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Aula 20

Aplica»~es selecionadas da integral
      co
de¯nida

20.1       ¶
           Area de uma regi~o plana
                           a
                      a          co       ³nuas no intervalo [a; b], sendo f (x) ¸ g(x),
Suponhamos que f e g s~o duas fun»~es cont¶
para todo x 2 [a; b].
       Para x 2 [a; b], consideramos, apoiada µ esquerda no ponto x, uma fatia retangular
                                              a
vertical, de base ¢x, e altura h(x) = f (x) ¡ g(x), como na ¯gura 20.1. A ¶rea dessa
                                                                              a
fatia ser¶ dada por ¢A = [f (x) ¡ g(x)]¢x.
         a

                                                              y = f(x)
                           y
                               ∆ A = [f(x) - g(x)] ∆ x




                                                                         y = g(x)

                                  a                  x          b                   x

                                                         ∆x



                                            Figura 20.1.

      Se subdividirmos o intervalo [a; b] em v¶rios sub-intervalos de comprimento ¢x, e
                                              a
sobre cada um deles constru¶³rmos uma ¶rea ¢A, como acima, teremos a ¶rea entre as
                                          a                                 a
duas curvas, compreendida entre as retas verticais x = a e x = b, dada aproximadamente
por                         X            X
                                ¢A =        [f(x) ¡ g(x)]¢x


                                                   180
»~
Aplicacoes selecionadas da integral definida                                               181


onde, pelo bem da simplicidade, estamos omitidindo ¶
                                                   ³ndices do somat¶rio.
                                                                   a
      A ¶rea entre as duas curvas, compreendida entre as retas verticais x = a e x = b,
        a
ser¶ dada pelo limite de tais somas integrais, quando ¢x ! 0, ou seja, ser¶ dada por
   a                                                                       a
                        X                  Z b
                A = lim  [f(x) ¡ g(x)]¢x =     [f (x) ¡ g(x)] dx
                     ¢x!0                                 a


    Sendo ¢A = [f (x) ¡ g(x)]¢x, ¶ costume simbolizar dA = [f (x) ¡ g(x)]dx.
                                 e
               Rb
Temos ent~o A = a dA.
         a
        E costume dizer que dA = [f(x) ¡ g(x)] dx ¶ um elemento in¯nitesimal de ¶rea,
        ¶                                         e                             a
de altura f(x) ¡ g(x), sobre um elemento in¯nitesimal de comprimento dx. O s¶
                R                                                             ³mbolo
de integra»~o, , prov¶m da forma de um arcaico S, e tem o signi¯cado de soma (veja
            ca         e
       R
isto: oma) de um n¶mero in¯nito de quantidades in¯nitesimais" . Assim, se f(x) ¸ 0,
                     u
Rb
  a
    f (x) dx corresponde, grosso modo, a uma soma de elementos in¯nitesimais de ¶rea,
                                                                                a
de alturas f(x), e base dx, com x variando" de a at¶ b.
                                                     e
                                                                                    p
Exemplo 20.1 Calcular a ¶rea delimitada pelas curvas y = x2 e y =
                        a                                                            x.


                                       y
                                           y=√ x

                                   1



                                                          y = x2

                                   0                  1       x



                                       Figura 20.2.
                                                                                          p
Solu»~o. As curvas dadas se interceptam em x0 = 0 e em x1 = 1 (solu»~es de x2 =
    ca                 p                                           co                      x).
                                2
Para 0 · x · 1, temos x ¸ x . Veja ¯gura 20.2.
    Assim sendo, a ¶rea entre as duas curvas ¶ dada por
                    a                    h e          i1
   R1 p               R 1 1=2                       3
A = 0 [ x ¡ x2 ] dx = 0 [x ¡ x2 ] dx = 2 x3=2 ¡ x
                                          3        3
                                                         =            2
                                                                      3
                                                                          ¡   1
                                                                              3
                                                                                  = 1.
                                                                                    3
                                                                  0



20.2      M¶dia ou valor m¶dio de uma fun»~o
           e              e              ca
Seja f uma fun»~o cont¶
               ca     ³nua no intervalo [a; b]. Em [a; b] tomemos os n + 1 pontos
igualmente espa»ados
               c

                      x0 = a < x1 < x2 < : : : < xn¡1 < xn = b
»~
Aplicacoes selecionadas da integral definida                                                182


isto ¶, tais que
     e
                                                                           b¡a
                    x1 ¡ x0 = x2 ¡ x1 = : : : = xn ¡ xn¡1 = ¢x =
                                                                            n

A m¶dia aritm¶tica dos n + 1 valores f(x0 ); f (x1 ); f (x2 ); : : : ; f(xn ), ¶ dada por
   e         e                                                                 e

                                      f(x0 ) + f (x1 ) + ¢ ¢ ¢ + f (xn )
                               ¹n =
                                                  n+1

De¯niremos a m¶dia da fun»~o f, no intervalo [a; b], como sendo
              e          ca
                                            ¹
                                            f = lim ¹n
                                                 n!1

      Mostraremos que
                                                Rb
                                          ¹      a
                                                     f (x) dx
                                          f=
                                                     b¡a

                                  b¡a
      De fato, sendo ¢x =                 , temos
                                     n
                   f (x0 ) + f (x1 ) + ¢ ¢ ¢ + f (xn )
         ¹n =
                                 nµ 1
                                   +                                            ¶
                   f (x0 )     1     f (x1 )¢x + f (x2 )¢x + ¢ ¢ ¢ + f(xn )¢x
             =             +
                   n + 1 ¢x                              n+1
                                     µ                                             ¶
                   f (x0 )      n       f (x1 )¢x + f(x2 )¢x + ¢ ¢ ¢ + f (xn )¢x
             =             +
                   n+1 b¡a                                n+1
                   f (x0 )      1         n
             =             +         ¢         (f (x1 )¢x + f(x2 )¢x + ¢ ¢ ¢ + f (xn )¢x)
                   n+1 b¡a n+1
Logo, como os pontos x0 (= a); x1 ; : : : ; xn¡1 ; xn (= b) subdividem o intervalo [a; b] em
n sub-intervalos, todos de comprimento ¢x = (b ¡ a)=n.
                                                                  Ã n             !
                          f (x0 )      1               n             X
           lim ¹n = lim           +          ¢ lim         ¢ lim         f (xi )¢x
          n!1        n!1 n + 1       b ¡ a n!1 n + 1 n!1 i=1
                                     Z b                      Z b
                            1                            1
                   =0+           ¢1¢      f (x) dx =              f (x) dx
                         b¡a           a               b¡a a

Exemplo 20.2 Determine o valor m¶dio de f(x) = x2 , no intervalo a · x · b.
                                e

Solu»~o. O valor m¶dio de f em [a; b], ¶ dado por
    ca            e                    e
                          Z b                   ¯b        µ 3      ¶
                ¹=    1         2         1 x3 ¯¯ = 1      b    a3
               f              x dx =                          ¡
                    b¡a a              b ¡ a 3 ¯a b ¡ a 3       3
                              2         2     2         2
                    (b ¡ a)(a + ab + b )     a + ab + b
                 =                         =
                          3(b ¡ a)                 3
»~
Aplicacoes selecionadas da integral definida                                        183


20.3      Volume de um s¶lido
                        o



                                                          ∆ V = A(x) . ∆ x



                                    A(x)                              A(x)




                                                                  ∆x


                     a               x               b        x




                                     Figura 20.3.

Na ¯gura 20.3, para cada x, a · x · b, um plano perpendicular a um eixo x corta um
s¶lido (uma batata ?) determinando no s¶lido uma sec»~o transversal de ¶rea A(x). De
 o                                      o            ca                 a
x = a at¶ x = b, s~o determinadas as ¶reas de todas todas as sec»~es transversais desse
         e         a                 a                          co
s¶lido, sendo b ¡ a o seu comprimento". Qual ¶ o seu volume ?
 o                                              e
     Suponhamos que o intervalo [a; b] ¶ subdividido em n sub-intervalos, todos de
                                       e
comprimento ¢x = (b ¡ a)=n.
      Se x ¶ um ponto dessa subdivis~o, determina-se um volume de uma fatia cil¶
            e                       a                                           ³n-
drica", de base" com ¶rea A(x) e altura" ¢x,
                      a

                                   ¢V = V (x) ¢ ¢x

Uma aproxima»~o do volume do s¶lido ¶ dado pelo somat¶rio desses v¶rios volumes
             ca               o     e                o            a
cil¶
   ³ndricos,                X          X
                        V »
                          =      ¢V =      A(x) ¢ ¢x
                                              x
sendo o somat¶rio aqui escrito sem os habituais ¶
               o                                   ³ndices i, para simpli¯car a nota»~o.
                                                                                    ca
Quanto mais ¯nas as fatias cil¶
                               ³ndricas", mais pr¶ximo o somat¶rio estar¶ do volume do
                                                 o              o         a
s¶lido, sendo seu volume igual a
 o

                           X                X                 Z   b
               V = lim         ¢V = lim         A(x) ¢ ¢x =           A(x) dx
                    ¢x!0             ¢x!0                     a

Os cientistas de ¶reas aplicadas costumam dizer que dV = A(x) ¢ dx ¶ um elemento
                 a                                                  e
in¯nitesimal de volume, constru¶ sobre um ponto x, de um cilindro" de ¶rea da base
                               ³do                                     a
A(x) e altura (espessura) in¯nitesimal" dx. Ao somar" os in¯nitos elementos de
               Rb       Rb
volume, temos a dV = a A(x) dx igual ao volume do s¶lido.
                                                      o
»~
Aplicacoes selecionadas da integral definida                                                       184


Exemplo 20.3 Qual ¶ o volume de um tronco de pir^mide, de altura h, cuja base ¶ um
                     e                            a                           e
quadrado de lado a e cujo topo ¶ um quadrado de lado b ?
                               e

Solu»~o. Posicionemos um eixo x perpendicular µs duas bases. Cada ponto (altura) x,
    ca                                        a
demarcada nesse eixo, corresponde, no tronco de pir^mide, a uma sec»~o transversal
                                                   a                ca
quadrada, de tal modo que x = 0 corresponde µ base quadrada de lado a, e x = h
                                               a
corresponde ao topo quadrado de lado b. Veja ¯gura 20.4.

                                                                       x


                                                    b    x=h
                                                          b

                                                                            h


                                                a
                                                         x=0
                                                          a




                                                    Figura 20.4.

     Procurando uma fun»~o a¯m, f (x) = mx + n, tal que f(0) = a e f (h) = b.
                        ca
encontramos f(x) = a + b¡a x.
                        h

      A ¶rea da sec»~o transversal, na altura x, ¶ dada por
        a          ca                            e
                                        µ            ¶
                                              b¡a 2
                               A(x) = a +           x
                                                 h

O volume do tronco de pir^mide ¶ ent~o
                         a     e    a
                                      Z                       Z        µ       ¶
                                          h                        h
                                                                           b¡a 2
                            V =               A(x) dx =                 a+    x dx
                                      0                        0            h

Fazendo u = a + b¡a x, temos du =
                   h
                                                        b¡a
                                                         h
                                                              dx. Al¶m disso, u = a para x = 0, e u = b
                                                                    e
para x = h, e ent~o
                 a
      Z                           Z                       ¯b
              h
                             h        b
                                                   h   u3 ¯    h                h
V =               A(x) dx =                2
                                          u du =      ¢ ¯ =
                                                          ¯         (b3 ¡ a3 ) = (a2 + ab + b2 )
          0                 b¡a   a              b ¡ a 3 a 3(b ¡ a)             3

 Note que o volume do tronco de pir^mide ¶ 1=3 do produto de sua altura pelo valor
                                      a      e
m¶dio das ¶reas das sec»~es transversais (veja exemplo 20.2). Conforme um antigo
  e         a             co
papiro, esta f¶rmula j¶ era conhecida pela antiga civiliza»~o eg¶
              o       a                                   ca    ³pcia do s¶culo 18 a.C.
                                                                          e
»~
Aplicacoes selecionadas da integral definida                                        185


20.3.1     Volume de um s¶lido de revolu»~o
                         o              ca

Quando rotacionamos uma regi~o do plano xy em torno do eixo x ou do eixo y, real-
                               a
izando uma volta completa, o lugar geom¶trico descrito pelos pontos da regi~o ¶ o que
                                       e                                   a e
chamamos um s¶lido de revolu»~o.
               o              ca
      Suponhamos que um s¶lido de revolu»~o ¶ obtido rotacionando-se, em torno do
                             o             ca e
eixo x, uma regi~o plana delimitada pelas curvas y = f (x), y = g(x), e pelas retas
                 a
verticais x = a e x = b, sendo f (x) ¸ g(x) para a · x · b.
      Para cada x 2 [a; b], um plano perpendicular ao eixo x, cortando este no ponto
x, determina no s¶lido de revolu»~o uma sec»~o transversal. Esta sec»~o transversal ¶
                  o             ca          ca                      ca               e
obtida pela revolu»~o completa, em torno do eixo x, do segmento vertical Ax Bx , sendo
                  ca
Ax = (x; g(x)) e Bx = (x; f(x)). Veja ¯gura 20.5
      A ¶rea dessa sec»~o transversal ser¶ nada mais que a ¶rea de uma regi~o plana
        a             ca                 a                    a                a
                         ³rculos conc^ntricos de centro (x; 0), sendo um menor, de raio
compreendida entre dois c¶           e
g(x), e outro maior, de raio f (x). Como a ¶rea de um c¶
                                             a            ³rculo de raio r ¶ ¼r2 , temos
                                                                           e
que a ¶rea A(x), da sec»~o transversal do s¶lido de revolu»~o, ¶ dada por
      a                ca                   o              ca e
                                        A(x) = ¼[f (x)]2 ¡ ¼[g(x)]2


           y
                   y = f(x)       BX
                                                                   f(x)
                   y = g(x)
                              AX
                                                            g(x)
               a              x           b   x         x                     x
                                       180°




                                                  Figura 20.5.

     Portanto, o volume do s¶lido de revolu»~o ser¶
                            o              ca     a
                       Z b            Z b
                  V =      A(x) dx =      (¼[f(x)]2 ¡ ¼[g(x)]2 ) dx
                                  a                     a


      Se a regi~o plana for delimitada pelo gr¶¯co de y = f (x), pelo eixo x, e pelas
               a                               a
retas x = a e x = b, teremos g(x) = 0, e ent~o
                                             a
                                      Z b
                                 V =      ¼[f (x)]2 dx
                                                    a
»~
Aplicacoes selecionadas da integral definida                                                  186


Exemplo 20.4 Calcule o volume de uma esfera de raio a.

A esfera de raio a pode ser interpretada como o s¶lido obtido pela revolu»~o da regi~o
                                                 o                       ca         a
               2    2     2
semi-circular x + y · a , y ¸ 0, em torno do eixo x. Uma tal regi~o ¶ delimitada
                  p                                                    a e p
pelas curvas y = a2 ¡ x2 , e y = 0, com ¡a · x · a. Assim, aqui, f (x) = a2 ¡ x2
e g(x) = 0, sendo ent~o
                      a

                      dV = A(x) dx = ¼[f(x)]2 dx = ¼(a2 ¡ x2 ) dx

o elemento de volume a integrar.
    Portanto,
    Z a                 ·         ¸a   µ       ¶    µ        ¶
           2   2          2    x3        3  a3         3  a3    4
V =     ¼(a ¡ x ) dx = ¼ a x ¡       =¼ a ¡      ¡ ¼ ¡a +      = ¼a3
     ¡a                        3 ¡a         3             3     3


20.4       Comprimento de uma curva
                                        a              ca      ³nua f , para a · x ·
Consideremos agora a curva y = f (x), gr¶¯co de uma fun»~o cont¶
b.
       Para calcular o comprimento dessa curva, primeiramente particionamos o intervalo
                                                  b¡a
[a; b] em n sub-intervalos de comprimento ¢x =          , atrav¶s de pontos
                                                               e
                                                    n
                                a = x0 ; x1 ; : : : ; xn¡1 ; xn = b

Em seguida consideramos, no gr¶¯co, os n + 1 pontos correspondentes,
                              a

 A0 = (x0 ; f(x0 )); A1 = (x1 ; f (x1 )); : : : ; An¡1 = (xn¡1 ; f (xn¡1 )); An = (xn ; f (xn ))



                                                                  A n-1

                               y                     y = f(x)             ∆s n A n
                                                ∆ s2
                                        ∆ s1           A2
                                   A0           A1          ...

                                   a           x1      x2            xn-1      b     x
                                   x0                                          xn


                                               Figura 20.6.


     Sendo ¢si = dist(Ai¡1 ; Ai ), para iP 1; : : : ; n, P
                                         =               temos que uma aproxima»~o do
                                                                               ca
                                          n                n
comprimento da curva ¶ dada pela soma i=1 ¢si = i=1 dist(Ai¡1 ; Ai ).
                     e
»~
Aplicacoes selecionadas da integral definida                                                      187


      Agora,
                                      p
               dist(Ai¡1 ; Ai ) =(xi ¡ xi¡1 )2 + (f (xi ) ¡ f (xi¡1 ))2
                                                     s       µ     ¶2
                               p                               ¢f
                              = (¢x)2 + (¢f )2 = 1 +                    ¢ ¢x
                                                               ¢x

Assumindo que f ¶ diferenci¶vel no intervalo [a; b], pelo teorema do valor m¶dio, teorema
                e          a                                                e
15.1, aula 12,
                           ¢f      f(xi ) ¡ f(xi¡1 )
                                =                     = f 0 (ci )
                           ¢x         xi ¡ xi¡1
para algum ci compreendido entre xi¡1 e xi . Assim,
                           X
                           n                Xp
                                            n
                                  ¢si =            1 + (f 0 (ci ))2 ¢ ¢x
                            i=1             i=1
                                             p
Esta ¶ uma soma integral de '(x) = 1 + (f 0 (x))2 , no intervalo [a; b], correspondente
        e
µ subdivis~o a = x0 ; x1 ; : : : ; xn¡1 ; xn = b, com uma escolha" de pontos intermedi¶rios
a               a                                                                      a
c1 ; c2 ; : : : ; cn . Veja de¯ni»~o µ aula 17.
                                 ca a
Supondo f 0 (x) cont¶
                    ³nua no intervalo [a; b], temos ent~o que o comprimento da curva
                                                       a
y = f(x), a · x · b, ¶ dado por
                      e

                  X                   Xp
                                      n                                   Z bp
      s = lim         ¢s = lim              1+    (f 0 (ci ))2   ¢ ¢x =       1 + (f 0 (x))2 dx
           ¢x!0             ¢x!0                                          a
                                      i=1

      A id¶ia intuitiva que d¶ a integral para o comprimento de arco ¶ ilustrada na ¯gura
          e                  a                                       e
20.7. Para um elemento in¯nitesimal de comprimento dx, corresponde uma varia»~o       ca
in¯nitesimal em y, dy. O elemento in¯nitesimal de comprimento de arco, ds, correspon-
dente µ varia»~o dx, ¶ dado pelo teorema de Pit¶goras:
      a      ca        e                           a
                                       s      µ ¶2
                   p                            dy         p
            ds = (dx)2 + (dy)2 = 1 +                 dx = 1 + (f 0 (x))2 dx
                                                dx


                                  y

                                                  ds
                                                         dy
                                                  dx


                                                                      x


                                            Figura 20.7.
»~
Aplicacoes selecionadas da integral definida                                             188


20.5       ¶
           Area de uma superf¶ de revolu»~o
                             ³cie       ca
Consideremos a curva y = f (x), gr¶¯co de uma fun»~o f cont¶
                                  a               ca       ³nua, a qual assumiremos
                  0
que tem derivada f tamb¶m cont¶
                        e        ³nua, para a · x · b.
      Rotacionando-se essa curva em torno do eixo x, obtemos uma superf¶ de revo-
                                                                           ³cie
lu»~o. Para o c¶lculo de sua ¶rea, primeiramente particionamos o intervalo [a; b] em n
  ca            a            a
                                      b¡a
sub-intervalos de comprimento ¢x =         , atrav¶s de pontos a = x0 , x1 , : : : , xn¡1 ,
                                                  e
                                        n
xn = b.
     Tomando-se dois pontos dessa subdivis~o, xi¡1 e xi , consideramos os pontos cor-
                                            a
respondentes no gr¶¯co de f , Ai¡1 = (xi¡1 ; f (xi¡1 ) e Ai = (xi ; f (xi )). Este procedi-
                  a
mento geom¶trico est¶ ilustrado na ¯gura 20.6.
           e        a
      Rotacionando-se o segmento Ai¡1 Ai em torno do eixo x, obtemos um tronco de
cone, de geratriz lateral ¢si = Ai¡1 Ai , sendo f (xi¡1 ) e f (xi ) os raios de sua base e de
seu topo. Veja ¯gura 20.8

                                                     Ai
                                           A i -1



                              f(x i -1 )                  f(x i )



                                                             x




                                           Figura 20.8.

     A ¶rea da superf¶ lateral de um tronco de cone, de geratriz lateral ` e raios r e
       a              ³cie
R no topo e na base, ¶ dada por ¼(r + R)`. Assim, rotacionando o segmento Ai¡1 Ai ,
                     e
em torno do eixo x, como acima, a superf¶ resultante ter¶ ¶rea
                                        ³cie            aa

                             ¢Si = ¼[f(xi¡1 ) + f (xi )] ¢ ¢si

e a ¶rea da superf¶ de revolu»~o, da curva y = f (x), a · x · b, em torno do eixo x,
    a             ³cie       ca
ser¶ dada por
   a                                          X
                             S = lim ¢x ! 0       ¢Si
Agora, como argumentado na se»~o anterior (con¯ra),
                             ca
                                        p
                       ¢si = Ai¡1 Ai = 1 + [f 0 (ci )]2 ¢x
»~
Aplicacoes selecionadas da integral definida                                          189


para algum ci entre xi¡1 e xi . Assim sendo,

                    ¢Si = ¼[f(xi¡1 ) + f (xi )] ¢ ¢si
                                                  p
                        = ¼[f(xi¡1 ) + f (xi )] ¢ 1 + [f 0 (ci )]2 ¢x

Assim,
                              X
                 S = lim           ¢Si
                      ¢x!0
                              X
                   = lim           ¼[f(xi¡1 ) + f (xi )] ¢ ¢si
                      ¢x!0
                              X                            p
                   = lim           ¼[f(xi¡1 ) + f (xi )] ¢ 1 + [f 0 (ci )]2 ¢x
                      ¢x!0

E pode ser mostrado que este ¶ltimo limite ¶ igual a
                              u              e
             X              p                    Z b        p
         lim     2¼f (ci ) ¢ 1 + [f i
                                   0 (c )]2 ¢x =     2¼f (x) 1 + (f 0 (x))2 dx
         ¢x!0                                           a


     Assim, a ¶rea da superf¶ de revolu»~o resultante ¶ dada por
              a             ³cie       ca             e
                                   Rb          p
                              S=    a
                                        2¼f (x) 1 + (f 0 (x))2 dx


20.6      Centro de gravidade de uma ¯gura plana

Se temos, em um plano ou no espa»o n pontos P1 ; P2 ; : : : ; Pn , tendo massas m1 ; m2 ;
                                     c
                                                 ¹
: : : ; mn , respectivamente, o centro de massa P , do sistema de n pontos, ¶ dado por
                                                                             e
                                          Pn
                                            i=1 mi Pi
                                     P = Pn
                                     ¹
                                             i=1 mi

         ¹
ou seja, P = (¹; y ), sendo
              x ¹
                              Pn               Pn
                                i=1 mi xi        i=1 mi yi
                           x = Pn
                           ¹              e y = Pn
                                            ¹
                                 i=1 mi           i=1 mi

     Consideremos uma regi~o plana, delimitada pelos gr¶¯cos das fun»~es cont¶
                            a                            a             co      ³nuas
y = f (x) e y = g(x), e pelas retas verticais x = a e x = b, sendo f (x) ¸ g(x) para
a · x · b.
      Olhando essa regi~o como uma placa plana, de espessura desprez¶
                       a                                            ³vel, suponhamos
que ela possui densidade super¯cial (massa por unidade de ¶rea) ± constante.
                                                          a
      Particionando-se o intervalo [a; b], em intervalos de comprimento ¢x = b¡a ,  n
atrav¶s dos pontos x0 = a; x1 ; : : : ; xn = b, aproximamos essa regi~o por uma reuni~o
     e                                                               a               a
de ret^ngulos, como na ¯gura 20.9, sendo cada ret^ngulo de altura f (x) ¡ g(x) e base
      a                                               a
¢x, sendo aqui x o ponto m¶dio do intervalo [xi¡1 ; xi ].
                            e
»~
Aplicacoes selecionadas da integral definida                                     190


                         y                                    y = f(x)
                             ∆ A = [f(x) - g(x)] ∆ x




                                                         Px

                                                x i -1        xi
                                 a                       x           b   x

                                                         ∆x
                                        y = g(x)


                                           Figura 20.9.

      Esse ret^ngulo elementar tem ¶rea ¢A = (f (x) ¡ g(x))¢x, seu centro de massa
              a ³              ´       a
                    f (x)+g(x)
¶ o ponto Px = x;
e                        2
                                 , sendo sua massa dada por

                         ¢m = ± ¢ ¢A = ±(f (x) ¡ g(x))¢x

      O centro de massa da reuni~o de todos esses ret^ngulos elementares coincide com
                                a                    a
o centro de massa dos pontos Px , atribuindo-se a cada ponto a massa ¢m do seu
ret^ngulo.
   a
     Assim, uma aproxima»~o do centro de massa da regi~o plana considerada, o centro
                          ca                           a
de massa dos v¶rios ret^ngulos elementares, ¶ dada por
              a        a                    e
                        P             P                P
                  ^ = P ¢ Px = P¢ ¢A ¢ Px = P ¢ Px
                  P
                          ¢m             ±               ¢A
                             ¢m             ± ¢ ¢A         ¢A

     Agora,
                             µ           ¶
                             f(x) + g(x)
         ¢A ¢ Px = ¢A ¢ x;
                                  2
                                     µ                 ¶
                                          f (x) + g(x)
                 = (f (x) ¡ g(x))¢x ¢ x;
                                                2
                   µ                                                  ¶
                                                        f(x) + g(x)
                 = x(f(x) ¡ g(x))¢x; (f (x) ¡ g(x)) ¢               ¢x
                                                             2
                   µ                                             ¶
                                        1        2        2
                 = x(f(x) ¡ g(x))¢x; ([f (x)] ¡ [g(x)] ) ¢ ¢x
                                        2
                              ¹
Finalmente, o centro de massa P da regi~o plana considerada, ser¶ dado por
                                       a                        a
                                              P
                                                 ¢A ¢ Px
                          P = lim P = lim P
                          ¹         ^
                               ¢x!0      ¢x!0      ¢A
                                                      ^              ¹
Portanto, passando ao limite, nas duas coordenadas de P , chegamos a P = (¹; y ),
                                                                          x ¹
sendo
»~
Aplicacoes selecionadas da integral definida                                       191


                  Rb                             Rb1
                   a
                       x(f (x) ¡ g(x)) dx        a 2
                                                     ([f (x)]2 ¡ [g(x)]2 ) dx
            x = Rb
            ¹                               y=
                                            ¹      Rb
                    a
                        (f (x) ¡ g(x)) dx            a
                                                       (f (x) ¡ g(x)) dx


20.7      Problemas
¶
Areas de regi~es planas
             o
  1. Calcule a ¶rea delimitada pelas curvas y 2 = 9x e y = 3x. Resposta. 1=2.
               a

  2. Calcule a ¶rea delimitada pelas curvas xy = a2 , x = a, y = 2a (a > 0) e o eixo
               a
     x. Resposta. a2 ln 2.

  3. Calcule a ¶rea delimitada pela curva y = x3 , pela reta y = 8 e pelo eixo y.
               a
     Resposta. 12.

  4. Calcule a ¶rea total delimitada pelas curvas y = x3 , y = 2x e y = x. Resposta.
               a
     3=2.
                                            2    2
  5. Calcule a ¶rea delimitada pela elipse x2 + y2 = 1. Resposta. ¼ab.
               a                           a    b
                                                                     b
                                                                       p
     Sugest~o. A ¶rea ¶ delimitada pelos gr¶¯cos de fun»oes y = § a a2 ¡ x2 , com
           a      a     e                    a           c~
     ¡a · x · a. Fa»a a substitui»~o x = a sen t. Na integral resultante, use a
                         c             ca
     f¶rmula de redu»~o de pot^ncias cos2 a = 1+cos 2a .
      o              ca        e                   2

  6. Calcule a ¶rea delimitada pela curva fechada (hipocicl¶ide) x2=3 + y 2=3 = a2=3 .
                a                                            o
                 3   2
     Resposta. 8 ¼a .                                               p
     Sugest~o. A ¶rea ¶ delimitada pelos gr¶¯cos de fun»~es y = § a2=3 ¡ x2=3 , com
            a      a    e                   a           co
     ¡a · x · a. Fa»a a substitui»~o x = a sen3 µ, com ¡¼=2 · µ · ¼=2. Na
                          c            ca
                                                                           1 + cos 2a
     integral resultante, use as f¶rmulas de redu»~o de pot^ncias cos2 a =
                                  o              ca        e                          ,
                                                                               2
               1 ¡ cos 2a
     sen2 a =               .
                     2

Valor m¶dio de uma fun»~o cont¶
       e              ca      ³nua

Determinar o valor m¶dio da fun»~o dada, no intervalo especi¯cado.
                    e          ca

  1. f (x) = x2 , a · x · b. Resposta. f = 1 (a2 + ab + b2 ).
                                       ¹
                                           3
               p                                            p
                                                      2(a+b+ ab)
  2. f (x) =    x, a · x · b (0 · a < b). Resposta.      p p .
                                                       3( a+ b)

  3. f (x) = cos2 x, 0 · x · ¼=2. Resposta. 1=2.
»~
Aplicacoes selecionadas da integral definida                                                              192


Volumes de s¶lidos
            o

Em cada problema, calcule o volume do s¶lido obtido por revolu»~o, conforme descrito.
                                       o                      ca

                x2 y 2
  1. A elipse      + 2 = 1 gira em torno do eixo x. Resposta. 1 ¼ab2 .
                                                              3
                a2  b
  2. O segmento de reta da origem (0; 0) ao ponto (a; b) gira ao redor do eixo x,
     obtendo-se assim um cone. Resposta. 1 ¼a2 b.
                                         3

  3. A regi~o plana delimitada pela
            a
     hipocicl¶ide x2=3 + y 2=3 = a2=3 gira
             o                                                       y
                                                                     a
     ao redor do eixo x.
     Resposta. 32¼a3 =105.
                                                                             2/3         2/3        2/3
                                                                         x         + y         =a




                                               -a                  0                                a     x




                                                                   -a



  4. O arco de sen¶ide y = sen x, 0 · x · ¼, gira em torno do eixo x. Resposta.
                  o
      2
     ¼ =2.

  5. A regi~o delimitada pela par¶bola y 2 = 4x, pela reta x = 4 e pelo eixo x, gira em
           a                     a
     torno do eixo x. Resposta. 32¼.


Comprimentos de curvas

Calcule os comprimentos das curvas descritas abaixo.

  1. Hipocicl¶ide (veja ¯gura) x2=3 + y 2=3 = a2=3 . Resposta. 6a.
             o
            1
           p x3=2 ,
  2. y =     a
                  de x = 0 a x = 5a. Resposta. 335a=27.
                      p         p
  3. y = ln x, de x = 3 a x = 8. Resposta. 1 + 1 ln 3 .
                                                  2   2

  4. y = 1 ¡ ln(cos x), de x = 0 a x = ¼=4. Resposta. ln tg 3¼ .
                                                             8
»~
Aplicacoes selecionadas da integral definida                                            193

¶
Areas de superf¶
               ³cies de revolu»~o
                              ca

Em cada problema, calcule a ¶rea da superf¶ obtida por revolu»~o da curva dada em
                            a             ³cie               ca
torno do eixo especi¯cado.

                                                                             56
  1. y 2 = 4ax, 0 · x · 3a, rotacionada em torno do eixo x. Resposta.         3
                                                                                ¼a2 .

  2. y = 2x, 0 · x · 2,
     (a) rotacionada em torno do eixo x        (b) rotacionada em torno do eixo y.
                      p            p
     Respostas. (a) 8¼ 5 (b) 4¼ 5.

  3. y = sen x, 0 · x · ¼, p
                  p        rotacionada em torno do eixo x.
     Resposta. 4¼[ 2 + ln( 2 + 1)].


Centro de massa (ou de gravidade) de uma regi~o plana
                                             a

Determine as coordenadas do centro de gravidade da regi~o plana especi¯cada.
                                                       a

                                                                     2
                                                             x2
  1. Regi~o no primeiro ¡
         a              quadrante, delimitada pela elipse
                                ¢                            a2
                                                                  + y2 = 1 (x ¸ 0, y ¸ 0).
                                                                    b
                          4a 4b
     Resposta. (¹; y ) = 3¼ ; 3¼ .
                x ¹
                                          x2
  2. Area delimitada pela curva y = 4 ¡
     ¶
                                           4
                                               e o eixo x. Resposta.(¹; y ) = (0; 8=5).
                                                                     x ¹

  3. Area delimitada pela par¶bola y 2 = ax e pela reta x = a. Resposta. (¹; y ) =
     ¶                       a                                            x ¹
     (3a=5; 0).

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Volume entre curvas

  • 1. Aula 20 Aplica»~es selecionadas da integral co de¯nida 20.1 ¶ Area de uma regi~o plana a a co ³nuas no intervalo [a; b], sendo f (x) ¸ g(x), Suponhamos que f e g s~o duas fun»~es cont¶ para todo x 2 [a; b]. Para x 2 [a; b], consideramos, apoiada µ esquerda no ponto x, uma fatia retangular a vertical, de base ¢x, e altura h(x) = f (x) ¡ g(x), como na ¯gura 20.1. A ¶rea dessa a fatia ser¶ dada por ¢A = [f (x) ¡ g(x)]¢x. a y = f(x) y ∆ A = [f(x) - g(x)] ∆ x y = g(x) a x b x ∆x Figura 20.1. Se subdividirmos o intervalo [a; b] em v¶rios sub-intervalos de comprimento ¢x, e a sobre cada um deles constru¶³rmos uma ¶rea ¢A, como acima, teremos a ¶rea entre as a a duas curvas, compreendida entre as retas verticais x = a e x = b, dada aproximadamente por X X ¢A = [f(x) ¡ g(x)]¢x 180
  • 2. »~ Aplicacoes selecionadas da integral definida 181 onde, pelo bem da simplicidade, estamos omitidindo ¶ ³ndices do somat¶rio. a A ¶rea entre as duas curvas, compreendida entre as retas verticais x = a e x = b, a ser¶ dada pelo limite de tais somas integrais, quando ¢x ! 0, ou seja, ser¶ dada por a a X Z b A = lim [f(x) ¡ g(x)]¢x = [f (x) ¡ g(x)] dx ¢x!0 a Sendo ¢A = [f (x) ¡ g(x)]¢x, ¶ costume simbolizar dA = [f (x) ¡ g(x)]dx. e Rb Temos ent~o A = a dA. a E costume dizer que dA = [f(x) ¡ g(x)] dx ¶ um elemento in¯nitesimal de ¶rea, ¶ e a de altura f(x) ¡ g(x), sobre um elemento in¯nitesimal de comprimento dx. O s¶ R ³mbolo de integra»~o, , prov¶m da forma de um arcaico S, e tem o signi¯cado de soma (veja ca e R isto: oma) de um n¶mero in¯nito de quantidades in¯nitesimais" . Assim, se f(x) ¸ 0, u Rb a f (x) dx corresponde, grosso modo, a uma soma de elementos in¯nitesimais de ¶rea, a de alturas f(x), e base dx, com x variando" de a at¶ b. e p Exemplo 20.1 Calcular a ¶rea delimitada pelas curvas y = x2 e y = a x. y y=√ x 1 y = x2 0 1 x Figura 20.2. p Solu»~o. As curvas dadas se interceptam em x0 = 0 e em x1 = 1 (solu»~es de x2 = ca p co x). 2 Para 0 · x · 1, temos x ¸ x . Veja ¯gura 20.2. Assim sendo, a ¶rea entre as duas curvas ¶ dada por a h e i1 R1 p R 1 1=2 3 A = 0 [ x ¡ x2 ] dx = 0 [x ¡ x2 ] dx = 2 x3=2 ¡ x 3 3 = 2 3 ¡ 1 3 = 1. 3 0 20.2 M¶dia ou valor m¶dio de uma fun»~o e e ca Seja f uma fun»~o cont¶ ca ³nua no intervalo [a; b]. Em [a; b] tomemos os n + 1 pontos igualmente espa»ados c x0 = a < x1 < x2 < : : : < xn¡1 < xn = b
  • 3. »~ Aplicacoes selecionadas da integral definida 182 isto ¶, tais que e b¡a x1 ¡ x0 = x2 ¡ x1 = : : : = xn ¡ xn¡1 = ¢x = n A m¶dia aritm¶tica dos n + 1 valores f(x0 ); f (x1 ); f (x2 ); : : : ; f(xn ), ¶ dada por e e e f(x0 ) + f (x1 ) + ¢ ¢ ¢ + f (xn ) ¹n = n+1 De¯niremos a m¶dia da fun»~o f, no intervalo [a; b], como sendo e ca ¹ f = lim ¹n n!1 Mostraremos que Rb ¹ a f (x) dx f= b¡a b¡a De fato, sendo ¢x = , temos n f (x0 ) + f (x1 ) + ¢ ¢ ¢ + f (xn ) ¹n = nµ 1 + ¶ f (x0 ) 1 f (x1 )¢x + f (x2 )¢x + ¢ ¢ ¢ + f(xn )¢x = + n + 1 ¢x n+1 µ ¶ f (x0 ) n f (x1 )¢x + f(x2 )¢x + ¢ ¢ ¢ + f (xn )¢x = + n+1 b¡a n+1 f (x0 ) 1 n = + ¢ (f (x1 )¢x + f(x2 )¢x + ¢ ¢ ¢ + f (xn )¢x) n+1 b¡a n+1 Logo, como os pontos x0 (= a); x1 ; : : : ; xn¡1 ; xn (= b) subdividem o intervalo [a; b] em n sub-intervalos, todos de comprimento ¢x = (b ¡ a)=n. à n ! f (x0 ) 1 n X lim ¹n = lim + ¢ lim ¢ lim f (xi )¢x n!1 n!1 n + 1 b ¡ a n!1 n + 1 n!1 i=1 Z b Z b 1 1 =0+ ¢1¢ f (x) dx = f (x) dx b¡a a b¡a a Exemplo 20.2 Determine o valor m¶dio de f(x) = x2 , no intervalo a · x · b. e Solu»~o. O valor m¶dio de f em [a; b], ¶ dado por ca e e Z b ¯b µ 3 ¶ ¹= 1 2 1 x3 ¯¯ = 1 b a3 f x dx = ¡ b¡a a b ¡ a 3 ¯a b ¡ a 3 3 2 2 2 2 (b ¡ a)(a + ab + b ) a + ab + b = = 3(b ¡ a) 3
  • 4. »~ Aplicacoes selecionadas da integral definida 183 20.3 Volume de um s¶lido o ∆ V = A(x) . ∆ x A(x) A(x) ∆x a x b x Figura 20.3. Na ¯gura 20.3, para cada x, a · x · b, um plano perpendicular a um eixo x corta um s¶lido (uma batata ?) determinando no s¶lido uma sec»~o transversal de ¶rea A(x). De o o ca a x = a at¶ x = b, s~o determinadas as ¶reas de todas todas as sec»~es transversais desse e a a co s¶lido, sendo b ¡ a o seu comprimento". Qual ¶ o seu volume ? o e Suponhamos que o intervalo [a; b] ¶ subdividido em n sub-intervalos, todos de e comprimento ¢x = (b ¡ a)=n. Se x ¶ um ponto dessa subdivis~o, determina-se um volume de uma fatia cil¶ e a ³n- drica", de base" com ¶rea A(x) e altura" ¢x, a ¢V = V (x) ¢ ¢x Uma aproxima»~o do volume do s¶lido ¶ dado pelo somat¶rio desses v¶rios volumes ca o e o a cil¶ ³ndricos, X X V » = ¢V = A(x) ¢ ¢x x sendo o somat¶rio aqui escrito sem os habituais ¶ o ³ndices i, para simpli¯car a nota»~o. ca Quanto mais ¯nas as fatias cil¶ ³ndricas", mais pr¶ximo o somat¶rio estar¶ do volume do o o a s¶lido, sendo seu volume igual a o X X Z b V = lim ¢V = lim A(x) ¢ ¢x = A(x) dx ¢x!0 ¢x!0 a Os cientistas de ¶reas aplicadas costumam dizer que dV = A(x) ¢ dx ¶ um elemento a e in¯nitesimal de volume, constru¶ sobre um ponto x, de um cilindro" de ¶rea da base ³do a A(x) e altura (espessura) in¯nitesimal" dx. Ao somar" os in¯nitos elementos de Rb Rb volume, temos a dV = a A(x) dx igual ao volume do s¶lido. o
  • 5. »~ Aplicacoes selecionadas da integral definida 184 Exemplo 20.3 Qual ¶ o volume de um tronco de pir^mide, de altura h, cuja base ¶ um e a e quadrado de lado a e cujo topo ¶ um quadrado de lado b ? e Solu»~o. Posicionemos um eixo x perpendicular µs duas bases. Cada ponto (altura) x, ca a demarcada nesse eixo, corresponde, no tronco de pir^mide, a uma sec»~o transversal a ca quadrada, de tal modo que x = 0 corresponde µ base quadrada de lado a, e x = h a corresponde ao topo quadrado de lado b. Veja ¯gura 20.4. x b x=h b h a x=0 a Figura 20.4. Procurando uma fun»~o a¯m, f (x) = mx + n, tal que f(0) = a e f (h) = b. ca encontramos f(x) = a + b¡a x. h A ¶rea da sec»~o transversal, na altura x, ¶ dada por a ca e µ ¶ b¡a 2 A(x) = a + x h O volume do tronco de pir^mide ¶ ent~o a e a Z Z µ ¶ h h b¡a 2 V = A(x) dx = a+ x dx 0 0 h Fazendo u = a + b¡a x, temos du = h b¡a h dx. Al¶m disso, u = a para x = 0, e u = b e para x = h, e ent~o a Z Z ¯b h h b h u3 ¯ h h V = A(x) dx = 2 u du = ¢ ¯ = ¯ (b3 ¡ a3 ) = (a2 + ab + b2 ) 0 b¡a a b ¡ a 3 a 3(b ¡ a) 3 Note que o volume do tronco de pir^mide ¶ 1=3 do produto de sua altura pelo valor a e m¶dio das ¶reas das sec»~es transversais (veja exemplo 20.2). Conforme um antigo e a co papiro, esta f¶rmula j¶ era conhecida pela antiga civiliza»~o eg¶ o a ca ³pcia do s¶culo 18 a.C. e
  • 6. »~ Aplicacoes selecionadas da integral definida 185 20.3.1 Volume de um s¶lido de revolu»~o o ca Quando rotacionamos uma regi~o do plano xy em torno do eixo x ou do eixo y, real- a izando uma volta completa, o lugar geom¶trico descrito pelos pontos da regi~o ¶ o que e a e chamamos um s¶lido de revolu»~o. o ca Suponhamos que um s¶lido de revolu»~o ¶ obtido rotacionando-se, em torno do o ca e eixo x, uma regi~o plana delimitada pelas curvas y = f (x), y = g(x), e pelas retas a verticais x = a e x = b, sendo f (x) ¸ g(x) para a · x · b. Para cada x 2 [a; b], um plano perpendicular ao eixo x, cortando este no ponto x, determina no s¶lido de revolu»~o uma sec»~o transversal. Esta sec»~o transversal ¶ o ca ca ca e obtida pela revolu»~o completa, em torno do eixo x, do segmento vertical Ax Bx , sendo ca Ax = (x; g(x)) e Bx = (x; f(x)). Veja ¯gura 20.5 A ¶rea dessa sec»~o transversal ser¶ nada mais que a ¶rea de uma regi~o plana a ca a a a ³rculos conc^ntricos de centro (x; 0), sendo um menor, de raio compreendida entre dois c¶ e g(x), e outro maior, de raio f (x). Como a ¶rea de um c¶ a ³rculo de raio r ¶ ¼r2 , temos e que a ¶rea A(x), da sec»~o transversal do s¶lido de revolu»~o, ¶ dada por a ca o ca e A(x) = ¼[f (x)]2 ¡ ¼[g(x)]2 y y = f(x) BX f(x) y = g(x) AX g(x) a x b x x x 180° Figura 20.5. Portanto, o volume do s¶lido de revolu»~o ser¶ o ca a Z b Z b V = A(x) dx = (¼[f(x)]2 ¡ ¼[g(x)]2 ) dx a a Se a regi~o plana for delimitada pelo gr¶¯co de y = f (x), pelo eixo x, e pelas a a retas x = a e x = b, teremos g(x) = 0, e ent~o a Z b V = ¼[f (x)]2 dx a
  • 7. »~ Aplicacoes selecionadas da integral definida 186 Exemplo 20.4 Calcule o volume de uma esfera de raio a. A esfera de raio a pode ser interpretada como o s¶lido obtido pela revolu»~o da regi~o o ca a 2 2 2 semi-circular x + y · a , y ¸ 0, em torno do eixo x. Uma tal regi~o ¶ delimitada p a e p pelas curvas y = a2 ¡ x2 , e y = 0, com ¡a · x · a. Assim, aqui, f (x) = a2 ¡ x2 e g(x) = 0, sendo ent~o a dV = A(x) dx = ¼[f(x)]2 dx = ¼(a2 ¡ x2 ) dx o elemento de volume a integrar. Portanto, Z a · ¸a µ ¶ µ ¶ 2 2 2 x3 3 a3 3 a3 4 V = ¼(a ¡ x ) dx = ¼ a x ¡ =¼ a ¡ ¡ ¼ ¡a + = ¼a3 ¡a 3 ¡a 3 3 3 20.4 Comprimento de uma curva a ca ³nua f , para a · x · Consideremos agora a curva y = f (x), gr¶¯co de uma fun»~o cont¶ b. Para calcular o comprimento dessa curva, primeiramente particionamos o intervalo b¡a [a; b] em n sub-intervalos de comprimento ¢x = , atrav¶s de pontos e n a = x0 ; x1 ; : : : ; xn¡1 ; xn = b Em seguida consideramos, no gr¶¯co, os n + 1 pontos correspondentes, a A0 = (x0 ; f(x0 )); A1 = (x1 ; f (x1 )); : : : ; An¡1 = (xn¡1 ; f (xn¡1 )); An = (xn ; f (xn )) A n-1 y y = f(x) ∆s n A n ∆ s2 ∆ s1 A2 A0 A1 ... a x1 x2 xn-1 b x x0 xn Figura 20.6. Sendo ¢si = dist(Ai¡1 ; Ai ), para iP 1; : : : ; n, P = temos que uma aproxima»~o do ca n n comprimento da curva ¶ dada pela soma i=1 ¢si = i=1 dist(Ai¡1 ; Ai ). e
  • 8. »~ Aplicacoes selecionadas da integral definida 187 Agora, p dist(Ai¡1 ; Ai ) =(xi ¡ xi¡1 )2 + (f (xi ) ¡ f (xi¡1 ))2 s µ ¶2 p ¢f = (¢x)2 + (¢f )2 = 1 + ¢ ¢x ¢x Assumindo que f ¶ diferenci¶vel no intervalo [a; b], pelo teorema do valor m¶dio, teorema e a e 15.1, aula 12, ¢f f(xi ) ¡ f(xi¡1 ) = = f 0 (ci ) ¢x xi ¡ xi¡1 para algum ci compreendido entre xi¡1 e xi . Assim, X n Xp n ¢si = 1 + (f 0 (ci ))2 ¢ ¢x i=1 i=1 p Esta ¶ uma soma integral de '(x) = 1 + (f 0 (x))2 , no intervalo [a; b], correspondente e µ subdivis~o a = x0 ; x1 ; : : : ; xn¡1 ; xn = b, com uma escolha" de pontos intermedi¶rios a a a c1 ; c2 ; : : : ; cn . Veja de¯ni»~o µ aula 17. ca a Supondo f 0 (x) cont¶ ³nua no intervalo [a; b], temos ent~o que o comprimento da curva a y = f(x), a · x · b, ¶ dado por e X Xp n Z bp s = lim ¢s = lim 1+ (f 0 (ci ))2 ¢ ¢x = 1 + (f 0 (x))2 dx ¢x!0 ¢x!0 a i=1 A id¶ia intuitiva que d¶ a integral para o comprimento de arco ¶ ilustrada na ¯gura e a e 20.7. Para um elemento in¯nitesimal de comprimento dx, corresponde uma varia»~o ca in¯nitesimal em y, dy. O elemento in¯nitesimal de comprimento de arco, ds, correspon- dente µ varia»~o dx, ¶ dado pelo teorema de Pit¶goras: a ca e a s µ ¶2 p dy p ds = (dx)2 + (dy)2 = 1 + dx = 1 + (f 0 (x))2 dx dx y ds dy dx x Figura 20.7.
  • 9. »~ Aplicacoes selecionadas da integral definida 188 20.5 ¶ Area de uma superf¶ de revolu»~o ³cie ca Consideremos a curva y = f (x), gr¶¯co de uma fun»~o f cont¶ a ca ³nua, a qual assumiremos 0 que tem derivada f tamb¶m cont¶ e ³nua, para a · x · b. Rotacionando-se essa curva em torno do eixo x, obtemos uma superf¶ de revo- ³cie lu»~o. Para o c¶lculo de sua ¶rea, primeiramente particionamos o intervalo [a; b] em n ca a a b¡a sub-intervalos de comprimento ¢x = , atrav¶s de pontos a = x0 , x1 , : : : , xn¡1 , e n xn = b. Tomando-se dois pontos dessa subdivis~o, xi¡1 e xi , consideramos os pontos cor- a respondentes no gr¶¯co de f , Ai¡1 = (xi¡1 ; f (xi¡1 ) e Ai = (xi ; f (xi )). Este procedi- a mento geom¶trico est¶ ilustrado na ¯gura 20.6. e a Rotacionando-se o segmento Ai¡1 Ai em torno do eixo x, obtemos um tronco de cone, de geratriz lateral ¢si = Ai¡1 Ai , sendo f (xi¡1 ) e f (xi ) os raios de sua base e de seu topo. Veja ¯gura 20.8 Ai A i -1 f(x i -1 ) f(x i ) x Figura 20.8. A ¶rea da superf¶ lateral de um tronco de cone, de geratriz lateral ` e raios r e a ³cie R no topo e na base, ¶ dada por ¼(r + R)`. Assim, rotacionando o segmento Ai¡1 Ai , e em torno do eixo x, como acima, a superf¶ resultante ter¶ ¶rea ³cie aa ¢Si = ¼[f(xi¡1 ) + f (xi )] ¢ ¢si e a ¶rea da superf¶ de revolu»~o, da curva y = f (x), a · x · b, em torno do eixo x, a ³cie ca ser¶ dada por a X S = lim ¢x ! 0 ¢Si Agora, como argumentado na se»~o anterior (con¯ra), ca p ¢si = Ai¡1 Ai = 1 + [f 0 (ci )]2 ¢x
  • 10. »~ Aplicacoes selecionadas da integral definida 189 para algum ci entre xi¡1 e xi . Assim sendo, ¢Si = ¼[f(xi¡1 ) + f (xi )] ¢ ¢si p = ¼[f(xi¡1 ) + f (xi )] ¢ 1 + [f 0 (ci )]2 ¢x Assim, X S = lim ¢Si ¢x!0 X = lim ¼[f(xi¡1 ) + f (xi )] ¢ ¢si ¢x!0 X p = lim ¼[f(xi¡1 ) + f (xi )] ¢ 1 + [f 0 (ci )]2 ¢x ¢x!0 E pode ser mostrado que este ¶ltimo limite ¶ igual a u e X p Z b p lim 2¼f (ci ) ¢ 1 + [f i 0 (c )]2 ¢x = 2¼f (x) 1 + (f 0 (x))2 dx ¢x!0 a Assim, a ¶rea da superf¶ de revolu»~o resultante ¶ dada por a ³cie ca e Rb p S= a 2¼f (x) 1 + (f 0 (x))2 dx 20.6 Centro de gravidade de uma ¯gura plana Se temos, em um plano ou no espa»o n pontos P1 ; P2 ; : : : ; Pn , tendo massas m1 ; m2 ; c ¹ : : : ; mn , respectivamente, o centro de massa P , do sistema de n pontos, ¶ dado por e Pn i=1 mi Pi P = Pn ¹ i=1 mi ¹ ou seja, P = (¹; y ), sendo x ¹ Pn Pn i=1 mi xi i=1 mi yi x = Pn ¹ e y = Pn ¹ i=1 mi i=1 mi Consideremos uma regi~o plana, delimitada pelos gr¶¯cos das fun»~es cont¶ a a co ³nuas y = f (x) e y = g(x), e pelas retas verticais x = a e x = b, sendo f (x) ¸ g(x) para a · x · b. Olhando essa regi~o como uma placa plana, de espessura desprez¶ a ³vel, suponhamos que ela possui densidade super¯cial (massa por unidade de ¶rea) ± constante. a Particionando-se o intervalo [a; b], em intervalos de comprimento ¢x = b¡a , n atrav¶s dos pontos x0 = a; x1 ; : : : ; xn = b, aproximamos essa regi~o por uma reuni~o e a a de ret^ngulos, como na ¯gura 20.9, sendo cada ret^ngulo de altura f (x) ¡ g(x) e base a a ¢x, sendo aqui x o ponto m¶dio do intervalo [xi¡1 ; xi ]. e
  • 11. »~ Aplicacoes selecionadas da integral definida 190 y y = f(x) ∆ A = [f(x) - g(x)] ∆ x Px x i -1 xi a x b x ∆x y = g(x) Figura 20.9. Esse ret^ngulo elementar tem ¶rea ¢A = (f (x) ¡ g(x))¢x, seu centro de massa a ³ ´ a f (x)+g(x) ¶ o ponto Px = x; e 2 , sendo sua massa dada por ¢m = ± ¢ ¢A = ±(f (x) ¡ g(x))¢x O centro de massa da reuni~o de todos esses ret^ngulos elementares coincide com a a o centro de massa dos pontos Px , atribuindo-se a cada ponto a massa ¢m do seu ret^ngulo. a Assim, uma aproxima»~o do centro de massa da regi~o plana considerada, o centro ca a de massa dos v¶rios ret^ngulos elementares, ¶ dada por a a e P P P ^ = P ¢ Px = P¢ ¢A ¢ Px = P ¢ Px P ¢m ± ¢A ¢m ± ¢ ¢A ¢A Agora, µ ¶ f(x) + g(x) ¢A ¢ Px = ¢A ¢ x; 2 µ ¶ f (x) + g(x) = (f (x) ¡ g(x))¢x ¢ x; 2 µ ¶ f(x) + g(x) = x(f(x) ¡ g(x))¢x; (f (x) ¡ g(x)) ¢ ¢x 2 µ ¶ 1 2 2 = x(f(x) ¡ g(x))¢x; ([f (x)] ¡ [g(x)] ) ¢ ¢x 2 ¹ Finalmente, o centro de massa P da regi~o plana considerada, ser¶ dado por a a P ¢A ¢ Px P = lim P = lim P ¹ ^ ¢x!0 ¢x!0 ¢A ^ ¹ Portanto, passando ao limite, nas duas coordenadas de P , chegamos a P = (¹; y ), x ¹ sendo
  • 12. »~ Aplicacoes selecionadas da integral definida 191 Rb Rb1 a x(f (x) ¡ g(x)) dx a 2 ([f (x)]2 ¡ [g(x)]2 ) dx x = Rb ¹ y= ¹ Rb a (f (x) ¡ g(x)) dx a (f (x) ¡ g(x)) dx 20.7 Problemas ¶ Areas de regi~es planas o 1. Calcule a ¶rea delimitada pelas curvas y 2 = 9x e y = 3x. Resposta. 1=2. a 2. Calcule a ¶rea delimitada pelas curvas xy = a2 , x = a, y = 2a (a > 0) e o eixo a x. Resposta. a2 ln 2. 3. Calcule a ¶rea delimitada pela curva y = x3 , pela reta y = 8 e pelo eixo y. a Resposta. 12. 4. Calcule a ¶rea total delimitada pelas curvas y = x3 , y = 2x e y = x. Resposta. a 3=2. 2 2 5. Calcule a ¶rea delimitada pela elipse x2 + y2 = 1. Resposta. ¼ab. a a b b p Sugest~o. A ¶rea ¶ delimitada pelos gr¶¯cos de fun»oes y = § a a2 ¡ x2 , com a a e a c~ ¡a · x · a. Fa»a a substitui»~o x = a sen t. Na integral resultante, use a c ca f¶rmula de redu»~o de pot^ncias cos2 a = 1+cos 2a . o ca e 2 6. Calcule a ¶rea delimitada pela curva fechada (hipocicl¶ide) x2=3 + y 2=3 = a2=3 . a o 3 2 Resposta. 8 ¼a . p Sugest~o. A ¶rea ¶ delimitada pelos gr¶¯cos de fun»~es y = § a2=3 ¡ x2=3 , com a a e a co ¡a · x · a. Fa»a a substitui»~o x = a sen3 µ, com ¡¼=2 · µ · ¼=2. Na c ca 1 + cos 2a integral resultante, use as f¶rmulas de redu»~o de pot^ncias cos2 a = o ca e , 2 1 ¡ cos 2a sen2 a = . 2 Valor m¶dio de uma fun»~o cont¶ e ca ³nua Determinar o valor m¶dio da fun»~o dada, no intervalo especi¯cado. e ca 1. f (x) = x2 , a · x · b. Resposta. f = 1 (a2 + ab + b2 ). ¹ 3 p p 2(a+b+ ab) 2. f (x) = x, a · x · b (0 · a < b). Resposta. p p . 3( a+ b) 3. f (x) = cos2 x, 0 · x · ¼=2. Resposta. 1=2.
  • 13. »~ Aplicacoes selecionadas da integral definida 192 Volumes de s¶lidos o Em cada problema, calcule o volume do s¶lido obtido por revolu»~o, conforme descrito. o ca x2 y 2 1. A elipse + 2 = 1 gira em torno do eixo x. Resposta. 1 ¼ab2 . 3 a2 b 2. O segmento de reta da origem (0; 0) ao ponto (a; b) gira ao redor do eixo x, obtendo-se assim um cone. Resposta. 1 ¼a2 b. 3 3. A regi~o plana delimitada pela a hipocicl¶ide x2=3 + y 2=3 = a2=3 gira o y a ao redor do eixo x. Resposta. 32¼a3 =105. 2/3 2/3 2/3 x + y =a -a 0 a x -a 4. O arco de sen¶ide y = sen x, 0 · x · ¼, gira em torno do eixo x. Resposta. o 2 ¼ =2. 5. A regi~o delimitada pela par¶bola y 2 = 4x, pela reta x = 4 e pelo eixo x, gira em a a torno do eixo x. Resposta. 32¼. Comprimentos de curvas Calcule os comprimentos das curvas descritas abaixo. 1. Hipocicl¶ide (veja ¯gura) x2=3 + y 2=3 = a2=3 . Resposta. 6a. o 1 p x3=2 , 2. y = a de x = 0 a x = 5a. Resposta. 335a=27. p p 3. y = ln x, de x = 3 a x = 8. Resposta. 1 + 1 ln 3 . 2 2 4. y = 1 ¡ ln(cos x), de x = 0 a x = ¼=4. Resposta. ln tg 3¼ . 8
  • 14. »~ Aplicacoes selecionadas da integral definida 193 ¶ Areas de superf¶ ³cies de revolu»~o ca Em cada problema, calcule a ¶rea da superf¶ obtida por revolu»~o da curva dada em a ³cie ca torno do eixo especi¯cado. 56 1. y 2 = 4ax, 0 · x · 3a, rotacionada em torno do eixo x. Resposta. 3 ¼a2 . 2. y = 2x, 0 · x · 2, (a) rotacionada em torno do eixo x (b) rotacionada em torno do eixo y. p p Respostas. (a) 8¼ 5 (b) 4¼ 5. 3. y = sen x, 0 · x · ¼, p p rotacionada em torno do eixo x. Resposta. 4¼[ 2 + ln( 2 + 1)]. Centro de massa (ou de gravidade) de uma regi~o plana a Determine as coordenadas do centro de gravidade da regi~o plana especi¯cada. a 2 x2 1. Regi~o no primeiro ¡ a quadrante, delimitada pela elipse ¢ a2 + y2 = 1 (x ¸ 0, y ¸ 0). b 4a 4b Resposta. (¹; y ) = 3¼ ; 3¼ . x ¹ x2 2. Area delimitada pela curva y = 4 ¡ ¶ 4 e o eixo x. Resposta.(¹; y ) = (0; 8=5). x ¹ 3. Area delimitada pela par¶bola y 2 = ax e pela reta x = a. Resposta. (¹; y ) = ¶ a x ¹ (3a=5; 0).