Esta aula foi preparada dentro de um contexto histórico, visando criar um ambiente dinâmico e colaborativo, onde alunos e professores possam interagir de forma produtiva, utilizando-se também de recursos tecnológicos.

1. Nome: Anderson Santos de Mattos
Pólo...: Nova Iguaçu - Grupo: 4
Plano de Aula
Progressões
Introdução
A cada 76 anos, o cometa Halley pode ser visto da terra. Ele passou por aqui, pela última
vez, em 1986 e deverá reaparecer no ano de 2062. Depois, em 2138, 2214, 2290,..., nessa ordem,
representam uma seqüência numérica, objeto de estudo desta unidade.
Podemos encontrar a matemática em todo o nosso cotidiano, como as seqüências com que
ocorrem alguns fatos como, por exemplo, as estações do ano, que se repetem obedecendo a um
padrão, os números das placas dos veículos também são exemplos de seqüências ou progressões.
Esse plano de aula tem a intenção de, com o apoio de diversas técnicas, atividades,
problemas e inclusive, da parte histórica, ajudar as pessoas a compreender as progressões.
Estudando inicialmente, os processos geniais que ao longo da história tantos homens encontraram
para enfrentar os problemas do dia-a-dia, tendo em vista o que ela, a história, pode oferecer como
contribuição ao processo de ensino e aprendizagem da Matemática, verificando que esses conceitos
surgiram das necessidades dos antigos povos babilônicos e egípcios, se estendendo até os dias de
hoje.
Num segundo momento, estão dispostos os conceitos, fórmulas e suas demonstrações, sendo
de grande valia ressaltar que elas partem de pressupostos reais, e que não são inventadas.
Objetivos
Conteúdos Objetivos
1- Sucessão ou seqüência numérica Perceber o que é uma seqüência numérica;
2- Progressão aritmética Identificar regularidades em uma seqüência;
3- Progressão geométrica Conceituar progressão aritmética;
Expressar e Calcular o termo geral de uma PA e
a soma dos seus termos;
Conceituar progressão geométrica;
Expressar e calcular o termo geral de uma PG e a
soma dos seus termos;
Utilizar os conceitos de PA e PG na resolução de
problemas.
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2. Com esta aula o aluno deverá:
- Compreender os conceitos, procedimentos e estratégias matemáticas que permitam adquirir uma
formação científica geral e avançar em estudos posteriores;
- Aplicar seus conhecimentos matemáticos nas atividades cotidianas, na atividade tecnológica e na
interpretação da ciência;
- Desenvolver a capacidade de raciocínio, de resolver problemas, de comunicação, bem como seu
espírito crítico e sua criatividade;
- Estabelecer conexões e integração entre diferentes temas matemáticos e entre esses temas e outras
áreas do currículo;
- Expressar-se em linguagem oral, escrita e gráfica diante de situações matemáticas;
- Usar e reconhecer representações equivalentes de um mesmo conceito;
- Analisar e interpretar criticamente dados provenientes de problemas matemáticos, de outras áreas
de conhecimento e do cotidiano;
- Desenvolver atitudes positivas em relação à matemática, como autonomia, confiança quanto às
capacidades matemáticas, perseverança na resolução de problemas e prazer no trabalho cooperativo;
- Desenvolver o gosto pela matemática e o prazer em “fazer matemática”.
Metodologias e apresentações de materiais
A História das Progressões
As progressões foram estudadas desde povos muito antigos como os babilônicos.
Inicialmente, procurou-se estabelecer padrões como o da enchente do Rio Nilo, onde os
egípcios de 5.000 anos atrás tiveram que observar os períodos em que ocorria a enchente do rio,
pois para poderem plantar na época certa e assim garantir seus alimentos, os egípcios precisavam
saber quando haveria inundação. Havia, portanto, necessidade de se conhecer o padrão desse
acontecimento.
Eles observaram que o rio subia logo depois que a estrela Sírius se levantava a leste, um
pouco antes do Sol. Notando que isso acontecia a cada 365 dias, os egípcios criaram um calendário
solar composto de doze meses, de 30 dias cada mês e mais cinco dias de festas, dedicados aos
deuses Osíris, Hórus, Seth, Ísis e Nephthys. Os egípcios dividiram ainda os doze meses em três
estações de quatro meses cada uma: período de semear, período de crescimento e período da
colheita.
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3. Rio Nilo
Tableta Babilônica
Na Mesopotâmia surgiram várias tabletas babilônicas muito interessantes, mas nenhuma
delas foi tão extraordinária quanto à tableta Plimpton 322 (1900 a 1600 a.C.). Numa dessas tabletas,
a progressão geométrica 1+2+2²+...+29 é somada de forma que a série de quadrados
1²+2²+3²+...+10² é achada. A Matemática no Egito antigo nunca alcançou o nível obtido pela
Matemática babilônica, talvez porque os egípcios tenham se mantido em semi isolamento, enquanto
a babilônia era o centro das rotas de navios, e conseqüentemente, era um centro de troca de saberes.
No entanto, devemos lembrar que os egípcios desenvolveram um papel primordial na preservação
de muitos papiros que contribuíram para o nosso conhecimento atual sobre a Matemática.
Em um papiro que data de 1950 a. C. podemos encontrar alguns problemas teóricos a
respeito de Progressões Aritméticas e Geométricas. Esse papiro foi encontrado em Kahun e contém
o seguinte problema: “Uma dada superfície de 100 unidades de área deve ser representada como a
soma de dois quadrados cujos lados estão entre si como 1 : ¾”. Nesse caso temos x² + y² = 100 e x
= 3y /4. A eliminação de x fornece uma equação quadrática em y.
Podemos, porém, resolver o problema por falsa posição.Para isso tomemos y = 4. Então
x = 3 e x² + y² = 25 em vez de 100. Por conseguinte devemos fazer a correção de x e y dobrando os
valores iniciais, o que dá x = 6 e y = 8.
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4. O cálculo rápido de Gauss, foi quando ele aproximadamente aos 9 anos de idade,
surpreendeu seu professor. O professor, querendo mantê-lo em silêncio na sala de aula por longo
tempo, pediu aos alunos que somassem todos os números inteiros de 1 a 100, isto é,
1+2+3+...+98+99+100.
Em poucos minutos Gauss deu a resposta correta com o seguinte raciocínio:
Escreveu:
1+2+3+...+98+99+100
Em seguida, inverteu a série:
100+99+98+...+3+2+1
A seguir, somou termo a termo:
101+-101+101+...+101+101+101
Verificou que ficou com 100 parcelas de 101, ou seja, 100 x 101 = 10100
Como usou 2 vezes a seqüência de 1 a 100, cada parcela de 101 entrou 2 vezes na
soma. Então, dividiu o total, ou seja:
10100/2 = 5050
Assim, em poucos minutos deu a resposta correta surpreendendo o professor e
frustrando-o em pensar que teria silêncio da turma durante um longo tempo.
De forma intuitiva, Gauss resolveu o problema com a fórmula que usamos
normalmente, ou seja:
S100=((1+100)x100)/2 = 5050
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5. Ficha técnica de aula/atividade
Progressão Aritmética
Progressão aritmética é um tipo de seqüência numérica que a partir do segundo elemento cada
termo (elemento) é a soma do seu antecessor por uma constante.
(5,7,9,11,13,15,17) essa seqüência é uma Progressão aritmética, pois os seus elementos são
formados pela soma do seu antecessor com a constante 2.
a1 = 5
a2 = 5 + 2 = 7
a3 = 7 + 2 = 9
a4 = 9 + 2 = 11
a5 = 11 + 2 = 13
a6 = 13 + 2 = 15
a7 = 15 + 2 = 17
Essa constante é chamada de razão e representada por r. Dependendo do valor de r a progressão
aritmética pode ser crescente, constante ou decrescente.
P.A crescente: r > 0, então os elementos estarão em ordem crescente.
P.A constate: r = 0, então os elementos serão todos iguais.
P.A decrescente: r < 0, então os elementos estarão em ordem decrescente.
Termo Geral de uma P.A
Considere uma P.A finita qualquer (a 1, a2, a3 , a4, ... , a n) de razão igual a r, sabemos que:
a2 – a1 = r → a 2 = a 1 + r
a3 – a2 = r → a3 – a1 – r = r → a3 = a1 + 2r
a4 – a3 = r → a4 – a1 – 2r = r → a4 = a1 + 3r
…
a n = a1 + (n – 1) . r
Portanto o termo geral de uma P.A é calculado utilizando a seguinte fórmula:
a n = a1 + (n – 1) . r
Exemplo 1:
Calcule o 16º termo de uma P.A, sabendo que a 1 = -10 e r = 3.
an = a1 + (n – 1) . r
a16 = -10 + (16 – 1) . 3
a16 = -10 + 15 . 3
5

6. a16 = -10 + 45
a16 = 35
O 16º termo de uma P.A é 35.
Soma dos termos de uma P.A finita
Se tivermos uma P.A finita qualquer, para somarmos os seus termos (elementos) chegaremos à
seguinte fórmula para somarmos os n elementos de uma P.A finita.
Sn = (a1 + an) . n
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Exemplo 2:
Determine uma P.A sabendo que a soma de seus 8 primeiros termos é 324 e que
a 8 = 79.
Retirando os dados:
n=8
Sn = 324
a 8 = 79
Sn = (a1 + an) . n
2
324 = (a1 + 79) . 8
2
324 . 2 = 8 a1 + 79 . 8
648 = 8 a1 + 632
16 = 8 a1
a1 = 2
Precisamos encontrar o valor de r (razão) para encontrar o valor dos outros elementos.
a n = a1 + (n – 1) . r
79 = 2 + (8 – 1) . r
79 = 2 + 7 . r
79 – 2 = 7r
77 = r
7
r = 11
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7. Progressão Geométrica
Podemos definir progressão geométrica, ou simplesmente P.G., como uma sucessão de números
reais obtida, com exceção do primeiro, multiplicando o número anterior por uma quantidade fixa q,
chamada razão.
Podemos calcular a razão da progressão, caso ela não esteja suficientemente evidente, dividindo
entre si dois termos consecutivos. Por exemplo, na sucessão (1, 2, 4, 8,...), q = 2.
Cálculos do termo geral
Numa progressão geométrica de razão q, os termos são obtidos, por definição, a partir do
primeiro, da seguinte maneira:
a1 a2 a3 ... a20 ... an ...
2 19 n-1
a1 a1xq a1xq ... a1xq a1xq ...
Assim, podemos deduzir a seguinte expressão do termo geral, também chamado enésimo
termo, para qualquer progressão geométrica.
an = a1 x qn-1
Portanto, se por exemplo, a1 = 2 e q = 1/2, então:
an = 2 x (1/2)n-1
Se quisermos calcular o valor do termo para n = 5, substituindo-o na fórmula, obtemos:
a5 = 2 x (1/2)5-1 = 2 x (1/2)4 = 1/8
A semelhança entre as progressões aritméticas e as geométricas é aparentemente grande.
Porém, encontramos a primeira diferença substancial no momento de sua definição. Enquanto as
progressões aritméticas formam-se somando-se uma mesma quantidade de forma repetida, nas
progressões geométricas os termos são gerados pela multiplicação, também repetida, por um
mesmo número. As diferenças não param aí.
Observe que, quando uma progressão aritmética tem a razão positiva, isto é, r > 0, cada
termo seu é maior que o anterior. Portanto, trata-se de uma progressão crescente. Ao contrário, se
tivermos uma progressão aritmética com razão negativa, r < 0, seu comportamento será
decrescente. Observe, também, a rapidez com que a progressão cresce ou diminui. Isto é
conseqüência direta do valor absoluto da razão, |r|. Assim, quanto maior for r, em valor absoluto,
maior será a velocidade de crescimento e vice-versa.
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8. Soma dos n primeiros termos de uma PG
Seja a PG (a1, a2, a3 , a4, ... , a n , ...) . Para o cálculo da soma dos n primeiros termos S n, vamos
considerar o que segue:
Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + ... + a n-1 + a n
Multiplicando ambos os membros pela razão q vem:
Sn.q = a1 . q + a2 .q + .... + a n-1 . q + a n .q
Conforme a definição de PG, podemos reescrever a expressão como:
Sn . q = a2 + a3 + ... + a n + a n . q
Observe que a2 + a3 + ... + an é igual a S n - a1 . Logo, substituindo, vem:
S n . q = S n - a1 + an . q
Daí, simplificando convenientemente, chegaremos à seguinte fórmula da soma:
Se substituirmos an = a1 . qn-1 , obteremos uma nova apresentação para a fórmula da soma, ou seja:
Exemplo:
Calcule a soma dos 10 primeiros termos da PG (1,2,4,8,...)
Temos:
Observe que neste caso a1 = 1.
5 - Soma dos termos de uma PG decrescente e ilimitada
Considere uma PG ILIMITADA ( infinitos termos) e decrescente. Nestas condições, podemos
considerar que no limite teremos an = 0. Substituindo na fórmula anterior, encontraremos:
8

9. Exemplo:
Resolva a equação: x + x/2 + x/4 + x/8 + x/16 + ... =100
O primeiro membro é uma PG de primeiro termo x e razão 1/2. Logo, substituindo na fórmula,
vem:
Dessa equação encontramos como resposta x = 50.
Recursos Tecnológicos
* Recursos áudio visuais
Aula sobre Progressão Aritmética – Prof. Toid
http://www.youtube.com/watch?v=RFTGmqPWcSY
Aula sobre Progressão Geométrica - Prof. Domingos
http://www.youtube.com/watch?v=YYzPJxyw1-0
* Aplicativo criado no Excel, com o nome Progressão Aritmética
Tipo:Freeware
Descrição: Planilha do Excel que calcula o 1º termo, a razão, o n-ésimo termo, a posição do
termo e realiza interpolação aritmética. Possui também simuladores para cálculos do termo geral de
uma P.A., soma dos termos, soma dos múltiplos de um determinado número etc. Ainda representa
graficamente uma P.A. no plano cartesiano. Tamanho: 315 Kb, basta acessar o link abaixo e
selecionar o programa
http://www.somatematica.com.br/softwares.php?pag=5
Referências Bibliográficas
http://www.seufuturonapratica.com.br/intellectus/_Arquivos/Jan_Jul_04/PDF/Artigo_Valeria.pdf
http://www.somatematica.com.br/emedio/pg.php
http://educacao.uol.com.br/matematica/progressao-aritmetica.jhtm
http://www.escolanet.com.br
GIOVANNI, José Ruy (2002). Matemática Fundamental: Uma nova abordagem – Ensino Médio.
Volume Único. São Paulo: FTD.
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