Este documento apresenta conceitos básicos da teoria das probabilidades, incluindo:
1) Definições de experiência, espaço amostral e acontecimento;
2) Cálculo da probabilidade de acordo com os conceitos clássico e estatístico;
3) Leis básicas para cálculo da probabilidade de eventos simples e compostos.
Este documento discute conceitos básicos de probabilidade, incluindo: 1) probabilidade como uma medida da chance de um evento ocorrer, 2) espaço amostral e eventos, e 3) a fórmula de Laplace para calcular probabilidades.
1. O documento introduz conceitos fundamentais de probabilidade e estatística, incluindo espaço amostral, eventos, probabilidade clássica, frequência relativa e independência.
2. É apresentada a história do desenvolvimento da teoria das probabilidades desde os séculos XVII-XIX.
3. Conceitos como experimento probabilístico, evento, ponto amostral, eventos especiais como impossível e certo são definidos.
1) O documento discute noções intuitivas de limites em funções matemáticas e sucessões numéricas. 2) Apresenta exemplos de cálculo de limites à direita e esquerda graficamente. 3) Discutem definições formais de limites e propriedades dos mesmos.
1) O documento apresenta 10 exercícios resolvidos de probabilidade que envolvem situações como: extração de bolas de urnas com diferentes cores, lançamento de dados, sexo de filhos em famílias, probabilidade de cura de doenças em animais, entre outros. As soluções calculam as probabilidades de eventos simples e compostos usando a definição formal de probabilidade.
O documento discute conceitos básicos sobre polinômios, incluindo: 1) monômios e polinômios são expressões algébricas formadas por termos; 2) o grau de um polinômio é dado pelo maior expoente de um termo; 3) operações como adição, subtração e multiplicação de polinômios.
Este documento discute distribuições de probabilidade discretas, incluindo a distribuição binomial, Poisson e hipergeométrica. Apresenta exemplos e fórmulas para calcular probabilidades nestas distribuições.
O documento explica a distribuição binomial, que calcula a probabilidade de obter um certo número de sucessos em uma série de experimentos independentes. Ele fornece exemplos de como calcular essas probabilidades para situações como lançar uma moeda ou jogos de futebol.
Este documento discute conceitos básicos de probabilidade, incluindo: 1) probabilidade como uma medida da chance de um evento ocorrer, 2) espaço amostral e eventos, e 3) a fórmula de Laplace para calcular probabilidades.
1. O documento introduz conceitos fundamentais de probabilidade e estatística, incluindo espaço amostral, eventos, probabilidade clássica, frequência relativa e independência.
2. É apresentada a história do desenvolvimento da teoria das probabilidades desde os séculos XVII-XIX.
3. Conceitos como experimento probabilístico, evento, ponto amostral, eventos especiais como impossível e certo são definidos.
1) O documento discute noções intuitivas de limites em funções matemáticas e sucessões numéricas. 2) Apresenta exemplos de cálculo de limites à direita e esquerda graficamente. 3) Discutem definições formais de limites e propriedades dos mesmos.
1) O documento apresenta 10 exercícios resolvidos de probabilidade que envolvem situações como: extração de bolas de urnas com diferentes cores, lançamento de dados, sexo de filhos em famílias, probabilidade de cura de doenças em animais, entre outros. As soluções calculam as probabilidades de eventos simples e compostos usando a definição formal de probabilidade.
O documento discute conceitos básicos sobre polinômios, incluindo: 1) monômios e polinômios são expressões algébricas formadas por termos; 2) o grau de um polinômio é dado pelo maior expoente de um termo; 3) operações como adição, subtração e multiplicação de polinômios.
Este documento discute distribuições de probabilidade discretas, incluindo a distribuição binomial, Poisson e hipergeométrica. Apresenta exemplos e fórmulas para calcular probabilidades nestas distribuições.
O documento explica a distribuição binomial, que calcula a probabilidade de obter um certo número de sucessos em uma série de experimentos independentes. Ele fornece exemplos de como calcular essas probabilidades para situações como lançar uma moeda ou jogos de futebol.
1) O documento introduz conceitos básicos de probabilidade como espaço amostral, eventos elementares e compostos, e cálculo de probabilidades.
2) É apresentado o método de Laplace para calcular probabilidades através da razão entre casos favoráveis e casos possíveis.
3) São fornecidos exemplos de cálculo de probabilidades para lançamento de dados, moedas e outros experimentos aleatórios.
O documento discute os conceitos de volume de prismas retos, definindo suas características e como calcular o volume de acordo com a forma da base, seja ela triangular, quadrangular, pentagonal ou hexagonal. É explicado que o volume é dado pelo produto da área da base pela altura. Exemplos ilustram o cálculo do volume para diferentes tipos de bases.
P(A|F1) = 0,2, P(A|F2) = 0,05 e P(A|F3) = 0,02. F1, F2 e F3 formam uma partição do espaço amostral. Usando o Teorema de Bayes, calcula-se P(F1|A) = 0,4, ou seja, há 40% de chances da amostra adulterada ter vindo da fazenda F1.
Este documento apresenta uma aula sobre probabilidade. Ele introduz os conceitos básicos de probabilidade, incluindo experimentos aleatórios, espaço amostral, eventos, probabilidade de um evento, soma de probabilidades e probabilidade de eventos independentes. Exemplos ilustram cada um desses conceitos e exercícios são resolvidos para reforçar a compreensão.
Este documento apresenta uma introdução aos limites e continuidade de funções. Explica conceitos como limites laterais, limites numéricos e a definição formal de limite. Também discute a noção intuitiva de limite e quando uma função é contínua.
1) O documento discute associações de resistores em série e paralelo e como calcular a resistência equivalente em cada caso.
2) É apresentado como medir a tensão e corrente em cada resistor de uma associação em série.
3) São descritos instrumentos como amperímetro e voltímetro para medir corrente e tensão em circuitos elétricos.
O documento descreve funções logarítmicas cuja forma é f(x) = logax, com a > 0 e a ≠ 1. Explica que o domínio é R+ e o contradomínio é R. Apresenta exemplos e características do gráfico, mostrando que a função logarítmica é inversa da exponencial. Por fim, explica aplicações em economia, sismologia e astronomia.
1) A teoria das probabilidades surgiu no século XVII a partir de problemas relacionados a jogos de azar, sendo desenvolvida por matemáticos como Pascal e Fermat.
2) Experiências podem ser deterministas, com resultado previsível, ou aleatórias, com resultado imprevisível dependendo do acaso.
3) A teoria das probabilidades mede a chance de um evento ocorrer, considerando o espaço amostral de resultados possíveis e os casos favoráveis a cada evento.
O documento apresenta conceitos básicos de estatística e probabilidade, incluindo média, mediana, moda, probabilidade, eventos dependentes e independentes. Discute como calcular a probabilidade de eventos e introduz os conceitos de probabilidade condicional e reversa.
O documento descreve conceitos fundamentais sobre limites de funções reais de variável real, incluindo:
1) Definição de limite segundo Heine e pontos aderentes;
2) Operações com limites finitos e infinitos;
3) Limites laterais e no infinito.
O documento descreve operações com conjuntos como união, interseção, diferença e complemento. Explica como obter novos conjuntos a partir de dois ou mais conjuntos originais e fornece exemplos para ilustrar cada operação.
O documento discute a história e conceitos fundamentais de probabilidade e estatística, começando com Cardano no século 16 e progrendindo através de contribuições de Fermat, Pascal, Laplace, Gauss e Kolmogorov. Explica como a teoria das probabilidades mede a chance de um evento ocorrer e fornece exemplos de como calcular probabilidades.
Este documento explica o que são inequações e como resolvê-las. Uma inequação expressa desigualdades ao invés de igualdades e usa símbolos como >, <, ≥ e ≤. Para resolver uma inequação, aplicamos os mesmos passos de uma equação e o conjunto solução contém todos os valores da variável que satisfazem a desigualdade.
Este documento discute a teoria geral das probabilidades, incluindo uma definição, como é calculada usando a fórmula P(A)= casos favoráveis/casos possíveis, e a história do desenvolvimento da teoria através de figuras importantes como Pascal, Fermat e Laplace.
O documento discute princípios de contagem como multiplicação, adição, inclusão e exclusão e casas de pombo. O princípio da multiplicação é usado para contar resultados de eventos sequenciais. O princípio da adição conta resultados de eventos disjuntos. O princípio de inclusão e exclusão determina o tamanho da união de conjuntos. O princípio das casas de pombo encontra o número mínimo de elementos com propriedades compartilhadas.
1) O documento apresenta conceitos sobre polinômios como classificação, operações e propriedades.
2) São definidos termos como monômio, binômio, trinômio, polinômio, grau, coeficiente e variável.
3) São explicados procedimentos para realizar operações como adição, subtração, multiplicação e divisão com polinômios.
O documento discute a conservação da energia mecânica em sistemas onde atuam apenas forças conservativas. Explica que a energia potencial gravitacional é convertida em energia cinética e vice-versa, e que a soma da energia cinética e potencial é constante nesses sistemas. Apresenta também exercícios sobre a aplicação desses conceitos a objetos em movimento sob a ação da gravidade.
O documento apresenta três situações envolvendo expressões algébricas. Na primeira, calcula-se a área de uma figura. Na segunda, calcula-se o perímetro de um terreno retangular. Na terceira, representa-se algebraicamente o troco que restou para uma pessoa após comprar sorvetes.
Triângulo de Pascal: Exercícios resolvidosnumerosnamente
1. O documento apresenta 24 exercícios resolvidos sobre o triângulo de Pascal.
2. Os exercícios envolvem identificar elementos específicos de linhas do triângulo a partir de informações fornecidas, como a soma de elementos ou a probabilidade de escolha de elementos.
3. As resoluções demonstram propriedades matemáticas do triângulo de Pascal, como a igualdade entre elementos simétricos e a relação entre elementos de linhas consecutivas.
O documento discute conceitos probabilísticos e atividades para desenvolver o raciocínio sobre probabilidade em alunos do 3o ano. As atividades envolvem experimentos com objetos como feijões, copos e dados para que os alunos possam comparar previsões com resultados reais e desenvolver o vocabulário de probabilidade.
1) O documento discute conceitos básicos de probabilidade, incluindo notações de conjuntos, experiências determinísticas versus aleatórias, acontecimentos, e definições de probabilidade.
2) É introduzida a noção de frequência relativa e como esta se estabiliza em torno da probabilidade de um evento com repetições.
3) A lei de Laplace é mencionada no contexto de acontecimentos elementares equiprováveis.
1) O documento introduz conceitos básicos de probabilidade como espaço amostral, eventos elementares e compostos, e cálculo de probabilidades.
2) É apresentado o método de Laplace para calcular probabilidades através da razão entre casos favoráveis e casos possíveis.
3) São fornecidos exemplos de cálculo de probabilidades para lançamento de dados, moedas e outros experimentos aleatórios.
O documento discute os conceitos de volume de prismas retos, definindo suas características e como calcular o volume de acordo com a forma da base, seja ela triangular, quadrangular, pentagonal ou hexagonal. É explicado que o volume é dado pelo produto da área da base pela altura. Exemplos ilustram o cálculo do volume para diferentes tipos de bases.
P(A|F1) = 0,2, P(A|F2) = 0,05 e P(A|F3) = 0,02. F1, F2 e F3 formam uma partição do espaço amostral. Usando o Teorema de Bayes, calcula-se P(F1|A) = 0,4, ou seja, há 40% de chances da amostra adulterada ter vindo da fazenda F1.
Este documento apresenta uma aula sobre probabilidade. Ele introduz os conceitos básicos de probabilidade, incluindo experimentos aleatórios, espaço amostral, eventos, probabilidade de um evento, soma de probabilidades e probabilidade de eventos independentes. Exemplos ilustram cada um desses conceitos e exercícios são resolvidos para reforçar a compreensão.
Este documento apresenta uma introdução aos limites e continuidade de funções. Explica conceitos como limites laterais, limites numéricos e a definição formal de limite. Também discute a noção intuitiva de limite e quando uma função é contínua.
1) O documento discute associações de resistores em série e paralelo e como calcular a resistência equivalente em cada caso.
2) É apresentado como medir a tensão e corrente em cada resistor de uma associação em série.
3) São descritos instrumentos como amperímetro e voltímetro para medir corrente e tensão em circuitos elétricos.
O documento descreve funções logarítmicas cuja forma é f(x) = logax, com a > 0 e a ≠ 1. Explica que o domínio é R+ e o contradomínio é R. Apresenta exemplos e características do gráfico, mostrando que a função logarítmica é inversa da exponencial. Por fim, explica aplicações em economia, sismologia e astronomia.
1) A teoria das probabilidades surgiu no século XVII a partir de problemas relacionados a jogos de azar, sendo desenvolvida por matemáticos como Pascal e Fermat.
2) Experiências podem ser deterministas, com resultado previsível, ou aleatórias, com resultado imprevisível dependendo do acaso.
3) A teoria das probabilidades mede a chance de um evento ocorrer, considerando o espaço amostral de resultados possíveis e os casos favoráveis a cada evento.
O documento apresenta conceitos básicos de estatística e probabilidade, incluindo média, mediana, moda, probabilidade, eventos dependentes e independentes. Discute como calcular a probabilidade de eventos e introduz os conceitos de probabilidade condicional e reversa.
O documento descreve conceitos fundamentais sobre limites de funções reais de variável real, incluindo:
1) Definição de limite segundo Heine e pontos aderentes;
2) Operações com limites finitos e infinitos;
3) Limites laterais e no infinito.
O documento descreve operações com conjuntos como união, interseção, diferença e complemento. Explica como obter novos conjuntos a partir de dois ou mais conjuntos originais e fornece exemplos para ilustrar cada operação.
O documento discute a história e conceitos fundamentais de probabilidade e estatística, começando com Cardano no século 16 e progrendindo através de contribuições de Fermat, Pascal, Laplace, Gauss e Kolmogorov. Explica como a teoria das probabilidades mede a chance de um evento ocorrer e fornece exemplos de como calcular probabilidades.
Este documento explica o que são inequações e como resolvê-las. Uma inequação expressa desigualdades ao invés de igualdades e usa símbolos como >, <, ≥ e ≤. Para resolver uma inequação, aplicamos os mesmos passos de uma equação e o conjunto solução contém todos os valores da variável que satisfazem a desigualdade.
Este documento discute a teoria geral das probabilidades, incluindo uma definição, como é calculada usando a fórmula P(A)= casos favoráveis/casos possíveis, e a história do desenvolvimento da teoria através de figuras importantes como Pascal, Fermat e Laplace.
O documento discute princípios de contagem como multiplicação, adição, inclusão e exclusão e casas de pombo. O princípio da multiplicação é usado para contar resultados de eventos sequenciais. O princípio da adição conta resultados de eventos disjuntos. O princípio de inclusão e exclusão determina o tamanho da união de conjuntos. O princípio das casas de pombo encontra o número mínimo de elementos com propriedades compartilhadas.
1) O documento apresenta conceitos sobre polinômios como classificação, operações e propriedades.
2) São definidos termos como monômio, binômio, trinômio, polinômio, grau, coeficiente e variável.
3) São explicados procedimentos para realizar operações como adição, subtração, multiplicação e divisão com polinômios.
O documento discute a conservação da energia mecânica em sistemas onde atuam apenas forças conservativas. Explica que a energia potencial gravitacional é convertida em energia cinética e vice-versa, e que a soma da energia cinética e potencial é constante nesses sistemas. Apresenta também exercícios sobre a aplicação desses conceitos a objetos em movimento sob a ação da gravidade.
O documento apresenta três situações envolvendo expressões algébricas. Na primeira, calcula-se a área de uma figura. Na segunda, calcula-se o perímetro de um terreno retangular. Na terceira, representa-se algebraicamente o troco que restou para uma pessoa após comprar sorvetes.
Triângulo de Pascal: Exercícios resolvidosnumerosnamente
1. O documento apresenta 24 exercícios resolvidos sobre o triângulo de Pascal.
2. Os exercícios envolvem identificar elementos específicos de linhas do triângulo a partir de informações fornecidas, como a soma de elementos ou a probabilidade de escolha de elementos.
3. As resoluções demonstram propriedades matemáticas do triângulo de Pascal, como a igualdade entre elementos simétricos e a relação entre elementos de linhas consecutivas.
O documento discute conceitos probabilísticos e atividades para desenvolver o raciocínio sobre probabilidade em alunos do 3o ano. As atividades envolvem experimentos com objetos como feijões, copos e dados para que os alunos possam comparar previsões com resultados reais e desenvolver o vocabulário de probabilidade.
1) O documento discute conceitos básicos de probabilidade, incluindo notações de conjuntos, experiências determinísticas versus aleatórias, acontecimentos, e definições de probabilidade.
2) É introduzida a noção de frequência relativa e como esta se estabiliza em torno da probabilidade de um evento com repetições.
3) A lei de Laplace é mencionada no contexto de acontecimentos elementares equiprováveis.
A probabilidade teve origem no século XVII devido à curiosidade de um cavaleiro francês sobre os jogos de azar. Matemáticos como Pascal, Fermat, Huygens e outros deram contribuições importantes para o desenvolvimento da probabilidade como uma ciência. Ao longo dos séculos, a probabilidade foi aplicada em diversas áreas como estatística, biologia, economia e engenharia.
O documento discute probabilidades e fornece exemplos de conceitos básicos como espaço amostral, acontecimentos, tipos de acontecimentos, a lei de Laplace e formas de representar probabilidades como tabelas de dupla entrada, diagramas de árvore e diagramas de Venn.
1) A teoria da probabilidade começou no século 17 com discussões entre Pascal e Fermat sobre jogos de azar.
2) A probabilidade tem aplicações em diversas áreas como programação, astrofísica e previsão do tempo.
3) O conceito de probabilidade é ilustrado através de exemplos como o lançamento de uma moeda ou retirada de bolas de uma urna.
O documento discute os conceitos básicos de probabilidade, incluindo experiências aleatórias versus deterministas, espaço amostral, tipos de eventos, a lei de Laplace para calcular probabilidades e alguns esquemas auxiliares para contagem como tabelas de dupla entrada e diagramas de árvore e Venn.
1) O documento discute a história da teoria das probabilidades e seu uso em jogos de azar, experimentos aleatórios e espaço amostral.
2) Experimentos aleatórios são aqueles que podem ter resultados diferentes sob condições iguais, enquanto o espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis.
3) O texto fornece exemplos de cálculo de probabilidades em jogos de dados e moedas, e desafios para o leitor praticar esses cálculos.
O documento discute probabilidades, definindo conceitos como experimento, evento, evento simples e espaço amostral. Explica que probabilidade é o número de casos favoráveis dividido pelo número total de casos possíveis. Apresenta exemplos de cálculo de probabilidades usando esses conceitos.
O documento apresenta conceitos básicos da teoria da probabilidade, incluindo:
1) Define probabilidade como uma medida quantitativa das chances de um evento ocorrer;
2) Explica experimentos aleatórios, espaço amostral e eventos;
3) Apresenta os axiomas e propriedades da probabilidade de acordo com a definição de Kolmogorov.
O documento discute conceitos básicos de probabilidade e estatística, incluindo: 1) Experiências aleatórias, cujos resultados não podem ser previstos, em oposição a experiências deterministas; 2) Conjunto de resultados ou espaço amostral, que contém todos os resultados possíveis de uma experiência; 3) Acontecimentos, que são subconjuntos do espaço amostral e podem ser elementares, compostos, certos ou impossíveis.
1) O documento discute conceitos básicos de probabilidade como eventos, eventos mutuamente exclusivos, eventos complementares e suas aplicações em exemplos práticos.
2) É apresentada a definição formal de eventos e como classificá-los em conjuntos, subconjuntos e conjuntos vazios, bem como a representação de eventos em árvores.
3) A regra da soma e do produto para probabilidade de eventos é explicada, assim como como calcular a probabilidade de eventos complementares e mutuamente exclusivos.
Este documento fornece uma introdução à teoria elementar de probabilidades. Discute conceitos básicos como espaço amostral, eventos, probabilidade, operações com eventos e axiomas da probabilidade. Explica como calcular a probabilidade de eventos simples em experimentos aleatórios como lançar dados e retirar cartas de um baralho.
O documento discute probabilidades e conceitos básicos como experimentos aleatórios, espaço amostral, pontos amostrais e eventos. Explica como calcular a probabilidade de um evento, dividindo o número de resultados favoráveis pelo número total de resultados possíveis. Fornece exemplos como a probabilidade de tirar cara em uma moeda ou número 4 em um dado.
O documento apresenta conceitos básicos de teoria dos conjuntos e probabilidade, incluindo:
1) Definição de espaço amostral como o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório e evento como qualquer subconjunto do espaço amostral;
2) Noções de probabilidade de um evento, eventos certos, impossíveis, complementares e mutuamente excludentes;
3) Introdução à noção de probabilidade conjunta e probabilidade condicional.
O documento discute os conceitos básicos de probabilidade, incluindo experimentos aleatórios, espaço amostral, eventos, probabilidade de eventos, operações com eventos como união e interseção, e exemplos numéricos de cálculo de probabilidades.
1) O documento apresenta conceitos fundamentais da teoria da probabilidade, incluindo definição de probabilidade de Laplace, probabilidade condicional e independência de eventos.
2) Exemplos ilustram como calcular probabilidades usando a definição de Laplace e como a informação adicional pode alterar as probabilidades condicionais.
3) O conceito de independência é explicado e distinguido de eventos disjuntos através de um exemplo sobre máquinas em uma fábrica.
1) O documento apresenta conceitos fundamentais da teoria da probabilidade, incluindo definição de probabilidade de Laplace, probabilidade condicional e independência de eventos.
2) Exemplos ilustram como calcular probabilidades usando a definição de Laplace e como a informação adicional pode alterar as probabilidades condicionais.
3) O conceito de independência é explicado e distinguido de eventos disjuntos, com um exemplo mostrando o uso de árvores de probabilidade.
1) O capítulo discute distribuições de probabilidade para variáveis discretas e contínuas.
2) Distribuições de probabilidade atribuem probabilidades aos valores ou intervalos de valores de uma variável aleatória.
3) Algumas distribuições como binomial, hipergeométrica, normal e exponencial surgem com mais frequência em modelos estocásticos do mundo real.
Capitulo 09 CONCEITOS E PROBABILIDADES ESTATÍSTICOSRonaldoMagalhes10
O documento descreve o capítulo 9 de um livro sobre estatística. O capítulo introduz os conceitos básicos de probabilidade, incluindo espaço amostral, eventos, probabilidade de eventos, eventos complementares, eventos independentes e eventos mutuamente exclusivos.
Este documento introduz os conceitos fundamentais de probabilidade e estatística, incluindo: (1) experimentos aleatórios e seus espaços amostrais, (2) definição de eventos e cálculo de probabilidades, (3) eventos mutuamente exclusivos, complementares e independentes. Exemplos ilustram esses conceitos-chave.
Probabilidade um curso introdutório dantasAngelica Alves
1) O documento discute conceitos básicos de probabilidade, incluindo experimentos aleatórios, espaço amostral e eventos. 2) É apresentada a definição clássica de probabilidade baseada no conceito de eventos igualmente possíveis. 3) Diferentes abordagens para definir probabilidade são discutidas, incluindo definições clássica, freqüentista e subjetiva.
O documento discute probabilidade em espaços amostrais equiprováveis. Explica que a probabilidade de um evento é a razão entre o número de elementos do evento e o número total de elementos do espaço amostral. Fornece exemplos como lançar um dado e lançar uma moeda e um dado simultaneamente, calculando probabilidades de diferentes eventos nesses casos.
1) O documento descreve os conceitos básicos de probabilidade física, incluindo espaço amostral e eventos.
2) É apresentado um exemplo de distribuição de bolinhas em caixas para ilustrar esses conceitos.
3) Os axiomas de Kolmogorov estabelecem propriedades fundamentais que devem ser obedecidas por qualquer medida de probabilidade.
O documento descreve experimentos aleatórios e conceitos probabilísticos básicos como espaço amostral, eventos, probabilidade, probabilidade condicional e independência. É apresentado um exemplo numérico sobre distribuição de sexo e alfabetização para ilustrar cálculos de probabilidade.
1) O documento discute conceitos básicos de probabilidade, incluindo espaço amostral, eventos e cálculo de probabilidades. 2) Apresenta exemplos de espaços amostrais e eventos em lançamentos de dados e retiradas aleatórias de bolas de urnas. 3) Explica propriedades da probabilidade de eventos e introduz o conceito de probabilidade condicional.
1) O documento discute conceitos básicos de probabilidade, incluindo espaço amostral, eventos e cálculo de probabilidades. 2) Apresenta exemplos de espaços amostrais e eventos em lançamentos de dados e retiradas aleatórias de bolas de urnas. 3) Explica propriedades da probabilidade de eventos e introduz o conceito de probabilidade condicional.
Este documento descreve um experimento para medir os coeficientes de atrito estático e cinético entre diferentes materiais. Os estudantes medirão o ângulo crítico necessário para iniciar o movimento de um corpo sobre um plano inclinado para determinar o coeficiente de atrito estático. Eles também medirão o tempo que um corpo leva para percorrer distâncias fixas sobre o plano para calcular a aceleração e determinar o coeficiente de atrito cinético. Os resultados serão usados para comparar os coeficientes de atrito estático e ciné
1) O documento descreve um experimento para estudar o movimento uniformemente acelerado medindo o tempo que um objeto leva para deslizar em uma mesa de ar e determinar o valor da aceleração da gravidade.
2) O experimento envolve largar discos em uma mesa inclinada e cronometrar o tempo que eles levam para percorrer distâncias fixas, permitindo calcular a aceleração e relacioná-la à gravidade.
3) Os resultados experimentais são analisados estatisticamente e por meio de gráficos para verificar se seg
Este documento apresenta a resolução de 49 problemas de física relacionados às leis de Newton. Os problemas abordam conceitos como força, aceleração, peso e equilíbrio de forças em diferentes situações como objetos puxados por cordas, caixotes subindo rampas e balões sob aceleração. As soluções fornecem cálculos detalhados usando as leis de Newton e a aplicação de forças para chegar às respostas numéricas requeridas nos problemas.
1. O documento apresenta uma lista de exercícios de física sobre forças e movimento, incluindo forças de atrito estático e cinético em diferentes situações.
2. As questões envolvem cálculos de aceleração, força resultante, força de atrito e coeficiente de atrito em situações como blocos em movimento sobre planos inclinados e horizontais, corpos sendo puxados por forças.
3. São fornecidos dados como massa, ângulo de inclinação, coeficientes de atrito e intensidade de forças
Este documento apresenta um exame de Estatística I com vários problemas e exercícios. Os alunos devem escolher e resolver problemas de múltipla escolha, interpretação de distribuições de frequência, cálculo de probabilidades e análise de variáveis aleatórias.
1. O documento apresenta um exame de Estatística com questões sobre distribuições de frequências, probabilidades e variáveis aleatórias.
2. Uma questão pede para calcular a probabilidade de receber exatamente 2 chamadas de Nova York, 4 de Londres e 3 de Tóquio numa hora, tendo como valores esperados 12, 18 e 20 chamadas respectivamente.
3. Outra questão calcula a probabilidade de aprovação em Estatística de 4 estudantes, tendo cada um probabilidade p de aprovar, e encontra p = 0,6.
Este documento resume as principais características de variáveis aleatórias, incluindo valor esperado, variância, covariância e coeficiente de correlação. O valor esperado é a média da distribuição de probabilidade da variável aleatória. A variância mede a dispersão em torno do valor esperado. A covariância mede a associação entre duas variáveis e o coeficiente de correlação mede essa associação de forma relativa.
Este documento fornece uma introdução à análise de séries cronológicas. Discute os objetivos da análise de séries, define séries cronológicas e fornece exemplos. Também descreve comportamentos típicos como séries aleatórias, com tendência e sazonalidade.
Este documento presenta tres párrafos sobre topografía plana. En el primer párrafo se menciona que el documento se dedica al estudio de la topografía plana y sus aplicaciones en algunos campos de la ingeniería civil. En el segundo párrafo se hace una breve descripción de la geodesia y la topografía. En el tercer párrafo se indica que la representación de la superficie terrestre es indispensable en todas las fases de cualquier proyecto de ingeniería y que la mayoría de los proyectos se realizan dentro de los
REGULAMENTO DO CONCURSO DESENHOS AFRO/2024 - 14ª edição - CEIRI /UREI (ficha...Eró Cunha
XIV Concurso de Desenhos Afro/24
TEMA: Racismo Ambiental e Direitos Humanos
PARTICIPANTES/PÚBLICO: Estudantes regularmente matriculados em escolas públicas estaduais, municipais, IEMA e IFMA (Ensino Fundamental, Médio e EJA).
CATEGORIAS: O Concurso de Desenhos Afro acontecerá em 4 categorias:
- CATEGORIA I: Ensino Fundamental I (4º e 5º ano)
- CATEGORIA II: Ensino Fundamental II (do 6º ao 9º ano)
- CATEGORIA III: Ensino Médio (1º, 2º e 3º séries)
- CATEGORIA IV: Estudantes com Deficiência (do Ensino Fundamental e Médio)
Realização: Unidade Regional de Educação de Imperatriz/MA (UREI), através da Coordenação da Educação da Igualdade Racial de Imperatriz (CEIRI) e parceiros
OBJETIVO:
- Realizar a 14ª edição do Concurso e Exposição de Desenhos Afro/24, produzidos por estudantes de escolas públicas de Imperatriz e região tocantina. Os trabalhos deverão ser produzidos a partir de estudo, pesquisas e produção, sob orientação da equipe docente das escolas. As obras devem retratar de forma crítica, criativa e positivada a população negra e os povos originários.
- Intensificar o trabalho com as Leis 10.639/2003 e 11.645/2008, buscando, através das artes visuais, a concretização das práticas pedagógicas antirracistas.
- Instigar o reconhecimento da história, ciência, tecnologia, personalidades e cultura, ressaltando a presença e contribuição da população negra e indígena na reafirmação dos Direitos Humanos, conservação e preservação do Meio Ambiente.
Imperatriz/MA, 15 de fevereiro de 2024.
Produtora Executiva e Coordenadora Geral: Eronilde dos Santos Cunha (Eró Cunha)
A festa junina é uma tradicional festividade popular que acontece durante o m...ANDRÉA FERREIRA
Os historiadores apontam que as origens da Festa Junina estão diretamente relacionadas a festividades pagãs realizadas na Europa no solstício de verão, momento em que ocorre a passagem da primavera para o verão.
Slides Lição 12, Central Gospel, O Milênio, 1Tr24, Pr Henrique.pptxLuizHenriquedeAlmeid6
Slideshare Lição 12, Central Gospel, O Milênio, 1Tr24, Pr Henrique, EBD NA TV, Revista ano 11, nº 1, Revista Estudo Bíblico Jovens E Adultos, Central Gospel, 2º Trimestre de 2024, Professor, Tema, Os Grandes Temas Do Fim, Comentarista, Pr. Joá Caitano, estudantes, professores, Ervália, MG, Imperatriz, MA, Cajamar, SP, estudos bíblicos, gospel, DEUS, ESPÍRITO SANTO, JESUS CRISTO, Com. Extra Pr. Luiz Henrique, 99-99152-0454, Canal YouTube, Henriquelhas, @PrHenrique, https://ebdnatv.blogspot.com/
Atividade letra da música - Espalhe Amor, Anavitória.Mary Alvarenga
A música 'Espalhe Amor', interpretada pela cantora Anavitória é uma celebração do amor e de sua capacidade de transformar e conectar as pessoas. A letra sugere uma reflexão sobre como o amor, quando verdadeiramente compartilhado, pode ultrapassar barreiras alcançando outros corações e provocando mudanças positivas.
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1. Material para os estudantes do 2.º ano
TEORIA DE
PROBABILIDADES
Por: E. Seno 1
FE-UAN - 2006
2. Definição
A Teoria das probabilidades é a teoria das leis do
comportamento dos fenómenos aleatórios,
procurando matematizar o acaso.
A teoria das probabilidades fornece, portanto, a
base para a medição e controlo do grau de
incerteza associado aos procedimentos da
inferência estatística
Fenómeno aleatório: fenómeno sujeito à influência
do acaso, independentemente da vontade do
observador
Por: E. Seno 2
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3. Alguns conceitos básicos
Experiência:
• Processo ou conjunto de circunstâncias orientado a
produzir resultados observáveis.
• Exemplos:
1. submeter alunos a uma prova,
2. colocar um líquido num congelador durante 24 horas,
3. extrair uma carta num baralho, etc)
• Em relação ao exemplo 2, pode-se adivinhar o
resultado antes da sua realização - não aleatória;
• O mesmo não se pode dizer em relação aos exemplos
1 e 3 - aleatória
Por: E. Seno 3
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4. Alguns conceitos básicos
Características da experiência aleatória:
Pode repetir-se tantas vezes nas mesmas condições
ou em condições semelhantes;
Antes da sua realização não se pode prognosticar o
seu resultado, por mais que se queira controlar as
condições de realização;
Os resultados das suas repetições são díspares
quando tomados individualmente, mas produzem uma
impressionante regularidade estatística (estabilidade
da frequência relativa) quando tomados em conjunto,
isto a partir de um número “n” de repetições
suficientemente grande.
Por: E. Seno 4
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5. Alguns conceitos básicos
Espaço de resultados:
Ao realizar uma experiência aleatória, sai um e
somente um dos n resultados possíveis. A este
conjunto dos resultados possíveis de uma experiência
aleatória chama-se espaço de resultados ou
simplesmente espaço amostral.
Designa-se por:
Ω = (ω1 , ω2 , ω3, ..., ωi , ..., ω N )
Por: E. Seno 5
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6. Alguns conceitos básicos
Espaço de resultados - exemplos:
1. Ex. n.º 1 - E1: Lançamento de um dado equilibrado
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
2. Ex. n.º 2 - E2: Lançamento de uma moeda
Ω = {face, coroa}
3. Ex. n.º 3 - E3: Registo do sexo do bebé a nascer
Ω = {masculino, feminino}
4. Ex. n.º 4 - E4: Registo do tempo (em minutos) que um trabalhador
pode levar de casa ao local de trabalho
Ω = {t: t>0}
5. Ex. n.º 5 - E5: Lançamento de dois dados equilibrados
Ω = { (1,1); (1,2); …; (2,1); …; (5,1); …; (6,5); (6,6) }
Por: E. Seno 6
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7. Alguns conceitos básicos
Acontecimento
Quando se realiza uma experiência, existe normalmente
da parte do observador uma vontade, que pode ser
satisfeita de uma ou de muitas maneiras diferentes
dentro do espaço amostral. Essas maneiras diferentes de
satisfação daquela vontade formam um subconjunto do
espaço amostral, que se chama Acontecimento
Exemplos:
1. Ex. n.º 6 - No lançamento de um dado equilibrado, pode-
se pretender a «saída de no mínimo 3 pontos»
A = {3, 4, 5, 6}
2. Ex. n.º 7 - No lançamento de dois dados, pode-se
pretender a «saída de uma soma de 4 pontos»
B = { (1,3); (2,2); (3,1) }
Por: E. Seno 7
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8. Alguns conceitos básicos
Acontecimento impossível
Um acontecimento diz-se “impossível” sse reunido um
conjunto de condições, ele necessariamente não se
realiza
Expor uma pedra de gelo ao sol durante 12 horas e
pretender que «este continue no seu estado sólido»
Assim o acontecimento A constituído por elementos que
não pertencem a Ω, é um acontecimento impossível, e
escreve-se A = Ø, como por ex.:
Pretender a saída de 7 pontos no lançamento de um dado,
ou de uma diferença absoluta de 8 pontos no lançamento
de um par de dados
Por: E. Seno 8
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9. Alguns conceitos básicos
Acontecimento certo
Um acontecimento diz-se “certo” sse reunido um
conjunto de condições, ele necessariamente se realiza
Lançar uma pedra na água e pretender que «esta vá até ao
fundo»
Assim o acontecimento A constituído por todos os
elementos de Ω, é um acontecimento certo, e escreve-se
A = Ω, como por ex.:
Pretender que uma senhora em estado de gestação dê à
luz um bebé do sexo masculino ou feminino (de qualquer
sexo)
Por: E. Seno 9
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10. Alguns conceitos básicos
Acontecimento aleatório
Um acontecimento diz-se “aleatório” sse reunido um
conjunto de condições, tanto se pode realizar como não
Constitui o principal interesse da teoria das probabilidades
Quando um acontecimento aleatório é constituído por
apenas um elemento do espaço amostral, este diz-se
elementar
Ex. n.º 8 - Lança-se uma moeda ao ar pretende-se a saída
de coroa. Tem-se: A = {Coroa}
Aos acontecimentos, sendo subconjuntos do espaço
amostral, valem as relações e operações entre os
conjuntos.
Por: E. Seno 10
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11. Alguns conceitos básicos
Álgebra dos acontecimentos:
Diz-se que o acontecimento A está contido em B, e escreve-se
A⊂B, sse todo elemento de A∈B, isto é, se a realização de A
implica necessariamente a realização de B;
Se A⊂B e B⊂A, então os dois acontecimentos dizem-se
idênticos, e escreve-se A=B;
Dois acontecimentos A e B dizem-se mutuamente exclusivos
ou incompatíveis, sse a realização de A implica a não
realização de B e vice-versa;
O acontecimento A diz-se independente de B sse o resultado
da realização de B não condiciona o resultado de A. Se A é
independente de B e vice-versa, os dois dizem-se
independentes;
O acontecimento Ā ou Ac diz-se complementar ou contrário a
A, se é constituído por todos os elementos de Ω que não
pertencem a A;
Por: E. Seno 11
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12. Alguns conceitos básicos
Álgebra dos acontecimentos (cont.):
Chama-se intersecção ou produto lógico de A e B, e escreve-se
A∩B ou AB, ao acontecimento da realização simultânea de
ambos;
Se A e B incompatíveis, então A∩B=Ø
Chama-se união ou soma lógica de A e B e escreve-se A∪B, ao
acontecimento da realização ou de A, ou de B, ou de ambos,
isto é, de pelo menos um deles;
A∪B = A + B - A∩B
Se A e B incompatíveis, então A∪B = A + B
Chama-se diferença A e B e escreve-se A-B=A∩Bc, ao
acontecimento da realização de A sem que B se realize;
Se A e B incompatíveis, então A - B = A
A U B = A ∩ B ; AI B = AU B
Por: E. Seno 12
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13. Probabilidade
Conceito geral:
Quantidade (percentagem) que exprime o
grau de realização de um acontecimento
aleatório
Pode ser determinada segundo vários
conceitos:
Clássico;
Estatístico;
Subjectivo;
Outros.
Por: E. Seno 13
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14. Conceito clássico de Probabilidade
Definição:
Se o espaço amostral associado a uma
experiência aleatória tem N resultados
mutuamente exclusivos e equiprováveis
(igualmente possíveis), e se desse
resultados NA têm o atributo A, então a
probabilidade de que A se realize será dada
por:
N A n.º de casos favoráveis a A
P ( A) = =
N n.º total de casos possíveis
Por: E. Seno 14
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15. Conceito clássico de Probabilidade
Exemplo:
- Ex: Consideremos o lançamento de duas moedas e pede-
Ex. n.º 9
se para calcular a probabilidade da saída de:
a) duas faces;
b) Uma coroa.
Solução:
Tem-se o seguinte espaço amostral:
Ω = { (F,F); (F,C); (C,F); (C,C) } ⇒ N = 4 casos possíveis.
Sejam os acontecimentos:
A. «Saída de duas faces no lançamento de duas moedas»;
B. «Saída de uma coroa no lançamento de duas moedas».
a) A = { (F,F) } ⇒ NA = 1 caso fav., e NA 1
P( A) = = = 0,25
N 4
b) B = { (F,C); (C,F) } ⇒ NB = 2 casos fav., e NB 2
P( B) = = = 0,5
N 4
Por: E. Seno 15
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16. Conceito clássico de Probabilidade
Limitações:
Só aplicável quando os resultados que
compõem o espaço amostral são igualmente
possíveis (têm a mesma probabilidade de
realizar-se);
Implica espaço amostral limitado, todos os
elementos conhecidos;
Problemas na determinação do n.º de casos
favoráveis e possíveis:
sistemas de eixos cartesianos;
diagrama de árvore;
Análise combinatória
Por: E. Seno 16
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17. Conceito clássico de Probabilidade
Limitações:
Combinações (extracção em simultâneo)
⎛ n
⎞ n!
C k
n = ⎜
⎜
⎟=
⎟ k ! ( n − k )!
⎝ k ⎠
Permutações (casos de extracção em ordem e sem
reposição)
n!
P =
n
k
= n.(n − 1). ... .[n − (k − 1)]
(n − k )!
Arranjos (casos de extracção em ordem e com reposição)
--
A nk = n k
Por: E. Seno 17
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18. Conceito Estatístico de Probabilidade
Definição:
Seja o acontecimento A que, em N repetições de uma
experiência aleatória, se realizou N(A) vezes, a que
corresponderá a frequência relativa fN(A)=N(A)/N. É certo que
à medida em que N aumenta fN(A) tenderá a estabilizar-se em
torno de um número que é a probabilidade de A. Neste
conceito a probabilidade é dada pela frequência limite, ou seja:
N (A)
Se f N ( A ) = ,
N
então P(A) = Lim
N → ∞
fN (A)
Por: E. Seno 18
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19. Conceito subjectivo de Probabilidade
Definição:
Por este conceito, a probabilidade é
avançada através de uma suposição,
decorrente de uma experiência já vivida
em relação à matéria.
Por: E. Seno 19
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20. Cálculo de probabilidade
Axiomas:
Seja Ω o espaço amostral associado a uma
experiência aleatória, e seja a probabilidade P uma
aplicação que associa a cada acontecimento de Ω um
número real, esta deve satisfazer a um conjunto de
axiomas:
1) - P(A)≥0 ∀ A⊂ Ω
2) - P(Ω) = 1
3) - P(A∪B) = P(A) + P(B), se A∩B = Ø
(Axioma de probabilidade total)
Por: E. Seno 20
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21. Cálculo de probabilidade
Leis básicas de probabilidade:
1. P(Ā) = 1 – P(A)
2. P(Ø) = 0
3. Se A⊂B ⇒ P(A) ≤ P(B)
4. P(A) ≤ 1
5. P(A - B) = P(A) – P(A∩B)
6. Se B⊂A ⇒ P(A - B) = P(A) – P(B)
7. Se A∩B = 0 ⇒ P(A - B) = P(A)
8. P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
9. P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A∩B) – P(B∩C) – P(A∩C)
+ P(A∩B∩C)
10. Se A1, …, AN, acontecimentos mutuamente exclusivos,
⎛ N ⎞ N
P ⎜ U Ai ⎟ =
⎜ ⎟ ∑ P (A )i
⎝ i =1 ⎠ i =1
Por: E. Seno 21
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22. Cálculo de probabilidade
Probabilidade condicional
Se ao calcular a probabilidade do acontecimento A, é necessário
ter em conta o resultado de B que já se realizou, esta diz-se
condicional
A probabilidade condicional de A dado B é a probabilidade da
realização de A calculada sob condição de que B já se realizou.
Matematicamente, define pela razão entre a probabilidade da
realização simultânea de ambos e a probabilidade daquele que já
realizou, ou seja:
P( A I B)
P ( A B ) = PB ( A) = , com P ( B ) > 0
P( B)
Por: E. Seno 22
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23. Cálculo de probabilidade
Probabilidade condicional - Ex. n.º 10 :
Consideremos a existência de uma caixa contendo 10 peças das quais
4 defeituosas. Se forem extraídas ao acaso 2 peças, uma de cada vez,
mas sem reposição, calcular a probabilidade de na segunda extracção
sair uma peça boa sabendo que na primeira já havia saído uma
defeituosa.
Solução:
Sejam os acontecimentos:
A. «Saída na 1.ª extracção de uma peça defeituosa» ⇒ P(A) = 4/10 = 0,4
B. «Saída na 2.ª extracção de uma peça boa» ⇒ P(B) = 6/10 = 0,6
(probabilidade incondicional)
Mas a probabilidade solicitada é condicional, isto é de retirar da caixa uma
peça boa, depois de nela ter sido retirada uma peça defeituosa sem ser
reposta, que é mesmo que dizer «extrair uma peça boa de uma caixa onde
só ficaram 9 peças, sendo 3 defeituosas e 6 boas», que seria igual a P(BA)
= 6/9 = 0,6667.
Por: E. Seno 23
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24. Cálculo de probabilidade
Probabilidade condicional - Ex. n.º 10 (cont.):
Este resultado poderia ser encontrado utilizando a fórmula,
calculando a probabilidade da intersecção:
6! 4! 6 × 5! 4 × 3!
× ×
P6 × P4
1 1
( 6 − 1)! ( 4 − 1)! 5! 3! = 24 = 0, 2667
P( A I B) = = =
2
P10 10! 10 × 9 × 8! 90
(10 − 2)! 8!
e,
P ( A I B ) 0,26667
P ( B A) = = = 0,6667
P ( A) 0,4
Por: E. Seno 24
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25. Cálculo de probabilidade
Probabilidade condicional - Ex. n.º 11 :
Consideremos agora a seguinte distribuição do corpo docente de
uma Faculdade da UAN, por sexo e por regime, de acordo com
um estudo realizado:
Regime M F Total
T. Integral 12 4 16
T. Parcial 87 7 94
Total 99 11 110
Podemos definir os seguintes acontecimentos:
M: «Um docente é do sexo masculino»
F: «Um docente é do sexo feminino»
I: «Um docente está no regime de tempo integral»
P: «Um docente está no regime de tempo parcial»
Por: E. Seno 25
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26. Cálculo de probabilidade
Probabilidade condicional - Ex. n.º 11 (Cont.):
Podemos querer calcular probabilidade de um docente do sexo
masculino estar em tempo integral (que é mesmo que
determinar a proporção dos que estão em tempo integral
dentro dos docentes do sexo masculino), que seria igual:
P(IM) = 12/99 = 0,1212
Esta probabilidade poderia ser calculada utilizando a fórmula.
Antes calculamos no quadro a seguir as probabilidades dos
acontecimentos antes definidos:
Regime M F Total
T. Integral 0,1091 0,0364 0,1455
T. Parcial 0,7909 0,0636 0,8545
Total 0,9 0,1 1
Por: E. Seno 26
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27. Cálculo de probabilidade
Probabilidade condicional - Ex. n.º 11 (Cont.):
Nos extremos das linhas e das colunas estão
determinadas as probabilidades dos 4 acontecimentos.
Assim tem-se:
P(M) = 0,9; P(F) = 0,1; P(I) = 0,1455; P(P) = 0,8545
E na matriz interior as probabilidades das possíveis
intersecções. Desta forma poderíamos voltar a calcular a
probabilidade condicional de que I se realize dado que M
já se realizou:
12
12 P(I I M ) 0 ,1091
P(I M ) = = 110 = = = 0 ,1212
99 99 P (M ) 0 ,9
110
Por: E. Seno 27
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28. Cálculo de probabilidade
Probabilidade condicional - Regra de multiplicação:
Das igualdades:
P( A I B) P( A I B)
P( A B) = ; com P( B) > 0, e P( B A) = ; com P( B) > 0
P( B) P( A)
Resulta que:
P(A∩B) = P(A).P(BA) = P(B).P(AB)
No caso de três acontecimentos, ter-se-á:
P(A ∩B ∩C) = P(A).P(BA).P(CAB)
E, generalizando:
P(A1∩A2∩ … ∩AN) = P(A1).P(A2A1). … .P(ANA1. … .AN-1)
A probabilidade da realização simultânea de vários acontecimentos quaisquer é
igual ao produto da probabilidade do primeiro pelos produtos das probabilidades
condicionais dos seguintes, sendo estas calculadas sob condição de que todos os
acontecimentos anteriores já se realizaram.
Por: E. Seno 28
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29. Cálculo de probabilidade
Probabilidade condicional – Probabilidade total:
Para calcular P(A), tal que:
A só se pode realizar basta que se realize um dos
acontecimentos B1, B2, …, BN (Bj, com j=1, …, N);
Bi∩Bj = Ø; ∀i ≠ j (mutuamente exclusivos);
∑P(Bj) = 1, com j = 1, …, N;
Conhecidos: P(Bj) e P(ABj), com j = 1, …, N
P ( A) = P ( A I B1 ) + P ( A I B2 ) + ... + ... + P ( A I B N ) =
= P ( B1 ).P ( A B1 ) + P ( B2 ).P ( A B2 ) + .... + P ( B N ).P ( A B N ) =
N
= ∑ P ( B j ).P ( A B j )
j =1
Por: E. Seno 29
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30. Cálculo de probabilidade
Probabilidade condicional – Probabilidade total:
No caso do exerc. n.º 11, podemos pretender calcular a
probabilidade de um docente ser do sexo feminino (F = A).
Neste caso este só pode ser ou em tempo integral (I = B1) ou
em tempo parcial (P = B2).
Temos:
P(I) = P(B1) = 0,1455; P(P) = P(B2) = 0.8545, e,
∑P(Bj) = P(B1) + P(B2) = 0,1455 + 0.8545 = 1
B1∩B2 = Ø (Não se pode estar em simultâneo em tempo
integral e parcial)
Tem-se por outro lado:
P(FI) = P(AB1) = 4/16 = 0,25
P(FP) = P(AB2) = 7/94 = 0,0745
Dai que:
P(F) = P(A) = 0,1455×0,25 + 0,8545×0,0745 = 0,1.
Por: E. Seno 30
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31. Cálculo de probabilidade
Probabilidade condicional – Probabilidade total:
Na prática pode-se utilizar um esquema (quadro) como o
que segue:
Bj P(Bj) P(ABj) P(Bj).P(ABj)
B1 0,1455 0,2500 0,0364
B2 0,8545 0,0745 0,0636
Total 1 P(A) = 0,1
Por: E. Seno 31
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32. Cálculo de probabilidade
Probabilidade condicional – Regra de Bayes:
Lembrança: (Fórmula de probabilidade total)
N
P( A) = ∑ P( B j ).P( A B j )
j =1
Suponhamos que já tem a certeza de que A já se realizou,
coloca-se a questão de «com qual das hipóteses – alternativas
(Bj, com j = 1, …, N) se realizou?»
Deve-se proceder ao cálculo da probabilidade condicional da
hipótese Bj, dado que A já se realizou, da seguinte forma:
P( A I B j ) P( B j ).P( A B j )
P( B j A) = = N
P( A)
∑ P( B ).P( A B )
j =1
j j
Por: E. Seno 32
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33. Cálculo de probabilidade
Probabilidade condicional – Regra de Bayes:
Portanto, determinar a probabilidade condicional das
hipóteses significa achar as proporções de cada parcela
da soma que constitui a probabilidade total, como
podemos demonstrar no quadro abaixo, utilizando
sempre os dados do exercício n.º 11:
Bj P(Bj) P(ABj) P(Bj).P(ABj) P(BjA)
B1 0,1455 0,2500 0,0364 0,3636
B2 0,8545 0,0745 0,0636 0,6364
Total 1 P(A) = 0,1 1
Por: E. Seno 33
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34. Cálculo de probabilidade
Independência de acontecimentos:
Sejam dois acontecimentos A e B, e suponhamos que A
já se realizou. Se B é independente de A, logo a sua
probabilidade condicional dado que A se realizou é igual
à sua probabilidade incondicional, ou seja:
P(BA) = P(B).
Assim, a regra de multiplicação para acontecimentos
independentes resume-se a:
P(A∩B) = P(A)×P(B)
Em geral:
P(A1∩A2∩ … ∩AN) = P(A1)×P(A2)× … ×P(AN)
A probabilidade da realização simultânea de
acontecimentos independentes é igual ao produto das
probabilidades destes acontecimentos:
Por: E. Seno 34
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35. Cálculo de probabilidade
Independência de acontecimentos: Ex. n.º 12
Um levantamento permitiu apurar os níveis de
reprovação nas cadeiras de Estatística (25%),
Macroeconomia (32,5%) e Demografia (13%). Calcular
a probabilidade de um aluno seleccionado ao acaso
reprovar nas três cadeiras.
Solução. Sejam os acontecimentos:
A. «O aluno reprova a Estatística» ⇒ P(A) = 0,25
B. «O aluno reprova a Macroeconomia» ⇒ P(B) = 0,325
C. «O aluno reprova a Demografia» ⇒ P(C) = 0,13
P(A∩B∩C) = P(A)×P(B)×P(C) = 0,25×0,325×0,13 = 0,0105625.
Por: E. Seno 35
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