que facilite seu estudo a distância.

Por falar em distância, isso não significa que você estará
sozinho. Não esqueça que sua caminhada nesta disciplina
também será acompanhada constantemente pelo Sistema
Tutorial da UnisulVirtual. Entre em contato sempre que sentir
necessidade, seja por correio postal, fax, telefone, e-mail ou
Espaço UnisulVirtual de Aprendizagem - EVA. Nossa equipe
terá o maior prazer em atendê-lo, pois sua aprendizagem é nosso
principal objetivo.

Bom estudo e sucesso!

Equipe UnisulVirtual.
Rosana Camilo da Rosa
        Eliane Darela
  Paulo Henrique Rufino




 Trigonometria e
Números Complexos
         Livro didático


       Design Instrucional
  Karla Leonora Dahse Nunes


  2ª edição revista e atualizada



             Palhoça
           UnisulVirtual
               2007
Copyright © UnisulVirtual 2007
   Nenhum a partedesta publicação podeser reproduzida por qualquer m eio sem a prévia autorização desta instituição.




                                          Edição - Livr Didático
                                                 - o

                                      Pr essor Conteudistas
                                        of       es
                                        Rosana Cam ilo da Rosa
                                             ElianeDarela
                                         Paulo HenriqueRu. no

                                         Design I ucional
                                                  nstr
                                       Karla Leonora DahseNunes

                                        I 978-85-60694-32-7
                                         SBN

                                         Pr eto Gr ico e Capa
                                           oj     áf
                                          EquipeUnisulVirtual

                                          Diagr ação
                                               am
                                Fernando Roberto Dias Zim m erm ann

                                           Revisão Or áf
                                                     togr ica
                                                   B2B




516.24
R69 Rosa, Rosana Camilo da
          Trigonometria e números complexos : livro didático / Rosana Camilo
       da Rosa, Eliane Darela, Paulo Henrique Rufino ; design instrucional Karla
       Leonora Dahse Nunes. – 2. ed. rev. e atual. – Palhoça : UnisulVirtual, 2007.
          326 p. : il. ; 28 cm.

              Inclui bibliografia.
              ISBN 978-85-60694-32-7

            1. Trigonometria. 2. Números complexos. I. Darela, Eliane. II. Rufino,
         Paulo Henrique. III. Nunes, Karla Leonora Dahse. IV. Título.


              Fi catal
               cha   ográfca el
                          i   aborada pel Bi i
                                        a bloteca U ni
                                                     versi a da U ni
                                                         tári      sul
Sumário

Apresentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3
Palavras dos professores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9
Plano de estudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

UNIDADE             1   –
            Estudando a Trigonometria nos Triângulos . . . . . . . . . . . . . 17
UNIDADE             2   –
            Conceitos Básicos da Trigonometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
UNIDADE             3   –
            Estudando as Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . 95
UNIDADE             4   –
            Estudando as Relações, Equações e Inequações
            Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
UNIDADE 5 – Números Complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193



Para concluir o estudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
Sobre os professores conteudistas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
Respostas e comentários das atividades de auto-avaliação . . . . . . . . . . . . 251
Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
Anexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
Palavras dos professores

Estamos apresentando os conteúdos relativos à disciplina
Trigonometria e Números Complexos. Os assuntos
apresentados são de fundamental importância para sua
formação profissional e são abordados de forma clara
e objetiva, sempre salientando aspectos da História da
Matemática, conforme preconiza o Projeto Pedagógico
do Curso de Matemática Licenciatura.

É indiscutível que o uso das tecnologias deve estar
presente na sala de aula, logo a formação de um
profissional com competência para desenvolver atividades
didáticas num contexto informatizado torna-se
necessária. No decorrer desta disciplina, vamos incentivá-
lo e orientá-lo para o uso de diferentes softwares
matemáticos.

Utilizamos uma linguagem acessível, pois estamos
inseridos num contexto de Educação a Distância, e uma
linguagem mais técnica poderia prejudicar o andamento
das atividades.

Você terá a oportunidade de desenvolver atividades e
leituras num ambiente virtual, e poderá refletir sobre
aspectos didáticos na abordagem dos tópicos estudados
com a utilização de recursos tecnológicos.

Finalizando, gostaríamos de desejar um ótimo trabalho,
e dizer que nossa relação didática será no ambiente
virtual, mas estaremos sempre em contato para sanar
suas dúvidas. Procure manter suas atividades em dia e
conte conosco.

Profª. Eliane Darela, Msc.
Prof . Paulo Henrique Rufino.
Profª. Rosana Camilo da Rosa, Msc.
Plano de estudo

O plano de estudos visa a orientá-lo/a no desenvolvimento
da disciplina. Nele, você encontrará elementos que
esclarecerão o contexto da disciplina e sugerirão formas de
organizar o seu tempo de estudos.

O processo de ensino e aprendizagem na UnisulVirtual
leva em conta instrumentos que se articulam e se
complementam. Assim, a construção de competências se dá
sobre a articulação de metodologias e por meio das diversas
formas de ação/mediação.

São elementos deste processo:

         o livro didático;
         o Espaço UnisulVirtual de Aprendizagem (EVA);
         as atividades de avaliação (auto-avaliação, a
          distância e presenciais).


Carga Horária

60 horas – 4 créditos.



Ementa

Arcos e ângulos. Funções trigonométricas. Relações
trigonométricas. Equações e inequações trigonométricas.
Números Complexos. Operações e representações dos
números complexos. Trigonometria e os números complexos.
Universidade do Sul de Santa Catarina




                           Objetivo(s)


                           Geral
                          A disciplina objetiva a reflexão e construção de conhecimentos
                          no contexto da Trigonometria e dos Números Complexos,
                          propiciando ao universitário a oportunidade de: investigar,
                          observar, analisar e delinear conclusões testando-as na resolução
                          de problemas, formando uma visão ampla e científica da
                          realidade.

                           Específicos
                              Desenvolver o conceito de razões trigonométricas no triângulo
                               retângulo.
                              Resolver problemas aplicando as relações fundamentais entre as
                               razões trigonométricas.
                              Reconhecer e aplicar a lei dos cossenos e a lei dos senos na
                               resolução de triângulos.
                              Expressar e converter a medida de um ângulo de graus para
                               radianos e vice-versa.
                              Introduzir o conceito das funções circulares.
                              Reduzir arco ao 1º quadrante.
                              Construir, ler e interpretar gráficos das funções
                               trigonométricas utilizando, corretamente, procedimentos e
                               ferramentas tecnológicas.
                              Resolver equações e inequações trigonométricas.
                              Resolver e simplificar expressões trigonométricas, aplicando as
                               relações trigonométricas.
                              Aplicar as fórmulas da adição, subtração e arco duplo.
                              Compreender o conceito de números complexos.
                              Identificar um número complexo na sua forma algébrica e
                               representá-lo no plano de Argand-Gauss.




12
Trigonometria e Números Complexos




   Compreender os conceitos de módulo e argumento de um
    número complexo z. Apresentar a forma trigonométrica de z.
   Operar com números complexos na forma algébrica e
    trigonométrica.


Conteúdo programático/objetivos

Os objetivos de cada unidade definem o conjunto de
conhecimentos que você deverá deter para o desenvolvimento de
habilidades e competências necessárias a sua formação. Neste
sentido, veja a seguir as unidades que compõem o Livro Didático
desta disciplina, bem como os seus respectivos objetivos.


Unidades de estudo: 5


Unidade 1 - Estudando a Trigonometria nos Triângulos
Nesta unidade, apresentam-se as razões trigonométricas nos
triângulos retângulos, bem como as leis dos senos e cossenos
em triângulos quaisquer. O estudo desta unidade nos permite a
resolução de problemas que envolvem situações reais.

Unidade 2 - Conceitos Básicos da Trigonometria
Nesta unidade, são apresentados conceitos relativos à
trigonometria na circunferência. Estes conceitos são
fundamentais para definir o seno e o cosseno na circunferência
trigonométrica, o que também será abordado nesta unidade.

Unidade 3 - Estudando as Funções Trigonométricas
As funções trigonométricas, também conhecidas como funções
circulares, serão discutidas nesta unidade, possibilitando a
leitura gráfica e a modelagem de problemas práticos. Os recursos
tecnológicos serão indispensáveis, pois facilitam as representações
gráficas.




                                                                                           13
Universidade do Sul de Santa Catarina




                           Unidade 4 - Estudando as Relações, Equações e Inequações Trigonométricas
                           O estudo das relações e transformações trigonométricas
                           será abordado nesta unidade, salientando-se que as relações
                           trigonométricas são decorrentes do seno e cosseno de um arco,
                           estudados na unidade 2. Amplia-se o estudo, nesta unidade,
                           abordando equações e inequações trigonométricas.

                           Unidade 5 - Números Complexos
                           Nesta unidade, apresenta-se um novo conjunto, chamado
                           conjunto dos números complexos. Serão abordadas as operações
                           na forma algébrica e trigonométrica, bem como a representação
                           gráfica desse número.


                           Agenda de atividades/ Cronograma

                                       Verifique com atenção o EVA. Organize-se para acessar
                                        periodicamente o espaço da Disciplina. O sucesso nos
                                        seus estudos depende da priorização do tempo para a
                                        leitura; da realização de análises e sínteses do conteúdo; e
                                        da interação com os seus colegas e tutor.
                                       Não perca os prazos das atividades. Registre as datas no
                                        espaço a seguir, com base no cronograma da disciplina
                                        disponibilizado no EVA.
                                       Use o quadro para agendar e programar as atividades
                                        relativas ao desenvolvimento da Disciplina.




14
Trigonometria e Números Complexos




Atividades

Avaliação a Distância




Avaliação Presencial



Avaliação Final (caso necessário)

Demais atividades (registro pessoal)




                                                                           15
1
UNIDADE 1



Estudando a Trigonometria nos
Triângulos

      Objetivos de aprendizagem
         Desenvolver o conceito de razões trigonométricas no
          triângulo retângulo.

       Resolver problemas aplicando as relações fundamentais
        entre as razões trigonométricas.
       Reconhecer e aplicar a lei dos cossenos e a lei dos senos

        na resolução de triângulos.



      Seções de estudo
      Seção 1 Introdução à Trigonometria
      Seção 2 Definindo as razões trigonométricas no
                   triângulo retângulo
      Seção 3      Relações trigonométricas em um triângulo
                   qualquer: lei dos senos e lei dos cossenos
Universidade do Sul de Santa Catarina




                           Para início de conversa
                           Sabe-se que algumas medidas podem ser obtidas diretamente,
                           outras são obtidas de modo indireto. A largura de uma sala,
                           por exemplo, pode ser medida com uma trena, o comprimento
                           de uma estrada pode ser medido, por meio de um hodômetro
                           instalado em um automóvel que percorra a estrada do início
                           ao fim. Em ambos os casos essa medida é encontrada de modo
                           direto. Já a distância da Terra até a Lua só pode ser obtida de
                           modo indireto.

                           A Trigonometria é uma ferramenta importante para a resolução
                           de problemas que envolvem grandes distâncias como os de
                           engenharia, navegação e astronomia.

                           Nesta unidade, você estudará a trigonometria no triângulo
                           retângulo, bem como as leis dos senos e cossenos em triângulos
                           quaisquer. A contextualização da trigonometria, por ser de suma
                           importância, será abordada no desenvolvimento das atividades.



                           SEÇÃO 1 – Introdução à trigonometria

                                             O que é trigonometria?
                                             Tri = três
                                             gonos = ângulos
                                             metria = medição



                           Logo, trigonometria significa medição de três ângulos.




18
Trigonometria e Números Complexos




      Você sabia...
      Triângulo retângulo é um triângulo que possui um ângulo
      reto (90º).




O estudo da trigonometria foi impulsionado pela necessidade
de evolução da Agrimensura, Navegação e Astronomia, já que
as dimensões do universo sempre fascinaram os cientistas. O
astrônomo grego Aristarco de Samos (310 a.C. - 230 a.C.) foi                    Para compreender, acesse
um dos primeiros a calcular as distâncias que separam a Terra,                  o site sugerido na seção
a Lua e o Sol. Para isso, ele usou relações entre as medidas dos                ‘saiba mais’ ao final desta
lados dos triângulos retângulos com seus ângulos internos.                      unidade.


Acredita-se que, como ciência, a trigonometria nasceu com
o astrônomo grego Hiparco de Nicéia (190 a.C. - 125 a.C.),
também conhecido como o Pai da Trigonometria por ter
estudado e sistematizado algumas relações entre os elementos
de um triângulo.

A relação entre as medidas dos lados de um triângulo com as
medidas de seus ângulos é de grande utilidade na medição de
distâncias inacessíveis ao homem, como a altura de montanhas,
torres e árvores, ou a largura de rios e lagos.

Também encontra-se aplicações da trigonometria na Engenharia,
na Mecânica, na Eletricidade, na Acústica, na Medicina e até na
Música.




                                   Unidade 1                                                           19
Universidade do Sul de Santa Catarina




                           SEÇÃO 2 - Definindo as razões trigonométricas no
                           triângulo retângulo
                           Do ponto de vista matemático, o desenvolvimento da
                           trigonometria está associado à descoberta de constantes nas
                           relações entre os lados de um triângulo retângulo.

                           Suponha que a Figura 1.1 represente uma rampa, em uma pista
                           de skate, que forma um ângulo de α graus com o solo:

                                       Quando o skatista percorre 50m sobre a rampa, o mesmo
                                        fica a uma altura de 30 metros e o seu deslocamento na
                                        horizontal é de 40 metros;
                                       Quando o skatista percorre 75m sobre a rampa, o mesmo
                                        fica a uma altura de 45 metros e o seu deslocamento na
                                        horizontal é de 60 metros;
                                       Quando o skatista percorre 100m sobre a rampa,
                                        o mesmo fica a uma altura de 60 metros e o seu
                                        deslocamento na horizontal é de 80 metros.




                                                Figura 1.1: Representação da situação problema




                           Na figura 1.2, tem-se os triângulos retângulos ABS, ACT e
                           ADU semelhantes entre si. Escreva a razão entre a altura que o
                           skatista atinge e a distância percorrida sobre a rampa, para os três
                           momentos considerados.




20
Trigonometria e Números Complexos




                Figura 1.2: Representação da distância percorrida e da altura




Temos: ∆ ABS ~ ∆ ACT ~ ∆ ADU
       BS       CT       DU                  30 45 60
Logo: AS = AT = AU                  →          =  =
                                             50 75 100
                                                       = 0, 6 (valor

constante).

Você pode observar que, em qualquer um dos triângulos
retângulos considerados, a razão entre a medida dos lados BS,
CT e DU, opostos ao ângulo α, e a medida dos lados AS, AT e
AU, opostos ao ângulo reto é igual a 0,6, independentemente das
medidas dos lados considerados.

Esse valor constante é chamado seno do ângulo α e simbolizamos
por sen α.

Agora, vamos escrever a razão entre o deslocamento na
horizontal e a distância percorrida sobre a rampa pelo skatista,
para os três momentos considerados.




      Figura 1.3: Representação da distância percorrida e do deslocamento na horizontal




         AB       AC       AD                  40 60 80
Temos: AS = AT = AU                   →          =  =
                                               50 75 100
                                                         = 0, 8 (valor

constante).


                                                Unidade 1                                                     21
Universidade do Sul de Santa Catarina




                           Você pode observar que, em qualquer um dos triângulos
                           retângulos da figura 1.3, a razão entre a medida dos lados AB,
                           AC e AD, adjacentes ao ângulo α, e a medida dos lados AS, AT e
                           AU, opostos ao ângulo reto é igual a 0,8, independentemente das
                           medidas dos lados considerados.

                           Esse valor constante é chamado cosseno do ângulo α e
                           simbolizamos por cos α.

                           Ainda há uma terceira igualdade que podemos estabelecer: a
                           razão entre a medida da altura que o Skatista atinge e o seu
                           deslocamento na horizontal.




                                             Figura 1.4: Representação da altura e do deslocamento na horizontal


                                             BS    CT       DU                  30 45 60
                           Temos: AB = AC = AD                         →          =  =
                                                                                40 60 80
                                                                                         = 0, 75 (valor

                           constante).

                                 Você pode observar, na figura 1.4, que em qualquer um
                                 dos triângulos retângulos, a razão entre a medida dos
                                lados BS, CT e DU, opostos ao ângulo α, e a medida dos
                               lados AB, AC e AD, adjacentes ao ângulo α é igual a 0,75,
                              independentemente das medidas dos lados considerados.

                            Esse valor constante é chamado tangente do ângulo α e
                           simbolizamos por tg α.

                           Os números que expressam o seno, cosseno e tangente do ângulo
                           agudo α, são denominados razões trigonométricas do triângulo
                           retângulo.




22
Trigonometria e Números Complexos




Generalizando, tem-se:




                        Figura 1.5: Triângulo retângulo



Na figura, 1.5 tem-se:

        O triângulo ABC é retângulo em A;
        O lado oposto ao ângulo reto denomina-se
         hipotenusa (a);
        Os lados b e c denominam-se catetos;
        O cateto b é oposto ao ângulo β e adjacente ao ângulo α ;
        O cateto c é oposto ao ângulo α e adjacente ao ângulo β.

                 Você lembra do Teorema de Pitágoras?




                 O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos
                 quadrados dos catetos:
                                              a2=b2+c2




                                         Unidade 1                                            23
Universidade do Sul de Santa Catarina




                           Desta forma, tem-se:
                                   cateto oposto b
                           senβ =                =
                                    hipotenusa     a
                                   cateto adjacente c
                           cos β =                  =
                                      hipotenusa      a
                                   cateto oposto     b
                           tg β =                  =
                                  cateto adjacente c

                           De modo análogo, pode-se estabelecer as razões para o ângulo α.

                                                Que tal você rever agora alguns aspectos que
                                                caracterizaram a vida de Pitágoras e a história da
                                                matemática?




                                     Retrospectiva histórica

                                     Pitágoras viveu há 2.500 anos e não deixou obras
                                     escritas. O que se sabe de sua biografia e de suas
                                     idéias é uma mistura de lenda e história real.

                                     Acerca de 50 Km de Mileto, na ilha Jônia de Samos,
                                     por volta de 589 aC. nasceu Pitágoras, que também
                                     esteve no Egito e, por desavenças com o tirano
                                     Polícrates, de Samos, mudou-se para Crotona ao
                                     sul da Península Itálica onde fundou uma sociedade
                                     voltada ao estudo da Filosofia, das Ciências Naturais
                                     e da Matemática, chamada Escola Pitagórica.
                                     Rapidamente, os membros desta sociedade passaram
                                     a ver números por toda a parte concluindo que o
                                     Universo era regido por uma inteligência superior
                                     essencialmente matemática.




24
Trigonometria e Números Complexos




                                      Figura 1.6 – Pitágoras
        Fonte: http://centros5.pntic.mec.es/ies.sierra.minera/dematesna/demates45/op-
                ciones/sabias/escuela%20pitagorica/escuela%20pitagorica.htm.
                                   Capturado em 09/04/2006




Atualmente não há documentos que justifiquem a afirmação
de que o Teorema de Pitágoras foi demonstrado pela primeira
vez pelos Pitagóricos. Conjetura-se que os membros da mais
antiga escola pitagórica conheciam muito bem a geometria dos
babilônios, portanto, as idéias básicas do teorema poderiam ter
suas origens em outras épocas bem mais remotas.

O maior feito teórico dos pitagóricos foi a descoberta dos
irracionais, mas seu mérito máximo consiste em haverem
provocado uma verdadeira epidemia de interesse pela matemática,
que contagiou a maioria das cidades-estado da Grécia.

                     Saiba mais
                     Você poderá enriquecer mais esta leitura, lendo:
                     Boyer, Carl Benjamin, 1906- História da Matemática.




Ângulos notáveis

Os ângulos de 30º, 45º e 60º são considerados notáveis uma
vez que aparecem freqüentemente nos problemas de geometria.
Apresentamos a dedução dos valores do seno, do cosseno e da
tangente do ângulo de 45º. Os outros dois ângulos você mesmo
fará resolvendo o exercício 1 das atividades de auto-avaliação ao
final da unidade.


                                               Unidade 1                                                    25
Universidade do Sul de Santa Catarina




                           Podemos resumir as razões trigonométricas dos ângulos notáveis
                           em uma única tabela:


26
Trigonometria e Números Complexos




Considerando as definições das razões trigonométricas e
utilizando processos mais sofisticados de medidas de ângulos
e segmentos, podemos construir uma tabela de valores
trigonométricos para consultar quando encontrarmos situações
que não envolvam ângulos notáveis. Em anexo encontra-se uma
tabela que fornece as razões trigonométricas dos ângulos de 1º a
89º.

Você pode, também, obter diretamente valores trigonométricos
utilizando as funções de uma calculadora científica ou softwares
matemáticos.



      Você sabia...
      Nas calculadoras científicas, o seno que abreviamos por sen é
      identificado por sin e a tangente, tg, é identificada por tan.




                                    Unidade 1                                              27
Universidade do Sul de Santa Catarina




                           Nos exemplos a seguir você irá utilizar as razões trigonométricas
                           para descobrir as medidas desconhecidas indicadas por x. Será
                           um bom exercício para verificar a sua compreensão do assunto até
                           o presente momento.

                                             1) Calcule o valor de x:




                                                                Figura 1.7: Triângulo retângulo




                           Na figura 1.7, você pode observar que a medida desconhecida x
                           é o cateto oposto ao ângulo de 55º e que 3 cm corresponde ao
                           cateto adjacente. Logo, a razão trigonométrica que iremos utilizar
                           será a tangente.

                                      cateto oposto
                           tg 55º =
                                    cateto adjacente
                                    x
                           tg 55º =
                                    3
                                    x
                           1, 428 =
                                    3
                           x = 4, 284cm

                           2) Determine o valor de x:




                                                    Figura 1.8: Triângulo retângulo




28
Trigonometria e Números Complexos




Agora você observa na figura 1.8, que a medida desconhecida é o
cateto oposto ao ângulo de 30º e a hipotenusa vale
16 cm. Portanto, utilizaremos a razão trigonométrica seno para
encontrar a medida x.

          cateto oposto
sen 30º =
            hipotenusa
           x
sen 30º =
          16
1 x
   =
2 16
2 x = 16
x = 8cmm


3) Encontre o valor de x:




                          Figura 1.9: Triângulo retângulo




Na figura 1.9 você pode observar que o cateto adjacente mede 10
cm e a medida desconhecida x é a hipotenusa. Assim, usaremos a
razão cosseno para descobrir o valor de x.

          cateto adjacente
cos 60º =
             hipotenusa
          10
cos 60º =
           x
1 10
  =
2 x
x = 20 cm




                                           Unidade 1                                            29
Universidade do Sul de Santa Catarina




                                               E então?
                                               Você sentiu dificuldade para compreender os
                                               exemplos?
                                               Se sim, retorne à leitura buscando sanar suas dúvidas.
                                               Caso não compreenda, entre em contato com o(a)
                                               professor(a) tutor(a), via EVA (Espaço UnisulVirtual de
                                               Aprendizagem).


                           Se não sentiu dificuldades quanto à compreensão dos exemplos,
                           observe os problemas abaixo:

                           P1) Um eletricista deseja conhecer a altura de um poste, sabendo
                           que quando o ângulo de elevação do sol é de 68º, a sombra do
                           mesmo projetada no solo, mede 2,4 m.

                           Modelo real                                                Modelo matemático




                                             Figura 1.10: Modelo real e matemático do problema P1




                           Solução:

                           A partir da figura 1.10, você pode observar a situação apresentada
                           no problema P1 e perceber que a solução será encontrada por
                           meio da razão trigonométrica tangente. Observe que a altura do
                           poste, representada por x, é o cateto oposto ao ângulo de 68º e
                           a medida do cateto adjacente ao mesmo ângulo é de 2,4 m, que
                           corresponde a sombra do poste.




30
Trigonometria e Números Complexos




              cateto oposto
tg 68º =
            cateto adjacente
            x
tg 68º =
          2, 4
          x
2, 475 =
         2, 4
x = 5, 94 m

Lembre-se:

A tg 68º= 2,475 é obtida pela calculadora ou pela tabela
trigonométrica.

Resposta: A altura do poste é de 5,94 m.

P2) Uma família desejando realizar um passeio de fim de
semana, parte da sua cidade situada no nível do mar seguindo por
uma estrada em aclive de 36º. Após percorrer 80 m a que altitude
esta família estará?

Modelo real                                               Modelo matemático




                Figura 1.11: Modelo real e matemático do problema P2




Solução:

Observando a figura 1.11, você observa a situação apresentada
no problema P2 e percebe que a solução será encontrada por
meio da razão trigonométrica seno. A altitude em que a família
se encontra, está representada por x, sendo denotada por
cateto oposto ao ângulo de 36º. A medida da hipotenusa, que
corresponde a distância percorrida pelo carro é de 80 metros.


                                           Unidade 1                                                   31
Universidade do Sul de Santa Catarina



                                       cateto oposto
                           sen 36º =
                                         hipotenusa
                                        x
                           sen 36º =
                                       80
                                     x
                           0, 588 =
                                    80
                           x = 47, 04 m


                           Resposta: A família estará a uma altitude 47,04 metros.

                           P3) Desejando saber qual a altura de uma torre, uma empresa
                           de telefonia utilizou um teodolito, aparelho óptico de precisão
                           utilizado para medir ângulos. O teodolito foi colocado a uma
                           distância de 50 m da base da torre, num nível de observação de
                           1,50 m e o ângulo marcado foi de 20º.

                           Modelo real                                                Modelo matemático




                                             Figura 1.12: Modelo real e matemático do problema P3




                           Solução:

                           A situação apresentada no problema P3 está representada na
                           figura 1.12 e você pode perceber que a solução será encontrada
                           por meio da razão trigonométrica tangente. A altura da torre está
                           representada por x, é denotada por cateto oposto ao ângulo de
                           20º. A medida do cateto adjacente, que corresponde a distância
                           entre o teodolito e a base da torre é de 50 metros.

                                         cateto oposto
                           tg 20º =
                                       cateto adjacente
                                         x
                           tg 20º =
                                        50
                                     x
                           0, 364 =
                                    50
                           x = 18, 20 m
32
Trigonometria e Números Complexos




Note que o nível de observação do teodolito é de 1,50 metros,
logo devemos acrescentá-lo ao resultado encontrado: h= 18,20 +
1,50 = 19,70 metros.

Resposta: A altura da torre é de 19,70 metros.


      Você sabia...




      Teodolito é um instrumento óptico de precisão para medir
      ângulos horizontais e verticais.
      Em áreas de grande extensão, o topógrafo precisa, muitas
      vezes imaginar triângulos em pontos inacessíveis. Medindo
      três elementos desses triângulos, sendo que pelo menos um
      deles é um lado, ele pode encontrar as demais dimensões
      necessárias para uma aplicação prática.




Veja a seguir, alguns aspectos históricos sobre Hiparco...


Retrospectiva Histórica

Acredita-se que, como ciência, a Trigonometria nasceu com o
astrônomo grego Hiparco de Nicéia (190 a.C. - 125 a.C.). Este
grande astrônomo criou uma matemática aplicada para prever os
eclipses e os movimentos dos astros, permitindo a elaboração de
calendários mais precisos e maior segurança na navegação.

Hiparco estudou e sistematizou algumas relações entre os
elementos de um triângulo, foi ele o primeiro a construir a tabela
trigonométrica.


                                    Unidade 1                                             33
Universidade do Sul de Santa Catarina




                           Da vida de Hiparco sabe-se apenas que nasceu em Nicéia, em
                           data desconhecida, e que trabalhou em Alexandria e Rodes.

                           No tempo de Hiparco a filosofia pitagórica havia estabelecido
                           um preconceito meramente especulativo: o de que os astros
                           descrevem movimentos circulares perfeitos. E havia também o
                           preconceito aristotélico, segundo o qual a natureza dos corpos
                           celestes é imutável. Meteoritos e cometas não eram tidos como
                           fenômenos astronômicos, mas atmosféricos, coisas deste mundo
                           imperfeito e não da eterna impassividade celeste.

                           Foram idéias como essa que Hiparco refutou, com base nas
                           observações efetuadas ao longo de uma carreira científica de
                           mais de trinta anos, provavelmente entre os anos 161 e 127 a.C.
                           No curso desses trabalhos, Hiparco viria a desvendar um novo
                           campo da matemática, a trigonometria.

                           Infelizmente, é impossível avaliar hoje toda a extensão e o
                           valor da obra deixada por Hiparco. Admite-se que tenha
                           sido importante, pela influência que exerceu sobre cientistas
                           posteriores.

                           SEÇÃO 3 - Relações trigonométricas em um triângulo
                           qualquer: lei dos senos e lei dos cossenos
                           As razões trigonométricas estudadas até agora foram utilizadas
                           em triângulos retângulos. Esta seção tem por finalidade mostrar
                           outras relações que valem para quaisquer triângulos, assim, você
                           estudará a seguir, valores de senos e cossenos de ângulos obtusos.

                           Como esse assunto ainda não foi abordado, você aprenderá neste
                           momento apenas como lidar com eles na prática e deixaremos a
                           parte teórica, desses ângulos, para a próxima unidade.



                                     Você sabia...
                                     Ângulo obtuso é um ângulo cuja medida é maior que 90º.




34
Trigonometria e Números Complexos




Lei dos senos
Um fazendeiro deseja instalar energia elétrica em uma parte de
sua fazenda que é cortada por um rio. Para tanto, precisa colocar
dois postes em lados opostos deste rio para permitir a passagem
do fio.

Para fazer este projeto é necessário saber a distância entre
os postes, e a presença do rio impede a sua medição direta.
Utilizando um aparelho apropriado, o teodolito, o fazendeiro
posicionou-se em um local em que era possível visualizar os dois
postes e medir a distância entre eles, o ângulo obtido entre a
linha de visão dele e os postes foi de 120º. Seu ajudante mediu a
distância entre o poste mais afastado e o fazendeiro obteve 100
metros. Mediu também o ângulo entre a linha do poste mais
próximo do fazendeiro e a linha entre os postes, obtendo 45º.

Modelo real                                                     Modelo matemático




                Figura 1.13: Modelo real e matemático do problema enunciado




Note que no modelo matemático da figura 1.13, temos o
triângulo AÔB obtusângulo e descobrir a medida do lado AB é
a resolução do problema. Para encontrarmos esta medida vamos
estudar a lei dos senos cujo teorema é enunciado abaixo.

                      Teorema
                      Em todo o triângulo, as medidas dos lados são
                      proporcionais aos senos dos ângulos opostos:
                          a            b             c
                              ^
                                  =        ^
                                               =         ^
                       sen A          sen B        sen C


                                                    Unidade 1                                              35
Universidade do Sul de Santa Catarina




                           Considere o triângulo ABC representado na figura 1.14:




                                                  Figura 1.14: Lei dos senos




                           Agora observe a resolução do problema!
                            100         d
                                   =
                           sen 45º sen120º
                           100     d
                                =
                             2      3
                            2      2
                           d 2 100 3
                                 =
                             2        2
                               100 3
                           d=
                                   2
                                 100 3 2
                           d=         .
                                    2   2
                                 100 6
                           d=
                                    4
                               100 6
                           d=
                                  2
                           d = 50 6
                           d = 122, 47 m

                           Resposta: A distância entre os postes é de aproximadamente
                           122,47 metros.

                           Na seqüência, acompanhe a demonstração dessa lei.




36
Trigonometria e Números Complexos




Existem três casos a considerar:

           O triângulo ABC é retângulo;
           O triângulo ABC é obtusângulo;
           O triângulo ABC é acutângulo.
Faremos a demonstração quando o triângulo for acutângulo. Os
outros dois casos você irá demonstrar na resolução do exercício 19
das atividades de auto-avaliação ao final desta unidade.

Considere o triângulo ABC acutângulo, representado na figura
1.15:




                  Figura 1.15: Representação do triângulo para demonstração




Sejam AH1 e BH2 as alturas relativas aos lados BC e AC
respectivamente.

No triângulo retângulo AH1C, temos que
    ^        h1                      ^
sen C =           ⇒ h1 = b.sen C .                                            [1]
             b


No triângulo retângulo AH1B, temos que
    ^        h1                      ^
sen B =           ⇒ h1 = c.sen B .                                            [2]
             c


Comparando [1] e [2], temos:
        ^           ^            b            c
b.sen C = c.sen B ⇒                  ^
                                         =        ^                           [A]
                               sen B         sen C


                                                  Unidade 1                                                 37
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                           No triângulo retângulo BH2C, temos que
                                  ^          h2                           ^
                           sen C =                ⇒ h2 = a.sen C .                                         [3]
                                             a


                           No triângulo retângulo AH2B, temos que
                                   ^         h2                           ^
                           sen A =                 ⇒ h2 = c.sen A .                                       [4]
                                             c


                           Comparando [3] e [4], temos:
                                       ^             ^            a                 c
                           a.sen C = c.sen A ⇒                        ^
                                                                              =         ^                 [B]
                                                               sen A              sen C


                           De [A] e [B] podemos concluir que:
                                                                  a                b             c
                                                                      ^
                                                                              =         ^
                                                                                            =        ^
                                                               sen A              sen B         sen C

                           Lei dos cossenos

                           Na duplicação da BR-101, em um dos pontos do trecho sul, é
                           necessário a construção de uma ponte que una os pontos A e
                           B conforme a figura a seguir. O engenheiro responsável pela
                           obra só conseguiu as seguintes medidas: AC=30m, BC=50m e a
                           medida do ângulo entre esses lados 120º. Ele necessita descobrir
                           qual a extensão da ponte.

                           Modelo real                                                                   Modelo matemático




                                           Figura 1.16: Modelo real e matemático do problema enunciado no exemplo.




38
Trigonometria e Números Complexos




Perceba agora que, no modelo matemático temos o triângulo
ABC obtusângulo representado na figura 1.16, e descobrir a
medida do lado AB é a resolução do problema. A aplicação da
lei dos cossenos é a solução deste problema. Observe o que diz o
teorema:

                   Em todo triângulo, o quadrado da medida de um lado
                   é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros
                   dois lados, menos duas vezes o produto das medidas
                   desses dois lados pelo cosseno do ângulo oposto
                   àquele lado, ou seja:
                                                  ^
                   a 2 = b 2 + c 2 − 2.b.c.cos A
                                                  ^
                   b 2 = a 2 + c 2 − 2.a.c.cos B
                                                   ^
                   c 2 = a 2 + b 2 − 2.a.b.cos C




                           Figura 1.17: lei do cossenos




Voltando ao problema inicial, de acordo com o triângulo na
figura 1.17, para encontrar o comprimento da ponte, precisamos
encontrar a medida d. Para isso, utilizaremos a lei dos cossenos:
AB 2 = AC 2 + BC 2 − 2. AC.BC.cos 120º
d 2 = 302 + 502 − 2.30.50.(−0, 5)
d 2 = 900 + 2500 + 1500
d 2 = 4900
d = 4900
d = 70m


Resposta: A extensão da ponte deve ser de 70 metros.

Na seqüência, acompanhe a demonstração dessa lei.

                                           Unidade 1                                          39
Universidade do Sul de Santa Catarina




                           Existem três casos a considerar:

                                       O triângulo ABC é retângulo;
                                       O triângulo ABC é obtusângulo;
                                       O triângulo ABC é acutângulo.
                           Faremos a demonstração quando o triângulo for acutângulo.
                           Na seleção das atividades de auto-avaliação, você resolverá a
                           atividade 18 que contempla o segundo e o terceito caso onde, Â é
                           reto e  é obtuso respectivamente.

                           Considere o triângulo ABC acutângulo, representado na figura
                           1.18:




                                             Figura 1.18: Representação do triângulo para demonstração




                           Demonstração:

                           O segmento CH representa a altura relativa ao lado AB do
                           triângulo ABC, logo CH é perpendicular a AB.

                           Perceba que a altura CH divide o triângulo ABC em dois
                           triângulos retângulos                de acordo com a figura
                           1.19.




40
Trigonometria e Números Complexos




               Figura 1.19: Representação dos triângulos para demonstração.




Aplicando o Teorema de Pitágoras em ambos os triângulos,
temos:

b2 = m2 + h2                               a 2 = h2 +(c-m)2

h2 = b2 - m2                [1]            a 2 = h2 + c2 -2.c.m + m2                  [2]

Substituindo [1] em [2], temos:

a 2 = b2 - m2 + c2 -2.c.m + m2

a 2 = b2 + c2 -2.c.m                              [3]
                            ^                              ^    m
Note no triângulo A H C que temos: cos A =
                                                                b
Logo m = b.cos                                   [4]

Substituindo [4] em [3], temos:

a 2 = b2 + c2 -2.b.c. cosÂ

De forma análoga, você demonstra que:
                                ^
b2 = a 2 + c2 -2.a.c. cos B .
                                ^
c2 = a 2 + b2 -2.a.b. cos C .




                                              Unidade 1                                                    41
Universidade do Sul de Santa Catarina




                                                 Retrospectiva Histórica

                                                 Considerado o mais eminente matemático do século
                                                 XVI, François Viète (1540-1603) contribuiu bastante
                                                 para o avanço do estudo da trigonometria. A forma
                                                 atual da expressão do teorema dos cossenos foi
                                                 estabelecida por ele.




                                                  Figura 1.20 - Fonte: http://www.sulinet.hu/ematek/html/images/arckepek/viete.jpg.
                                                                                Capturado em 16/04/06.




                                       Utilizando recursos tecnológicos na trigonometria
Você poderá encontrar o software
acessando o site:                      O uso de softwares no ensino é importante. No ensino da
http://www.unifra.br/cursos/           trigonometria pode ser muito interessante no que diz respeito
downloads.asp?curs=25&grad=M           à visualização de vários conceitos explorados no triângulo
atem%C3%A1tica&endereco=ma
                                       retângulo e em triângulos quaisquer. Como sugestão, indicamos
tematica
                                       o software Thales.




                                       Síntese

                                       Nesta unidade você estudou as razões trigonométricas, as leis
                                       do seno e cosseno, bem como suas aplicações. Você deve ter
                                       observado que os conteúdos abordados são muito úteis para
                                       calcular distâncias inacessíveis. Você deverá ter resolvido os


42
Trigonometria e Números Complexos




exercícios da auto-avaliação e esclarecido todas as suas dúvidas
com o professor-tutor para prosseguir seus estudos. Na próxima
unidade, trabalharemos com a trigonometria na circunferência.




Atividades de auto-avaliação

1) Considerando o triângulo eqüilátero ABC de lado a, deduza os valores
   do seno, do cosseno e da tangente de 30º e 60º.




2) Qual o valor de a e c no triângulo ABC?




3) Calcule as medidas desconhecidas indicadas nos triângulos abaixo:
a)




                                      Unidade 1                                             43
Universidade do Sul de Santa Catarina




                            b)




                            4) Considere o trapézio retângulo ABCD da figura e determine as medidas
                               x e y indicadas:




                            5) Observando a seguinte figura, determine:




                            a) O valor de a;




44
Trigonometria e Números Complexos




b) O valor de b;




c) A medida do segmento AD.




6) Calcule o valor de x e y indicados na figura abaixo:




7) Observe o triângulo a seguir, sabendo que a medida do lado AD é
   40 cm, encontre a medida do lado BC.




                                       Unidade 1                                             45
Universidade do Sul de Santa Catarina




                            8) Duas pessoas A e B estão situadas na mesma margem de um rio,
                               distante 60 3 m uma da outra. Uma terceira pessoa C, na outra
                               margem, está situada de tal modo que AB seja perpendicular a AC e a
                               medida do ângulo          seja 60º. Determine a largura do rio.




                            9) Uma árvore projeta uma sombra de 30 m quando o sol se encontra a
                               64º acima da linha do horizonte. Qual a altura da árvore?




                            10) (VUNESP/99) Duas rodovias retilíneas A e B se cruzam formando
                              um ângulo de 45º. Um posto de gasolina se encontra na rodovia A,
                              a 4 Km do cruzamento. Pelo posto passa uma rodovia retilínea C,
                              perpendicular a rodovia B. Qual a distância, em Km, do posto de
                              gasolina a rodovia B, indo através de C?




                            11) Um estudante de matemática vê um prédio, do Campus da UNISUL
                               de Tubarão SC, construído em um terreno plano, sob um ângulo de
                               30º. Aproximando-se do prédio por mais 20 metros, passa a vê-lo sob
                               um ângulo de 60º. Considerando que a base do prédio está no mesmo
                               nível do olho do estudante, determine a altura do prédio e a que
                               distância está o estudante do mesmo.




                            12) Determine na figura a seguir, a medida do lado AB, sabendo-se a
                              medida do lado AC é 3 3cm .




46
Trigonometria e Números Complexos




13) No triângulo RPM determine o valor de x sabendo que: MP= 10 2 cm;
  med( )=60º e med( )=75º.




14) Determine o valor de x na figura abaixo:




15) Qual o perímetro do quadrilátero ABCD?




16) Dois ângulos de um triângulo medem 60º e 75º. Se o lado oposto ao
  menor ângulo mede 18 2 cm, qual é o comprimento do lado oposto
  ao ângulo de 60º do triângulo?




                                     Unidade 1                                            47
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                            17) Os lados de um paralelogramo medem cada um 8 cm, e o menor
                              ângulo que eles formam mede 60º. Calcule a medida em cm da menor
                              das diagonais deste paralelogramo.




                            18) Prove a lei dos cossenos quando:
                            a) o ângulo  for reto.




                            b) o ângulo  for obtuso.




                            19) Prove a lei dos senos quando:
                            a) o ângulo  for reto.




                            b) o ângulo  for obtuso.




                           Desafios na Trigonometria

                            1)(ITA-SP) Os lados de um triângulo medem a, b e c centímetros. Qual o
                               valor do ângulo interno deste triângulo, oposto ao lado que mede a
                               cm, se forem satisfeitos as relações 3a=7c e 3b=8c?




48
Trigonometria e Números Complexos




2) (Unicamp-SP) A água utilizada na casa de um sítio é captada e
   bombeada do rio para uma caixa d’água a 50 m de distância. A
   distância da caixa d’água e o ângulo formado pelas direções caixa
   d’água/bomba e caixa d’água/casa é de 60º. Se pretendemos bombear
   água do mesmo ponto de captação até a casa, quantos metros de
   encanamento são necessários?




Saiba mais

Como você estudou, o uso da trigonometria não se limita apenas
a estudar triângulos. Sua aplicação é bastante difundida em
vários setores tais como Engenharia, Astronomia, Topografia,
Mecânica, etc.

Para saber mais sobre estas aplicações, consulte o site:

http://www.mat.ufpr.br/~licenciar/links/f-trig.htm onde você
verá o cálculo de distâncias entre a Terra e o Sol, a Terra e a Lua
e também a aplicação da trigonometria na construção de um
túnel.




                                   Unidade 1                                             49
2
UNIDADE 2



Conceitos Básicos da
Trigonometria

      Objetivos de aprendizagem
         Expressar e converter a medida de um ângulo de graus
          para radianos e vice-versa.

       Calcular a primeira determinação positiva de arcos
        maiores que 360º.
       Introduzir o conceito de seno e cosseno para ângulo de

        0º a 360º.
       Reduzir arco ao 1º quadrante.




      Seções de estudo
      Seção 1 Arcos e Ângulos
      Seção 2 Conhecendo a Circunferência Trigonométrica
      Seção 3 Seno e Cosseno na Circunferência
                   Trigonométrica
      Seção 4      Simetrias

      Seção 5 Redução ao primeiro Quadrante
Universidade do Sul de Santa Catarina




                           Para início de conversa
                           Nesta unidade, você ampliará os estudos de seno e cosseno. A
                           Trigonometria estudada na unidade 1 passará a ocupar toda
                           uma circunferência, ou seja, o objeto de estudo desta unidade
                           é definir as razões seno e cosseno, estudadas anteriormente,
                           na circunferência trigonométrica, também conhecida como
                           circunferência unitária.

                           Na unidade anterior, você estudou a Trigonometria com
                           o objetivo de resolver problemas utilizando os triângulos
                           retângulos, isto é, utilizou a Trigonometria na forma com a
                           qual ela apareceu há milhares de anos. Nas seções a seguir,
                           serão abordados o seno e o cosseno de forma mais acentuada,
                           trabalhando a Trigonometria como uma necessidade atual da
                           Matemática.



                           SEÇÃO 1 - Arcos e Ângulos

                           Considere a circunferência na figura 2.1.




                                                     Figura 2.1: Arco de circunferência




                                     Observe que os pontos A e B dividem a circunferência
                                     em duas partes. Estas partes são denominadas arcos de
                                     circunferência.




52
Trigonometria e Números Complexos




Temos:

         O arco    , em que o ponto A é a origem e B é a
          extremidade do arco;
         o arco   , em que o ponto B é a origem e A é a
          extremidade do arco.


      Você sabia...




             Arco nulo é o ponto;
             Arco de uma volta é a
              circunferência.




Ângulo Central

Ângulo central é o ângulo cujo vértice é o centro da
circunferência.

Observe a figura 2.2:




                              Figura 2.2: Ângulo Central


A medida de AÔB é α e denotamos por med(AÔB)= α.

A medida do arco AB é α e denotamos por med(                  )= α.


                                             Unidade 2                                         53
Universidade do Sul de Santa Catarina




                           Note que a medida de um arco não representa a medida do
                           comprimento desse arco.

                           Observe a figura 2.3:




                                                   Figura 2.3: Arcos de circunferência




                           Os arcos   e      possuem a mesma medida α, porém, possuem
                           comprimentos diferentes, m e n respectivamente.


                           Unidades de medida de arcos e ângulos

                           Conheça agora as unidades mais utilizadas para medir arcos e
                           ângulos de circunferência. São elas: o grau e o radiano.

                                       Grau




                           Você já sabe que uma circunferência é dividida em 360 partes
                           iguais. O grau é uma dessas 360 partes:
                                   1
                           1º =       da circunferência.
                                  360




54
Trigonometria e Números Complexos



        Você sabia...
        Existe uma terceira unidade de medida de arco que é o
        grado. Grado é a medida de um arco igual a 1/400 do arco
        completo da circunferência na qual estamos medindo o arco.



Os submúltiplos do grau são o minuto e o segundo.
      1
1`=      do grau.
      60


       1
1``=      do minuto.
       60


Radiano

Radiano é um arco cujo comprimento é igual ao raio da
circunferência que o contém, cuja notação é rad. Observe a figura
2.4:




                             Figura 2.4: Radiano




Note que, esticando o arco         , a medida do segmento obtido
será igual à do raio.




                                        Unidade 2                                          55
Universidade do Sul de Santa Catarina




                           Relação entre grau e radiano


                                               Lembre-se que o comprimento de uma circunferência
                                               é calculado pela fórmula C = 2 π r , onde r é o raio da
                                               circunferência.



                           Como cada raio r equivale a 1 rad, fica claro que o arco de uma
                           volta de circunferência corresponde a 2π rad. Então, tem-se a
                           seguinte relação:

                                              360º → 2π rad ou 180º → π rad

                           É possível estabelecer os seguintes resultados entre as três
                           unidades:


                                    Desenho


                                      Grau           90           180           270           360
                                     Grado          100           200           300           400
                                    Radiano         π/2            π            3π/2          2π

                           Observação:

                           0 graus = 0 grado = 0 radianos

                           Veja alguns exemplos de como é feita a conversão entre o grau e o
                           radiano:

                           1) Vamos converter 300º em radianos.
                           180 → π rad
                           300 → x
                           180 π rad
                                  =
                           300        x
                           18 π rad
                               =
                           30        x
                           3 π rad
                              =
                           5       x
                           3 x = 5π rad
                                5π
                           x=       rad
                                 3
56
Trigonometria e Números Complexos




Note que você deverá usar a simplificação até transformar a
fração na forma irredutível, pois o resultado é expresso na forma
de fração e não em forma decimal.


                  3π
2) Transforme        rad em graus.
                   4
Como já se viu que π rad → 180º, tem-se:
3π       3.180 540
   rad =       =     = 135
 4          4    4


3) Vamos transformar 15º 30’ em radianos.

Primeiro, transforma-se 15º 30’ em minutos:

1º = 60’

15º 30’ = 15.60’ + 30’ = 900’ + 30’ = 930’

Agora, transforma-se 180º também em minutos:

180º = 180.60’ = 10800’

Então, tem-se:
10800' → π rad
930' → x
10800' π rad
        =
 930'        x
1080 π rad
      =
 93        x
360 π rad
     =
 31       x
360 x = 31π rad
    31π
x=       rad
    360




                                     Unidade 2                                         57
Universidade do Sul de Santa Catarina




                                               Tudo com você!
                                               Vá até a página de auto-avaliação e resolva as
                                               atividades referentes a este assunto.




                           Comprimento de arco de circunferência

                           Como você estudou anteriormente, a medida de um arco não
                           representa o seu comprimento, pois este depende do raio da
                           circunferência em que esteja contido.

                           Por exemplo, um arco 1 de 60º tomado sobre uma
                           circunferência de raio 15 cm, tem comprimento maior que um
                           arco  2 também de 60º, tomado sobre uma circunferência de
                           7cm de raio.




                           Então, tem-se:

                           Sendo AÔB um ângulo central de medida α rad e                  o arco de
                           comprimento  , pode-se estabelecer:

                           Comprimento do arco                         Medida do arco

                                        r _________________________ 1 rad
                                         _________________________ α rad


                           que fornece a relação  =α . r

                           Essa relação permite calcular o comprimento de um arco
                           de circunferência em função do raio e do ângulo central
                           correspondente, medido em radianos.




58
Trigonometria e Números Complexos




Acompanhe alguns exemplos que envolvem o comprimento de
arco de circunferência.

1) Considere a circunferência representada na figura 2.5:




                Figura 2.5: Comprimento de arco de circunferência




Determine, em cm, o comprimento  do arco                           , sabendo que
α =3 rad.

Resolução:

 =α.r

 =3.6

 =18 cm



2) Qual o valor, em rad, do arco de uma circunferência de 3m de
raio, sabendo-se que o comprimento desse arco é de 4,5 metros?
 = α .r
4,5 = α .3
     4 ,5
α=
      3
α = 1,5 rad


3) O pêndulo de um relógio, cujo comprimento é de 25 cm,
executa o movimento de A para B, conforme mostra a figura 2.6.
Determine o comprimento do arco      descrito pela extremidade
do pêndulo. Use π=3,14.



                                          Unidade 2                                                     59
Universidade do Sul de Santa Catarina




                                                      Figura 2.6: Pêndulo




                           Resolução:

                           O raio r é representado pelo pêndulo, então, r = 25 cm.

                           O ângulo α =2.35º = 70º.

                           Agora, veja a conversão de grau para radianos, pois, como você
                           sabe, para o cálculo do comprimento de um arco, não é possível
                           utilizar a medida em graus.
                           180º → π rad
                           70º → x
                           180º π rad
                                 =
                            70º       x
                           18 π rad
                               =
                            7      x
                           18 x = 7π rad
                                7π
                           x=      rad
                                18

                           Na seqüência, calcula-se o comprimento do arco      .

                            =α.r
                               7π
                           =      .25
                               18
                               175 π
                           =
                                18
                               175.3,14
                           =
                                   18
                            = 30 ,53 cm




60
Trigonometria e Números Complexos




                   Verifique se você realmente compreendeu esta seção,
                   resolvendo os exercícios propostos na auto-avaliação.
                   Em caso afirmativo, passe para a seção 2, onde será
                   abordado o ciclo trigonométrico. Se você percebeu
                   dificuldade em resolver os exercícios, procure
                   sanar suas dúvidas com o tutor, ou retome a seção
                   novamente.




SEÇÃO 2 - Conhecendo a circunferência trigonométrica
Quando se fala em ‘ciclo trigonométrico’, fala-se da mesma
circunferência que conhecemos, só que com características
específicas. O ciclo trigonométrico é uma circunferência de raio
unitário (r = 1), cujo centro é a origem do sistema cartesiano. Ele
é orientado positivamente no sentido anti-horário. Observe a
figura 2.7:




                         Figura 2.7: Ciclo Trigonométrico




         O centro da circunferência é O(0,0).
         O raio da circunferência é unitário, r = 1.
         O ponto A(1,0) é a origem dos arcos, isto é, os arcos são
          medidos a partir de A.
         O sistema de coordenadas cartesianas divide a
          circunferência em quatro regiões, chamadas quadrantes.
         Dizemos que um arco pertence ao quadrante no qual se
          encontra sua extremidade.

                                           Unidade 2                                            61
Universidade do Sul de Santa Catarina




                           Veja alguns exemplos:

                           1) Identifique a que quadrantes pertencem os arcos cujas medidas
                           são:

                           a) 130º




                           Como você pode observar, o arco de 130º, partiu do ponto A no
                           sentido positivo e sua extremidade está no 2º quadrante, logo, ele
                           pertence a este quadrante.

                           b) -120º




                           Agora, observe que o arco de -120º partiu do ponto A, no
                           sentido negativo e sua extremidade está no 3º quadrante, logo, ele
                           pertence a este quadrante.




62
Trigonometria e Números Complexos




      5π
c))
c        rad
       3




Neste exemplo, você observa que o arco de 5π rad partiu
                                                     3
do ponto A no sentido positivo, e sua extremidade está no 4º
quadrante, logo, ele pertence a este quadrante.


Arcos Côngruos

Observe as circunferências representadas na figura 2.8:




                        Figura 2.8: Arcos Côngruos




Você pode observar que o arco   permanece com a mesma
extremidade, independentemente do número de voltas completas
na circunferência.

Assim sendo, é possível definir arcos côngruos como:


                 Arcos que possuem a mesma extremidade e diferem,
                 apenas, pelo número de voltas completas na
                 circunferência.




                                      Unidade 2                                              63
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                           Na figura 2.9, marcamos um arco de 60º.




                                                     Figura 2.9: Arcos côngruos a 60º




                           É fácil observar que os arcos de 60º, 420º e 780º têm a mesma
                           extremidade e, ainda, que poderíamos encontrar infinitos outros
                           arcos com origem em A e a mesma extremidade. Para isso, basta
                           descrevermos voltas completas na circunferência.

                           Dessa forma, podemos escrever:

                                       60º = 60º + 0.360º
                                       420º = 60º + 1.360º
                                       780º = 60º + 2.360º


                           Assim:

                           Se um arco mede α graus, a expressão geral dos arcos côngruos a
                           ele é:

                           α + k. 360º, k ∈ Z

                           Se um arco mede α radianos, a expressão geral dos arcos
                           côngruos a ele é:

                           α +2kπ, k ∈ Z

                           É importante que você saiba que, se o arco for negativo, basta
                           fazer o percurso das voltas no sentido negativo e também ter-se-á
                           infinitos arcos côngruos com medidas negativas.




64
Trigonometria e Números Complexos




                 Faça a mesma representação gráfica 2.9 para
                 este caso. É uma boa forma de verificar se você
                 compreendeu o assunto. Não esqueça que o sentido
                 negativo, no ciclo trigonométrico, é o sentido horário.


Como visto, a cada ponto da circunferência, podem estar
associados infinitos arcos côngruos. Chamamos, então, de
primeira determinação positiva de um arco, a medida α do arco
côngruo a ele, tal que 0 ≤ α < 360º ou 0 ≤ α < 2 π rad.

Acompanhe alguns exemplos:

1) Calcule a primeira determinação positiva e escreva a expressão
geral dos arcos côngruos a 1240º.

Solução:

Os arcos côngruos diferem apenas pelo número de voltas
completas. Logo, deve-se fazer a divisão do arco de 1240º por
360º. Dessa forma, obtém-se o número de voltas completas e a
sua primeira determinação positiva.




Logo, 160º é a primeira determinação positiva e 3 representa o
número de voltas completas.

A expressão geral dos arcos côngruos a 1240º será:

β = 160º+ k. 360º, k ∈ Z



2) Calcule a primeira determinação positiva e escreva a expressão
geral dos arcos côngruos a -1352º.

Solução:




Daí, -272º + 360º = 88º.


                                     Unidade 2                                              65
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                           Logo, 88º é a primeira determinação positiva de -1352º.

                           A expressão geral dos arcos côngruos a -1352º será:

                           β = 88º+ k. 360º, k ∈ Z



                           3) Calcule a primeira determinação positiva e escreva a expressão
                                                        11π
                           geral dos arcos côngruos a       rad .
                                                         3
                           Solução:

                           Para resolver este exercício, deve-se escrever o arco considerado
                           desmembrando-o de forma conveniente:




                           Observe que, para desmembrar a fração de forma conveniente, é
                           necessário pensar em um número que seja imediatamente menor
                           que o numerador, tal que, dividido pelo denominador, resulte em
                           um número par.
                                  5π                                            11π
                           Logo,     rad é a primeira determinação positiva de      rad .
                                   3                                             3
                                                                  11π
                           A expressão geral dos arcos côngruos a     rad será:
                                                                   3
                               5π
                           β=      + 2kπ ,, k ∈ Z.
                                3




66
Trigonometria e Números Complexos




4) Determine, na circunferência trigonométrica, o quadrante
onde está a extremidade dos seguintes arcos:

a) 1720º

Solução:




Para solucionar esta questão, primeiramente, divida o número
apresentado no problema por 360º. Assim, você encontrará o arco
de 280º, que é côngruo ao arco de 1720º.

Logo, eles possuem a mesma extremidade e estão, dessa
forma, no mesmo quadrante que, neste caso, é o quarto, pois
270º < 280º < 360º.

b) 19π
    4


Solução:




Veja que, novamente, encontramos a primeira determinação
                          3π
positiva do arco, que é      rad .
                           4
                                                 19π
Como você percebe, este arco é côngruo a   rad e, portanto,
ambos possuem a mesma extremidade.       4

               19π
Logo, o arco de     rad está é no 2º quadrante.
                 4
                                3π
Para entender melhor, note que     rad é equivalente a 135º.
                                 4




                                     Unidade 2                                             67
Universidade do Sul de Santa Catarina




                                     Você sabia...
                                     Normalmente, as pessoas justificam que o raio da
                                     circunferência é r=1, porque nas definições dadas para
                                     tangente e secante, bem como nas definições de seno e
                                     cosseno, figura sempre o raio r do círculo no denominador.
                                     Se supusermos r=1, as fórmulas se simplificarão bastante.
                                     Tal explicação deve ser complementada com a observação
                                     de que tomar r=1 corresponde a escolher o comprimento
                                     do raio como unidade de medida. Como todas as linhas
                                     trigonométricas são quocientes entre duas medidas, o
                                     valor de cada uma delas se mantém inalterado quando elas
                                     passam de uma unidade para outra. Por isso, é interessante
                                     convencionar r=1.
                                     (Fonte adaptada do livro Matemática Ensino Médio 2ª Luiz Roberto Dante, São Paulo,
                                     Ática, 2004)




                           SEÇÃO 3 - Seno e Cosseno na Circunferência
                           Trigonométrica
                           Na unidade anterior, os valores do senα e cosα foram definidos
                                                                            π
                           apenas para ângulos agudos, ou seja, para 0 < α < .
                                                                                                      2
                           Agora, nesta seção, você estudará o seno e cosseno de arcos ou
                                                           π
                           ângulos maiores que               rad, algo impensável quando se trabalhava
                                                           2
                           com triângulos retângulos. Você também poderá trabalhar com
                           senos e cossenos de ângulos negativos. Veja só que interessante!!!


                           Definindo Seno e Cosseno na Circunferência Trigonométrica

                           Considere a figura 2.10:




68
Trigonometria e Números Complexos




                  Figura 2.10: Seno e Cosseno na Circunferência




Então:

        Seno do arco cuja medida é x é a ordenada do ponto M,
         ou seja: senx=OM”;
        Cosseno do arco cuja medida é x é a abscissa do ponto
         M, ou seja: cosx=OM’.
Veja por que:




                          Figura 2.11: Seno e Cosseno




                                          Unidade 2                                                   69
Universidade do Sul de Santa Catarina




                           Observe o triângulo retângulo OM’M da figura 2.11. Neste
                           triângulo podem-se aplicar as razões trigonométricas, estudadas
                           na unidade 1.

                           Para isso, retira-se o triângulo do ciclo trigonométrico para
                           melhor visualização. Observe a figura 2.12:




                                                   Figura 2.12: Triângulo Retângulo




                           Aplicando-se as razões trigonométricas nesse triângulo, tem-se:
                                   cateto oposto                                  cateto adjacente
                           sen x =                                        cos x =
                                    hipotenusa                                       hipotenusa
                                   MM '                                           OM '
                           sen x =                                        cos x =
                                   OM                                              OM
                                   MM '                                           OM '
                           sen x =                                        cos x =
                                     1                                              1
                           sen x = MM '                                   cos x = OM '
                           sen x = OM ''
                           Observe, no ciclo trigonométrico, que MM’=OM”.

                                             Dessa forma, mostramos que o seno de um arco é a
                                             ordenada do ponto que representa a extremidade
                                             deste arco e o cosseno é a abscissa desse ponto.



                           Podemos nos referir aos valores dos arcos em graus ou radianos.
                           Também podemos pensar em seno e cosseno de arcos maiores
                           que 90º, algo impensável quando trabalhávamos com triângulos
                           retângulos. É possível, ainda, pensar em senos e cossenos de
                           ângulos negativos.




70
Trigonometria e Números Complexos




Na unidade 1, você viu que alguns ângulos são considerados
notáveis por serem mais utilizados na resolução de problemas,
                   π            π             π
são eles: 30º ou     rad, 45º ou rad e 60º ou   rad. Observe a
                   6            4             3
representação geométrica do seno e do cosseno de cada um deles:



                                    π 1
                              sen    =
                                    6 2
                                    π    3
                              cos     =
                                    6   2




                                 π    2
                              sen  =
                                 4   2
                                 π    2
                              cos =
                                 4   2




                                 π    3
                              sen  =
                                 3   2
                                 π 1
                              cos =
                                 3 2




Agora, serão acrescentados outros arcos que também podem ser
                                          π
considerados notáveis: 0º ou 0 rad, 90º ou rad, 180º ou π rad,
                                       2
        3π
270º ou    rad e 360º ou 2π rad. Geometricamente, cada um
         2
deles, representa o seno e o cosseno. Observe:



                                     Unidade 2                                        71
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72
Trigonometria e Números Complexos




Veja a tabela 2.1, onde estão reunidos os valores do seno e
cosseno representados geometricamente.

Tabela 2.1: Valores Notáveis
         π       π       π       π                3π
    x      (30º)
           0       (45º)   (60º)   (90º) π (180º)    (270º) 2π (360º)
         6       4       3       2                 2
           1        2       3
  senx 0                           1         0       -1         0
           2       2       2
            3       2      1
  cosx 1                           0        -1        0         1
           2       2       2



           Você sabia...
           Criada por Edmund Gunter, a palavra cosseno surgiu no
           século XVII como sendo o seno do complemento de um
           ângulo. Gunter sugeriu combinar os termos “complemento”
           e “seno” em co-sinus, que logo foi modificado para cosinus
           e, em português “co-seno”. Os conceitos de seno e cosseno
           tiveram origem nos problemas relativos à Astronomia.




Acompanhe alguns exemplos, onde serão calculados os senos e
cossenos de arcos maiores que 360º.




                                        Unidade 2                                             73
Universidade do Sul de Santa Catarina




                           1) Calcule o valor de sen1845º.

                           Solução:

                           Primeiramente, calcula-se a 1ª determinação positiva:




                                                          2
                           Então, sen1845º = sen45º =       .
                                                         2
                                               2
                           Logo, sen1845º =      .
                                              2


                           2) Calcule o valor de cos(-900º).

                           Solução:

                           Deve-se calcular a primeira determinação positiva de (-900º).




                           Perceba que -180º é a primeira determinação negativa, e precisa-
                           se da primeira determinação positiva.

                           Assim: -180º + 360º = 180º.

                           Logo, a primeira determinação positiva é 180º.

                           Tem-se, então, que:

                           cos(-900º)=cos180º=-1

                           Logo, cos(-900º)=-1
                                                       19π
                           3) Calcule o valor de sen       .
                                                           .
                                                        3
                           Solução: Vamos calcular a primeira determinação positiva.
                           19π 18π π          π
                               =     + = 6π +
                            3      3  3       3
                                            π                                       19π
                           Assim, temos que 3 é a primeira determinação positiva de     .
                                                                                     3



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Ap trigonometria numeros complexo

  • 1. Universidade do Sul de Santa Catarina Trigonometria e Números Complexos Disciplina na modalidade a distância Palhoça UnisulVirtual 2007
  • 2. Créditos Unisul - Universidade do Sul de Santa Catarina UnisulVirtual - Educação Superior a Distância Campus UnisulVirtual Diva Marília Flemming Monitoria e Suporte Equipe Didático- Rua João Pereira dos Santos, 303 Itamar Pedro Bevilaqua Rafael da Cunha Lara pedagógica Palhoça - SC - 88130-475 Janete Elza Felisbino (Coordenador) Fone/fax: (48) 3279-1541 e Jucimara Roesler Adriana Silveira Capacitação e Apoio 3279-1542 Lilian Cristina Pettres (Auxiliar) Caroline Mendonça Pedagógico à Tutoria E-mail: cursovirtual@unisul.br Lauro José Ballock Dyego Rachadel Angelita Marçal Flores Site: www.virtual.unisul.br Luiz Guilherme Buchmann Edison Rodrigo Valim (Coordenadora) Figueiredo Francielle Arruda Caroline Batista Reitor Unisul Luiz Otávio Botelho Lento Gabriela Malinverni Barbieri Enzo de Oliveira Moreira Marcelo Cavalcanti Josiane Conceição Leal Patrícia Meneghel Gerson Luiz Joner da Silveira Mauri Luiz Heerdt Maria Eugênia Ferreira Celeghin Vanessa Francine Corrêa Mauro Faccioni Filho Rachel Lopes C. Pinto Vice-Reitor e Pró-Reitor Michelle Denise Durieux Lopes Acadêmico Simone Andréa de Castilho Design Instrucional Destri Tatiane Silva Sebastião Salésio Heerdt Moacir Heerdt Daniela Erani Monteiro Will Vinícius Maycot Serafim (Coordenadora) Nélio Herzmann Chefe de Gabinete da Reitoria Onei Tadeu Dutra Carmen Maria Cipriani Pandini Produção Industrial e Carolina Hoeller da Silva Boeing Fabian Martins de Castro Patrícia Alberton Suporte Patrícia Pozza Dênia Falcão de Bittencourt Raulino Jacó Brüning Arthur Emmanuel F. Silveira Flávia Lumi Matuzawa Pró-Reitor Administrativo (Coordenador) Rose Clér E. Beche Karla Leonora Dahse Nunes Marcus Vinícius Anátoles da Silva Francisco Asp Leandro Kingeski Pacheco Ferreira Tade-Ane de Amorim (Disciplinas a Distância) Ligia Maria Soufen Tumolo Projetos Corporativos Márcia Loch Campus Sul Diane Dal Mago Viviane Bastos Design Gráfico Diretor: Valter Alves Schmitz Neto Vanderlei Brasil Viviani Poyer Diretora adjunta: Alexandra Cristiano Neri Gonçalves Ribeiro (Coordenador) Núcleo de Avaliação da Orsoni Secretaria de Ensino a Aprendizagem Adriana Ferreira dos Santos Alex Sandro Xavier Distância Márcia Loch (Coordenadora) Campus Norte Karine Augusta Zanoni Evandro Guedes Machado Cristina Klipp de Oliveira Diretor: Ailton Nazareno Soares Fernando Roberto Dias (Secretária de Ensino) Silvana Denise Guimarães Diretora adjunta: Cibele Schuelter Zimmermann Ana Luísa Mittelztatt Higor Ghisi Luciano Ana Paula Pereira Pesquisa e Desenvolvimento Campus UnisulVirtual Pedro Paulo Alves Teixeira Djeime Sammer Bortolotti Dênia Falcão de Bittencourt Diretor: João Vianney Rafael Pessi Carla Cristina Sbardella (Coordenadora) Diretora adjunta: Jucimara Vilson Martins Filho Franciele da Silva Bruchado Roesler Grasiela Martins Núcleo de Acessibilidade Gerência de Relacionamento James Marcel Silva Ribeiro Vanessa de Andrade Manuel com o Mercado Lamuniê Souza Equipe UnisulVirtual Walter Félix Cardoso Júnior Liana Pamplona Marcelo Pereira Administração Logística de Encontros Marcos Alcides Medeiros Junior Renato André Luz Presenciais Maria Isabel Aragon Valmir Venício Inácio Olavo Lajús Marcia Luz de Oliveira Priscilla Geovana Pagani (Coordenadora) Silvana Henrique Silva Bibliotecária Aracelli Araldi Vilmar Isaurino Vidal Soraya Arruda Waltrick Graciele Marinês Lindenmayr Guilherme M. B. Pereira Secretária Executiva Cerimonial de Formatura José Carlos Teixeira Letícia Cristina Barbosa Viviane Schalata Martins Jackson Schuelter Wiggers Kênia Alexandra Costa Hermann Priscila Santos Alves Tecnologia Coordenação dos Cursos Osmar de Oliveira Braz Júnior Adriano Sérgio da Cunha Logística de Materiais (Coordenador) Aloísio José Rodrigues Ricardo Alexandre Bianchini Ana Luisa Mülbert Jeferson Cassiano Almeida da Costa (Coordenador) Rodrigo de Barcelos Martins Ana Paula Reusing Pacheco Cátia Melissa S. Rodrigues Eduardo Kraus (Auxiliar) Charles Cesconetto
  • 3. Apresentação Este livro didático corresponde à disciplina Trigonometria e Números Complexos. O material foi elaborado visando a uma aprendizagem autônoma, abordando conteúdos especialmente selecionados e adotando uma linguagem que facilite seu estudo a distância. Por falar em distância, isso não significa que você estará sozinho. Não esqueça que sua caminhada nesta disciplina também será acompanhada constantemente pelo Sistema Tutorial da UnisulVirtual. Entre em contato sempre que sentir necessidade, seja por correio postal, fax, telefone, e-mail ou Espaço UnisulVirtual de Aprendizagem - EVA. Nossa equipe terá o maior prazer em atendê-lo, pois sua aprendizagem é nosso principal objetivo. Bom estudo e sucesso! Equipe UnisulVirtual.
  • 4.
  • 5. Rosana Camilo da Rosa Eliane Darela Paulo Henrique Rufino Trigonometria e Números Complexos Livro didático Design Instrucional Karla Leonora Dahse Nunes 2ª edição revista e atualizada Palhoça UnisulVirtual 2007
  • 6. Copyright © UnisulVirtual 2007 Nenhum a partedesta publicação podeser reproduzida por qualquer m eio sem a prévia autorização desta instituição. Edição - Livr Didático - o Pr essor Conteudistas of es Rosana Cam ilo da Rosa ElianeDarela Paulo HenriqueRu. no Design I ucional nstr Karla Leonora DahseNunes I 978-85-60694-32-7 SBN Pr eto Gr ico e Capa oj áf EquipeUnisulVirtual Diagr ação am Fernando Roberto Dias Zim m erm ann Revisão Or áf togr ica B2B 516.24 R69 Rosa, Rosana Camilo da Trigonometria e números complexos : livro didático / Rosana Camilo da Rosa, Eliane Darela, Paulo Henrique Rufino ; design instrucional Karla Leonora Dahse Nunes. – 2. ed. rev. e atual. – Palhoça : UnisulVirtual, 2007. 326 p. : il. ; 28 cm. Inclui bibliografia. ISBN 978-85-60694-32-7 1. Trigonometria. 2. Números complexos. I. Darela, Eliane. II. Rufino, Paulo Henrique. III. Nunes, Karla Leonora Dahse. IV. Título. Fi catal cha ográfca el i aborada pel Bi i a bloteca U ni versi a da U ni tári sul
  • 7. Sumário Apresentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 Palavras dos professores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 Plano de estudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 UNIDADE 1 – Estudando a Trigonometria nos Triângulos . . . . . . . . . . . . . 17 UNIDADE 2 – Conceitos Básicos da Trigonometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 UNIDADE 3 – Estudando as Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . 95 UNIDADE 4 – Estudando as Relações, Equações e Inequações Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 UNIDADE 5 – Números Complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 Para concluir o estudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 Sobre os professores conteudistas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 Respostas e comentários das atividades de auto-avaliação . . . . . . . . . . . . 251 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321 Anexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
  • 8.
  • 9. Palavras dos professores Estamos apresentando os conteúdos relativos à disciplina Trigonometria e Números Complexos. Os assuntos apresentados são de fundamental importância para sua formação profissional e são abordados de forma clara e objetiva, sempre salientando aspectos da História da Matemática, conforme preconiza o Projeto Pedagógico do Curso de Matemática Licenciatura. É indiscutível que o uso das tecnologias deve estar presente na sala de aula, logo a formação de um profissional com competência para desenvolver atividades didáticas num contexto informatizado torna-se necessária. No decorrer desta disciplina, vamos incentivá- lo e orientá-lo para o uso de diferentes softwares matemáticos. Utilizamos uma linguagem acessível, pois estamos inseridos num contexto de Educação a Distância, e uma linguagem mais técnica poderia prejudicar o andamento das atividades. Você terá a oportunidade de desenvolver atividades e leituras num ambiente virtual, e poderá refletir sobre aspectos didáticos na abordagem dos tópicos estudados com a utilização de recursos tecnológicos. Finalizando, gostaríamos de desejar um ótimo trabalho, e dizer que nossa relação didática será no ambiente virtual, mas estaremos sempre em contato para sanar suas dúvidas. Procure manter suas atividades em dia e conte conosco. Profª. Eliane Darela, Msc. Prof . Paulo Henrique Rufino. Profª. Rosana Camilo da Rosa, Msc.
  • 10.
  • 11. Plano de estudo O plano de estudos visa a orientá-lo/a no desenvolvimento da disciplina. Nele, você encontrará elementos que esclarecerão o contexto da disciplina e sugerirão formas de organizar o seu tempo de estudos. O processo de ensino e aprendizagem na UnisulVirtual leva em conta instrumentos que se articulam e se complementam. Assim, a construção de competências se dá sobre a articulação de metodologias e por meio das diversas formas de ação/mediação. São elementos deste processo:  o livro didático;  o Espaço UnisulVirtual de Aprendizagem (EVA);  as atividades de avaliação (auto-avaliação, a distância e presenciais). Carga Horária 60 horas – 4 créditos. Ementa Arcos e ângulos. Funções trigonométricas. Relações trigonométricas. Equações e inequações trigonométricas. Números Complexos. Operações e representações dos números complexos. Trigonometria e os números complexos.
  • 12. Universidade do Sul de Santa Catarina Objetivo(s) Geral A disciplina objetiva a reflexão e construção de conhecimentos no contexto da Trigonometria e dos Números Complexos, propiciando ao universitário a oportunidade de: investigar, observar, analisar e delinear conclusões testando-as na resolução de problemas, formando uma visão ampla e científica da realidade. Específicos  Desenvolver o conceito de razões trigonométricas no triângulo retângulo.  Resolver problemas aplicando as relações fundamentais entre as razões trigonométricas.  Reconhecer e aplicar a lei dos cossenos e a lei dos senos na resolução de triângulos.  Expressar e converter a medida de um ângulo de graus para radianos e vice-versa.  Introduzir o conceito das funções circulares.  Reduzir arco ao 1º quadrante.  Construir, ler e interpretar gráficos das funções trigonométricas utilizando, corretamente, procedimentos e ferramentas tecnológicas.  Resolver equações e inequações trigonométricas.  Resolver e simplificar expressões trigonométricas, aplicando as relações trigonométricas.  Aplicar as fórmulas da adição, subtração e arco duplo.  Compreender o conceito de números complexos.  Identificar um número complexo na sua forma algébrica e representá-lo no plano de Argand-Gauss. 12
  • 13. Trigonometria e Números Complexos  Compreender os conceitos de módulo e argumento de um número complexo z. Apresentar a forma trigonométrica de z.  Operar com números complexos na forma algébrica e trigonométrica. Conteúdo programático/objetivos Os objetivos de cada unidade definem o conjunto de conhecimentos que você deverá deter para o desenvolvimento de habilidades e competências necessárias a sua formação. Neste sentido, veja a seguir as unidades que compõem o Livro Didático desta disciplina, bem como os seus respectivos objetivos. Unidades de estudo: 5 Unidade 1 - Estudando a Trigonometria nos Triângulos Nesta unidade, apresentam-se as razões trigonométricas nos triângulos retângulos, bem como as leis dos senos e cossenos em triângulos quaisquer. O estudo desta unidade nos permite a resolução de problemas que envolvem situações reais. Unidade 2 - Conceitos Básicos da Trigonometria Nesta unidade, são apresentados conceitos relativos à trigonometria na circunferência. Estes conceitos são fundamentais para definir o seno e o cosseno na circunferência trigonométrica, o que também será abordado nesta unidade. Unidade 3 - Estudando as Funções Trigonométricas As funções trigonométricas, também conhecidas como funções circulares, serão discutidas nesta unidade, possibilitando a leitura gráfica e a modelagem de problemas práticos. Os recursos tecnológicos serão indispensáveis, pois facilitam as representações gráficas. 13
  • 14. Universidade do Sul de Santa Catarina Unidade 4 - Estudando as Relações, Equações e Inequações Trigonométricas O estudo das relações e transformações trigonométricas será abordado nesta unidade, salientando-se que as relações trigonométricas são decorrentes do seno e cosseno de um arco, estudados na unidade 2. Amplia-se o estudo, nesta unidade, abordando equações e inequações trigonométricas. Unidade 5 - Números Complexos Nesta unidade, apresenta-se um novo conjunto, chamado conjunto dos números complexos. Serão abordadas as operações na forma algébrica e trigonométrica, bem como a representação gráfica desse número. Agenda de atividades/ Cronograma  Verifique com atenção o EVA. Organize-se para acessar periodicamente o espaço da Disciplina. O sucesso nos seus estudos depende da priorização do tempo para a leitura; da realização de análises e sínteses do conteúdo; e da interação com os seus colegas e tutor.  Não perca os prazos das atividades. Registre as datas no espaço a seguir, com base no cronograma da disciplina disponibilizado no EVA.  Use o quadro para agendar e programar as atividades relativas ao desenvolvimento da Disciplina. 14
  • 15. Trigonometria e Números Complexos Atividades Avaliação a Distância Avaliação Presencial Avaliação Final (caso necessário) Demais atividades (registro pessoal) 15
  • 16.
  • 17. 1 UNIDADE 1 Estudando a Trigonometria nos Triângulos Objetivos de aprendizagem  Desenvolver o conceito de razões trigonométricas no triângulo retângulo.  Resolver problemas aplicando as relações fundamentais entre as razões trigonométricas.  Reconhecer e aplicar a lei dos cossenos e a lei dos senos na resolução de triângulos. Seções de estudo Seção 1 Introdução à Trigonometria Seção 2 Definindo as razões trigonométricas no triângulo retângulo Seção 3 Relações trigonométricas em um triângulo qualquer: lei dos senos e lei dos cossenos
  • 18. Universidade do Sul de Santa Catarina Para início de conversa Sabe-se que algumas medidas podem ser obtidas diretamente, outras são obtidas de modo indireto. A largura de uma sala, por exemplo, pode ser medida com uma trena, o comprimento de uma estrada pode ser medido, por meio de um hodômetro instalado em um automóvel que percorra a estrada do início ao fim. Em ambos os casos essa medida é encontrada de modo direto. Já a distância da Terra até a Lua só pode ser obtida de modo indireto. A Trigonometria é uma ferramenta importante para a resolução de problemas que envolvem grandes distâncias como os de engenharia, navegação e astronomia. Nesta unidade, você estudará a trigonometria no triângulo retângulo, bem como as leis dos senos e cossenos em triângulos quaisquer. A contextualização da trigonometria, por ser de suma importância, será abordada no desenvolvimento das atividades. SEÇÃO 1 – Introdução à trigonometria O que é trigonometria? Tri = três gonos = ângulos metria = medição Logo, trigonometria significa medição de três ângulos. 18
  • 19. Trigonometria e Números Complexos Você sabia... Triângulo retângulo é um triângulo que possui um ângulo reto (90º). O estudo da trigonometria foi impulsionado pela necessidade de evolução da Agrimensura, Navegação e Astronomia, já que as dimensões do universo sempre fascinaram os cientistas. O astrônomo grego Aristarco de Samos (310 a.C. - 230 a.C.) foi Para compreender, acesse um dos primeiros a calcular as distâncias que separam a Terra, o site sugerido na seção a Lua e o Sol. Para isso, ele usou relações entre as medidas dos ‘saiba mais’ ao final desta lados dos triângulos retângulos com seus ângulos internos. unidade. Acredita-se que, como ciência, a trigonometria nasceu com o astrônomo grego Hiparco de Nicéia (190 a.C. - 125 a.C.), também conhecido como o Pai da Trigonometria por ter estudado e sistematizado algumas relações entre os elementos de um triângulo. A relação entre as medidas dos lados de um triângulo com as medidas de seus ângulos é de grande utilidade na medição de distâncias inacessíveis ao homem, como a altura de montanhas, torres e árvores, ou a largura de rios e lagos. Também encontra-se aplicações da trigonometria na Engenharia, na Mecânica, na Eletricidade, na Acústica, na Medicina e até na Música. Unidade 1 19
  • 20. Universidade do Sul de Santa Catarina SEÇÃO 2 - Definindo as razões trigonométricas no triângulo retângulo Do ponto de vista matemático, o desenvolvimento da trigonometria está associado à descoberta de constantes nas relações entre os lados de um triângulo retângulo. Suponha que a Figura 1.1 represente uma rampa, em uma pista de skate, que forma um ângulo de α graus com o solo:  Quando o skatista percorre 50m sobre a rampa, o mesmo fica a uma altura de 30 metros e o seu deslocamento na horizontal é de 40 metros;  Quando o skatista percorre 75m sobre a rampa, o mesmo fica a uma altura de 45 metros e o seu deslocamento na horizontal é de 60 metros;  Quando o skatista percorre 100m sobre a rampa, o mesmo fica a uma altura de 60 metros e o seu deslocamento na horizontal é de 80 metros. Figura 1.1: Representação da situação problema Na figura 1.2, tem-se os triângulos retângulos ABS, ACT e ADU semelhantes entre si. Escreva a razão entre a altura que o skatista atinge e a distância percorrida sobre a rampa, para os três momentos considerados. 20
  • 21. Trigonometria e Números Complexos Figura 1.2: Representação da distância percorrida e da altura Temos: ∆ ABS ~ ∆ ACT ~ ∆ ADU BS CT DU 30 45 60 Logo: AS = AT = AU → = = 50 75 100 = 0, 6 (valor constante). Você pode observar que, em qualquer um dos triângulos retângulos considerados, a razão entre a medida dos lados BS, CT e DU, opostos ao ângulo α, e a medida dos lados AS, AT e AU, opostos ao ângulo reto é igual a 0,6, independentemente das medidas dos lados considerados. Esse valor constante é chamado seno do ângulo α e simbolizamos por sen α. Agora, vamos escrever a razão entre o deslocamento na horizontal e a distância percorrida sobre a rampa pelo skatista, para os três momentos considerados. Figura 1.3: Representação da distância percorrida e do deslocamento na horizontal AB AC AD 40 60 80 Temos: AS = AT = AU → = = 50 75 100 = 0, 8 (valor constante). Unidade 1 21
  • 22. Universidade do Sul de Santa Catarina Você pode observar que, em qualquer um dos triângulos retângulos da figura 1.3, a razão entre a medida dos lados AB, AC e AD, adjacentes ao ângulo α, e a medida dos lados AS, AT e AU, opostos ao ângulo reto é igual a 0,8, independentemente das medidas dos lados considerados. Esse valor constante é chamado cosseno do ângulo α e simbolizamos por cos α. Ainda há uma terceira igualdade que podemos estabelecer: a razão entre a medida da altura que o Skatista atinge e o seu deslocamento na horizontal. Figura 1.4: Representação da altura e do deslocamento na horizontal BS CT DU 30 45 60 Temos: AB = AC = AD → = = 40 60 80 = 0, 75 (valor constante). Você pode observar, na figura 1.4, que em qualquer um dos triângulos retângulos, a razão entre a medida dos lados BS, CT e DU, opostos ao ângulo α, e a medida dos lados AB, AC e AD, adjacentes ao ângulo α é igual a 0,75, independentemente das medidas dos lados considerados. Esse valor constante é chamado tangente do ângulo α e simbolizamos por tg α. Os números que expressam o seno, cosseno e tangente do ângulo agudo α, são denominados razões trigonométricas do triângulo retângulo. 22
  • 23. Trigonometria e Números Complexos Generalizando, tem-se: Figura 1.5: Triângulo retângulo Na figura, 1.5 tem-se:  O triângulo ABC é retângulo em A;  O lado oposto ao ângulo reto denomina-se hipotenusa (a);  Os lados b e c denominam-se catetos;  O cateto b é oposto ao ângulo β e adjacente ao ângulo α ;  O cateto c é oposto ao ângulo α e adjacente ao ângulo β. Você lembra do Teorema de Pitágoras? O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos: a2=b2+c2 Unidade 1 23
  • 24. Universidade do Sul de Santa Catarina Desta forma, tem-se: cateto oposto b senβ = = hipotenusa a cateto adjacente c cos β = = hipotenusa a cateto oposto b tg β = = cateto adjacente c De modo análogo, pode-se estabelecer as razões para o ângulo α. Que tal você rever agora alguns aspectos que caracterizaram a vida de Pitágoras e a história da matemática? Retrospectiva histórica Pitágoras viveu há 2.500 anos e não deixou obras escritas. O que se sabe de sua biografia e de suas idéias é uma mistura de lenda e história real. Acerca de 50 Km de Mileto, na ilha Jônia de Samos, por volta de 589 aC. nasceu Pitágoras, que também esteve no Egito e, por desavenças com o tirano Polícrates, de Samos, mudou-se para Crotona ao sul da Península Itálica onde fundou uma sociedade voltada ao estudo da Filosofia, das Ciências Naturais e da Matemática, chamada Escola Pitagórica. Rapidamente, os membros desta sociedade passaram a ver números por toda a parte concluindo que o Universo era regido por uma inteligência superior essencialmente matemática. 24
  • 25. Trigonometria e Números Complexos Figura 1.6 – Pitágoras Fonte: http://centros5.pntic.mec.es/ies.sierra.minera/dematesna/demates45/op- ciones/sabias/escuela%20pitagorica/escuela%20pitagorica.htm. Capturado em 09/04/2006 Atualmente não há documentos que justifiquem a afirmação de que o Teorema de Pitágoras foi demonstrado pela primeira vez pelos Pitagóricos. Conjetura-se que os membros da mais antiga escola pitagórica conheciam muito bem a geometria dos babilônios, portanto, as idéias básicas do teorema poderiam ter suas origens em outras épocas bem mais remotas. O maior feito teórico dos pitagóricos foi a descoberta dos irracionais, mas seu mérito máximo consiste em haverem provocado uma verdadeira epidemia de interesse pela matemática, que contagiou a maioria das cidades-estado da Grécia. Saiba mais Você poderá enriquecer mais esta leitura, lendo: Boyer, Carl Benjamin, 1906- História da Matemática. Ângulos notáveis Os ângulos de 30º, 45º e 60º são considerados notáveis uma vez que aparecem freqüentemente nos problemas de geometria. Apresentamos a dedução dos valores do seno, do cosseno e da tangente do ângulo de 45º. Os outros dois ângulos você mesmo fará resolvendo o exercício 1 das atividades de auto-avaliação ao final da unidade. Unidade 1 25
  • 26. Universidade do Sul de Santa Catarina Podemos resumir as razões trigonométricas dos ângulos notáveis em uma única tabela: 26
  • 27. Trigonometria e Números Complexos Considerando as definições das razões trigonométricas e utilizando processos mais sofisticados de medidas de ângulos e segmentos, podemos construir uma tabela de valores trigonométricos para consultar quando encontrarmos situações que não envolvam ângulos notáveis. Em anexo encontra-se uma tabela que fornece as razões trigonométricas dos ângulos de 1º a 89º. Você pode, também, obter diretamente valores trigonométricos utilizando as funções de uma calculadora científica ou softwares matemáticos. Você sabia... Nas calculadoras científicas, o seno que abreviamos por sen é identificado por sin e a tangente, tg, é identificada por tan. Unidade 1 27
  • 28. Universidade do Sul de Santa Catarina Nos exemplos a seguir você irá utilizar as razões trigonométricas para descobrir as medidas desconhecidas indicadas por x. Será um bom exercício para verificar a sua compreensão do assunto até o presente momento. 1) Calcule o valor de x: Figura 1.7: Triângulo retângulo Na figura 1.7, você pode observar que a medida desconhecida x é o cateto oposto ao ângulo de 55º e que 3 cm corresponde ao cateto adjacente. Logo, a razão trigonométrica que iremos utilizar será a tangente. cateto oposto tg 55º = cateto adjacente x tg 55º = 3 x 1, 428 = 3 x = 4, 284cm 2) Determine o valor de x: Figura 1.8: Triângulo retângulo 28
  • 29. Trigonometria e Números Complexos Agora você observa na figura 1.8, que a medida desconhecida é o cateto oposto ao ângulo de 30º e a hipotenusa vale 16 cm. Portanto, utilizaremos a razão trigonométrica seno para encontrar a medida x. cateto oposto sen 30º = hipotenusa x sen 30º = 16 1 x = 2 16 2 x = 16 x = 8cmm 3) Encontre o valor de x: Figura 1.9: Triângulo retângulo Na figura 1.9 você pode observar que o cateto adjacente mede 10 cm e a medida desconhecida x é a hipotenusa. Assim, usaremos a razão cosseno para descobrir o valor de x. cateto adjacente cos 60º = hipotenusa 10 cos 60º = x 1 10 = 2 x x = 20 cm Unidade 1 29
  • 30. Universidade do Sul de Santa Catarina E então? Você sentiu dificuldade para compreender os exemplos? Se sim, retorne à leitura buscando sanar suas dúvidas. Caso não compreenda, entre em contato com o(a) professor(a) tutor(a), via EVA (Espaço UnisulVirtual de Aprendizagem). Se não sentiu dificuldades quanto à compreensão dos exemplos, observe os problemas abaixo: P1) Um eletricista deseja conhecer a altura de um poste, sabendo que quando o ângulo de elevação do sol é de 68º, a sombra do mesmo projetada no solo, mede 2,4 m. Modelo real Modelo matemático Figura 1.10: Modelo real e matemático do problema P1 Solução: A partir da figura 1.10, você pode observar a situação apresentada no problema P1 e perceber que a solução será encontrada por meio da razão trigonométrica tangente. Observe que a altura do poste, representada por x, é o cateto oposto ao ângulo de 68º e a medida do cateto adjacente ao mesmo ângulo é de 2,4 m, que corresponde a sombra do poste. 30
  • 31. Trigonometria e Números Complexos cateto oposto tg 68º = cateto adjacente x tg 68º = 2, 4 x 2, 475 = 2, 4 x = 5, 94 m Lembre-se: A tg 68º= 2,475 é obtida pela calculadora ou pela tabela trigonométrica. Resposta: A altura do poste é de 5,94 m. P2) Uma família desejando realizar um passeio de fim de semana, parte da sua cidade situada no nível do mar seguindo por uma estrada em aclive de 36º. Após percorrer 80 m a que altitude esta família estará? Modelo real Modelo matemático Figura 1.11: Modelo real e matemático do problema P2 Solução: Observando a figura 1.11, você observa a situação apresentada no problema P2 e percebe que a solução será encontrada por meio da razão trigonométrica seno. A altitude em que a família se encontra, está representada por x, sendo denotada por cateto oposto ao ângulo de 36º. A medida da hipotenusa, que corresponde a distância percorrida pelo carro é de 80 metros. Unidade 1 31
  • 32. Universidade do Sul de Santa Catarina cateto oposto sen 36º = hipotenusa x sen 36º = 80 x 0, 588 = 80 x = 47, 04 m Resposta: A família estará a uma altitude 47,04 metros. P3) Desejando saber qual a altura de uma torre, uma empresa de telefonia utilizou um teodolito, aparelho óptico de precisão utilizado para medir ângulos. O teodolito foi colocado a uma distância de 50 m da base da torre, num nível de observação de 1,50 m e o ângulo marcado foi de 20º. Modelo real Modelo matemático Figura 1.12: Modelo real e matemático do problema P3 Solução: A situação apresentada no problema P3 está representada na figura 1.12 e você pode perceber que a solução será encontrada por meio da razão trigonométrica tangente. A altura da torre está representada por x, é denotada por cateto oposto ao ângulo de 20º. A medida do cateto adjacente, que corresponde a distância entre o teodolito e a base da torre é de 50 metros. cateto oposto tg 20º = cateto adjacente x tg 20º = 50 x 0, 364 = 50 x = 18, 20 m 32
  • 33. Trigonometria e Números Complexos Note que o nível de observação do teodolito é de 1,50 metros, logo devemos acrescentá-lo ao resultado encontrado: h= 18,20 + 1,50 = 19,70 metros. Resposta: A altura da torre é de 19,70 metros. Você sabia... Teodolito é um instrumento óptico de precisão para medir ângulos horizontais e verticais. Em áreas de grande extensão, o topógrafo precisa, muitas vezes imaginar triângulos em pontos inacessíveis. Medindo três elementos desses triângulos, sendo que pelo menos um deles é um lado, ele pode encontrar as demais dimensões necessárias para uma aplicação prática. Veja a seguir, alguns aspectos históricos sobre Hiparco... Retrospectiva Histórica Acredita-se que, como ciência, a Trigonometria nasceu com o astrônomo grego Hiparco de Nicéia (190 a.C. - 125 a.C.). Este grande astrônomo criou uma matemática aplicada para prever os eclipses e os movimentos dos astros, permitindo a elaboração de calendários mais precisos e maior segurança na navegação. Hiparco estudou e sistematizou algumas relações entre os elementos de um triângulo, foi ele o primeiro a construir a tabela trigonométrica. Unidade 1 33
  • 34. Universidade do Sul de Santa Catarina Da vida de Hiparco sabe-se apenas que nasceu em Nicéia, em data desconhecida, e que trabalhou em Alexandria e Rodes. No tempo de Hiparco a filosofia pitagórica havia estabelecido um preconceito meramente especulativo: o de que os astros descrevem movimentos circulares perfeitos. E havia também o preconceito aristotélico, segundo o qual a natureza dos corpos celestes é imutável. Meteoritos e cometas não eram tidos como fenômenos astronômicos, mas atmosféricos, coisas deste mundo imperfeito e não da eterna impassividade celeste. Foram idéias como essa que Hiparco refutou, com base nas observações efetuadas ao longo de uma carreira científica de mais de trinta anos, provavelmente entre os anos 161 e 127 a.C. No curso desses trabalhos, Hiparco viria a desvendar um novo campo da matemática, a trigonometria. Infelizmente, é impossível avaliar hoje toda a extensão e o valor da obra deixada por Hiparco. Admite-se que tenha sido importante, pela influência que exerceu sobre cientistas posteriores. SEÇÃO 3 - Relações trigonométricas em um triângulo qualquer: lei dos senos e lei dos cossenos As razões trigonométricas estudadas até agora foram utilizadas em triângulos retângulos. Esta seção tem por finalidade mostrar outras relações que valem para quaisquer triângulos, assim, você estudará a seguir, valores de senos e cossenos de ângulos obtusos. Como esse assunto ainda não foi abordado, você aprenderá neste momento apenas como lidar com eles na prática e deixaremos a parte teórica, desses ângulos, para a próxima unidade. Você sabia... Ângulo obtuso é um ângulo cuja medida é maior que 90º. 34
  • 35. Trigonometria e Números Complexos Lei dos senos Um fazendeiro deseja instalar energia elétrica em uma parte de sua fazenda que é cortada por um rio. Para tanto, precisa colocar dois postes em lados opostos deste rio para permitir a passagem do fio. Para fazer este projeto é necessário saber a distância entre os postes, e a presença do rio impede a sua medição direta. Utilizando um aparelho apropriado, o teodolito, o fazendeiro posicionou-se em um local em que era possível visualizar os dois postes e medir a distância entre eles, o ângulo obtido entre a linha de visão dele e os postes foi de 120º. Seu ajudante mediu a distância entre o poste mais afastado e o fazendeiro obteve 100 metros. Mediu também o ângulo entre a linha do poste mais próximo do fazendeiro e a linha entre os postes, obtendo 45º. Modelo real Modelo matemático Figura 1.13: Modelo real e matemático do problema enunciado Note que no modelo matemático da figura 1.13, temos o triângulo AÔB obtusângulo e descobrir a medida do lado AB é a resolução do problema. Para encontrarmos esta medida vamos estudar a lei dos senos cujo teorema é enunciado abaixo. Teorema Em todo o triângulo, as medidas dos lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos: a b c ^ = ^ = ^ sen A sen B sen C Unidade 1 35
  • 36. Universidade do Sul de Santa Catarina Considere o triângulo ABC representado na figura 1.14: Figura 1.14: Lei dos senos Agora observe a resolução do problema! 100 d = sen 45º sen120º 100 d = 2 3 2 2 d 2 100 3 = 2 2 100 3 d= 2 100 3 2 d= . 2 2 100 6 d= 4 100 6 d= 2 d = 50 6 d = 122, 47 m Resposta: A distância entre os postes é de aproximadamente 122,47 metros. Na seqüência, acompanhe a demonstração dessa lei. 36
  • 37. Trigonometria e Números Complexos Existem três casos a considerar:  O triângulo ABC é retângulo;  O triângulo ABC é obtusângulo;  O triângulo ABC é acutângulo. Faremos a demonstração quando o triângulo for acutângulo. Os outros dois casos você irá demonstrar na resolução do exercício 19 das atividades de auto-avaliação ao final desta unidade. Considere o triângulo ABC acutângulo, representado na figura 1.15: Figura 1.15: Representação do triângulo para demonstração Sejam AH1 e BH2 as alturas relativas aos lados BC e AC respectivamente. No triângulo retângulo AH1C, temos que ^ h1 ^ sen C = ⇒ h1 = b.sen C . [1] b No triângulo retângulo AH1B, temos que ^ h1 ^ sen B = ⇒ h1 = c.sen B . [2] c Comparando [1] e [2], temos: ^ ^ b c b.sen C = c.sen B ⇒ ^ = ^ [A] sen B sen C Unidade 1 37
  • 38. Universidade do Sul de Santa Catarina No triângulo retângulo BH2C, temos que ^ h2 ^ sen C = ⇒ h2 = a.sen C . [3] a No triângulo retângulo AH2B, temos que ^ h2 ^ sen A = ⇒ h2 = c.sen A . [4] c Comparando [3] e [4], temos: ^ ^ a c a.sen C = c.sen A ⇒ ^ = ^ [B] sen A sen C De [A] e [B] podemos concluir que: a b c ^ = ^ = ^ sen A sen B sen C Lei dos cossenos Na duplicação da BR-101, em um dos pontos do trecho sul, é necessário a construção de uma ponte que una os pontos A e B conforme a figura a seguir. O engenheiro responsável pela obra só conseguiu as seguintes medidas: AC=30m, BC=50m e a medida do ângulo entre esses lados 120º. Ele necessita descobrir qual a extensão da ponte. Modelo real Modelo matemático Figura 1.16: Modelo real e matemático do problema enunciado no exemplo. 38
  • 39. Trigonometria e Números Complexos Perceba agora que, no modelo matemático temos o triângulo ABC obtusângulo representado na figura 1.16, e descobrir a medida do lado AB é a resolução do problema. A aplicação da lei dos cossenos é a solução deste problema. Observe o que diz o teorema: Em todo triângulo, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados, menos duas vezes o produto das medidas desses dois lados pelo cosseno do ângulo oposto àquele lado, ou seja: ^ a 2 = b 2 + c 2 − 2.b.c.cos A ^ b 2 = a 2 + c 2 − 2.a.c.cos B ^ c 2 = a 2 + b 2 − 2.a.b.cos C Figura 1.17: lei do cossenos Voltando ao problema inicial, de acordo com o triângulo na figura 1.17, para encontrar o comprimento da ponte, precisamos encontrar a medida d. Para isso, utilizaremos a lei dos cossenos: AB 2 = AC 2 + BC 2 − 2. AC.BC.cos 120º d 2 = 302 + 502 − 2.30.50.(−0, 5) d 2 = 900 + 2500 + 1500 d 2 = 4900 d = 4900 d = 70m Resposta: A extensão da ponte deve ser de 70 metros. Na seqüência, acompanhe a demonstração dessa lei. Unidade 1 39
  • 40. Universidade do Sul de Santa Catarina Existem três casos a considerar:  O triângulo ABC é retângulo;  O triângulo ABC é obtusângulo;  O triângulo ABC é acutângulo. Faremos a demonstração quando o triângulo for acutângulo. Na seleção das atividades de auto-avaliação, você resolverá a atividade 18 que contempla o segundo e o terceito caso onde,  é reto e  é obtuso respectivamente. Considere o triângulo ABC acutângulo, representado na figura 1.18: Figura 1.18: Representação do triângulo para demonstração Demonstração: O segmento CH representa a altura relativa ao lado AB do triângulo ABC, logo CH é perpendicular a AB. Perceba que a altura CH divide o triângulo ABC em dois triângulos retângulos de acordo com a figura 1.19. 40
  • 41. Trigonometria e Números Complexos Figura 1.19: Representação dos triângulos para demonstração. Aplicando o Teorema de Pitágoras em ambos os triângulos, temos: b2 = m2 + h2 a 2 = h2 +(c-m)2 h2 = b2 - m2 [1] a 2 = h2 + c2 -2.c.m + m2 [2] Substituindo [1] em [2], temos: a 2 = b2 - m2 + c2 -2.c.m + m2 a 2 = b2 + c2 -2.c.m [3] ^ ^ m Note no triângulo A H C que temos: cos A = b Logo m = b.cos [4] Substituindo [4] em [3], temos: a 2 = b2 + c2 -2.b.c. cos De forma análoga, você demonstra que: ^ b2 = a 2 + c2 -2.a.c. cos B . ^ c2 = a 2 + b2 -2.a.b. cos C . Unidade 1 41
  • 42. Universidade do Sul de Santa Catarina Retrospectiva Histórica Considerado o mais eminente matemático do século XVI, François Viète (1540-1603) contribuiu bastante para o avanço do estudo da trigonometria. A forma atual da expressão do teorema dos cossenos foi estabelecida por ele. Figura 1.20 - Fonte: http://www.sulinet.hu/ematek/html/images/arckepek/viete.jpg. Capturado em 16/04/06. Utilizando recursos tecnológicos na trigonometria Você poderá encontrar o software acessando o site: O uso de softwares no ensino é importante. No ensino da http://www.unifra.br/cursos/ trigonometria pode ser muito interessante no que diz respeito downloads.asp?curs=25&grad=M à visualização de vários conceitos explorados no triângulo atem%C3%A1tica&endereco=ma retângulo e em triângulos quaisquer. Como sugestão, indicamos tematica o software Thales. Síntese Nesta unidade você estudou as razões trigonométricas, as leis do seno e cosseno, bem como suas aplicações. Você deve ter observado que os conteúdos abordados são muito úteis para calcular distâncias inacessíveis. Você deverá ter resolvido os 42
  • 43. Trigonometria e Números Complexos exercícios da auto-avaliação e esclarecido todas as suas dúvidas com o professor-tutor para prosseguir seus estudos. Na próxima unidade, trabalharemos com a trigonometria na circunferência. Atividades de auto-avaliação 1) Considerando o triângulo eqüilátero ABC de lado a, deduza os valores do seno, do cosseno e da tangente de 30º e 60º. 2) Qual o valor de a e c no triângulo ABC? 3) Calcule as medidas desconhecidas indicadas nos triângulos abaixo: a) Unidade 1 43
  • 44. Universidade do Sul de Santa Catarina b) 4) Considere o trapézio retângulo ABCD da figura e determine as medidas x e y indicadas: 5) Observando a seguinte figura, determine: a) O valor de a; 44
  • 45. Trigonometria e Números Complexos b) O valor de b; c) A medida do segmento AD. 6) Calcule o valor de x e y indicados na figura abaixo: 7) Observe o triângulo a seguir, sabendo que a medida do lado AD é 40 cm, encontre a medida do lado BC. Unidade 1 45
  • 46. Universidade do Sul de Santa Catarina 8) Duas pessoas A e B estão situadas na mesma margem de um rio, distante 60 3 m uma da outra. Uma terceira pessoa C, na outra margem, está situada de tal modo que AB seja perpendicular a AC e a medida do ângulo seja 60º. Determine a largura do rio. 9) Uma árvore projeta uma sombra de 30 m quando o sol se encontra a 64º acima da linha do horizonte. Qual a altura da árvore? 10) (VUNESP/99) Duas rodovias retilíneas A e B se cruzam formando um ângulo de 45º. Um posto de gasolina se encontra na rodovia A, a 4 Km do cruzamento. Pelo posto passa uma rodovia retilínea C, perpendicular a rodovia B. Qual a distância, em Km, do posto de gasolina a rodovia B, indo através de C? 11) Um estudante de matemática vê um prédio, do Campus da UNISUL de Tubarão SC, construído em um terreno plano, sob um ângulo de 30º. Aproximando-se do prédio por mais 20 metros, passa a vê-lo sob um ângulo de 60º. Considerando que a base do prédio está no mesmo nível do olho do estudante, determine a altura do prédio e a que distância está o estudante do mesmo. 12) Determine na figura a seguir, a medida do lado AB, sabendo-se a medida do lado AC é 3 3cm . 46
  • 47. Trigonometria e Números Complexos 13) No triângulo RPM determine o valor de x sabendo que: MP= 10 2 cm; med( )=60º e med( )=75º. 14) Determine o valor de x na figura abaixo: 15) Qual o perímetro do quadrilátero ABCD? 16) Dois ângulos de um triângulo medem 60º e 75º. Se o lado oposto ao menor ângulo mede 18 2 cm, qual é o comprimento do lado oposto ao ângulo de 60º do triângulo? Unidade 1 47
  • 48. Universidade do Sul de Santa Catarina 17) Os lados de um paralelogramo medem cada um 8 cm, e o menor ângulo que eles formam mede 60º. Calcule a medida em cm da menor das diagonais deste paralelogramo. 18) Prove a lei dos cossenos quando: a) o ângulo  for reto. b) o ângulo  for obtuso. 19) Prove a lei dos senos quando: a) o ângulo  for reto. b) o ângulo  for obtuso. Desafios na Trigonometria 1)(ITA-SP) Os lados de um triângulo medem a, b e c centímetros. Qual o valor do ângulo interno deste triângulo, oposto ao lado que mede a cm, se forem satisfeitos as relações 3a=7c e 3b=8c? 48
  • 49. Trigonometria e Números Complexos 2) (Unicamp-SP) A água utilizada na casa de um sítio é captada e bombeada do rio para uma caixa d’água a 50 m de distância. A distância da caixa d’água e o ângulo formado pelas direções caixa d’água/bomba e caixa d’água/casa é de 60º. Se pretendemos bombear água do mesmo ponto de captação até a casa, quantos metros de encanamento são necessários? Saiba mais Como você estudou, o uso da trigonometria não se limita apenas a estudar triângulos. Sua aplicação é bastante difundida em vários setores tais como Engenharia, Astronomia, Topografia, Mecânica, etc. Para saber mais sobre estas aplicações, consulte o site: http://www.mat.ufpr.br/~licenciar/links/f-trig.htm onde você verá o cálculo de distâncias entre a Terra e o Sol, a Terra e a Lua e também a aplicação da trigonometria na construção de um túnel. Unidade 1 49
  • 50.
  • 51. 2 UNIDADE 2 Conceitos Básicos da Trigonometria Objetivos de aprendizagem  Expressar e converter a medida de um ângulo de graus para radianos e vice-versa.  Calcular a primeira determinação positiva de arcos maiores que 360º.  Introduzir o conceito de seno e cosseno para ângulo de 0º a 360º.  Reduzir arco ao 1º quadrante. Seções de estudo Seção 1 Arcos e Ângulos Seção 2 Conhecendo a Circunferência Trigonométrica Seção 3 Seno e Cosseno na Circunferência Trigonométrica Seção 4 Simetrias Seção 5 Redução ao primeiro Quadrante
  • 52. Universidade do Sul de Santa Catarina Para início de conversa Nesta unidade, você ampliará os estudos de seno e cosseno. A Trigonometria estudada na unidade 1 passará a ocupar toda uma circunferência, ou seja, o objeto de estudo desta unidade é definir as razões seno e cosseno, estudadas anteriormente, na circunferência trigonométrica, também conhecida como circunferência unitária. Na unidade anterior, você estudou a Trigonometria com o objetivo de resolver problemas utilizando os triângulos retângulos, isto é, utilizou a Trigonometria na forma com a qual ela apareceu há milhares de anos. Nas seções a seguir, serão abordados o seno e o cosseno de forma mais acentuada, trabalhando a Trigonometria como uma necessidade atual da Matemática. SEÇÃO 1 - Arcos e Ângulos Considere a circunferência na figura 2.1. Figura 2.1: Arco de circunferência Observe que os pontos A e B dividem a circunferência em duas partes. Estas partes são denominadas arcos de circunferência. 52
  • 53. Trigonometria e Números Complexos Temos:  O arco , em que o ponto A é a origem e B é a extremidade do arco;  o arco , em que o ponto B é a origem e A é a extremidade do arco. Você sabia...  Arco nulo é o ponto;  Arco de uma volta é a circunferência. Ângulo Central Ângulo central é o ângulo cujo vértice é o centro da circunferência. Observe a figura 2.2: Figura 2.2: Ângulo Central A medida de AÔB é α e denotamos por med(AÔB)= α. A medida do arco AB é α e denotamos por med( )= α. Unidade 2 53
  • 54. Universidade do Sul de Santa Catarina Note que a medida de um arco não representa a medida do comprimento desse arco. Observe a figura 2.3: Figura 2.3: Arcos de circunferência Os arcos e possuem a mesma medida α, porém, possuem comprimentos diferentes, m e n respectivamente. Unidades de medida de arcos e ângulos Conheça agora as unidades mais utilizadas para medir arcos e ângulos de circunferência. São elas: o grau e o radiano.  Grau Você já sabe que uma circunferência é dividida em 360 partes iguais. O grau é uma dessas 360 partes: 1 1º = da circunferência. 360 54
  • 55. Trigonometria e Números Complexos Você sabia... Existe uma terceira unidade de medida de arco que é o grado. Grado é a medida de um arco igual a 1/400 do arco completo da circunferência na qual estamos medindo o arco. Os submúltiplos do grau são o minuto e o segundo. 1 1`= do grau. 60 1 1``= do minuto. 60 Radiano Radiano é um arco cujo comprimento é igual ao raio da circunferência que o contém, cuja notação é rad. Observe a figura 2.4: Figura 2.4: Radiano Note que, esticando o arco , a medida do segmento obtido será igual à do raio. Unidade 2 55
  • 56. Universidade do Sul de Santa Catarina Relação entre grau e radiano Lembre-se que o comprimento de uma circunferência é calculado pela fórmula C = 2 π r , onde r é o raio da circunferência. Como cada raio r equivale a 1 rad, fica claro que o arco de uma volta de circunferência corresponde a 2π rad. Então, tem-se a seguinte relação: 360º → 2π rad ou 180º → π rad É possível estabelecer os seguintes resultados entre as três unidades: Desenho Grau 90 180 270 360 Grado 100 200 300 400 Radiano π/2 π 3π/2 2π Observação: 0 graus = 0 grado = 0 radianos Veja alguns exemplos de como é feita a conversão entre o grau e o radiano: 1) Vamos converter 300º em radianos. 180 → π rad 300 → x 180 π rad = 300 x 18 π rad = 30 x 3 π rad = 5 x 3 x = 5π rad 5π x= rad 3 56
  • 57. Trigonometria e Números Complexos Note que você deverá usar a simplificação até transformar a fração na forma irredutível, pois o resultado é expresso na forma de fração e não em forma decimal. 3π 2) Transforme rad em graus. 4 Como já se viu que π rad → 180º, tem-se: 3π 3.180 540 rad = = = 135 4 4 4 3) Vamos transformar 15º 30’ em radianos. Primeiro, transforma-se 15º 30’ em minutos: 1º = 60’ 15º 30’ = 15.60’ + 30’ = 900’ + 30’ = 930’ Agora, transforma-se 180º também em minutos: 180º = 180.60’ = 10800’ Então, tem-se: 10800' → π rad 930' → x 10800' π rad = 930' x 1080 π rad = 93 x 360 π rad = 31 x 360 x = 31π rad 31π x= rad 360 Unidade 2 57
  • 58. Universidade do Sul de Santa Catarina Tudo com você! Vá até a página de auto-avaliação e resolva as atividades referentes a este assunto. Comprimento de arco de circunferência Como você estudou anteriormente, a medida de um arco não representa o seu comprimento, pois este depende do raio da circunferência em que esteja contido. Por exemplo, um arco 1 de 60º tomado sobre uma circunferência de raio 15 cm, tem comprimento maior que um arco  2 também de 60º, tomado sobre uma circunferência de 7cm de raio. Então, tem-se: Sendo AÔB um ângulo central de medida α rad e o arco de comprimento  , pode-se estabelecer: Comprimento do arco Medida do arco r _________________________ 1 rad  _________________________ α rad que fornece a relação  =α . r Essa relação permite calcular o comprimento de um arco de circunferência em função do raio e do ângulo central correspondente, medido em radianos. 58
  • 59. Trigonometria e Números Complexos Acompanhe alguns exemplos que envolvem o comprimento de arco de circunferência. 1) Considere a circunferência representada na figura 2.5: Figura 2.5: Comprimento de arco de circunferência Determine, em cm, o comprimento  do arco , sabendo que α =3 rad. Resolução:  =α.r  =3.6  =18 cm 2) Qual o valor, em rad, do arco de uma circunferência de 3m de raio, sabendo-se que o comprimento desse arco é de 4,5 metros?  = α .r 4,5 = α .3 4 ,5 α= 3 α = 1,5 rad 3) O pêndulo de um relógio, cujo comprimento é de 25 cm, executa o movimento de A para B, conforme mostra a figura 2.6. Determine o comprimento do arco descrito pela extremidade do pêndulo. Use π=3,14. Unidade 2 59
  • 60. Universidade do Sul de Santa Catarina Figura 2.6: Pêndulo Resolução: O raio r é representado pelo pêndulo, então, r = 25 cm. O ângulo α =2.35º = 70º. Agora, veja a conversão de grau para radianos, pois, como você sabe, para o cálculo do comprimento de um arco, não é possível utilizar a medida em graus. 180º → π rad 70º → x 180º π rad = 70º x 18 π rad = 7 x 18 x = 7π rad 7π x= rad 18 Na seqüência, calcula-se o comprimento do arco .  =α.r 7π = .25 18 175 π = 18 175.3,14 = 18  = 30 ,53 cm 60
  • 61. Trigonometria e Números Complexos Verifique se você realmente compreendeu esta seção, resolvendo os exercícios propostos na auto-avaliação. Em caso afirmativo, passe para a seção 2, onde será abordado o ciclo trigonométrico. Se você percebeu dificuldade em resolver os exercícios, procure sanar suas dúvidas com o tutor, ou retome a seção novamente. SEÇÃO 2 - Conhecendo a circunferência trigonométrica Quando se fala em ‘ciclo trigonométrico’, fala-se da mesma circunferência que conhecemos, só que com características específicas. O ciclo trigonométrico é uma circunferência de raio unitário (r = 1), cujo centro é a origem do sistema cartesiano. Ele é orientado positivamente no sentido anti-horário. Observe a figura 2.7: Figura 2.7: Ciclo Trigonométrico  O centro da circunferência é O(0,0).  O raio da circunferência é unitário, r = 1.  O ponto A(1,0) é a origem dos arcos, isto é, os arcos são medidos a partir de A.  O sistema de coordenadas cartesianas divide a circunferência em quatro regiões, chamadas quadrantes.  Dizemos que um arco pertence ao quadrante no qual se encontra sua extremidade. Unidade 2 61
  • 62. Universidade do Sul de Santa Catarina Veja alguns exemplos: 1) Identifique a que quadrantes pertencem os arcos cujas medidas são: a) 130º Como você pode observar, o arco de 130º, partiu do ponto A no sentido positivo e sua extremidade está no 2º quadrante, logo, ele pertence a este quadrante. b) -120º Agora, observe que o arco de -120º partiu do ponto A, no sentido negativo e sua extremidade está no 3º quadrante, logo, ele pertence a este quadrante. 62
  • 63. Trigonometria e Números Complexos 5π c)) c rad 3 Neste exemplo, você observa que o arco de 5π rad partiu 3 do ponto A no sentido positivo, e sua extremidade está no 4º quadrante, logo, ele pertence a este quadrante. Arcos Côngruos Observe as circunferências representadas na figura 2.8: Figura 2.8: Arcos Côngruos Você pode observar que o arco permanece com a mesma extremidade, independentemente do número de voltas completas na circunferência. Assim sendo, é possível definir arcos côngruos como: Arcos que possuem a mesma extremidade e diferem, apenas, pelo número de voltas completas na circunferência. Unidade 2 63
  • 64. Universidade do Sul de Santa Catarina Na figura 2.9, marcamos um arco de 60º. Figura 2.9: Arcos côngruos a 60º É fácil observar que os arcos de 60º, 420º e 780º têm a mesma extremidade e, ainda, que poderíamos encontrar infinitos outros arcos com origem em A e a mesma extremidade. Para isso, basta descrevermos voltas completas na circunferência. Dessa forma, podemos escrever:  60º = 60º + 0.360º  420º = 60º + 1.360º  780º = 60º + 2.360º Assim: Se um arco mede α graus, a expressão geral dos arcos côngruos a ele é: α + k. 360º, k ∈ Z Se um arco mede α radianos, a expressão geral dos arcos côngruos a ele é: α +2kπ, k ∈ Z É importante que você saiba que, se o arco for negativo, basta fazer o percurso das voltas no sentido negativo e também ter-se-á infinitos arcos côngruos com medidas negativas. 64
  • 65. Trigonometria e Números Complexos Faça a mesma representação gráfica 2.9 para este caso. É uma boa forma de verificar se você compreendeu o assunto. Não esqueça que o sentido negativo, no ciclo trigonométrico, é o sentido horário. Como visto, a cada ponto da circunferência, podem estar associados infinitos arcos côngruos. Chamamos, então, de primeira determinação positiva de um arco, a medida α do arco côngruo a ele, tal que 0 ≤ α < 360º ou 0 ≤ α < 2 π rad. Acompanhe alguns exemplos: 1) Calcule a primeira determinação positiva e escreva a expressão geral dos arcos côngruos a 1240º. Solução: Os arcos côngruos diferem apenas pelo número de voltas completas. Logo, deve-se fazer a divisão do arco de 1240º por 360º. Dessa forma, obtém-se o número de voltas completas e a sua primeira determinação positiva. Logo, 160º é a primeira determinação positiva e 3 representa o número de voltas completas. A expressão geral dos arcos côngruos a 1240º será: β = 160º+ k. 360º, k ∈ Z 2) Calcule a primeira determinação positiva e escreva a expressão geral dos arcos côngruos a -1352º. Solução: Daí, -272º + 360º = 88º. Unidade 2 65
  • 66. Universidade do Sul de Santa Catarina Logo, 88º é a primeira determinação positiva de -1352º. A expressão geral dos arcos côngruos a -1352º será: β = 88º+ k. 360º, k ∈ Z 3) Calcule a primeira determinação positiva e escreva a expressão 11π geral dos arcos côngruos a rad . 3 Solução: Para resolver este exercício, deve-se escrever o arco considerado desmembrando-o de forma conveniente: Observe que, para desmembrar a fração de forma conveniente, é necessário pensar em um número que seja imediatamente menor que o numerador, tal que, dividido pelo denominador, resulte em um número par. 5π 11π Logo, rad é a primeira determinação positiva de rad . 3 3 11π A expressão geral dos arcos côngruos a rad será: 3 5π β= + 2kπ ,, k ∈ Z. 3 66
  • 67. Trigonometria e Números Complexos 4) Determine, na circunferência trigonométrica, o quadrante onde está a extremidade dos seguintes arcos: a) 1720º Solução: Para solucionar esta questão, primeiramente, divida o número apresentado no problema por 360º. Assim, você encontrará o arco de 280º, que é côngruo ao arco de 1720º. Logo, eles possuem a mesma extremidade e estão, dessa forma, no mesmo quadrante que, neste caso, é o quarto, pois 270º < 280º < 360º. b) 19π 4 Solução: Veja que, novamente, encontramos a primeira determinação 3π positiva do arco, que é rad . 4 19π Como você percebe, este arco é côngruo a rad e, portanto, ambos possuem a mesma extremidade. 4 19π Logo, o arco de rad está é no 2º quadrante. 4 3π Para entender melhor, note que rad é equivalente a 135º. 4 Unidade 2 67
  • 68. Universidade do Sul de Santa Catarina Você sabia... Normalmente, as pessoas justificam que o raio da circunferência é r=1, porque nas definições dadas para tangente e secante, bem como nas definições de seno e cosseno, figura sempre o raio r do círculo no denominador. Se supusermos r=1, as fórmulas se simplificarão bastante. Tal explicação deve ser complementada com a observação de que tomar r=1 corresponde a escolher o comprimento do raio como unidade de medida. Como todas as linhas trigonométricas são quocientes entre duas medidas, o valor de cada uma delas se mantém inalterado quando elas passam de uma unidade para outra. Por isso, é interessante convencionar r=1. (Fonte adaptada do livro Matemática Ensino Médio 2ª Luiz Roberto Dante, São Paulo, Ática, 2004) SEÇÃO 3 - Seno e Cosseno na Circunferência Trigonométrica Na unidade anterior, os valores do senα e cosα foram definidos π apenas para ângulos agudos, ou seja, para 0 < α < . 2 Agora, nesta seção, você estudará o seno e cosseno de arcos ou π ângulos maiores que rad, algo impensável quando se trabalhava 2 com triângulos retângulos. Você também poderá trabalhar com senos e cossenos de ângulos negativos. Veja só que interessante!!! Definindo Seno e Cosseno na Circunferência Trigonométrica Considere a figura 2.10: 68
  • 69. Trigonometria e Números Complexos Figura 2.10: Seno e Cosseno na Circunferência Então:  Seno do arco cuja medida é x é a ordenada do ponto M, ou seja: senx=OM”;  Cosseno do arco cuja medida é x é a abscissa do ponto M, ou seja: cosx=OM’. Veja por que: Figura 2.11: Seno e Cosseno Unidade 2 69
  • 70. Universidade do Sul de Santa Catarina Observe o triângulo retângulo OM’M da figura 2.11. Neste triângulo podem-se aplicar as razões trigonométricas, estudadas na unidade 1. Para isso, retira-se o triângulo do ciclo trigonométrico para melhor visualização. Observe a figura 2.12: Figura 2.12: Triângulo Retângulo Aplicando-se as razões trigonométricas nesse triângulo, tem-se: cateto oposto cateto adjacente sen x = cos x = hipotenusa hipotenusa MM ' OM ' sen x = cos x = OM OM MM ' OM ' sen x = cos x = 1 1 sen x = MM ' cos x = OM ' sen x = OM '' Observe, no ciclo trigonométrico, que MM’=OM”. Dessa forma, mostramos que o seno de um arco é a ordenada do ponto que representa a extremidade deste arco e o cosseno é a abscissa desse ponto. Podemos nos referir aos valores dos arcos em graus ou radianos. Também podemos pensar em seno e cosseno de arcos maiores que 90º, algo impensável quando trabalhávamos com triângulos retângulos. É possível, ainda, pensar em senos e cossenos de ângulos negativos. 70
  • 71. Trigonometria e Números Complexos Na unidade 1, você viu que alguns ângulos são considerados notáveis por serem mais utilizados na resolução de problemas, π π π são eles: 30º ou rad, 45º ou rad e 60º ou rad. Observe a 6 4 3 representação geométrica do seno e do cosseno de cada um deles: π 1 sen = 6 2 π 3 cos = 6 2 π 2 sen = 4 2 π 2 cos = 4 2 π 3 sen = 3 2 π 1 cos = 3 2 Agora, serão acrescentados outros arcos que também podem ser π considerados notáveis: 0º ou 0 rad, 90º ou rad, 180º ou π rad, 2 3π 270º ou rad e 360º ou 2π rad. Geometricamente, cada um 2 deles, representa o seno e o cosseno. Observe: Unidade 2 71
  • 72. Universidade do Sul de Santa Catarina 72
  • 73. Trigonometria e Números Complexos Veja a tabela 2.1, onde estão reunidos os valores do seno e cosseno representados geometricamente. Tabela 2.1: Valores Notáveis π π π π 3π x (30º) 0 (45º) (60º) (90º) π (180º) (270º) 2π (360º) 6 4 3 2 2 1 2 3 senx 0 1 0 -1 0 2 2 2 3 2 1 cosx 1 0 -1 0 1 2 2 2 Você sabia... Criada por Edmund Gunter, a palavra cosseno surgiu no século XVII como sendo o seno do complemento de um ângulo. Gunter sugeriu combinar os termos “complemento” e “seno” em co-sinus, que logo foi modificado para cosinus e, em português “co-seno”. Os conceitos de seno e cosseno tiveram origem nos problemas relativos à Astronomia. Acompanhe alguns exemplos, onde serão calculados os senos e cossenos de arcos maiores que 360º. Unidade 2 73
  • 74. Universidade do Sul de Santa Catarina 1) Calcule o valor de sen1845º. Solução: Primeiramente, calcula-se a 1ª determinação positiva: 2 Então, sen1845º = sen45º = . 2 2 Logo, sen1845º = . 2 2) Calcule o valor de cos(-900º). Solução: Deve-se calcular a primeira determinação positiva de (-900º). Perceba que -180º é a primeira determinação negativa, e precisa- se da primeira determinação positiva. Assim: -180º + 360º = 180º. Logo, a primeira determinação positiva é 180º. Tem-se, então, que: cos(-900º)=cos180º=-1 Logo, cos(-900º)=-1 19π 3) Calcule o valor de sen . . 3 Solução: Vamos calcular a primeira determinação positiva. 19π 18π π π = + = 6π + 3 3 3 3 π 19π Assim, temos que 3 é a primeira determinação positiva de . 3 74