1) O documento discute conceitos básicos de probabilidade, incluindo notações de conjuntos, experiências determinísticas versus aleatórias, acontecimentos, e definições de probabilidade. 2) É introduzida a noção de frequência relativa e como esta se estabiliza em torno da probabilidade de um evento com repetições. 3) A lei de Laplace é mencionada no contexto de acontecimentos elementares equiprováveis.

1. Probabilidades
• Conjuntos Se B é subconjunto próprio de A, escreve-se:
B ⊂ A (B implica A).
Notações de conjuntos para representar
Reunião e intersecção de conjuntos
relações entre acontecimentos
Relação entre Notação de S
conjuntos conjuntos A B
Acontecimento certo Ω, S, E
Acontecimento A U B
impossível Ø
O acontecimento A
não ocorre A
Ocorre o A ∪= : x ∈∨∈
B {x A x B}
acontecimento A e
ocorre o A∩ B
acontecimento B Nota: #(A ∪ = + − A ∩
B) # A #B #( B)
Ocorre o
acontecimento A ou S
ocorre o A∪ B A B
acontecimento B ou
ocorrem ambos
Se C ocorre, então D A∩ B
também ocorre (C
C ⊆D
implica a realização
de D)
Os acontecimentos E e
F são incompatíveis
E∩F =∅ A ∩= : x ∈∧∈
B {x A x B}
Cardinal de um conjunto Conjuntos disjuntos (incompatíveis)
Ao número de elementos de um conjunto A e B são conjuntos disjuntos se A∩B=Ø.
chama-se cardinal do conjunto e representa-se
pelo símbolo # (“cardinal”). S
A B
A={1, 2, 7}; #A=3
Igualdade entre os conjuntos
( A = ) ⇔∈ ⇔ B )
B (x A x∈
Subconjunto de um conjunto
( A ⊆ ) ⇔∈ ⇔ B )
B (x A x∈
S
B A Diagrama de Venn
Propriedades das operações com conjuntos

2. Seja A e B dois subconjuntos quaisquer:
Propriedade
A∪ B = B∪ A A∩ B = B∩ A
A ∩= ∪
B A B
e A ∪= ∩
B A B
comutativa
Propriedade ( A ∪ B) ∪ C = A ∪ ( B ∪(C )∩ B) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C )
A
associativa
Elemento • Termos e conceitos probabilísticos
neutro
A∪∅ = A A∩S = A
Elemento Experiência determinista
absorvente
A∪S = S A∩∅ = ∅
Idempotência A∪ A = A A∩ A = A As experiências deterministas ou causais caracterizam-
Propriedade A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ (∩ ( BC ) C ) = ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ Cpor produzirem o mesmo resultado, desde que
A A∪ ∪
distributiva se )
sejam repetidas sob as mesmas condições (i.e.:lançar
Complementar de um conjunto uma pedra ao mar e verificar que vai ao fundo; furar
um balão cheio de ar e verificar que rebenta).
O complementar de um conjunto A representa-
se A . Experiência aleatória
S As experiências aleatórias ou casuais caracterizam-se
A A pela impossibilidade de prever o resultado que se
obterá, ainda que as experiências sejam realizadas sob
as mesmas condições (i.e.: lança um dado e observar a
face que fica voltada para cima; tirar um carta de um
baralho e verificar se sai vermelha).
1.º - A = { x : x ∉ A}
Conjunto de resultados
2.º - A∪A = S
3.º - A∩A =∅ Ao conjunto formado por todos os resultados possíveis
4.º - A=A de uma experiência aleatória chama-se conjunto de
resultados ou espaço amostral e representa-se por S,
Complementar de um conjunto U ou Ω (i.e.: no lançamento de um dado, S={1, 2, 3, 4,
relativamente a outro 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}).
Seja A e B dois conjuntos. Acontecimento
O complementar de B relativamente a A
representa-se por AB e tem-se: A qualquer subconjunto de S chamamos
A B = {x : x ∈ A ∧ x ∉ B} acontecimento.
Acontecimento de uma experiência aleatória é cada
um dos subconjuntos do conjunto de resultados.
S
A B Acontecimento elementar – Se o resultado de uma
experiência consta de um só elemento do conjunto de
resultados (i.e.: A={8}).
Acontecimento composto - Se o resultado de uma
experiência consta de dois ou mais elementos do
Só se realiza se e só se A se realiza sem que B conjunto de resultados (i.e.: B={1, 3, 5, 7}). Lançar
se realize. dois dados, um dado e uma moeda, retirar de um saco
mais de uma bola são experiências compostas porque
envolvem mais do que uma experiência simples. As
Leis de De Morgan
tabelas de dupla entrada são úteis para identificar todas

3. as probabilidades de saídas quando se trata de • Definição frequencista de
duas experiências simples. O diagrama de probabilidade
árvore usa-se para o mesmo efeito mas pode
ser utilizado para duas ou mais experiências.
Lei dos grandes números
Acontecimento certo – Se o resultado de uma
experiência consta de todos os elementos do Ao número à volta do qual estabiliza a frequência
conjunto de resultados (i.e.: C={1, 2, 3, 4, 5, relativa de um acontecimento quando o número de
6}=S). repetições da experiência cresce consideravelmente
chama-se probabilidade do acontecimento.
Acontecimento impossível – Se o resultado de
uma experiência não tem qualquer elemento do Designemos por p(A) a probabilidade do
conjunto de resultados (i.e.: D=Ø). acontecimento A.
Acontecimentos incompatíveis e A relação entre frequência relativa e a probabilidade
acontecimentos contrários – dois de um acontecimento permite desde já estabelecer as
acontecimentos, X e Y, dizem-se incompatíveis seguintes conclusões:
se a sua verificação simultânea for o
acontecimento impossível, ou seja, X ∩Y = ∅ 1.º - 0 ≤ p(A) ≤ 1
(a realização de um acontecimento não implica 2.º - p(acontecimento certo) = p(S) = 1
a realização do outro). 3.º - p(acontecimento impossível) = p(Ø) = 0
4.º - Se A e B são dois acontecimentos quaisquer do
S mesmo espaço amostral S ,
X Y p ( A ∪ B ) = p( A) + p ( B ) − p ( A ∩ B )
5.º - Se A e B são incompatíveis,
p ( A ∪ B ) = p ( A) + p ( B )
6.º - p ( A ) =1 − p ( A)
No caso dos acontecimentos A e B, além de • Lei de Laplace
serem incompatíveis ( A ∩ B = ∅ ), verifica-se
que A ∪ B é o acontecimento certo ( Se os acontecimentos elementares são equiprováveis,
A ∪ B = S ). Por esta razão também se chama a a probabilidade de um acontecimento A é igual ao
A e B acontecimentos contrários (a quociente entre o número de casos favoráveis ao
intersecção é um acontecimento impossível e a acontecimento e o número de casos possíveis. Ou seja:
reunião é um acontecimento certo).
número de casos favoráveis ao acontecimento A
p ( A) =
número de casos favoráveis
S
• Definição axiomática de probabilidade
A B Axiomas são proposições, sugeridas pela nossa
intuição ou experiência, que não se demonstra e se
aceitam como verdadeiras.
Provar ou demonstrar uma proposição é mostrar,
B é o acontecimento contrário de A e
usando raciocínios lógicos, que ela resulta de outras
representa-se por A .
consideradas verdadeiras.

4. Teoremas são proposições que se demonstram
a partir dos axiomas ou de outras proposições
já demonstradas. Teorema 6 - B ⊂ A ⇒ p(A B) = p(A) − p(B)
Axiomas das probabilidades (Axiomática
de Kolmogorov) Teorema 7 - B ⊂ ⇒B ) ≤ ( A)
A p( p
Axioma 1 – A probabilidade de qualquer Teorema 8 - p ( A) + B ) + A ∩ =
p( p( B) 1+ A ∩
p( B)
acontecimento A do conjunto de resultados S é
um número não negativo. • Probabilidade condicionada
(acontecimentos dependentes)
p( A) ≥ 0, A ⊆ S
Representa-se por p(A|B) a probabilidade de
Axioma 2 – A probabilidade do acontecimento
ocorrência de A, na hipótese de B se ter realizado, e
certo é 1.
tem-se (probabilidade de A sabendo que B ocorre):
P(S) = 1, S é o acontecimento certo
p ( A ∩B )
p( A | B) = , p( B) ≠ 0
p( B)
Axioma 3 – A probabilidade da reunião de dois
acontecimentos incompatíveis (disjuntos) é
igual à soma das probabilidades desses 1.º - p( A ∩ B ) = p ( B ) × p( A | B )
acontecimentos. 2.º - p( A ∩ B ) = p ( A) × p( B | A)
• Probabilidade condicionada e
p ( A ∪ =( A) +( B ), se ( A ∩ =
B) p p B) ∅
axiomática
Teorema 1 – a probabilidade de um Sendo S o conjunto de resultados, A ⊆ S , B ⊆ S e
acontecimento impossível é zero. p(B)>0, p(A|B) satisfaz os 3 axiomas da teoria das
probabilidades se:
p(Ø) = 0
1.º - p(A|B) ≥ 0
Teorema 2 – a probabilidade de qualquer
acontecimento A é um número do intervalo [0, 2.º - p(S|B) = 1
1].
3.º - Se A1 e A2 são acontecimentos incompatíveis,
0 ≤ ( A) ≤ A ⊆
p 1, S
isto é, se A1 ∩ A2 = ∅ , então:
p[( A1 ∪ A2 ) | B] = p ( A1 | B ) + p( A2 | B)
Teorema 3 – a probabilidade do acontecimento
contrário de A ( A ) é igual à diferença entre 1
e a probabilidade de A.
• Acontecimentos independentes
p( A ) =
1 − A), A ⊆
p( S
Dois acontecimentos são independentes quando a
Teorema 4 – probabilidade da reunião de dois probabilidade de realização de um deles não interfere
acontecimentos na probabilidade da realização do outro.
(Exemplos: lançamentos consecutivos de 2
p ( A ∪ = ( A) +( B ) −( A ∩
B) p p p B) dados/moedas; tirar consecutivamente bolas/cartas,
com reposição.)
Teorema 5 - p ( A) = A ∩+ A ∩
p( B) p( B) Dois acontecimentos são independentes se e só se:

5. X Variável aleatória
p ( A | B ) = ( A)
p
N Nº de elementos da população
xi Valores que pode tomar a variável
p ( A ∩ = ( A) ×( B )
B) p p
X
fri Frequência relativa de x i , em %
fi Frequência absoluta de x i
• Teorema das probabilidades pi Probabilidade de x i
totais μ, x Média
σ Desvio-padrão
p ( A) = p ( A | B ) × p ( B ) + p ( A | B ) × p ( B ) σ2 Variância
ou
Chama-se distribuição de probabilidades de uma
p( A) = p ( A | B1 ) × p ( B1 ) + p( A | B2 ) × p ( B2 ) + ... + pvariável × p ( Bn ) X à aplicação que a cada valor x i da
( A | Bn ) aleatória
variável X faz corresponder a respectiva probabilidade
pi .
• Teorema de Bayes
p( A ∩ B)
Dada uma variável aleatória X, discreta, que assume
p ( B | A) = um número finito de valores distintos
p ( A | B1 ) × p ( B1 ) + p ( A | B2 ) × p ( B2 ) + ... + p,( x | ,..., × p ( Bn x
x A Bn ) x ,..., )
1 2 , então as probabilidades
i n
• Variável aleatória e distribuição p i = P ( X = x i ) , i = 1, …, n, devem satisfazer as
de probabilidades seguintes condições:
Uma variável aleatória é uma variável cujo 1.º - 0 ≤ p i ≤ n, i = 1, …, n
valor é um resultado numérico associado ao n
resultado de uma experiência aleatória. Pode 2.º - ∑p
i =1
i =1
ser discreta ou contínua:
Variável aleatória discreta – pode assumir Amostra População
Variável estatística X que toma Variável aleatória X
um número finito ou infinito numerável de que toma valores
valores x1 , x 2 ,..., x i ,..., x n
valores. Dados obtidos por contagem (i.e.: nº x1 , x 2 ,..., xi ,..., x n
de pessoas atendidas num hospital). Média aritmética Valor médio ou
n esperança
Variável aleatória contínua – pode assumir ∑x i × ni n
n
µ = ∑ xi × p i
um número infinito não numerável de valores. x= i =1
= ∑ xi × fri i =1
Dados obtidos através de aparelhos de medida N i =1
(i.e.: temperatura). Variância amostral Variância
n populacional
∑x 2
× ni n
fr = ∑ x
i
− x = ∑ x × σ i − x 2 = i × pi − µ
2 2 2
σ =2 i =1 2 2
i
N i =1
Ou
n
( x i − x ) 2 × ni n n
∑
i =1 N
= ∑ ( x i − x )σ × = i∑ ( xi − µ ) 2 × pi
i =1
2 2
fr
i =1
Desvio-padrão amostral Desvio-padrão
populacional
σ= σ 2
Notação σ = σ2
Notação Descrição

6. • Modelo binomial (variáveis discretas) realizações de uma dada experiência determinado
acontecimento se verifique k vezes.
Distribuição binomial
p ( x = k )=n C k p k .q n −k
Designa-se por modelo de distribuição
binomial uma experiência aleatória com as x = k – acontecimento
seguintes características: n – nº de vezes que a experiência se repete
k – nº de vezes de sucesso
p – probabilidade de sucesso
1.º - É constituída por n provas idênticas.
q – probabilidade de insucesso
2.º - Em cada prova apenas são possíveis dois
resultados: sucesso ou insucesso.
3.º - Os resultados das provas são • Modelo normal (variável contínua)
independentes uns dos outros.
4.º - A probabilidade de sucesso p não varia de Uma distribuição normal é caracterizada pela média μ
prova para prova. e pelo desvio-padrão σ. Representa-se por N(μ,σ). A
curva normal é em forma de sino e denomina-se por
À variável aleatória X, que representa o número Curva de Gauss.
de sucessos nas n provas, chama-se variável
aleatória com distribuição binomial de Características da curva normal
parâmetros n e p.
1.º - É simétrica relativamente ao valor médio μ da
Representa-se por B (n, p). variável.
A variável X pode tomar os valores 1, 2, …, n. f ( µ − x 0 ) = f ( µ + x 0 ), ∀x 0 ∈ ℜ
Se X tem distribuição binomial de parâmetros n 2.º - Tem um máximo para x = μ.
e p, a probabilidade para qualquer valor X = r
da variável aleatória X é dada por: 3.º - Quanto maior for o desvio-padrão σ, mais
achatada é a curva.
P ( X = ) =C r p r × − ) n −
r n
(1 p r
4.º - A área compreendida entre a curva e o eixo Ox é
Provas de Bernoulli igual a 1.
Sucessão de experiências aleatórias 5.º - A probabilidade de que a variável tome valores no
independentes, em cada uma das quais se intervalo [ xi , x j ] é igual à área compreendida entre o
observa ou não, a realização de um eixo Ox, o gráfico da função densidade e as rectas
determinado acontecimento A, com x = xi e x = x j .
probabilidade P(A)=p, constante de
experiência para experiência 6.º - A concavidade da curva muda de sentido para
x1 = µ − σ e x 2 = µ + σ ( x1 e x 2 são abcissas dos
A distribuição binomial é um modelo pontos de inflexão).
probabilístico aplicável em problemas onde se
consideram repetidas provas de Bernoulli. 7.º - O eixo das abcissas é assimptota da curva.
Provas repetidas
O problema das provas repetidas consiste na
determinação da probabilidade de que em n 8.º - A área abaixo da curva distribui-se em intervalos
da seguinte forma:

7. NOTA: 0!=1
* ] x − σ ; x + σ[= 68,26%
* ] x − 2σ ; x + 2σ[= 95,44%
* ]x − 3σ; x + 3σ[= 99,74%
Permutações
Chama-se permutação de n elementos a todas as
sequências diferentes que é possível obter com os n
elementos. O número dessas sequências representa-se
por Pn (permutação de n). Pn = n!
x − 2σ x −σ x x +σ x + 2σ
Arranjos sem repetição (arranjos simples)
• Cálculo combinatório Dados n elementos quaisquer, chama-se arranjos sem
repetição de n elementos escolhidos arbitrariamente
entre os n dados. O número de todas estas sequências
Princípio geral da multiplicação (“A e B”)
designa-se por A p = n(n −1)(n − 2) ×... × (n − p +1)
n
Por cada alternativa, existem n alternativas n, p ∈ N e n≥p
diferentes.
n!
1.º - A p =
n
Consideremos um processo constituído por k ( n − p )!
etapas. Se existirem n1 maneiras de realizar a
primeira etapa e se, para cada uma destas, 2.º - n An = Pn
existirem n 2 maneiras de realizar a segunda
etapa, e assim sucessivamente, até à k-ésima Arranjos com repetição (arranjos completos)
etapa, então todo o processo pode ser realizado
de n1 × n2 × n3 ×... × nk maneiras diferentes. Dados n elementos diferentes, a1 , a 2 ,..., a n , chama-
se arranjos com repetição dos n elementos p a p a
todas as sequências de p elementos, sendo estes
Princípio geral da adição (“A ou B”)
diferentes ou não, que se podem formar escolhendo os
p elementos entre os n dados. O número total de
As várias formas de realizar algo. sequências representa-se por A p ' = n
n p
Se para realizar um processo existirem k
alternativas que se excluem duas a duas, e se Combinações sem repetição (tiragens simultâneas)
existirem n1 maneiras de realizar a primeira
n
alternativa, n 2 maneiras de realizar a segunda, n
C p ou   é o número de subconjuntos com p
…, n k maneiras de realizar a k-ésima, então o p
processo pode ser realizado de elementos que se podem definir num conjunto com n
n1 + n 2 + n3 + ... + n k maneiras diferentes. elementos.
n
Ap n!
Factorial de um número natural n n
Cp =
n
Cp = , n, p ∈ N 0 e n≥p
p! p!( n − p )!
Chama-se factorial de um número natural n e
representa-se por n! ao produto:
1.º - C p = C n −p
n n
n! = n( n −1)( n − 2) ×... ×3 × 2 ×1

8. n+
2.º - C p + C p +1 = C p +1
n n 1 n
C p = n−
n
C p
3.º - C 0 = C n = 1
n n
2.º - A soma de dois números consecutivos de uma
linha é igual ao número que na linha seguinte figura
entre eles:
Síntese
n
C + C = C
p−
1
n
 Regra de Stiefel
p
n+
1
p
3.º - A soma de todos os elementos da n-ésia linha é
A
Entram todos igual a 2 n :
Pode haver os elementos
ordem Combinatória n
C 0 +C1 + +C n = n
n
... n 2
repetição? da
influi?
sequência?
Arranjos com
repetição   - n
Ap ' = n p • Binómio de Newton
Arranjos sem n!
n
Ap =
repetição    ( n − p )! ( a + b) n =n C 0 a n +n C1 a n −1b +n C 2 a n −2 b 2 + ...+n C n −1 ab
Permutações
Pn = n!
   Ou
Combinações n!
  - n
Cp =
p!( n − p )! n
( a + b) n = ∑n C p a n −p b p
p =0
• Triângulo de Pascal Observações
1 1.º - O desenvolvimento de (a + b) n tem n+1 termos.
1 1 2.º - O termo de ordem p é T p , sendo:
1 2 1 T = C
p
n
a b
p−
1
p 1 1 n −p
ou T p +1 = C p a b
n −+ n p− p
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
O binómio de Newton é uma forma rápida de
1 6 15 20 15 6 1
…………………………………… simplificar expressões do tipo (a + b) n .
Corresponde aos valores de:
0
C0
1 1
C0 C1
2 2 2
C0 C1 C2
3 3 3 3
C0 C1 C2 C3
4 4 4 4 4
C0 C1 C2 C3 C4
5 5 5 5 5 5
C0 C1 C2 C3 C4 C5
6 6 6 6 6 6
C0 C1 C2 C3 C4 C5
6
C6
……………………………………………
Propriedades
1.º - Em cada linha são iguais os termos
equidistantes dos extremos: