O documento apresenta conceitos básicos de teoria dos conjuntos e probabilidade, incluindo: 1) Definição de espaço amostral como o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório e evento como qualquer subconjunto do espaço amostral; 2) Noções de probabilidade de um evento, eventos certos, impossíveis, complementares e mutuamente excludentes; 3) Introdução à noção de probabilidade conjunta e probabilidade condicional.

1. Estatística
Teoria dos conjuntos lembretes Probabilidade
A = [2, 4, 6] and B = [4, 5, 6] Espaço amostral
A  A´ [1, 2, 3, 4, 5, 6]   é o conjunto de todos os resultados
possíveis de um experimento.
A´  [1, 3, 5] e B´  [1, 2, 3]
A
A  B  [4, 6]
A  B  [2, 4, 5, 6]  2
Evento
Espaço Amostral ():
– É o conjunto de todos os resultados possíveis de um
experimento aleatório. Cada elemento é chamado
ponto amostral. E
Ex.: E1: lançamento de um dado
ç
1 ={1,2,3,4,5,6} 
Espaço Amostral Equiprovável:
Evento:
Todos os pontos amostrais têm a mesma chance de
É qualquer subconjunto do espaço amostral.
ocorrência.
Ex.: E: lançamento de um dado
 ={1,2,3,4,5,6}
3 Evento A número par:A = {2,4,6} 4
Evento Certo: Diagrama Venn
É aquele que sempre ocorre.Ex.: No lançamento de
um dado o evento “número inteiro positivo menor
ou igual a 6”.
Evento Impossível:
Evento Impossível Evento: Mulher
Homem
É aquele que nunca ocorre.
Mulher
Ex.: No lançamento de um dado o evento “número Resultados
inteiro positivo maior ou igual a 7”.
Dividem-se em simples e compostos.
 Evento simples - é aquele formado por um
único elemento do espaço amostral 
 Evento composto - é aquele evento formado
por dois ou mais elementos do espaço amostral. 5  = {M, F} 6
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2. Estatística
Eventos Complementares Eventos Mutuamente Excludentes
o evento “ A ´ “ é complementar do evento “ A “. São aqueles que não possuem resultados em
é constituído por todos os elementos do espaço comum
amostral que não pertencem ao evento A . A ocorrência de um deles impede a
ocorrência do outro
Ex.: No lançamento de um dado o evento “número par”é
complementar do evento “número ímpar”.
nenhum
B
A A  B = 
A  A´ 
A A ´
7 8
Eventos Não Mutuamente Excludentes Eventos disjuntos
São aqueles que possuem resultados em comum • Os eventos A e B são disjuntos, ou mutuamente excludentes, se não podem
ocorrer simultaneamente
P(A)
P(B)
Apenas B
p
AeB A´eB
Apenas A
A e B P(A e B) P(A) P(B)
AeB ´ Eventos que se superpõem Eventos disjuntos
nenhum A´ ´
eB  Exemplo: Teste de gravidez ( está grávida ou não está)
9
Probabilidade de um evento Probabilidade
 A probabilidade de qualquer evento A é
representada por um número entre 0 e 1: n ( A)
0  P(A)  1 P ( A) 
Enfoque clássico n(  )
 A probabilidade do espaço amostral é 1:
p p ç
P() = 1
pontos amostrais equiprovaveis
 A probabilidade da não ocorrência de um
evento é 1 menos a probabilidade da sua n: n º de tentativas
ocorrência:
P(A´) = 1 - P(A)
11 12
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3. Estatística
0 P( A)  1
P (espaço amostral) = 1 nenhum
Prob não ocorrência = 1 - P (ocorrência) Apenas B
A e B
P ( A )  P ( A´)  1
Apenas A
13 P (A  B )  P (A )  P (B )  P (A  B ) 14
União
P (A  B )  P (A )  P (B )  P (A  B ) Eventos Excludentes : P(A OU B)=
P(AB)
P(A  B)= P(A) + P(B)
A B
Eventos não Excludentes P(A OU B)
= P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A  B)
=
P(A) P(B) P(AB)
P( ocorrência de A, ou Probabilidade de ocorrência simultânea
A B + A B - A B
de B, ou de ambos)
de A e B em um mesmo experimento
16
Probabilidade Condicional
Distribuição de Probabilidade Conjunta
Tabela de Contingência
P( A  B ) probabilidade do evento A, tendo
Evento ocorrido o evento B
Evento B B´ Total
A P(A B) P(A B´) P(A)
A´ P(A´ B) P(A´ B´) P(A´) P ( A B )
P( A B ) 
P( B )
Total P(B) P(B´) 1
Probabilidade Probabilidade Marginal
Conjunta
17 18
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4. Estatística
Matemática da probabilidade
Em uma amostra de 150 estudantes, 70 disseram que têm um
aparelho de CD, 50 disseram que têm uma TV e 25 disseram que
têm ambos. Se um estudante é selecionado ao acaso, qual é a
probabilidade de que ele tenha tanto um aparelho de CD ou uma
TV? ( Nota: isto inclui a probabilidade de Ter ambos os
um ou outro : P (A ou B) aparelhos).
Solução:
ambos P(A e B)
A={ “o estudante tem um aparelho de CD” } e
B={ “o estudante tem uma TV”}
Ambos P(A) = 70 / 150 = 0,4667
P(B) = 50 / 150 = 0,3333
Eventos independentes : P (A e B) = P (A) P( B) P(A  B) = 25 / 150 = 0,1667
Desde que:
Eventos dependentes : P (A e B) = P (A) P( B| A)
P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A  B) = 0,4667 + 0,3333 – 0,1667 =
P (A e B) = P (B) P( A| B) 0,6333
Probabilidade de um x Probabilidade condicional do outro 19 20
Propriedade condicionada Eventos Independentes
Dois ou mais eventos A e B são chamados
A B
P(A  B) independentes quando a ocorrência ou não
P(A | B) = ocorrência de um dos eventos não
P(B)
modifica a probabilidade da ocorrência do
p
P(B) > 0
outro.
P( A  B ) =P( A ) . P( B )
P(B | A) =
P(A  B) Para n eventos A1, A2, A3,...An
P(A)
P(A  B) = P(A|B).P(B) = P(B|A).P(A) P(A1A2A3...An) =
P(A) > 0 21 P(A1).P(A2).P(A3)...P(An) 22
Eventos independentes
Exercício
Dois eventos A e B são independentes se: Considerando outra vez os dados do exercício,
verifique se o aluno gostar de MPB e gostar de
P(A|B) = P(A)
P(A  B) = P(A).P(B) Estatística são eventos independentes.
P(B|A) = P(B)
Solução
uç
20
porque: A  gostar de Estatístic a  P ( A )   0, 4
50
P(A  B) = P(B|A).P(A) = P(A|B).P(B) 40
B  gostar de MPB  P ( B )   0 ,8
50
16
P (A  B )   0 ,32
50
 P ( A  B )  P ( A ). P ( B )
23 24
 A e B são independen tes
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5. Estatística
Teorema de Bayes
P(Fi )P (A Fi ) P(F A) 
P(F).P(A F)
i i
P (Fi / A ) 
P(F ).P(A F ) P(F ).P(A F )  ....  P(F ).P(A F )
i
1 1 2 2 K K
K P(F  A)
 P(Fj ) P (A Fj )
). P(F A)  i
i
F1 P(A)
j 1 FK F2
25 E 26
A Polícia acaba de ser chamada para investigar um
acidente em que houve um indivíduo gravemente • Suponha-se que um grande nú mero de caixas de
ferido. Calcule a probabilidade desse indivíduo ter bombons sejam compostas de dois tipos, “Garoto” e
utilizado o cinto de segurança. “Lacta”. O tipo “Garoto” contém 70% de bombons
doces e 30% de bombons amargos, enquanto no tipo
C  usar cinto P (C A ) 
0,1  0,6
 23%
“Lacta” essas percentagens de sabor são inversas.
A  acidente grave
id 0,1 0,6 0,5 0,4
0 1 0 6  0 5  0 4 Além disso sabe se que 60% de todas as caixas de
disso, sabe-se
P (A C )  0,1  P (A´C )  0,9 bombons sejam do tipo “Garoto”, enquanto as
A|C 0,06 restantes sejam do tipo “Lacta”. Uma caixa de tipo
P (A C ´)  0,5  P (A´C ´)  0,5 0,1 desconhecido lhe é oferecida. Você escolhe um
P (C )  0,6  P (C ´)  0,4 C 0,9 bombom ao acaso da caixa e descobre que é de sabor
amargo. Qual a probabilidade de ser do tipo “Lacta”?
0,6 A|C 0,54
0,4 0,20
A|C
C 0,5
0,5
A|C
0,20 27 28
Num certo restaurante, se paga pelo almoço uma quantia fixa
• Sabe-se que o Imposto de Renda Pessoa Física dependendo da escolha feita do prato e bebida. A carne de peixe tem
(IRPF) tem três faixas com alíquota de 10% de preferência. Enquanto frango tem 40% e carne bovina 50%. As
três escolhas de bebida estão condicionadas a tabela:
imposto crescente (Alíquota 0%, Alíquota 15%,
Alíquota 27,5%). De acordo com a Receita Opção: Peixe Cerveja Água Vinho
Federal (1996), na Alíquota 0% situam-se P(Bebida/Peixe) 0,4 0,3 0,3
75,9% dos contribuintes na líqu t
75 9% d s c ntribuintes e n alíquota 15% Opção: Frango
situam-se 18,7%. Sabe-se que muitas
declarações são fraudulentas, sendo que o
P(Bebida/Frango) 0,3 0,5 0,2
percentual de fraude corresponde a metade
Opção: Bovina
da alíquota de cada faixa. Sabendo que um P(Bebida/Bovina) 0,6 0,3 0,1
cidadão sonegou IRPF, qual a probabilidade
dele ser da faixa de alíquota 27,5%? a) Dado que alguém escolhe cerveja, qual a probabilidade de que escolha peixe?
b) Se escolhe vinho, qual a probabilidade de escolher carne bovina?
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Prof Josefa A . Alvarez 5