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Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães
PROBABILIDADE E CONTAGEM
PE.7.01.A
1) Ao arremessar uma moeda honesta, qual é a
probabilidade de encontrarmos:
a) cara b) coroa
2) Um dado não-viciado é arremessado. Qual é a
probabilidade de sair:
a) o número 5? b) um número par?
c) um número ímpar? d) um número maior que 4?
e) um número menor que 4? f) um número primo?
3) Qual é o espaço amostral?
a) do arremesso de uma moeda
b) do arremesso de um dado.
c) do arremesso de duas moedas.
d) do arremesso de dois dados.
4) Arremessando dois dados não-viciados e somando-se
suas faces, qual é a probabilidade de encontrarmos:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e)_ 5 f) 6
g) 7 h) 8 i) 9 j) 10 k) 11 l) 12
*** COPIE NO CADERNO O DIAGRAMA ***
5) Arremessando duas moedas, qual é a probabilidade de:
a) sair cara no primeiro lançamento.
b) sair duas faces iguais
6) a) Em uma urna há 4 bolas, numeradas de 1 a 4. Qual é a probabilidade de sair
um número par?
b) Em uma urna há 100 bolas, numeradas de 1 a 100. Qual é a probabilidade de
sair um número quadrado perfeito?
c) Em uma urna há 25 bolas, numeradas de 1 a 25. Qual é a probabilidade de sair
um número primo?
d) Em uma urna há 50 bolas, numeradas de 1 a 50. Qual é a probabilidade de sair
um número maior que 18?
e) Em uma urna há 30 bolas, numeradas de 1 a 30. Qual é a probabilidade de sair
um número múltiplo de 7?
f) Em uma urna há 30 bolas, numeradas de 1 a 30. Qual é a probabilidade de sair
um número múltiplo de 7 e 5 ao mesmo tempo?
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PROBABILIDADE E CONTAGEM
PE.7.01.B
7) Em um baralho comum sem o coringa, diga qual é a
probabilidade de escolhermos uma carta:
a) de naipe de copas. b) de naipe de ouro.
c) de naipe de espadas. d) de naipe de paus.
e) de número 7. f) de número 9.
g) cuja face é K. h) cuja face é Q.
i) cujo naipe é preto. j) cujo naipe é vermelho.
k) um Ás de copas l) um 7 de ouros
m) um valete vermelho. n) um 10 preto.
o) uma carta de 4 ou de J
p) uma carta que não seja J, K ou Q.
8) a) Qual é a probabilidade de um número de dois
algarismos seja múltiplo de 15?
b) Qual é a possibilidade de um número de três algarismos
formado apenas com 3, 5 e 4 sem repetição seja par?
9) Escreva a árvore das probabilidades (NO CADERNO):
a) do arremesso de três moedas.
d) dos números de três algarismos que podem ser escritos
com os algarismos 2, 5 e 4 com ou sem repetição.
e) dos números de três algarismos que podem ser escritos
com os algarismos 2, 5 e 4 sem repetição.
f) Dos códigos de 3 caracteres formados com as letras A,
B e C.
g) Dos códigos de 3 caracteres formados com as letras A,
B, C, D, E iniciados por vogal.
h) Dos números de 4 algarismos pares iniciados por 4, 6
ou 2 e sem repetição.
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PROBABILIDADE E CONTAGEM
PE.7.01.C
1) Qual é a probabilidade de se obter um resultado maior
que 4 ao se lançar um dado honesto?
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3) Em uma urna há 5 bolas vermelhas e 4 pretas, todas de
mesmo tamanho e feitas do mesmo material. Retiramos
duas bolas sucessivamente da urna, sem repô-las. Qual é
a probabilidade de que sejam retiradas duas bolas
vermelhas?
4) Pedro e João combinaram de lançar uma moeda 4
vezes. Pedro apostou que, nesses 4 lançamentos, não
apareceriam 2 caras seguidas; João aceitou a aposta.
Quem tem maior chance de ganhar a aposta?
5) Uma moeda é lançada 3 vezes. Qual é a probabilidade
de que saiam 2 caras?
6) Um casal decidiu que vai ter 4 filhos. O que é mais
provável: que tenham dois casais ou três filhos de um
sexo e um de outro?
7) Duas peças de um dominó comum são sorteadas. Qual
é a probabilidade de que tenham um número em comum?
8) Laura e Telma retiram um bilhete cada de uma urna em
que há 100 bilhetes numerados de 1 a 100. Qual é a
probabilidade de que o número retirado por Laura seja
maior do que o de Telma? E se elas, depois de
consultarem o número, devolvem o bilhete à urna?
Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães
PROBABILIDADE E CONTAGEM
PE.7.01.D
9) Ana, Joana e Carolina apostam em um jogo de cara-e-
coroa. Ana vence na primeira vez que saírem duas caras
seguidas; Joana vence na primeira vez que saírem duas
coroas seguidas; Carolina vence quando sair uma cara
seguida de uma coroa. Qual é a probabilidade que cada
uma tem de vencer?
10) O trecho a seguir foi obtido em um site de internet que
se propõe a aumentar as chances de vitória no jogo da
Sena (que consiste em sortear 6 dentre 60 dezenas).
“Quando afirmamos, por exemplo, que as dezenas
atrasadas são importantes, é porque já observamos, em
nossos estudos, que todas as dezenas são sorteadas a
cada quarenta testes, portanto, seria útil você acompanhar
e apostar em dezenas atrasadas; você estaria assim
aumentando muito suas chances.” Você concorda que
apostar em uma dezena atrasada aumenta as chances de
vitória na Sena?
11) Suponhamos que você tenha duas escolhas para
apostar na Sena. Na primeira escolha aposta nas dezenas
1 - 3 - 5 7 - 9 - 11, e na segunda escolha nas dezenas 8 -
17 - 31 - 45 - 49 - 55. Qual você acha que tem maiores
chances de ser vitoriosa?
12) (O Problema do Bode) Este problema foi proposto em
um programa de rádio nos Estados Unidos e causou um
enorme debate na internet. Em um programa de prêmios,
o candidato tem diante de si três portas. Atrás de uma
dessas portas, há um grande prêmio; atrás das demais há
um bode. O candidato escolhe inicialmente uma das
portas. O apresentador (que sabe qual é a porta que
contém o prêmio) abre uma das portas não indicadas pelo
candidato, mostrando necessariamente um bode. A seguir,
ele pergunta se o candidato mantém sua escolha ou
deseja trocar de porta. O candidato deve trocar ou não?
(Uma forma de você guiar sua intuição consiste em
simular o problema.)
Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães
PROBABILIDADE E CONTAGEM
PE.7.01.E
Problemas de Contagem
1) (Olimpíada Cearense de Matemática da Escola
Pública – Numeratizar – 1ª série do Ensino Médio – 1ª
fase/2003) A formiguinha vai caminhar de A até C
passando por B. Ela só anda pelas estradas que já
construiu:
O número de caminhos diferentes que ela pode escolher
é:
a) 4 b) 5 c) 7 d) 8 e) 9
2) (EMEF Ricardo Caramuru de Castro Monteiro – CAIC
Vale do Sol – Araraquara-SP – 8ª série – 2003)
No Brasil, as placas de carro são compostas por 3 letras
do alfabeto latino (total:26 letras) e 4 algarismos hindo-
arábicos (total:10 algarismos). Qual é o número máximo
de placas de carro que podem ser feitas no Brasil?
a) 17576000 b) 175760000
c) 6760000 d) 115316136
3) (EMEB Arthur Natalino Deriggi – São Carlos-SP – 5ª
série – 2003) Margareth tem 12 blusas e 11 saias.
Quantas combinações de saia e blusa Margareth pode
usar?
a) 23 b) 12 c) 144 d) 132 e) 121
4) (EM Isaura Vilela Brasileiro – Botelhos – MG – 2000)
Com seis tipos de cartões magnéticos e oito senhas
diferentes, as opções de escolha de um cartão e uma
senha são:
a) 36 b) 42 c) 48
d) 52 e) 64
5) (EM Isaura Vilela Brasileiro – Botelhos – MG –
2000)Num microcomputador, para abrir certo arquivo, o
usuário deve digitar 4 sinais ( que são / # | ^) numa certa
ordem, sem repeti-los. Se ele não conhece a ordem e
procura acertar a senha por tentativas, qual é o número
máximo de tentativas que fará?
a) 24 b) 30 c) 36 d) 40 e) 120
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PROBABILIDADE E CONTAGEM
PE.7.01.F
6) (XXIII Olimpíada Brasileira de Matemática – Nível 1,
2 e 3 – 1a
fase – 2001) Na figura abaixo, temos 4
circunferências e alguns pontos destacados no interior
dessas circunferências. Escolhendo exatamente um
desses pontos dentro de cada uma das circunferências, e
unindo-os por segmentos de reta que não se cruzam,
formamos um quadrilátero. Quantos quadriláteros
diferentes seremos capazes de desenhar nessas
condições?
A) 4 B) 14 C) 60 D) 120 E) 24
7) Uma bandeira tem quatro listas. De quantas maneiras
eu posso pintá-las utilizando-se de 3 cores diferentes, de
tal forma que não pintemos duas faixas consecutivas da
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8) Numa festa 5 pessoas se cumprimentam. Quantos são
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  • 1. Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães PROBABILIDADE E CONTAGEM PE.7.01.A 1) Ao arremessar uma moeda honesta, qual é a probabilidade de encontrarmos: a) cara b) coroa 2) Um dado não-viciado é arremessado. Qual é a probabilidade de sair: a) o número 5? b) um número par? c) um número ímpar? d) um número maior que 4? e) um número menor que 4? f) um número primo? 3) Qual é o espaço amostral? a) do arremesso de uma moeda b) do arremesso de um dado. c) do arremesso de duas moedas. d) do arremesso de dois dados. 4) Arremessando dois dados não-viciados e somando-se suas faces, qual é a probabilidade de encontrarmos: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e)_ 5 f) 6 g) 7 h) 8 i) 9 j) 10 k) 11 l) 12 *** COPIE NO CADERNO O DIAGRAMA *** 5) Arremessando duas moedas, qual é a probabilidade de: a) sair cara no primeiro lançamento. b) sair duas faces iguais 6) a) Em uma urna há 4 bolas, numeradas de 1 a 4. Qual é a probabilidade de sair um número par? b) Em uma urna há 100 bolas, numeradas de 1 a 100. Qual é a probabilidade de sair um número quadrado perfeito? c) Em uma urna há 25 bolas, numeradas de 1 a 25. Qual é a probabilidade de sair um número primo? d) Em uma urna há 50 bolas, numeradas de 1 a 50. Qual é a probabilidade de sair um número maior que 18? e) Em uma urna há 30 bolas, numeradas de 1 a 30. Qual é a probabilidade de sair um número múltiplo de 7? f) Em uma urna há 30 bolas, numeradas de 1 a 30. Qual é a probabilidade de sair um número múltiplo de 7 e 5 ao mesmo tempo?
  • 2. Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães PROBABILIDADE E CONTAGEM PE.7.01.B 7) Em um baralho comum sem o coringa, diga qual é a probabilidade de escolhermos uma carta: a) de naipe de copas. b) de naipe de ouro. c) de naipe de espadas. d) de naipe de paus. e) de número 7. f) de número 9. g) cuja face é K. h) cuja face é Q. i) cujo naipe é preto. j) cujo naipe é vermelho. k) um Ás de copas l) um 7 de ouros m) um valete vermelho. n) um 10 preto. o) uma carta de 4 ou de J p) uma carta que não seja J, K ou Q. 8) a) Qual é a probabilidade de um número de dois algarismos seja múltiplo de 15? b) Qual é a possibilidade de um número de três algarismos formado apenas com 3, 5 e 4 sem repetição seja par? 9) Escreva a árvore das probabilidades (NO CADERNO): a) do arremesso de três moedas. d) dos números de três algarismos que podem ser escritos com os algarismos 2, 5 e 4 com ou sem repetição. e) dos números de três algarismos que podem ser escritos com os algarismos 2, 5 e 4 sem repetição. f) Dos códigos de 3 caracteres formados com as letras A, B e C. g) Dos códigos de 3 caracteres formados com as letras A, B, C, D, E iniciados por vogal. h) Dos números de 4 algarismos pares iniciados por 4, 6 ou 2 e sem repetição.
  • 3. Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães PROBABILIDADE E CONTAGEM PE.7.01.C 1) Qual é a probabilidade de se obter um resultado maior que 4 ao se lançar um dado honesto? 2) Ao lançar um dado duas vezes, qual é a probabilidade de se obter soma 5? 3) Em uma urna há 5 bolas vermelhas e 4 pretas, todas de mesmo tamanho e feitas do mesmo material. Retiramos duas bolas sucessivamente da urna, sem repô-las. Qual é a probabilidade de que sejam retiradas duas bolas vermelhas? 4) Pedro e João combinaram de lançar uma moeda 4 vezes. Pedro apostou que, nesses 4 lançamentos, não apareceriam 2 caras seguidas; João aceitou a aposta. Quem tem maior chance de ganhar a aposta? 5) Uma moeda é lançada 3 vezes. Qual é a probabilidade de que saiam 2 caras? 6) Um casal decidiu que vai ter 4 filhos. O que é mais provável: que tenham dois casais ou três filhos de um sexo e um de outro? 7) Duas peças de um dominó comum são sorteadas. Qual é a probabilidade de que tenham um número em comum? 8) Laura e Telma retiram um bilhete cada de uma urna em que há 100 bilhetes numerados de 1 a 100. Qual é a probabilidade de que o número retirado por Laura seja maior do que o de Telma? E se elas, depois de consultarem o número, devolvem o bilhete à urna?
  • 4. Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães PROBABILIDADE E CONTAGEM PE.7.01.D 9) Ana, Joana e Carolina apostam em um jogo de cara-e- coroa. Ana vence na primeira vez que saírem duas caras seguidas; Joana vence na primeira vez que saírem duas coroas seguidas; Carolina vence quando sair uma cara seguida de uma coroa. Qual é a probabilidade que cada uma tem de vencer? 10) O trecho a seguir foi obtido em um site de internet que se propõe a aumentar as chances de vitória no jogo da Sena (que consiste em sortear 6 dentre 60 dezenas). “Quando afirmamos, por exemplo, que as dezenas atrasadas são importantes, é porque já observamos, em nossos estudos, que todas as dezenas são sorteadas a cada quarenta testes, portanto, seria útil você acompanhar e apostar em dezenas atrasadas; você estaria assim aumentando muito suas chances.” Você concorda que apostar em uma dezena atrasada aumenta as chances de vitória na Sena? 11) Suponhamos que você tenha duas escolhas para apostar na Sena. Na primeira escolha aposta nas dezenas 1 - 3 - 5 7 - 9 - 11, e na segunda escolha nas dezenas 8 - 17 - 31 - 45 - 49 - 55. Qual você acha que tem maiores chances de ser vitoriosa? 12) (O Problema do Bode) Este problema foi proposto em um programa de rádio nos Estados Unidos e causou um enorme debate na internet. Em um programa de prêmios, o candidato tem diante de si três portas. Atrás de uma dessas portas, há um grande prêmio; atrás das demais há um bode. O candidato escolhe inicialmente uma das portas. O apresentador (que sabe qual é a porta que contém o prêmio) abre uma das portas não indicadas pelo candidato, mostrando necessariamente um bode. A seguir, ele pergunta se o candidato mantém sua escolha ou deseja trocar de porta. O candidato deve trocar ou não? (Uma forma de você guiar sua intuição consiste em simular o problema.)
  • 5. Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães PROBABILIDADE E CONTAGEM PE.7.01.E Problemas de Contagem 1) (Olimpíada Cearense de Matemática da Escola Pública – Numeratizar – 1ª série do Ensino Médio – 1ª fase/2003) A formiguinha vai caminhar de A até C passando por B. Ela só anda pelas estradas que já construiu: O número de caminhos diferentes que ela pode escolher é: a) 4 b) 5 c) 7 d) 8 e) 9 2) (EMEF Ricardo Caramuru de Castro Monteiro – CAIC Vale do Sol – Araraquara-SP – 8ª série – 2003) No Brasil, as placas de carro são compostas por 3 letras do alfabeto latino (total:26 letras) e 4 algarismos hindo- arábicos (total:10 algarismos). Qual é o número máximo de placas de carro que podem ser feitas no Brasil? a) 17576000 b) 175760000 c) 6760000 d) 115316136 3) (EMEB Arthur Natalino Deriggi – São Carlos-SP – 5ª série – 2003) Margareth tem 12 blusas e 11 saias. Quantas combinações de saia e blusa Margareth pode usar? a) 23 b) 12 c) 144 d) 132 e) 121 4) (EM Isaura Vilela Brasileiro – Botelhos – MG – 2000) Com seis tipos de cartões magnéticos e oito senhas diferentes, as opções de escolha de um cartão e uma senha são: a) 36 b) 42 c) 48 d) 52 e) 64 5) (EM Isaura Vilela Brasileiro – Botelhos – MG – 2000)Num microcomputador, para abrir certo arquivo, o usuário deve digitar 4 sinais ( que são / # | ^) numa certa ordem, sem repeti-los. Se ele não conhece a ordem e procura acertar a senha por tentativas, qual é o número máximo de tentativas que fará? a) 24 b) 30 c) 36 d) 40 e) 120
  • 6. Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães PROBABILIDADE E CONTAGEM PE.7.01.F 6) (XXIII Olimpíada Brasileira de Matemática – Nível 1, 2 e 3 – 1a fase – 2001) Na figura abaixo, temos 4 circunferências e alguns pontos destacados no interior dessas circunferências. Escolhendo exatamente um desses pontos dentro de cada uma das circunferências, e unindo-os por segmentos de reta que não se cruzam, formamos um quadrilátero. Quantos quadriláteros diferentes seremos capazes de desenhar nessas condições? A) 4 B) 14 C) 60 D) 120 E) 24 7) Uma bandeira tem quatro listas. De quantas maneiras eu posso pintá-las utilizando-se de 3 cores diferentes, de tal forma que não pintemos duas faixas consecutivas da mesma cor. 8) Numa festa 5 pessoas se cumprimentam. Quantos são os cumprimentos possíveis?