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Material para os estudantes do 2.º ano




ANÁLISE DE SÉRIES
CRONOLÓGICAS




             Por: E. Seno                   1
           FE-UAN - 2006
Aspectos gerais

Objectivos:

   identificar a natureza do fenómeno que é representado
   pela sequência de observações (através da procura de
   um padrão de comportamento);

   descrever o comportamento das observações através de
   um modelo matemático;

   prever a evolução futura do fenómeno;

   rever as decisões tomadas e estabelecer estratégias.




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Aspectos gerais

Definição:

   A classe de fenómenos cujo processo observacional
   e consequente quantificação numérica gera uma
   sequência de dados distribuídos no tempo é
   denominada série temporal.

   Uma série cronológica (ou temporal) é um
   conjunto ordenado de valores de uma variável Yt
   observados em intervalos regulares de tempo
   (semanas, meses, trimestres, anos, etc.).

   Para períodos de tempo sucessivos (iguais) atribui-
   se à variável independente t os valores 1,2, …, n ,
   constituindo-se assim a variável dependente Yt.


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Aspectos gerais

Exemplos de séries cronológicas:

   A velocidade máxima do vento em cada dia

   Índices de produção Industrial

   Taxas de juro

   Concentração de fosfatos num determinado curso de
   água

   Produto Interno Bruto

   Vendas trimestrais

   Evolução da população


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Comportamento típico das séries cronológicas

Série aleatória:

   Uma série aleatória (ruído branco) resulta de oscilações
   aleatórias em torno de determinado valor (que se
   designa por nível), isto é:
                     Yt = µ + εt t = 1, 2, …, n
                                   Série cronológica aleatória


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   Como o seu comportamento é aleatório, não é possível
   usar as observações passadas para prever o futuro.
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Comportamento típico das séries cronológicas

Série com tendência:

   Uma série com tendência caracteriza-se por revelar, ao
   longo do tempo, um comportamento que pode ser
   linear, não linear, crescente, decrescente ou constante.
   Este tipo de série pode ser representado por:
            Yt = µt + εt t = 1, 2, …, n
   em que o nível µ t = µ t −1 + τ t −1 , (onde τ t −1 é a taxa de
   crescimento da série no instante t) varia de acordo com
   a tendência.               Série com tendência


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Comportamento típico das séries cronológicas

Série com sazonalidade:

   Uma série com sazonalidade revela uma periodicidade
   fixa no seu comportamento. Consideremos a série
   representada na figura seguinte.

                            Série com tendência e sazonalidade


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Comportamento típico das séries cronológicas

Série com sazonalidade:
  Através da observação da evolução dos valores da
  variável nos instantes sucessivos, facilmente se verifica
  que a série apresenta uma tendência crescente, uma
  vez que o nível da série aumenta ao longo do tempo.
  Para além disso também ressalta que, de 3 em 3
  unidades de tempo, o comportamento de “subidas” e
  “descidas” se repete. Isto significa que, para além da
  tendência crescente existe também nesta série uma
  sazonalidade cujo período tem comprimento 3.
  Uma série que apresente tendência e sazonalidade pode
  ser representada por:
            Yt = µt + φt + εt   t = 1, 2, …, n
  onde µt representa o nível da série e φt a componente
  sazonal da série, no instante t.

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Decomposição das séries cronológicas

Componentes de uma série:

  A análise dos valores de uma série cronológica, tal e
  qual como eles se nos apresentam, pouco nos revela,
  uma vez que esses valores incluem os efeitos de
  diferentes factores, sejam eles económicos, sociais,
  culturais, climáticos ou outros.

  Para que possa ser feita uma análise rigorosa de uma
  série cronológica, é vantajoso isolar as diferentes
  componentes que representam os factores que
  influenciam os valores da série.




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Decomposição das séries cronológicas

Componentes de uma série:

  São quatro as componentes de uma série
  cronológica:
     Tendência
     Sazonalidade (ou componente sazonal)
     Ciclicidade (ou componente cíclica)
     Componente aleatória




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Decomposição das séries cronológicas

Componentes de uma série:
  A tendência representa o movimento geral
  e de longo prazo da série, reflectindo a
  evolução global no sentido do crescimento
  (ou decrescimento) do nível da série. Para
  identificar esta componente é necessário
  retirar à série todas as flutuações.
  A sazonalidade representa as flutuações
  periódicas da variável. Estas flutuações
  com periodicidade fixa (o ciclo sazonal)
  provocam     variações   alteradas   das
  observações relativamente ao nível da
  série.
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Decomposição das séries cronológicas

Componentes de uma série:

  A ciclicidade reflecte movimentos oscilatórios
  (sem periodicidade fixa) que afectam a
  tendência global da série, sendo apenas
  detectáveis     para   séries longas.    Esta
  componente aparece muitas vezes associadas
  aos ciclos da actividade económica, em que
  existe    alternância   entre  períodos     de
  crescimento com outros de depressão.

  A componente aleatória tem um carácter
  casual e portanto imprevisível.

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Decomposição das séries cronológicas

Métodos de decomposição:

   Através do método de decomposição é possível identificar e
   isolar cada uma das componentes da série, encontrar
   processos adequados para estimar cada uma delas e encontrar
   o modelo matemático que melhor traduz a série.

   Sendo:
      yt o valor observado para o período t,
      Tt a tendência no período t,
      St a sazonalidade no período t,
      Ct a ciclicidade no período t e
      εt o ruído (componente aleatória) no período t,

   cada valor yt da variável em estudo será uma função das
   quatro componentes, isto é:
                       Yt = f(Tt, St, Ct, εt)

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                           FE-UAN - 2006
Decomposição das séries cronológicas

Métodos de decomposição:

   Considerando que os valores da variável são o
   resultado da soma dos valores das quatro
   componentes,

           Yt = Tt + St + Ct + εt



   está-se a utilizar um Modelo aditivo



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Decomposição das séries cronológicas

Métodos de decomposição:

   Pressupostos:
  i.    Cada componente é independentemente responsável por
        uma parcela do valor observado;

  ii.   As diferentes componentes não estão correlacionadas;

  iii. Cada componente é definida na mesma unidade de medida
       dos valores observados.


   Os modelos aditivos utilizam-se usualmente quando as
   variações periódicas têm uma amplitude que se mantém
   aproximadamente constante, mesmo que a tendência
   não o seja.


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Decomposição das séries cronológicas

Métodos de decomposição:


   Considerando que os valores da variável são o
   resultado do produto dos valores das quatro
   componentes,

            Yt = Tt × St × Ct × εt



   está-se a utilizar um Modelo multiplicativo



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                      FE-UAN - 2006
Decomposição das séries cronológicas

Métodos de decomposição:

   Pressupostos:
  i.    Os efeitos das componentes não são independentes entre
        si.

  ii.   As diferentes componentes estão correlacionadas;

  iii. Apenas a Tendência é definida na mesma unidade de
       medida da série cronológica, as restantes estão
       definidas percentualmente em relação à Tendência.

   Os modelos multiplicativos utilizam-se quando as
   variações periódicas vão crescendo [decrescendo] em
   amplitude.


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                           FE-UAN - 2006
Decomposição das séries cronológicas

Métodos de decomposição:
   Existe também a possibilidade de variações entre estes
   dois modelos, obtendo-se os chamados Modelos Mistos:
            Yt = (Tt + St) × Ct + εt
            Yt = Tt × St × Ct + εt
   Na escolha do modelo mais adequado a cada caso deve-
   se efectuar várias tentativas, com diferentes modelos,
   com vista a obter aquele que minimiza a componente
   residual, sem prejuízo da respectiva aleatoridade.
   Em todo caso, o método aditivo é o mais e simples e
   permite adaptar a sequencia de procedimentos ao caso
   multiplicativo.




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                        FE-UAN - 2006
Decomposição das séries cronológicas

Método aditivo:
   Admitamos que os valores de uma série cronológica são
   uma função aditiva das suas quatro componentes, isto
   é:
            Yt = Tt + St + Ct + εt
   Para isolar cada uma das componentes, o primeiro
   passo consiste em identificar o padrão da componente
   sazonal (ciclo sazonal) através da observação da
   sequência dos valores da série, ou de forma a ter uma
   ideia mais clara e imediata da evolução do fenómeno,
   através da construção de um cronograma (gráfico onde
   são apresentados os valores da variável em cada
   instante t).
   De forma a eliminar, ou pelo menos atenuar, a
   aleatoriedade e sazonalidade da série, calculam-se as
   médias móveis centradas de comprimento igual ao
   período sazonal.
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                        FE-UAN - 2006
Decomposição das séries cronológicas

Método aditivo:

   Deste modo, a média móvel centrada fica
   essencialmente constituída por tendência e
   componente cíclica, isto é:
           Mt = Tt + Ct
   Anulada a sazonalidade e a aleatoriedade,
   restam a tendência e a ciclicidade. Como a
   ciclicidade só é detectável em séries longas,
   considera-se apenas a tendência.
   Desta forma, os valores obtidos através das
   médias móveis centradas contêm a
   informação acerca da tendência da série.
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                        FE-UAN - 2006
Decomposição das séries cronológicas


Método aditivo:

  O estudo da tendência é feito através do já conhecido
  Método dos Mínimos Quadrados. Considerando t como a
  variável independente e Mt a variável dependente, a
  tendência da série será representada por uma recta do
  tipo
             Tt = a + b.X

  Desprezada a ciclicidade, ao retirar das observações
  iniciais os valores das médias móveis centradas (que
  contêm a informação acerca da tendência) cria-se uma
  série auxiliar    na qual está isolada a componente
  sazonal.



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                        FE-UAN - 2006
Decomposição das séries cronológicas


Método aditivo:
   Dizer que a sazonalidade tem período n, é o mesmo que
   dizer que existem n sub-períodos com comportamentos
   diferentes. Interessa saber como se comporta a
   sazonalidade em cada um destes sub-períodos. Para
   cada sub-periodo é calculado um índice de sazonalidade,
   Sj , que consiste na média aritmética dos valores
   referentes a esse período (que pode ser trimestre, etc.).
   Como se trata de um modelo aditivo, é necessário
   garantir que a soma dos índices sazonais para todos os
   sub-períodos é nula. Se tal não acontecer é necessário
   corrigir os índices obtidos, calculando novos índices
   através da fórmula:

               Sj = Sj − Sj
                  '
                                 ×
                                   ∑S        j
                                                 .
                                   ∑S        j


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                            FE-UAN - 2006
Decomposição das séries cronológicas

Método aditivo:

   Uma vez isoladas e estimadas as diversas componentes,
   as previsões para períodos futuros são elaboradas através
   da projecção dessas componentes para os instantes em
   causa através da equação:
                           Yt = Tt + St + Ct + εt
   que na prática, ignorada a ciclicidade, toma a forma:

                             Yt = Tt + St

Exemplo:
   Consideremos os valores de uma variável Yt, observados
   em 20 momentos distintos:


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Decomposição das séries cronológicas

Método aditivo:

                  t                yt

                  1                32

                  2                212

                  3                495

                  4                198

                  5                74

                  6                290

                  7                615

                  8                214

                  9                103

                  10               293

                  11               653

                  12               320

                  13               120

                  14               350

                  15               795

                  16               392

                  17               197

                  18               443

                  19               752

                  20               452


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                        FE-UAN - 2006
Decomposição das séries cronológicas

Método aditivo:

   O cronograma referente aos valores apresentados será:

     900
     800
     700
     600
     500
     400
     300
     200
     100
       0
           0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21


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                              FE-UAN - 2006
Decomposição das séries cronológicas

Método aditivo:

   Através da observação da sequência dos valores na
   tabela, ou no gráfico, facilmente se verifica que, em cada
   ciclo sazonal, os valores têm um comportamento do tipo

       “sobe” – “sobe” – “desce” – “desce”

   o que indica que a sazonalidade tem período 4.

   Para anular a sazonalidade é necessário que as médias
   móveis calculadas tenham comprimento igual ao período
   da sazonalidade.

   Vamos então comparar os resultados que se obtêm
   calculando médias móveis centradas de comprimento 3 e
   4.

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                         FE-UAN - 2006
Decomposição das séries cronológicas


Método aditivo:

   Médias móveis de comprimento 3
   Quando se pretendem calcular médias móveis de
   comprimento impar, usam-se tantos valores quanto os
   indicados pelo comprimento da média, considerando o do
   meio como centro. Por exemplo, no calculo de médias
   centradas de comprimento 3:
         y + y2 + y3   32 + 212 + 495
    M2 = 1           =                = 246,3
              3               3
        y2 + y3 + y4   212 + 495 + 198
   M3 =              =                 = 301,7
             3                3
            y 18 + y 19 + y 20   443 + 752 + 452
    M19   =                    =                 = 549,0
                    3                   3

                               Por: E. Seno                27
                             FE-UAN - 2006
Decomposição das séries cronológicas

Método aditivo:

Médias móveis          t           yt
                                                       Mt
                                                 Comprimento n=3
de comprimento         1          32
3.
                                            32 + 212 + 495
                       2         212                       = 246,3
                                                   3
                                            212 + 495 + 198
                       3         495                        = 301,7
                                                   3
                       4         198
                      …           …                    …
                      18         443
                                            443 + 752 + 452
                      19         752                        = 549,0
                                                   3
                      20         452

                             Por: E. Seno                             28
                           FE-UAN - 2006
Decomposição das séries cronológicas

Método aditivo:

   Médias móveis de comprimento 4
   Quando se pretende calcular uma média móvel, de
   comprimento par, para que esta possa ser centrada é
   necessário usar um número impar de valores, mas
   considerando um número de parcelas igual ao comprimento
   da média.

   Para uma média centrada de comprimento 4, são necessários
   5 valores, um ao centro e dois para cada lado. Para garantir
   que no cálculo entram apenas 4 parcelas utiliza-se apenas
   metade do primeiro e do último valores. Por exemplo:
        y1                   y    32                     74
           + y 2 + y3 + y 4 + 5      + 212 + 495 + 198 +
   M3 = 2                     2 = 2                       2 = 239,5
                   4                          4
                              Por: E. Seno                            29
                            FE-UAN - 2006
Decomposição das séries cronológicas

Método aditivo:
                                                        Mt
                              t      yt
   Médias móveis de                               Comprimento n=4
   comprimento 4              1     32
                              2     212
                                           32                     74
                                              + 212 + 495 + 198 +
                              3     495     2                      2 = 239,5
                                                       3
                              4     198
                              5     74
                             …      …                     …
   e desta forma,
                             16     392
                             17     197
                                           392                     452
                                               + 197 + 443 + 752 +
                             18     443     2                       2 = 453,5
                                                        4
                             19     752
                             20     452

                            Por: E. Seno                                        30
                          FE-UAN - 2006
Decomposição das séries cronológicas

Método aditivo:
                                                      Médias móveis centradas

                               t     yt    Comprim n=3                   Comprim n=4

                               1     32

                               2     212      246,3

                               3     495      301,7                             239,5

                               4     198      255,7                             254,5

                               5     74       187,3                         279,25

                               6     290      326,3                         296,25

                               7     615      373,0                        301,875

                               8     214      310,7                        305,875

                               9     103      203,3                             311

                               10    293      349,7                             329

                               11    653      422,0                        344,375

                               12    320      364,3                        353,625

                               13    120      263,3                             378,5

                               14    350      421,7                         405,25

                               15    795      512,3                        423,875

                               16    392      461,3                        445,125

                               17    197      344,0                        451,375

                               18    443      464,0                             453,5

                               19    752      549,0

                               20    452


                          Por: E. Seno                                                  31
                        FE-UAN - 2006
Decomposição das séries cronológicas

Método aditivo:



900
800
                                                                      Legenda do gráfico
700
                                                                         Observações
600
500                                                                      Médias móveis de
                                                                         comprimento 3
400
                                                                         Médias móveis de
300                                                                      comprimento 4

200

100
 0
      0 1   2 3 4 5   6 7 8   9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21




                                        Por: E. Seno                                   32
                                      FE-UAN - 2006
Decomposição das séries cronológicas

Método aditivo:

   Observando a representação gráfica dos valores
   das médias móveis centradas constata-se que
   realmente é o comprimento 4 (que corresponde ao
   período da sazonalidade) que permite anular a
   sazonalidade, dando origem a uma sequencia de
   pontos “ quase em linha recta”.




                          Por: E. Seno              33
                        FE-UAN - 2006
Decomposição das séries cronológicas

Método aditivo:

Análise da tendência
                         t               Mt Comprimento n=4

                         1

                         2

                         3                     239,5

                         4                     254,5

                         5                     279,25

                         6                     296,25

                         7                    301,875

                         8                    305,875

                         9                      311

                         10                     329

                         11                   344,375

                         12                   353,625

                         13                    378,5

                         14                    405,25

                         15                   423,875

                         16                   445,125

                         17                   451,375

                         18                    453,5

                         19

                         20


                          Por: E. Seno                        34
                        FE-UAN - 2006
Decomposição das séries cronológicas

Método aditivo:

   Usando o método do mínimos quadrados, com Mt como
   variável dependente e t como variável independente,
   obtém-se a recta Tt = 14,666t + 194,32 que traduz a
   tendência da série.
        500

        450

        400

        350

        300
                               y = 14,666x + 194,32
        250

        200
              0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19


                                 Por: E. Seno                     35
                               FE-UAN - 2006
Decomposição das séries cronológicas


Método aditivo:
                                   t     yt    Mt Comprimento n=4   Xt=Yt-Mt
Análise da Sazonalidade            1     32

                                   2     212

                                   3     495         239,5           255,5

   Para isolar a componente        4     198         254,5           -56,5


   sazonal cria-se uma série
                                   5     74         279,25          -205,3

                                   6     290        296,25            -6,3

   auxiliar X t = Yt − M t         7     615        301,875          313,1

                                   8     214        305,875          -91,9

                                   9     103          311           -208,0

                                   10    293          329            -36,0

                                   11    653        344,375          308,6

                                   12    320        353,625          -33,6

                                   13    120         378,5          -258,5

                                   14    350        405,25           -55,3

                                   15    795        423,875          371,1

                                   16    392        445,125          -53,1

                                   17    197        451,375         -254,4

                                   18    443         453,5           -10,5

                                   19    752

                                   20    452



                          Por: E. Seno                                       36
                        FE-UAN - 2006
Decomposição das séries cronológicas

Método aditivo:

Análise da Sazonalidade


   Como a sazonalidade tem período 4, existem 4 sub-
   períodos. Para cada é calculado um índice de
   sazonalidade, que consiste na média aritmética dos
   valores referentes a esse sub-período.

   Como soma dos índices sazonais para todos os sub-
   períodos deve ser nula, calcularam-se os índices
   sazonais corrigidos, S’j.




                          Por: E. Seno              37
                        FE-UAN - 2006
Decomposição das séries cronológicas

Método aditivo:


        1º sub-per   2º sub-per   3º sub-per    4º sub-per

                                      255,500      -56,500

          -205,250       -6,250       313,125      -91,875

          -208,000      -36,000       308,625      -33,625

          -258,500      -55,250       371,125      -53,125
          -254,375      -10,500                              Somas
  Sj      -231,531      -27,000       312,094      -58,781    -5,219
 |Sj|      231,531       27,000       312,094       58,781   629,406
 S’j      -229,611      -26,776       314,681      -58,294        0

                              Por: E. Seno                        38
                            FE-UAN - 2006
Decomposição das séries cronológicas

Método aditivo:


   Uma vez isoladas e estimadas as diversas
   componentes, as previsões para períodos
   futuros são elaboradas através da projecção
   dessas componentes para os instantes em
   causa através da equação


              y t = Tt + S t


                          Por: E. Seno              39
                        FE-UAN - 2006
Decomposição das séries cronológicas

Método aditivo:

Previsão
   Previsão para o valor da variável no instante 21:
            ŷ21 = T21 + S21

      Recorrendo à recta de mínimos quadrados calculada
      anteriormente:
              T21 = 14,6666×21 + 194,32 = 502,29375.
   A sazonalidade no instante 21 é dada pelo índice corrigido
   referente ao sub-periodo 1:
      S21 =S’1 =   – 229,611
   Assim:
       ŷ21 = T21 + S21 = 502,29375        – 229,611 = 272,682.
                           Por: E. Seno                      40
                         FE-UAN - 2006
Decomposição das séries cronológicas

Método aditivo:

   Previsão para o valor da variável nos instantes 22 e 23.

   ŷ22 = T22 + S22 = 490,183.



   ŷ23 = T23 + S23 = 846,306.




                           Por: E. Seno                       41
                         FE-UAN - 2006
Decomposição das séries cronológicas

Método multiplicativo:

   Como foi dito, é possível adaptar a sequencia de
   procedimentos do caso aditivo ao caso multiplicativo,
   havendo apenas a especificar o seguinte:
      Sabemos aqui que os valores da série cronológica são uma
      função multiplicativa das suas quatro componentes, isto é:
              Yt = Tt × St × Ct × εt
      Logo, a média móvel centrada fica essencialmente
      constituída por tendência e componente cíclica, isto é:
               Mt = T t × C t
      A série auxiliar Xt será obtida pelo quociente entre os
      valores observados e as médias móveis, isto é:
              Xt = yt / Mt


                            Por: E. Seno                      42
                          FE-UAN - 2006
Decomposição das séries cronológicas

Método multiplicativo:

      A soma dos índices sazonais para todos os sub-períodos
      tem que ser igual ao número de sub-períodos × 100.

      Se tal não acontecer, é necessário corrigir os índices
      obtidos, calculando novos índices através da fórmula:

                                        K
                     Sj = Sj ×
                       '
                                    K
                                                .
                                   ∑S
                                    j =1
                                            j



   Exemplo:
      Consideremos a seguinte distribuição das vendas de gelado
      nos últimos quatro anos.


                             Por: E. Seno                    43
                           FE-UAN - 2006
Decomposição das séries cronológicas

Método multiplicativo:

               Anos           Trimestre   yt

              2002                I             1

                                 II             2

                                 III            5

                                 IV             2

              2003                I             1

                                 II             3

                                 III            6

                                 IV             3

              2004                I             2

                                 II             4

                                 III            8

                                 IV             4

              2005                I             3

                                 II             6

                                 III           10

                                 IV             5


                           Por: E. Seno             44
                         FE-UAN - 2006
Decomposição das séries cronológicas

Método multiplicativo:

   O cronograma referente aos valores apresentados será:

  12


  10


   8


   6


   4


   2


   0
       0       5             10           15      20




                           Por: E. Seno                45
                         FE-UAN - 2006
Decomposição das séries cronológicas

Método multiplicativo:

   Através da observação da sequência dos valores na
   tabela, ou no gráfico, facilmente se verifica que, em cada
   ciclo sazonal, os valores têm um comportamento do tipo

       “sobe” – “sobe” – “desce” – “desce”

   o que indica que a sazonalidade tem período 4.

   Para anular a sazonalidade é necessário que as médias
   móveis calculadas tenham comprimento igual ao período
   da sazonalidade. Neste caso calculamos médias móveis
   centradas de cumprimento 4.




                           Por: E. Seno                    46
                         FE-UAN - 2006
Decomposição das séries cronológicas

Método multiplicativo:
                                t         yt        Mt (n=4)
Médias móveis                       1          1

  centradas de                      2          2

  cumprimento 4.                    3          5               2,5
                                    4          2          2,625
                                    5          1          2,875
                                    6          3          3,125
                                    7          6          3,375
                                    8          3          3,625
                                    9          2                4
                                    10         4          4,375
                                    11         8          4,625
                                    12         4                5
                                    13         3               5,5
                                    14         6          5,875
                                    15         10
                                    16         5
                           Por: E. Seno                              47
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Decomposição das séries cronológicas
Método multiplicativo:


  12


  10


   8
                                                Valores
                                                observados
   6


   4                                            Médias
                                                móveis
                                                centradas de
                                                cumprimento
   2                                            4



   0
       0     5           10           15   20

                           Por: E. Seno                      48
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Decomposição das séries cronológicas

Método multiplicativo:

Análise da tendência        t             Mt (n=4)
                                3                      2,5
                                4                    2,625
                                5                    2,875
                                6                    3,125
                                7                    3,375
                                8                    3,625
                                9                       4
                                10                   4,375
                                11                   4,625
                                12                      5
                                13                     5,5
                                14                   5,875

                           Por: E. Seno                      49
                         FE-UAN - 2006
Decomposição das séries cronológicas

Método multiplicativo:

   Usando o método do mínimos quadrados, com Mt como
   variável dependente e t como variável independente,
   obtém-se a recta Tt = 1,320659 + 0,310315t que traduz
   a tendência da série.
     7
     6
     5         T t =1,320659 + 0,310315t
     4
     3
     2
     1
     0
     0     2            4            6          8         10   12   14   16
                                           Por: E. Seno                       50
                                         FE-UAN - 2006
Decomposição das séries cronológicas

Método multiplicativo:
                                   t       yt        Mt (n=4)    Xt=yt/Mt
Análise da sazonalidade                1        1
                                       2        2
                                       3        5          2,5              2
   Para isolar a componente
                                       4        2       2,625    0,7619048
   sazonal cria-se uma série           5        1       2,875    0,3478261
   auxiliar Xt = Yt / Mt               6        3       3,125         0,96
                                       7        6       3,375    1,7777778
                                       8        3       3,625    0,8275862
                                       9        2           4           0,5
                                   10           4       4,375    0,9142857
                                   11           8       4,625    1,7297297
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                                   13           3          5,5   0,5454545
                                   14           6       5,875    1,0212766
                                   15           10
                                   16           5

                           Por: E. Seno                                 51
                         FE-UAN - 2006
Decomposição das séries cronológicas

Método multiplicativo:

Análise da Sazonalidade



   Como a sazonalidade tem período 4, existem 4
   trimestres. Para cada é calculado um índice de
   sazonalidade, que consiste na média aritmética dos
   valores referentes a esse trimestre.

   Como soma dos índices sazonais para todos os
   trimestres deve ser igual a 4, calcularam-se os índices
   sazonais corrigidos, S’j.



                           Por: E. Seno                 52
                         FE-UAN - 2006
Decomposição das séries cronológicas

Método multiplicativo:




  Anos    1º trim.   2º trim.      3º trim.       4º trim.
   2002                                   2,000      0,762
   2003      0,348       0,960            1,778      0,828
   2004      0,500       0,914            1,730      0,800
   2005      0,545       1,021                               Somas
   Sj        0,464       0,965            1,836      0,796   4,062
   S’j       0,457       0,950            1,808      0,784   4,000



                           Por: E. Seno                         53
                         FE-UAN - 2006
Decomposição das séries cronológicas
Método multiplicativo:


   Uma vez isoladas e estimadas as
   diversas componentes, as previsões
   para períodos futuros são elaboradas
   através     da     projecção  dessas
   componentes para os instantes em
   causa através da equação

                  Yt = Tt × St


                           Por: E. Seno           54
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Análise de séries cronológicas

  • 1. Material para os estudantes do 2.º ano ANÁLISE DE SÉRIES CRONOLÓGICAS Por: E. Seno 1 FE-UAN - 2006
  • 2. Aspectos gerais Objectivos: identificar a natureza do fenómeno que é representado pela sequência de observações (através da procura de um padrão de comportamento); descrever o comportamento das observações através de um modelo matemático; prever a evolução futura do fenómeno; rever as decisões tomadas e estabelecer estratégias. Por: E. Seno 2 FE-UAN - 2006
  • 3. Aspectos gerais Definição: A classe de fenómenos cujo processo observacional e consequente quantificação numérica gera uma sequência de dados distribuídos no tempo é denominada série temporal. Uma série cronológica (ou temporal) é um conjunto ordenado de valores de uma variável Yt observados em intervalos regulares de tempo (semanas, meses, trimestres, anos, etc.). Para períodos de tempo sucessivos (iguais) atribui- se à variável independente t os valores 1,2, …, n , constituindo-se assim a variável dependente Yt. Por: E. Seno 3 FE-UAN - 2006
  • 4. Aspectos gerais Exemplos de séries cronológicas: A velocidade máxima do vento em cada dia Índices de produção Industrial Taxas de juro Concentração de fosfatos num determinado curso de água Produto Interno Bruto Vendas trimestrais Evolução da população Por: E. Seno 4 FE-UAN - 2006
  • 5. Comportamento típico das séries cronológicas Série aleatória: Uma série aleatória (ruído branco) resulta de oscilações aleatórias em torno de determinado valor (que se designa por nível), isto é: Yt = µ + εt t = 1, 2, …, n Série cronológica aleatória 9 8 7 6 5 4 3 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Como o seu comportamento é aleatório, não é possível usar as observações passadas para prever o futuro. Por: E. Seno 5 FE-UAN - 2006
  • 6. Comportamento típico das séries cronológicas Série com tendência: Uma série com tendência caracteriza-se por revelar, ao longo do tempo, um comportamento que pode ser linear, não linear, crescente, decrescente ou constante. Este tipo de série pode ser representado por: Yt = µt + εt t = 1, 2, …, n em que o nível µ t = µ t −1 + τ t −1 , (onde τ t −1 é a taxa de crescimento da série no instante t) varia de acordo com a tendência. Série com tendência 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Por: E. Seno 6 FE-UAN - 2006
  • 7. Comportamento típico das séries cronológicas Série com sazonalidade: Uma série com sazonalidade revela uma periodicidade fixa no seu comportamento. Consideremos a série representada na figura seguinte. Série com tendência e sazonalidade 16 14 12 10 8 6 4 2 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Por: E. Seno 7 FE-UAN - 2006
  • 8. Comportamento típico das séries cronológicas Série com sazonalidade: Através da observação da evolução dos valores da variável nos instantes sucessivos, facilmente se verifica que a série apresenta uma tendência crescente, uma vez que o nível da série aumenta ao longo do tempo. Para além disso também ressalta que, de 3 em 3 unidades de tempo, o comportamento de “subidas” e “descidas” se repete. Isto significa que, para além da tendência crescente existe também nesta série uma sazonalidade cujo período tem comprimento 3. Uma série que apresente tendência e sazonalidade pode ser representada por: Yt = µt + φt + εt t = 1, 2, …, n onde µt representa o nível da série e φt a componente sazonal da série, no instante t. Por: E. Seno 8 FE-UAN - 2006
  • 9. Decomposição das séries cronológicas Componentes de uma série: A análise dos valores de uma série cronológica, tal e qual como eles se nos apresentam, pouco nos revela, uma vez que esses valores incluem os efeitos de diferentes factores, sejam eles económicos, sociais, culturais, climáticos ou outros. Para que possa ser feita uma análise rigorosa de uma série cronológica, é vantajoso isolar as diferentes componentes que representam os factores que influenciam os valores da série. Por: E. Seno 9 FE-UAN - 2006
  • 10. Decomposição das séries cronológicas Componentes de uma série: São quatro as componentes de uma série cronológica: Tendência Sazonalidade (ou componente sazonal) Ciclicidade (ou componente cíclica) Componente aleatória Por: E. Seno 10 FE-UAN - 2006
  • 11. Decomposição das séries cronológicas Componentes de uma série: A tendência representa o movimento geral e de longo prazo da série, reflectindo a evolução global no sentido do crescimento (ou decrescimento) do nível da série. Para identificar esta componente é necessário retirar à série todas as flutuações. A sazonalidade representa as flutuações periódicas da variável. Estas flutuações com periodicidade fixa (o ciclo sazonal) provocam variações alteradas das observações relativamente ao nível da série. Por: E. Seno 11 FE-UAN - 2006
  • 12. Decomposição das séries cronológicas Componentes de uma série: A ciclicidade reflecte movimentos oscilatórios (sem periodicidade fixa) que afectam a tendência global da série, sendo apenas detectáveis para séries longas. Esta componente aparece muitas vezes associadas aos ciclos da actividade económica, em que existe alternância entre períodos de crescimento com outros de depressão. A componente aleatória tem um carácter casual e portanto imprevisível. Por: E. Seno 12 FE-UAN - 2006
  • 13. Decomposição das séries cronológicas Métodos de decomposição: Através do método de decomposição é possível identificar e isolar cada uma das componentes da série, encontrar processos adequados para estimar cada uma delas e encontrar o modelo matemático que melhor traduz a série. Sendo: yt o valor observado para o período t, Tt a tendência no período t, St a sazonalidade no período t, Ct a ciclicidade no período t e εt o ruído (componente aleatória) no período t, cada valor yt da variável em estudo será uma função das quatro componentes, isto é: Yt = f(Tt, St, Ct, εt) Por: E. Seno 13 FE-UAN - 2006
  • 14. Decomposição das séries cronológicas Métodos de decomposição: Considerando que os valores da variável são o resultado da soma dos valores das quatro componentes, Yt = Tt + St + Ct + εt está-se a utilizar um Modelo aditivo Por: E. Seno 14 FE-UAN - 2006
  • 15. Decomposição das séries cronológicas Métodos de decomposição: Pressupostos: i. Cada componente é independentemente responsável por uma parcela do valor observado; ii. As diferentes componentes não estão correlacionadas; iii. Cada componente é definida na mesma unidade de medida dos valores observados. Os modelos aditivos utilizam-se usualmente quando as variações periódicas têm uma amplitude que se mantém aproximadamente constante, mesmo que a tendência não o seja. Por: E. Seno 15 FE-UAN - 2006
  • 16. Decomposição das séries cronológicas Métodos de decomposição: Considerando que os valores da variável são o resultado do produto dos valores das quatro componentes, Yt = Tt × St × Ct × εt está-se a utilizar um Modelo multiplicativo Por: E. Seno 16 FE-UAN - 2006
  • 17. Decomposição das séries cronológicas Métodos de decomposição: Pressupostos: i. Os efeitos das componentes não são independentes entre si. ii. As diferentes componentes estão correlacionadas; iii. Apenas a Tendência é definida na mesma unidade de medida da série cronológica, as restantes estão definidas percentualmente em relação à Tendência. Os modelos multiplicativos utilizam-se quando as variações periódicas vão crescendo [decrescendo] em amplitude. Por: E. Seno 17 FE-UAN - 2006
  • 18. Decomposição das séries cronológicas Métodos de decomposição: Existe também a possibilidade de variações entre estes dois modelos, obtendo-se os chamados Modelos Mistos: Yt = (Tt + St) × Ct + εt Yt = Tt × St × Ct + εt Na escolha do modelo mais adequado a cada caso deve- se efectuar várias tentativas, com diferentes modelos, com vista a obter aquele que minimiza a componente residual, sem prejuízo da respectiva aleatoridade. Em todo caso, o método aditivo é o mais e simples e permite adaptar a sequencia de procedimentos ao caso multiplicativo. Por: E. Seno 18 FE-UAN - 2006
  • 19. Decomposição das séries cronológicas Método aditivo: Admitamos que os valores de uma série cronológica são uma função aditiva das suas quatro componentes, isto é: Yt = Tt + St + Ct + εt Para isolar cada uma das componentes, o primeiro passo consiste em identificar o padrão da componente sazonal (ciclo sazonal) através da observação da sequência dos valores da série, ou de forma a ter uma ideia mais clara e imediata da evolução do fenómeno, através da construção de um cronograma (gráfico onde são apresentados os valores da variável em cada instante t). De forma a eliminar, ou pelo menos atenuar, a aleatoriedade e sazonalidade da série, calculam-se as médias móveis centradas de comprimento igual ao período sazonal. Por: E. Seno 19 FE-UAN - 2006
  • 20. Decomposição das séries cronológicas Método aditivo: Deste modo, a média móvel centrada fica essencialmente constituída por tendência e componente cíclica, isto é: Mt = Tt + Ct Anulada a sazonalidade e a aleatoriedade, restam a tendência e a ciclicidade. Como a ciclicidade só é detectável em séries longas, considera-se apenas a tendência. Desta forma, os valores obtidos através das médias móveis centradas contêm a informação acerca da tendência da série. Por: E. Seno 20 FE-UAN - 2006
  • 21. Decomposição das séries cronológicas Método aditivo: O estudo da tendência é feito através do já conhecido Método dos Mínimos Quadrados. Considerando t como a variável independente e Mt a variável dependente, a tendência da série será representada por uma recta do tipo Tt = a + b.X Desprezada a ciclicidade, ao retirar das observações iniciais os valores das médias móveis centradas (que contêm a informação acerca da tendência) cria-se uma série auxiliar na qual está isolada a componente sazonal. Por: E. Seno 21 FE-UAN - 2006
  • 22. Decomposição das séries cronológicas Método aditivo: Dizer que a sazonalidade tem período n, é o mesmo que dizer que existem n sub-períodos com comportamentos diferentes. Interessa saber como se comporta a sazonalidade em cada um destes sub-períodos. Para cada sub-periodo é calculado um índice de sazonalidade, Sj , que consiste na média aritmética dos valores referentes a esse período (que pode ser trimestre, etc.). Como se trata de um modelo aditivo, é necessário garantir que a soma dos índices sazonais para todos os sub-períodos é nula. Se tal não acontecer é necessário corrigir os índices obtidos, calculando novos índices através da fórmula: Sj = Sj − Sj ' × ∑S j . ∑S j Por: E. Seno 22 FE-UAN - 2006
  • 23. Decomposição das séries cronológicas Método aditivo: Uma vez isoladas e estimadas as diversas componentes, as previsões para períodos futuros são elaboradas através da projecção dessas componentes para os instantes em causa através da equação: Yt = Tt + St + Ct + εt que na prática, ignorada a ciclicidade, toma a forma: Yt = Tt + St Exemplo: Consideremos os valores de uma variável Yt, observados em 20 momentos distintos: Por: E. Seno 23 FE-UAN - 2006
  • 24. Decomposição das séries cronológicas Método aditivo: t yt 1 32 2 212 3 495 4 198 5 74 6 290 7 615 8 214 9 103 10 293 11 653 12 320 13 120 14 350 15 795 16 392 17 197 18 443 19 752 20 452 Por: E. Seno 24 FE-UAN - 2006
  • 25. Decomposição das séries cronológicas Método aditivo: O cronograma referente aos valores apresentados será: 900 800 700 600 500 400 300 200 100 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 Por: E. Seno 25 FE-UAN - 2006
  • 26. Decomposição das séries cronológicas Método aditivo: Através da observação da sequência dos valores na tabela, ou no gráfico, facilmente se verifica que, em cada ciclo sazonal, os valores têm um comportamento do tipo “sobe” – “sobe” – “desce” – “desce” o que indica que a sazonalidade tem período 4. Para anular a sazonalidade é necessário que as médias móveis calculadas tenham comprimento igual ao período da sazonalidade. Vamos então comparar os resultados que se obtêm calculando médias móveis centradas de comprimento 3 e 4. Por: E. Seno 26 FE-UAN - 2006
  • 27. Decomposição das séries cronológicas Método aditivo: Médias móveis de comprimento 3 Quando se pretendem calcular médias móveis de comprimento impar, usam-se tantos valores quanto os indicados pelo comprimento da média, considerando o do meio como centro. Por exemplo, no calculo de médias centradas de comprimento 3: y + y2 + y3 32 + 212 + 495 M2 = 1 = = 246,3 3 3 y2 + y3 + y4 212 + 495 + 198 M3 = = = 301,7 3 3 y 18 + y 19 + y 20 443 + 752 + 452 M19 = = = 549,0 3 3 Por: E. Seno 27 FE-UAN - 2006
  • 28. Decomposição das séries cronológicas Método aditivo: Médias móveis t yt Mt Comprimento n=3 de comprimento 1 32 3. 32 + 212 + 495 2 212 = 246,3 3 212 + 495 + 198 3 495 = 301,7 3 4 198 … … … 18 443 443 + 752 + 452 19 752 = 549,0 3 20 452 Por: E. Seno 28 FE-UAN - 2006
  • 29. Decomposição das séries cronológicas Método aditivo: Médias móveis de comprimento 4 Quando se pretende calcular uma média móvel, de comprimento par, para que esta possa ser centrada é necessário usar um número impar de valores, mas considerando um número de parcelas igual ao comprimento da média. Para uma média centrada de comprimento 4, são necessários 5 valores, um ao centro e dois para cada lado. Para garantir que no cálculo entram apenas 4 parcelas utiliza-se apenas metade do primeiro e do último valores. Por exemplo: y1 y 32 74 + y 2 + y3 + y 4 + 5 + 212 + 495 + 198 + M3 = 2 2 = 2 2 = 239,5 4 4 Por: E. Seno 29 FE-UAN - 2006
  • 30. Decomposição das séries cronológicas Método aditivo: Mt t yt Médias móveis de Comprimento n=4 comprimento 4 1 32 2 212 32 74 + 212 + 495 + 198 + 3 495 2 2 = 239,5 3 4 198 5 74 … … … e desta forma, 16 392 17 197 392 452 + 197 + 443 + 752 + 18 443 2 2 = 453,5 4 19 752 20 452 Por: E. Seno 30 FE-UAN - 2006
  • 31. Decomposição das séries cronológicas Método aditivo: Médias móveis centradas t yt Comprim n=3 Comprim n=4 1 32 2 212 246,3 3 495 301,7 239,5 4 198 255,7 254,5 5 74 187,3 279,25 6 290 326,3 296,25 7 615 373,0 301,875 8 214 310,7 305,875 9 103 203,3 311 10 293 349,7 329 11 653 422,0 344,375 12 320 364,3 353,625 13 120 263,3 378,5 14 350 421,7 405,25 15 795 512,3 423,875 16 392 461,3 445,125 17 197 344,0 451,375 18 443 464,0 453,5 19 752 549,0 20 452 Por: E. Seno 31 FE-UAN - 2006
  • 32. Decomposição das séries cronológicas Método aditivo: 900 800 Legenda do gráfico 700 Observações 600 500 Médias móveis de comprimento 3 400 Médias móveis de 300 comprimento 4 200 100 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 Por: E. Seno 32 FE-UAN - 2006
  • 33. Decomposição das séries cronológicas Método aditivo: Observando a representação gráfica dos valores das médias móveis centradas constata-se que realmente é o comprimento 4 (que corresponde ao período da sazonalidade) que permite anular a sazonalidade, dando origem a uma sequencia de pontos “ quase em linha recta”. Por: E. Seno 33 FE-UAN - 2006
  • 34. Decomposição das séries cronológicas Método aditivo: Análise da tendência t Mt Comprimento n=4 1 2 3 239,5 4 254,5 5 279,25 6 296,25 7 301,875 8 305,875 9 311 10 329 11 344,375 12 353,625 13 378,5 14 405,25 15 423,875 16 445,125 17 451,375 18 453,5 19 20 Por: E. Seno 34 FE-UAN - 2006
  • 35. Decomposição das séries cronológicas Método aditivo: Usando o método do mínimos quadrados, com Mt como variável dependente e t como variável independente, obtém-se a recta Tt = 14,666t + 194,32 que traduz a tendência da série. 500 450 400 350 300 y = 14,666x + 194,32 250 200 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 Por: E. Seno 35 FE-UAN - 2006
  • 36. Decomposição das séries cronológicas Método aditivo: t yt Mt Comprimento n=4 Xt=Yt-Mt Análise da Sazonalidade 1 32 2 212 3 495 239,5 255,5 Para isolar a componente 4 198 254,5 -56,5 sazonal cria-se uma série 5 74 279,25 -205,3 6 290 296,25 -6,3 auxiliar X t = Yt − M t 7 615 301,875 313,1 8 214 305,875 -91,9 9 103 311 -208,0 10 293 329 -36,0 11 653 344,375 308,6 12 320 353,625 -33,6 13 120 378,5 -258,5 14 350 405,25 -55,3 15 795 423,875 371,1 16 392 445,125 -53,1 17 197 451,375 -254,4 18 443 453,5 -10,5 19 752 20 452 Por: E. Seno 36 FE-UAN - 2006
  • 37. Decomposição das séries cronológicas Método aditivo: Análise da Sazonalidade Como a sazonalidade tem período 4, existem 4 sub- períodos. Para cada é calculado um índice de sazonalidade, que consiste na média aritmética dos valores referentes a esse sub-período. Como soma dos índices sazonais para todos os sub- períodos deve ser nula, calcularam-se os índices sazonais corrigidos, S’j. Por: E. Seno 37 FE-UAN - 2006
  • 38. Decomposição das séries cronológicas Método aditivo: 1º sub-per 2º sub-per 3º sub-per 4º sub-per 255,500 -56,500 -205,250 -6,250 313,125 -91,875 -208,000 -36,000 308,625 -33,625 -258,500 -55,250 371,125 -53,125 -254,375 -10,500 Somas Sj -231,531 -27,000 312,094 -58,781 -5,219 |Sj| 231,531 27,000 312,094 58,781 629,406 S’j -229,611 -26,776 314,681 -58,294 0 Por: E. Seno 38 FE-UAN - 2006
  • 39. Decomposição das séries cronológicas Método aditivo: Uma vez isoladas e estimadas as diversas componentes, as previsões para períodos futuros são elaboradas através da projecção dessas componentes para os instantes em causa através da equação y t = Tt + S t Por: E. Seno 39 FE-UAN - 2006
  • 40. Decomposição das séries cronológicas Método aditivo: Previsão Previsão para o valor da variável no instante 21: ŷ21 = T21 + S21 Recorrendo à recta de mínimos quadrados calculada anteriormente: T21 = 14,6666×21 + 194,32 = 502,29375. A sazonalidade no instante 21 é dada pelo índice corrigido referente ao sub-periodo 1: S21 =S’1 = – 229,611 Assim: ŷ21 = T21 + S21 = 502,29375 – 229,611 = 272,682. Por: E. Seno 40 FE-UAN - 2006
  • 41. Decomposição das séries cronológicas Método aditivo: Previsão para o valor da variável nos instantes 22 e 23. ŷ22 = T22 + S22 = 490,183. ŷ23 = T23 + S23 = 846,306. Por: E. Seno 41 FE-UAN - 2006
  • 42. Decomposição das séries cronológicas Método multiplicativo: Como foi dito, é possível adaptar a sequencia de procedimentos do caso aditivo ao caso multiplicativo, havendo apenas a especificar o seguinte: Sabemos aqui que os valores da série cronológica são uma função multiplicativa das suas quatro componentes, isto é: Yt = Tt × St × Ct × εt Logo, a média móvel centrada fica essencialmente constituída por tendência e componente cíclica, isto é: Mt = T t × C t A série auxiliar Xt será obtida pelo quociente entre os valores observados e as médias móveis, isto é: Xt = yt / Mt Por: E. Seno 42 FE-UAN - 2006
  • 43. Decomposição das séries cronológicas Método multiplicativo: A soma dos índices sazonais para todos os sub-períodos tem que ser igual ao número de sub-períodos × 100. Se tal não acontecer, é necessário corrigir os índices obtidos, calculando novos índices através da fórmula: K Sj = Sj × ' K . ∑S j =1 j Exemplo: Consideremos a seguinte distribuição das vendas de gelado nos últimos quatro anos. Por: E. Seno 43 FE-UAN - 2006
  • 44. Decomposição das séries cronológicas Método multiplicativo: Anos Trimestre yt 2002 I 1 II 2 III 5 IV 2 2003 I 1 II 3 III 6 IV 3 2004 I 2 II 4 III 8 IV 4 2005 I 3 II 6 III 10 IV 5 Por: E. Seno 44 FE-UAN - 2006
  • 45. Decomposição das séries cronológicas Método multiplicativo: O cronograma referente aos valores apresentados será: 12 10 8 6 4 2 0 0 5 10 15 20 Por: E. Seno 45 FE-UAN - 2006
  • 46. Decomposição das séries cronológicas Método multiplicativo: Através da observação da sequência dos valores na tabela, ou no gráfico, facilmente se verifica que, em cada ciclo sazonal, os valores têm um comportamento do tipo “sobe” – “sobe” – “desce” – “desce” o que indica que a sazonalidade tem período 4. Para anular a sazonalidade é necessário que as médias móveis calculadas tenham comprimento igual ao período da sazonalidade. Neste caso calculamos médias móveis centradas de cumprimento 4. Por: E. Seno 46 FE-UAN - 2006
  • 47. Decomposição das séries cronológicas Método multiplicativo: t yt Mt (n=4) Médias móveis 1 1 centradas de 2 2 cumprimento 4. 3 5 2,5 4 2 2,625 5 1 2,875 6 3 3,125 7 6 3,375 8 3 3,625 9 2 4 10 4 4,375 11 8 4,625 12 4 5 13 3 5,5 14 6 5,875 15 10 16 5 Por: E. Seno 47 FE-UAN - 2006
  • 48. Decomposição das séries cronológicas Método multiplicativo: 12 10 8 Valores observados 6 4 Médias móveis centradas de cumprimento 2 4 0 0 5 10 15 20 Por: E. Seno 48 FE-UAN - 2006
  • 49. Decomposição das séries cronológicas Método multiplicativo: Análise da tendência t Mt (n=4) 3 2,5 4 2,625 5 2,875 6 3,125 7 3,375 8 3,625 9 4 10 4,375 11 4,625 12 5 13 5,5 14 5,875 Por: E. Seno 49 FE-UAN - 2006
  • 50. Decomposição das séries cronológicas Método multiplicativo: Usando o método do mínimos quadrados, com Mt como variável dependente e t como variável independente, obtém-se a recta Tt = 1,320659 + 0,310315t que traduz a tendência da série. 7 6 5 T t =1,320659 + 0,310315t 4 3 2 1 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 Por: E. Seno 50 FE-UAN - 2006
  • 51. Decomposição das séries cronológicas Método multiplicativo: t yt Mt (n=4) Xt=yt/Mt Análise da sazonalidade 1 1 2 2 3 5 2,5 2 Para isolar a componente 4 2 2,625 0,7619048 sazonal cria-se uma série 5 1 2,875 0,3478261 auxiliar Xt = Yt / Mt 6 3 3,125 0,96 7 6 3,375 1,7777778 8 3 3,625 0,8275862 9 2 4 0,5 10 4 4,375 0,9142857 11 8 4,625 1,7297297 12 4 5 0,8 13 3 5,5 0,5454545 14 6 5,875 1,0212766 15 10 16 5 Por: E. Seno 51 FE-UAN - 2006
  • 52. Decomposição das séries cronológicas Método multiplicativo: Análise da Sazonalidade Como a sazonalidade tem período 4, existem 4 trimestres. Para cada é calculado um índice de sazonalidade, que consiste na média aritmética dos valores referentes a esse trimestre. Como soma dos índices sazonais para todos os trimestres deve ser igual a 4, calcularam-se os índices sazonais corrigidos, S’j. Por: E. Seno 52 FE-UAN - 2006
  • 53. Decomposição das séries cronológicas Método multiplicativo: Anos 1º trim. 2º trim. 3º trim. 4º trim. 2002 2,000 0,762 2003 0,348 0,960 1,778 0,828 2004 0,500 0,914 1,730 0,800 2005 0,545 1,021 Somas Sj 0,464 0,965 1,836 0,796 4,062 S’j 0,457 0,950 1,808 0,784 4,000 Por: E. Seno 53 FE-UAN - 2006
  • 54. Decomposição das séries cronológicas Método multiplicativo: Uma vez isoladas e estimadas as diversas componentes, as previsões para períodos futuros são elaboradas através da projecção dessas componentes para os instantes em causa através da equação Yt = Tt × St Por: E. Seno 54 FE-UAN - 2006