O documento descreve conceitos fundamentais sobre limites de funções reais de variável real, incluindo: 1) Definição de limite segundo Heine e pontos aderentes; 2) Operações com limites finitos e infinitos; 3) Limites laterais e no infinito.

1. Limites
segundo Heine
de funções
reais de
variável real

2. Pontos aderentes a um conjunto de números
reais
Dados um conjunto 𝐴 ⊂ ℝ e um ponto 𝑎 ∈ ℝ, diz-se que 𝑎 é um ponto
aderente de 𝐴 quando existe uma sucessão (𝑥 𝑛) de elementos de 𝐴 tal
que lim 𝑥 𝑛 = 𝑎.
1. Todo o ponto 𝑎 ∈ 𝐴 é um ponto aderente de 𝐴
(basta considerar a sucessão 𝑥 𝑛 = 𝑎).
2. Pode ter-se um ponto 𝑎 aderente de 𝐴, sem que 𝑎 pertença a 𝐴.
Exemplo:
Considera o conjunto 𝐴 = −2 ∪ 0, 3 .
• 3 é um ponto aderente de 𝐴, pois, por exemplo, 𝑥 𝑛 = 3 −
1
𝑛−4
é uma
sucessão de elementos de 𝐴, tal que lim 𝑥 𝑛 = 3.
• −2 é um ponto aderente de 𝐴, pois, por exemplo, 𝑥 𝑛 = −2 é uma
sucessão de elementos de 𝐴, tal que lim 𝑥 𝑛 = −2.

3. Limite de uma função num ponto aderente
ao respetivo domínio
Seja 𝑓 uma função real de variável real e 𝑎 ∈ ℝ, o número real 𝑏
designa-se por limite de 𝒇(𝒙) quando 𝒙 tende para 𝒂 quando 𝑎 for um
ponto aderente de 𝐷𝑓, e para toda a sucessão (𝑥 𝑛) de elementos de 𝐷𝑓
convergente para 𝑎, lim 𝑓 𝑥 𝑛 = 𝑏. Escreve-se lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 = 𝑏.
Notas:
1. Para 𝑎 ∈ 𝐷𝑓, se o limite de 𝑓 𝑥 , quando 𝑥 tende para 𝑎, existir, é igual a 𝑓(𝑎).
2. O limite de 𝑓(𝑥) quando 𝑥 tende para 𝑎, se existir, é único.
3. A definição de limite e a propriedade presente na nota anterior estende-se ao
caso de limites infinitos.
Definição de limite segundo Heine

4. Exemplo 1
Considera a função 𝑓 definida por 𝑓 𝑥 =
−4
𝑥³−2
.
Recorrendo à definição de limite segundo Heine, prova que lim
𝑥→5
𝑓 𝑥 = −
4
123
.
Sugestão de resolução:
Seja (𝑥 𝑛) uma sucessão qualquer de elementos de 𝐷𝑓: 𝑥 𝑛 → 5
lim 𝑓(𝑥 𝑛) = lim
−4
(𝑥 𝑛)³−2
=
lim −4
lim (𝑥 𝑛)³−2
=
lim −4
lim (𝑥 𝑛)³−lim 2
=
−4
5³−2
= −
4
123
∴ lim
𝑥→5
𝑓 𝑥 = −
4
123
=
lim −4
lim 𝑥 𝑛 ³−lim 2
=

5. Seja 𝑓 uma função real de variável real e 𝑎 ∈ ℝ. Diz-se que:
 𝑏 ∈ ℝ é o limite de 𝑓(𝑥) quando 𝑥 tende para 𝑎 por valores inferiores
a 𝑎 ou limite de 𝑓(𝑥) à esquerda de 𝑎 quando 𝑏 = lim
𝑥→𝑎
𝑓 −∞, 𝑎 𝑥 .
Escreve-se lim
𝑥→𝑎⁻
𝑓 𝑥 = 𝑏 .
 𝑏 ∈ ℝ é o limite de 𝑓(𝑥) quando 𝑥 tende para 𝑎 por valores
superiores a 𝑎 ou limite de 𝑓(𝑥) à direita de 𝑎 quando 𝑏 =
lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑎,+∞ 𝑥 . Escreve-se lim
𝑥→𝑎⁺
𝑓 𝑥 = 𝑏 .
Limites laterais

6. Exemplo 2
Considera a função 𝑓 definida por 𝑓 𝑥 =
−4
𝑥−2
+ 5.
Recorrendo à definição de limite segundo Heine, prova que lim
𝑥→2⁺
𝑓 𝑥 = −∞.
Sugestão de resolução:
Seja (𝑥 𝑛) uma sucessão qualquer de elementos de 𝐷𝑓: 𝑥 𝑛 → 2 ∧ 𝑥 𝑛 > 2, ∀𝑛 ∈ ℕ.
lim 𝑓(𝑥 𝑛) = lim
−4
𝑥 𝑛−2
+ 5 =
lim −4
lim 𝑥 𝑛−2
+ lim 5 =
=
lim −4
lim 𝑥 𝑛−lim 2
+ lim 5 =
lim
−4
𝑥 𝑛−2
+ lim 5 =
−4
2⁺−2
+ 5 = −∞
∴ lim
𝑥→2⁺
𝑓 𝑥 = −∞
−4
0⁺
+ 5 = −∞ + 5 =

7. Dada uma função real de variável real 𝑓 e dado um ponto 𝑎 aderente ao
respetivo domínio 𝐷𝑓:
 se 𝒂 ∉ 𝑫 𝒇 e se 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂⁻
𝒇 𝒙 e 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂+
𝒇 𝒙 existirem e forem iguais, então
existe o lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 e, nesse caso, lim
𝑥→𝑎⁻
𝑓 𝑥 = lim
𝑥→𝑎+
𝑓 𝑥 = lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 .
 se 𝒂 ∈ 𝑫 𝒇 e se 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂⁻
𝒇 𝒙 e 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂+
𝒇 𝒙 existirem e forem iguais a 𝒇 𝒂 ,
então existe o lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 e, nesse caso, lim
𝑥→𝑎⁻
𝑓 𝑥 = lim
𝑥→𝑎+
𝑓 𝑥 = lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 .
Limites laterais

8. Limites laterais
lim
𝑥→𝑎+
𝑓 𝑥
lim
𝑥→𝑎⁻
𝑓 𝑥
𝑎 ∉ 𝐷𝑓
lim
𝑥→𝑎⁻
𝑓 𝑥 ≠ lim
𝑥→𝑎+
𝑓 𝑥
∄ lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥
lim
𝑥→𝑎⁻
𝑓 𝑥 =
lim
𝑥→𝑎+
𝑓 𝑥
𝑎 ∈ 𝐷𝑓
lim
𝑥→𝑎⁺
𝑓 𝑥 ≠ 𝑓 𝑎
∄ lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥

9. Limites laterais
lim
𝑥→𝑎⁻
𝑓 𝑥 = lim
𝑥→𝑎+
𝑓 𝑥
𝑎 ∈ 𝐷𝑓
lim
𝑥→𝑎⁻
𝑓 𝑥 = lim
𝑥→𝑎+
𝑓 𝑥
∄ lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥
lim
𝑥→𝑎⁻
𝑓 𝑥 ≠ 𝑓 𝑎 e lim
𝑥→𝑎+
𝑓 𝑥 ≠ 𝑓 𝑎

10. Dada uma função real de variável real 𝑓 cujo domínio não é majorado
(ou minorado), o número real 𝑏 designa-se por limite de 𝑓(𝑥) quando
𝑥 tende para mais (ou menos) infinito, quando, para toda a sucessão
(𝑥 𝑛) de elementos de 𝐷𝑓, com limite +∞ ou − ∞ , lim 𝑓(𝑥 𝑛) = 𝑏.
Representa-se por 𝐥𝐢𝐦
𝒙→±∞
𝒇 𝒙 = 𝒃 e diz-se que “𝑓(𝑥) tende para 𝑏
quando 𝑥 tende para mais (ou menos) infinito”.
Limites no infinito
Nota:
O limite de 𝑓(𝑥) quando 𝑥 tende para ±∞, se existir, é único.

11. Exemplo 3
Considera a função 𝑓 definida por 𝑓 𝑥 =
2
𝑥²
.
Recorrendo à definição de limite segundo Heine, prova que lim
𝑥→−∞
𝑓 𝑥 = 0.
Sugestão de resolução:
Seja (𝑥 𝑛) uma sucessão qualquer de elementos de 𝐷𝑓: 𝑥 𝑛 → −∞.
lim 𝑓(𝑥 𝑛) = lim
2
𝑥 𝑛 ²
=
lim 2
lim 𝑥 𝑛 ²
=
lim 2
lim 𝑥 𝑛 ²
=
2
−∞ ²
=
∴ lim
𝑥→−∞
𝑓 𝑥 = 0
2
+∞
= 0

12. Operações com limites
Sejam 𝑓 e 𝑔 duas funções tais que lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 = 𝑙1 e lim
𝑥→𝑎
𝑔 𝑥 = 𝑙2, com 𝑙1, 𝑙2 ∈
ℝ e 𝑎 um ponto finito (ponto aderente do respetivo domínio) ou infinito:
 lim
𝑥→𝑎
𝑥 = 𝑎
 lim
𝑥→𝑎
𝑓 × 𝑔 𝑥 = 𝑙1 × 𝑙2
 lim
𝑥→𝑎
𝑓
𝑔
𝑥 =
𝑙1
𝑙2
, se 𝑔 𝑥 ≠ 0, ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑔 e 𝑙2 ≠ 0
 lim
𝑥→𝑎
𝑘 × 𝑓 𝑥 = 𝑘 × 𝑙1, 𝑘 ∈ ℝ
 lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 𝑟 = 𝑙1
𝑟, se 𝑟 ∈ ℕ
ou 𝑟 ∈ ℚ⁺ e 𝑓 𝑥 ≥ 0, ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓
ou 𝑟 ∈ ℚ e 𝑓 𝑥 > 0, ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓
 lim
𝑥→𝑎
𝑓 + 𝑔 𝑥 = 𝑙1 + 𝑙2
 lim
𝑥→𝑎
𝑘 = 𝑘 Nota:
Todas estas propriedades são
suscetíveis de serem alargadas ao
caso de lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 e lim
𝑥→𝑎
𝑔 𝑥
serem infinitos, exceto se
conduzirem a indeterminações.

13. Operações com limites infinitos
Adição
 +∞ + 𝑙 = +∞, com 𝑙 ∈ ℝ
 +∞ + +∞ = +∞
 −∞ + 𝑙 = −∞, com 𝑙 ∈ ℝ
 −∞ + (−∞) = −∞
 +∞ + (−∞)indeterminação
Divisão

1
0+ = +∞

1
0− = −∞

1
∞
= 0
indeterminação
indeterminação

0
∞
= 0

∞
0
= ∞

∞
∞

0
0
Multiplicação
 +∞ × 𝑙 = +∞, com 𝑙 > 0
 +∞ × 𝑙 = −∞, com 𝑙 < 0
 +∞ × +∞ = +∞
 +∞ × −∞ = −∞
 −∞ × 𝑙 = −∞, com 𝑙 > 0
 −∞ × 𝑙 = +∞, com 𝑙 < 0
 −∞ × −∞ = +∞
 +∞ 𝑟 = +∞, com 𝑟 ∈ ℚ+
 −∞ 𝑟 = +∞, se 𝑟 ∈ ℕ é par
 −∞ 𝑟 = −∞, se 𝑟 ∈ ℕ é ímpar
 ∞ × 0 indeterminação

14. Exemplo 4
Determina:
1. lim
𝑥→2
3 + 𝑥
2. lim
𝑥→−∞
2𝑥
3. lim
𝑥→1
3𝑥
5𝑥−1
4. lim
𝑥→−3−
1
𝑥+3
1/3
5. lim
𝑥→+∞
−𝑥 − 𝑥³
= lim
𝑥→2
3 + lim
𝑥→2
𝑥 = 3 + 2 = 5
= lim
𝑥→−∞
2 × lim
𝑥→−∞
𝑥 = 2 × −∞ = −∞
=
lim
𝑥→1
3𝑥
lim
𝑥→1
5𝑥−1
=
3×1
5×1−1
=
3
4
=
3
lim
𝑥→−3⁻
1
𝑥+3
=
3 1
0⁻
= 3
−∞ = −∞= lim
𝑥→−3⁻
3 1
𝑥+3
= − lim
𝑥→+∞
𝑥 − lim
𝑥→+∞
𝑥3
= − +∞ − +∞ 3
= − lim
𝑥→+∞
𝑥 − lim
𝑥→+∞
𝑥 ³
= −∞ − ∞ = −∞

15. Produto de uma função limitada por uma
função com limite nulo
Dados 𝐷 ⊂ ℝ, as funções 𝑓: 𝐷 → ℝ e 𝑔: 𝐷 → ℝ e um ponto 𝑎 aderente a
𝐷, se 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂
𝒇 𝒙 = 𝟎 e se 𝒈 é limitada, então 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂
𝒇 𝒙 𝒈 𝒙 = 𝟎.
lim
𝑥→𝑎
sen 𝑥
𝑥²
= 0, pois −1 ≤ sen 𝑥 ≤ 1, ∀ 𝑥 ∈ ℝ e lim
𝑥→𝑎
1
𝑥²
= 0
Exemplo:

16. Limite de uma função composta
Sejam 𝑓 e 𝑔 duas funções reais de variável real e 𝑎 um ponto aderente a 𝐷𝑔∘𝑓.
Se 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂
𝒇 𝒙 = 𝒃 ∈ ℝ e 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒃
𝒈 𝒙 = 𝒄 ∈ ℝ, então 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂
𝒈 ∘ 𝒇 𝒙 = 𝒄.
Exemplo 5
Na figura está parte da representação
gráfica de uma função 𝑔 definida em ℝ.
Determina o valor de lim
𝑥→−1
𝑔 𝑥³ + 3 .
Consideremos a mudança de variável 𝑥³ + 3 = 𝑦.
Se 𝑥 → −1,
Assim, lim
𝑥→−1
𝑔 𝑥³ + 3 =
Sugestão de resolução:
então 𝑥³ + 3 → 2, isto é, 𝑦 → 2.
lim
𝑦→2
𝑔 𝑦 = 7.

17. Levantamento algébrico de indeterminações
envolvendo funções racionais
 Estratégias:
+∞ − ∞
∞
∞
0 × ∞
Simplificar a
expressão de
modo a obter:
0
0
Fatorizar o numerador e
denominador e
simplificar a espressão
0
0
Se 𝒙 → 𝒂

18. ⟺ 𝑥 =
2± 4−4×2× −4
2×2
⟺ 𝑥 = −1 ∨ 𝑥 = 2
2𝑥² − 2𝑥 − 4 = 2 𝑥 − 2 𝑥 + 1
2𝑥² − 2𝑥 − 4 = 0 z
Exemplo 6
Determina:
1. lim
𝑥→2
𝑥²−4
2𝑥²−2𝑥−4
= lim
𝑥→2
𝑥−2 𝑥+2
2 𝑥−2 𝑥+1
= lim
𝑥→2
𝑥+2
2𝑥+2
=
2+2
2×2+2
=
2
3
1 0 0 −8
2 2 4 8
1 2 4 0 = R
𝑥3
− 8 = 𝑥 − 2 𝑥² + 2𝑥 + 4
Cálculos auxiliares
2. lim
𝑥→2
𝑥3
− 8 ×
2
𝑥 𝑥−2
= lim
𝑥→2
𝑥3−8 ×2
𝑥 𝑥−2
= lim
𝑥→2
𝑥−2 𝑥²+2𝑥+4 ×2
𝑥−2 𝑥
=
=
22+2×2+4 ×2
2
= 12
𝟎
𝟎
𝟎 × ∞
Cálculos auxiliares
= lim
𝑥→2
𝑥²+2𝑥+4 ×2
𝑥

19. +∞ + −∞ Colocar em evidência o termo de maior
grau.
0
0
0 × ∞
Simplificar a
expressão de
modo a obter:
∞
∞
Colocar em evidência o
termo de maior grau no
numerador e no
denominador.
∞
∞
Se 𝒙 → ±∞
Levantamento algébrico de indeterminações
envolvendo funções racionais
 Estratégias:

20. = lim
𝑥→−∞
3𝑥² 1+
3
3𝑥²
−2𝑥4 1+
2𝑥
−2𝑥4
Exemplo 7
Determina:
1. lim
𝑥→+∞
3𝑥7
− 4𝑥2
+ 5 = lim
𝑥→+∞
3𝑥7 1 −
4𝑥2
3𝑥7 +
5
3𝑥7 =
lim
𝑥→−∞
3× 𝑥2+1
−2𝑥× 𝑥3−1
= lim
𝑥→+∞
3𝑥7 × lim
𝑥→+∞
1 −
4
3𝑥5 +
5
3𝑥7 = +∞ × 1 − 0 + 0 = +∞
∞ − ∞
0
0
= lim
𝑥→−∞
3𝑥²+3
−2𝑥4+2𝑥
=
∞
∞
= lim
𝑥→−∞
3𝑥²
−2𝑥4 × lim
𝑥→−∞
1+
1
𝑥²
1−
1
𝑥3
=
=
3
−∞
×
1+0
1−0
= 0 × 1 = 0
2. lim
𝑥→−∞
3
𝑥³−1
−2𝑥
𝑥2+1
=
= lim
𝑥→−∞
3
−2𝑥2 × lim
𝑥→−∞
1+
1
𝑥²
1−
1
𝑥3

21. 1. Multiplicar pelo conjugado
2. Multiplicar pela própria raiz
Multiplicar numerador/denominador pela expressão conjugada do binómio
onde se encontra a expressão irracional.
Multiplicar numerador/denominador pela própria raiz envolvida.
Limites de funções irracionais
 Estratégias:
lim
𝑥→1
2𝑥−1− 𝑥
𝑥−1
=
=
1
2×1−1+ 1
=
1
2
0
0
lim
𝑥→1
2𝑥−1− 𝑥 𝟐𝒙−𝟏+ 𝒙
𝑥−1 𝟐𝒙−𝟏+ 𝒙
= lim
𝑥→1
2𝑥−1−𝑥
𝑥−1 2𝑥−1+ 𝑥
=
= lim
𝑥→1
𝑥−1
𝑥−1 2𝑥−1+ 𝑥
= lim
𝑥→1
1
2𝑥−1+ 𝑥
Exemplo:

22. lim
𝑥→−∞
−3𝑥
𝑥2−2𝑥
= lim
𝑥→−∞
−3𝑥
𝒙 𝟐 1−
2𝑥
𝑥2
= lim
𝑥→−∞
−3𝑥
𝑥2× 1−
2𝑥
𝑥2
=
3
1−0
∞
∞
= lim
𝑥→−∞
−3𝑥
𝑥 × 1−
2
𝑥
=
= lim
𝑥→−∞
3
1−
2
𝑥
= 3= lim
𝑥→−∞
−3𝑥
−𝑥× 1−
2
𝑥
3. Colocar em evidência
Colocar em evidência um fator de modo a transformar a expressão que
se encontra no radicando num produto.
Exemplo:
Limites de funções irracionais

23.  Estratégia
Definir a função por ramos e determinar os limites laterais.
Limites de funções que envolvem módulos
lim
𝑥→1
2𝑥−2
𝑥²−1
=?
Exemplo:
2𝑥 − 2 =
2𝑥 − 2 se 𝑥 ≥ 1
−2𝑥 + 2 se 𝑥 < 1
lim
𝑥→1⁺
2𝑥 − 2
𝑥² − 1
= lim
𝑥→1⁺
2𝑥 − 2
𝑥² − 1
= lim
𝑥→1⁺
2(𝑥 − 1)
𝑥 − 1 𝑥 + 1
= lim
𝑥→1⁺
2
𝑥 + 1
= 1
lim
𝑥→1⁻
2𝑥 − 2
𝑥² − 1
= lim
𝑥→1⁻
−2𝑥 + 2
𝑥² − 1
= lim
𝑥→1⁻
−2(𝑥 − 1)
𝑥 − 1 𝑥 + 1
= lim
𝑥→1⁻
−2
𝑥 + 1
= −1
Como lim
𝑥→1⁺
2𝑥−2
𝑥²−1
≠ lim
𝑥→1⁻
2𝑥−2
𝑥²−1
, então não existe lim
𝑥→1
2𝑥−2
𝑥²−1
.