1) O documento apresenta definições e notações sobre matrizes, incluindo tipos de matrizes, operações com matrizes e matrizes elementares.
2) São definidos conceitos como matrizes do tipo m x n, elementos de uma matriz, soma e multiplicação de matrizes, matrizes nulas e identidade.
3) São introduzidos os conceitos de matrizes elementares, que são obtidas a partir da matriz identidade por meio de operações elementares nas linhas.
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A summary presentation of the United Nations Development Programme's annual Human Development Report, an alternative way to view human development and poverty--taking more into consideration than just GDP and GNP. Selected data from the 2009 report are presented.
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A summary presentation of the United Nations Development Programme's annual Human Development Report, an alternative way to view human development and poverty--taking more into consideration than just GDP and GNP. Selected data from the 2009 report are presented.
The presentation offers scenarios designed for the elementary and the secondary schools regarding modeling physical situations, manipulating with applications that go beyond the regular use of graphing calculators, augmenting textbooks for encouraging interactive reading and supporting classroom interactions.
“Open Research Data: Implications for Science and Society”, Warsaw, Poland, May 28–29, 2015, conference organized by the Open Science Platform — an initiative of the Interdisciplinary Centre for Mathematical and Computational Modelling at the University of Warsaw. pon.edu.pl @OpenSciPlatform #ORD2015
1. Cap´
ıtulo 1
Matrizes e Determinantes
1.1
Generalidades
Iremos usar K para designar
IR conjunto dos n´meros reais
u
C conjunto dos n´meros complexos.
u
Deste modo, chamaremos
n´meros ou escalares
u
aos elementos de K.
Sejam m e n inteiros positivos.
(1.1 a) Defini¸˜o.
ca
Chama-se matriz do tipo m × n sobre K a todo o quadro
que se obt´m dispondo mn n´meros segundo m linhas e
e
u
n colunas.
A=
a11
a21
.
.
.
a12
a22
.
.
.
···
···
..
.
a1n
a2n
.
.
.
am1 am2 · · · amn
1
2. (1.1 b) Nota¸˜es. Usamos igualmente como abreviatura
co
A=
aij
i=1,...,n ; j=1,...,n
ou
aij
m×n
ou ainda, simplesmente
aij
caso se subentenda o tipo da matriz.
O n´mero
u
aij
diz-se o elemento, entrada ou componente da matriz A. Em aij o
i indica a linha onde se situa o elemento
j indica a coluna onde se situa o elemento
e, como tal,
i diz-se o ´
ındice de linha
j diz-se o ´
ındice de coluna
do elemento aij .
O elemento aij diz-se ainda o elemento (i, j) da matriz A.
Para A matriz do tipo m × n de elementos sobre K
i. a matriz A diz-se quadrada sempre que
m=n ;
ii.
rectangular
m = n;
iii.
matriz-linha
ou vector-linha
iv.
m = 1;
matriz-coluna
ou vector-coluna
2
n = 1;
3. Representamos por
Mm×n (K)
o conjunto de todas as matrizes do tipo m × n sobre K. Com abuso de
linguagem, usamos a nota¸˜o
ca
Km
para representar Mm×1 (K), ou seja, para representar o conjunto das matrizes com m linhas e 1 coluna de elementos em K, as matrizes-coluna,
a1
a2
Mm×1 (K) = .
.
.
a
m
: ai ∈ K, i = 1, 2, · · · , m ∼
=
∼ K m = {(a1 , a2 , · · · , am ) : ai ∈ K, i = 1, 2, · · · , m} .
=
(1.1 c) Defini¸˜o.
ca
As matrizes
A=
aij
∈ Mm×n (K), B =
bk
∈ Mp×q (K)
dizem-se iguais sse
m=p
n=q
e
aij = bij , i = 1, ..., m; j = 1, ..., n.
(1.1 d) Nota¸˜es.
co
(I) Aos elementos da matriz (quadrada) A ∈ Mn×n (K) com igual ´
ındice de
linha e coluna chamamos elementos diagonais de A,
a11 , a22 , a33 , ..., ann .
(II) A sequˆncia ordenada ( ou n-upla) constitu´ pelos elementos diagoe
ıda
nais diz-se a diagonal principal de A.
(III) A n-upla constitu´ pelos elementos da outra diagonal recebe o nome
ıda
de diagonal secund´ria de A,
a
an1 , an−1,2 , ..., a1n .
3
4. (IV) Uma matriz quadrada A ∈ Mn×n (K) diz-se
i.
triangular superior sempre que aij=0 para i > j;
ii.
triangular inferior sempre que aij = 0 para i < j;
0 ··· 0
.. .
. .
.
0
iii.
0
. ..
.
.
.
0 ··· 0
diagonal sempre que aij = 0 para i = j.
0
0
. ..
.
.
.
0 ···
··· 0
.. .
. .
.
0
0
e
(V) A matriz identidade de ordem n, In , ´ a matriz diagonal de ordem n
com elementos diagonais iguais a 1,
1 0 ··· 0
0 1 ··· 0
. . .. . =
. .
. .
. .
.
0 0 ··· 1
δij
n×n
.
´
E usual representarmos o elemento (i, j) da matriz In por δij , s´
ımbolo
ou delta de Kron¨cker).
e
Matrizes Elementares
Fixemos alguns tipos de opera¸˜es sobre as linhas de uma matriz que se
co
designam por opera¸˜es elementares de linha.
co
4
5. 1. Substitui¸˜o de uma linha de uma matriz pela soma dessa linha com um
ca
m´ltiplo de outra linha;
u
2. Troca entre si de duas linhas de uma matriz;
3. Multiplica¸˜o de todos os elementos de uma linha por um n´mero difeca
u
rente de zero.
(1.1 e) Defini¸˜o.
ca
Chama-se matriz elementar de ordem n a toda a matriz
que se obt´m de In por aplica¸˜o de uma opera¸˜o elee
ca
ca
mentar `s respectivas linhas.
a
Obtemos, deste modo, trˆs tipos diferentes de matrizes elementares de
e
ordem n.
1. Para i = j (por exemplo, i < j) e α ∈ K
Eij (α) =
1 0 ··· 0 ··· 0 ···
0 1 ··· 0 ··· 0 ···
. . .. . ..
. ..
. .
. .
. .
.
. .
.
.
0 0 ··· 1 ··· α ···
. . .. . ..
. ..
. .
. .
. .
.
. .
.
.
0 0 ··· 0 ··· 1 ···
. . .. . ..
. ..
. .
. .
. .
.
. .
.
.
0
0
.
.
.
0
.
.
.
0
.
.
.
...i
...j
0 0 ··· 0 ··· 0 ··· 1
i
j
A matriz Eij (α) obt´m-se de In adicionando ` linha i a linha j previe
a
amente multiplicada por α.
5
6. 2. Para i = j (por exemplo, i < j)
Pij =
1 0 ··· 0 ··· 0 ···
0 1 ··· 0 ··· 0 ···
. . .. . .. . ..
. .
. .
. .
.
. .
.
.
0 0 ··· 0 ··· 1 ···
. . .. . .. . ..
. .
. .
. .
.
. .
.
.
0 0 ··· 1 ··· 0 ···
. . .. . .. . ..
. .
. .
. .
.
. .
.
.
0
0
.
.
.
0
.
.
.
0
.
.
.
...i
...j
0 0 ··· 0 ··· 0 ··· 1
i
j
A matriz Pij obt´m-se de In trocando entre si a linha i com a linha j.
e
3. Para α ∈ K, α = 0, 1 ≤ i ≤ n
Di (α) =
1 0 ··· 0 ···
0 1 ··· 0 ···
. . ..
. ..
. .
. .
.
. .
.
0 0 ··· α ···
. . ..
. ..
. .
. .
.
. .
.
0 0 ··· 0 ···
0
0
.
.
.
0
.
.
.
...i
1
i
A matriz Di (α) obt´m-se de In multiplicando a linha i por α.
e
Notas.
i. Permutando apenas duas linhas entre si da matriz In obtemos uma
das matrizes Pij .
a
co a
ii. Ao efectuarmos v´rias permuta¸˜es `s linhas de In obtemos matrizes
que em cada linha e em cada coluna tˆm apenas um elemento n˜o-nulo
e
a
e esse elemento ´ 1. S˜o as chamadas matrizes de permuta¸˜o.
e
a
ca
6
7. 1.2
Opera¸oes com Matrizes
c˜
(1.2 a) Defini¸˜o.
ca
Para A =
aij
,B =
bij
∈ Mm×n (K) e α ∈ K
1. A + B ´ a matriz do tipo m × n cujo elemento (i, j) ´
e
e
aij + bij
A + B = sij
para sij = aij + bij , ou simplesmente,
A+B =
2.
aij + bij
m×n
;
αA ´ a matriz do tipo m × n cujo elemento (i, j) ´
e
e
αaij ,
.
αA = αaij
m×n
7
8. (1.2 b) Nota¸˜es.
co
(I) A matriz do tipo m × n com todos os elementos iguais a zero, 0, diz-se
a matriz nula e escreve-se, simplesmente
0m×n .
(II) Para A =
aij
define-se
−A = (−1)A =
−aij
.
(1.2 c) Teorema. Para A, B, C ∈ Mm×n (K) e α, β ∈ K tem-se
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
(A + B) + C = A + (B + C)
(Associatividade da Adi¸˜o)
ca
A+B =B+A
(Comutatividade da Adi¸˜o)
ca
A+0=0+A=A
(0m×n ´ o elemento neutro da adi¸ao )
e
c˜
A + (−A) = (−A) + A = 0
(−A ´ a sim´trica de A)
e
e
α(A + B) = αA + αB
(α + β)A = αA + βB
(αβ)A = α(βA)
1A = A
Demonstra¸˜o. E deixada como exerc´
ca ´
ıcio.
Multiplica¸˜o de Matrizes
ca
Motiva¸˜o
ca
Dado o sistema de equa¸˜es lineares
co
−2x1 + x2 + x3 = 1
4x + 2x − 3x = 0
1
2
3
−2x − 3x + 5x = 5
1
2
3
ele pode ser representado matricialmente na forma
8
9.
−2
1
4
2
−2
coluna dos
coeficientes de
x1 em cada
equa¸˜o
ca
1
x1
1
−3 x2 = 0
−3
5
x3
¡
A3×3 ee
e
coluna dos
coeficientes de
x2 em cada
equa¸˜o
ca
vector-coluna
dos termos independentes
5
x3×1 = b3×1
¡
¡
coluna dos
coeficientes de
x3 em cada
equa¸˜o
ca
Se designarmos por A a matriz dos coeficientes das inc´gnitas nas equa¸˜es
o
co
e por x a matriz-coluna das inc´gnitas, temos
o
−2x1 + x2 + x3
1
= 0
.
Ax = 4x1 + 2x2 − 3x3
5 3×1
−2x1 − 3x2 + 5x3 3×1
1) O exemplo anterior pode generalizar-se (de modo evidente) para A matriz arbitr´ria do tipo m × n e x vector-coluna arbitr´rio do tipo n × 1.
a
a
´
E imediato que a matriz resultante, a matriz produto, ser´ do tipo
a
m×1
Am×n
d
d
.
xn×1
m×1
=
bm×1
2) A defini¸˜o anterior pode generalizar-se para qualquer matriz A do tipo
ca
m × n e qualquer matriz B do tipo n × p do seguinte modo
Am×n .Bn×p =
=
A × (coluna 1 de B) A × ( coluna 2 de B) . . . A × (coluna p de B)
Am×n
−− −− · · · −−
−− −− · · · −−
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
−− −− . . . −−
Bn×p
|
|
.
.
.
=
=
|
(A.B)m×p
|
|
.
.
.
|
j
9
j
.
10. (1.2 d) Defini¸˜o.
ca
Para A = aij ∈ Mm×n (K) e B = bjk ∈ Mn×p (K)
a matriz produto AB ´ a matriz do tipo m×p cujo elemento
e
(i, k) ´
e
ai1 b1k + ai2 b2k + ... + ain bnk
( i = 1, ..., m ; k = 1, ..., p )
AB =
n
j=1
aij bjk
m×p
.
Nota. Como se pode inferir da defini¸˜o, o produto AB da matriz A
ca
pela matriz B apenas est´ definido se o n´mero de colunas da A for igual
a
u
ao n´mero de linhas de B.
u
Sempre que tal acontece
o n´mero de linhas de AB ´ igual ao n´mero de linhas de A;
u
e
u
o n´mero de colunas de AB ´ igual ao n´mero de colunas de B.
u
e
u
(1.2 e) Teorema. Para A, A ∈ Mm×n (K)
B, B ∈ Mn×p (K)
C ∈ Mp×q (K), α ∈ K
temos
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
(AB)C = A(BC)
AIn = Im A = A
A(B + B ) = AB + AB
(A + A )B = AB + A B
α(AB) = (αA)B = A(αB)
(Se AB = 0 ent˜o (A = 0 ou B = 0)) ´ falso.
a
e
(Se AB = AB e A = 0 ent˜o (B = B )) ´ falso.
a
e
(Se AB = A B e B = 0 ent˜o (A = A )) ´ falso.
a
e
8. A multiplica¸˜o de matrizes n˜o ´ comutativa.
ca
a e
Demonstra¸˜o. Deixamos ao cuidado do leitor a demonstra¸˜o das
ca
ca
primeiras cinco al´
ıneas. Demonstremos as trˆs ultimas. Uma vez que nos
e ´
10
11. pedem para demonstrar que as implica¸˜es s˜o falsas basta apresentar um
co
a
contra-exemplo, isto ´, um exemplo onde o antecedente seja verdadeiro e o
e
consequente seja falso.
1 0 0
0 0
6. Fa¸a A = 0 0 0 e B = 0 1
c
0 0 0
0 0
´ imediato que AB = 03×3 mas A = 0 e
E
0
0 .
0
B = 0.
1 0 0
0 0 0
7. Considere ainda A = 0 0 0 e B = 0 1 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
e B = 0 0 1 .
0 0 0
Ent˜o A = 0, AB = AB mas B = B .
a
8.
2
Basta considerar A = 3
eB =
4 3×1
1 0 0
1×3
. Ent˜o A3×1 .B1×3 =
a
2 0 0
enquanto que (B.A)1×1 =
3 0 0
4 0 0 3×3
2
.
Retomemos a forma matricial de um sistema de m equa¸˜es lineares em
co
n inc´gnitas
o
Am×n xn×1 = bm×1
onde
Am×n ´ a matriz dos coeficientes das inc´gnitas
e
o
xn×1 ´ a matriz das inc´gnitas
e
o
bm×1 ´ a matriz dos termos independentes
e
Ax=
a11
a21
.
.
.
a12
a22
.
.
.
···
···
..
.
a1n
a2n
.
.
.
am1 am2 · · · amn
11
x1
x2
.
.
.
xn
12.
=
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn
a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn
.
.
.
am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn
= x1
a11
a21
.
.
.
a12
a22
.
.
.
+ x2
am1
am2
+ xn
a1n
a2n
.
.
.
.
amn
Nota 1. Dados r vectores-coluna v1 , v2 , ..., vr e r escalares (n´meros)
u
α1 , α2 , ..., αr a
α1 v1 + α2 v2 + ... + αr vr
chamamos combina¸˜o linear dos r vectores-coluna com coeficientes α1 , α2 , ..., αr .
ca
Imediatamente, sempre que o sistema
Ax = b
seja poss´ ent˜o o vector-coluna b ´ uma combina¸˜o linear dos vectoresıvel
a
e
ca
coluna de A onde os coeficientes dessa combina¸˜o linear constituem uma
ca
solu¸˜o do sistema.
ca
Por exemplo, admitindo o sistema
−2x1 + x2 + x3 = 1
4x + 2x − 3x = 0
1
2
3
−2x − 3x + 5x = 5
1
2
3
1
a solu¸˜o unica 1
ca ´
2
temos
1
1
−2
1
0 = 1 4 + 1 2 + 2 −3 .
5
−3
−2
5
12
13. Nota 2. Agora, na matriz produto
Am×n
Bn×p
(A.B)m×p
|
|
.
.
.
−− −− · · · −−
−− −− · · · −−
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
−− −− · · · −−
=
=
|
|
.
.
.
.
|
|
j
j
a coluna j de AB (que ´ dada pelo produto A × (coluna j de B)) ´ uma
e
e
combina¸˜o linear dos vectores-coluna de A sendo os coeficientes dessa comca
bina¸˜o linear as componentes do vector-coluna j de B.
ca
Nota 3. Analogamente ao anteriormente exposto, a linha i da matriz
produto AB
i −−
−− · · ·
−−
|
|
.
.
.
| ··· |
| ··· |
. .. .
.
. .
.
.
| | ··· |
=
−− −−
linha i de (A.B) =
ai1 ai2 · · · ain
b11
b21
.
.
.
bn1
=
···
−− i
b12 · · · b1p
b22 · · · b2p
. ..
.
.
. .
.
.
bn2 · · · bnp
ai1 b11 + ai2 b21 + ... + ain bn1 · · · ai1 b1p + ai2 b2p + ... + ain bnp
= ai1
b11 · · · b1p
+ · · · + ain
bn1 · · · bnp
combina¸˜o linear dos vectores-linha de B e os coeficientes dessa combina¸˜o
ca
ca
linear s˜o as componentes do vector-linha i de A.
a
13
14. 1.3
Inversa de uma Matriz Quadrada
Dada um n´mero (real ou complexo) n˜o-nulo temos sempre garantida a
u
a
existˆncia (em IR ou C) do respectivo inverso multiplicativo. Recordemos a
e
defini¸˜o de inverso multiplicativo de um elemento, por exemplo, em IR.
ca
Dado a ∈ IR, a = 0, o elemento b ∈ IR que satisfaz
ab = ba = 1
diz-se o inverso multiplicativo de a e escreve-se b = a−1 .
Agora com matrizes...
Dada uma matriz A procuramos uma matriz B que satisfa¸a
c
An×? . B?×n = In = B?×n . An×? .
For¸osamente
c
? = n.
Logo s´ faz sentido falar em matriz inversa para uma dada matriz quadrada.
o
(1.3 a) Defini¸˜o.
ca
Uma matriz A quadrada de ordem n diz-se invert´
ıvel se
existir uma matriz B quadrada de ordem n tal que
AB = BA = In .
Consequˆncias imediatas da defini¸˜o.
e
ca
(I) A matriz 0n n˜o ´ invert´
a e
ıvel.
(Para A = 0n e B ∈ Mn×n (K) arbitr´ria
a
AB = 0n B = 0n
donde 0n n˜o ´ invert´
a e
ıvel.)
14
15. (II) A matriz A =
1 2
2 4
´ n˜o-invert´
e a
ıvel. Pelo facto de existir
2
6
−1 −3
tal que
1 2
2 4
2
6
−1 −3
=
0 0
0 0
se A fosse invert´
ıvel, existiria A−1 e
A−1
1 2
2 4
2
6
−1 −3
= A−1
2
6
−1 −3
= 02×2
= 02×2
2
6
−1 −3
I2
0 0
0 0
= 02×2
o que contradiz a defini¸˜o de igualdade entre duas matrizes.
ca
(III) A matriz In ´ invert´ j´ que
e
ıvel a
In In = In .
Pergunta 1. Em que condi¸˜es uma dada matriz admitir´ inversa?
co
a
Pergunta 2. Como calcular, quando existe, a inversa de uma dada
matriz?
Mas, mesmo antes de responder a estas quest˜es, podemos demonstrar
o
algumas propriedades da inversa de uma matriz.
(1.3 b) Teorema. Para A ∈ Mn×n (K) existe no m´ximo uma matriz
a
B ∈ Mn×n (K) tal que
AB = BA = In .
Demonstra¸˜o. Comecemos por admitir a existˆncia de duas matrizes
ca
e
inversas de A e mostremos que s˜o iguais.
a
15
16. Para B, B ∈ Mn×n (K) satisfazendo
AB = BA = In
AB = B A = In
temos
B = B In = B (AB) = (B A)B = In B = B.
Logo existe, no m´ximo, uma matriz B nas condi¸˜es requeridas.
a
co
(1.3 c) Teorema. Para A e C matrizes quadradas de ordem n
invert´
ıveis o produto AC ´ tamb´m invert´ e
e
e
ıvel
(AC)−1 = C −1 A−1 .
Demonstra¸˜o. Verifiquemos que C −1 A−1 satisfaz as condi¸˜es exigidas
ca
co
para que seja a inversa de AC. De facto, temos
(AC)(C −1 A−1 ) = A(CC −1 )A−1 = AIn A−1 = AA−1 = In .
De modo an´logo
a
(C −1 A−1 )(AC) = C −1 (A−1 A)C = C −1 In C = C −1 C = In .
Logo podemos concluir que AC ´ invert´
e
ıvel j´ que C −1 A−1 satisfaz as
a
condi¸˜es para ser a inversa de AC.
co
1.4
Transposi¸˜o de Matrizes
ca
(1.4 a) Defini¸˜o.
ca
Dada uma matriz A =
AT =
bk
aij
∈ Mm×n (K) a matriz
∈ Mn×m (K) com
bk = a
k
, k = 1, ..., n; = 1, ..., m
diz-se a transposta de A.
A matriz A diz-se sim´trica se A = AT .
e
16
17. Notas.
i.
ii.
A coluna i da AT ´ precisamente a linha i de A, para i = 1, ..., m.
e
Uma matriz ´ sim´trica sse for quadrada e forem iguais os elementos
e
e
situados em posi¸˜es sim´tricas relativamente ` diagonal principal.
co
e
a
(1.4 b) Proposi¸˜o. A transposi¸˜o de matrizes goza das seguintes
ca
ca
propriedades:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(AT )T = A
(A + B)T = AT + B T
(αA)T = αAT , para α elemento de K
(AB)T = B T AT
(Ak )T = (AT )k , para k natural
Se A for invert´
ıvel, AT tamb´m o ´, tendo-se
e
e
(AT )−1 = (A−1 )T .
Demonstra¸˜o. E deixada como exerc´
ca ´
ıcio.
(1.4 c) Defini¸˜o.
ca
Uma matriz quadrada diz-se ortogonal se for invert´ e
ıvel
as respectivas inversa e transposta coincidirem
A−1 = AT (A ortogonal).
(1.4 d) Defini¸˜o.
ca
Para A = aij
´ a matriz
e
m×n
matriz complexa, a conjugada de A
¯
A=
aij
¯
m×n
.
Escrevemos
A∗
¯
para representar AT .
Uma matriz diz-se herm´
ıtica sempre que
A = A∗ .
17
18. (1.4 e) Proposi¸˜o. As matrizes complexas gozam das seguintes proca
priedades:
(1) (A∗ )∗ = A
(2) (A + B)∗ = A∗ + B ∗
(3) (αA)∗ = αA∗ , para α elemento de C
¯
(4) (AB)∗ = B ∗ A∗
(5) (Ak )∗ = (A∗ )k , para k natural
(6) Se A for invert´
ıvel, A∗ tamb´m o ´, tendo-se
e
e
(A∗ )−1 = (A−1 )∗ .
Demonstra¸˜o. E deixada como exerc´
ca ´
ıcio.
1.5
Determinantes
Pergunta 3. Ser´ poss´ associar a cada matriz um n´mero que dependa
a
ıvel
u
apenas de elementos da matriz e que nos permita decidir a existˆncia da
e
matriz inversa de uma dada matriz?
A resposta a esta quest˜o ´ afirmativa . Tal n´mero ´ chamado o detera e
u
e
minante da matriz.
O Determinante de uma matriz em M1×1 (K).
Um n´mero ´ invert´ sse for n˜o-nulo. Portanto uma matriz 1 × 1 ´
u
e
ıvel
a
e
invert´ sse for n˜o-nula. (Mas, para matrizes de ordem superior tal j´ n˜o
ıvel
a
a a
se verifica.)
Para A =
a
det A = det
∈ M1×1 (K) p˜e-se
o
a
= |a| = a
e chama-se determinante de A.
Conclus˜o. Uma matriz A =
a
pectivo determinante for n˜o-nulo.
a
a
18
∈ M1×1 (K) ´ invert´ sse o rese
ıvel
19. O determinante de uma matriz em M2×2 (K).
3 −13
−2
9
Reparemos que dada A =
A
se tem
B
3 −13
−2
9
9 13
2 3
9 13
2 3
=
1 0
0 1
3 −13
−2
9
=
1 0
0 1
B
A
9 13
foi obtida a partir da matriz A trocando
2 3
entre si os elementos da diagonal principal e mudando o sinal dos restantes
elementos.
onde a matriz B =
5 −8
2 −3
se verifica
−3 8
−2 5
5 −8
2 −3
=
1 0
0 1
5 −8
2 −3
Ainda para A =
−3 8
−2 5
=
1 0
0 1
.
Pod´
ıamos, ent˜o, ser levados a pensar que a inversa de uma matriz
a
A=
a b
c d
se poderia obter trocando entre si a e d e mudando o sinal a c e a b. Mas o
facto de se ter
a b
c d
d −b
−c a
=
ad − bc
0
0
ad − bc
leva-nos a ter um momento de reflex˜o. Tal procedimento levar-nos-ia, imea
diatamente, ` inversa de A somente no caso de ad−bc = 1. E se ad−bc = 1?
a
Ser´ que poderemos ainda determinar a inversa de A?
a
19
20. Caso 1. Seja D = ad − bc = 0.
Basta agora colocar
d
D
c
−D
b
−D
a
D
para obter
d
D
c
−D
b
−D
a b
c d
a
D
d
D
c
−D
a b
c d
b
−D
a
D
= I2
= I2 .
Caso 2. Seja D = ad − bc = 0.
Ent˜o a matriz A n˜o admite inversa. Suponhamos que existia A−1 ,
a
a
matriz inversa de A. Ter´
ıamos
d −b
−c a
d −b
−c a
= I2
= (A−1 A)
= A−1 (A
d −b
−c a
d −b
)
−c a
= A−1 02 = 02
o que contradiz a defini¸˜o de igualdade entre duas matrizes.
ca
a c
∈ M2×2 (K) admite inversa sse
b d
D = ad − bc = 0. O n´mero D diz-se o determinante de A.
u
Conclus˜o. A matriz A =
a
(1.5 a) Nota¸˜es. Usa-se
co
det A = det
aij
=
a11 a12
= a11 a22 − a12 a21
a21 a22
para representar este n´mero de K.
u
20
21. (1.5 b) Exemplo. Temos
det
2 1
1 4
= 8 − 1 = 7,
det
−2 −3
4
5
= −10 + 12 = 2.
(1.5 c) Observa¸˜o.
ca
O determinante de A est´, como vimos, relacionado com a existˆncia e
a
e
o c´lculo da inversa de uma matriz A. Mas a importˆncia do determinante
a
a
n˜o se esgota aqui. Por exemplo, dado o paralelograma P
a
∆
a12
2
R
(a21 , a22 )
¢
P
¢
∆
1¢
(a11 , a12 )
I
¢
a22
¢
¢
¢
∆2
¢
¢
a21
∆1
R
a11
temos
(a11 + a21 )(a12 + a22 ) = ´rea P + 2 ´reaR + 2 ´rea∆1 + 2 ´rea∆2
a
a
a
a
´rea P = (a11 + a21 )(a12 + a22 ) − 2a12 a21 − 2 (1/2)a21 a22 − 2 (1/2)a11 a12
a
= a11 a22 − a12 a21
= det
a11 a12
a21 a22
.
21
22. Algumas Propriedades dos Determinantes em M2×2 (K)
(d1 ) Para a, b, c, d, b , d , α ∈ K temos
a b+b
c d+d
det
det
= det
αa b
αc d
a b
c d
+ det
a b
c d
.
a b
c d
=α
(d2 ) Se as duas colunas de uma matriz forem iguais o determinante da matriz
´ igual a zero.
e
(d3 ) Para a matriz identidade de ordem 2 temos
det
1 0
0 1
= 1.
Demonstra¸˜o.
ca
(d1 ) Temos
det
a b+b
c d+d
= a(d + d ) − c(b + b )
= ad − bc + ad − b c
a b
= det
+ det
c d
det
αa b
αc d
a b
c d
;
a b
c d
= (α a)d − (α c)b = α (ad − bc) = α det
´
( Nota. E imediato que, para a, a , b, b , c, c , d, d , α ∈ K, temos ainda
i.
det
a+a
c+c
b
d
= det
a b
c d
+ det
a
c
b
d
;
ii.
det
a αb
c αd
= α det
22
a b
c d
= det
αa b
αc d
;
23. iii.
det(α
a b
) = α2 det
c d
a b
c d
. )
(d2 ) Temos
det
a a
c c
= ac − ac = 0.
O determinante de uma matriz em M2×2 (K) satisfaz ainda outras propriedades adicionais. Vejamos algumas.
(1.5 d) Proposi¸˜o.
ca
Em M2×2 (K)
(1) se adicionarmos um m´ltiplo de uma coluna ` outra o valor do
u
a
determinante n˜o se altera;
a
(2) se trocarmos entre si as colunas o determinante muda de sinal.
(3) Os determinantes de uma matriz A e da respectiva transposta
coincidem, isto ´, detA = detAT .
e
Demonstra¸˜o.
ca
(1.) Temos
a b + αa
c d + αc
= det
a b
c d
+ det
= det
a b
c d
+ α det
= det
det
a b
c d
.
a αa
c αc
a a
c c
(2.) Temos
det
b a
d c
= bc − ad = −(ad − bc) = −det
a b
c d
a c
b d
.
(3.) Temos
det
= (ad − bc) = det
23
a b
c d
.
25. (1.5 e) Observa¸˜es.
co
´
(1) E tamb´m imediato que
e
det AT
a11 a21 a31
= det a12 a22 a32
a13 a23 a33
= a11 a22 a33 + a13 a21 a32 + a12 a23 a31
−a13 a22 a31 − a11 a23 a32 − a12 a21 a33
= det A
logo a propriedade (3) da proposi¸˜o (1.5d) continua a ser satisca
feita para matrizes de M3×3 (K).
(2) Mas os diagramas usados para os casos n = 2 e n = 3 n˜o se revea
lam t˜o uteis e simples para ordens superiores. No entanto, existe
a ´
outra estrat´gia para a defini¸˜o que vai ser de f´cil generaliza¸˜o.
e
ca
a
ca
(3) Podemos, por exemplo, reagrupar os termos de (1) do seguinte
modo (evidenciando os elementos da coluna 1.)
a1 b1 c1
det A = det a2 b2 c2
a3 b3 c3
= a1 (b2 c3 − b3 c2 ) − a2 (b1 c3 − b3 c1 ) + a3 (b1 c2 − b2 c1 )
b c
b c
b c
= a1 2 2 − a2 1 1 + a3 1 1 .
(2)
b3 c3
b3 c3
b2 c2
(4) De modo idˆntico e reagrupando de acordo com as restantes coe
lunas ou linhas , poder´
ıamos obter outros cinco diferentes desenvolvimentos. Por exemplo, de acordo com os elementos da linha
3, ter´
ıamos
det A = a3
b1 c1
a c
a b
− b3 1 1 + c3 1 1 .
b2 c2
a2 c2
a2 b2
(3)
A f´rmula (2) diz-se um desenvolvimento em coluna do det A (em
o
rela¸˜o ` coluna 1) sendo (3) um desenvolvimento em linha do
ca a
det A (relativamente ` linha 3).
a
(5) Em cada caso os 2 × 2-determinantes (determinantes de matrizes
2 × 2) que aparecem nas f´rmulas dizem-se menores do det A
o
da entrada pela qual est˜o a ser multiplicados. Deste modo, por
a
25
26. exemplo, o menor de a1 ´ o determinante da matriz que se obt´m
e
e
de A eliminando a linha e a coluna onde a1 se encontra, isto
´, a linha 1 e a coluna 1. Semelhantemente, o menor de c2 em
e
a1 b1 c1
a b
a2 b2 c2 ´ 1 1 .
e
a3 b3
a3 b3 c3
(6) A cada menor est´ associado um sinal determinado pela posi¸˜o
a
ca
do elemento e de acordo com a seguinte tabela
+ − +
− + − .
+ − +
Olhando para a tabela podemos dela tirar uma regra:
O sinal que vai afectar o menor do (i, j) -elemento ´ o
e
sinal de (−1)i+j . Deste modo, se i+j for par o sinal +
ir´ afectar o menor da (i, j) -entrada da matriz. Sempre
a
que i + j seja ´
ımpar o sinal que ir´ afectar o menor ser´
a
a
−.
e
(7) Tal leva-nos ao conceito de co-factor ou complemento alg´brico
de uma entrada da matriz A.
O co-factor ou complemento alg´brico da (i, j)-entrada
e
´ igual a
e
(−1)i+j × (menor da (i, j) − entrada).
a1 b1 c1
Por exemplo, para A = a2 b2 c2
a3 b3 c3
complemento alg´brico de a1 = (−1)1+1
e
b2 c2
b c
= 2 2
b3 c3
b3 c3
complemento alg´brico de c2 = (−1)2+3
e
a1 b1
a b
=− 1 1 .
a3 b3
a3 b3
(8) Usando as no¸˜es agora estabelecidas podemos descrever o deco
senvolvimento de det A para A ∈ M3×3 (K)3 em colunas ou em
linhas de acordo com a seguinte f´rmula (Teorema de Laplace):
o
O det A ´ igual ` soma dos produtos das entradas de
e
a
uma coluna (ou linha) pelos respectivos complementos
alg´bricos.
e
26
27. Por exemplo, usando o desenvolvimento em coluna (na primeira)
obtemos
5 −1 3
2 0
−1 3
−1 3
1 2 0 =5
−1
+0
= 10 + 4 = 14
1 1
1 1
2 0
0 1 1
obtendo-se o mesmo valor ao efectuarmos o desenvolvimento em
linha (por exemplo, na segunda)
5 −1 3
−1 3
5 3
5 −1
1 2 0 = −1
+2
−0
= 4 + 10 = 14.
1 1
0 1
0 1
0 1 1
´
(1.5 f) Nota. E agora imediato estabelecer em M3×3 (K) a validade
de uma proposi¸˜o correspondente a 1.5 d.
ca
O determinante de uma matriz em Mn×n (K), para n ≥ 4 .
Suponhamos que a no¸˜o de determinante de uma matriz est´ j´ definida
ca
a a
para matrizes de ordem at´ n − 1.
e
representemos por
Dada uma matriz A = aij
n×n
Aij
a (n − 1) × (n − 1)-matriz obtida
de A por supress˜o
a
da linha i e da coluna j
Deste modo podemos definir
i.
o menor de aij como sendo det Aij ;
ii.
o complemento alg´brico (co-factor ) de aij como sendo (−1)i+j detAij .
e
´
E poss´ demonstrar que as somas
ıvel
n
(−1)i+j aij det Aij ,
i=1
27
(j ´ constante)
e
28. n
(−1)i+j aij det Aij ,
(i ´ constante)
e
j=1
tˆm o mesmo valor seja qual for o j escolhido na primeira e o i escolhido na
e
segunda.
A primeira d´-nos o desenvolvimento na coluna j e a segunda d´-nos o
a
a
desenvolvimento na linha i do det A. Deste modo podemos tomar cada uma
destas somas para estabelecer a defini¸˜o de
ca
det A
para o caso geral de uma matriz A ∈ Mn×n (K), para n natural arbitr´rio.
a
(1.5 g) Defini¸˜o.
ca
Para A ∈ Mn×n (K), para n natural arbitr´rio,
a
n
det A =
(−1)i+1 ai1 det Ai1
i=1
diz-se o desenvolvimento de det A na coluna 1 de A.
(1.5 h) Exemplo. Para n = 4 temos
a22 a23 a24
a12 a13 a14
det A = a11 a32 a33 a34 − a21 a32 a33 a34
a42 a43 a44
a42 a43 a44
+a31
a12 a13 a14
a12 a13 a14
a22 a23 a24 − a41 a22 a23 a24 .
a42 a43 a44
a32 a33 a34
assim
det
1
2
−1
1
2 −1 1
5 0 2
2 0 2
5 0 2
= 1 0 6 0 − 2 −1 6 0
0 6 0
2 0 3
1 0 3
2 0 3
2 5 2
2 5 0
+(−1) −1 0 0 − 1 −1 0 6
1 2 3
1 2 0
= (90 − 24) − 2(36 − 12) − (11) − 6 = 1.
28
29. Mas o c´lculo ´ muito mais r´pido se efectuarmos um desenvolvimento em
a
e
a
coluna, por exemplo, na coluna 3. De facto,
det
1
2
−1
1
2 −1 1
2 5 2
1 2 1
5 0 2
= −1 −1 0 0 + 6 2 5 2
0 6 0
1 2 3
1 0 3
2 0 3
= (−1)(−4 + 15) + 6(15 + 4 + 4 − 5 − 4 − 12)
= −11 + 12 = 1.
Algumas Propriedades
(I)
O determinante de uma matriz diagonal ´ igual ao produto
e
das entradas da diagonal principal.
(Tamb´m para n = 4 temos
e
det
a
0
0
0
0
b
0
0
0
0
c
0
0
0
0
d
b 0
= a det 0 c
0
0 = a.bcd = abcd
0 0 d
conforme requerido. O caso geral demonstra-se por indu¸˜o.)
ca
Em particular, para as matrizes elementares do tipo
Di (α), i = 1, ..., n, α ∈ K
det Di (α) = det
(II)
1 0 ··· 0 ··· 0
0 1 ··· 0 ··· 0
. . ..
. .. .
. .
.
.
. .
. .
. .
= α.
0 0 ··· α ··· 0
. . ..
. .. .
. .
. .
. .
. .
.
.
0 0 ··· 0 ··· 1
Tamb´m para as matrizes elementares do tipo Eij (α) temos
e
det Eij (α) = 1, i, j = 1, ..., n, α ∈ K.
29
30. (Por exemplo, para n = 4, i = 3, j = 2 temos
1
0
det E32 (α) =
0
0
0
1
α
0
0
0
1
0
0
1 0 0
0
1 0
= 1 α 1 0 = 1.1
=1
0
0 1
0 0 1
1
tendo, no terceiro passo, sido efectuado um desenvolvimento na 1a
linha.
O resultado geral demonstra-se por indu¸˜o.
ca
(III) Finalmente
det Pij = −1.
(De facto, para n = 4, i = 2, j = 4 temos
det P24
1
0
=
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0 0 1
1
= 1 0 1 0 = 1(−1) = −1.)
0
1 0 0
0
Mais uma vez o resultado geral demonstra-se por indu¸˜o.
ca
´
E ainda usando o Princ´
ıpio da Indu¸˜o que se demonstra a validade do
ca
seguinte teorema.
(1.5 i) Teorema. O determinante satisfaz as seguintes propriedades:
(d1 ) Se para j = 1, ..., n representarmos por A(j) a coluna j da matriz A
e se para um certo i ∈ {1, ..., n}, a coluna A(i) for a soma de dois
vectores-coluna, A(i) = C + C , ent˜o
a
A(1) · · · C + C
· · · A(n)
= det
A(1) · · · C · · · A(n)
+ det
det
A(1) · · · C
· · · A(n)
Para α ∈ K e A(i) = αC
det
A(1) · · · αC · · · A(n)
30
= α det
A(1) · · · C · · · A(n)
.
.
31. (d2 ) Se para j = i as colunas A(i) e A(j) da matriz A forem iguais ent˜o
a
det A = 0.
(d3 ) Para n arbitr´rio, det In = 1.
a
Este teorema pode (e ´ usualmente) utilizado para definir a fun¸˜o dee
ca
terminante
det : Mn×n (K) → K
A → det A, A ∈ Mn×n (K),
impondo que ela satisfa¸a (d1 ), (d2 ), (d3 ).
c
Para n ∈ I arbitr´rio, a propriedade correspondente ` Prop.1.5 d pode
N
a
a
agora ser estabelecida.
(1.5 j) Proposi¸˜o. Em Mn×n (K) tem-se
ca
(1) O determinante de uma matriz e da respectiva transposta coincide.
(2) Para i, j naturais, ao trocarmos entre si as colunas A(i) e A(j) da
matriz A, o determinante da matriz assim obtida ´ o sim´trico
e
e
do detA.
ca a
(3) Seja B a matriz obtida de A por adi¸˜o ` coluna i de A do
m´ltiplo-λ da coluna j de A. Ent˜o detA = detB.
u
a
Demonstra¸˜o.
ca
(1) Trata-se de uma consequˆncia imediata da defini¸˜o de determie
ca
nante. O desenvolvimento do determinante da matriz AT segundo
a linha i coincide com o desenvolvimento do determinante da matriz A segundo a coluna i.
(2) Atendendo a (d2 ) ao substituirmos as colunas A(i) e A(j) por
A(i) + A(j) obtemos uma matriz com duas colunas iguais e logo
de determinante igual a zero. Deste modo,
31
32. 0 = det
A(1) · · · A(i) + A(j) · · · A(i) + A(j) · · · A(n)
= det
A(1) · · · A(i) · · · A(i) · · · A(n)
+det
A(1) · · · A(j) · · · A(j) · · · A(n)
+det
A(1) · · · A(i) · · · A(j) · · · A(n)
+det A(1) · · · A(j) · · · A(i) · · · A(n)
donde o requerido.
(3) Para A =
A(1) · · · A(i) · · · A(j) · · · A(n)
A(1) · · · A(i) + λA(j) · · · A(j) · · · A(n)
Atendendo a (d2 ) tem-se
B=
detB = det
A(1) · · · A(i) · · · A(j) · · · A(n)
+det
A(1) · · · λA(j) · · · A(j) · · · A(n)
= det
A(1) · · · A(i) · · · A(j) · · · A(n)
+
+
+λ det A(1) · · · A(j) · · · A(j) · · · A(n)
= detA + 0 = detA
j´ que a segunda matriz tem duas colunas iguais.
a
Ainda Algumas Propriedades de Determinantes
Exerc´
ıcio.
Para A ∈ Mn×n (K), i, j = 1, ..., n, α ∈ K
descreva em fun¸˜o da matriz A as matrizes
ca
Eij (α)A
A Eij (α)
ii.
.
A(1) · · · A(i) + λA(j) · · · A(j) · · · A(n)
= det
i.
tem-se
Di (α)A
Pij A
A Di (α)
A Pij ;
prove que
det (Eij (α)A) = det Eij (α) det A
det (Di (α) A) = det Di (α) detA
det (Pij A) = det Pij detA.
32
=
33. Cap´
ıtulo 2
Sistemas de Equa¸oes
c˜
Lineares
2.1
Generalidades
(2.1 a) Defini¸˜o.
ca
Uma equa¸˜o linear em (ou nas inc´gnitas) x1 , x2 , ..., xn
ca
o
´ uma igualdade do tipo
e
a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn = b
onde a1 , a2 , ..., an e b s˜o elementos (n´meros) de K.
a
u
A
x1 , x2 , ..., xn chamamos inc´gnitas, sendo
o
a1 , a2 , ...an os coeficientes das inc´gnitas e
o
b o segundo membro ou termo independente.
(2.1 b) Defini¸˜o.
ca
Um sistema de equa¸˜es lineares ´ uma colec¸˜o finita de
co
e
ca
equa¸˜es lineares.
co
33
34. Um sistema de m equa¸˜es em n inc´gnitas
co
o
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = b2
···
am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn = bm
n
aij xj = bi , i = 1, ..., m
j=1
pode representar-se abreviadamente na forma matricial
Ax = b
onde
A=
a11
a21
.
.
.
a12
a22
.
.
.
···
···
..
.
a1n
a2n
.
.
.
am1 am2 · · · amn
x=
,
,b =
xn
m×n
matriz do sistema
x1
x2
.
.
.
n×1
matriz-coluna
b1
b2
.
.
.
bm
m×1
segundo membro
das inc´gnitas
o
(2.1 c) Defini¸˜o.
ca
Uma solu¸˜o do sistema de equa¸˜es lineares nas inc´gnitas
ca
co
o
x1 , ..., xn ´ uma sequˆncia ordenada de n´meros
e
e
u
α1 , ..., αn
tais que as substitui¸˜es
co
xi = αi , i = 1, ..., n
transformam todas as equa¸˜es em identidades.
co
Resolver um sistema de equa¸˜es lineares ´ determinar todas as solu¸˜es
co
e
co
ou provar que n˜o existe solu¸˜o.
a
ca
34
35. Tipos de sistemas relativamente ao n´ mero de solu¸˜es.
u
co
Um sistema que admite pelo menos uma solu¸˜o diz-se poss´
ca
ıvel
(Diz-se determinado se s´ tiver uma, indeterminado se tiver mais
o
do que uma). Um sistema de equa¸˜es que n˜o tenha qualquer
co
a
solu¸˜o diz-se imposs´
ca
ıvel.
Interpreta¸˜o geom´trica no caso K = IR e m = n = 2
ca
e
Seja dado o sistema
ax + by = c
a x+b y =c
y
com a = 0 ou b = 0
com a = 0 ou b = 0
y
d
d
d
d ¨
¨¨
¨ d
d
¨¨
¨¨
¨¨
x
d
d
d
d
d
x
y
d
d
d
d
d
d
d
sistema poss´
ıvel
determinado
(rectas concorrentes)
d
x
d
d
d
d
d
sistema poss´
ıvel
indeterminado
(rectas coincidentes)
sistema imposs´
ıvel
(rectas paralelas)
(2.1 d) Defini¸˜o.
ca
Sistemas com o mesmo n´mero de equa¸˜es e inc´gnitas
u
co
o
dizem-se equivalentes se tiverem exactamente as mesmas
solu¸˜es.
co
Directos
M´todos de Resolu¸˜o
e
ca
de sistemas
de equa¸˜es lineares d
co
d
d
d
Iterativos (An´lise Num´rica)
a
e
35
36. 2.2
O Algoritmo de Elimina¸˜o de Gauss (m´todo
ca
e
directo)
Ideia B´sica do M´todo: os sistemas (cujas matrizes sejam) triangulares
a
e
(ou em escada) resolvem-se facilmente por substitui¸˜o ascendente.
ca
2x + 3y − 4z = 1
2y + 5z = −3
z = 3/2
2z = 3
x = ...
2y + 5 × 3/2 = −3
y = −21/4 .)
z = 3/2
z = 3/2
(Por exemplo
Objectivo. Desenvolver um algoritmo para transformar o sistema dado
noutro equivalente cuja matriz seja (triangular) em escada.
−2x + y + z = 1
(L1 )
4x + 2y − 3z = 0
(L2 )
−2x − 3y + 5z = 5
(L3 )
vamos efectuar uma sequˆncia de passos-elementares que o transforme num
e
sistema equivalente de matriz (triangular) em escada.
Dado o sistema
Um passo elementar no m´todo de elimina¸ao de Gauss consiste na
e
c˜
adi¸˜o membro a membro a uma equa¸˜o de um m´ltiplo de outra de forma
ca
ca
u
a que, na equa¸˜o obtida, seja nulo o coeficiente de certa inc´gnita. Diz-se
ca
o
ent˜o que se eliminou essa inc´gnita da equa¸˜o.
a
o
ca
Parte Descendente do M´todo
e
−2x + y + z = 1
(L1 )
4x + 2y − 3z = 0
(L2 )
−2x − 3y + 5z = 5
(L3 )
−2=0 x + y + z = 1
4=0 y − z = 2
−4 y + 4z = 4
(L1 = L1 )
(L2 = L2 − (−2L1 ))
(L3 = L3 − L1 )
36
37.
−2=0 x + y + z = 1
4=0
(L1 = L1 )
(L2 = L2 )
a
(L3 = L3 − ( a32 )L2 )
y−z =2
3z = 6
22
(Por exemplo, sendo a11 = 0 a adi¸˜o ` segunda equa¸˜o da
ca a
ca
21
primeira multiplicada por − a11 elimina a inc´gnita x1 da seo
a
gunda equa¸˜o.)
ca
Em seguida, passamos a eliminar a inc´gnita x2 de todas as equa¸˜es
o
co
a partir da 3a - para o qual ´ necess´rio que a22 (o novo coeficiente de x2
e
a
na 2a equa¸˜o) seja n˜o-nulo. Este processo repete-se at´ n˜o ser poss´
ca
a
e a
ıvel
continu´-lo mais. Os n´meros n˜o-nulos
a
u
a
a11 , a22 , ...
chamam-se pivots da elimina¸˜o.
ca
No presente caso em estudo h´ 3 pivots havendo 3 equa¸˜es e 3 inc´gnitas.
a
co
o
Parte Ascendente do M´todo
e
No caso em estudo
−2=0 x + y + z = 1
4=0 y − z = 2
3z = 6 z = 2
−2x + 1 + 2 = 1 x = 1
4y − 2 = 2
z=2
y=1
y=1
z=2
z=2
e logo o sistema ´ poss´ e determinado admitindo a solu¸˜o unica {(1, 1, 2)}.
e
ıvel
ca ´
Algoritmo de Elimina¸˜o de Gauss
ca
Seja dado um sistema de m equa¸˜es em n inc´gnitas
co
o
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1
a x + a x + ... + a x = b
21 1
22 2
2n n
2
···
am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn = bm
37
(L1 )
(L2 )
···
(Lm )
38. i.
Se a11 = 0, considere
L1 = L1
L2 = L2 −
.
.
.
a21
a11
Lm = Lm −
L1
passos elementares
do m´todo
e
am1
a11
L1
Deste modo, a inc´gnita x1 ´ eliminada de todas as equa¸˜es a partir
o
e
co
da segunda.
ii.
iii.
Seja agora a22 o coeficiente de x2 na segunda equa¸˜o do sistema
ca
(equivalente ao dado pelo Teorema (??) e obtido em (i.)). Se a22 = 0,
usando um processo ao descrito em (i.), elimine a inc´gnita x2 em
o
todas as equa¸˜es do novo sistema a partir da 3a equa¸˜o.
co
ca
E o processo ´ repetido enquanto poss´
e
ıvel.
Nota. Caso apare¸a um zero na posi¸˜o em que devia estar um pivot,
c
ca
procura-se resolver o problema trocando a respectiva equa¸˜o por uma outra
ca
situada abaixo dela. Se nenhuma troca resolver o problema, o pivot passa a
ser procurado entre os coeficientes da inc´gnita seguinte.
o
(2.2 a) Teorema. Cada passo elementar do m´todo de elimina¸˜o de
e
ca
Gauss transforma um sistema noutro equivalente.
Demonstra¸˜o. Cada passo elementar pode ser descrito matricialmente
ca
pela multiplica¸˜o ` esquerda por uma matriz elementar do tipo Eij (α).
ca a
Basta ent˜o reparar que Eij (α)−1 = Eij (−α).
a
(Por exemplo, a elimina¸˜o de x1 na segunda linha ´ efectuada pela
ca
e
multiplica¸˜o ` esquerda por
ca a
E21 (−
a21
).
a11
A partir do sistema
Ax = b
(1)
obtemos o sistema
E21 (−
a21
a21
)Ax = E21 (−
) b.
a11
a11
(2)
38
39. Se x0 for solu¸˜o de (1) ´ imediatamente solu¸˜o de (2). Agora se x1 for
ca
e
ca
a21
solu¸˜o de (2) ent˜o por multiplica¸˜o de (2) por E21 ( a11 ) obtemos
ca
a
ca
Ax1 = b
e logo x1 ´ tamb´m solu¸˜o de (1).)
e
e
ca
Do processo de elimina¸˜o de Gauss resulta um sistema equivalente
ca
Ux = c
cuja matriz U (que ´ ainda do tipo m × n) tem uma forma especial e que se
e
diz matriz-em-escada.
(2.2 b) Defini¸˜o.
ca
Uma matriz diz-se uma matriz-em-escada (de linhas) sempre que satisfa¸a:
c
(1) Se o primeiro elemento n˜o-nulo numa linha esa
tiver na coluna j ent˜o a linha seguinte come¸a
a
c
com, pelo menos, j elementos nulos.
ıdas por ze(2) Se houver linhas totalmente constitu´
ros, elas aparecem depois das outras.
(Pela pr´pria defini¸˜o, as matrizes triangulares superiores de elementos
o
ca
diagonais n˜o-nulos s˜o matrizes-em-escada.)
a
a
• ∗ ∗
∗
0 0 •
0 •
•
0
0
0
0
∗
0
0
0
0
∗
•
0
0
0
∗
∗
•
0
0
∗
∗
∗
0
0
∗
∗
∗
0
0
∗
∗
∗
•
0
Aqui
∗ designa um elemento arbitr´rio de K
a
• representa um elemento n˜o-nulo em K.
a
39
•
0
0
0
0
∗
•
0
0
0
∗
∗
0
0
0
40. Com a obten¸˜o da matriz-em-escada U termina a parte descendente do
ca
m´todo de elimina¸˜o de Gauss.
e
ca
Neste momento verifica-se se o sistema obtido
Ux = c
´ poss´
e
ıvel, isto ´, verifica-se a n˜o-existˆncia de equa¸˜es com o primeiro
e
a
e
co
membro nulo e o segundo n˜o-nulo. Se o sistema for poss´ resolve-se de
a
ıvel
baixo para cima (parte ascendente do algoritmo) obtendo algumas inc´gnitas
o
(aquelas que est˜o a ser multiplicadas por pivots) em fun¸˜o das restantes.
a
ca
`
As primeiras chamamos inc´gnitas principais ou b´sicas e `s outras (que
o
a
a
podem tomar qualquer valor em K) chamamos inc´gnitas n˜o-principais
o
a
ou livres.
Casos Poss´
ıveis no final da Elimina¸˜o (para m = n)
ca
(1) H´ n pivots.
a
O sistema Ux = c ´ do tipo
e
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = ˜1
˜
˜
b
˜
˜2
a22 x2 + ... + a2n xn = b
˜
˜
.
.
.
ann xn = ˜n
˜
b
e por substitui¸˜o ascendente obtemos a solu¸˜o unica. O sistema
ca
ca ´
´ poss´
e
ıvel e determinado.
(2) H´ k pivots com k n.
a
As ultimas equa¸˜es do sistema obtido s˜o do tipo 0 = 0 ou 0 = a
´
co
a
com a = 0.
a. H´ pelo menos uma equa¸˜o do tipo 0 = a com a = 0. Neste
a
ca
caso o sistema ´ imposs´
e
ıvel.
b. Considere as primeiras k equa¸˜es e passe as parcelas refeco
rentes `s n − k inc´gnitas livres para os segundos membros.
a
o
Resolva o sistema em rela¸˜o `s k inc´gnitas b´sicas. Obteca a
o
a
mos os valores das k inc´gnitas b´sicas em fun¸˜o das n − k
o
a
ca
inc´gnitas livres. Neste caso, o sistema ´ poss´
o
e
ıvel e indeterminado. Diz-se que o grau de indetermina¸˜o do sistema
ca
´
e
n − k.
n´mero de inc´gnitas
u
o
40
n´mero de pivots
u
41. (2.2 c) Exemplos.
(I) O sistema
x − y + z = −2
−3x + 3y − z = 5
2x − 2y + z = −1
x − y + z = −2
0y + 2z = −1
0y − z = 3
x − y + z = −2
2z = −1
0z = 5/2
(L1 )
(L2 )
(L3 )
(L1 = L1 )
(L2 = L2 + 3L1 )
(L3 = L3 − 2L1 )
(L1 = L1 = L1 )
(L2 = L2 )
(L3 = L3 + (1/2)L2 )
´ imposs´ (pela existˆncia da 3a equa¸˜o, ou seja, o n´mero de pivots ´
e
ıvel
e
ca
u
e
inferior ` caracter´
a
ıstica da matriz ampliada do sistema).
(II) No sistema
x − y + z = −2
(L1 )
(L2 )
(L3 )
−3x + 3y − z = 5
2x − 2y + z = −7/2
x − y + z = −2
2z = −1
−z = 1/2
x − y + z = −2
2z = −1
0z = 0
(L1 = L1 )
(L2 = L2 + 3L1 )
(L3 = L3 − 2L1 )
(L1 = L1 = L1 )
(L2 = L2 )
(L3 = L3 + (1/2)L2 )
para efeitos de determina¸˜o da solu¸˜o do sistema, esta ultima equa¸˜o
ca
ca
´
ca
0z = 0 ´ irrelevante j´ que qualquer valor de z satisfaz esta equa¸˜o.
e
a
ca
Comecemos por reparar que o n´mero de pivots, 2, ´ inferior ao n´mero
u
e
u
de inc´gnitas, 3, sendo x e z as inc´gnitas b´sicas (cujos coeficientes s˜o
o
o
a
a
pivots) e sendo y uma vari´vel livre.
a
x + z = −2 + y
z = −1/2
x = y − 3/2
z = −1/2
41
42. O conjunto das solu¸˜es (solu¸˜o geral) ´, portanto,
co
ca
e
{(y − 3/2, y, −1/2) : y ∈ IR}
sendo o grau de indetermina¸˜o do sistema ( igual ao n´mero de inc´gnitas
ca
u
o
livres), 1 = 3 − 2.
(2.2 d) Defini¸˜o.
ca
A caracter´
ıstica de A, car A, ´ o n´mero de pivots que
e
u
aparecem na matriz resultado da aplica¸˜o a A do m´todo
ca
e
de elimina¸˜o de Gauss.
ca
Equivalentemente, car A ´ o n´mero de linhas n˜o-nulas
e
u
a
da matriz-em-escada U produzida pelo algoritmo de elimina¸˜o de Gauss aplicado a A.
ca
Uma matriz quadrada, An×n diz-se n˜o-singular se tiver
a
caracter´
ıstica igual a n, isto ´, se a caracter´
e
ıstica e a ordem
coincidirem.
Se car An×n n a matriz A diz-se singular.
No caso de A ∈ Mn×n (K) ser n˜o-singular, a matriz U ´ triangular
a
e
superior com os elementos diagonais n˜o-nulos (s˜o os n pivots).
a
a
Verific´mos que na aplica¸˜o do algoritmo de Gauss os coeficientes aij
a
ca
e os termos independentes s˜o alterados. Para simplificar a aplica¸˜o do
a
ca
m´todo ´ conveniente trabalhar com a seguinte matriz que se diz a matrize
e
ampliada do sistema.
A | b
=
a11
a21
.
.
.
a12
a22
.
.
.
···
···
..
.
a1n
a2n
.
.
.
|
|
b1
b2
.
.
.
|
am1 am2 · · · amn | bm
42
43. Casos Poss´
ıveis no
Final da Parte Descendente do
Algoritmo de Elimina¸˜o de Gauss
ca
(An´lise da matriz-ampliada obtida)
a
A ∈ Mm×n (K)
car A car A | b
Sistema Imposs´
ıvel
• ∗ ∗ ∗
0 • ∗ ∗
0 0 • ∗
. . . ..
. . .
.
. . .
0 0 0 ···
0 0 0 ···
. . . ..
. . .
.
. . .
∗ ∗ ···
∗ ∗ ···
∗ ∗ ···
. . ..
. .
.
. .
• ∗ ···
0 0 ···
. . ..
. .
.
. .
∗
∗
∗
.
.
.
| ∗
| ∗
| ∗
.
.
| .
∗ | ∗
0 | ∗
.
. | .
.
.
.
0 0 0 0 0 0 ··· 0 | •
. . . .. . . .. .
.
. . .
. . .
. . | .
. . .
. .
.
.
0 0 0 0 0 0 ··· 0 | ∗
onde
e
• designa um elemento n˜o-nulo de K
a
∗ representa um elemento arbitr´rio em K.
a
A ∈ Mm×n (K)
car A = car A | b
Sistema Poss´
ıvel e Determinado
(n´mero de pivots = n´mero de inc´gnitas)
u
u
o
(s´ h´ vari´veis b´sicas)
o a
a
a
• ∗ ∗ ∗
0 • ∗ ∗
0 0 • ∗
. . . ..
. . .
.
. . .
0 0 0 ···
| ∗
| ∗
| ∗ ou
.
| .
.
• | ∗
∗
∗
∗
.
.
.
• ∗ ∗ ∗
0 • ∗ ∗
0 0 • ∗
. . . ..
. . .
.
. . .
0 0 0 ···
0 0 0 ···
. . . ..
. . .
.
. . .
0 0 0
43
0
∗
∗
∗
.
.
.
| ∗
| ∗
| ∗
.
| .
.
• | ∗
0 | 0
.
.
. | .
.
.
0 | 0
44. A ∈ Mm×n (K)
car A = car A | b
Sistema Poss´
ıvel e Indeterminado
(n´mero de pivots n´mero de inc´gnitas)
u
u
o
( h´ vari´veis livres)
a
a
• ∗ ∗ ∗
0 • ∗ ∗
0 0 • ∗
. . . ..
. . .
.
. . .
0 0 0 ···
∗ ∗ ···
∗ ∗ ···
∗ ∗ ···
. . ..
. .
.
. .
• ∗ ···
∗
∗
∗
.
.
.
∗
| ∗
| ∗
| ∗ ou
.
| .
.
| ∗
• ∗ ∗ ∗
0 • ∗ ∗
0 0 • ∗
. . . ..
. . .
.
. . .
0 0 0 ···
0 0 0 ···
. . . ..
. . .
.
. . .
0 0 0
0
∗ ∗ ···
∗ ∗ ···
∗ ∗ ···
. . ..
. .
.
. .
• ∗ ···
0 0 ···
. . ..
. .
.
. .
∗
∗
∗
.
.
.
Decomposi¸˜o LU de uma matriz (Resolu¸˜o
ca
ca
de sistemas)
Dada uma matriz A ∈ Mn×n (K) ser´ poss´
a
ıvel (sempre?) escrevˆ-la como
e
um produto de duas matrizes
A = LU
onde
L ´ triangular inferior e
e
U ´ triangular superior?
e
E o mesmo acontecer´ com A ∈ Mm×n (K) ?
a
Caso I A matriz A ´ n˜o-singular.
e a
Analisemos a aplica¸˜o do m´todo de elimina¸˜o de Gauss ` resolu¸˜o
ca
e
ca
a
ca
do seguinte sistema
44
∗ | ∗
0 | 0
.
.
. | .
.
.
0 0 ··· 0 | 0
Todas as equa¸˜es com o 1o membro igual a zero tˆm tamb´m o 2o
co
e
e
membro igual a zero.
2.3
| ∗
| ∗
| ∗
.
.
| .
45.
−2 1
1
x
1
2 −3 y = 0
4
−2 −3 5
z
5
L2 + 2L1
−2
L3 − L1
1
1 | 1
→
−2 1
1 | 1
→
2 −3 | 0 E21 (2) 0
4 −1 | 2 E31 (−1)
−2 −3 5 | 5
−2 −3 5 | 5
4
A
U1
L3 + L2
→
−2 1
1 | 1
→
−2 1 1 | 1
E31 (−1) 0
4 −1 | 2 E32 (1) 0 4 −1 | 2
0 −4 4 | 4
0 0 3 | 6
U2
U
com
E21 (2) A = U1
E31 (−1)(E21 (2) A) = U2
E32 (1)(E31 (−1) E21 (2) A) = U
donde
E32 (−1) (E32 (1)E31 (−1)E21 (2) A) = E32 (−1) U
E21 (2) A = E31 (1) E32 (−1)U
A = E21 (−2) E31 (1) E32 (−1) U
L
U
onde L ´ dada por um produto de matrizes invert´
e
ıveis.
1 0 0
1 0 0
L = −2 1 0 0 1 0 E32 (−1)
0 0 1
1 0 1
1
0 0
1 0 0
1 0 0
= −2 1 0 0 1 0 = −2 1 0
1 −1 1
0 −1 1
1 0 1
Nota. A matriz L armazena toda a informa¸˜o do processo de elimica
na¸˜o de Gauss.
ca
45
46. i.
Caso n˜o haja (no processo de elimina¸˜o de Gauss) troca de
a
ca
linhas, a matriz L ´ uma matriz triangular inferior com elementos
e
diagonais iguais a 1 e os elementos sob a diagonal de L s˜o os
a
sim´tricos dos multiplicadores usados na elimina¸˜o, cada um na
e
ca
posi¸˜o em que figura na respectiva matriz elementar. (Assim, a
ca
matriz L ´ muito f´cil de escrever.)
e
a
ii. Por´m, se houver necessidade de troca de linhas, a unica diferen¸a
e
´
c
´ que o algoritmo deve ser visto como aplicado n˜o a A mas a P A
e
a
onde P ´ uma matriz de permuta¸˜o (P ´ o produto das matrizes
e
ca
e
de permuta¸˜o correspondentes `s v´rias trocas de linha feitas
ca
a a
durante o algoritmo) e ao segundo membro P b.
1 1
1
Dada a matriz 3 3 −1 tem-se
1 −1 −1
L2 = L2 − 3L1
L3 = L3 − L1
L3 = L2
L2 = L3
1 1
1
1 1
1
1 1
1
A = 3 3 −1 → 0 0 −4 → 0 −2 −2 = U
1 −1 −1
0 −2 −2
0 0 −4
P23 E31 (−1) E21 (−3) A = U
E31 (−1) E21 (−3) A = P23 U
E21 (−3) A = E31 (1) P23 U
A = E21 (3) E31 (1) P23 U
1 0 0
A = 3 1 0 P23 U
1 0 1
L
1 0 0
A= 3 0 1
1 1 0
1 0
P23 A = 1 1
3 0
U
logo
P23 A = L U.
46
0
0 U
1
47. Notemos que foi poss´ escrever P A = LU embora a matriz L
ıvel
calculada n˜o coincida com a matriz L encontrada no meio do
a
processo.
Caso II A matriz A ´ (singular ou) do tipo m × n
e
(2.3 a) Teorema. Sendo A uma matriz arbitr´ria do tipo m × n
a
existe uma matriz de permuta¸˜o P tal que P A se pode factorizar na
ca
forma LU onde L ´ triangular inferior com elementos diagonais iguais
e
a 1 e U ´ uma matriz-em-escada. Os elementos sob a diagonal de L s˜o
e
a
os sim´tricos dos ”multiplicadores”usados no m´todo de elimina¸˜o
e
e
ca
aplicado a A e U ´ a matriz produzida pelo algoritmo (e portanto o
e
primeiro elemento n˜o-nulo em cada linha n˜o-nula ´ um pivot).
a
a
e
Resolu¸˜o do sistema Ax = b usando a factoriza¸˜o LU
ca
ca
Caso 1.
A matriz A ´ quadrada n˜o-singular.
e
a
Pretendemos resolver o sistema Ax = b. Suponhamos que P A = LU.
Ent˜o
a
Ax = b
sse
P Ax = P b
sse
LUx = P b
Ly = P b
sse
Ux = y
O sistema ´ transformado em dois sistemas triangulares tais que os
e
elementos das diagonais em ambas as matrizes s˜o n˜o-nulos. Ambos
a a
os sistemas s˜o poss´
a
ıveis e determinados e o sistema Ax = b ´ ainda
e
poss´ e determinado.
ıvel
Caso 2. A matriz A ´ (singular ou) do tipo m × n, (m = n).
e
Ent˜o de P A = LU vem
a
Ax = b
sse
Ly = P b
Ux = y
(1)
(2)
O sistema (1) ´ ainda poss´
e
ıvel e determinado. Mas na resolu¸˜o de
ca
(2) vamos poder obter um sistema indeterminado ou um sistema imposs´
ıvel. E, desta forma, tamb´m o sistema Ax = b poder´ ser poss´
e
a
ıvel
indeterminado ou imposs´
ıvel.
47
48. A Decomposi¸˜o LDU para A matriz n˜o-singular.
ca
a
Suponhamos que efectu´mos a decomposi¸˜o LU da matriz A (isto ´,
a
ca
e
n˜o foi necess´rio trocar linhas). Ent˜o teremos
a
a
a
1
21
31
A=
.
.
.
n−1,1
n1
×
0
1
.
.
.
0
0
1
.
.
.
n−1,2
n−1,3
n2
n3
32
u11 u12 u13
0 u22 u23
0
0 u33
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0
0
0
0
0
0
···
···
···
..
.
···
···
···
..
.
0
0
0
.
.
.
···
···
1
n,n−1
u1,n1
u2,n1
u3,n1
.
.
.
u1n
u2n
u3n
.
.
.
0
0
0
.
.
.
0
1
.
un−1,n
· · · un−1,n−1
···
0
unn
Os elementos ”uii ”, i = 1, 2, ..., n s˜o os pivots do processo de elimina¸˜o
a
ca
(recordemos que car A = n). Ent˜o podemos escrever
a
21
.
.
.
0
1
.
.
.
n1
A=
1
n2
··· 0
u11 0 · · · 0
· · · 0 0 u22 · · · 0
.
.
.. . .
..
.
.
. . .
.
. .
.
.
··· 1
0
0 · · · unn
1
0
.
.
.
0
0
u12
u11
1
.
.
.
···
···
..
.
0
0
u1,n−1
u11
un−1,2
u22
···
···
.
.
.
1
0
u1n
u11
un,2
u22
un−1,n
un−1,n−1
Esta factoriza¸˜o designa-se por factoriza¸˜o LDU da matriz A.
ca
ca
Resolu¸˜o de Sistemas Homog´neos
ca
e
´
E evidente que um sistema homog´neo (com todos os segundos membros
e
iguais a zero) ´ sempre poss´
e
ıvel (admite, pelo menos a solu¸˜o nula).
ca
Para um sistema homog´neo
e
Ax = 0m×1 ,
A ∈ Mm×n (K)
(1)
designemos por N (A) o conjunto de todas as solu¸˜es do sistema (1).
co
48
.
.
.
1
49. Resolu¸˜o do Sistema Homog´neo
ca
e
Am×n xn×1 = 0m×1 ,
A ∈ Mm×n (K)
1o Passo Determina¸˜o da matriz-em-escada U. Seja car U = r.
ca
2o Passo No sistema Ux = 0 (que ´ equivalente ao sistema Ax = 0)
e
separam-se as inc´gnitas em b´sicas (correspondentes `s inc´gnitas
o
a
a
o
com pivots e que s˜o em n´mero de r) e em livres. Se n˜o houver
a
u
a
inc´gnitas livres o sistema ´ poss´
o
e
ıvel e determinado (admitindo somente a solu¸˜o nula).
ca
3o Passo Para cada inc´gnita livre, d´-se o valor 1 (de facto, poderia ser
o
a
um valor arbitr´rio mas este simplifica os c´lculos) a essa inc´gnita
a
a
o
e zero `s restantes inc´gnitas livres e resolve-se o sistema resultante
a
o
(com r equa¸˜es). As n − r colunas assim obtidas geram o conjunto
co
N (A) das solu¸˜es, isto ´, qualquer solu¸˜o ´ combina¸˜o linear dessas
co
e
ca e
ca
n − r colunas determinadas (uma para cada inc´gnita livre).
o
(2.3 b) Exemplo.
Utilizemos o algoritmo anterior no c´lculo de um “conjunto de gera
adores”para o conjunto, N (A), de solu¸˜es do seguinte sistema homog´neo.
co
e
Uma vez que temos
1 1 1
2
0 0 −4 −4
0 0 0
0
x1
x2
x3
x4
0
= 0
0
as inc´gnitas b´sicas s˜o x1 e x3 sendo x2 e x4 as livres, logo o sistema ´
o
a
a
e
equivalente a
x1 + x3 = −x2 − 2x4
−4x3 = 4x4 .
Referente ` inc´gnita livre x2 , fazendo
a
o
x1 + x3 = −1
−4x3 = 0
49
x2 = 1
resolvendo o sistema
x4 = 0
x1 = −1
x3 = 0
50.
obtemos o gerador
−1
1
0
0
a
o
. Agora referente ` inc´gnita livre x4 , fazendo
x2 = 0
x1 + x3 = −1
x1 = −1
e resolvendo o sistema
obtemos
x4 = 1
−4x3 = 4
x3 = −1
−1
0
o gerador
.
−1
1
−1
−1
1 0
Assim
e
,
´ um sistema de geradores do conjunto N (A),
0 −1
0
1
isto ´, qualquer solu¸˜o do sistema homog´neo pode ser escrito como uma
e
ca
e
combina¸˜o linear destas duas matrizes-coluna,
ca
−1
−1
0
1
N (A) = α
+β
: α, β ∈ K .
0
−1
0
1
(2.3 c) Teorema. Um sistema homog´neo com um n´mero de inc´gnitas
e
u
o
superior ao n´mero de equa¸oes ´ poss´ indeterminado.
u
c˜ e
ıvel
Demonstra¸˜o. A representa¸˜o matricial de um tal sistema ´ dado por
ca
ca
e
Ax = 0m×1 ,
A ∈ Mm×n (K)
com m n.
´
E imediato que car A = r ≤ m n e portanto h´ necessariamente n − r
a
inc´gnitas livres.
o
(2.3 d) Teorema. Se x for uma solu¸˜o do sistema Ax = b ent˜o o
ca
a
conjunto das solu¸˜es do sistema ´
co
e
{x + u : u ∈ N (A)}.
50
51. Demonstra¸˜o. E evidente que qualquer elemento da forma x + u com
ca ´
u ∈ N (A) ´ solu¸˜o do sistema Ax = b j´ que
e
ca
a
A(x + u) = Ax + Au = b + 0 = b.
Reciprocamente, para x solu¸˜o arbitr´ria do sistema Ax = b, fa¸a-se
ca
a
c
u=x −x.
Ent˜o
a
Au = A(x − x ) = Ax − Ax = b − b = 0
´
o que significa que u ∈ N (A). E claro que
x = x + (x − x ) = x + u
e logo da forma pretendida.
2.4
Invers˜o de Matrizes
a
Dada uma matriz quadrada de ordem n, An×n , pretendemos determinar
uma matriz Xn×n tal que
AX = In = XA
ou seja
A × (coluna 1 de X) A × (coluna 2 de X) · · · A × (coluna n de X)
=
1 0 ··· 0
0 1 ··· 0
. . .. . .
. .
. .
. .
.
0 0 ··· 1
A determina¸˜o de X que satisfa¸a AX = In ´ equivalente ` resolu¸˜o
ca
c
e
a
ca
de n sistemas de equa¸˜es lineares com a mesma matriz
co
Ax =
1
0
.
.
.
0
, Ax =
0
1
.
.
.
0
, ... , Ax =
0
0
.
.
.
1
Estes sistemas podem ser resolvidos simultaneamente.
51
52. (2.4 a) Exemplo. Pretendemos determinar a inversa da matriz
1 2
.
3 4
Resolu¸˜o. Por defini¸˜o a matriz inversa da matriz dada,
ca
ca
x1 x3
x2 x4
,
dever´ satisfazer a condi¸˜o
a
ca
x1 x3
x2 x4
1 2
3 4
=
1 0
0 1
.
Efectuando os passos do processo de elimina¸˜o de Gauss
ca
1 2
3 4
x1 x3
x2 x4
=
1 0
−3 1
1 2
0 −2
x1 x3
x2 x4
=
1 0
0 1
1 0
−3 1
1 0
−3 1
somos levados ` resolu¸˜o de dois sistemas de equa¸˜es lineares
a
ca
co
1 2
0 −2
x1
x2
=
1
−3
1 2
x3
0
=
0 −2
x4
1
Mas existe outro processo poss´ para a resolu¸˜o simultˆnea dos sisıvel
ca
a
temas (processo de elimina¸˜o ascendente). Assim,
ca
1 2
0 −2
x1 x3
x2 x4
1 0
−3 1
=
multipliquemos (para anular o (1,2)-elemento da matriz) ambos os membros
por E12 (1). Obtemos
1 1
0 1
1 2
0 −2
1 =0
0
0
−2 =0
x1 x3
x2 x4
x1 x3
x2 x4
D
52
1 1
0 1
=
=
−2 1
−3 1
1 0
−3 1
.
53. Mas esta matriz D ´ invert´
e
ıvel. Logo
1
0
0 −1/2
1 =0
0
0
−2 =0
x1 x3
x2 x4
1
0
0 −1/2
=
−2 1
−3 1
ou ainda,
x1 x3
x2 x4
−2
1
3/2 −1/2
=
.
Aten¸˜o. Analisemos os passos efectuados. Temos
ca
E12 (1) E21 (−3)A = D
donde
A = E21 (3) E12 (−1) D
e logo
A−1 = D−1 E12 (1) E21 (−3)
A
1 2 |
| I2
3 4 |
↓
1
| 1 0
|
0 −2 | −3 1
Elimina¸˜o Descendente
ca
2
↑
I2
| −2
1
|
| 3/2 −1/2
Elimina¸˜o Ascendente
ca
A−1
O Algoritmo de Gauss-Jordan para a Determina¸˜o da Inversa
ca
de uma Matriz
(2.4 b) Teorema. Uma matriz quadrada A ´ invert´ se e s´ se
e
ıvel
o
for n˜o-singular.
a
Demonstra¸˜o. Mostremos que a condi¸˜o ´ necess´ria, isto ´, admitindo
ca
ca e
a
e
que a matriz A ´ invert´ mostremos que ´ n˜o-singular.
e
ıvel
e a
53
54. Uma vez que A ´ invert´ ent˜o qualquer sistema Ax = b (cuja matriz
e
ıvel
a
seja A) ´ poss´ e determinado j´ que
e
ıvel
a
A−1 (Ax) = A−1 b
determina a solu¸˜o (´nica)
ca u
x = A−1 b.
Mas ent˜o, necessariamente, A tem n pivots, ou seja, ´ n˜o-singular.
a
e a
Resta agora mostrar que a condi¸˜o ´ suficiente, isto ´, admitindo que a
ca e
e
matriz A ´ n˜o-singular mostremos que ´ invert´
e a
e
ıvel.
Representemos por E o produto de todas as matrizes elementares correspondentes aos passos elementares do processo de elimina¸˜o que permite
ca
determinar uma matriz diagonal D de elementos diagonais n˜o-nulos. Ent˜o
a
a
D satisfaz
EA = D.
Mas a matriz A ´ invert´ porque ´ um produto de matrizes elementares
e
ıvel
e
que s˜o invert´
a
ıveis. Ent˜o
a
A = E −1 D
e logo A ´ invert´ j´ que E −1 D o ´. (De facto, A−1 = D−1 E.)
e
ıvel a
e
ALGORITMO. C´lculo da matriz inversa de uma dada matriz An×n
a
Para calcular a matriz inversa de A (se existir) efectua-se na mae
triz do tipo n × 2n, A | In a parte descendente do m´todo
de elimina¸˜o de Gauss aplicado a A. Se houver um n´mero
ca
u
de pivots inferior a n a matriz A n˜o ´ invert´
a e
ıvel. Se houver
n pivots usando-os pela ordem contr´ria ` anteriormente usada,
a a
anulam-se com opera¸˜es elementares todos os elementos acima
co
da diagonal da matriz situada ` esquerda. Finalmente, divide-se
a
cada linha pelo respectivo pivot. No fim deste processo a matriz
obtida ´
e
In | A−1 .
(2.4 c) Teorema. (Unicidade da factoriza¸˜o LU no caso n˜o-singular)
ca
a
Se A for n˜o-singular a factoriza¸˜o LU de A
a
ca
(ou de P A) ´ unica.
e´
54
55. Demonstra¸˜o. Suponhamos que
ca
P A = LU
P A = L1 U1
com L e L1 matrizes triangulares inferiores com elementos diagonais iguais
a 1 e U e U1 matrizes triangulares superiors com elementos diagonais n˜oa
nulos. Ent˜o
a
LU = L1 U1
donde
L−1 L
1
=
matriz
triangular inferior
U1 U −1
matriz
triangular superior
Como estas matrizes s˜o iguais tˆm de ser diagonais e os elementos diagonais
a
e
tˆm de ser iguais a 1 (porque s˜o os do primeiro membro). Logo
e
a
L−1 L = In
1
U1 U −1 = In
ou seja
L1 = L, U1 = U.
(2.4 d) Observa¸˜es.
co
(I) No caso da matriz A ser singular ou rectangular
1 2
de A ( ou de P A) pode n˜o ser unica. Para A = 2 4
a
´
0 0
a factoriza¸˜o LU
ca
0
0 temos
0
1 2 0
1 0 0
1 2 0
A = 2 4 0 = 2 1 0 0 0 0
0 0 0
0 0 1
0 0 0
L
U
1 2 0
1 0 0
= 2 1 0 0 0 0
0 0 0
0 5 1
L
55
U
56. com A singular (car A = 1).
0 0
Tamb´m, por exemplo, para A = 0 0 temos
e
0 0
0 0
1 0 0
0 0
A = 0 0 = 0 1 0 0 0
0 0
0 0 1
0 0
L
U
1 0 0
0 0
= 2 1 0 0 0
3 4 1
0 0
L
U.
(II) Determinemos a solu¸˜o do sistema
ca
Ax = b
1 1 1 2
para A = 3 3 −1 2
1 1 −1 0
−2
(i) b = 6 ;
4
−2
(ii) b = 6 .
−1
Resolu¸˜o.
ca
1) Comecemos por calcular a decomposi¸˜o LU da matriz A.
ca
1 1 1 2
1 1 1
2
1 1 1
2
3 3 −1 2 → 0 0 −4 −4 → 0 0 −4 −4
1 1 −1 0
0 0 −2 −2
0 0 0
0
Logo
1 0 0
1 1 1
2
A = 3 1 0 0 0 −4 −4
1 1/2 1
0 0 0
0
L
U
car A = 2
= n´mero de linhas n˜o-nulas de U
u
a
= n´mero de pivots de A
u
56
57. 2) Resolvamos agora o sistema
Ly = b
1 0 0
y1
−2
1 0 y2 = 6
3
1 1/2 1
y3
4
−2
6
−1
y1 = −2
3y + y = 6
1
2
y + 1/2 y + y = 4
1
2
3
y1 = −2
(= −1)
y = 12
2
y =0
3
(y3 = −5)
3) Resolu¸˜o do sistema Ux = y.
ca
1 1 1
2
0 0 −4 −4
0 0 0
0
x1
x2
x3
x4
−2
= 12
−2
= 12
−5
0
Imediatamente no caso ii. o sistema ´ imposs´
e
ıvel. Continuando com a
resolu¸˜o da al´
ca
ınea i., as inc´gnitas b´sicas s˜o x1 e x3 sendo as livres x2 e
o
a
a
x4 . Resolvamos ent˜o o sistema equivalente
a
x1 + x3 = −2 − x2 − 2x4
−4x3 = 12 + 4x4
x1 = −2 − x2 − 2x4 + 3 + x4
x3 = −3 − x4
x1 = 1 − x2 − x4
x3 = −3 − x4
Logo a solu¸˜o geral ´
ca
e
x1
x2
x3
x4
=
1 − x2 − x4
x2
−3 − x4
x4
=
1
0
−3
0
+ x2
solu¸˜o particular de
ca
de Ax = b correspondente
a x2 = x4 = 0
57
−1
1
0
0
+ x4
−1
0
−1
1
solu¸˜o geral de
ca
de Ax = 0
para x2 , x4 arbitr´rios
a
58. 2.5
Determinantes (algumas propriedades)
Pretendemos apresentar ainda outro crit´rio de invertibilidade de matrizes.
e
Ele vai aparecer como um corol´rio do seguinte facto.
a
(2.5 a) Teorema. Para A matriz quadrada e U a matriz que se obt´m
e
de A por aplica¸˜o do algoritmo de elimina¸˜o
ca
ca
de Gauss temos
det A = ± det U.
Demonstra¸˜o. Verific´mos anteriormente que o valor do determinante
ca
a
de uma matriz n˜o se altera quando a uma linha adicionamos um m´ltiplo
a
u
de outra linha (cf. (3) da Prop.(1.5j)). Mas tal significa que o valor do determinante de uma matriz n˜o se altera com a parte descendente do algoritmo
a
de elimina¸˜o de Gauss sempre que n˜o haja troca de linhas. Neste caso,
ca
a
se o algoritmo transformar A na matriz U temos det A = det U. Sempre
que haja troca de linhas no algoritmo de elimina¸˜o aplicado a A temos
ca
det A = det U se o n´mero de trocas for par e det A = −det U se o n´mero
u
u
de trocas for ´
ımpar.
Nota. Este teorema fornece ainda um processo de c´lculo de determia
nantes.
(2.5 b) Corol´rio. Uma matriz quadrada A ´ invert´
a
e
ıvel
se e s´ se det A = 0.
o
Demonstra¸˜o. Pelo teorema anterior temos det A = ± det U. Uma vez
ca
que U ´ triangular (superior) o det U ´ dado pelo produto dos elementos da
e
e
diagonal principal. No caso de A ser n˜o-singular (que ´ equivalente a ser
a
e
invert´
ıvel) os elementos diagonais de U s˜o os n pivots que se determinam
a
quando se aplica o m´todo de elimina¸˜o de Gauss a A e, portanto det A =
e
ca
det U = 0.
Demonstremos a implica¸˜o rec´
ca
ıproca, isto ´, sempre que det A = 0 ent˜o
e
a
A ´ invert´
e
ıvel, mostrando a validade do respectivo contra-rec´
ıproco. Assim
iremos admitir que A n˜o ´ invert´ e iremos mostrar que det A = 0. Sendo
a e
ıvel
A n˜o-invert´
a
ıvel, isto ´, sendo A singular, a caracter´
e
ıstica de A ´ inferior `
e
a
respectiva ordem. Ent˜o U tem pelo menos um elemento diagonal nulo e
a
58
59. logo det U = 0. Uma vez que det A = ± det U temos det A = 0, conforme
pretendido.
(2.5 c) Teorema. Para A e B matrizes quadradas de ordem n
det(AB) = det A det B.
Demonstra¸˜o. Vamos efectuar uma demonstra¸˜o por divis˜o do arguca
ca
a
mento em casos (referente a propriedades de B).
Caso 1. det B = 0
Ent˜o B ´ singular e portanto o sistema Bx = 0 tem solu¸˜es n˜oa
e
co
a
nulas. Seja v uma dessas solu¸˜es. Ent˜o Bv = 0. Multiplicando ambos os
co
a
membros por A obtemos
ABv = 0.
Mas tal significa que tamb´m o sistema ABx = 0 tem solu¸˜es n˜o-nulas o
e
co
a
que significa que a matriz AB ´ tamb´m singular e portanto, det (AB) = 0.
e
e
Logo
det (AB) = 0, det A det B = (det A) × 0 = 0
verificando-se a propriedade requerida.
Caso 2. det B = 0
Ent˜o a matriz B ´ n˜o-singular e logo pode escrever-se como produto de
a
e a
matrizes elementares (Recordemos que existe E matriz produto de matrizes
elementares tal que EB = D ou ainda, B = E −1 D ambas produto de elementares). Imediatamente, para B = Ek Ek−1 ... E1 matrizes elementares
temos, atendendo ` al´
a ınea (ii) do ultimo exerc´ do primeiro cap´
´
ıcio
ıtulo,
det (AB) = det (A Ek Ek−1 ... E1 )
= det (A Ek Ek−1 ... E2 ) det E1
...
= det A det Ek det Ek−1 ... det E1
...
= det A det(Ek ...E1 )
= det A det B.
(2.5 d) Corol´rio. Para A matriz quadrada invert´ tem-se
a
ıvel
1
det (A−1 ) =
.
det A
59
60. Demonstra¸˜o. De A A−1 = I vem, usando o teorema anterior,
ca
det A det A−1 = 1
donde o requerido.
(2.5 e) Proposi¸˜o. Para P matriz de permuta¸˜o tem-se
ca
ca
det(P T ) = det P.
Demonstra¸˜o. Uma vez que ambas as matrizes P e P T s˜o matrizes de
ca
a
permuta¸˜o, o determinante de cada uma delas ´ igual a 1 ou igual a −1.
ca
e
Mas como a inversa de uma matriz de permuta¸˜o ´ a respectiva transposta
ca e
temos P P T = I. Imediatamente det P det P T = 1. Logo det P e det P T
s˜o ambos iguais a 1 ou ambos iguais a −1.
a
(2.5 f) Teorema. Para A matriz quadrada tem-se
det AT = det A.
Demonstra¸˜o. Apliquemos ` matriz A o algoritmo de elimina¸˜o de
ca
a
ca
Gauss.
Suponhamos que n˜o h´ necessidade de efectuarmos trocas de linhas.
a a
Ent˜o temos
a
A = LU
det A = det U.
Quanto ` transposta temos
a
AT = U T LT
donde
det AT = det U T det LT = det U T
pois det LT = 1 porque LT ´ triangular com todos os elementos diagonais
e
iguais a 1. Mas U e U T tˆm os mesmos elementos diagonais. Logo det U T =
e
det U.
60
61. Mostremos agora que o mesmo acontece caso haja necessidade de efectuarmos trocas de linhas.
Neste caso temos
P A = LU.
Ent˜o, pelo teorema (2.5c),
a
det P det A = det L det U
det A = det P −1 det U.
Agora para as transpostas, de
P A = LU
vem
AT P T = U T LT
det AT det P T = det U T det LT
det AT det P = det U T .
Pela proposi¸˜o anterior det P T = det P e det U T = det U j´ que tˆm os
ca
a
e
mesmos elementos diagonais. Assim,
det AT = det P −1 det U
donde
det A = det AT .
Observa¸˜o. Atendendo ao teorema (2.5f ) todas as propriedades de
ca
determinantes que s˜o v´lidas para linhas s˜o tamb´m v´lidas para colunas.
a a
a
e
a
A regra de Cramer
Recordemos que, para A = aij
e i, j = 1, ..., n chamamos comn×n
plemento alg´brico de um elemento aij de A a
e
(−1)i+j det Aij
onde Aij designa a (n − 1) × (n − 1)-submatriz de A obtida por supress˜o
a
da linha i e da coluna j.
61
62. (2.5 g) Defini¸˜o.
ca
˜
Para A = aij
designamos por A a matriz dos comn×n
plementos alg´bricos dos elementos de A,
e
˜
A=
(−1)i+j det Aij
n×n
.
`
˜
A matriz AT chamamos matriz adjunta de A.
(2.5 h) Exemplo. A matriz adjunta de A =
a11 a12
a21 a22
´
e
a22 −a12
−a21 a11
˜
AT =
a11 a12 a13
(2.5 i) Exemplo. A matriz adjunta da matriz A = a21 a22 a23
a31 a32 a33
´
e
a22 a33 − a32 a23 ...
...
˜T = −a21 a33 + a31 a23 ... −a11 a23 + a13 a21
A
a21 a32 − a31 a22 ...
...
(Os elementos n˜o apresentados s˜o facilmente calculados.)
a
a
(2.5 j) Teorema. Para A matriz quadrada de ordem n
˜
A AT =
det A
0
0
det A
.
.
.
.
.
.
0
0
···
···
..
.
0
0
.
.
.
= (det A)In .
· · · det A
Demonstra¸˜o. E deixada como exerc´
ca ´
ıcio.
(2.5 k) Corol´rio. Para A matriz invert´
a
ıvel
A−1 =
1
˜
AT .
det A
62
63. Demonstra¸˜o. Pelo corol´rio anterior temos
ca
a
˜
A AT = (det A) In .
Sendo A invert´
ıvel, det A = 0, e podemos escrever
A
1
˜
AT = In
det A
1
˜
AT = A−1 .
det A
e logo
Nota. Este corol´rio fornece um m´todo de constru¸˜o da inversa de
a
e
ca
uma matriz.
(2.5 l) Teorema. (Regra de Cramer)
Para An×n martiz invert´
ıvel a solu¸˜o unica do sistema Ax = b ´ a
ca ´
e
coluna cujos elementos s˜o os quocientes
a
det A(i)
, i = 1, ..., n
det A
onde A(i) ´ a matriz que se obt´m de A substituindo a coluna i por b.
e
e
a11 a12
invert´ e b =
ıvel
a21 a22
a solu¸˜o do sistema Ax = b ´ o elemento (x1 , x2 ) dado por
ca
e
(2.5 m) Exemplo. Sendo A =
det
b1 a12
b2 a22
det
x1 =
e x2 =
det
det
a11 b1
a21 b2
a11 a12
a21 a22
b1 a12
b2 a22
det
a11 b1
a21 b2
det
,
detA
detA
63
,
a11 a12
a21 a22
.
b1
b2