SlideShare uma empresa Scribd logo
Teste de Avalia¸c˜ao de C´alculo - Janeiro 2020
Nome do aluno:
Aprecia¸c˜ao:
Responda de forma clara e justificada a todas as quest˜oes que constituem este teste.
Miguel Fernandes
1. Seja f uma fun¸c˜ao de classe C1
em [a, b]. Mostre que
2
b
a
f (x)f(x) dx = f(b)2
− f(a)2
.
2. Calcule o valor dos seguintes integrais definidos.
2.1.
π
−π
cos x + 1 dx
2.2.
π
0
x2
sin x dx
3. Calcule o valor do integral
1
−2
x2
+2x−1 dx e justifique que ´e poss´ıvel aplicar o Teorema do Valor M´edio
para Integrais, identificando a constante a que se refere esse teorema.
4. Calcule a ´area da zona do plano delimitada pelos gr´aficos das fun¸c˜oes definidas por f(x) = e−x
+ 1 e
g(x) = ex
no intervalo [−1, 1].
5. Seja f uma fun¸c˜ao ´ımpar e cont´ınua. Mostre que
a
−a
f(x) dx = 0
onde a ∈ Df .
6. Considere a fun¸c˜ao g : R −→ R+
0 de classe C1
e crescente e a fun¸c˜ao f definida por
f(x) =
g(x)
0
g (t) dt
6.1. Indique o dom´ınio de f e justifique que a mesma ´e cont´ınua nesse dom´ınio.
6.2. Justifique que f ´e deriv´avel e escreva a express˜ao da sua derivada.
6.3. Conclua que f ´e crescente. Como poderia chegar a essa conclus˜ao sem recorrer `a express˜ao da
derivada de f?
7. Determine a fun¸c˜ao f de classe C1
que verifica



f(x2
− 1) +
x2
−1
0
f (t) dt = x, x > 1
f(0) = 3
Fim da Prova
Cota¸c˜ao (por ordem das quest˜oes):
1,5val - 2 val - 2,5 val - 2,5 val - 2,5 val - 1,5 val - 1,5 val - 2 val - 1,5 val - 2,5 val
Corre¸c˜ao do teste de C´alculo - Janeiro 2020
1. Seja f uma fun¸c˜ao de classe C1
em [a, b]. Queremos mostrar que:
2
b
a
f (x)f(x) dx = f(b)2
− f(a)2
(1)
Ora, usando a t´ecnica de integra¸c˜ao por partes, resulta
b
a
f (x)f(x) dx = f2
(x)
x=b
x=a
−
b
a
f (x)f(x) dx
o que ´e, de facto, equivalente a
2
b
a
f (x)f(x) dx = f(b)2
− f(a)2
2. Dada a continuidade das fun¸c˜oes envolvidas, pelo Teorema Fundamental do C´alculo, obt´em-se, em ambos
os casos:
2.1.
π
−π
cos x + 1 dx = sin x + x
x=π
x=−π
= π − (−π) = 2π.
2.2.
π
0
x2
sin x dx = −x2
cos x
x=π
x=0
+2
π
0
x cos x = π2
+2 x sin x
x=π
x=0
−
π
0
sin x = π2
+2 cos x
x=π
x=0
=
π2
+ 2 (cos π − cos 0) = π2
− 4, usando t´ecnica de integra¸c˜ao por partes.
3. Pretendemos calcular o valor do integral definido:
1
−2
x2
+ 2x − 1 dx (2)
Usando a linearidade do operador de integra¸c˜ao, temos
1
−2
x2
+ 2x − 1 dx =
x3
3
+ x2
− x
x=1
x=−2
=
1
3
+ 1 − 1 −
(−2)3
3
+ (−2)2
+ 2 =
1
3
+
8
3
− 4 − 2 = −3.
Agora, o Teorema do Valor M´edio para Integrais, aplica-se quando a fun¸c˜ao integranda ´e cont´ınua (que ´e
notoriamente o caso, pois os polin´omios s˜ao fun¸c˜oes cont´ınuas) e garante a existˆencia de uma constante
c ∈ [a, b] tal que:
1
−2
x2
+ 2x − 1 dx = c2
+ 2c − 1 (1 − (−2)) = 3c2
+ 6c − 3
e, portanto, tendo em conta o resultado obtido para o integral, resta resolver a equa¸c˜ao abaixo de forma
a obter tal constante
3c2
+ 6c − 3 = −3 ⇔ 3c2
+ 6c = 0 ⇔ 3c (c + 2) = 0 ⇔ c = 0 ∨ c = −2
e ambos os valores obtidos s˜ao v´alidos para a escolha de tal constante.
4. Comecemos por analisar graficamente a situa¸c˜ao descrita. Pretendemos obter a ´area da zona do plano
limitada pelos gr´aficos das fun¸c˜oes f(x) = e−x
+ 1 e g(x) = ex
e pelas retas verticais de equa¸c˜oes x = −1
e x = 1, isto ´e, a ´area delimitada pelas linhas azul e vermelha da figura abaixo.
−1 −0.5 0 0.5 1
1
2
3
x
e−x
+1(vermelho)ex
(azul)
Para isso, come¸camos por determinar a abcissa, p, do ponto de interse¸c˜ao dos dois gr´aficos:
e−x
+ 1 = ex
⇔ e2x
− ex
− 1 = 0 ⇔ x = log
1 +
√
5
2
.
Assim, a ´area que procuramos pode ser obtida atrav´es do integral:
p
−1
e−x
+ 1 − ex
dx +
1
p
ex
− e−x
− 1
que ´e numericamente igual a (−e−x
+ x − ex
)
x=p
x=−1
+(ex
+ e−x
− x)
x=1
x=p
= −e
− log



1 +
√
5
2



+log
1 +
√
5
2
−
e
log



1 +
√
5
2



+ e1
+ 1 + e−1
+ e1
+ e−1
− 1 − e
log



1 +
√
5
2



− e
− log



1 +
√
5
2



+ log
1 +
√
5
2
=
−2e
− log



1 +
√
5
2



+ 2 log
1 +
√
5
2
+ 2e + 2e−1
=
−4
1 +
√
5
+ 2 log
1 +
√
5
2
+ 2e + 2e−1
.
5. Pretende-se mostrar que, sendo f uma fun¸c˜ao ´ımpar e cont´ınua, se tem, para todo a ∈ Df :
a
−a
f(x) dx = 0 (3)
Ora, tendo em conta que f ´e uma fun¸c˜ao ´ımpar, temos, para todo x do seu dom´ınio, a rela¸c˜ao −f(x) =
f(−x). Por outro lado, usando integra¸c˜ao por substitui¸c˜ao, segue de (3):
a
−a
f(x) dx =
a
−a
f(−x) dx =
−
a
−a
f(x) dx, onde a ´ultima igualdade adv´em do facto de f ser´ımpar. Portanto,
a
−a
f(x) dx = −
a
−a
f(x) dx
e a conclus˜ao segue.
6. 6.1. O dom´ınio de f ´e o conjunto x ∈ Dg :
g(x)
0
g (t) dt < +∞ , porque g : R −→ R+
0 (isto ´e, g ´e n˜ao
negativa) e ´e crescente (isto ´e g (t) ≥ 0).
Ora, tal conjunto ´e, de facto, R, pois Dg = R e, como g ´e de classe C1
, g ´e integr´avel em [0, g(x)].
Por outro lado, f ´e cont´ınua nesse dom´ınio, pois ´e a composi¸c˜ao de duas fun¸c˜oes cont´ınuas: g e a
fun¸c˜ao h definida por h(x) =
x
0
g (t) dt.
6.2. f ´e deriv´avel, pois g ´e de classe C1
, e a express˜ao da sua derivada ´e dada por (f ´e composi¸c˜ao das
fun¸c˜oes mencionadas na al´ınea anterior):
Page 2
f (x) = g (x)g (g(x)),
usando o Teorema Fundamental do C´alculo.
6.3. f ´e crescente, pois f (x) ≥ 0. Poder-se-ia chegar a essa conclus˜ao tendo em conta que g (t) ≥ 0 e
g ´e uma fun¸c˜ao n˜ao negativa, donde resulta que o integral
g(x)
0
g (t) dt (interpretado como ´area) ´e
crescente em x.
7. Derivando ambos os membros de f(x2
− 1) +
x2
−1
0
f (t) dt = x, obt´em-se 2xf (x2
− 1) + 2xf (x2
− 1) =
1 ⇔ 4xf (x2
− 1) = 1 ⇔ f (x2
− 1) =
1
4x
⇔ f(x2
− 1) =
1
4
log 4x + K ⇔ f(x) =
1
4
log 4
√
x + 1 + K, pois
x > 1. Usando a condi¸c˜ao inicial f(0) = 3, resulta 3 =
1
4
log 4 + K ⇔ K = 3 −
1
4
log 4. Logo, a solu¸c˜ao
do problema ´e f(x) =
1
4
log
√
x + 1 + 3.
Page 3

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Produtos NotáVeis
Produtos NotáVeisProdutos NotáVeis
Produtos NotáVeis
Antonio Carneiro
 
Relatorio integrais rev
Relatorio integrais  revRelatorio integrais  rev
Relatorio integrais rev
Estela Lasmar
 
Trabalho 1
Trabalho 1Trabalho 1
Trabalho 1
Rogger Wins
 
Mat a 635_p2_v1_2011
Mat a 635_p2_v1_2011Mat a 635_p2_v1_2011
Mat a 635_p2_v1_2011
Ana Guerra
 
Lista de exercícios 6 - Mat Elem
Lista de exercícios 6 - Mat ElemLista de exercícios 6 - Mat Elem
Lista de exercícios 6 - Mat Elem
Carlos Campani
 
Www.math.ist.utl.pt ~jmourao cii_exercicios_aula12. integ. de linha de um cam...
Www.math.ist.utl.pt ~jmourao cii_exercicios_aula12. integ. de linha de um cam...Www.math.ist.utl.pt ~jmourao cii_exercicios_aula12. integ. de linha de um cam...
Www.math.ist.utl.pt ~jmourao cii_exercicios_aula12. integ. de linha de um cam...
Bowman Guimaraes
 
Aula 1
Aula 1Aula 1
Apostila integrais
Apostila integraisApostila integrais
Apostila integrais
Emerson Nascimento
 
Lista1 1 a_1b
Lista1 1 a_1bLista1 1 a_1b
Lista1 1 a_1b
Cleber Barbaresco
 
Formulario 12º ano
Formulario 12º anoFormulario 12º ano
Formulario 12º ano
Study With Us
 
Resumo sobre Integração de Funções Racionais e Frações Parciais
Resumo sobre Integração de Funções Racionais e Frações ParciaisResumo sobre Integração de Funções Racionais e Frações Parciais
Resumo sobre Integração de Funções Racionais e Frações Parciais
Gustavo Fernandes
 
ResoluExame, Matemática A, 2011_2011
ResoluExame, Matemática A, 2011_2011ResoluExame, Matemática A, 2011_2011
ResoluExame, Matemática A, 2011_2011
David Azevedo
 
Prof robsonlistaeq2graurevprova2012
Prof robsonlistaeq2graurevprova2012Prof robsonlistaeq2graurevprova2012
Prof robsonlistaeq2graurevprova2012
Mardson Pimenta
 
Exercícios sobre função
Exercícios sobre funçãoExercícios sobre função
Exercícios sobre função
Dayanne Sousa
 
Lista funcao quadratica
Lista funcao quadraticaLista funcao quadratica
Lista funcao quadratica
littlevic4
 
Composição de Funções
Composição de FunçõesComposição de Funções
Composição de Funções
Carlos Campani
 
Discreta1
Discreta1Discreta1

Mais procurados (18)

Produtos NotáVeis
Produtos NotáVeisProdutos NotáVeis
Produtos NotáVeis
 
Relatorio integrais rev
Relatorio integrais  revRelatorio integrais  rev
Relatorio integrais rev
 
Trabalho 1
Trabalho 1Trabalho 1
Trabalho 1
 
Mat a 635_p2_v1_2011
Mat a 635_p2_v1_2011Mat a 635_p2_v1_2011
Mat a 635_p2_v1_2011
 
Prova 1a
Prova 1aProva 1a
Prova 1a
 
Lista de exercícios 6 - Mat Elem
Lista de exercícios 6 - Mat ElemLista de exercícios 6 - Mat Elem
Lista de exercícios 6 - Mat Elem
 
Www.math.ist.utl.pt ~jmourao cii_exercicios_aula12. integ. de linha de um cam...
Www.math.ist.utl.pt ~jmourao cii_exercicios_aula12. integ. de linha de um cam...Www.math.ist.utl.pt ~jmourao cii_exercicios_aula12. integ. de linha de um cam...
Www.math.ist.utl.pt ~jmourao cii_exercicios_aula12. integ. de linha de um cam...
 
Aula 1
Aula 1Aula 1
Aula 1
 
Apostila integrais
Apostila integraisApostila integrais
Apostila integrais
 
Lista1 1 a_1b
Lista1 1 a_1bLista1 1 a_1b
Lista1 1 a_1b
 
Formulario 12º ano
Formulario 12º anoFormulario 12º ano
Formulario 12º ano
 
Resumo sobre Integração de Funções Racionais e Frações Parciais
Resumo sobre Integração de Funções Racionais e Frações ParciaisResumo sobre Integração de Funções Racionais e Frações Parciais
Resumo sobre Integração de Funções Racionais e Frações Parciais
 
ResoluExame, Matemática A, 2011_2011
ResoluExame, Matemática A, 2011_2011ResoluExame, Matemática A, 2011_2011
ResoluExame, Matemática A, 2011_2011
 
Prof robsonlistaeq2graurevprova2012
Prof robsonlistaeq2graurevprova2012Prof robsonlistaeq2graurevprova2012
Prof robsonlistaeq2graurevprova2012
 
Exercícios sobre função
Exercícios sobre funçãoExercícios sobre função
Exercícios sobre função
 
Lista funcao quadratica
Lista funcao quadraticaLista funcao quadratica
Lista funcao quadratica
 
Composição de Funções
Composição de FunçõesComposição de Funções
Composição de Funções
 
Discreta1
Discreta1Discreta1
Discreta1
 

Semelhante a Teste cálculo Jan2020 resolvido

Integraldefinida
IntegraldefinidaIntegraldefinida
Integraldefinida
Vismael Santos
 
Lista de exercícios 7 - Mat Elem
Lista de exercícios 7 - Mat ElemLista de exercícios 7 - Mat Elem
Lista de exercícios 7 - Mat Elem
Carlos Campani
 
Teste sobre exponenciais e logaritmos resolvido- 12.º Ano - Fev2020
Teste sobre exponenciais e logaritmos resolvido- 12.º Ano - Fev2020Teste sobre exponenciais e logaritmos resolvido- 12.º Ano - Fev2020
Teste sobre exponenciais e logaritmos resolvido- 12.º Ano - Fev2020
Maths Tutoring
 
Teste Cálculo - Integrais
Teste Cálculo - IntegraisTeste Cálculo - Integrais
Teste Cálculo - Integrais
Maths Tutoring
 
Lista de exercícios 8
Lista de exercícios 8Lista de exercícios 8
Lista de exercícios 8
Carlos Campani
 
Tecnicas integração
Tecnicas integraçãoTecnicas integração
Tecnicas integração
Jose Ronildo Franceschini
 
Lista de exercícios 1 ano
Lista de exercícios 1 anoLista de exercícios 1 ano
Lista de exercícios 1 ano
Angelo Moreira Dos Reis
 
Função de 2º grau 17122016
Função de 2º grau 17122016Função de 2º grau 17122016
Função de 2º grau 17122016
Antonio Carneiro
 
Funcao composta
Funcao compostaFuncao composta
Funcao composta
Antonio Carneiro
 
Resolucao dos exercicios_integrais
Resolucao dos exercicios_integraisResolucao dos exercicios_integrais
Resolucao dos exercicios_integrais
Camila Soares de Jesus
 
Resolucao dos exercicios_integrais
Resolucao dos exercicios_integraisResolucao dos exercicios_integrais
Resolucao dos exercicios_integrais
Wilson Kushima
 
Função do 2º Grau.
Função do 2º Grau.Função do 2º Grau.
Função do 2º Grau.
Antonio Carneiro
 
Ita2009 3dia
Ita2009 3diaIta2009 3dia
Ita2009 3dia
cavip
 
Apostila matematica
Apostila matematicaApostila matematica
Apostila matematica
Jean Silveira
 
Exercicios resolvidos
Exercicios resolvidosExercicios resolvidos
Exercicios resolvidos
texa0111
 
Apostila cálculo 1
Apostila cálculo 1Apostila cálculo 1
Apostila cálculo 1
Gabriel Mendes
 
Revisão em -funções - calculo 1
Revisão   em -funções - calculo 1Revisão   em -funções - calculo 1
Revisão em -funções - calculo 1
Eduardo Soares
 
Tecnica de integracao resumo
Tecnica de integracao   resumoTecnica de integracao   resumo
Tecnica de integracao resumo
João Bastos
 
Ita02m
Ita02mIta02m
1 integr num_simples
1 integr num_simples1 integr num_simples
1 integr num_simples
Heron Soares
 

Semelhante a Teste cálculo Jan2020 resolvido (20)

Integraldefinida
IntegraldefinidaIntegraldefinida
Integraldefinida
 
Lista de exercícios 7 - Mat Elem
Lista de exercícios 7 - Mat ElemLista de exercícios 7 - Mat Elem
Lista de exercícios 7 - Mat Elem
 
Teste sobre exponenciais e logaritmos resolvido- 12.º Ano - Fev2020
Teste sobre exponenciais e logaritmos resolvido- 12.º Ano - Fev2020Teste sobre exponenciais e logaritmos resolvido- 12.º Ano - Fev2020
Teste sobre exponenciais e logaritmos resolvido- 12.º Ano - Fev2020
 
Teste Cálculo - Integrais
Teste Cálculo - IntegraisTeste Cálculo - Integrais
Teste Cálculo - Integrais
 
Lista de exercícios 8
Lista de exercícios 8Lista de exercícios 8
Lista de exercícios 8
 
Tecnicas integração
Tecnicas integraçãoTecnicas integração
Tecnicas integração
 
Lista de exercícios 1 ano
Lista de exercícios 1 anoLista de exercícios 1 ano
Lista de exercícios 1 ano
 
Função de 2º grau 17122016
Função de 2º grau 17122016Função de 2º grau 17122016
Função de 2º grau 17122016
 
Funcao composta
Funcao compostaFuncao composta
Funcao composta
 
Resolucao dos exercicios_integrais
Resolucao dos exercicios_integraisResolucao dos exercicios_integrais
Resolucao dos exercicios_integrais
 
Resolucao dos exercicios_integrais
Resolucao dos exercicios_integraisResolucao dos exercicios_integrais
Resolucao dos exercicios_integrais
 
Função do 2º Grau.
Função do 2º Grau.Função do 2º Grau.
Função do 2º Grau.
 
Ita2009 3dia
Ita2009 3diaIta2009 3dia
Ita2009 3dia
 
Apostila matematica
Apostila matematicaApostila matematica
Apostila matematica
 
Exercicios resolvidos
Exercicios resolvidosExercicios resolvidos
Exercicios resolvidos
 
Apostila cálculo 1
Apostila cálculo 1Apostila cálculo 1
Apostila cálculo 1
 
Revisão em -funções - calculo 1
Revisão   em -funções - calculo 1Revisão   em -funções - calculo 1
Revisão em -funções - calculo 1
 
Tecnica de integracao resumo
Tecnica de integracao   resumoTecnica de integracao   resumo
Tecnica de integracao resumo
 
Ita02m
Ita02mIta02m
Ita02m
 
1 integr num_simples
1 integr num_simples1 integr num_simples
1 integr num_simples
 

Mais de Maths Tutoring

O que é a pedagogia
O que é a pedagogiaO que é a pedagogia
O que é a pedagogia
Maths Tutoring
 
Teste Derivadas
Teste DerivadasTeste Derivadas
Teste Derivadas
Maths Tutoring
 
Ficha2 Derivadas
Ficha2 DerivadasFicha2 Derivadas
Ficha2 Derivadas
Maths Tutoring
 
Teste 12ano
Teste 12ano Teste 12ano
Teste 12ano
Maths Tutoring
 
Identidades trigonométricas
Identidades trigonométricasIdentidades trigonométricas
Identidades trigonométricas
Maths Tutoring
 
limite sinx/x 12 ano
limite sinx/x 12 anolimite sinx/x 12 ano
limite sinx/x 12 ano
Maths Tutoring
 
Trigonometria 12 ano revisoes
Trigonometria 12 ano revisoesTrigonometria 12 ano revisoes
Trigonometria 12 ano revisoes
Maths Tutoring
 
Teorema de Bolzano
Teorema de BolzanoTeorema de Bolzano
Teorema de Bolzano
Maths Tutoring
 
Intervalos e propriedades de números reais - Grau de dificuldade elevado
Intervalos e propriedades de números reais - Grau de dificuldade elevadoIntervalos e propriedades de números reais - Grau de dificuldade elevado
Intervalos e propriedades de números reais - Grau de dificuldade elevado
Maths Tutoring
 
Teste algebra linear
Teste algebra linearTeste algebra linear
Teste algebra linear
Maths Tutoring
 
Teste 11ano produto interno e vetores
Teste 11ano produto interno e vetoresTeste 11ano produto interno e vetores
Teste 11ano produto interno e vetores
Maths Tutoring
 
Teste eqs e intervalos com res
Teste eqs e intervalos com resTeste eqs e intervalos com res
Teste eqs e intervalos com res
Maths Tutoring
 
Teste equações e intervalos
Teste equações e intervalosTeste equações e intervalos
Teste equações e intervalos
Maths Tutoring
 
Sucessoes e series com res
Sucessoes e series com resSucessoes e series com res
Sucessoes e series com res
Maths Tutoring
 
Sucessoes, séries 20/21
Sucessoes, séries 20/21Sucessoes, séries 20/21
Sucessoes, séries 20/21
Maths Tutoring
 
Ano 20/21 - Ficha 9ano - Intervalos
Ano 20/21 - Ficha 9ano - IntervalosAno 20/21 - Ficha 9ano - Intervalos
Ano 20/21 - Ficha 9ano - Intervalos
Maths Tutoring
 
Fluid Mechanics Exercises
Fluid Mechanics ExercisesFluid Mechanics Exercises
Fluid Mechanics Exercises
Maths Tutoring
 
Dynamical systems solved ex
Dynamical systems solved exDynamical systems solved ex
Dynamical systems solved ex
Maths Tutoring
 
Linear Algebra
Linear AlgebraLinear Algebra
Linear Algebra
Maths Tutoring
 
Worksheet - Differential Equations
Worksheet - Differential EquationsWorksheet - Differential Equations
Worksheet - Differential Equations
Maths Tutoring
 

Mais de Maths Tutoring (20)

O que é a pedagogia
O que é a pedagogiaO que é a pedagogia
O que é a pedagogia
 
Teste Derivadas
Teste DerivadasTeste Derivadas
Teste Derivadas
 
Ficha2 Derivadas
Ficha2 DerivadasFicha2 Derivadas
Ficha2 Derivadas
 
Teste 12ano
Teste 12ano Teste 12ano
Teste 12ano
 
Identidades trigonométricas
Identidades trigonométricasIdentidades trigonométricas
Identidades trigonométricas
 
limite sinx/x 12 ano
limite sinx/x 12 anolimite sinx/x 12 ano
limite sinx/x 12 ano
 
Trigonometria 12 ano revisoes
Trigonometria 12 ano revisoesTrigonometria 12 ano revisoes
Trigonometria 12 ano revisoes
 
Teorema de Bolzano
Teorema de BolzanoTeorema de Bolzano
Teorema de Bolzano
 
Intervalos e propriedades de números reais - Grau de dificuldade elevado
Intervalos e propriedades de números reais - Grau de dificuldade elevadoIntervalos e propriedades de números reais - Grau de dificuldade elevado
Intervalos e propriedades de números reais - Grau de dificuldade elevado
 
Teste algebra linear
Teste algebra linearTeste algebra linear
Teste algebra linear
 
Teste 11ano produto interno e vetores
Teste 11ano produto interno e vetoresTeste 11ano produto interno e vetores
Teste 11ano produto interno e vetores
 
Teste eqs e intervalos com res
Teste eqs e intervalos com resTeste eqs e intervalos com res
Teste eqs e intervalos com res
 
Teste equações e intervalos
Teste equações e intervalosTeste equações e intervalos
Teste equações e intervalos
 
Sucessoes e series com res
Sucessoes e series com resSucessoes e series com res
Sucessoes e series com res
 
Sucessoes, séries 20/21
Sucessoes, séries 20/21Sucessoes, séries 20/21
Sucessoes, séries 20/21
 
Ano 20/21 - Ficha 9ano - Intervalos
Ano 20/21 - Ficha 9ano - IntervalosAno 20/21 - Ficha 9ano - Intervalos
Ano 20/21 - Ficha 9ano - Intervalos
 
Fluid Mechanics Exercises
Fluid Mechanics ExercisesFluid Mechanics Exercises
Fluid Mechanics Exercises
 
Dynamical systems solved ex
Dynamical systems solved exDynamical systems solved ex
Dynamical systems solved ex
 
Linear Algebra
Linear AlgebraLinear Algebra
Linear Algebra
 
Worksheet - Differential Equations
Worksheet - Differential EquationsWorksheet - Differential Equations
Worksheet - Differential Equations
 

Último

Sócrates e os sofistas - apresentação de slides
Sócrates e os sofistas - apresentação de slidesSócrates e os sofistas - apresentação de slides
Sócrates e os sofistas - apresentação de slides
jbellas2
 
Caça-palavras - ortografia S, SS, X, C e Z
Caça-palavras - ortografia  S, SS, X, C e ZCaça-palavras - ortografia  S, SS, X, C e Z
Caça-palavras - ortografia S, SS, X, C e Z
Mary Alvarenga
 
Fernão Lopes. pptx
Fernão Lopes.                       pptxFernão Lopes.                       pptx
Fernão Lopes. pptx
TomasSousa7
 
os-lusiadas-resumo-os-lusiadas-10-ano.pdf
os-lusiadas-resumo-os-lusiadas-10-ano.pdfos-lusiadas-resumo-os-lusiadas-10-ano.pdf
os-lusiadas-resumo-os-lusiadas-10-ano.pdf
GiselaAlves15
 
05-os-pre-socraticos sociologia-28-slides.pptx
05-os-pre-socraticos sociologia-28-slides.pptx05-os-pre-socraticos sociologia-28-slides.pptx
05-os-pre-socraticos sociologia-28-slides.pptx
ValdineyRodriguesBez1
 
O sentimento nacional brasiliero, segundo o historiador Jose Murlo de Carvalho
O sentimento nacional brasiliero, segundo o historiador Jose Murlo de CarvalhoO sentimento nacional brasiliero, segundo o historiador Jose Murlo de Carvalho
O sentimento nacional brasiliero, segundo o historiador Jose Murlo de Carvalho
analuisasesso
 
APOSTILA DE TEXTOS CURTOS E INTERPRETAÇÃO.pdf
APOSTILA DE TEXTOS CURTOS E INTERPRETAÇÃO.pdfAPOSTILA DE TEXTOS CURTOS E INTERPRETAÇÃO.pdf
APOSTILA DE TEXTOS CURTOS E INTERPRETAÇÃO.pdf
RenanSilva991968
 
Atividades de Inglês e Espanhol para Imprimir - Alfabetinho
Atividades de Inglês e Espanhol para Imprimir - AlfabetinhoAtividades de Inglês e Espanhol para Imprimir - Alfabetinho
Atividades de Inglês e Espanhol para Imprimir - Alfabetinho
MateusTavares54
 
CADERNO DE CONCEITOS E ORIENTAÇÕES DO CENSO ESCOLAR 2024.pdf
CADERNO DE CONCEITOS E ORIENTAÇÕES DO CENSO ESCOLAR 2024.pdfCADERNO DE CONCEITOS E ORIENTAÇÕES DO CENSO ESCOLAR 2024.pdf
CADERNO DE CONCEITOS E ORIENTAÇÕES DO CENSO ESCOLAR 2024.pdf
NatySousa3
 
Apresentação_Primeira_Guerra_Mundial 9 ANO-1.pptx
Apresentação_Primeira_Guerra_Mundial 9 ANO-1.pptxApresentação_Primeira_Guerra_Mundial 9 ANO-1.pptx
Apresentação_Primeira_Guerra_Mundial 9 ANO-1.pptx
JulianeMelo17
 
LIÇÃO 9 - ORDENANÇAS PARA UMA VIDA DE SANTIFICAÇÃO.pptx
LIÇÃO 9 - ORDENANÇAS PARA UMA VIDA DE SANTIFICAÇÃO.pptxLIÇÃO 9 - ORDENANÇAS PARA UMA VIDA DE SANTIFICAÇÃO.pptx
LIÇÃO 9 - ORDENANÇAS PARA UMA VIDA DE SANTIFICAÇÃO.pptx
WelidaFreitas1
 
Caderno de Formação_PORTUGUÊS ESTRAN.pdf
Caderno de Formação_PORTUGUÊS ESTRAN.pdfCaderno de Formação_PORTUGUÊS ESTRAN.pdf
Caderno de Formação_PORTUGUÊS ESTRAN.pdf
carlaslr1
 
proposta curricular ou plano de cursode lingua portuguesa eja anos finais ( ...
proposta curricular  ou plano de cursode lingua portuguesa eja anos finais ( ...proposta curricular  ou plano de cursode lingua portuguesa eja anos finais ( ...
proposta curricular ou plano de cursode lingua portuguesa eja anos finais ( ...
Escola Municipal Jesus Cristo
 
Biologia - Jogos da memória genetico.pdf
Biologia - Jogos da memória genetico.pdfBiologia - Jogos da memória genetico.pdf
Biologia - Jogos da memória genetico.pdf
Ana Da Silva Ponce
 
Fato X Opinião (Língua Portuguesa 9º Ano).pptx
Fato X Opinião (Língua Portuguesa 9º Ano).pptxFato X Opinião (Língua Portuguesa 9º Ano).pptx
Fato X Opinião (Língua Portuguesa 9º Ano).pptx
MariaFatima425285
 
Pintura Romana .pptx
Pintura Romana                     .pptxPintura Romana                     .pptx
Pintura Romana .pptx
TomasSousa7
 
Química orgânica e as funções organicas.pptx
Química orgânica e as funções organicas.pptxQuímica orgânica e as funções organicas.pptx
Química orgânica e as funções organicas.pptx
KeilianeOliveira3
 
UFCD_8298_Cozinha criativa_índice do manual
UFCD_8298_Cozinha criativa_índice do manualUFCD_8298_Cozinha criativa_índice do manual
UFCD_8298_Cozinha criativa_índice do manual
Manuais Formação
 
Slides Lição 11, CPAD, A Realidade Bíblica do Inferno, 2Tr24.pptx
Slides Lição 11, CPAD, A Realidade Bíblica do Inferno, 2Tr24.pptxSlides Lição 11, CPAD, A Realidade Bíblica do Inferno, 2Tr24.pptx
Slides Lição 11, CPAD, A Realidade Bíblica do Inferno, 2Tr24.pptx
LuizHenriquedeAlmeid6
 
Caça-palavras ortografia M antes de P e B.
Caça-palavras    ortografia M antes de P e B.Caça-palavras    ortografia M antes de P e B.
Caça-palavras ortografia M antes de P e B.
Mary Alvarenga
 

Último (20)

Sócrates e os sofistas - apresentação de slides
Sócrates e os sofistas - apresentação de slidesSócrates e os sofistas - apresentação de slides
Sócrates e os sofistas - apresentação de slides
 
Caça-palavras - ortografia S, SS, X, C e Z
Caça-palavras - ortografia  S, SS, X, C e ZCaça-palavras - ortografia  S, SS, X, C e Z
Caça-palavras - ortografia S, SS, X, C e Z
 
Fernão Lopes. pptx
Fernão Lopes.                       pptxFernão Lopes.                       pptx
Fernão Lopes. pptx
 
os-lusiadas-resumo-os-lusiadas-10-ano.pdf
os-lusiadas-resumo-os-lusiadas-10-ano.pdfos-lusiadas-resumo-os-lusiadas-10-ano.pdf
os-lusiadas-resumo-os-lusiadas-10-ano.pdf
 
05-os-pre-socraticos sociologia-28-slides.pptx
05-os-pre-socraticos sociologia-28-slides.pptx05-os-pre-socraticos sociologia-28-slides.pptx
05-os-pre-socraticos sociologia-28-slides.pptx
 
O sentimento nacional brasiliero, segundo o historiador Jose Murlo de Carvalho
O sentimento nacional brasiliero, segundo o historiador Jose Murlo de CarvalhoO sentimento nacional brasiliero, segundo o historiador Jose Murlo de Carvalho
O sentimento nacional brasiliero, segundo o historiador Jose Murlo de Carvalho
 
APOSTILA DE TEXTOS CURTOS E INTERPRETAÇÃO.pdf
APOSTILA DE TEXTOS CURTOS E INTERPRETAÇÃO.pdfAPOSTILA DE TEXTOS CURTOS E INTERPRETAÇÃO.pdf
APOSTILA DE TEXTOS CURTOS E INTERPRETAÇÃO.pdf
 
Atividades de Inglês e Espanhol para Imprimir - Alfabetinho
Atividades de Inglês e Espanhol para Imprimir - AlfabetinhoAtividades de Inglês e Espanhol para Imprimir - Alfabetinho
Atividades de Inglês e Espanhol para Imprimir - Alfabetinho
 
CADERNO DE CONCEITOS E ORIENTAÇÕES DO CENSO ESCOLAR 2024.pdf
CADERNO DE CONCEITOS E ORIENTAÇÕES DO CENSO ESCOLAR 2024.pdfCADERNO DE CONCEITOS E ORIENTAÇÕES DO CENSO ESCOLAR 2024.pdf
CADERNO DE CONCEITOS E ORIENTAÇÕES DO CENSO ESCOLAR 2024.pdf
 
Apresentação_Primeira_Guerra_Mundial 9 ANO-1.pptx
Apresentação_Primeira_Guerra_Mundial 9 ANO-1.pptxApresentação_Primeira_Guerra_Mundial 9 ANO-1.pptx
Apresentação_Primeira_Guerra_Mundial 9 ANO-1.pptx
 
LIÇÃO 9 - ORDENANÇAS PARA UMA VIDA DE SANTIFICAÇÃO.pptx
LIÇÃO 9 - ORDENANÇAS PARA UMA VIDA DE SANTIFICAÇÃO.pptxLIÇÃO 9 - ORDENANÇAS PARA UMA VIDA DE SANTIFICAÇÃO.pptx
LIÇÃO 9 - ORDENANÇAS PARA UMA VIDA DE SANTIFICAÇÃO.pptx
 
Caderno de Formação_PORTUGUÊS ESTRAN.pdf
Caderno de Formação_PORTUGUÊS ESTRAN.pdfCaderno de Formação_PORTUGUÊS ESTRAN.pdf
Caderno de Formação_PORTUGUÊS ESTRAN.pdf
 
proposta curricular ou plano de cursode lingua portuguesa eja anos finais ( ...
proposta curricular  ou plano de cursode lingua portuguesa eja anos finais ( ...proposta curricular  ou plano de cursode lingua portuguesa eja anos finais ( ...
proposta curricular ou plano de cursode lingua portuguesa eja anos finais ( ...
 
Biologia - Jogos da memória genetico.pdf
Biologia - Jogos da memória genetico.pdfBiologia - Jogos da memória genetico.pdf
Biologia - Jogos da memória genetico.pdf
 
Fato X Opinião (Língua Portuguesa 9º Ano).pptx
Fato X Opinião (Língua Portuguesa 9º Ano).pptxFato X Opinião (Língua Portuguesa 9º Ano).pptx
Fato X Opinião (Língua Portuguesa 9º Ano).pptx
 
Pintura Romana .pptx
Pintura Romana                     .pptxPintura Romana                     .pptx
Pintura Romana .pptx
 
Química orgânica e as funções organicas.pptx
Química orgânica e as funções organicas.pptxQuímica orgânica e as funções organicas.pptx
Química orgânica e as funções organicas.pptx
 
UFCD_8298_Cozinha criativa_índice do manual
UFCD_8298_Cozinha criativa_índice do manualUFCD_8298_Cozinha criativa_índice do manual
UFCD_8298_Cozinha criativa_índice do manual
 
Slides Lição 11, CPAD, A Realidade Bíblica do Inferno, 2Tr24.pptx
Slides Lição 11, CPAD, A Realidade Bíblica do Inferno, 2Tr24.pptxSlides Lição 11, CPAD, A Realidade Bíblica do Inferno, 2Tr24.pptx
Slides Lição 11, CPAD, A Realidade Bíblica do Inferno, 2Tr24.pptx
 
Caça-palavras ortografia M antes de P e B.
Caça-palavras    ortografia M antes de P e B.Caça-palavras    ortografia M antes de P e B.
Caça-palavras ortografia M antes de P e B.
 

Teste cálculo Jan2020 resolvido

  • 1. Teste de Avalia¸c˜ao de C´alculo - Janeiro 2020 Nome do aluno: Aprecia¸c˜ao: Responda de forma clara e justificada a todas as quest˜oes que constituem este teste. Miguel Fernandes 1. Seja f uma fun¸c˜ao de classe C1 em [a, b]. Mostre que 2 b a f (x)f(x) dx = f(b)2 − f(a)2 . 2. Calcule o valor dos seguintes integrais definidos. 2.1. π −π cos x + 1 dx 2.2. π 0 x2 sin x dx 3. Calcule o valor do integral 1 −2 x2 +2x−1 dx e justifique que ´e poss´ıvel aplicar o Teorema do Valor M´edio para Integrais, identificando a constante a que se refere esse teorema. 4. Calcule a ´area da zona do plano delimitada pelos gr´aficos das fun¸c˜oes definidas por f(x) = e−x + 1 e g(x) = ex no intervalo [−1, 1]. 5. Seja f uma fun¸c˜ao ´ımpar e cont´ınua. Mostre que a −a f(x) dx = 0 onde a ∈ Df . 6. Considere a fun¸c˜ao g : R −→ R+ 0 de classe C1 e crescente e a fun¸c˜ao f definida por f(x) = g(x) 0 g (t) dt 6.1. Indique o dom´ınio de f e justifique que a mesma ´e cont´ınua nesse dom´ınio. 6.2. Justifique que f ´e deriv´avel e escreva a express˜ao da sua derivada. 6.3. Conclua que f ´e crescente. Como poderia chegar a essa conclus˜ao sem recorrer `a express˜ao da derivada de f? 7. Determine a fun¸c˜ao f de classe C1 que verifica    f(x2 − 1) + x2 −1 0 f (t) dt = x, x > 1 f(0) = 3 Fim da Prova Cota¸c˜ao (por ordem das quest˜oes): 1,5val - 2 val - 2,5 val - 2,5 val - 2,5 val - 1,5 val - 1,5 val - 2 val - 1,5 val - 2,5 val
  • 2. Corre¸c˜ao do teste de C´alculo - Janeiro 2020 1. Seja f uma fun¸c˜ao de classe C1 em [a, b]. Queremos mostrar que: 2 b a f (x)f(x) dx = f(b)2 − f(a)2 (1) Ora, usando a t´ecnica de integra¸c˜ao por partes, resulta b a f (x)f(x) dx = f2 (x) x=b x=a − b a f (x)f(x) dx o que ´e, de facto, equivalente a 2 b a f (x)f(x) dx = f(b)2 − f(a)2 2. Dada a continuidade das fun¸c˜oes envolvidas, pelo Teorema Fundamental do C´alculo, obt´em-se, em ambos os casos: 2.1. π −π cos x + 1 dx = sin x + x x=π x=−π = π − (−π) = 2π. 2.2. π 0 x2 sin x dx = −x2 cos x x=π x=0 +2 π 0 x cos x = π2 +2 x sin x x=π x=0 − π 0 sin x = π2 +2 cos x x=π x=0 = π2 + 2 (cos π − cos 0) = π2 − 4, usando t´ecnica de integra¸c˜ao por partes. 3. Pretendemos calcular o valor do integral definido: 1 −2 x2 + 2x − 1 dx (2) Usando a linearidade do operador de integra¸c˜ao, temos 1 −2 x2 + 2x − 1 dx = x3 3 + x2 − x x=1 x=−2 = 1 3 + 1 − 1 − (−2)3 3 + (−2)2 + 2 = 1 3 + 8 3 − 4 − 2 = −3. Agora, o Teorema do Valor M´edio para Integrais, aplica-se quando a fun¸c˜ao integranda ´e cont´ınua (que ´e notoriamente o caso, pois os polin´omios s˜ao fun¸c˜oes cont´ınuas) e garante a existˆencia de uma constante c ∈ [a, b] tal que: 1 −2 x2 + 2x − 1 dx = c2 + 2c − 1 (1 − (−2)) = 3c2 + 6c − 3 e, portanto, tendo em conta o resultado obtido para o integral, resta resolver a equa¸c˜ao abaixo de forma a obter tal constante 3c2 + 6c − 3 = −3 ⇔ 3c2 + 6c = 0 ⇔ 3c (c + 2) = 0 ⇔ c = 0 ∨ c = −2 e ambos os valores obtidos s˜ao v´alidos para a escolha de tal constante. 4. Comecemos por analisar graficamente a situa¸c˜ao descrita. Pretendemos obter a ´area da zona do plano limitada pelos gr´aficos das fun¸c˜oes f(x) = e−x + 1 e g(x) = ex e pelas retas verticais de equa¸c˜oes x = −1 e x = 1, isto ´e, a ´area delimitada pelas linhas azul e vermelha da figura abaixo.
  • 3. −1 −0.5 0 0.5 1 1 2 3 x e−x +1(vermelho)ex (azul) Para isso, come¸camos por determinar a abcissa, p, do ponto de interse¸c˜ao dos dois gr´aficos: e−x + 1 = ex ⇔ e2x − ex − 1 = 0 ⇔ x = log 1 + √ 5 2 . Assim, a ´area que procuramos pode ser obtida atrav´es do integral: p −1 e−x + 1 − ex dx + 1 p ex − e−x − 1 que ´e numericamente igual a (−e−x + x − ex ) x=p x=−1 +(ex + e−x − x) x=1 x=p = −e − log    1 + √ 5 2    +log 1 + √ 5 2 − e log    1 + √ 5 2    + e1 + 1 + e−1 + e1 + e−1 − 1 − e log    1 + √ 5 2    − e − log    1 + √ 5 2    + log 1 + √ 5 2 = −2e − log    1 + √ 5 2    + 2 log 1 + √ 5 2 + 2e + 2e−1 = −4 1 + √ 5 + 2 log 1 + √ 5 2 + 2e + 2e−1 . 5. Pretende-se mostrar que, sendo f uma fun¸c˜ao ´ımpar e cont´ınua, se tem, para todo a ∈ Df : a −a f(x) dx = 0 (3) Ora, tendo em conta que f ´e uma fun¸c˜ao ´ımpar, temos, para todo x do seu dom´ınio, a rela¸c˜ao −f(x) = f(−x). Por outro lado, usando integra¸c˜ao por substitui¸c˜ao, segue de (3): a −a f(x) dx = a −a f(−x) dx = − a −a f(x) dx, onde a ´ultima igualdade adv´em do facto de f ser´ımpar. Portanto, a −a f(x) dx = − a −a f(x) dx e a conclus˜ao segue. 6. 6.1. O dom´ınio de f ´e o conjunto x ∈ Dg : g(x) 0 g (t) dt < +∞ , porque g : R −→ R+ 0 (isto ´e, g ´e n˜ao negativa) e ´e crescente (isto ´e g (t) ≥ 0). Ora, tal conjunto ´e, de facto, R, pois Dg = R e, como g ´e de classe C1 , g ´e integr´avel em [0, g(x)]. Por outro lado, f ´e cont´ınua nesse dom´ınio, pois ´e a composi¸c˜ao de duas fun¸c˜oes cont´ınuas: g e a fun¸c˜ao h definida por h(x) = x 0 g (t) dt. 6.2. f ´e deriv´avel, pois g ´e de classe C1 , e a express˜ao da sua derivada ´e dada por (f ´e composi¸c˜ao das fun¸c˜oes mencionadas na al´ınea anterior): Page 2
  • 4. f (x) = g (x)g (g(x)), usando o Teorema Fundamental do C´alculo. 6.3. f ´e crescente, pois f (x) ≥ 0. Poder-se-ia chegar a essa conclus˜ao tendo em conta que g (t) ≥ 0 e g ´e uma fun¸c˜ao n˜ao negativa, donde resulta que o integral g(x) 0 g (t) dt (interpretado como ´area) ´e crescente em x. 7. Derivando ambos os membros de f(x2 − 1) + x2 −1 0 f (t) dt = x, obt´em-se 2xf (x2 − 1) + 2xf (x2 − 1) = 1 ⇔ 4xf (x2 − 1) = 1 ⇔ f (x2 − 1) = 1 4x ⇔ f(x2 − 1) = 1 4 log 4x + K ⇔ f(x) = 1 4 log 4 √ x + 1 + K, pois x > 1. Usando a condi¸c˜ao inicial f(0) = 3, resulta 3 = 1 4 log 4 + K ⇔ K = 3 − 1 4 log 4. Logo, a solu¸c˜ao do problema ´e f(x) = 1 4 log √ x + 1 + 3. Page 3