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REGRA DE TRÊS SIMPLES

Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais
conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos.

Exemplos:
1) Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m², uma lancha com motor movido a energia solar consegue
produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m², qual será a energia produzida?

2) Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em
quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h?

3) Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra em 20 dias. Se o número de
horas de serviço for reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe fará o mesmo trabalho?

Atividades de Sistematização

1) Um automóvel com velocidade de 80 km/h demora 3h para percorrer uma certa distância. Quanto tempo
demorará para percorrer a mesma distância um outro carro cuja velocidade é de 120 km/h?
a) 2 horas            b) 3 horas             c) 4 horas              d) 5 horas         e) 6 horas

2) Uma roda dá 80 voltas em 20 minutos. Quantas voltas dará em 28 minutos?

3) Com 8 eletricistas podemos fazer a instalação de uma casa em 3 dias. Quantos dias levarão 6 eletricistas para
fazer o mesmo trabalho?

4) Com 6 pedreiros podemos construir um a parede em 8 dias. Quantos dias gastarão 3 pedreiros para fazer a
mesma parede?

5) Uma fabrica engarrafa 3000 refrigerantes em 6 horas. Quantas horas levará para engarrafar 4000 refrigerantes?

6) Quatro marceneiros fazem um armário em 18 dias. Em quantos dias 9 marceneiros fariam o mesmo armário?

7) Trinta operários constroem uma casa em 120 dias. Em quantos dias 40 operários construiriam essa casa?

8) Uma torneira despeja em um tanque 50 litros de água em 20 minutos. Quantas horas levará para despejar 600
litros?

9) Na construção de uma escola foram gastos 15 caminhões de 4 m³ de areia. Quantos caminhões de 6 m³ seriam
necessários para fazer o mesmo trabalho?

10) Com 14 litros de tinta podemos pintar uma parede de 35 m². Quantos litros são necessários para pintar uma
parede de 15 m²?

11) Um ônibus, a uma velocidade média de 60 km/h, fez um percurso em 4 horas. Quanto levará, aumentando a
velocidade média para 80 km/h?

12) Uma máquina produz 100 peças em 25 minutos. Quantas peças produzirá em 1 hora?

13) Uma torneira despeja 2700 litros de água em 1 hora e meia. Quantos litros despeja em 14 minutos?

PORCENTAGEM

  É frequente o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções em preços, números ou quantidades,
sempre tomando por base 100 unidades. Alguns exemplos:
   • A gasolina teve um aumento de 15%
   Significa que em cada R$100,00 houve um acréscimo de R$15,00
   • O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias.
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   Significa que em cada R$100,00 foi dado um desconto de R$10,00
   • Dos jogadores que jogam no Grêmio, 90% são craques.
   Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Grêmio, 90 são craques.

   •   Calcular 10% de 300.

   •   Calcular 25% de 200kg.

Exemplos:
1) Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas, transformando em gols 8% dessas
faltas. Quantos gols de falta esse jogador fez?

2) Se eu comprei uma ação de um clube por R$250,00 e a revendi por R$300,00, qual a taxa percentual de lucro
obtida?

  Uma dica importante: o FATOR DE MULTIPLICAÇÃO.
   Se, por exemplo, há um acréscimo de 10% a um determinado valor, podemos calcular o novo valor apenas
multiplicando esse valor por 1,10, que é o fator de multiplicação. Se o acréscimo for de 20%, multiplicamos por
1,20, e assim por diante. Veja a tabela abaixo:
                  Acréscimo ou Lucro         1 + taxa de acréscimo Fator de Multiplicação
                           10%                   1 + 0,10 = 1,10                 1,10
                           15%                   1 + 0,15 = 1,15                 1,15
                           20%                   1 + 0,20 = 1,20                 1,20
                           47%                   1 + 0,47 = 1,47                 1,47
                           67%                   1 + 0,67 = 1,67                 1,67

  Exemplo: Aumentando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 x 1,10 = R$ 11,00
  No caso de haver um decréscimo, o fator de multiplicação será:
  Fator de Multiplicação = 1 - taxa de desconto (na forma decimal)
  Veja a tabela abaixo:
               Desconto ou prejuízo 1 – taxa de decréscimo         Fator de Multiplicação
                         10%                 1 – 0,10 = 0,90                0,90
                         25%                 1 – 0,25 = 0,75                0,75
                         34%                 1 – 0,34 = 0,66                0,66
                         60%                 1 – 0,60 = 0,40                0,40
                         90%                 1 – 0,90 = 0,10                0,10
  Exemplo: Descontando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 x 0,90 = R$ 9,00

Atividades de sistematização

1) (FAAP) Numa cidade, 12% da população são estrangeiros. Sabendo-se que 11.968.000 são brasileiros, qual é a
população total?
a) 1.360.000      b) 13.600.000     c) 136.000.000         d) 10.531.840         e) 105.318.400

2) (FUVEST) O preço de uma certa mercadoria sofre anualmente um acréscimo de 100%. Supondo que o preço
atual seja R$ 100,00, daqui a 3 anos o preço será.
a) R$ 300,00         b) R$ 400,00              c) R$ 600,00     d) R$ 800,00         e) R$ 1000,00

3) (FGV) Se João emagrecesse 10 kg, ele passaria a ter 75% do seu peso atual. Então, seu peso atual é:
a) inferior a 30 kg   b) 75 kg        c) 50 kg         d) superior a 75 kg           e) 40 kg

4) (FGV) Num colégio com 1000 estudantes, 65% dos quais são do sexo masculino, todos os estudantes foram
convidados a opinar sobre a convocação para a Seleção Brasileira feita por Mano Menezes. Apurados os resultados,
verificou-se que 40% dos homens e 50% das mulheres manifestaram-se favoravelmente ao nome dos convocados.
A porcentagem de estudantes favoráveis a convocação vale:
a) 43,5%               b) 45%         c) 90%         d) 17,5%                 e) 26%
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5) Certo mês, uma prestação de casa própria tinha o valor de R$ 740,00. Sendo paga após a data de vencimento,
seria cobrada uma multa e o valor total a ser pago passaria a ser R$ 777,00, a multa correspondente em relação
ao valor inicial a uma porcentagem de:
a) 3%             b) 4%         c) 5%          d) 6%          e) 7%

REGRA DE TRÊS COMPOSTA

        A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente
proporcionais.

Exemplos:
1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários
para descarregar 125m3?

2) Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serão montados por
4 homens em 16 dias?

3) Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2m de altura. Trabalhando 3 pedreiros e aumentando
a altura para 4m, qual será o tempo necessário para completar esse muro?

Atividades de Sistematização

1) Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas horas levarão 10 torneiras para encher 2 piscinas?
Resposta: 6 horas.
2) Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas de carvão. Se for aumentada para 20
homens, em quantos dias conseguirão extrair 5,6 toneladas de carvão? Resposta: 35 dias.
3) Vinte operários, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias para construir um muro de 300m. Quanto tempo
levará uma turma de 16 operários, trabalhando 9 horas por dia, para construir um muro de 225m? Resposta: 15
dias.
4) Um caminhoneiro entrega uma carga em um mês, viajando 8 horas por dia, a uma velocidade média de 50
km/h. Quantas horas por dia ele deveria viajar para entregar essa carga em 20 dias, a uma velocidade média de
60 km/h? Resposta: 10 horas por dia.
5) Com uma certa quantidade de fio, uma fábrica produz 5400m de tecido com 90cm de largura em 50 minutos.
Quantos metros de tecido, com 1 metro e 20 centímetros de largura, seriam produzidos em 25 minutos?
Resposta: 2025 metros.
 6) Seis torneiras despejam 10.000 litros de água em uma caixa em 10 horas. Em quanto tempo 12 torneiras
despejarão 12.000 litros de água? Resposta: 6 horas
7) Usando um ferro elétrico 1 hora por dia, durante 20 dias, o consumo de energia será de 10 kw/h. Se o mesmo
ferro elétrico for usado 110 minutos por dia durante 30 dias, qual será o consumo? Resposta: 27,5 kW/h
8) Trabalhando 10 horas por dia, durante 18 dias, João recebeu R$ 2 100,00. Se trabalhar 8 horas por dia,
quantos dias ele deverá trabalhar para receber R$ 2 700,00? Resposta: 29 dias
9) Em uma empresa, 10 funcionários produzem 3 000 peças, trabalhando 8 horas por dia durante 5 dias. Qual o
número de funcionários necessários para que essa empresa produza 7 000 peças em 15 dias, trabalhando 4 horas
por dia? Resposta: 16 funcionários
10) 12 tecelões em 90 dias de trabalho com jornada de 8 horas diárias produzem 36 m de carpete. Quantos dias
levarão 15 tecelões para fazer 12 m de carpete com o dobro da largura, trabalhando 6 horas por dia? Resposta: 64
11) Estudantes têm desconto de 50% em teatros, cinemas e outros espetáculos. Se a entrada em uma peça custa
R$ 18,50, quanto você vai pagar ao apresentar a carteirinha de estudante? Resposta: R$ 9,25
12) Qual o novo valor de uma mercadoria que custa R$ 200,00 e foi reajustada em 20%? Resposta: R$ 240,00
13) Qual o preço pago por uma mercadoria que custava R$ 80,00, mas que estava em promoção com 20% de
desconto? Resposta: R$ 64,00
14) Um automóvel percorre um espaço de 480 km em 2 horas. Quantos km ele percorrerá em 6 horas? Resposta:
1440 km
15) Certo homem percorre uma determinada distância com uma bicicleta. Sabendo-se que com a velocidade de 5
Km/h, ele demora 6 horas, quanto tempo este homem gastará com sua bicicleta para percorrer esta mesma
distância com uma velocidade 3 Km/h. Resposta: 10 horas
16) Se 10 metros de um tecido custam R$ 50,00, quanto custará 22 metros ? Resposta: R$ 110,00

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Porcentagem e regra de três 1º ano do ensino medio

  • 1. Escola Estadual de Ensino Médio Protásio Alves 1 Passo Fundo – RS Matemática – 1º ano do Ensino Médio REGRA DE TRÊS SIMPLES Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos. Exemplos: 1) Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m², uma lancha com motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m², qual será a energia produzida? 2) Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h? 3) Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra em 20 dias. Se o número de horas de serviço for reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe fará o mesmo trabalho? Atividades de Sistematização 1) Um automóvel com velocidade de 80 km/h demora 3h para percorrer uma certa distância. Quanto tempo demorará para percorrer a mesma distância um outro carro cuja velocidade é de 120 km/h? a) 2 horas b) 3 horas c) 4 horas d) 5 horas e) 6 horas 2) Uma roda dá 80 voltas em 20 minutos. Quantas voltas dará em 28 minutos? 3) Com 8 eletricistas podemos fazer a instalação de uma casa em 3 dias. Quantos dias levarão 6 eletricistas para fazer o mesmo trabalho? 4) Com 6 pedreiros podemos construir um a parede em 8 dias. Quantos dias gastarão 3 pedreiros para fazer a mesma parede? 5) Uma fabrica engarrafa 3000 refrigerantes em 6 horas. Quantas horas levará para engarrafar 4000 refrigerantes? 6) Quatro marceneiros fazem um armário em 18 dias. Em quantos dias 9 marceneiros fariam o mesmo armário? 7) Trinta operários constroem uma casa em 120 dias. Em quantos dias 40 operários construiriam essa casa? 8) Uma torneira despeja em um tanque 50 litros de água em 20 minutos. Quantas horas levará para despejar 600 litros? 9) Na construção de uma escola foram gastos 15 caminhões de 4 m³ de areia. Quantos caminhões de 6 m³ seriam necessários para fazer o mesmo trabalho? 10) Com 14 litros de tinta podemos pintar uma parede de 35 m². Quantos litros são necessários para pintar uma parede de 15 m²? 11) Um ônibus, a uma velocidade média de 60 km/h, fez um percurso em 4 horas. Quanto levará, aumentando a velocidade média para 80 km/h? 12) Uma máquina produz 100 peças em 25 minutos. Quantas peças produzirá em 1 hora? 13) Uma torneira despeja 2700 litros de água em 1 hora e meia. Quantos litros despeja em 14 minutos? PORCENTAGEM É frequente o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções em preços, números ou quantidades, sempre tomando por base 100 unidades. Alguns exemplos: • A gasolina teve um aumento de 15% Significa que em cada R$100,00 houve um acréscimo de R$15,00 • O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias.
  • 2. Escola Estadual de Ensino Médio Protásio Alves 2 Passo Fundo – RS Matemática – 1º ano do Ensino Médio Significa que em cada R$100,00 foi dado um desconto de R$10,00 • Dos jogadores que jogam no Grêmio, 90% são craques. Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Grêmio, 90 são craques. • Calcular 10% de 300. • Calcular 25% de 200kg. Exemplos: 1) Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas, transformando em gols 8% dessas faltas. Quantos gols de falta esse jogador fez? 2) Se eu comprei uma ação de um clube por R$250,00 e a revendi por R$300,00, qual a taxa percentual de lucro obtida? Uma dica importante: o FATOR DE MULTIPLICAÇÃO. Se, por exemplo, há um acréscimo de 10% a um determinado valor, podemos calcular o novo valor apenas multiplicando esse valor por 1,10, que é o fator de multiplicação. Se o acréscimo for de 20%, multiplicamos por 1,20, e assim por diante. Veja a tabela abaixo: Acréscimo ou Lucro 1 + taxa de acréscimo Fator de Multiplicação 10% 1 + 0,10 = 1,10 1,10 15% 1 + 0,15 = 1,15 1,15 20% 1 + 0,20 = 1,20 1,20 47% 1 + 0,47 = 1,47 1,47 67% 1 + 0,67 = 1,67 1,67 Exemplo: Aumentando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 x 1,10 = R$ 11,00 No caso de haver um decréscimo, o fator de multiplicação será: Fator de Multiplicação = 1 - taxa de desconto (na forma decimal) Veja a tabela abaixo: Desconto ou prejuízo 1 – taxa de decréscimo Fator de Multiplicação 10% 1 – 0,10 = 0,90 0,90 25% 1 – 0,25 = 0,75 0,75 34% 1 – 0,34 = 0,66 0,66 60% 1 – 0,60 = 0,40 0,40 90% 1 – 0,90 = 0,10 0,10 Exemplo: Descontando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 x 0,90 = R$ 9,00 Atividades de sistematização 1) (FAAP) Numa cidade, 12% da população são estrangeiros. Sabendo-se que 11.968.000 são brasileiros, qual é a população total? a) 1.360.000 b) 13.600.000 c) 136.000.000 d) 10.531.840 e) 105.318.400 2) (FUVEST) O preço de uma certa mercadoria sofre anualmente um acréscimo de 100%. Supondo que o preço atual seja R$ 100,00, daqui a 3 anos o preço será. a) R$ 300,00 b) R$ 400,00 c) R$ 600,00 d) R$ 800,00 e) R$ 1000,00 3) (FGV) Se João emagrecesse 10 kg, ele passaria a ter 75% do seu peso atual. Então, seu peso atual é: a) inferior a 30 kg b) 75 kg c) 50 kg d) superior a 75 kg e) 40 kg 4) (FGV) Num colégio com 1000 estudantes, 65% dos quais são do sexo masculino, todos os estudantes foram convidados a opinar sobre a convocação para a Seleção Brasileira feita por Mano Menezes. Apurados os resultados, verificou-se que 40% dos homens e 50% das mulheres manifestaram-se favoravelmente ao nome dos convocados. A porcentagem de estudantes favoráveis a convocação vale: a) 43,5% b) 45% c) 90% d) 17,5% e) 26%
  • 3. Escola Estadual de Ensino Médio Protásio Alves 3 Passo Fundo – RS Matemática – 1º ano do Ensino Médio 5) Certo mês, uma prestação de casa própria tinha o valor de R$ 740,00. Sendo paga após a data de vencimento, seria cobrada uma multa e o valor total a ser pago passaria a ser R$ 777,00, a multa correspondente em relação ao valor inicial a uma porcentagem de: a) 3% b) 4% c) 5% d) 6% e) 7% REGRA DE TRÊS COMPOSTA A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais. Exemplos: 1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m3? 2) Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias? 3) Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2m de altura. Trabalhando 3 pedreiros e aumentando a altura para 4m, qual será o tempo necessário para completar esse muro? Atividades de Sistematização 1) Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas horas levarão 10 torneiras para encher 2 piscinas? Resposta: 6 horas. 2) Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas de carvão. Se for aumentada para 20 homens, em quantos dias conseguirão extrair 5,6 toneladas de carvão? Resposta: 35 dias. 3) Vinte operários, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias para construir um muro de 300m. Quanto tempo levará uma turma de 16 operários, trabalhando 9 horas por dia, para construir um muro de 225m? Resposta: 15 dias. 4) Um caminhoneiro entrega uma carga em um mês, viajando 8 horas por dia, a uma velocidade média de 50 km/h. Quantas horas por dia ele deveria viajar para entregar essa carga em 20 dias, a uma velocidade média de 60 km/h? Resposta: 10 horas por dia. 5) Com uma certa quantidade de fio, uma fábrica produz 5400m de tecido com 90cm de largura em 50 minutos. Quantos metros de tecido, com 1 metro e 20 centímetros de largura, seriam produzidos em 25 minutos? Resposta: 2025 metros. 6) Seis torneiras despejam 10.000 litros de água em uma caixa em 10 horas. Em quanto tempo 12 torneiras despejarão 12.000 litros de água? Resposta: 6 horas 7) Usando um ferro elétrico 1 hora por dia, durante 20 dias, o consumo de energia será de 10 kw/h. Se o mesmo ferro elétrico for usado 110 minutos por dia durante 30 dias, qual será o consumo? Resposta: 27,5 kW/h 8) Trabalhando 10 horas por dia, durante 18 dias, João recebeu R$ 2 100,00. Se trabalhar 8 horas por dia, quantos dias ele deverá trabalhar para receber R$ 2 700,00? Resposta: 29 dias 9) Em uma empresa, 10 funcionários produzem 3 000 peças, trabalhando 8 horas por dia durante 5 dias. Qual o número de funcionários necessários para que essa empresa produza 7 000 peças em 15 dias, trabalhando 4 horas por dia? Resposta: 16 funcionários 10) 12 tecelões em 90 dias de trabalho com jornada de 8 horas diárias produzem 36 m de carpete. Quantos dias levarão 15 tecelões para fazer 12 m de carpete com o dobro da largura, trabalhando 6 horas por dia? Resposta: 64 11) Estudantes têm desconto de 50% em teatros, cinemas e outros espetáculos. Se a entrada em uma peça custa R$ 18,50, quanto você vai pagar ao apresentar a carteirinha de estudante? Resposta: R$ 9,25 12) Qual o novo valor de uma mercadoria que custa R$ 200,00 e foi reajustada em 20%? Resposta: R$ 240,00 13) Qual o preço pago por uma mercadoria que custava R$ 80,00, mas que estava em promoção com 20% de desconto? Resposta: R$ 64,00 14) Um automóvel percorre um espaço de 480 km em 2 horas. Quantos km ele percorrerá em 6 horas? Resposta: 1440 km 15) Certo homem percorre uma determinada distância com uma bicicleta. Sabendo-se que com a velocidade de 5 Km/h, ele demora 6 horas, quanto tempo este homem gastará com sua bicicleta para percorrer esta mesma distância com uma velocidade 3 Km/h. Resposta: 10 horas 16) Se 10 metros de um tecido custam R$ 50,00, quanto custará 22 metros ? Resposta: R$ 110,00