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Probabilidade A Teoria da Probabilidade começou no século 17, quando dois matemáticos franceses, Blaise Pascal e Pierre de Fermat  trocaram correspondência para discutir problemas matemáticos que lidam com jogos de azar.  As aplicações da teoria da probabilidade na investigação humana, inclui aspectos de programação de computadores, astrofísica, música, previsão do tempo, e etc.       
Probabilidade Se atirarmos uma moeda para o alto que cai em uma superfície inelástica, ao cair mostrara uma de suas faces cara ou coroa. Se pensarmos sobre o assunto, veremos também que existe a possibilidade dela cair em pé, que na prática nunca acontece. Aqui reside a dificuldade principal da teoria das probabilidades e sua relação com o mundo real.  O que acontecerá se continuarmos a atirar a moeda indefinidamente. Quantas caras ou coroas obteremos. Observamos que existem chances iguais da moeda cair com a face cara ou coroa para cima e que o número médio de cara ou coroas seja o mesmo. O que representa a lei das médias?  Tudo depende do que significa lei ou media, a lei da media diz que se atirarmos uma moeda cem vezes, ela cairá 50 vezes com a uma das faces para cima.  “ Assim disse o oráculo e não há discussão”.
Probabilidade   Se o leitor acha esta afirmação correta, e joga a moeda para o alto cem vezes, se não acontecer à relação de 50 para 50, o experimento deverá ser repetido.  Se obtiver exatamente a relação 50 para 50 a lei das média não é uma lei, mas expressa o sentimento de que eventos incomuns não acontecem freqüentemente.  Já que uma moeda cai com a face cara ou coroa para cima, e que as possibilidades são provavelmente iguais e se a moeda não for mais pesada de uma lado do que do outro e que o jogador a atira randomicamente, podemos dizer que as chances da face cara ocorrer é de 1 para 2 ou que a probabilidade é de 1/2.
Probabilidade Se uma moeda for atirada para cima muitas vezes (N) a face cara aparecerá ½ N vezes.  Se uma moeda atirada N vezes e se N1 representar o numero de vezes em que a cara face cara ocorreu, então a relação N1 / N não conduzirá ao valor ½ , mesmo que N cresça indefinidamente.
Probabilidade   Esta Definição é chamada de  freqüência da probabilidade , mas se em um experimento a relação N/N1 não nos conduz ao resultado 1 / 2, podemos dizer que: a moeda não é confiável ou que a moeda não está sendo atirada randomicamente.  Tudo que podemos afirmar sobre o termo randomicamente é que representa um comportamento que se encaixa na teoria matemática das probabilidades, seres humanos não conseguem interagir randomicamente.  Não seria difícil construir uma máquina que sempre atire uma moeda para alto sobre uma superfície inelástica cuja face seja sempre cara, mas como poderemos nos certificar que um ser humano poderia fazê-lo da mesma maneira.
Probabilidade Em um grande experimento, baseado na teoria das probabilidades, que postulou o comportamento randômico, era importante jogar sementes em buracos no solo, de modo que nenhum deles fosse beneficiado com mais sementes do outro qualquer.  O procedimento foi para que o agricultor fechasse os olhos e apanhasse um punhado de sementes e despejasse as sementes em um dos buracos e que agisse desta forma para os buracos remanescentes.  Agora vamos considerar que um certo evento poderá acontecer H vezes, e que o número de vezes em que haja insucesso seja F que, além disso, as possibilidades de sucesso ou insucesso seja provavelmente iguais, então a probabilidade de sucesso será dada pela fórmula H/(H+F) e de insucesso por F/ (H+F) e a probabilidade total do evento (sucesso / insucesso) acontecer será dada pela fórmula H/(H + F)+ F/(H+F)=1.
Probabilidade Exemplos do conceito de probabilidade são usualmente relacionados á moedas, dados ou a retirada de bolas coloridas de uma urna.  Como a retirada de bolas de uma urna é um assunto mais ascético, vamos ilustrar a Definição de probabilidade considerando uma urna que contem 3 bolas vermelhas e 7 brancas. Em um total de 10 tentativas, de mesma probabilidade, 3 serão das vermelhas e 7 das brancas.  Assim sendo, a chance de pegarmos a bola vermelha é de 3/10, e das brancas é de 7/10. Mas os dados levam certas vantagens sobre as bolas, as quais não podemos ignorar na ilustração dos principio matemáticos das probabilidades.  Se atirarmos um dado para o ar, qual é a chance da termos o numero 2.
Probabilidade À medida que um dado tem 6 faces, e uma delas devera ocorrer, existe um total de 6 chances de que o evento desejado ocorra ou não.  Contudo, a probabilidade da face 2 ocorrer é de 1/6. Qual seria a probabilidade das faces 2 ou 3 ocorrerem ao jogarmos o mesmo dado uma vez? . Novamente existem 6 chances do evento proposto, ocorrer ou não. Existem duas maneiras do evento ocorrer.
Probabilidade Logo, a probabilidade será de 2/6, isto é, 1 / 3. O mesmo resultado pode vir a ocorrer de uma outra forma.  Já que a probabilidade de termos a face 2 é de 1/6 e de termos a face 3 também é de 1/6, podemos deduzir que a probabilidade de ocorrência de 2 ou 3 será de 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3, à medida que os dois eventos são mutuamente exclusivos.
Probabilidade Este exemplo ilustra a seguinte regra:  Lei adicional das probabilidades - se p1, p2,...pn são as respectivas probabilidades de “n” eventos mutuamente exclusivos, então a probabilidade de que um dos eventos ocorra será a soma destas probabilidades. O leitor não precisa ficar preocupado com esta lei se for capaz de entender o que significa o conceito de eventos mutuamente exclusivos.
Probabilidade Para isso, vamos retornar ao conceito da definição de probabilidades, e considerar um números qualquer N de ocasiões onde os eventos aconteçam.  Nas N ocasiões um numero dado de “n” eventos ocorrerão, temos: p1N + , p2N + ,...+pnN  ocasiões respectivamente.  Não se faz necessário à classificação da ordem em que ocorrem, à medida que cada evento ocorrerá em uma ocasião especifica.
Probabilidade Em qualquer ocasião, um ou outro evento ocorrerá deste modo: p1N + , p2N +,...pnN = (p1+ , p2+,... +pn) N ocasiões.  A probabilidade de um dos “n“ eventos, só ocorrera em apenas em uma única ocasião é de: p1+ , p2,...+ pn. Um outro exemplo desta lei seria descobrirmos a probabilidade de atirarmos o dado, e que a face apresentada seja menor do que 6, logo, para satisfazer as condições o dado deverá mostrar as faces 1, 2, 3, 4, ou 5.  Já que estes eventos são mutuamente exclusivos, e a probabilidade de cada um é 1/6, a probabilidade de um ou qualquer um dos outros é 5/6.  Que obviamente, podemos deduzir que tudo isto representa a probabilidade do 6 não ocorrer, isto é,  1 - 1/6 = 5/6.
Probabilidade A próxima lei a ser mencionada é a Lei da Multiplicação de Probabilidades, que ilustraremos com exemplo.  Qual é a probabilidade de termos duas faces 6 ao atirarmos um par de dados?  À medida que todas as faces do primeiro dado pode ser associada com as seis faces do segundo, e que existem 6 números no primeiro, o dado poderá cair qualquer uma das 6 x 6 = 36 maneiras, conforme abaixo:                                                            
Probabilidade Das 36 chances, somente uma será favorável, isto é, quando a face seis aparecer em ambos os dados. Assim sendo probabilidade do duplo 6 é de 1 / 36.  Notamos que a probabilidade isolada do 6 no primeiro dado é 1 / 6 e que o 6 no segundo, que independe do primeiro, também é de 1 / 6, e que 1 / 36 = 1 / 6 x 1 / 6.
Probabilidade Lei da Multiplicação de Probabilidades:   Se p1, p2,… pn, são as probabilidades de “n“ eventos independentes, então a probabilidade de que “n” eventos ocorram ao mesmo tempo é o produto destas probabilidades, que é p1 x p2...  pn.  Para ilustrarmos esta segunda lei novamente, vamos supor que um dados é atirado duas vezes, e vamos calcular a probabilidade de que na primeira jogada a face não seja maior do que 3, e na segunda não seja maior do que 5.  De acordo coma primeira lei verificamos que a probabilidade da face não exceder 3 é de 3/6, e que não exceda 5 é de 5/6.  O resultado da primeira jogada não afeta o resultado da segunda. Assim sendo, pela lei das multiplicações de probabilidades quando ambos os eventos ocorrem, isto é, o primeiro não excede 3 e o segundo não excede 5 é de 3/6 x 5/6 = 5/12.

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Probabilidades

  • 1. Probabilidade A Teoria da Probabilidade começou no século 17, quando dois matemáticos franceses, Blaise Pascal e Pierre de Fermat trocaram correspondência para discutir problemas matemáticos que lidam com jogos de azar. As aplicações da teoria da probabilidade na investigação humana, inclui aspectos de programação de computadores, astrofísica, música, previsão do tempo, e etc.      
  • 2. Probabilidade Se atirarmos uma moeda para o alto que cai em uma superfície inelástica, ao cair mostrara uma de suas faces cara ou coroa. Se pensarmos sobre o assunto, veremos também que existe a possibilidade dela cair em pé, que na prática nunca acontece. Aqui reside a dificuldade principal da teoria das probabilidades e sua relação com o mundo real. O que acontecerá se continuarmos a atirar a moeda indefinidamente. Quantas caras ou coroas obteremos. Observamos que existem chances iguais da moeda cair com a face cara ou coroa para cima e que o número médio de cara ou coroas seja o mesmo. O que representa a lei das médias? Tudo depende do que significa lei ou media, a lei da media diz que se atirarmos uma moeda cem vezes, ela cairá 50 vezes com a uma das faces para cima. “ Assim disse o oráculo e não há discussão”.
  • 3. Probabilidade   Se o leitor acha esta afirmação correta, e joga a moeda para o alto cem vezes, se não acontecer à relação de 50 para 50, o experimento deverá ser repetido. Se obtiver exatamente a relação 50 para 50 a lei das média não é uma lei, mas expressa o sentimento de que eventos incomuns não acontecem freqüentemente. Já que uma moeda cai com a face cara ou coroa para cima, e que as possibilidades são provavelmente iguais e se a moeda não for mais pesada de uma lado do que do outro e que o jogador a atira randomicamente, podemos dizer que as chances da face cara ocorrer é de 1 para 2 ou que a probabilidade é de 1/2.
  • 4. Probabilidade Se uma moeda for atirada para cima muitas vezes (N) a face cara aparecerá ½ N vezes. Se uma moeda atirada N vezes e se N1 representar o numero de vezes em que a cara face cara ocorreu, então a relação N1 / N não conduzirá ao valor ½ , mesmo que N cresça indefinidamente.
  • 5. Probabilidade   Esta Definição é chamada de freqüência da probabilidade , mas se em um experimento a relação N/N1 não nos conduz ao resultado 1 / 2, podemos dizer que: a moeda não é confiável ou que a moeda não está sendo atirada randomicamente. Tudo que podemos afirmar sobre o termo randomicamente é que representa um comportamento que se encaixa na teoria matemática das probabilidades, seres humanos não conseguem interagir randomicamente. Não seria difícil construir uma máquina que sempre atire uma moeda para alto sobre uma superfície inelástica cuja face seja sempre cara, mas como poderemos nos certificar que um ser humano poderia fazê-lo da mesma maneira.
  • 6. Probabilidade Em um grande experimento, baseado na teoria das probabilidades, que postulou o comportamento randômico, era importante jogar sementes em buracos no solo, de modo que nenhum deles fosse beneficiado com mais sementes do outro qualquer. O procedimento foi para que o agricultor fechasse os olhos e apanhasse um punhado de sementes e despejasse as sementes em um dos buracos e que agisse desta forma para os buracos remanescentes. Agora vamos considerar que um certo evento poderá acontecer H vezes, e que o número de vezes em que haja insucesso seja F que, além disso, as possibilidades de sucesso ou insucesso seja provavelmente iguais, então a probabilidade de sucesso será dada pela fórmula H/(H+F) e de insucesso por F/ (H+F) e a probabilidade total do evento (sucesso / insucesso) acontecer será dada pela fórmula H/(H + F)+ F/(H+F)=1.
  • 7. Probabilidade Exemplos do conceito de probabilidade são usualmente relacionados á moedas, dados ou a retirada de bolas coloridas de uma urna. Como a retirada de bolas de uma urna é um assunto mais ascético, vamos ilustrar a Definição de probabilidade considerando uma urna que contem 3 bolas vermelhas e 7 brancas. Em um total de 10 tentativas, de mesma probabilidade, 3 serão das vermelhas e 7 das brancas. Assim sendo, a chance de pegarmos a bola vermelha é de 3/10, e das brancas é de 7/10. Mas os dados levam certas vantagens sobre as bolas, as quais não podemos ignorar na ilustração dos principio matemáticos das probabilidades. Se atirarmos um dado para o ar, qual é a chance da termos o numero 2.
  • 8. Probabilidade À medida que um dado tem 6 faces, e uma delas devera ocorrer, existe um total de 6 chances de que o evento desejado ocorra ou não. Contudo, a probabilidade da face 2 ocorrer é de 1/6. Qual seria a probabilidade das faces 2 ou 3 ocorrerem ao jogarmos o mesmo dado uma vez? . Novamente existem 6 chances do evento proposto, ocorrer ou não. Existem duas maneiras do evento ocorrer.
  • 9. Probabilidade Logo, a probabilidade será de 2/6, isto é, 1 / 3. O mesmo resultado pode vir a ocorrer de uma outra forma. Já que a probabilidade de termos a face 2 é de 1/6 e de termos a face 3 também é de 1/6, podemos deduzir que a probabilidade de ocorrência de 2 ou 3 será de 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3, à medida que os dois eventos são mutuamente exclusivos.
  • 10. Probabilidade Este exemplo ilustra a seguinte regra: Lei adicional das probabilidades - se p1, p2,...pn são as respectivas probabilidades de “n” eventos mutuamente exclusivos, então a probabilidade de que um dos eventos ocorra será a soma destas probabilidades. O leitor não precisa ficar preocupado com esta lei se for capaz de entender o que significa o conceito de eventos mutuamente exclusivos.
  • 11. Probabilidade Para isso, vamos retornar ao conceito da definição de probabilidades, e considerar um números qualquer N de ocasiões onde os eventos aconteçam. Nas N ocasiões um numero dado de “n” eventos ocorrerão, temos: p1N + , p2N + ,...+pnN ocasiões respectivamente. Não se faz necessário à classificação da ordem em que ocorrem, à medida que cada evento ocorrerá em uma ocasião especifica.
  • 12. Probabilidade Em qualquer ocasião, um ou outro evento ocorrerá deste modo: p1N + , p2N +,...pnN = (p1+ , p2+,... +pn) N ocasiões. A probabilidade de um dos “n“ eventos, só ocorrera em apenas em uma única ocasião é de: p1+ , p2,...+ pn. Um outro exemplo desta lei seria descobrirmos a probabilidade de atirarmos o dado, e que a face apresentada seja menor do que 6, logo, para satisfazer as condições o dado deverá mostrar as faces 1, 2, 3, 4, ou 5. Já que estes eventos são mutuamente exclusivos, e a probabilidade de cada um é 1/6, a probabilidade de um ou qualquer um dos outros é 5/6. Que obviamente, podemos deduzir que tudo isto representa a probabilidade do 6 não ocorrer, isto é, 1 - 1/6 = 5/6.
  • 13. Probabilidade A próxima lei a ser mencionada é a Lei da Multiplicação de Probabilidades, que ilustraremos com exemplo. Qual é a probabilidade de termos duas faces 6 ao atirarmos um par de dados? À medida que todas as faces do primeiro dado pode ser associada com as seis faces do segundo, e que existem 6 números no primeiro, o dado poderá cair qualquer uma das 6 x 6 = 36 maneiras, conforme abaixo:                                                
  • 14. Probabilidade Das 36 chances, somente uma será favorável, isto é, quando a face seis aparecer em ambos os dados. Assim sendo probabilidade do duplo 6 é de 1 / 36. Notamos que a probabilidade isolada do 6 no primeiro dado é 1 / 6 e que o 6 no segundo, que independe do primeiro, também é de 1 / 6, e que 1 / 36 = 1 / 6 x 1 / 6.
  • 15. Probabilidade Lei da Multiplicação de Probabilidades:   Se p1, p2,… pn, são as probabilidades de “n“ eventos independentes, então a probabilidade de que “n” eventos ocorram ao mesmo tempo é o produto destas probabilidades, que é p1 x p2... pn. Para ilustrarmos esta segunda lei novamente, vamos supor que um dados é atirado duas vezes, e vamos calcular a probabilidade de que na primeira jogada a face não seja maior do que 3, e na segunda não seja maior do que 5. De acordo coma primeira lei verificamos que a probabilidade da face não exceder 3 é de 3/6, e que não exceda 5 é de 5/6. O resultado da primeira jogada não afeta o resultado da segunda. Assim sendo, pela lei das multiplicações de probabilidades quando ambos os eventos ocorrem, isto é, o primeiro não excede 3 e o segundo não excede 5 é de 3/6 x 5/6 = 5/12.