O documento discute a história e o desenvolvimento da trigonometria no triângulo retângulo. Hiparco, no século II a.C., construiu a primeira tabela trigonométrica e é considerado o pai da trigonometria. Posteriormente, Ptolomeu criou uma tabela trigonométrica mais completa. A trigonometria permite calcular distâncias usando relações entre os lados e ângulos de um triângulo retângulo.

1. A
TRIGONOMETRI
A NO
TRIÂNGULO
RETÂNGULO

2. Na Grécia antiga, entre os anos de 180
a.C. e 125 a.C., viveu HIPARCO que:
•Construiu a primeira tabela
trigonométrica.
• Um trabalho importante para o
desenvolvimento da Astronomia
•Considerado o PAI DA
TRIGONOMETRIA.

3. Ptolomeu da
Alexandria no século I
d.C. fez uma tabela
trigonométrica mais
completa que a de
Hiparco.

4. 45º
Distância da terra
Como os navegadores da
antiguidade faziam para calcular a
que distância da terra eles
encontravam-se enquanto
navegavam?

5. A S TR O L Á
B IO
Um dos mais antigos
instrumentos científicos,
que teria surgido no século
II a.C. A sua invenção é
atribuída ao matemático e
astrônomo grego Hiparco.

6. TE O D O L I
TO
Instrumento geodésico,
que serve para levantar
plantas, medir ângulos
reduzidos ao horizonte e
as distâncias .

7. USANDO ÂNGULOS
PARA MEDIR ALTURAS

8. Relações
trigonométricas
no Triângulo
Retângulo

9. cateto
oposto
hipotenusa
α
cateto oposto
sen α =
hipotenusa

10. hipotenusa
α
cateto cateto adjacente
cos α =
adjacente hipotenusa

11. cateto
oposto
α
cateto cateto oposto
tg α =
adjacente cateto adjacente

12. Unidades de
ângulos
Grau

13. Grau
Segundo os Egípicios e Árabe (4000 ac), o
sol percorria uma parte da órbita a cada dia,
então, um arco de circunferência de sua
órbita era igual a um dia. A esse arco fez-se
corresponder um ângulo cujo vértice era o
centro da Terra e cujos lados passavam
pelas extremidades de tal arco. Assim, esse
ângulo passou a ser uma unidade de medida
e foi chamado de grau ou ângulo de um grau.

14. Em um ano...

15. Em um dia...
1
360 Volta = 1°

16. Subdivisões
“primeiras menores partes”
e “segundas menores
partes”. Em latim, partes
minutae primae e partes
minutae secundae

17. Subdivisões
circunferê ncia
= 1 grau(1°)
360
1° = 60'
1' = 60"
logo : 1° = 3600"

18. Radiano
Radiano é o ângulo
cujo arco tem
comprimento igual
ao raio da
circunferência a que
este pertence

21. Ciclo Trigonométrico
Círculo de raio unitário com centro na origem
do sistema de coordenadas cartesianas.
Raio = 1 u.c.
+ Centro = (0;0)
O
Origem dos arcos = A(1;0)
A
- Anti-horário= positivo.
Horário= negativo

22. Arcos Côngruos
Dois arcos côngruos são arcos de mesma
origem e mesma extremidade, a diferença
entre eles é um número inteiro de voltas.
30°, 390°, 750°, 1110°
30°
O
30°
A

23. Arcos Côngruos
Como descobrir se dois arcos são côngruos...
EM GRAUS EM RADIANOS
Fazemos a Fazemos a diferença
diferença entre entre eles, se o
eles, se o resultado resultado for 2kπ,
for múltiplo de k Є Z, então são
360º, então são côngruos.
côngruos.

24. Expressão Geral
x = α + 0.360º
x = α + 1.360º
x = α + 2.360º
α
x = α + 3.360º
x = α + k.360º

25. Expressão Geral
x = α + 0.180º
x = α + 1.180º
x = α + 2.180º
x = α + 3.180º
x = α + k.180º

26. Principal Determinação
É a menor determinação não negativa.
..., - 690º, - 330º, 30º, 390º, 750º, 1110º,...
EM GRAUS EM RADIANOS
Separamos a fração em
Dividimos por duas partes: uma do
360º se o resto tipo 2kπ, k Є Z (mais
não for negativo próximo do arco) e a
já é a P.D. outra parte se não for
Caso seja negativa é a P.D.
negativo Caso seja negativo
somamos 360º. somamos 2π.

27. Interpretação Gráfica
Eixo dos senos
PM
P
sen x =
OP
sen x sen x
x
O M PM
sen x =
1
sen x = PM

28. Sinais do seno
Eixo dos senos
Valor Máximo = + 1
+ +
- -
O
Valor = 0
Valor Mínimo = - 1

29. Interpretação Gráfica
OM
P
cos x =
OP
x
O M Eixo dos OM
cos x cos x =
cossenos 1
cos x = OM

30. Sinais do cosseno
Valor Mínimo = - 1
Valor = 0
- +
Eixo dos
cossenos
-
O
+
Valor Máximo = + 1

31. Relação Fundamental
Aplicando Pitágoras...
sen x + cos x = 1
2 2
1
÷ cos x ÷ sen x
2 2
=
sen x
R
x
O cos x
As derivadas ...
tg x + 1 = sec x
2 2
cot g2 x + 1 = cos sec 2 x

32. Funções
Trigonométricas

33. Função Seno
f(x) =
π/2
sen(x) = 2π
Período
π 0 Imagem = [-1, 1]
y
2π
Função Ímpar
1
3π/2
x sen 3π/2 2π
0 0 0 π/2 π x
π/2 1
π 0
3π/2 -1
-1
2π 0

34. Função Cosseno
f(x) =
π/2 Cos(x) = 2π
Período
Imagem = [-1, 1]
π 0
2π
y Função Par
1
3π/2
x cos 3π/2 2π
0 π/2 π x
0 1
π/2 0
π -1
3π/2 0
-1
2π 1

35. Variações nas funções
1º Caso ⇒ f(x) = a • sen(x)
a
f(x) = sen(x)
1 Imagem = [-1, 1]
Período = 2π
2π
-1
f(x) = a • sen(x)
Imagem = [- a, a]
-a Período = 2π

36. Variações nas funções
K•f(x) Estica K vezes
1/k•f(x) Encolhe k vezes
Variação Vertical
Modifica a Imagem

37. Variações nas funções
Exemplo ⇒ f(x) = 2sen(x)
2
f(x) = sen(x)
1 Imagem = [-1, 1]
Período = 2π
2π
-1
f(x) = 2sen(x)
Imagem = [- 2, 2]
-2 Período = 2π

38. Variações nas funções
2º Caso ⇒ f(x) = b + sen(x)
f(x) = sen(x)
1+b Imagem = [-1, 1]
1 Período = 2π
2π
-1+b
f(x) = b + sen(x)
-1
Imagem = [-1+b, 1+b]
Período = 2π

39. Variações nas funções
f(x) + k SOBE k UNIDADES
f(x) - k DESCE K UNIDADES
Translação Vertical
Modifica a Imagem

40. Variações nas funções
Exemplo ⇒ f(x) = 1 + sen(x)
2
f(x) = sen(x)
1
Imagem = [-1, 1]
Período = 2π
2π
0
-1
f(x) = 1 + sen(x)
Imagem = [0, 2]
Período = 2π

41. Variações nas funções
3º Caso ⇒ f(x) = sen(c•x)
f(x) = sen(x)
1 Imagem = [-1, 1]
Período = 2π
2π/c 2π
-1
f(x) = sen(c•x)
Imagem = [-1, 1]
Período = 2π/|c|

42. Variações nas funções
f(k•x) DIMINUI K VEZES
O PERÍODO
f(1/k•x) AUMENTA K VEZES
O PERÍODO
Variação Horizontal
Modifica o Período

43. Variações nas funções
Exemplo ⇒ f(x) = sen(2x)
f(x) = sen(x)
1 Imagem = [-1, 1]
Período = 2π
π 2π
-1
f(x) = sen(2x)
Imagem = [-1, 1]
Período = 2π/2= π

44. Variações nas funções
4º Caso ⇒ f(x) = sen(x + d)
f(x) = sen(x)
Imagem = [-1, 1]
1 Período = 2π
2π
f(x) = sen(x + d)
-1
Imagem = [-1, 1]
Período = 2π

45. Variações nas funções
f(x-k) MOVE PARA DIREITA
K UNIDADES
f(x+k) MOVE PARA ESQUERDA
K UNIDADES
Translação Horizontal
Não Modifica o Período

46. Exemplo ⇒ f(x) = sen(x + π)
f(x) = sen(x)
Imagem = [-1, 1]
1 Período = 2π
π π
f(x) = sen(x + d)
-1
Imagem = [-1, 1]
Período = 2π

47. Resumo ⇒ f(x) = a + b•sen(cx + d)
Translação Vertical
a Modifica a Imagem
Eixo “y” Variação Vertical
b Modifica a Imagem
Variação horizontal
c Modifica o período
Eixo “x” Translação horizontal
d Não Modifica o Período

48. Exemplo ⇒ f(x) = 1 + sen(2x)
2
1 Período = 2π/2= π
π 2π 1º) y = sen(2x)
-1
Imagem = [- 0, 2]
2º) y = 1+ sen(2x)