Matematica

1. Cap 1 - Álgebra Linear - Matrizes
1.1 - Matrizes (conceitos básicos)
Definição: Matriz de números reais - é um arranjo
de linhas e colunas preenchidos com números reais.
Exemplo 1: A =
8 1 π
-1 0 5
2
Dimensão da Matriz: nº linhas × nº colunas.
Neste exemplo A diz-se uma matriz 2 × 3 (2 por 3).
Podemos escrever também A2×3 em vez de A.
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2. aij - representa um elemento (ou entrada) da
matriz A
i – ı́ndice de linha
j – ı́ndice de coluna
No caso da matriz A anterior temos, por exemplo:
a11 = 8 ; a12 = 1 ; a13 = π ; a21 = −1
a31 – não existe (a matriz só tem duas linhas)
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3. No caso geral podemos representar uma matriz de
dimensão m × n por:
Am×n =




a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
.
.
.
.
.
. ... .
.
.
am1 am2 · · · amn




ou ainda na forma mais compacta: Am×n = [aij]m×n
Definição: Duas matrizes A e B dizem-se iguais se
e só se têm a mesma dimensão m × n e se aij = bij
com 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n.
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4. 1.2 - Classificação de Matrizes
Seja Am×n = [aij]m×n uma matriz qualquer.
Definição: Se m = n então dizemos que A é uma
matriz quadrada de ordem n
Chama-se diagonal principal de uma matriz
quadrada de ordem n aos elementos da forma aii
com 1 ≤ i ≤ n. O traço (tr) da matriz é dado pela
soma dos elementos da sua diagonal principal.
tr(A) =
n
X
i=1
aii
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5. Definição: diz-se que uma matriz quadrada A é
uma matriz diagonal se e só se todos os seus
elementos acima e abaixo da sua diagonal principal
forem nulos (isto é, se aij = 0 quando i ̸= j).
Definição: designa-se por matriz identidade de
ordem n à matriz diagonal In×n cujas entradas são
iguais a 1 ao longo da diagonal principal e zero nas
restantes posições.
aij =
1 se i = j
0 se i ̸= j
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6. Exemplo 2: A =


1 2 3
4 5 6
7 8 9


Justificar que A é uma matriz quadrada
Indicar os elementos da diagonal principal
Determinar o traço da matriz
Exemplo 3: B =


8 0 k
0 6 0
0 0 5

 com k ∈ R
Para que valores de k a matriz B é diagonal?
Exemplo 4: Matrizes identidade de ordem 1, 2 e 3
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7. Definição: Seja A = [aij]n×n uma matriz quadrada
qualquer:
diz-se que A é triangular superior se todas as
entradas abaixo da diagonal principal são nulas.
aij = 0, i j
diz-se que A é triangular inferior se todas as
entradas acima da diagonal principal são nulas.
aij = 0, i j
Exemplo 5: matrizes triangulares superiores e
inferiores
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8. Definição: Uma matriz diz-se nula se todas as
suas entradas são nulas.
Exemplo 6: matrizes nulas
Definição:
uma matriz 1 × n designa-se por matriz linha
uma matriz n × 1 designa-se por matriz
coluna ou vector
Exemplo 7: matrizes linha e vectores
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9. 1.3 - Adição de Matrizes
Definição: Sejam A = [aij]m×n e B = [bij]m×n
duas matrizes com a mesma dimensão. A matriz
A + B é dada por:
A + B = [aij + bij]
Nota: a soma é feita elemento a elemento
Exemplo 8:
A =


1 2
4 5
0 6

 ; B =


-2 -3
3 1
7 -6

; A + B =?
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10. Propriedades da adição de matrizes:
Sejam A, B e C três matrizes de dimensão m × n.
São válidas as propriedades:
A + B = B + A → propriedade comutativa
A + (B + C) = (A + B) + C → propriedade
associativa
A + O = O + A = A → existência de
elemento neutro
Nota: neste caso O representa a matriz nula de
dimensão m × n.
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11. 1.4 - Multiplicação de uma matriz por um
número real
Definição: Sejam A = [aij]m×n e α ∈ R. A matriz
αA é dada por:
αA = [αaij]m×n
Exemplo 9:
A =


1 0
2 -1
1
5 2

; 5A =?
Exemplo 10: A − B =? (com A e B as mesmas
do exemplo 8) 11 / 22

12. Propriedades da multiplicação de uma matriz
por um número real:
Sejam A e B matrizes de dimensão m × n e sejam
α, β ∈ R. São válidas as propriedades:
α(A + B) = αA + αB
(α + β)A = αA + βA
1 × A = A
α(βA) = (αβ)A
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13. 1.5 - Matriz transposta
Definição: Chama-se matriz transposta de uma
matriz A à matriz que se obtem da matriz A
trocando as suas linhas pelas suas colunas. A
transposta de A designa-se por AT
.
Exemplo 11:
A =
1 2 3
π 0 8
; AT
=
Note-se que A tem dimensão 2 × 3 e que AT
= tem
dimensão ........
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14. Teorema: Sejam A = [aij]m×n e B = [bij]m×n duas
matrizes com a mesma dimensão e seja α ∈ R. São
válidas as seguintes propriedades:
(A + B)T
= AT
+ BT
(αA)T
= αAT
(AT
)T
= A
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15. 1.6 - Matrizes simétricas e anti-simétricas
Definição: seja A uma matriz quadrada de ordem
n. Diz-se que A é uma matriz:
simétrica se A = AT
(aij = aji)
anti–simétrica se A = −AT
(aij = −aji)
Pergunta: o que se pode dizer sobre os elementos
da diagonal de uma matriz:
i) simétrica; ii) anti-simétrica.
Exemplo 12: matrizes simétricas e anti-simétricas
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16. 1.7 - Multiplicação de Matrizes
Definição: Sejam as matrizes A = [aij]m×n e
U = [uij]m×1. O produto de A com a matriz coluna
U é definido da seguinte forma:
AU =




a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
.
.
.
.
.
. ... .
.
.
am1 am2 · · · amn








u11
u21
.
.
.
un1



 =
=




a11u11 + a12u21 + · · · + a1nun1
a21u11 + a22u21 + · · · + a2nun1
.
.
.
am1u11 + am2u21 + · · · + amnun1




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17. Observação: AU só tem significado se o número
de colunas de A for igual ao número de linhas de U
(neste caso n). O resultado será uma matriz coluna
com tantas linhas quantas tem a matriz A (neste
caso m).
A(m × n) × U(n × 1) = AU(m × 1)
Exemplo 13:
A =


2 2
-3 0
5 4

 ; B =
7
6
; AB =?
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18. Exemplo 14:
A =
1 2 -1
3 0 1
; B =
7
6
; AB =?
Exemplo 15: Generalização da multiplicação
de matrizes
A =


2 2 1
-3 0 10
5 4 -6

 ; B =


x a
y b
z c

; AB =?
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19. Definição: Sejam A = [aij]m×n e B = [bij]n×p duas
matrizes. Então o produto C = AB é uma matriz
de dimensão m × p com:
cik =
n
X
j=1
aijbjk
para todo o 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ k ≤ p.
Nota: O produto AB só tem sentido se o número
de colunas de A for igual ao número de linhas de B.
Neste caso, o número de linhas de AB é igual ao
número de linhas de A e o número de colunas de
AB é igual ao número de colunas de B.
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20. Teorema: Sejam A, B e C matrizes.
Desde que as operações façam sentido são válidos
os seguintes resultados:
(AB)C = A(BC) [associativa]
(A + B)C = AC + BC [distributiva]
A(B + C) = AB + AC
AI = IA = A
α(AB) = (αA)B = A(αB) com α ∈ R
Muito importante: O produto de matrizes não é,
em geral, comutativo.
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21. Exemplo 16: A =
1 2 -1
3 0 1
; B =


2 2
-3 0
5 4


Determinar (se possı́vel) AB e BA
Exemplo 17: A =
5 6
7 8
; I2 =
1 0
0 1
Determinar (se possı́vel) AI2 e I2A
Exemplo 18: A =
1 1
0 1
; B =
1 0
1 1
Determinar (se possı́vel) AB e BA
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22. Exemplo 19: A =
1 0
6 1
; B =
1 0
1 1
Determinar (se possı́vel) AB e BA
Em geral o produto de matrizes não é
comutativo. Contudo é válido o seguinte resultado:
Toerema: Sejam A e B matrizes. Desde que AB
esteja definido temos:
(AB)T
= BT
AT
Exemplo 20: A =
1
2 2
-3 -1
; B =
0 2
1 -2
Mostre que (AB)T
= BT
AT
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