1. O documento apresenta 4 questões de análise matemática sobre séries de Fourier, continuidade e diferenciabilidade de funções de várias variáveis. Os alunos devem justificar resumidamente todas as respostas e indicar os cálculos realizados.

1. Departamento de Matem´atica da Universidade de Coimbra
An´alise Matem´atica II
Mestrado Int. em Eng.a Mecˆanica e Lic. Eng.a Gest˜ao Ind.
2.a Frequˆencia 27.05.2013
Dura¸c˜ao: 1h 30m.
Importante: Justifique resumidamente todas as suas afirma¸c˜oes e indique os c´alculos que efectuar. N˜ao ´e permitido
o uso de calculadoras, nem a consulta de quaisquer textos.
1. Considere a sucess˜ao de n´umeros reais bn =
1
2
2
−2
(−x) sin
nπx
2
dx .
(a) A s´erie
∞
n=1
bn sin
nπx
2
´e a s´erie de Fourier de uma certa fun¸c˜ao. Qual? Porquˆe?
(b) Como sabe, aquela s´erie converge qualquer que seja x ∈ R. Seja S(x) a respectiva soma. Fa¸ca, justifi-
cando, um esbo¸co da fun¸c˜ao S(x) para x ∈ [−4, 4].
2. (a) Dˆe exemplo de uma fun¸c˜ao f : R2
→ R que seja descont´ınua em todos os pontos do eixo dos XX.
(b) Dˆe exemplo de uma fun¸c˜ao f : R2
→ R, diferenci´avel, tal que
∂f
∂x
= 2x + y2
e
∂f
∂y
= 2xy.
(c) Existir´a alguma fun¸c˜ao f : R2
→ R, diferenci´avel, tal que
∂f
∂x
= xy e
∂f
∂y
= xy?
(Sugest˜ao: Pense nas derivadas de segunda ordem de uma tal fun¸c˜ao f.)
3. Considere a fun¸c˜ao f : R2
→ R definida por f(x, y) =
x3
− y4
x2 + 3y4
se (x, y) = (0, 0), f(0, 0) = 0.
(a) Diga se existe ou n˜ao lim
(x, y)→(0, 0)
f(x, y) e, caso exista, indique o seu valor.
(b) O que pode concluir quanto `a continuidade de f em (0, 0)? E quanto `a diferenciabilidade de f em (0, 0)
pode tirar alguma conclus˜ao?
(c) Calcule
∂f
∂x
(0, 0).
4. Considere a fun¸c˜ao f : R2
→ R definida por f(x, y) = xy + 3y + e(x2
y)
.
(a) Calcule
∂f
∂x
e
∂f
∂y
.
(b) Diga, justificando, se f ´e (ou n˜ao) diferenci´avel em todos os pontos de R2
.
(c) Calcule D−→v f(0, 2) sendo −→v =
3
5
,
4
5
.
(d) No ponto (0, 2) f cresce ou decresce na direc¸c˜ao e sentido de −→v ? Com que taxa de varia¸c˜ao?
(e) Indique, no ponto (0, 2), a direc¸c˜ao e o sentido nos quais o crescimento de f ´e maior. Qual a taxa de
varia¸c˜ao?