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Cálculo NuméricoCálculo Numérico
Cálculo Numérico é umaCálculo Numérico é uma
área da Matemática que seárea da Matemática que se
ocupa com métodos doocupa com métodos do
cálculo que tem por objetivocálculo que tem por objetivo
encontrar soluçõesencontrar soluções
aproximadas de problemas.aproximadas de problemas.
O fato de encontrarO fato de encontrar
soluções de problemas porsoluções de problemas por
métodos aproximadas, nosmétodos aproximadas, nos
leva a admitir uma margem deleva a admitir uma margem de
erroerro na solução.na solução.
É salutar que para cadaÉ salutar que para cada
problema específico se difinaproblema específico se difina
precisão pretendida ou o erroprecisão pretendida ou o erro
tolerado.tolerado.
Exemplo 1:Exemplo 1:
Encontrar a taxa de jurosEncontrar a taxa de juros
implícita nas condições deimplícita nas condições de
venda a seguir:venda a seguir:
À vista com 12% de descontoÀ vista com 12% de desconto
ou em (1+11) sem acréscimo.ou em (1+11) sem acréscimo.
Supondo que a tolerânciaSupondo que a tolerância
do erro considerada nodo erro considerada no
problema anterior seja de umproblema anterior seja de um
erroerro menormenor que 0,1%.que 0,1%.
Ao utilizar um métodoAo utilizar um método
numérico ou gráfico e descobrirnumérico ou gráfico e descobrir
que a taxa porcentual procuradaque a taxa porcentual procurada
fica nofica no interiorinterior do intervalodo intervalo
[2.4, 2.5], a solução aproximada[2.4, 2.5], a solução aproximada
é qualquer número desteé qualquer número deste
intervalo, visto que, a diferançaintervalo, visto que, a diferança
entre qualquer número que seentre qualquer número que se
utilize deste intervalo e a soluçãoutilize deste intervalo e a solução
exata, éexata, é menormenor que 0,1.que 0,1.
A equação que foi resolvidaA equação que foi resolvida
para encontrar a taxapara encontrar a taxa ii dodo
problema que consta noproblema que consta no
exemplo 1 é a seguinte:exemplo 1 é a seguinte:
Onde :Onde :VaVa é o valor à vista;é o valor à vista;
EE é o valor da entrada;é o valor da entrada;
PP o valor de cada prestação;o valor de cada prestação;
nn é o número de prestações(semé o número de prestações(sem
contar a entrada) econtar a entrada) e
ii é a taxa porcentual.é a taxa porcentual.
A solução exata não foiA solução exata não foi
calculada, e geralmente istocalculada, e geralmente isto
não é importante, visto que,não é importante, visto que,
na prática, so será utilizadona prática, so será utilizado
um valor aproximado deste,um valor aproximado deste,
mesmo sabendo qual é omesmo sabendo qual é o
valor exato.valor exato.
Veja um exemplo:Veja um exemplo:
Quantos metros deQuantos metros de
fita deverá ser comprada,fita deverá ser comprada,
para que ser colocada napara que ser colocada na
diagonal de um quadrado,diagonal de um quadrado,
se o lado mede 1 metro.se o lado mede 1 metro.
Solução exata:Solução exata:
É para resolver problemas,É para resolver problemas,
como o do exemplo do cálculocomo o do exemplo do cálculo
da taxa, que envolvemda taxa, que envolvem
equaçõesequações para as quais nãopara as quais não
há métodos algébricos, é quehá métodos algébricos, é que
se utiliza osse utiliza os
métodos numéricosmétodos numéricos
ouou
Cálculo NuméricoCálculo Numérico
Pode-se também optar peloPode-se também optar pelo
método da tentativa e erro.método da tentativa e erro.
No caso do problema da taxaNo caso do problema da taxa
de juros, isto é muito simples sede juros, isto é muito simples se
utilizamos o excel. Basta chutar asutilizamos o excel. Basta chutar as
taxas até que o saldo devedor dataxas até que o saldo devedor da
ultima linha da planilha deultima linha da planilha de
amortização fique igual a zero, ouamortização fique igual a zero, ou
tão próximo, quanto se queira.tão próximo, quanto se queira.
AS ETAPASAS ETAPAS
a) Passar todos os termos da equaçãoa) Passar todos os termos da equação
para o lado esquerdo da equação, ficandopara o lado esquerdo da equação, ficando
assim o lado direito com zero.assim o lado direito com zero.
b) Procurar a raíz da função com lei igual ab) Procurar a raíz da função com lei igual a
equação formada.equação formada.
c) Utilizando o método gráfico ou fazendoc) Utilizando o método gráfico ou fazendo
uma tabela da função para isolar as raízesuma tabela da função para isolar as raízes
que interessam.que interessam.
d) Fazer o refinamento das raízesd) Fazer o refinamento das raízes
utilizando um método de refinamento.utilizando um método de refinamento.
MMétodos para refinamento queétodos para refinamento que
serão estudadosserão estudados
a)Bisseçãoa)Bisseção
b)Cordasb)Cordas
c)Newtonc)Newton
Outro exemplo de problema em que aOutro exemplo de problema em que a
fórmula anterior se aplica:fórmula anterior se aplica:
Encontrar a taxa mensal de jurosEncontrar a taxa mensal de juros
compostos, nas vendas a prazo, quecompostos, nas vendas a prazo, que
aparecem de forma inplícita nasaparecem de forma inplícita nas
condições de venda de uma lojacondições de venda de uma loja..
a)a) À vista com 10% de descontoÀ vista com 10% de desconto
ouou
b) em 5 vezes (1+4) sem acréscimob) em 5 vezes (1+4) sem acréscimo..
Para dada 100 de preço de tabela,
O valor `a vista é 100(1-10/100)= 90;
 Va=90
Se for à prazo a entrada e cada parcela
valem 100/5=20
P=20 e E=20 n=4 i=?
Pode-se agora obter oPode-se agora obter o
gráfico da função e verificargráfico da função e verificar
em que intervalo do eixoem que intervalo do eixo
com coordenada i, o gráficocom coordenada i, o gráfico
corta este eixo.corta este eixo.
GraphmáticaGraphmática
Observando-se o último gráfico,Observando-se o último gráfico,
pode-se afirmar que a taxapode-se afirmar que a taxa
procurada fica no interior doprocurada fica no interior do
intervalo [5.4 , 5.6]intervalo [5.4 , 5.6]
Utilizando estes dados paraUtilizando estes dados para
conferir a planilha deconferir a planilha de
amortização temos:amortização temos:
Pode-se fazer uma tabela comPode-se fazer uma tabela com
pares ordenados (i, f(i)) e encontrarpares ordenados (i, f(i)) e encontrar
os intervalor onde há uma raíz,os intervalor onde há uma raíz,
verificando entre que valores de i, averificando entre que valores de i, a
função f(i) troca de sinal, ou sejafunção f(i) troca de sinal, ou seja
em que intervalo de i , o gráfico daem que intervalo de i , o gráfico da
função passa para de um lado dofunção passa para de um lado do
eixo “x” para o outro lado desteeixo “x” para o outro lado deste
eixo.eixo.
Observando-se as tabelasObservando-se as tabelas
anteriores, percebe-se qua a taxaanteriores, percebe-se qua a taxa
procurada está noprocurada está no interiorinterior dodo
intervalointervalo
[5.56 , 5.57][5.56 , 5.57]
a)Método das tabelasa)Método das tabelas
Pode-se implementar o método do cálculo dePode-se implementar o método do cálculo de
valores dda tabela x e f(x) verificando em qualvalores dda tabela x e f(x) verificando em qual
intervalo [a,b] produto f(a)f(b)<0, pois isto sóintervalo [a,b] produto f(a)f(b)<0, pois isto só
ocorre quando f(a) e f(b) tem sinais diferentes eocorre quando f(a) e f(b) tem sinais diferentes e
isto implica que existe pelo menos uma raízisto implica que existe pelo menos uma raíz
neste intervalo.neste intervalo.
Calcula-se então valores de x e f(x) deste novoCalcula-se então valores de x e f(x) deste novo
intervalo, com incremento menor que o anterior,intervalo, com incremento menor que o anterior,
e procura-se novo internalo onde há uma raíz.e procura-se novo internalo onde há uma raíz.
Segue-se neste processo até que o incrementoSegue-se neste processo até que o incremento
do x esteja menor que o erro tolerado.do x esteja menor que o erro tolerado.
Continua-se então a procurar as demais raízes,Continua-se então a procurar as demais raízes,
se isto fizer sentido.se isto fizer sentido.
Algoritmo para uma tabelaAlgoritmo para uma tabela
 tabela1 := proc (li, inc, n)
 global f;
 local x1, x2, i;
 for i to n do
 x1 := li+(i-1)*inc;
 x2 := x1+inc;
 print(x1,f(x1));
 if f(x1)*f(x2) <= 0 then
 print(`a=`,x1,` f(a)=`,f(x1));
 print(`b=`,x2,` f(b)`,f(x2)) ;
 fi ;
 od ;
 end:
Saída de ( x, f(x) ) paraSaída de ( x, f(x) ) para
li=0; inc=1 e n=10 > tabela1(0,1,10);li=0; inc=1 e n=10 > tabela1(0,1,10);
 0, -19.72
 1, -16.32
 2, -10.92
 3, -3.52
 a= 3, f(a)= -3.52
 b=, 4 f(b) 5.88
 4, 5.88
 5, 17.28
 6, 30.68
 7, 46.08
 8, 63.48
 9, 82.88
O próximo procedimento do
Maple que encontra raízes
pelo método baseado em
tabelas, serve como algoritmo
para fazer procedimentos de
linguagens de programação
tal como Pascal.
 raizes := proc (li, ls, erro)
 local cx, n, i, k, k0, x, inf; global f;
 if ls < li then do
 cx := li; li := ls; ls := cx ;
 od; fi;
 inf:=10^(-7); x := li+inf; n := abs(li-ls); k0 := 0; k := k0;
 while x < ls do
 for i to 10*n do
 if f(x)*f(x+10^k) < 0 then
 k := k-1; i := 1
 fi;
 x := x+10^k;
 if abs (f(x)) < erro then do
 print(`x=`,evalf(x),`f(x)=`,f(x));
 i := 1; k := k0; break;
 od; fi ;
 od;
 od;
 end:
Método da BisseçãoMétodo da Bisseção
Seja f(x) uma função real contínua, no intervalo
[a, b], tal que f(a). f(b)<0 e ε a tolerância
considerada.
O método de bisseção consiste em dividir o
intervalo [a, b] ao meio, obtendo dois subintervalos [a,
xo
] e [xo
,b] a serem considerados. Se o critério para
avaliação da tolerância for satisfeito, por exemplo, se
| f(xn
)|<ε então xn
é a raiz procurada, senão
escolhe-se um dos subintervalos para repetir o
procedimento.
Para efetuar a escolha, verifica-se em qual dos
intervalos [a, xo
] ou [xo
, b] a função tem sinais
contrários nos extremos ou seja , verifica-se se f(a).
f(x0
)<0 ou se f(b). f(x0
)<0.
Deve-se proceder desta forma para a escolha dos
≤
Algoritmo para o método das BisseçõesAlgoritmo para o método das Bisseções
bissecao := proc (erro, a, b)
 local a1, b1, xo, i ;
 global f;
 xo := a; a1 := a; b1 := b; i := 0;
 while erro < abs(f(xo)) do
 i := i+1;
 xo := (a1+b1)/2;
 if f(a1)*f(xo) < 0 then
 b1 := xo
 else
 a1 := xo ;
 fi ;
 od;
 print( ` raíz procurada é `,xo,` sendo que o erro é `,f(xo),`
 número de iterações`, i );
Método das CordasMétodo das Cordas
 Seja f(x) uma função real contínua, no
intervalo [a, b], que contém somente um ponto r
tal que f(r) =0 e seja ε a tolerância considerada.
 O método das cordas consiste em encontrar
subintervalos sucessivos de [a, b], obtidos pela
interseção do eixo x e a reta que passa pelos
pontos ( ai
, f(ai
) ) e ( bi
, f(bi
) ), onde ai
e bi
são os extremos dos subintervalos que satisfazes a
condição f(ai
).f(bi
)<0, até encontrar um extremo
que satisfaça a tolerância ε considerada.
Fórmulas do Método das CordasFórmulas do Método das Cordas
Implementaçãodo do método de cordasImplementaçãodo do método de cordas
 cordas := proc (erro, a, b)
 local p, x, df2, c, xo, xn, i, y1, y2;
 global f;
 xn := a; i := 0; df2 := D(D(p));
 xo := a-p(a)/(p(a)-p(b))*(a-b);
 if 0 < p(xn)*df2(xn) then c := a
 else c := b;
 fi;
 while erro < abs(p(xn)) do
 i := i+1; xn := xo-p(xo)/(p(xo)-p(c))*(xo-c);
 xo := xn;
 od;
 print(` a raíz procurada é `,xn,` o erro é `,abs(p(xn)),` o
número de iterações foi `,i);
 end:
Método de NewtonMétodo de Newton
 Seja f(x) uma função real contínua, com as derivadas
f’(x) e f’’(x) também contínuas no intervalo [a, b], que
tenha somente um ponto r de [a, b], tal que f(r) = 0 e
seja ε a tolerância considerada.
 O método de Newton consiste em encontrar uma
seqüencia de números de [a, b], obtidos pela interseção
da reta tangente ao gráfico de f(x) em um dos extremos
do intervalo ou subintervalos, com o eixo x.
 Se f(a). f”(a) >0 então inicia-se a iteração fazendo xo
=a,
caso contrário inicia-se com xo
= b.
 Faz-se tantas iterações até que o erro definido seja
menor ou igual a ε.

Os gráficos a seguir mostram a
interpretação geométrica do método
de Newton. A função utilizada para
fazer os gráficos é a seguinte:
A seqüência de iterações do método
de Newton é a seguinte:
 Após encontrar um intervalo [a,b] tal que a função seja
somente crescente ou somente decrescente, escolhe-se xo
entre {a ,b} de modo que f(xo) f”(xo)>0
Implementação do método de NewtonImplementação do método de Newton
com o Maplecom o Maple
 newton := proc (erro, a, b)
 local f, x, df2, df1, p1, p2, xn, i, c;
 f := x-> evalf(x^3-1+x^2-2*x) ;
 df1 := D(f); df2 := D(D(f)); xn := a; i := 0;
 if 0 < f(xn)*df2(xn) then xn := a ;
 else xn := b ;
 fi;
 c := xn;
 while erro < abs(f(xn)) do
 xn := xn-f(xn)/df1(xn); i := i+1
 od;
 print(x,i,`=`,xn,` f(xn)=`,f(xn)); print(`número de iteraçãos :`,i)
Exercícios resolvidosExercícios resolvidos
Método de BissaçãoMétodo de Bissação
ff(i)=(i)=78 - 10[1-(1+i)78 - 10[1-(1+i)-9-9
]/i]/i
i f( i) i f( i)
1E-10 -12 0,02 -3,622
0,01 -7,66 0,025 -1,709
0,02 -3,622 0,03 0,1389 i f( i)
0,03 0,1389 0,0275 -0,777
0,04 3,6467 i f( i) 0,0288 -0,317
0,05 6,9218 0,025 -1,709 0,03 0,1389
0,06 9,9831 0,0275 -0,777
0,07 12,848 0,03 0,1389 i f( i)
0,08 15,531 0,0288 -0,317
0,09 18,048 0,0294 -0,089 erro<0,1
0,1 20,41 0,03 0,1389
Raíz procurada: i= 0,029 ou 2,9%
di i f(i) i1 f(i)
1E-09 1E-09 1000 0,01000 292,31216
0,01 0,01 292,31 0,01500 -127,59692
0,01 0,02 -599,4 0,02000 -599,43672
0,01 0,03 -1728
0,01 0,04 -3160 i2 f(i)
0,01 0,05 -4984 0,01000 292,31216
0,01 0,06 -7312 0,01250 88,44945
0,01 0,07 -10291 0,01500 -127,59692
0,01 0,08 -14110
0,01 0,09 -19012 i3 f( i)
0,01 0,1 -25313 0,01250 88,44945
0,01375 -18,00283
0,01500 -127,59692
f(i)= 4600 -100[(1+i)36
-1]/i
i4 f(i) i10 f(i)
0,01250 88,449 i7 f(i) 0,01353 0,649
0,01318 31,350 0,01351 2,462 0,01354 -0,258
0,01385 -26,653 0,01360 -4,796 0,01355 -1,165
0,01368 -12,067
i5 f( i) i11 f(i)
0,01318 31,350 i8 f(i) 0,01353 0,649
0,01351 2,462 0,01351 2,462 0,01354 0,195
0,01385 -26,653 0,01355 -1,165 0,01354 -0,258
0,01360 -4,796
i6 f( i) i12 f( i)
0,01351 2,462 i9 f( i) 0,01354 0,195
0,01368 -12,067 0,01351 2,462 0,01354 -0,031
0,01385 -26,653 0,01353 0,649 0,01354 -0,258
0,01355 -1,165
i= 0,01354 ou 1,354%
dx x f(x ) x1 f(x)
1E-10 -1 3,0 -0,303
1 1 -0,69315 3,5 -0,084
1 2 -0,60944 4,0 0,1668
1 3 -0,30259
1 4 0,16679 x2 f(x)
1 5 0,7419 3,50 -0,084
1 6 1,38908 3,75 0,0378
1 7 2,08798 4,00 0,1668
1 8 2,82561
1 9 3,59328 x3 f(x)
1 10 4,38488 3,500 -0,084
3,625 -0,024
3,750 0,0378
x4 f(x)
3,6250 -0,024
|x4-x3|= 0,0625 <0,1 3,6875 0,0066
3,7500 0,0378
X=
dx x f(x ) x1 f(x)
1E-10 1 1,000 0,282
1 -5 -3,007 1,500 -0,982
1 -4 -2,018 2,000 -3,389
1 -3 -1,05
1 -2 -0,135 x2 f(x)
1 -1 0,6321 1,000 0,282
1 0 1 1,250 -0,240
1 1 0,2817 1,500 -0,982
1 2 -3,389
1 3 -15,09 x3 f(x)
1 4 -48,6 1,000 0,282
1,125 0,045 <0,1
1,250 -0,240
|x4-x3|= 0,063 <0,1
x4 f(x)
1,125 0,045
1,188 -0,091
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Cálculo numérico

  • 1. Cálculo NuméricoCálculo Numérico Cálculo Numérico é umaCálculo Numérico é uma área da Matemática que seárea da Matemática que se ocupa com métodos doocupa com métodos do cálculo que tem por objetivocálculo que tem por objetivo encontrar soluçõesencontrar soluções aproximadas de problemas.aproximadas de problemas.
  • 2. O fato de encontrarO fato de encontrar soluções de problemas porsoluções de problemas por métodos aproximadas, nosmétodos aproximadas, nos leva a admitir uma margem deleva a admitir uma margem de erroerro na solução.na solução. É salutar que para cadaÉ salutar que para cada problema específico se difinaproblema específico se difina precisão pretendida ou o erroprecisão pretendida ou o erro tolerado.tolerado.
  • 3. Exemplo 1:Exemplo 1: Encontrar a taxa de jurosEncontrar a taxa de juros implícita nas condições deimplícita nas condições de venda a seguir:venda a seguir: À vista com 12% de descontoÀ vista com 12% de desconto ou em (1+11) sem acréscimo.ou em (1+11) sem acréscimo.
  • 4. Supondo que a tolerânciaSupondo que a tolerância do erro considerada nodo erro considerada no problema anterior seja de umproblema anterior seja de um erroerro menormenor que 0,1%.que 0,1%.
  • 5. Ao utilizar um métodoAo utilizar um método numérico ou gráfico e descobrirnumérico ou gráfico e descobrir que a taxa porcentual procuradaque a taxa porcentual procurada fica nofica no interiorinterior do intervalodo intervalo [2.4, 2.5], a solução aproximada[2.4, 2.5], a solução aproximada é qualquer número desteé qualquer número deste intervalo, visto que, a diferançaintervalo, visto que, a diferança entre qualquer número que seentre qualquer número que se utilize deste intervalo e a soluçãoutilize deste intervalo e a solução exata, éexata, é menormenor que 0,1.que 0,1.
  • 6.
  • 7.
  • 8.
  • 9.
  • 10. A equação que foi resolvidaA equação que foi resolvida para encontrar a taxapara encontrar a taxa ii dodo problema que consta noproblema que consta no exemplo 1 é a seguinte:exemplo 1 é a seguinte:
  • 11. Onde :Onde :VaVa é o valor à vista;é o valor à vista; EE é o valor da entrada;é o valor da entrada; PP o valor de cada prestação;o valor de cada prestação; nn é o número de prestações(semé o número de prestações(sem contar a entrada) econtar a entrada) e ii é a taxa porcentual.é a taxa porcentual.
  • 12. A solução exata não foiA solução exata não foi calculada, e geralmente istocalculada, e geralmente isto não é importante, visto que,não é importante, visto que, na prática, so será utilizadona prática, so será utilizado um valor aproximado deste,um valor aproximado deste, mesmo sabendo qual é omesmo sabendo qual é o valor exato.valor exato. Veja um exemplo:Veja um exemplo:
  • 13. Quantos metros deQuantos metros de fita deverá ser comprada,fita deverá ser comprada, para que ser colocada napara que ser colocada na diagonal de um quadrado,diagonal de um quadrado, se o lado mede 1 metro.se o lado mede 1 metro. Solução exata:Solução exata:
  • 14. É para resolver problemas,É para resolver problemas, como o do exemplo do cálculocomo o do exemplo do cálculo da taxa, que envolvemda taxa, que envolvem equaçõesequações para as quais nãopara as quais não há métodos algébricos, é quehá métodos algébricos, é que se utiliza osse utiliza os métodos numéricosmétodos numéricos ouou Cálculo NuméricoCálculo Numérico
  • 15. Pode-se também optar peloPode-se também optar pelo método da tentativa e erro.método da tentativa e erro. No caso do problema da taxaNo caso do problema da taxa de juros, isto é muito simples sede juros, isto é muito simples se utilizamos o excel. Basta chutar asutilizamos o excel. Basta chutar as taxas até que o saldo devedor dataxas até que o saldo devedor da ultima linha da planilha deultima linha da planilha de amortização fique igual a zero, ouamortização fique igual a zero, ou tão próximo, quanto se queira.tão próximo, quanto se queira.
  • 16. AS ETAPASAS ETAPAS a) Passar todos os termos da equaçãoa) Passar todos os termos da equação para o lado esquerdo da equação, ficandopara o lado esquerdo da equação, ficando assim o lado direito com zero.assim o lado direito com zero. b) Procurar a raíz da função com lei igual ab) Procurar a raíz da função com lei igual a equação formada.equação formada. c) Utilizando o método gráfico ou fazendoc) Utilizando o método gráfico ou fazendo uma tabela da função para isolar as raízesuma tabela da função para isolar as raízes que interessam.que interessam. d) Fazer o refinamento das raízesd) Fazer o refinamento das raízes utilizando um método de refinamento.utilizando um método de refinamento.
  • 17. MMétodos para refinamento queétodos para refinamento que serão estudadosserão estudados a)Bisseçãoa)Bisseção b)Cordasb)Cordas c)Newtonc)Newton
  • 18. Outro exemplo de problema em que aOutro exemplo de problema em que a fórmula anterior se aplica:fórmula anterior se aplica: Encontrar a taxa mensal de jurosEncontrar a taxa mensal de juros compostos, nas vendas a prazo, quecompostos, nas vendas a prazo, que aparecem de forma inplícita nasaparecem de forma inplícita nas condições de venda de uma lojacondições de venda de uma loja.. a)a) À vista com 10% de descontoÀ vista com 10% de desconto ouou b) em 5 vezes (1+4) sem acréscimob) em 5 vezes (1+4) sem acréscimo..
  • 19. Para dada 100 de preço de tabela, O valor `a vista é 100(1-10/100)= 90;  Va=90 Se for à prazo a entrada e cada parcela valem 100/5=20 P=20 e E=20 n=4 i=?
  • 20. Pode-se agora obter oPode-se agora obter o gráfico da função e verificargráfico da função e verificar em que intervalo do eixoem que intervalo do eixo com coordenada i, o gráficocom coordenada i, o gráfico corta este eixo.corta este eixo.
  • 21.
  • 23. Observando-se o último gráfico,Observando-se o último gráfico, pode-se afirmar que a taxapode-se afirmar que a taxa procurada fica no interior doprocurada fica no interior do intervalo [5.4 , 5.6]intervalo [5.4 , 5.6] Utilizando estes dados paraUtilizando estes dados para conferir a planilha deconferir a planilha de amortização temos:amortização temos:
  • 24.
  • 25. Pode-se fazer uma tabela comPode-se fazer uma tabela com pares ordenados (i, f(i)) e encontrarpares ordenados (i, f(i)) e encontrar os intervalor onde há uma raíz,os intervalor onde há uma raíz, verificando entre que valores de i, averificando entre que valores de i, a função f(i) troca de sinal, ou sejafunção f(i) troca de sinal, ou seja em que intervalo de i , o gráfico daem que intervalo de i , o gráfico da função passa para de um lado dofunção passa para de um lado do eixo “x” para o outro lado desteeixo “x” para o outro lado deste eixo.eixo.
  • 26.
  • 27. Observando-se as tabelasObservando-se as tabelas anteriores, percebe-se qua a taxaanteriores, percebe-se qua a taxa procurada está noprocurada está no interiorinterior dodo intervalointervalo [5.56 , 5.57][5.56 , 5.57]
  • 28.
  • 29. a)Método das tabelasa)Método das tabelas Pode-se implementar o método do cálculo dePode-se implementar o método do cálculo de valores dda tabela x e f(x) verificando em qualvalores dda tabela x e f(x) verificando em qual intervalo [a,b] produto f(a)f(b)<0, pois isto sóintervalo [a,b] produto f(a)f(b)<0, pois isto só ocorre quando f(a) e f(b) tem sinais diferentes eocorre quando f(a) e f(b) tem sinais diferentes e isto implica que existe pelo menos uma raízisto implica que existe pelo menos uma raíz neste intervalo.neste intervalo. Calcula-se então valores de x e f(x) deste novoCalcula-se então valores de x e f(x) deste novo intervalo, com incremento menor que o anterior,intervalo, com incremento menor que o anterior, e procura-se novo internalo onde há uma raíz.e procura-se novo internalo onde há uma raíz. Segue-se neste processo até que o incrementoSegue-se neste processo até que o incremento do x esteja menor que o erro tolerado.do x esteja menor que o erro tolerado. Continua-se então a procurar as demais raízes,Continua-se então a procurar as demais raízes, se isto fizer sentido.se isto fizer sentido.
  • 30. Algoritmo para uma tabelaAlgoritmo para uma tabela  tabela1 := proc (li, inc, n)  global f;  local x1, x2, i;  for i to n do  x1 := li+(i-1)*inc;  x2 := x1+inc;  print(x1,f(x1));  if f(x1)*f(x2) <= 0 then  print(`a=`,x1,` f(a)=`,f(x1));  print(`b=`,x2,` f(b)`,f(x2)) ;  fi ;  od ;  end:
  • 31. Saída de ( x, f(x) ) paraSaída de ( x, f(x) ) para li=0; inc=1 e n=10 > tabela1(0,1,10);li=0; inc=1 e n=10 > tabela1(0,1,10);  0, -19.72  1, -16.32  2, -10.92  3, -3.52  a= 3, f(a)= -3.52  b=, 4 f(b) 5.88  4, 5.88  5, 17.28  6, 30.68  7, 46.08  8, 63.48  9, 82.88
  • 32. O próximo procedimento do Maple que encontra raízes pelo método baseado em tabelas, serve como algoritmo para fazer procedimentos de linguagens de programação tal como Pascal.
  • 33.  raizes := proc (li, ls, erro)  local cx, n, i, k, k0, x, inf; global f;  if ls < li then do  cx := li; li := ls; ls := cx ;  od; fi;  inf:=10^(-7); x := li+inf; n := abs(li-ls); k0 := 0; k := k0;  while x < ls do  for i to 10*n do  if f(x)*f(x+10^k) < 0 then  k := k-1; i := 1  fi;  x := x+10^k;  if abs (f(x)) < erro then do  print(`x=`,evalf(x),`f(x)=`,f(x));  i := 1; k := k0; break;  od; fi ;  od;  od;  end:
  • 34. Método da BisseçãoMétodo da Bisseção Seja f(x) uma função real contínua, no intervalo [a, b], tal que f(a). f(b)<0 e ε a tolerância considerada. O método de bisseção consiste em dividir o intervalo [a, b] ao meio, obtendo dois subintervalos [a, xo ] e [xo ,b] a serem considerados. Se o critério para avaliação da tolerância for satisfeito, por exemplo, se | f(xn )|<ε então xn é a raiz procurada, senão escolhe-se um dos subintervalos para repetir o procedimento. Para efetuar a escolha, verifica-se em qual dos intervalos [a, xo ] ou [xo , b] a função tem sinais contrários nos extremos ou seja , verifica-se se f(a). f(x0 )<0 ou se f(b). f(x0 )<0. Deve-se proceder desta forma para a escolha dos ≤
  • 35.
  • 36.
  • 37.
  • 38.
  • 39. Algoritmo para o método das BisseçõesAlgoritmo para o método das Bisseções bissecao := proc (erro, a, b)  local a1, b1, xo, i ;  global f;  xo := a; a1 := a; b1 := b; i := 0;  while erro < abs(f(xo)) do  i := i+1;  xo := (a1+b1)/2;  if f(a1)*f(xo) < 0 then  b1 := xo  else  a1 := xo ;  fi ;  od;  print( ` raíz procurada é `,xo,` sendo que o erro é `,f(xo),`  número de iterações`, i );
  • 40. Método das CordasMétodo das Cordas  Seja f(x) uma função real contínua, no intervalo [a, b], que contém somente um ponto r tal que f(r) =0 e seja ε a tolerância considerada.  O método das cordas consiste em encontrar subintervalos sucessivos de [a, b], obtidos pela interseção do eixo x e a reta que passa pelos pontos ( ai , f(ai ) ) e ( bi , f(bi ) ), onde ai e bi são os extremos dos subintervalos que satisfazes a condição f(ai ).f(bi )<0, até encontrar um extremo que satisfaça a tolerância ε considerada.
  • 41.
  • 42.
  • 43.
  • 44.
  • 45.
  • 46. Fórmulas do Método das CordasFórmulas do Método das Cordas
  • 47. Implementaçãodo do método de cordasImplementaçãodo do método de cordas  cordas := proc (erro, a, b)  local p, x, df2, c, xo, xn, i, y1, y2;  global f;  xn := a; i := 0; df2 := D(D(p));  xo := a-p(a)/(p(a)-p(b))*(a-b);  if 0 < p(xn)*df2(xn) then c := a  else c := b;  fi;  while erro < abs(p(xn)) do  i := i+1; xn := xo-p(xo)/(p(xo)-p(c))*(xo-c);  xo := xn;  od;  print(` a raíz procurada é `,xn,` o erro é `,abs(p(xn)),` o número de iterações foi `,i);  end:
  • 48. Método de NewtonMétodo de Newton  Seja f(x) uma função real contínua, com as derivadas f’(x) e f’’(x) também contínuas no intervalo [a, b], que tenha somente um ponto r de [a, b], tal que f(r) = 0 e seja ε a tolerância considerada.  O método de Newton consiste em encontrar uma seqüencia de números de [a, b], obtidos pela interseção da reta tangente ao gráfico de f(x) em um dos extremos do intervalo ou subintervalos, com o eixo x.  Se f(a). f”(a) >0 então inicia-se a iteração fazendo xo =a, caso contrário inicia-se com xo = b.  Faz-se tantas iterações até que o erro definido seja menor ou igual a ε. 
  • 49. Os gráficos a seguir mostram a interpretação geométrica do método de Newton. A função utilizada para fazer os gráficos é a seguinte:
  • 50.
  • 51.
  • 52.
  • 53.
  • 54. A seqüência de iterações do método de Newton é a seguinte:  Após encontrar um intervalo [a,b] tal que a função seja somente crescente ou somente decrescente, escolhe-se xo entre {a ,b} de modo que f(xo) f”(xo)>0
  • 55. Implementação do método de NewtonImplementação do método de Newton com o Maplecom o Maple  newton := proc (erro, a, b)  local f, x, df2, df1, p1, p2, xn, i, c;  f := x-> evalf(x^3-1+x^2-2*x) ;  df1 := D(f); df2 := D(D(f)); xn := a; i := 0;  if 0 < f(xn)*df2(xn) then xn := a ;  else xn := b ;  fi;  c := xn;  while erro < abs(f(xn)) do  xn := xn-f(xn)/df1(xn); i := i+1  od;  print(x,i,`=`,xn,` f(xn)=`,f(xn)); print(`número de iteraçãos :`,i)
  • 57.
  • 58. Método de BissaçãoMétodo de Bissação ff(i)=(i)=78 - 10[1-(1+i)78 - 10[1-(1+i)-9-9 ]/i]/i i f( i) i f( i) 1E-10 -12 0,02 -3,622 0,01 -7,66 0,025 -1,709 0,02 -3,622 0,03 0,1389 i f( i) 0,03 0,1389 0,0275 -0,777 0,04 3,6467 i f( i) 0,0288 -0,317 0,05 6,9218 0,025 -1,709 0,03 0,1389 0,06 9,9831 0,0275 -0,777 0,07 12,848 0,03 0,1389 i f( i) 0,08 15,531 0,0288 -0,317 0,09 18,048 0,0294 -0,089 erro<0,1 0,1 20,41 0,03 0,1389 Raíz procurada: i= 0,029 ou 2,9%
  • 59. di i f(i) i1 f(i) 1E-09 1E-09 1000 0,01000 292,31216 0,01 0,01 292,31 0,01500 -127,59692 0,01 0,02 -599,4 0,02000 -599,43672 0,01 0,03 -1728 0,01 0,04 -3160 i2 f(i) 0,01 0,05 -4984 0,01000 292,31216 0,01 0,06 -7312 0,01250 88,44945 0,01 0,07 -10291 0,01500 -127,59692 0,01 0,08 -14110 0,01 0,09 -19012 i3 f( i) 0,01 0,1 -25313 0,01250 88,44945 0,01375 -18,00283 0,01500 -127,59692 f(i)= 4600 -100[(1+i)36 -1]/i
  • 60. i4 f(i) i10 f(i) 0,01250 88,449 i7 f(i) 0,01353 0,649 0,01318 31,350 0,01351 2,462 0,01354 -0,258 0,01385 -26,653 0,01360 -4,796 0,01355 -1,165 0,01368 -12,067 i5 f( i) i11 f(i) 0,01318 31,350 i8 f(i) 0,01353 0,649 0,01351 2,462 0,01351 2,462 0,01354 0,195 0,01385 -26,653 0,01355 -1,165 0,01354 -0,258 0,01360 -4,796 i6 f( i) i12 f( i) 0,01351 2,462 i9 f( i) 0,01354 0,195 0,01368 -12,067 0,01351 2,462 0,01354 -0,031 0,01385 -26,653 0,01353 0,649 0,01354 -0,258 0,01355 -1,165 i= 0,01354 ou 1,354%
  • 61. dx x f(x ) x1 f(x) 1E-10 -1 3,0 -0,303 1 1 -0,69315 3,5 -0,084 1 2 -0,60944 4,0 0,1668 1 3 -0,30259 1 4 0,16679 x2 f(x) 1 5 0,7419 3,50 -0,084 1 6 1,38908 3,75 0,0378 1 7 2,08798 4,00 0,1668 1 8 2,82561 1 9 3,59328 x3 f(x) 1 10 4,38488 3,500 -0,084 3,625 -0,024 3,750 0,0378 x4 f(x) 3,6250 -0,024 |x4-x3|= 0,0625 <0,1 3,6875 0,0066 3,7500 0,0378 X=
  • 62. dx x f(x ) x1 f(x) 1E-10 1 1,000 0,282 1 -5 -3,007 1,500 -0,982 1 -4 -2,018 2,000 -3,389 1 -3 -1,05 1 -2 -0,135 x2 f(x) 1 -1 0,6321 1,000 0,282 1 0 1 1,250 -0,240 1 1 0,2817 1,500 -0,982 1 2 -3,389 1 3 -15,09 x3 f(x) 1 4 -48,6 1,000 0,282 1,125 0,045 <0,1 1,250 -0,240 |x4-x3|= 0,063 <0,1 x4 f(x) 1,125 0,045 1,188 -0,091 1,250 -0,240