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Secretaria de Estado da Educação – SEDUC
Coordenadoria Regional de Ensino de Rolim de moura
E.E.E.F.M. Cel. Aluízio Pinheiro Ferreira
Profª.: Daniela Fontana Almenara e Maria Cristina de Andrade Tuyama
2º Ano do Ensino Médio
Disciplina: Matemática
PROGRESSÕES
GEOMÉTRICAS
OBSERVE AS SEQÜÊNCIAS:
2 4 8 16 ....
-2 -6 -18 ...
-72 24 -8 ...
5 5 5 5 ...
Essas seqüências foram construídas de forma
que cada termo, a partir do segundo é igual
ao anterior multiplicado por uma constante.
SEQÜÊNCIAS DESSE TIPO SÃO CHAMADAS
DE PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS.
Essa constante , que indicaremos por q, é
denominada razão da progressão geométrica.
Assim na progressão geométrica:
(2,4,8,16,....) temos q = 2 e a P.G. é crescente.
(-2,-6,-18,....) temos q = 3 e a P.G. é decrescente.
(-72,24,-8,...) temos q = e a P.G é alternante.
3
1

(5,5,5,5,....) temos q = 1 e a P.G. é constante.
FÓRMULA DO TERMO GERAL DA
Progressão Geométrica
Seja (a1,a2,a3,.....,an) uma P.G. de razão q.
Temos:
a2 = a1 . q
a3 = a2 . q logo, a3 = a1 .q.q
a3 = a1.q2
a4 = a3 . q logo, a4 = a1.q2.q
a4 = a1.q3
Continuando assim podemos perceber que
qualquer termo de uma P.G. pode ser expresso
da seguinte forma:
an = a1 . qn-1
Onde n indica a qual termo estamos nos referindo.
Exemplos de aplicação da fórmula:
1) Determine o décimo termo da P.G. (1,3,9,....)
Sabemos que a1 = 1 e q = 3.
Assim, substituindo na fórmula podemos escrever:
a10 = 1 . 310-1
a10 = 1 . 39, portanto a10 = 19683
2) Numa P.G. o 40 termo é igual 64 e o 10 termo é igual a 1.
Determine a razão da P.G. e, em seguida,
obtenha seu 80 termo.
Como a4 = a1 . q3, temos: 64 = 1.q3
Logo, q3 = 64 então q = 4.
Usando novamente a fórmula do termo geral, vamos
determinar o 80 termo:
a8 = a1 . q7  a8 = 1. 47  a8 = 16 384
Soma dos n primeiros termos de uma P.G.
Para calcularmos a soma, usaremos a seguinte fórmula:
 
1
11



q
qa
S
n
n
Veja alguns exemplos:
1) Calcule a soma dos cinqüenta primeiros termos de
(3,6,12,...).
Substituindo na fórmula, temos:
12
)1502.(3
50S


  S50 = 3.(250 – 1)
2) Quantos termos da P.G. (2,6,18,...) devem ser
considerados para que a soma resulte em 19682?
Substituindo na fórmula, temos:
 
13
13.2
68219



n
 3n – 1 = 19682
 3n = 19 683  3n = 39
Logo, n = 9

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  • 1. Governo do Estado de Rondônia Secretaria de Estado da Educação – SEDUC Coordenadoria Regional de Ensino de Rolim de moura E.E.E.F.M. Cel. Aluízio Pinheiro Ferreira Profª.: Daniela Fontana Almenara e Maria Cristina de Andrade Tuyama 2º Ano do Ensino Médio Disciplina: Matemática PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS
  • 2. OBSERVE AS SEQÜÊNCIAS: 2 4 8 16 .... -2 -6 -18 ... -72 24 -8 ... 5 5 5 5 ...
  • 3. Essas seqüências foram construídas de forma que cada termo, a partir do segundo é igual ao anterior multiplicado por uma constante. SEQÜÊNCIAS DESSE TIPO SÃO CHAMADAS DE PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS. Essa constante , que indicaremos por q, é denominada razão da progressão geométrica.
  • 4. Assim na progressão geométrica: (2,4,8,16,....) temos q = 2 e a P.G. é crescente. (-2,-6,-18,....) temos q = 3 e a P.G. é decrescente. (-72,24,-8,...) temos q = e a P.G é alternante. 3 1  (5,5,5,5,....) temos q = 1 e a P.G. é constante.
  • 5. FÓRMULA DO TERMO GERAL DA Progressão Geométrica Seja (a1,a2,a3,.....,an) uma P.G. de razão q. Temos: a2 = a1 . q a3 = a2 . q logo, a3 = a1 .q.q a3 = a1.q2 a4 = a3 . q logo, a4 = a1.q2.q a4 = a1.q3
  • 6. Continuando assim podemos perceber que qualquer termo de uma P.G. pode ser expresso da seguinte forma: an = a1 . qn-1 Onde n indica a qual termo estamos nos referindo.
  • 7. Exemplos de aplicação da fórmula: 1) Determine o décimo termo da P.G. (1,3,9,....) Sabemos que a1 = 1 e q = 3. Assim, substituindo na fórmula podemos escrever: a10 = 1 . 310-1 a10 = 1 . 39, portanto a10 = 19683
  • 8. 2) Numa P.G. o 40 termo é igual 64 e o 10 termo é igual a 1. Determine a razão da P.G. e, em seguida, obtenha seu 80 termo. Como a4 = a1 . q3, temos: 64 = 1.q3 Logo, q3 = 64 então q = 4. Usando novamente a fórmula do termo geral, vamos determinar o 80 termo: a8 = a1 . q7  a8 = 1. 47  a8 = 16 384
  • 9. Soma dos n primeiros termos de uma P.G. Para calcularmos a soma, usaremos a seguinte fórmula:   1 11    q qa S n n
  • 10. Veja alguns exemplos: 1) Calcule a soma dos cinqüenta primeiros termos de (3,6,12,...). Substituindo na fórmula, temos: 12 )1502.(3 50S     S50 = 3.(250 – 1)
  • 11. 2) Quantos termos da P.G. (2,6,18,...) devem ser considerados para que a soma resulte em 19682? Substituindo na fórmula, temos:   13 13.2 68219    n  3n – 1 = 19682  3n = 19 683  3n = 39 Logo, n = 9