1. 1
UFSCar { C¶lculo 2. Turma C. Sexta lista de exerc¶
a ³cios.
2o semestre de 2006. Prof. Jo~o C.V. Sampaio
a
1. Escreva uma express~o para
a du
dx
, se u = f(x; y; z), com y = '(x), e z = Ã(x; y).
Resposta. du
dx
= fx (x; y; z) + fy (x; y; z) ¢ '0 (x) + fz (x; y; z) ¢ (Ãx (x; y) + Ãy (x; y) ¢ '0 (x)),
sendo, nesta express~o y = '(x) e z = Ã(x; '(x)).
a
2. Mostre que se w = f (u; v) ¶ diferenci¶vel, e se u = x+at, v = y+bt, ent~o wt = awx +bwy .
e a a
3. Sendo z = (sen x)cos x , calcule dz
dx
, por deriva»~o em cadeia, tomando z
ca = uv e ent~o
a
cos x cos2 x
u = sen x, v = cos x. Resposta. dz
dx
= (sen x) ( sen x ¡ sen x ¢ ln(sen x)).
4. Mostre que se z = xy + x ¢ f( x ), (f deriv¶vel) ent~o x ¢
y
a a @z
@x
+y¢ @z
@y
= xy + z.
5. A fun»~o diferenci¶vel z = f (x; y) ¶ homog^nea de grau n se f (tx; ty) = tn f (x; y). Mostre
ca a e e
que uma tal fun»~o satisfaz a equa»~o x @x + y @f = nf (x; y). Sugest~o. Derive ambos os
ca ca @f
@y
a
membros em rela»~o a t e depois fa»a t = 1.
ca c
6. Considere a equa»~o diferencial parcial
ca
@ 2z @2z @2z
¡5 +6 2 =0
@x2 @x@y @y
@2z
Mostre que, fazendo-se s = y + 2x, t = y + 3x, a equa»~o torna-se
ca =. Determine
@s@t
ent~o a forma de uma solu»~o geral z = '(x; y), supondo ' diferenci¶vel com derivadas
a ca a
³nuas. Resposta. z = f(y + 2x) + g(y + 3x)
parciais de ordem 2 cont¶
7. Como no problema anterior, determine a solu»~o geral da equa»~o
ca ca
@2z @2z @ 2z
2 + ¡ 10 2 = 0
@x2 @x@y @y
fazendo a mudan»a de vari¶veis u = 5x ¡ 2y, v = 2x + y.
c a
8. Suponha que w = f (x; y) ¶ solu»~o geral de wxx ¡ wyy = 1. Fa»a x = u + v, y = u ¡ v, e
e ca c
2
@ w
mostre que a equa»~o se torna
ca = 1. Resolva ent~o a equa»~o dada.
a ca
2 ¡y 2
@u@v
Resposta. w = x 4 + f (x + y) + g(x ¡ y).
9. Se z = f (x; y), e x = r cos µ, y = r sen µ, mostre que
(a)
@z @z @z
= cos µ + sen µ
@r @x @y
@z @z @z
= ¡r sen µ + r cos µ
@µ @x @y

2. 2
e ent~o que
a
@z @z sen µ @z
= cos µ ¡
@x @r r @µ
@z @z cos µ @z
= sen µ +
@y @r r @µ
1 @z 2
(b) ( @x )2 + ( @y )2 = ( @z )2 +
@z @z
@r
( ).
r2 @µ
@ 2f @ 2f
10. Escreva a equa»~o de Laplace
ca + 2 = 0, em termos de coordenadas polares r e µ,
@x2 @y
@ 2 r 1 @f 1 @ 2f
sendo x = r cos µ, y = r sen µ. Resposta. 2 + + 2 2 = 0.
@r r @r r @µ
µ 2 ¶
@2u @2u ¡2s @ u @2u
11. Se x = e cos t, y = e sen t, mostre que
s s
+ =e + 2 .
@x2 @y 2 @s2 @t