1. Física Geral I – EF, ESI, MAT, FQ, Q, BQ, OCE, EAm DF - Universidade do Algarve
Protocolos das Aulas Práticas – 2003 / 2004
COEFICIENTES DE ATRITO
1. Resumo
Corpos de diferentes materiais são deixados, sem velocidade inicial, sobre um plano inclinado.
Estuda-se o ângulo a partir do qual o movimento se inicia, bem como a aceleração do movimento
adquirido, em função da natureza dos corpos.
2. Tópicos teóricos
s
α
Fig. 1
Considere-se um corpo colocado sobre um plano inclinado com atrito (fig.1). Supondo que o
ângulo de inclinação do plano é pequeno, o corpo manter-se-á em equilíbrio pois a componente útil
do peso (paralela ao plano) não será suficiente para compensar a força de atrito estático. À
medida que se aumenta o ângulo, α, a componente útil do peso aumenta também, atingindo-se, em
determinado ponto, a igualdade entre a referida componente do peso e a força de atrito estático.
Nessa altura tem-se:
tg (α ) = µ e . (1)
Na equação, µe representa o coeficiente de atrito estático entre os materiais de que são feitos o
corpo e o plano inclinado.
Habitualmente é mais difícil colocar o corpo em movimento sobre o plano do que manter esse
movimento. Este facto é traduzido pelo maior valor do coeficiente de atrito estático relativamente ao
coeficiente de atrito cinético. Ou seja, a força de atrito que surge entre duas superfícies em
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contacto é maior quando as superfícies estão em repouso relativo, do que quando existe movimento
entre elas.
O coeficiente de atrito cinético, µc, pode ser determinado experimentalmente através de medidas
da aceleração, a, que o corpo adquire no seu movimento ao longo do plano inclinado de ângulo α:
a = g (sen (α ) − µ c cos(α )) . (2)
onde g representa a aceleração gravítica.
Medir-se-á, portanto, neste trabalho, a aceleração do movimento do corpo ao longo do plano
inclinado, determinando-se, a partir dela, o coeficiente de atrito cinético. A medida da aceleração, a,
será feita com base na relação que existe entre a distância percorrida pelo corpo ao longo do plano
inclinado, s, e o tempo gasto durante o seu percurso, t:
1 2
s= at (3)
2
atendendo a que o corpo é posto em movimento sem velocidade inicial.
Assume-se, nos cálculos, que o valor da aceleração da gravidade é conhecido e dado por
g = 9.80665 m s -2.
3. Problemas propostos
Pretende-se estudar o movimento de corpos que escorregam ao longo de um plano inclinado
com atrito. Procura-se determinar:
3.1. o coeficiente de atrito estático em função dos materiais de que são feitos os corpos e o
plano inclinado;
3.2. o coeficiente de atrito cinético em função dos materiais de que são feitos os corpos e o
plano inclinado;
Pretende-se ainda comparar os valores dos coeficientes de atrito estático com os valores dos
coeficientes de atrito cinético.
4. Material
Plano inclinado em alumínio.
Um paralelepípedo de madeira forrado, em cada face, com um material diferente.
Relógio electrónico.
Dois detectores fotoeléctricos.
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Fita métrica.
Fios de ligação.
5. Procedimento experimental
Tenha o cuidado de anotar os erros de leitura de escala associados a todos os aparelhos de
medida que usar.
5.1. Determinação do coeficiente de atrito estático.
5.1.1. Coloque uma das faces do paralelepípedo sobre o plano inclinado tendo o cuidado
de garantir que o ângulo de inclinação é suficientemente pequeno para que o corpo
não inicie o seu movimento.
5.1.2. Aumente gradual e lentamente o ângulo de inclinação até que o corpo tenda a iniciar
o seu movimento.
5.1.3. Meça, nessa altura, a inclinação do plano baseando-se no seguinte esquema:
A
α C
B
Fig. 2
5.1.4. Repita 10 vezes os procedimentos anteriores de forma a definir melhor o ângulo
crítico a partir do qual o movimento se inicia.
5.1.5. Repita os pontos de 5.1.1. a 5.1.4. para as restantes faces do paralelepípedo.
5.2. Determinação do coeficiente de atrito cinético.
5.2.1. Escolha um ângulo de inclinação para o plano superior ao ângulo crítico
anteriormente determinado (desta forma o corpo não estará em equilíbrio sobre o
plano).
5.2.2. Fixe a distância, s, a percorrer sobre o plano inclinado (a maior possível de acordo
com as condições da experiência) colocando os dois detectores fotoeléctricos nos
extremos do percurso (fig. 1).
5.2.3. Largue (sem velocidade inicial, ou seja, junto ao primeiro detector) o corpo, com
uma das faces voltada para baixo, sobre o plano inclinado, medindo o tempo de
passagem, t, entre os dois fotodetectores. Repita esta medida 5 vezes.
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5.2.4. Fixe uma nova distância, s, e proceda como em 5.2.3..
5.2.5. Repita 5.2.4. até perfazer 5 distâncias diferentes. Elabore uma tabela de duas
entradas com os valores de s e t medidos.
5.2.6. Repita a experiência com as faces de que dispõe.
6. Análise dos resultados obtidos
6.1. Determinação do coeficiente de atrito estático.
6.1.1. Calcule os valores médios dos comprimentos AB e BC referidos em 5.1. (ver fig.
2). Estime também os erros associados a essas medidas.
6.1.2. Determine o coeficiente de atrito estático bem como o erro que afecta a sua medida.
6.2. Determinação do coeficiente de atrito cinético.
6.2.1. Calcule os valores médios dos tempos referidos em 5.2.3. estimando os erros
aleatórios associados a essas medidas.
6.2.2. Construa, para cada face, uma tabela com os valores de s, t, e t 2 utilizando os
valores de tempo calculados em 6.2.1. (não esqueça os erros associados a cada uma
das grandezas).
6.2.3. Usando as tabelas referidas em 6.2.2. construa, para cada face, um gráfico de s em
função de t 2. Ajuste uma recta de regressão linear a cada gráfico. Calcule, a partir dos
coeficientes das regressões, o valor da aceleração do movimento de cada corpo,
atendendo a que teoricamente se espera:
1 2
s= at + 0
2
Determine também o erro que afecta a aceleração.
6.2.4. Sabendo que, para a situação estudada, se espera que a aceleração do sistema tenha
a forma (2), calcule o coeficiente de atrito cinético para cada face.
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Apêndice
Estudo do movimento de corpos que deslizam num plano inclinado com atrito
Y
N
Fa
X
P
α
Fig. A.1
Considere-se um corpo que é colocado sobre um plano inclinado com atrito (fig. A.1). Na
r r r
figura, N representa a reacção normal do plano inclinado sobre o corpo, P o seu peso e Fa a
força de atrito entre o plano e o corpo. Verifica-se experimentalmente que, enquanto o ângulo α de
inclinação do plano for suficientemente pequeno, o corpo mantém-se em equilíbrio. Apenas quando
o ângulo atinge em certo valor crítico, α c, é que o corpo tende a iniciar o movimento. Nesta
situação estamos no limite em que todas as forças que actuam sobre o corpo ainda se compensam
mas começa a desenvolver-se uma força resultante segundo o eixo XX assinalado na figura A.1.
Usando o referencial representado na mesma figura pode-se escrever:
 N − P cos(α c ) = 0 (segundo o eixo YY)

 (A.1)
 Psen (α ) − F = 0
 c a (segundo o eixo XX)
Note-se que, apesar das forças que actuam segundo o eixo YY se compensarem em qualquer
situação, segundo o eixo XX apenas se compensam para ângulos de abertura iguais ou inferiores ao
ângulo crítico, α c.
Atendendo a que:
P = mg e Fa = µN (A.2)
sendo m a massa do corpo, as equações (A.1) podem ser escritas na forma:
 N = mg cos(α c )

 (A.3)
sen (α ) − µ cos (α ) = 0
 c c
A segunda equação (A.3) permite calcular o valor de µ, que é o chamado coeficiente de atrito.
O valor do coeficiente de atrito correspondente à situação em que o corpo está na eminência de
iniciar o seu movimento designa-se por coeficiente de atrito estático e pode ser calculado por:
µ e = tg (α c ) . (A.4)
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Quando a abertura do plano inclinado é superior ao ângulo crítico, o corpo já não se mantém em
equilíbrio, havendo uma força resultante segundo a direcção XX, da qual resulta um movimento
acelerado. Observa-se ainda que a força de atrito tende a ser menor quando o corpo se desloca em
relação ao plano inclinado, por comparação com a situação estática. Isto traduz-se num valor
diferente para o coeficiente de atrito, o qual assume, no caso em que há movimento, a designação
de coeficiente de atrito cinético.
Na situação em que a abertura do plano inclinado é superior ao ângulo crítico pode-se então
escrever:
 N − P cos(α ) = 0 (segundo o eixo YY)

 (A.5)
 Psen (α ) − F = ma
 a (segundo o eixo XX)
Estas expressões descrevem a dinâmica do movimento do corpo ao longo do plano inclinado,
sendo equivalentes a:
 N = mg cos (α )

 (A.6)
 g (sen (α ) − µ cos (α )) = a
 c
A segunda equação A.6 permite determinar experimentalmente o coeficiente de atrito cinético a
partir de medidas da aceleração adquirida pelo corpo no seu movimento ao longo do plano
inclinado.
Assumindo que o corpo inicia o seu movimento sobre o plano inclinado sem velocidade inicial,
pode-se escrever (ainda em relação ao referencial da figura A.1):
v = at = g (sen(α ) − µ c cos(α ))t (A.7)
onde v é a velocidade do corpo e t a variável tempo. Resulta, então, para a equação do movimento:
1 2 g (sen (α ) − µc cos (α )) 2
x = x0 + at = x0 + t (A.8)
2 2
sendo x e x 0, respectivamente, a posição num dado instante e a posição inicial do corpo medida
segundo o eixo XX. A distância percorrida será dada então por:
g (sen (α ) − µc cos (α )) 2
s = x − x0 = x0 + t − x0 ⇔
2
g (sen (α ) − µ c cos(α )) 2
⇔s= t (A.9)
2
A equação (A.9) sugere que as medidas de s e t permitirão a determinação da aceleração do
corpo e, portanto, do coeficiente de atrito cinético.
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