Apresentação aula-8-5

Escola Secundária de Fontes Pereira de Melo - 401780
"Escola em processo de mudança“

Disciplina: Matemática Professora: Manuela Lopes Ano Lectivo: 2011-2012 2ºPeriodo

Tema: Sucessões Reais Aula: 84 Data: 08-5-2012 Hora: 12:00-13:30

Sub-tema: Progressões aritmética Turma: 11ºA Sala: 1.1.2 Duração: 90´

Manuela Lopes 1


Lição nº 84 Data: 08-5-2012
Sumário:
Progressão aritmética e estudo da
monotonia.
Resolução de exercícios.

Manuela Lopes 2


O número a é majorante do
Sucessões conjunto P se e só se a é
maior ou igual que qualquer
Limitadas elemento de P

O número b é minorante do
conjunto P se e só se b é
menor ou igual que qualquer
elemento de P

Manuela Lopes 3


Cometa Halley

Assim batizado porque Edmond
Halley foi o primeiro astrônomo a
teorizar que as características
observáveis de um cometa em 1683
eram praticamente as mesmas que as
de dois cometas que tinham aparecido
em 1531 e 1607, eram os mesmos
cometas e seriam objetos periódicos.

Manuela Lopes 4


Edmond Halley previu o seu regresso no
ano de 1758.
A previsão feita por Halley estava
correcta, o cometa foi observado a 25 de
Dezembro de 1758.

A sua última aparição foi em 1986, vamos tentar
perceber quando será a próxima?

Manuela Lopes 5


Objectivos:
Definir progressão aritmética;
Reconhecer uma sucessão que seja progressão aritmética;
Averiguar se uma sucessão é ou não uma progressão
aritmética;
Concluir a monotonia de uma progressão aritmética;
Deduzir a expressão do termo geral de uma progressão
aritmética;
Determinar termos de uma progressão aritmética.

Manuela Lopes 6


PROGRESSÕES ARITMÉTICAS

Nº de
traços 4 6 8 10 2n+2

(4+2) (6+2) (8+2) (2n+2)

Na sucessão 4, 6, 8, 10, …, 2n + 2, … passa-se de um termo para o
+2 +2 +2
seguinte adicionando uma constante.
Neste caso, a constante 2.
Diz-se que uma sucessão é uma progressão
aritmética de razão 2.

Manuela Lopes 7



Uma sucessão (Un) é uma Progressão Aritmética (p.a.) se existe um número
real r tal que:

Ao numero r chama-se razão da progressão aritmética.

Assim, se (Un) é uma progressão aritmética, cada termo da sucessão obtém-se
do anterior adicionando-lhe a constante r.

Manuela Lopes 8



O termo geral da progressão aritmética anterior è: Un = 2n + 2
A sua representação gráfica é, como em qualquer sucessão, um conjunto
de pontos isolados como mostra a figura.
Os pontos da representação gráfica de uma
Progressão Aritmética pertencem a uma recta.
O declive da recta que contém os pontos do
gráfico da sucessão é igual á razão da
progressão aritmética.

Manuela Lopes 9


Estudo da Monotonia de uma Progressão aritmética

 Se a razão é positiva (r > 0), a progressão é estritamente
crescente; ou seja, cada termo é maior que o anterior.

Manuela Lopes 10



 Se a razão é negativa (r < 0), a progressão é
estritamente decrescente, ou seja, cada termo é menor
que o anterior.

Manuela Lopes 11



 Se a razão é zero, a progressão é constante (r = 0), ou
seja, tem todos os seus termos iguais.

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Exemplo prático
Exercício 19 – Manual escolar

Considere a sucessão Un definida por:

19.1. Mostra que Un é uma progressão aritmética e classifica-a quanto à monotonia.

Manuela Lopes 13


Termo geral de uma progressão aritmética

Se Un+1= Un + r

U 2= U 1 + r

U3 = U2 + r = (U1 + r) + r = U1 + 2.r

U4 = U3 + r = (U1 + 2r) + r = U1 + 3.r

U5 = U4 + r = (U1 + 3r) + r = U1 + 4.r

Logo,

Esta fórmula pode ser adaptada e obtém-se:

Manuela Lopes 14


Exemplo prático
Exercício 21– Manual escolar

Determina a razão e o termo geral da progressão bn , sabendo:

21.1. b1 = -1 e b8 = 20.

Calcular a razão: Calcular o termo geral:
bn = bk + (n-k).r bn = b1 + (n-1).r
b8 = b1 + (8-1).r bn = -1 + (n-1).3
20 = -1 + 7r bn = -1+3n-3
7r = 21 bn = 3n – 4
21
r=
7
r=3
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Cometa Halley
A última aparição foi em
1986 e a sua próxima aparição
é em …
2062.

1531 1607 1683 1758 1834 1910 1986 2062

+76 +76 +76 +76 +76 +76

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 Praticar os conceitos

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Síntese aula

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Objectivos:
Deduzir a expressão da soma dos n primeiros
termos;
Calcular a soma de termos consecutivos de uma
progressão aritmética;
Resolver problemas envolvendo progressões
aritméticas;
Resolução de uma questão aula.

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