Apostila de Álgebra Linear

Apostila de Exercícios da
Disciplina de Pesquisa
Operacional I
Luís Alberto Duncan Rangel
UFF – EEIMVR
Depto. de Engenharia de Produção de Volta Redonda
luisduncan@id.uff.br
Volta Redonda 22/04/2013

SUMÁRIO
2. Revisão de Álgebra Linear – Matrizes:
2.1. Introdução - Notação:
2.2. Matriz qualquer;
2.3. Matriz nula;
2.4. Matriz quadrada;
2.5. Matriz identidade;
2.6. Matriz transposta;
2.7. Operações com Matrizes:
2.7.1. Adição de Matrizes;
2.7.2. Multiplicação de Matriz por um Escalar;
2.7.3. Multiplicação de Matrizes
2.7.4. Determinante de uma Matriz;

2.8. Matriz Singular;
2.9. Matriz Não Singular;
2.10. Matriz inversa
2.11. Utilização do software Excel.
2.11.1 Transposta de uma Matriz;
2.11.2 Soma de matrizes;
2.11.3 Determinante de uma Matriz;
2.11.4 Multiplicação de Matriz por um Escalar;
2.11.5 Multiplicação de Matrizes;
2.11.6 Matriz inversa;
2.12. Exercício sobre matrizes através do Excel;
SUMÁRIO

2.13. Sistemas de equações lineares;
2.13.1 Solução através do produto da inversa da
matriz pelo vetor C;
2.13.2 Solução do sistema por adição das
equações;
2.13.3 Solução do sistema por substituição;
2.13.4 Solução do sistema pelo método de Gaus-
Jordan;
2.14. Representação de retas no plano e
interseção de retas no plano;
2.15. Exercícios: Determinação de interseções de
retas no plano;
SUMÁRIO

Pretende-se nesta revisão de álgebra linear, fazer uma
breve apresentação da notação de matrizes, dos tipos de
matrizes e algumas operações com matrizes, tais como,
transformações lineares, que serão muito úteis na resolução
de problemas de programação linear empregando o
algoritmo Simplex.
Para uma revisão completa consultar a seguinte referência
bibliográfica (Kolman, B. Introdução a Álgebra Linear com
Aplicações. 7a ed. Rio de Janeiro, Ed. Prentice-Hall do
Brasil, 1998; Lay, D.C. Álgebra Linear e suas Aplicações. 2a
ed. Rio de Janeiro, Ed. LTC S.A., 1999).
2.1 Introdução - Notação

Uma matriz é definida como sendo um conjunto de números
complexos ou reais, dispostos ordenadamente, em forma
retangular ou quadrada. Uma matriz pode ser representada
da seguinte forma:
Nesta revisão, considera-se que os elementos da matriz aij
∈ R, isto é, assumam somente valores reais, e que i = {1, 2,
..., m} e j = {1, 2, ..., n}. Em cada elemento da matriz aij, i
representa a i-ésima linha e j representa a j-ésima coluna.
Desta forma, uma matriz A com a notação Amxn informa que
a matriz A possui m linhas e n colunas.
2.1 Introdução - Notação
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
...
............
...
...
21
22221
11211
=

Diz-se que B é uma matriz qualquer.
B é uma matriz qualquer de três linhas (m) e
cinco colunas (n).
2.2 Matriz Qualquer
87531
09876
54321
53 =xB

Diz-se que C é uma matriz nula de duas linhas (m) e
quatro colunas (n).
Uma matriz é nula quando todos os seus elementos da
matriz são nulos.
2.3 Matriz Nula
0000
0000
42 =xC

Diz-se que D é uma matriz quadrada, quando o número de
linhas (m) e colunas da matriz (n) são iguais.
D é uma matriz quadrada de ordem 4.
2.4 Matriz Quadrada
11852
9630
8642
7531
44 =xD

Uma matriz identidade é uma matriz quadrada e nesta
matriz todo elemento da diagonal principal é igual a 1 e
todos os outros elementos da matriz, fora da diagonal
principal, são zeros. E1 é uma matriz identidade de ordem 3,
e E2 é uma matriz quadrada de ordem 5.
2.5 Matriz Identidade
100
010
001
1 33 =xE
10000
01000
00100
00010
00001
2 55 =xE

Dada uma matriz qualquer F, diz-se que a matriz transposta
desta matriz é uma nova matriz obtida, invertendo-se linhas
por colunas e as colunas por linha de forma ordenada.
Por exemplo, dada a matriz F, a matriz transposta de F é
denotado por FT
e tem como resultado:
2.6 Matriz Transposta
09
87
65
43
21
25 =xF
08642
97531
52 =x
T
F

2.7.1 Adição de Matrizes:
A adição de matrizes só pode ser realizada quando o
número de linhas e colunas da primeira matriz (G) for igual
ao número de linhas e colunas, respectivamente, da
segunda matriz (H). Os elementos da matriz resultante (R)
serão obtidos somando-se os elementos de mesma posição
da primeira e da segunda matriz. Desta forma, a matriz R
resultante da soma de G com H é:
2.7 Operações com Matrizes
654
321
32 =xG
654
321
32 =xH
12108
642
32 =xI

2.7.2 Multiplicação de uma Matriz por um Escalar:
A multiplicação de um número por uma matriz terá como
resultado o produto de número por cada elemento da matriz.
Por exemplo, multiplicando o número dois pela matriz J,
obtém-se a matriz K. α =2 (escalar). K = 2 * J:
103
654
987
321
34 =xJ
206
12108
181614
642
34 =xK

2.7.3 Multiplicação de uma Matriz por uma Matriz:
A operação de multiplicação de duas matrizes só poderá ser
realizada quando o número de colunas da primeira matriz
(n1) for igual ao número de linhas da segunda matriz (m2).
A matriz resultante deste produto terá como dimensão o
número de linhas da primeira matriz (m1) e o número de
colunas da segunda matriz (n2). Desta forma, uma matriz
L2x3 multiplicada pela matriz M3x4 terá como resultado a
matriz N2x4. A ordem da operação não pode ser alterada.
N2x4 = L2x3 x M3x4.

2.7.3 Multiplicação de uma Matriz por uma Matriz:
A ordem da operação de multiplicação não pode ser
alterada, pois a operação pode não ser viável.
N = L x M.
:
8765
4112
1201
210
321
4332 resultadocomoteráMdamultiplicaL xx ==
824110721120621100522110
834211731221631201532211
42
xxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxx
N x
++++++++
++++++++
=
20151312
33252020
42 =xN

2.7.4 Determinante de uma Matriz:
Por definição, o determinante de uma matriz só pode ser
calculado se a matriz for quadrada. O valor obtido é um
valor real que é associado a matriz.
Utiliza-se det M como sendo a notação para representar o
determinante de uma Matriz. Por exemplo, dada uma matriz
A3x3:
Repete-se as duas primeiras colunas, traça-se três setas
para baixo e três setas para cima de tal forma a interceptar
três elementos da matriz de cada vez:
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A =

2.7.4 Determinante de uma Matriz:
Repete-se as duas primeiras colunas, traça-se três setas
para baixo, somando-se os produtos de cada multiplicação,
e três setas para cima, subtraindo os produtos de cada
multiplicação. Assim, por exemplo, dada a matriz A, verifica-
se o calculo do determinante da matriz A, da seguinte
forma:
det A = 1x5x9 + 2x6x7 + 4x4x8 – 7x5x4 – 8x6x1 – 9x4x2 =
det A = 45 + 84 + 128 – 140 – 48 – 72 = 257 – 260 =
det A = -3
8
5
2
7
4
1
987
654
421
det =A
987
654
421
=A

Uma Matriz Singular é uma matriz quadrada que apresenta
o determinante igual a zero.
det B = 1x5x9 + 2x6x7 + 3x4x8 – 7x5x3 – 8x6x1 – 9x4x2 =
det B = 45 + 84 + 96 – 105 – 48 – 72 = 225 – 225 =
det B = 0.
2.8 Matriz Singular
8
5
2
7
4
1
987
654
321
det =B

Uma Matriz Não-Singular é uma matriz quadrada que
apresenta o determinante diferente de zero.
det C = 1x1x5 + 2x6x4 + 2x1x3 – 4x1x2 – 3x6x1 – 5x1x2 =
det C = 5 + 48 + 6 – 8 – 18 – 10 = 59 – 36 =
det C = 23
2.9 Matriz Não-Singular
3
1
2
4
1
1
534
611
221
det =C

Dada uma matriz quadrada E, com determinante de E
diferente de zero, o produto da matriz E pela sua inversa E-1
,
resulta na matriz identidade I de ordem igual a da matriz E.
Portanto, uma matriz só é inversível se seu determinante for
diferente de zero (matriz não-singular). Só podemos calcular
a matriz inversa de uma matriz quadrada.
Existem diferentes formas de se calcular a matriz inversa de
uma matriz, a seguir será empregada o procedimento que
utiliza a seguinte seqüencia de cálculo: Dada uma matriz H e
ao seu lado a matriz identidade I, isto é, “H.I” realizando
transformação lineares para obter na posição de H a matriz
identidade I, com estas transformação lineares, ao seu lado
surge a matriz inversa de H-1, na posição da matriz
identidade.
2.10 Matriz Inversa

Assim, dada as matrizes “ H . I”, por transformação linear
obtemos as matrizes “ I . H-1
”, se a matriz H for não-singular.
Por transformação linear (TL), fazendo, L2 = L2 – L1, e
L3 = L3 – 4*L1, temos:
2.10 Matriz Inversa
534
611
221
33 =xH
100
010
001
33 =xI
3
2
1
100534
010611
001221
. 3333
L
L
L
IH xx =

Por TL fazendo: L2 = L2/(-1), temos:
Por TL fazendo: L1 = L1 - (2)*L2, e L3 = L3 – (-5)*L2, temos:
2.10 Matriz Inversa
3
2
1
104350
011410
001221
. 3333
L
L
L
IH xx
−−−
−−=
3
2
1
104350
011410
001221
. 3333
L
L
L
IH xx
−−−
−−=
3
2
1
104350
011410
0211001
. 3333
L
L
L
IH xx
−−−
−−
−
=

Por TL fazendo: L3 = L3/(-23), temos:
Por TL fazendo: L1 = L1 - (10)*L3, e L2 = L2 - (-4)*L3, temos:
2.10 Matriz Inversa
3
2
1
1512300
011410
0211001
. 3333
L
L
L
IH xx
−−
−−
−
=
3
2
1
04348,021739,004348,0100
011410
0211001
. 3333
L
L
L
IH xx
−−
−−
−
=
3
2
1
04348,021739,004348,0100
011410
434783,017391,056522,0001
. 3333
L
L
L
IH xx
−−
−−
−−
=

Como resultado das transformações lineares, obtemos:
Assim, temos “ I x H-1
”. Se procedermos a multiplicação de
matrizes HxH-1, obtemos a matriz identidade I.
I = H x H-1.
2.10 Matriz Inversa
3
2
1
04348,021739,004348,0100
17391,013043,0826087,0010
434783,017391,056522,0001
. 3333
L
L
L
IH xx
−−
−−
−−
=
534
611
221
33 =xH
04348,021739,004348,0
17391,013043,0826087,0
434783,017391,0565221,0
33
1
−−
−−
−−
=−
xH
100
010
001
33 =xI

Existem diversas funções pré-definidas na planinha Excel
que podem ser utilizadas para auxiliar a Álgebra Linear.
Todas as exposições feitas a seguir consideram-se que
estamos trabalhando com o Excel.
2.11.1 Transposta de Matriz:
Seleciona a matriz na planilha Excel que se quer realizar a
sua transposta.
Posiciona o cursor em um local da planilha, fora da área de
edição da matriz, seleciona-se a função Editar, seleciona-se
Colar Especial, seleciona-se a seguir Transpor e tecle Enter.
A operação é realizada.
2.11 Utilização do Software EXCEL

2.11.1 Transposta de Matriz:

2.11.2 Soma de Matriz:
Após a digitação das matrizes, que queremos realizar a
operação de adição, posiciona o cursor em um local da
planilha, digite “=” na célula, seleciona a primeira célula da
primeira matriz, digite “+”, seleciona a primeira célula da
segunda matriz e tecle Enter.
Posicionando o cursor no canto inferior a direta da célula,
mude a forma de seleção do cursor para “+”, e arraste o
cursor o mesmo número de células (colunas) da dimensão
das matrizes. Posicionando o cursor no canto inferior a direta
da última célula, mude a forma de seleção do cursor para “+”
e arraste o cursor para baixo, mesmo numero de células da
dimensão das matrizes e solte o cursor. Lembrando, só
podemos proceder a soma de duas matrizes com a mesma
dimensão, isto é, o mesmo número de linhas e colunas.

2.11.2 Soma de Matriz:

2.11.3 Determinante da Matriz:
Seleciona a matriz que se quer calcular o seu determinante.
Posicionando o cursor em uma local qualquer da planilha
Excel, seleciona a função “fx” da planilha Excel, seleciona a
função “Matriz.Determinante” e tecle Enter. O valor retornado
desta operação é o determinante da matriz selecionada.
Lembrando, só podemos calcular o determinante de matriz
quadrada.

2.11.3 Determinante da Matriz:

2.11.4 Multiplicação de uma Matriz por um escalar:
Existem dois procedimentos que podem ser utilizados, o
primeiro, após a digitação da matriz, posicione o cursor em
um local da planilha Excel, digite “=”, a constante que você
quer multiplicar a matriz, por exemplo, “2” digite “*” e em
seguida tecle na primeira posição da matriz. Posicionando o
cursor no canto inferior a direta da célula, mude a forma de
seleção do cursor para “+” e arraste o cursor o mesmo
número de células (colunas) da dimensão das matrizes.
Posicionando o cursor no canto inferior a direta da última
célula à direita, mude a forma de seleção do cursor para “+”
e arraste o cursor para baixo, mesmo numero de células da
dimensão das matrizes e solte o cursor. O produto da
constante “2” pela matriz será apresentado.

O segundo procedimento que pode ser utilizado é o seguinte,
primeiro digite matriz, depois em uma célula qualquer digite a
constante que você quer multiplicar a matriz digitada.
Posicione o cursor em um local da planilha Excel, digite “=”,
selecione a celular onde foi digitado a constante que se quer
multiplicar a matriz, em seguida tecle “F4”, irá aparecer
“$Coluna$Linha”. A seleção da célula com a função “F4” fixa
o valor que está na célula. Em seguida, digite “*” e selecione
a primeira célula da matriz que se quer executar o produto.

Posicionando o cursor no canto inferior a direta da célula,
mude a forma de seleção do cursor para “+” e arraste o
cursor o mesmo número de células (colunas) da dimensão
das matrizes. Posicionando o cursor no canto inferior a direta
da última célula à direita, mude a forma de seleção do cursor
para “+” e arraste o cursor para baixo, mesmo numero de
células da dimensão das matrizes e solte o cursor. O
produto da constante digitada na célula pela matriz será
apresentado.
A diferença destes dois procedimentos é que ao se alterar o
valor que está na célula do segundo procedimento descrito,
por exemplo, alterando o valor de “2” para “10”, e teclando
Enter, o produto do valor de “10” pela matriz será
automaticamente apresentado.

2.11.5 Multiplicação de Matrizes:
Após a digitação das duas matrizes que se quer calcular a
sua multiplicação, seleciona-se com o cursor a dimensão da
matriz resultante do produto das duas matrizes, em um local
da planilha Excel.
Seleciona-se a função “fx” da planilha Excel, em seguida,
seleciona-se a função “Matriz.Produto” e tecle Enter.
Selecionando através da seta vermelha, a primeira matriz da
caixa aberta pelo Excel. Após a sua seleção acione
novamente a seta vermelha da primeira matriz.
Selecionando a seta vermelha da segunda matriz da caixa
aberta pelo Excel, seleciona a segunda matriz na planilha
Excel, após a sua seleção acione novamente a seta
vermelha da segunda matriz.

Em seguida tecle, “SHIFT + CTRL + ENTER” ao mesmo
tempo, sem soltar estas teclas selecionadas.
O produto das duas matrizes será apresentado na planilha
Excel.

2.11.6 Matriz Inversa:
Após a digitação da matriz que se quer calcular a sua
inversa, seleciona-se com o cursor a dimensão da matriz
inversa, isto é, a mesma dimensão da matriz que se quer
calcular a sua inversa.
Seleciona a função “fx” da planilha Excel, seleciona a função
“Matriz.Inversa” e tecle Enter. Selecionando a seta vermelha
da caixa aberta pelo Excel, seleciona a matriz na planilha
Excel, após a sua seleção acione novamente a seta
vermelha da caixa aberta pelo Excel.
Em seguida tecle, “SHIFT + CTRL + ENTER” ao mesmo
tempo sem soltar estas teclas selecionadas. A matriz inversa
será apresentada pelo Excel, se esta matriz for inversível.
Lembrando, só podemos calcular a matriz inversa de uma
matriz em que o seu determinante é diferente de “zero”.

2.11.6 Matriz Inversa:

Dada as Matrizes abaixo:
Calcule as operações empregando os recursos da planilha
Excel:
2.12 Exercício sobre Matrizes:
3 5
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
3 3 3 3 3
xA
 
 =  
   5 4
1 1 1 1
2 2 2 2
1 2 1 2
1 2 3 1
2 1 2 1
xB
 
 
 
 =
 
 
  
4 4
4 3 2 1
1 2 3 4
1 1 1 2
3 4 2 1
xC
 
 
 =
 
 
 
2K =
3J =










=
524
532
241
33xD










=
313
240
356
33xH










=
100
010
001
33xL

Calcule:
a1) AT
; a2) BT
; a3) CT
;
b1) A1 = K * A; b2) B1 = J * B;
c) A2 = K * AT
; B2 = J * BT
(empregue a função “F4” para
fixar os valores de “K” e de “J” para estas operações);
d) det. C; e) det. CT
; f) E = A x B;
g) F = B x C; h) C-1
; i) (CT
)-1
;
j) Para a matriz D e a matriz identidade L associada a
matriz D, calcule o inverso da matriz D por
transformações lineares ( D . L => L . D-1 ).
k) Para a matriz H e a matriz identidade L associada a
matriz H, calcule o inverso da matriz H por
transformações lineares ( H . L => L . H-1 ).
2.12 Exercício sobre Matrizes:

A equação de uma reta no plano (x,y) é representada pela:
ax + by = c. Quando duas retas pertencem ao mesmo plano
pode-se verificar se há interseção entre estas retas no plano
através da resolução de um sistema de equações lineares.
A representação dessas duas retas na forma de um sistema
é dada por:
A sua representação na forma matricial é dada por:
2.13 Sistemas de Equações Lineares
1 1 1
2 2 2
a x b y c
a x b y c
+ =

+ =
1 1
1 2
a b
A
a b
 
=  
 
x
X
y
 
=  
 
1
2
c
C
c
 
=  
 

Desta forma, tem-se a matriz A, o vetor coluna X e o vetor
coluna C.
Existem diversas modos de resolver este sistema.
Apresenta-se a seguir algumas maneiras de resolver este
sistema através de exemplos.

2.13.1 Através do produto da A-1
pelo vetor C
Dado o sistema abaixo, resolva-o pelo produto da A-1 pelo
vetor C:
Verifica-se que os valores da matriz X (ou vetor coluna)
podem ser determinados através do seguinte produto:
Calculado a A-1
, tem-se:
2 5 10
4 3 12
x y
x y
+ =

+ =
1 0,214,92 0,357143
0,285714 0,14286
A− − 
=  − 
CA.X = .C.A.XA 1-1 −
= A
.CI.X 1−
= A .CX 1−
= A
=> =>
=>

2.13.1 Através do produto da A-1
pelo vetor C
Calculando o produto de A-1
x C temos a solução do
sistema:
1 0,214,92 0,357143 10 2,142857
. .
0,285714 0,14286 12 1,142857
X A C− −     
= = =     −     

2.13.2 Solução de sistema por adição das
equações:
Dado o sistema abaixo, resolva-o por adição:
Multiplica-se a primeira equação por (-2) e adiciona esta
equação a segunda equação:
Executando-se a soma temos:
2 5 10
4 3 12
x y
x y
+ =

+ =
4 10 20
4 3 12
x y
x y
− − = −

+ =
10 20
3 12
y
y
− = −

+ =

2.13.2 Solução de sistema por adição das
equações:
Logo tem-se:
determinando o valor de y temos:
substituindo este valor na primeira equação temos o valor
de x:
7 8y− = −
1,142857y =
2,142857x =

2.13.3 Solução de sistema por substituição:
Dado o sistema abaixo, resolva-o por adição:
Retira-se o valor de x da primeira equação e o substituía na
segunda equação.
Substituindo x na segunda equação temos:
2 5 10
4 3 12
x y
x y
+ =

+ =
(10 5 ) / 2x y= −
4.(10 5 ) / 2 3 12y y− + =

2.13.3 Solução do sistema por substituição:
Resolvendo esta equação temos:
Substituindo o valor de y na primeira equação, obtém-se o
valor de
2.(10 5 ) 3 12 20 10 3 12 7 8 1,142857y y y y y y− + = => − + = => − = − => =
.
2,142857x =

2.13.4 Método de Gaus-Jordan:
Dado o sistema abaixo, resolva-o pelo método de Gaus-
Jordan:
Primeiramente divide-se a primeira equação por 2 para
obter 1 na posição a11 da matriz.
Elimina-se o elemento a21 da segunda equação por
transformação linear. Multiplica-se toda a primeira equação
por (- 4) e adiciona-se a segunda equação.
2 5 10
4 3 12
x y
x y
+ =

+ =
2,5 5
4 3 12
x y
x y
+ =

+ =

2.13.4 Método de Gaus-Jordan:
Temos o seguinte resultado:
Divide-se a segunda equação por (-7).
Elimina-se o elemento a12 da primeira equação por
transformação linear. Multiplica-se toda a segunda equação
(-2,5) e adiciona-se a primeira equação.
2,5 5
0 7 8
x y
y
+ =

− = −
2,5 5
0 1,142857
x y
y
+ =

+ =
0 2,142857
0 1,142857
x
y
+ =

+ =

2.14.1 Exemplo 1:
Dado o sistema abaixo resolva-o graficamente:
Empregando-se o software Winplot, obtém-se o ponto de
interseção das equações no plano, que é a solução do
sistema.
2.14 Representação de retas no plano e
interseção de retas no plano.
2 5 10
4 3 12
x y
x y
+ =

+ =

2.14.1 Gráfico:

2.14.2 Exemplo 2:
Dado o sistema abaixo resolva-o graficamente:
Empregando-se o software Winplot, obtém-se o ponto de
interseção das equações no plano, que é a solução do
sistema.
3 2 6
2 5 8
x y
x y
− =

− + =

2.14.2 Gráfico:

Dado as inequações abaixo, represente-a graficamente:
2.16 Representação de Inequação no
Plano
0>=x
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y

Plano
0>=y
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y

Plano
632 >=+ yx
−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
x
y

2.17 Determinação de Região Viável de
Inequações no Plano
0>=x
0>=y
632 >=+ yx
824 <=+− yx
3065 <=+ yx
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
yx=0
y=0
2x+3y=6
-4x+2y=8
5x+6y=30
(x,y) = (0.00000000000000,4.00000018210949)
(x,y) = (0.00000000000000,1.99999958503024)
(x,y) = (2.99999937754536,0.00000000000000)
(x,y) = (5.99999886095456,0.00000000000000)
(x,y) = (0.35294110754127,4.70588221508255)

a)
3X + 6Y >= 36
5X >= 10
4Y >= 12
2X + 4Y <= 40
X >= 0
Y >= 0
b)
2X + 5Y >= 10
8X + 4Y <= 32
X >= 0
Y >= 0
2.18 Exercício sobre interseção de
inequações no plano

No Software Winplot assinalar “2-dim”, duas dimensões.
Em “Equações” trabalhar com”3-Implícita”.
Digitar as equações.
2.19 Software Winplot

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