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Cap´
ıtulo 1

Matrizes e Determinantes
1.1

Generalidades

Iremos usar K para designar
IR conjunto dos n´meros reais
u
C conjunto dos n´meros complexos.
u
Deste modo, chamaremos
n´meros ou escalares
u
aos elementos de K.
Sejam m e n inteiros positivos.

(1.1 a) Defini¸˜o.
ca
Chama-se matriz do tipo m × n sobre K a todo o quadro
que se obt´m dispondo mn n´meros segundo m linhas e
e
u
n colunas.



A=



a11
a21
.
.
.

a12
a22
.
.
.

···
···
..
.

a1n
a2n
.
.
.

am1 am2 · · · amn

1







(1.1 b) Nota¸˜es. Usamos igualmente como abreviatura
co
A=

aij

i=1,...,n ; j=1,...,n

ou
aij

m×n

ou ainda, simplesmente
aij
caso se subentenda o tipo da matriz.
O n´mero
u
aij
diz-se o elemento, entrada ou componente da matriz A. Em aij o
i indica a linha onde se situa o elemento
j indica a coluna onde se situa o elemento
e, como tal,
i diz-se o ´
ındice de linha
j diz-se o ´
ındice de coluna
do elemento aij .
O elemento aij diz-se ainda o elemento (i, j) da matriz A.
Para A matriz do tipo m × n de elementos sobre K
i. a matriz A diz-se quadrada sempre que

m=n ;

ii.

rectangular

m = n;

iii.

matriz-linha
ou vector-linha

iv.

m = 1;

matriz-coluna
ou vector-coluna

2

n = 1;
Representamos por
Mm×n (K)
o conjunto de todas as matrizes do tipo m × n sobre K. Com abuso de
linguagem, usamos a nota¸˜o
ca
Km
para representar Mm×1 (K), ou seja, para representar o conjunto das matrizes com m linhas e 1 coluna de elementos em K, as matrizes-coluna,

 a1



 a2
Mm×1 (K) =  .
 .
 .


 a

m












 : ai ∈ K, i = 1, 2, · · · , m ∼
=








∼ K m = {(a1 , a2 , · · · , am ) : ai ∈ K, i = 1, 2, · · · , m} .
=
(1.1 c) Defini¸˜o.
ca
As matrizes
A=

aij

∈ Mm×n (K), B =

bk

∈ Mp×q (K)

dizem-se iguais sse
m=p
n=q

e

aij = bij , i = 1, ..., m; j = 1, ..., n.

(1.1 d) Nota¸˜es.
co
(I) Aos elementos da matriz (quadrada) A ∈ Mn×n (K) com igual ´
ındice de
linha e coluna chamamos elementos diagonais de A,
a11 , a22 , a33 , ..., ann .
(II) A sequˆncia ordenada ( ou n-upla) constitu´ pelos elementos diagoe
ıda
nais diz-se a diagonal principal de A.
(III) A n-upla constitu´ pelos elementos da outra diagonal recebe o nome
ıda
de diagonal secund´ria de A,
a
an1 , an−1,2 , ..., a1n .
3
(IV) Uma matriz quadrada A ∈ Mn×n (K) diz-se
i.

triangular superior sempre que aij=0 para i > j;







ii.



triangular inferior sempre que aij = 0 para i < j;




0 ··· 0
.. . 
. . 
. 

0 







iii.







0
. ..
.
.
.
0 ··· 0

diagonal sempre que aij = 0 para i = j.








0
0
. ..
.
.
.
0 ···



··· 0
.. . 
. . 
. 



0 
0

e
(V) A matriz identidade de ordem n, In , ´ a matriz diagonal de ordem n
com elementos diagonais iguais a 1,









1 0 ··· 0
0 1 ··· 0 

. . .. .  =
. .
. . 
. .
. 
0 0 ··· 1

δij

n×n

.

´
E usual representarmos o elemento (i, j) da matriz In por δij , s´
ımbolo
ou delta de Kron¨cker).
e

Matrizes Elementares
Fixemos alguns tipos de opera¸˜es sobre as linhas de uma matriz que se
co
designam por opera¸˜es elementares de linha.
co

4
1. Substitui¸˜o de uma linha de uma matriz pela soma dessa linha com um
ca
m´ltiplo de outra linha;
u
2. Troca entre si de duas linhas de uma matriz;
3. Multiplica¸˜o de todos os elementos de uma linha por um n´mero difeca
u
rente de zero.
(1.1 e) Defini¸˜o.
ca
Chama-se matriz elementar de ordem n a toda a matriz
que se obt´m de In por aplica¸˜o de uma opera¸˜o elee
ca
ca
mentar `s respectivas linhas.
a
Obtemos, deste modo, trˆs tipos diferentes de matrizes elementares de
e
ordem n.
1. Para i = j (por exemplo, i < j) e α ∈ K









Eij (α) = 








1 0 ··· 0 ··· 0 ···
0 1 ··· 0 ··· 0 ···
. . .. . ..
. ..
. .
. .
. .
.
. .
.
.
0 0 ··· 1 ··· α ···
. . .. . ..
. ..
. .
. .
. .
.
. .
.
.
0 0 ··· 0 ··· 1 ···
. . .. . ..
. ..
. .
. .
. .
.
. .
.
.

0
0
.
.
.
0
.
.
.
0
.
.
.








 ...i




 ...j





0 0 ··· 0 ··· 0 ··· 1
i

j

A matriz Eij (α) obt´m-se de In adicionando ` linha i a linha j previe
a
amente multiplicada por α.

5
2. Para i = j (por exemplo, i < j)









Pij = 








1 0 ··· 0 ··· 0 ···
0 1 ··· 0 ··· 0 ···
. . .. . .. . ..
. .
. .
. .
.
. .
.
.
0 0 ··· 0 ··· 1 ···
. . .. . .. . ..
. .
. .
. .
.
. .
.
.
0 0 ··· 1 ··· 0 ···
. . .. . .. . ..
. .
. .
. .
.
. .
.
.

0
0
.
.
.
0
.
.
.
0
.
.
.








 ...i




 ...j





0 0 ··· 0 ··· 0 ··· 1
i

j

A matriz Pij obt´m-se de In trocando entre si a linha i com a linha j.
e
3. Para α ∈ K, α = 0, 1 ≤ i ≤ n






Di (α) = 





1 0 ··· 0 ···
0 1 ··· 0 ···
. . ..
. ..
. .
. .
.
. .
.
0 0 ··· α ···
. . ..
. ..
. .
. .
.
. .
.
0 0 ··· 0 ···

0
0
.
.
.
0
.
.
.








 ...i




1

i
A matriz Di (α) obt´m-se de In multiplicando a linha i por α.
e
Notas.
i. Permutando apenas duas linhas entre si da matriz In obtemos uma
das matrizes Pij .
a
co a
ii. Ao efectuarmos v´rias permuta¸˜es `s linhas de In obtemos matrizes
que em cada linha e em cada coluna tˆm apenas um elemento n˜o-nulo
e
a
e esse elemento ´ 1. S˜o as chamadas matrizes de permuta¸˜o.
e
a
ca

6
1.2

Opera¸oes com Matrizes
c˜

(1.2 a) Defini¸˜o.
ca
Para A =

aij

,B =

bij

∈ Mm×n (K) e α ∈ K

1. A + B ´ a matriz do tipo m × n cujo elemento (i, j) ´
e
e
aij + bij
A + B = sij
para sij = aij + bij , ou simplesmente,
A+B =
2.

aij + bij

m×n

;

αA ´ a matriz do tipo m × n cujo elemento (i, j) ´
e
e
αaij ,
.
αA = αaij
m×n

7
(1.2 b) Nota¸˜es.
co
(I) A matriz do tipo m × n com todos os elementos iguais a zero, 0, diz-se
a matriz nula e escreve-se, simplesmente
0m×n .
(II) Para A =

aij

define-se
−A = (−1)A =

−aij

.

(1.2 c) Teorema. Para A, B, C ∈ Mm×n (K) e α, β ∈ K tem-se
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.

(A + B) + C = A + (B + C)
(Associatividade da Adi¸˜o)
ca
A+B =B+A
(Comutatividade da Adi¸˜o)
ca
A+0=0+A=A
(0m×n ´ o elemento neutro da adi¸ao )
e
c˜
A + (−A) = (−A) + A = 0
(−A ´ a sim´trica de A)
e
e
α(A + B) = αA + αB
(α + β)A = αA + βB
(αβ)A = α(βA)
1A = A

Demonstra¸˜o. E deixada como exerc´
ca ´
ıcio.
Multiplica¸˜o de Matrizes
ca
Motiva¸˜o
ca
Dado o sistema de equa¸˜es lineares
co

 −2x1 + x2 + x3 = 1


4x + 2x − 3x = 0

1
2
3

 −2x − 3x + 5x = 5
1
2
3

ele pode ser representado matricialmente na forma

8


−2

1




 4



2

−2
 

 

coluna dos
coeficientes de
x1 em cada
equa¸˜o
ca



1



x1



1




 


 


 

−3   x2  =  0 

 


 


−3

5

x3

¡

A3×3 ee
e
coluna dos
coeficientes de
x2 em cada
equa¸˜o
ca

vector-coluna
dos termos independentes

5

x3×1 = b3×1

¡
¡

coluna dos
coeficientes de
x3 em cada
equa¸˜o
ca

Se designarmos por A a matriz dos coeficientes das inc´gnitas nas equa¸˜es
o
co
e por x a matriz-coluna das inc´gnitas, temos
o








−2x1 + x2 + x3
1




= 0 
.
Ax =  4x1 + 2x2 − 3x3 
5 3×1
−2x1 − 3x2 + 5x3 3×1

1) O exemplo anterior pode generalizar-se (de modo evidente) para A matriz arbitr´ria do tipo m × n e x vector-coluna arbitr´rio do tipo n × 1.
a
a
´
E imediato que a matriz resultante, a matriz produto, ser´ do tipo
a
m×1
Am×n
d
d

.

xn×1

m×1

=

bm×1

 
 

2) A defini¸˜o anterior pode generalizar-se para qualquer matriz A do tipo
ca
m × n e qualquer matriz B do tipo n × p do seguinte modo
Am×n .Bn×p =
=

A × (coluna 1 de B) A × ( coluna 2 de B) . . . A × (coluna p de B)







Am×n



−− −− · · · −−
−− −− · · · −−  

.
.
. 
..
.
.
. 
.
.
.
. 
−− −− . . . −−

Bn×p
|
|
.
.
.

=



 
 
=
 
 

|

(A.B)m×p
|
|
.
.
.
|

j
9



j





.


(1.2 d) Defini¸˜o.
ca
Para A = aij ∈ Mm×n (K) e B = bjk ∈ Mn×p (K)
a matriz produto AB ´ a matriz do tipo m×p cujo elemento
e
(i, k) ´
e
ai1 b1k + ai2 b2k + ... + ain bnk
( i = 1, ..., m ; k = 1, ..., p )
AB =

n
j=1

aij bjk

m×p

.

Nota. Como se pode inferir da defini¸˜o, o produto AB da matriz A
ca
pela matriz B apenas est´ definido se o n´mero de colunas da A for igual
a
u
ao n´mero de linhas de B.
u
Sempre que tal acontece
o n´mero de linhas de AB ´ igual ao n´mero de linhas de A;
u
e
u
o n´mero de colunas de AB ´ igual ao n´mero de colunas de B.
u
e
u

(1.2 e) Teorema. Para A, A ∈ Mm×n (K)
B, B ∈ Mn×p (K)
C ∈ Mp×q (K), α ∈ K
temos
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.

(AB)C = A(BC)
AIn = Im A = A
A(B + B ) = AB + AB
(A + A )B = AB + A B
α(AB) = (αA)B = A(αB)
(Se AB = 0 ent˜o (A = 0 ou B = 0)) ´ falso.
a
e
(Se AB = AB e A = 0 ent˜o (B = B )) ´ falso.
a
e
(Se AB = A B e B = 0 ent˜o (A = A )) ´ falso.
a
e
8. A multiplica¸˜o de matrizes n˜o ´ comutativa.
ca
a e

Demonstra¸˜o. Deixamos ao cuidado do leitor a demonstra¸˜o das
ca
ca
primeiras cinco al´
ıneas. Demonstremos as trˆs ultimas. Uma vez que nos
e ´
10
pedem para demonstrar que as implica¸˜es s˜o falsas basta apresentar um
co
a
contra-exemplo, isto ´, um exemplo onde o antecedente seja verdadeiro e o
e
consequente seja falso.






1 0 0
0 0



6. Fa¸a A =  0 0 0  e B =  0 1
c
0 0 0
0 0
´ imediato que AB = 03×3 mas A = 0 e
E




0

0 .
0
B = 0.







1 0 0
0 0 0




7. Considere ainda A =  0 0 0  e B =  0 1 0 
0 0 0
0 0 0


0 0 0


e B =  0 0 1 .
0 0 0
Ent˜o A = 0, AB = AB mas B = B .
a
8.







2


Basta considerar A =  3 
eB =
4 3×1

1 0 0

1×3

. Ent˜o A3×1 .B1×3 =
a



2 0 0


enquanto que (B.A)1×1 =
 3 0 0 
4 0 0 3×3

2

.

Retomemos a forma matricial de um sistema de m equa¸˜es lineares em
co
n inc´gnitas
o
Am×n xn×1 = bm×1
onde
Am×n ´ a matriz dos coeficientes das inc´gnitas
e
o
xn×1 ´ a matriz das inc´gnitas
e
o
bm×1 ´ a matriz dos termos independentes
e




Ax=



a11
a21
.
.
.

a12
a22
.
.
.

···
···
..
.

a1n
a2n
.
.
.

am1 am2 · · · amn
11








x1
x2
.
.
.
xn










=





a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn
a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn
.
.
.







am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn




= x1 



a11
a21
.
.
.





a12
a22
.
.
.





 + x2 





am1

am2









 + xn 





a1n
a2n
.
.
.




.



amn

Nota 1. Dados r vectores-coluna v1 , v2 , ..., vr e r escalares (n´meros)
u
α1 , α2 , ..., αr a
α1 v1 + α2 v2 + ... + αr vr
chamamos combina¸˜o linear dos r vectores-coluna com coeficientes α1 , α2 , ..., αr .
ca
Imediatamente, sempre que o sistema
Ax = b
seja poss´ ent˜o o vector-coluna b ´ uma combina¸˜o linear dos vectoresıvel
a
e
ca
coluna de A onde os coeficientes dessa combina¸˜o linear constituem uma
ca
solu¸˜o do sistema.
ca
Por exemplo, admitindo o sistema

 −2x1 + x2 + x3 = 1


4x + 2x − 3x = 0

1
2
3

 −2x − 3x + 5x = 5
1
2
3



1


a solu¸˜o unica  1 
ca ´
2
temos








1
1
−2
1








 0  = 1  4  + 1  2  + 2  −3  .
5
−3
−2
5

12
Nota 2. Agora, na matriz produto
Am×n







Bn×p


(A.B)m×p




|
|
.
.
.

−− −− · · · −−
−− −− · · · −−  

.
.
. 
..
.
.
. 
.
.
.
. 
−− −− · · · −−

=
 
 
=
 
 

|
|
.
.
.




.



|

|
j

j

a coluna j de AB (que ´ dada pelo produto A × (coluna j de B)) ´ uma
e
e
combina¸˜o linear dos vectores-coluna de A sendo os coeficientes dessa comca
bina¸˜o linear as componentes do vector-coluna j de B.
ca
Nota 3. Analogamente ao anteriormente exposto, a linha i da matriz
produto AB




i  −−

−− · · ·





−−  


|
|
.
.
.

| ··· |
| ··· |
. .. .
.
. .
.
.
| | ··· |





 
 
=
  −− −−




linha i de (A.B) =



ai1 ai2 · · · ain







b11
b21
.
.
.
bn1

=

···




−−  i



b12 · · · b1p
b22 · · · b2p 

. ..
. 
.
. . 
.
. 
bn2 · · · bnp

ai1 b11 + ai2 b21 + ... + ain bn1 · · · ai1 b1p + ai2 b2p + ... + ain bnp

= ai1

b11 · · · b1p

+ · · · + ain

bn1 · · · bnp

combina¸˜o linear dos vectores-linha de B e os coeficientes dessa combina¸˜o
ca
ca
linear s˜o as componentes do vector-linha i de A.
a

13
1.3

Inversa de uma Matriz Quadrada

Dada um n´mero (real ou complexo) n˜o-nulo temos sempre garantida a
u
a
existˆncia (em IR ou C) do respectivo inverso multiplicativo. Recordemos a
e
defini¸˜o de inverso multiplicativo de um elemento, por exemplo, em IR.
ca
Dado a ∈ IR, a = 0, o elemento b ∈ IR que satisfaz
ab = ba = 1
diz-se o inverso multiplicativo de a e escreve-se b = a−1 .
Agora com matrizes...
Dada uma matriz A procuramos uma matriz B que satisfa¸a
c
An×? . B?×n = In = B?×n . An×? .
For¸osamente
c
? = n.
Logo s´ faz sentido falar em matriz inversa para uma dada matriz quadrada.
o
(1.3 a) Defini¸˜o.
ca
Uma matriz A quadrada de ordem n diz-se invert´
ıvel se
existir uma matriz B quadrada de ordem n tal que
AB = BA = In .

Consequˆncias imediatas da defini¸˜o.
e
ca
(I) A matriz 0n n˜o ´ invert´
a e
ıvel.
(Para A = 0n e B ∈ Mn×n (K) arbitr´ria
a
AB = 0n B = 0n
donde 0n n˜o ´ invert´
a e
ıvel.)

14
(II) A matriz A =

1 2
2 4

´ n˜o-invert´
e a
ıvel. Pelo facto de existir

2
6
−1 −3

tal que
1 2
2 4

2
6
−1 −3

=

0 0
0 0

se A fosse invert´
ıvel, existiria A−1 e
A−1

1 2
2 4

2
6
−1 −3

= A−1

2
6
−1 −3

= 02×2

= 02×2

2
6
−1 −3

I2

0 0
0 0

= 02×2

o que contradiz a defini¸˜o de igualdade entre duas matrizes.
ca
(III) A matriz In ´ invert´ j´ que
e
ıvel a
In In = In .
Pergunta 1. Em que condi¸˜es uma dada matriz admitir´ inversa?
co
a
Pergunta 2. Como calcular, quando existe, a inversa de uma dada
matriz?
Mas, mesmo antes de responder a estas quest˜es, podemos demonstrar
o
algumas propriedades da inversa de uma matriz.

(1.3 b) Teorema. Para A ∈ Mn×n (K) existe no m´ximo uma matriz
a
B ∈ Mn×n (K) tal que
AB = BA = In .

Demonstra¸˜o. Comecemos por admitir a existˆncia de duas matrizes
ca
e
inversas de A e mostremos que s˜o iguais.
a
15
Para B, B ∈ Mn×n (K) satisfazendo
AB = BA = In
AB = B A = In
temos
B = B In = B (AB) = (B A)B = In B = B.
Logo existe, no m´ximo, uma matriz B nas condi¸˜es requeridas.
a
co
(1.3 c) Teorema. Para A e C matrizes quadradas de ordem n
invert´
ıveis o produto AC ´ tamb´m invert´ e
e
e
ıvel
(AC)−1 = C −1 A−1 .

Demonstra¸˜o. Verifiquemos que C −1 A−1 satisfaz as condi¸˜es exigidas
ca
co
para que seja a inversa de AC. De facto, temos
(AC)(C −1 A−1 ) = A(CC −1 )A−1 = AIn A−1 = AA−1 = In .
De modo an´logo
a
(C −1 A−1 )(AC) = C −1 (A−1 A)C = C −1 In C = C −1 C = In .
Logo podemos concluir que AC ´ invert´
e
ıvel j´ que C −1 A−1 satisfaz as
a
condi¸˜es para ser a inversa de AC.
co

1.4

Transposi¸˜o de Matrizes
ca

(1.4 a) Defini¸˜o.
ca
Dada uma matriz A =
AT =

bk

aij

∈ Mm×n (K) a matriz

∈ Mn×m (K) com
bk = a

k

, k = 1, ..., n; = 1, ..., m

diz-se a transposta de A.
A matriz A diz-se sim´trica se A = AT .
e
16
Notas.
i.
ii.

A coluna i da AT ´ precisamente a linha i de A, para i = 1, ..., m.
e
Uma matriz ´ sim´trica sse for quadrada e forem iguais os elementos
e
e
situados em posi¸˜es sim´tricas relativamente ` diagonal principal.
co
e
a

(1.4 b) Proposi¸˜o. A transposi¸˜o de matrizes goza das seguintes
ca
ca
propriedades:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)

(AT )T = A
(A + B)T = AT + B T
(αA)T = αAT , para α elemento de K
(AB)T = B T AT
(Ak )T = (AT )k , para k natural
Se A for invert´
ıvel, AT tamb´m o ´, tendo-se
e
e
(AT )−1 = (A−1 )T .

Demonstra¸˜o. E deixada como exerc´
ca ´
ıcio.
(1.4 c) Defini¸˜o.
ca
Uma matriz quadrada diz-se ortogonal se for invert´ e
ıvel
as respectivas inversa e transposta coincidirem
A−1 = AT (A ortogonal).

(1.4 d) Defini¸˜o.
ca
Para A = aij
´ a matriz
e

m×n

matriz complexa, a conjugada de A

¯
A=

aij
¯

m×n

.

Escrevemos
A∗
¯
para representar AT .
Uma matriz diz-se herm´
ıtica sempre que
A = A∗ .
17
(1.4 e) Proposi¸˜o. As matrizes complexas gozam das seguintes proca
priedades:
(1) (A∗ )∗ = A
(2) (A + B)∗ = A∗ + B ∗
(3) (αA)∗ = αA∗ , para α elemento de C
¯
(4) (AB)∗ = B ∗ A∗
(5) (Ak )∗ = (A∗ )k , para k natural
(6) Se A for invert´
ıvel, A∗ tamb´m o ´, tendo-se
e
e
(A∗ )−1 = (A−1 )∗ .
Demonstra¸˜o. E deixada como exerc´
ca ´
ıcio.

1.5

Determinantes

Pergunta 3. Ser´ poss´ associar a cada matriz um n´mero que dependa
a
ıvel
u
apenas de elementos da matriz e que nos permita decidir a existˆncia da
e
matriz inversa de uma dada matriz?
A resposta a esta quest˜o ´ afirmativa . Tal n´mero ´ chamado o detera e
u
e
minante da matriz.
O Determinante de uma matriz em M1×1 (K).
Um n´mero ´ invert´ sse for n˜o-nulo. Portanto uma matriz 1 × 1 ´
u
e
ıvel
a
e
invert´ sse for n˜o-nula. (Mas, para matrizes de ordem superior tal j´ n˜o
ıvel
a
a a
se verifica.)
Para A =

a

det A = det

∈ M1×1 (K) p˜e-se
o
a

= |a| = a

e chama-se determinante de A.
Conclus˜o. Uma matriz A =
a
pectivo determinante for n˜o-nulo.
a

a

18

∈ M1×1 (K) ´ invert´ sse o rese
ıvel
O determinante de uma matriz em M2×2 (K).
3 −13
−2
9

Reparemos que dada A =
A

se tem

B

3 −13
−2
9
9 13
2 3

9 13
2 3

=

1 0
0 1

3 −13
−2
9

=

1 0
0 1

B

A

9 13
foi obtida a partir da matriz A trocando
2 3
entre si os elementos da diagonal principal e mudando o sinal dos restantes
elementos.

onde a matriz B =

5 −8
2 −3

se verifica

−3 8
−2 5

5 −8
2 −3

=

1 0
0 1

5 −8
2 −3

Ainda para A =

−3 8
−2 5

=

1 0
0 1

.

Pod´
ıamos, ent˜o, ser levados a pensar que a inversa de uma matriz
a
A=

a b
c d

se poderia obter trocando entre si a e d e mudando o sinal a c e a b. Mas o
facto de se ter
a b
c d

d −b
−c a

=

ad − bc
0
0
ad − bc

leva-nos a ter um momento de reflex˜o. Tal procedimento levar-nos-ia, imea
diatamente, ` inversa de A somente no caso de ad−bc = 1. E se ad−bc = 1?
a
Ser´ que poderemos ainda determinar a inversa de A?
a
19
Caso 1. Seja D = ad − bc = 0.
Basta agora colocar
d
D
c
−D

b
−D
a
D

para obter
d
D
c
−D

b
−D

a b
c d

a
D

d
D
c
−D

a b
c d

b
−D
a
D

= I2
= I2 .

Caso 2. Seja D = ad − bc = 0.
Ent˜o a matriz A n˜o admite inversa. Suponhamos que existia A−1 ,
a
a
matriz inversa de A. Ter´
ıamos
d −b
−c a

d −b
−c a

= I2

= (A−1 A)

= A−1 (A

d −b
−c a
d −b
)
−c a

= A−1 02 = 02
o que contradiz a defini¸˜o de igualdade entre duas matrizes.
ca
a c
∈ M2×2 (K) admite inversa sse
b d
D = ad − bc = 0. O n´mero D diz-se o determinante de A.
u
Conclus˜o. A matriz A =
a

(1.5 a) Nota¸˜es. Usa-se
co
det A = det

aij

=

a11 a12
= a11 a22 − a12 a21
a21 a22

para representar este n´mero de K.
u
20
(1.5 b) Exemplo. Temos
det

2 1
1 4

= 8 − 1 = 7,

det

−2 −3
4
5

= −10 + 12 = 2.

(1.5 c) Observa¸˜o.
ca
O determinante de A est´, como vimos, relacionado com a existˆncia e
a
e
o c´lculo da inversa de uma matriz A. Mas a importˆncia do determinante
a
a
n˜o se esgota aqui. Por exemplo, dado o paralelograma P
a






∆

a12

2
 R



(a21 , a22 )

¢




P
¢
 ∆

1¢

(a11 , a12 )



I
¢

a22

¢




 ¢

 ¢



∆2

 ¢





¢

a21

∆1
R

a11

temos
(a11 + a21 )(a12 + a22 ) = ´rea P + 2 ´reaR + 2 ´rea∆1 + 2 ´rea∆2
a
a
a
a
´rea P = (a11 + a21 )(a12 + a22 ) − 2a12 a21 − 2 (1/2)a21 a22 − 2 (1/2)a11 a12
a
= a11 a22 − a12 a21
= det

a11 a12
a21 a22

.

21
Algumas Propriedades dos Determinantes em M2×2 (K)
(d1 ) Para a, b, c, d, b , d , α ∈ K temos
a b+b
c d+d

det

det

= det

αa b
αc d

a b
c d

+ det

a b
c d

.

a b
c d

=α

(d2 ) Se as duas colunas de uma matriz forem iguais o determinante da matriz
´ igual a zero.
e
(d3 ) Para a matriz identidade de ordem 2 temos
det

1 0
0 1

= 1.

Demonstra¸˜o.
ca
(d1 ) Temos
det

a b+b
c d+d

= a(d + d ) − c(b + b )
= ad − bc + ad − b c
a b
= det
+ det
c d

det

αa b
αc d

a b
c d

;
a b
c d

= (α a)d − (α c)b = α (ad − bc) = α det

´
( Nota. E imediato que, para a, a , b, b , c, c , d, d , α ∈ K, temos ainda
i.
det

a+a
c+c

b
d

= det

a b
c d

+ det

a
c

b
d

;

ii.
det

a αb
c αd

= α det

22

a b
c d

= det

αa b
αc d

;
iii.
det(α

a b
) = α2 det
c d

a b
c d

. )

(d2 ) Temos
det

a a
c c

= ac − ac = 0.

O determinante de uma matriz em M2×2 (K) satisfaz ainda outras propriedades adicionais. Vejamos algumas.
(1.5 d) Proposi¸˜o.
ca
Em M2×2 (K)
(1) se adicionarmos um m´ltiplo de uma coluna ` outra o valor do
u
a
determinante n˜o se altera;
a
(2) se trocarmos entre si as colunas o determinante muda de sinal.
(3) Os determinantes de uma matriz A e da respectiva transposta
coincidem, isto ´, detA = detAT .
e
Demonstra¸˜o.
ca
(1.) Temos
a b + αa
c d + αc

= det

a b
c d

+ det

= det

a b
c d

+ α det

= det

det

a b
c d

.

a αa
c αc
a a
c c

(2.) Temos
det

b a
d c

= bc − ad = −(ad − bc) = −det

a b
c d

a c
b d

.

(3.) Temos
det

= (ad − bc) = det

23

a b
c d

.
O determinante de uma matriz em M3×3 (K).




a11 a12 a13


Seja A =  a21 a22 a23  . Vamos definir det A de acordo com a
a31 a32 a33
f´rmula
o
det A = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 −
−a31 a22 a13 − a32 a23 a11 − a33 a21 a12

(1)

que pode ser facilmente obtida atendendo aos seguintes diagramas:
Diagrama 1.
+

+

+

-

-

 
 
d 
 
 d a11
d
d
a11
a12
a13
a12 
 
d 
d 
d
 
 d
 d
d
a21
a 
a23
d
d  a21   a22
d22
 d
 d
 d
d
a31   a32 d a33   31 dd
a
a32
©d
 d
©‚
 
©
‚
‚

d

d

-

Diagrama 2.
termos com sinal +

termos com sinal r 
e re  
   r
e r
r  e 
r
e e
  err
    e

d ¡d ¡
¨¨
¨
¡ ¨
¨d ¡d
d
d¡¨¨
¡
¨ ¡d
¡d d

´
E imediato que
5 −1 3
1 2 0
0 1 1

= (5)(2)(1) + (−1)(0)(0) + (1)(1)(3)−
−(0)(2)(3) − (1)(−1)(1) − (5)(1)(0)
= 10 + 3 + 1 = 14.
24
(1.5 e) Observa¸˜es.
co
´
(1) E tamb´m imediato que
e


det AT



a11 a21 a31


= det  a12 a22 a32 
a13 a23 a33
= a11 a22 a33 + a13 a21 a32 + a12 a23 a31
−a13 a22 a31 − a11 a23 a32 − a12 a21 a33
= det A

logo a propriedade (3) da proposi¸˜o (1.5d) continua a ser satisca
feita para matrizes de M3×3 (K).
(2) Mas os diagramas usados para os casos n = 2 e n = 3 n˜o se revea
lam t˜o uteis e simples para ordens superiores. No entanto, existe
a ´
outra estrat´gia para a defini¸˜o que vai ser de f´cil generaliza¸˜o.
e
ca
a
ca
(3) Podemos, por exemplo, reagrupar os termos de (1) do seguinte
modo (evidenciando os elementos da coluna 1.)




a1 b1 c1


det A = det  a2 b2 c2 
a3 b3 c3
= a1 (b2 c3 − b3 c2 ) − a2 (b1 c3 − b3 c1 ) + a3 (b1 c2 − b2 c1 )
b c
b c
b c
= a1 2 2 − a2 1 1 + a3 1 1 .
(2)
b3 c3
b3 c3
b2 c2
(4) De modo idˆntico e reagrupando de acordo com as restantes coe
lunas ou linhas , poder´
ıamos obter outros cinco diferentes desenvolvimentos. Por exemplo, de acordo com os elementos da linha
3, ter´
ıamos
det A = a3

b1 c1
a c
a b
− b3 1 1 + c3 1 1 .
b2 c2
a2 c2
a2 b2

(3)

A f´rmula (2) diz-se um desenvolvimento em coluna do det A (em
o
rela¸˜o ` coluna 1) sendo (3) um desenvolvimento em linha do
ca a
det A (relativamente ` linha 3).
a
(5) Em cada caso os 2 × 2-determinantes (determinantes de matrizes
2 × 2) que aparecem nas f´rmulas dizem-se menores do det A
o
da entrada pela qual est˜o a ser multiplicados. Deste modo, por
a
25
exemplo, o menor de a1 ´ o determinante da matriz que se obt´m
e
e
de A eliminando a linha e a coluna onde a1 se encontra, isto
´, a linha 1 e a coluna 1. Semelhantemente, o menor de c2 em
e
a1 b1 c1
a b
a2 b2 c2 ´ 1 1 .
e
a3 b3
a3 b3 c3
(6) A cada menor est´ associado um sinal determinado pela posi¸˜o
a
ca
do elemento e de acordo com a seguinte tabela
+ − +
− + − .
+ − +
Olhando para a tabela podemos dela tirar uma regra:
O sinal que vai afectar o menor do (i, j) -elemento ´ o
e
sinal de (−1)i+j . Deste modo, se i+j for par o sinal +
ir´ afectar o menor da (i, j) -entrada da matriz. Sempre
a
que i + j seja ´
ımpar o sinal que ir´ afectar o menor ser´
a
a
−.
e
(7) Tal leva-nos ao conceito de co-factor ou complemento alg´brico
de uma entrada da matriz A.
O co-factor ou complemento alg´brico da (i, j)-entrada
e
´ igual a
e
(−1)i+j × (menor da (i, j) − entrada).




a1 b1 c1


Por exemplo, para A =  a2 b2 c2 
a3 b3 c3
complemento alg´brico de a1 = (−1)1+1
e

b2 c2
b c
= 2 2
b3 c3
b3 c3

complemento alg´brico de c2 = (−1)2+3
e

a1 b1
a b
=− 1 1 .
a3 b3
a3 b3

(8) Usando as no¸˜es agora estabelecidas podemos descrever o deco
senvolvimento de det A para A ∈ M3×3 (K)3 em colunas ou em
linhas de acordo com a seguinte f´rmula (Teorema de Laplace):
o
O det A ´ igual ` soma dos produtos das entradas de
e
a
uma coluna (ou linha) pelos respectivos complementos
alg´bricos.
e
26
Por exemplo, usando o desenvolvimento em coluna (na primeira)
obtemos
5 −1 3
2 0
−1 3
−1 3
1 2 0 =5
−1
+0
= 10 + 4 = 14
1 1
1 1
2 0
0 1 1
obtendo-se o mesmo valor ao efectuarmos o desenvolvimento em
linha (por exemplo, na segunda)
5 −1 3
−1 3
5 3
5 −1
1 2 0 = −1
+2
−0
= 4 + 10 = 14.
1 1
0 1
0 1
0 1 1

´
(1.5 f) Nota. E agora imediato estabelecer em M3×3 (K) a validade
de uma proposi¸˜o correspondente a 1.5 d.
ca

O determinante de uma matriz em Mn×n (K), para n ≥ 4 .
Suponhamos que a no¸˜o de determinante de uma matriz est´ j´ definida
ca
a a
para matrizes de ordem at´ n − 1.
e
representemos por
Dada uma matriz A = aij
n×n

Aij

a (n − 1) × (n − 1)-matriz obtida
de A por supress˜o
a
da linha i e da coluna j

Deste modo podemos definir
i.

o menor de aij como sendo det Aij ;

ii.

o complemento alg´brico (co-factor ) de aij como sendo (−1)i+j detAij .
e

´
E poss´ demonstrar que as somas
ıvel
n

(−1)i+j aij det Aij ,

i=1

27

(j ´ constante)
e
n

(−1)i+j aij det Aij ,

(i ´ constante)
e

j=1

tˆm o mesmo valor seja qual for o j escolhido na primeira e o i escolhido na
e
segunda.
A primeira d´-nos o desenvolvimento na coluna j e a segunda d´-nos o
a
a
desenvolvimento na linha i do det A. Deste modo podemos tomar cada uma
destas somas para estabelecer a defini¸˜o de
ca
det A
para o caso geral de uma matriz A ∈ Mn×n (K), para n natural arbitr´rio.
a
(1.5 g) Defini¸˜o.
ca
Para A ∈ Mn×n (K), para n natural arbitr´rio,
a
n

det A =

(−1)i+1 ai1 det Ai1

i=1

diz-se o desenvolvimento de det A na coluna 1 de A.

(1.5 h) Exemplo. Para n = 4 temos
a22 a23 a24
a12 a13 a14
det A = a11 a32 a33 a34 − a21 a32 a33 a34
a42 a43 a44
a42 a43 a44

+a31

a12 a13 a14
a12 a13 a14
a22 a23 a24 − a41 a22 a23 a24 .
a42 a43 a44
a32 a33 a34

assim





det 

1
2
−1
1



2 −1 1
5 0 2
2 0 2
5 0 2 

 = 1 0 6 0 − 2 −1 6 0
0 6 0 
2 0 3
1 0 3
2 0 3
2 5 2
2 5 0
+(−1) −1 0 0 − 1 −1 0 6
1 2 3
1 2 0
= (90 − 24) − 2(36 − 12) − (11) − 6 = 1.
28
Mas o c´lculo ´ muito mais r´pido se efectuarmos um desenvolvimento em
a
e
a
coluna, por exemplo, na coluna 3. De facto,





det 

1
2
−1
1



2 −1 1
2 5 2
1 2 1
5 0 2 

 = −1 −1 0 0 + 6 2 5 2
0 6 0 
1 2 3
1 0 3
2 0 3
= (−1)(−4 + 15) + 6(15 + 4 + 4 − 5 − 4 − 12)
= −11 + 12 = 1.

Algumas Propriedades
(I)

O determinante de uma matriz diagonal ´ igual ao produto
e
das entradas da diagonal principal.
(Tamb´m para n = 4 temos
e



det 


a
0
0
0

0
b
0
0

0
0
c
0

0
0
0
d




b 0



 = a det  0 c




0

0  = a.bcd = abcd
0 0 d

conforme requerido. O caso geral demonstra-se por indu¸˜o.)
ca
Em particular, para as matrizes elementares do tipo
Di (α), i = 1, ..., n, α ∈ K






det Di (α) = det 





(II)



1 0 ··· 0 ··· 0
0 1 ··· 0 ··· 0 

. . ..
. .. . 
. .
.
. 
. .
. . 
. .
 = α.
0 0 ··· α ··· 0 

. . ..
. .. . 
. .
. .
. . 
. .
.
.
0 0 ··· 0 ··· 1

Tamb´m para as matrizes elementares do tipo Eij (α) temos
e
det Eij (α) = 1, i, j = 1, ..., n, α ∈ K.

29
(Por exemplo, para n = 4, i = 3, j = 2 temos
1
0
det E32 (α) =
0
0

0
1
α
0

0
0
1
0

0
1 0 0
0
1 0
= 1 α 1 0 = 1.1
=1
0
0 1
0 0 1
1

tendo, no terceiro passo, sido efectuado um desenvolvimento na 1a
linha.
O resultado geral demonstra-se por indu¸˜o.
ca
(III) Finalmente
det Pij = −1.
(De facto, para n = 4, i = 2, j = 4 temos

det P24

1
0
=
0
0

0
0
0
1

0
0
1
0

0
0 0 1
1
= 1 0 1 0 = 1(−1) = −1.)
0
1 0 0
0

Mais uma vez o resultado geral demonstra-se por indu¸˜o.
ca
´
E ainda usando o Princ´
ıpio da Indu¸˜o que se demonstra a validade do
ca
seguinte teorema.
(1.5 i) Teorema. O determinante satisfaz as seguintes propriedades:
(d1 ) Se para j = 1, ..., n representarmos por A(j) a coluna j da matriz A
e se para um certo i ∈ {1, ..., n}, a coluna A(i) for a soma de dois
vectores-coluna, A(i) = C + C , ent˜o
a
A(1) · · · C + C

· · · A(n)

= det

A(1) · · · C · · · A(n)

+ det

det

A(1) · · · C

· · · A(n)

Para α ∈ K e A(i) = αC
det

A(1) · · · αC · · · A(n)

30

= α det

A(1) · · · C · · · A(n)

.

.
(d2 ) Se para j = i as colunas A(i) e A(j) da matriz A forem iguais ent˜o
a
det A = 0.
(d3 ) Para n arbitr´rio, det In = 1.
a
Este teorema pode (e ´ usualmente) utilizado para definir a fun¸˜o dee
ca
terminante
det : Mn×n (K) → K
A → det A, A ∈ Mn×n (K),
impondo que ela satisfa¸a (d1 ), (d2 ), (d3 ).
c
Para n ∈ I arbitr´rio, a propriedade correspondente ` Prop.1.5 d pode
N
a
a
agora ser estabelecida.
(1.5 j) Proposi¸˜o. Em Mn×n (K) tem-se
ca
(1) O determinante de uma matriz e da respectiva transposta coincide.
(2) Para i, j naturais, ao trocarmos entre si as colunas A(i) e A(j) da
matriz A, o determinante da matriz assim obtida ´ o sim´trico
e
e
do detA.
ca a
(3) Seja B a matriz obtida de A por adi¸˜o ` coluna i de A do
m´ltiplo-λ da coluna j de A. Ent˜o detA = detB.
u
a
Demonstra¸˜o.
ca
(1) Trata-se de uma consequˆncia imediata da defini¸˜o de determie
ca
nante. O desenvolvimento do determinante da matriz AT segundo
a linha i coincide com o desenvolvimento do determinante da matriz A segundo a coluna i.
(2) Atendendo a (d2 ) ao substituirmos as colunas A(i) e A(j) por
A(i) + A(j) obtemos uma matriz com duas colunas iguais e logo
de determinante igual a zero. Deste modo,

31
0 = det

A(1) · · · A(i) + A(j) · · · A(i) + A(j) · · · A(n)

= det

A(1) · · · A(i) · · · A(i) · · · A(n)

+det

A(1) · · · A(j) · · · A(j) · · · A(n)

+det

A(1) · · · A(i) · · · A(j) · · · A(n)

+det A(1) · · · A(j) · · · A(i) · · · A(n)
donde o requerido.
(3) Para A =

A(1) · · · A(i) · · · A(j) · · · A(n)

A(1) · · · A(i) + λA(j) · · · A(j) · · · A(n)
Atendendo a (d2 ) tem-se
B=

detB = det

A(1) · · · A(i) · · · A(j) · · · A(n)

+det

A(1) · · · λA(j) · · · A(j) · · · A(n)

= det

A(1) · · · A(i) · · · A(j) · · · A(n)

+

+

+λ det A(1) · · · A(j) · · · A(j) · · · A(n)
= detA + 0 = detA
j´ que a segunda matriz tem duas colunas iguais.
a
Ainda Algumas Propriedades de Determinantes
Exerc´
ıcio.
Para A ∈ Mn×n (K), i, j = 1, ..., n, α ∈ K
descreva em fun¸˜o da matriz A as matrizes
ca
Eij (α)A
A Eij (α)
ii.

.

A(1) · · · A(i) + λA(j) · · · A(j) · · · A(n)

= det

i.

tem-se

Di (α)A

Pij A

A Di (α)

A Pij ;

prove que
det (Eij (α)A) = det Eij (α) det A
det (Di (α) A) = det Di (α) detA
det (Pij A) = det Pij detA.

32

=
Cap´
ıtulo 2

Sistemas de Equa¸oes
c˜
Lineares
2.1

Generalidades

(2.1 a) Defini¸˜o.
ca
Uma equa¸˜o linear em (ou nas inc´gnitas) x1 , x2 , ..., xn
ca
o
´ uma igualdade do tipo
e
a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn = b
onde a1 , a2 , ..., an e b s˜o elementos (n´meros) de K.
a
u
A
x1 , x2 , ..., xn chamamos inc´gnitas, sendo
o
a1 , a2 , ...an os coeficientes das inc´gnitas e
o
b o segundo membro ou termo independente.
(2.1 b) Defini¸˜o.
ca
Um sistema de equa¸˜es lineares ´ uma colec¸˜o finita de
co
e
ca
equa¸˜es lineares.
co

33
Um sistema de m equa¸˜es em n inc´gnitas
co
o

 a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1




a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = b2

 ···




am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn = bm
n

aij xj = bi , i = 1, ..., m
j=1

pode representar-se abreviadamente na forma matricial
Ax = b
onde



A=



a11
a21
.
.
.

a12
a22
.
.
.

···
···
..
.

a1n
a2n
.
.
.

am1 am2 · · · amn













x=



,













,b = 



xn

m×n

matriz do sistema

x1
x2
.
.
.

n×1

matriz-coluna

b1
b2
.
.
.
bm







m×1

segundo membro

das inc´gnitas
o
(2.1 c) Defini¸˜o.
ca
Uma solu¸˜o do sistema de equa¸˜es lineares nas inc´gnitas
ca
co
o
x1 , ..., xn ´ uma sequˆncia ordenada de n´meros
e
e
u
α1 , ..., αn
tais que as substitui¸˜es
co
xi = αi , i = 1, ..., n
transformam todas as equa¸˜es em identidades.
co
Resolver um sistema de equa¸˜es lineares ´ determinar todas as solu¸˜es
co
e
co
ou provar que n˜o existe solu¸˜o.
a
ca

34
Tipos de sistemas relativamente ao n´ mero de solu¸˜es.
u
co
Um sistema que admite pelo menos uma solu¸˜o diz-se poss´
ca
ıvel
(Diz-se determinado se s´ tiver uma, indeterminado se tiver mais
o
do que uma). Um sistema de equa¸˜es que n˜o tenha qualquer
co
a
solu¸˜o diz-se imposs´
ca
ıvel.
Interpreta¸˜o geom´trica no caso K = IR e m = n = 2
ca
e
Seja dado o sistema
ax + by = c
a x+b y =c
y

com a = 0 ou b = 0
com a = 0 ou b = 0
y

d

d

d

d ¨
¨¨
¨ d
d
¨¨

¨¨

 

¨¨

 

 
 

x

d

 

d

 

 

d

d
d

x

y

d
d

d
d

d

d
d

 

sistema poss´
ıvel
determinado
(rectas concorrentes)

d
x
d

d

 

 

d

d
d

sistema poss´
ıvel
indeterminado
(rectas coincidentes)

sistema imposs´
ıvel
(rectas paralelas)

(2.1 d) Defini¸˜o.
ca
Sistemas com o mesmo n´mero de equa¸˜es e inc´gnitas
u
co
o
dizem-se equivalentes se tiverem exactamente as mesmas
solu¸˜es.
co
 

 

Directos

 

M´todos de Resolu¸˜o  
e
ca
de sistemas
de equa¸˜es lineares d
co

d

d

d

Iterativos (An´lise Num´rica)
a
e

35
2.2

O Algoritmo de Elimina¸˜o de Gauss (m´todo
ca
e
directo)

Ideia B´sica do M´todo: os sistemas (cujas matrizes sejam) triangulares
a
e
(ou em escada) resolvem-se facilmente por substitui¸˜o ascendente.
ca

 2x + 3y − 4z = 1


2y + 5z = −3

 z = 3/2
2z = 3

 x = ...

2y + 5 × 3/2 = −3
y = −21/4 .)

 z = 3/2
z = 3/2

(Por exemplo













Objectivo. Desenvolver um algoritmo para transformar o sistema dado
noutro equivalente cuja matriz seja (triangular) em escada.

 −2x + y + z = 1


(L1 )
4x + 2y − 3z = 0
(L2 )

 −2x − 3y + 5z = 5
(L3 )
vamos efectuar uma sequˆncia de passos-elementares que o transforme num
e
sistema equivalente de matriz (triangular) em escada.
Dado o sistema

Um passo elementar no m´todo de elimina¸ao de Gauss consiste na
e
c˜
adi¸˜o membro a membro a uma equa¸˜o de um m´ltiplo de outra de forma
ca
ca
u
a que, na equa¸˜o obtida, seja nulo o coeficiente de certa inc´gnita. Diz-se
ca
o
ent˜o que se eliminou essa inc´gnita da equa¸˜o.
a
o
ca
Parte Descendente do M´todo
e

 −2x + y + z = 1


(L1 )
4x + 2y − 3z = 0
(L2 )

 −2x − 3y + 5z = 5
(L3 )

 −2=0 x + y + z = 1




4=0 y − z = 2
−4 y + 4z = 4

(L1 = L1 )
(L2 = L2 − (−2L1 ))
(L3 = L3 − L1 )

36

 −2=0 x + y + z = 1


4=0




(L1 = L1 )
(L2 = L2 )
a
(L3 = L3 − ( a32 )L2 )

y−z =2
3z = 6

22

(Por exemplo, sendo a11 = 0 a adi¸˜o ` segunda equa¸˜o da
ca a
ca
21
primeira multiplicada por − a11 elimina a inc´gnita x1 da seo
a
gunda equa¸˜o.)
ca
Em seguida, passamos a eliminar a inc´gnita x2 de todas as equa¸˜es
o
co
a partir da 3a - para o qual ´ necess´rio que a22 (o novo coeficiente de x2
e
a
na 2a equa¸˜o) seja n˜o-nulo. Este processo repete-se at´ n˜o ser poss´
ca
a
e a
ıvel
continu´-lo mais. Os n´meros n˜o-nulos
a
u
a
a11 , a22 , ...
chamam-se pivots da elimina¸˜o.
ca
No presente caso em estudo h´ 3 pivots havendo 3 equa¸˜es e 3 inc´gnitas.
a
co
o
Parte Ascendente do M´todo
e
No caso em estudo

 −2=0 x + y + z = 1






4=0 y − z = 2

3z = 6  z = 2









 −2x + 1 + 2 = 1  x = 1



4y − 2 = 2


 z=2

y=1

y=1


 z=2


 z=2

e logo o sistema ´ poss´ e determinado admitindo a solu¸˜o unica {(1, 1, 2)}.
e
ıvel
ca ´

Algoritmo de Elimina¸˜o de Gauss
ca
Seja dado um sistema de m equa¸˜es em n inc´gnitas
co
o

 a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1


 a x + a x + ... + a x = b
21 1
22 2
2n n
2

···




am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn = bm
37

(L1 )
(L2 )
···
(Lm )
i.

Se a11 = 0, considere
L1 = L1
L2 = L2 −
.
.
.

a21
a11

Lm = Lm −

L1

passos elementares
do m´todo
e

am1
a11

L1

Deste modo, a inc´gnita x1 ´ eliminada de todas as equa¸˜es a partir
o
e
co
da segunda.
ii.

iii.

Seja agora a22 o coeficiente de x2 na segunda equa¸˜o do sistema
ca
(equivalente ao dado pelo Teorema (??) e obtido em (i.)). Se a22 = 0,
usando um processo ao descrito em (i.), elimine a inc´gnita x2 em
o
todas as equa¸˜es do novo sistema a partir da 3a equa¸˜o.
co
ca
E o processo ´ repetido enquanto poss´
e
ıvel.

Nota. Caso apare¸a um zero na posi¸˜o em que devia estar um pivot,
c
ca
procura-se resolver o problema trocando a respectiva equa¸˜o por uma outra
ca
situada abaixo dela. Se nenhuma troca resolver o problema, o pivot passa a
ser procurado entre os coeficientes da inc´gnita seguinte.
o
(2.2 a) Teorema. Cada passo elementar do m´todo de elimina¸˜o de
e
ca
Gauss transforma um sistema noutro equivalente.
Demonstra¸˜o. Cada passo elementar pode ser descrito matricialmente
ca
pela multiplica¸˜o ` esquerda por uma matriz elementar do tipo Eij (α).
ca a
Basta ent˜o reparar que Eij (α)−1 = Eij (−α).
a
(Por exemplo, a elimina¸˜o de x1 na segunda linha ´ efectuada pela
ca
e
multiplica¸˜o ` esquerda por
ca a
E21 (−

a21
).
a11

A partir do sistema
Ax = b

(1)

obtemos o sistema
E21 (−

a21
a21
)Ax = E21 (−
) b.
a11
a11

(2)
38
Se x0 for solu¸˜o de (1) ´ imediatamente solu¸˜o de (2). Agora se x1 for
ca
e
ca
a21
solu¸˜o de (2) ent˜o por multiplica¸˜o de (2) por E21 ( a11 ) obtemos
ca
a
ca
Ax1 = b
e logo x1 ´ tamb´m solu¸˜o de (1).)
e
e
ca
Do processo de elimina¸˜o de Gauss resulta um sistema equivalente
ca
Ux = c
cuja matriz U (que ´ ainda do tipo m × n) tem uma forma especial e que se
e
diz matriz-em-escada.
(2.2 b) Defini¸˜o.
ca
Uma matriz diz-se uma matriz-em-escada (de linhas) sempre que satisfa¸a:
c
(1) Se o primeiro elemento n˜o-nulo numa linha esa
tiver na coluna j ent˜o a linha seguinte come¸a
a
c
com, pelo menos, j elementos nulos.
ıdas por ze(2) Se houver linhas totalmente constitu´
ros, elas aparecem depois das outras.
(Pela pr´pria defini¸˜o, as matrizes triangulares superiores de elementos
o
ca
diagonais n˜o-nulos s˜o matrizes-em-escada.)
a
a






• ∗ ∗

 
∗  


0 0 •


 0 •

•
0
0
0
0

∗
0
0
0
0

∗
•
0
0
0

∗
∗
•
0
0

∗
∗
∗
0
0

∗
∗
∗
0
0

∗
∗
∗
•
0

Aqui
∗ designa um elemento arbitr´rio de K
a
• representa um elemento n˜o-nulo em K.
a

39



















•
0
0
0
0

∗
•
0
0
0

∗
∗
0
0
0








Com a obten¸˜o da matriz-em-escada U termina a parte descendente do
ca
m´todo de elimina¸˜o de Gauss.
e
ca
Neste momento verifica-se se o sistema obtido
Ux = c
´ poss´
e
ıvel, isto ´, verifica-se a n˜o-existˆncia de equa¸˜es com o primeiro
e
a
e
co
membro nulo e o segundo n˜o-nulo. Se o sistema for poss´ resolve-se de
a
ıvel
baixo para cima (parte ascendente do algoritmo) obtendo algumas inc´gnitas
o
(aquelas que est˜o a ser multiplicadas por pivots) em fun¸˜o das restantes.
a
ca
`
As primeiras chamamos inc´gnitas principais ou b´sicas e `s outras (que
o
a
a
podem tomar qualquer valor em K) chamamos inc´gnitas n˜o-principais
o
a
ou livres.
Casos Poss´
ıveis no final da Elimina¸˜o (para m = n)
ca
(1) H´ n pivots.
a
O sistema Ux = c ´ do tipo
e

 a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = ˜1
˜
˜
b
 ˜


˜2

a22 x2 + ... + a2n xn = b
˜
˜
.
.


.



ann xn = ˜n
˜
b
e por substitui¸˜o ascendente obtemos a solu¸˜o unica. O sistema
ca
ca ´
´ poss´
e
ıvel e determinado.
(2) H´ k pivots com k  n.
a
As ultimas equa¸˜es do sistema obtido s˜o do tipo 0 = 0 ou 0 = a
´
co
a
com a = 0.
a. H´ pelo menos uma equa¸˜o do tipo 0 = a com a = 0. Neste
a
ca
caso o sistema ´ imposs´
e
ıvel.
b. Considere as primeiras k equa¸˜es e passe as parcelas refeco
rentes `s n − k inc´gnitas livres para os segundos membros.
a
o
Resolva o sistema em rela¸˜o `s k inc´gnitas b´sicas. Obteca a
o
a
mos os valores das k inc´gnitas b´sicas em fun¸˜o das n − k
o
a
ca
inc´gnitas livres. Neste caso, o sistema ´ poss´
o
e
ıvel e indeterminado. Diz-se que o grau de indetermina¸˜o do sistema
ca
´
e
n − k.
n´mero de inc´gnitas
u
o
40

n´mero de pivots
u
(2.2 c) Exemplos.
(I) O sistema

 x − y + z = −2


−3x + 3y − z = 5


 2x − 2y + z = −1

 x − y + z = −2


0y + 2z = −1

 0y − z = 3

 x − y + z = −2


2z = −1

 0z = 5/2

(L1 )
(L2 )
(L3 )
(L1 = L1 )
(L2 = L2 + 3L1 )
(L3 = L3 − 2L1 )
(L1 = L1 = L1 )
(L2 = L2 )
(L3 = L3 + (1/2)L2 )

´ imposs´ (pela existˆncia da 3a equa¸˜o, ou seja, o n´mero de pivots ´
e
ıvel
e
ca
u
e
inferior ` caracter´
a
ıstica da matriz ampliada do sistema).
(II) No sistema

 x − y + z = −2


(L1 )
(L2 )
(L3 )

−3x + 3y − z = 5


 2x − 2y + z = −7/2

 x − y + z = −2


2z = −1


 −z = 1/2

 x − y + z = −2


2z = −1

 0z = 0

(L1 = L1 )
(L2 = L2 + 3L1 )
(L3 = L3 − 2L1 )
(L1 = L1 = L1 )
(L2 = L2 )
(L3 = L3 + (1/2)L2 )

para efeitos de determina¸˜o da solu¸˜o do sistema, esta ultima equa¸˜o
ca
ca
´
ca
0z = 0 ´ irrelevante j´ que qualquer valor de z satisfaz esta equa¸˜o.
e
a
ca
Comecemos por reparar que o n´mero de pivots, 2, ´ inferior ao n´mero
u
e
u
de inc´gnitas, 3, sendo x e z as inc´gnitas b´sicas (cujos coeficientes s˜o
o
o
a
a
pivots) e sendo y uma vari´vel livre.
a
x + z = −2 + y
z = −1/2

x = y − 3/2
z = −1/2

41
O conjunto das solu¸˜es (solu¸˜o geral) ´, portanto,
co
ca
e
{(y − 3/2, y, −1/2) : y ∈ IR}
sendo o grau de indetermina¸˜o do sistema ( igual ao n´mero de inc´gnitas
ca
u
o
livres), 1 = 3 − 2.

(2.2 d) Defini¸˜o.
ca
A caracter´
ıstica de A, car A, ´ o n´mero de pivots que
e
u
aparecem na matriz resultado da aplica¸˜o a A do m´todo
ca
e
de elimina¸˜o de Gauss.
ca
Equivalentemente, car A ´ o n´mero de linhas n˜o-nulas
e
u
a
da matriz-em-escada U produzida pelo algoritmo de elimina¸˜o de Gauss aplicado a A.
ca
Uma matriz quadrada, An×n diz-se n˜o-singular se tiver
a
caracter´
ıstica igual a n, isto ´, se a caracter´
e
ıstica e a ordem
coincidirem.
Se car An×n  n a matriz A diz-se singular.

No caso de A ∈ Mn×n (K) ser n˜o-singular, a matriz U ´ triangular
a
e
superior com os elementos diagonais n˜o-nulos (s˜o os n pivots).
a
a

Verific´mos que na aplica¸˜o do algoritmo de Gauss os coeficientes aij
a
ca
e os termos independentes s˜o alterados. Para simplificar a aplica¸˜o do
a
ca
m´todo ´ conveniente trabalhar com a seguinte matriz que se diz a matrize
e
ampliada do sistema.


A | b



= 



a11
a21
.
.
.

a12
a22
.
.
.

···
···
..
.

a1n
a2n
.
.
.

|
|

b1
b2
.
.
.

|
am1 am2 · · · amn | bm

42







Casos Poss´
ıveis no
Final da Parte Descendente do
Algoritmo de Elimina¸˜o de Gauss
ca
(An´lise da matriz-ampliada obtida)
a
A ∈ Mm×n (K)
car A  car A | b
Sistema Imposs´
ıvel






















• ∗ ∗ ∗
0 • ∗ ∗
0 0 • ∗
. . . ..
. . .
.
. . .
0 0 0 ···
0 0 0 ···
. . . ..
. . .
.
. . .

∗ ∗ ···
∗ ∗ ···
∗ ∗ ···
. . ..
. .
.
. .
• ∗ ···
0 0 ···
. . ..
. .
.
. .



∗
∗
∗
.
.
.

| ∗
| ∗ 

| ∗ 

. 
. 
| . 


∗ | ∗ 

0 | ∗ 


.
. | . 
. 
.
.

0 0 0 0 0 0 ··· 0 | • 

. . . .. . . .. .
. 
. . .
. . .
. . | . 
. . .
. .
.
.
0 0 0 0 0 0 ··· 0 | ∗

onde
e

• designa um elemento n˜o-nulo de K
a
∗ representa um elemento arbitr´rio em K.
a

A ∈ Mm×n (K)
car A = car A | b
Sistema Poss´
ıvel e Determinado
(n´mero de pivots = n´mero de inc´gnitas)
u
u
o
(s´ h´ vari´veis b´sicas)
o a
a
a










• ∗ ∗ ∗
0 • ∗ ∗
0 0 • ∗
. . . ..
. . .
.
. . .
0 0 0 ···







| ∗



| ∗ 



| ∗  ou 


. 


| . 
.


• | ∗


∗
∗
∗
.
.
.



• ∗ ∗ ∗
0 • ∗ ∗
0 0 • ∗
. . . ..
. . .
.
. . .
0 0 0 ···
0 0 0 ···
. . . ..
. . .
.
. . .
0 0 0

43

0

∗
∗
∗
.
.
.



| ∗
| ∗ 


| ∗ 

. 
| . 
.


• | ∗ 

0 | 0 

.
. 
. | . 
.
. 
0 | 0
A ∈ Mm×n (K)
car A = car A | b
Sistema Poss´
ıvel e Indeterminado
(n´mero de pivots  n´mero de inc´gnitas)
u
u
o
( h´ vari´veis livres)
a
a










• ∗ ∗ ∗
0 • ∗ ∗
0 0 • ∗
. . . ..
. . .
.
. . .
0 0 0 ···

∗ ∗ ···
∗ ∗ ···
∗ ∗ ···
. . ..
. .
.
. .
• ∗ ···

∗
∗
∗
.
.
.
∗




| ∗



| ∗ 



| ∗  ou 


. 


| . 
.


| ∗




• ∗ ∗ ∗
0 • ∗ ∗
0 0 • ∗
. . . ..
. . .
.
. . .
0 0 0 ···
0 0 0 ···
. . . ..
. . .
.
. . .
0 0 0

0

∗ ∗ ···
∗ ∗ ···
∗ ∗ ···
. . ..
. .
.
. .
• ∗ ···
0 0 ···
. . ..
. .
.
. .

∗
∗
∗
.
.
.

Decomposi¸˜o LU de uma matriz (Resolu¸˜o
ca
ca
de sistemas)

Dada uma matriz A ∈ Mn×n (K) ser´ poss´
a
ıvel (sempre?) escrevˆ-la como
e
um produto de duas matrizes
A = LU
onde
L ´ triangular inferior e
e
U ´ triangular superior?
e
E o mesmo acontecer´ com A ∈ Mm×n (K) ?
a
Caso I A matriz A ´ n˜o-singular.
e a
Analisemos a aplica¸˜o do m´todo de elimina¸˜o de Gauss ` resolu¸˜o
ca
e
ca
a
ca
do seguinte sistema
44



∗ | ∗ 

0 | 0 

.
. 
. | . 
.
. 
0 0 ··· 0 | 0

Todas as equa¸˜es com o 1o membro igual a zero tˆm tamb´m o 2o
co
e
e
membro igual a zero.

2.3



| ∗
| ∗ 


| ∗ 

. 
.
| . 


 







−2 1
1
x
1

 



2 −3   y  =  0 
 4
−2 −3 5
z
5


L2 + 2L1



−2





L3 − L1

1
1 | 1
→
−2 1
1 | 1
→



2 −3 | 0  E21 (2)  0
4 −1 | 2  E31 (−1)
−2 −3 5 | 5
−2 −3 5 | 5


 4

A

U1
L3 + L2









→
−2 1
1 | 1
→
−2 1 1 | 1




E31 (−1)  0
4 −1 | 2  E32 (1)  0 4 −1 | 2 
0 −4 4 | 4
0 0 3 | 6
U2

U

com
E21 (2) A = U1
E31 (−1)(E21 (2) A) = U2
E32 (1)(E31 (−1) E21 (2) A) = U
donde
E32 (−1) (E32 (1)E31 (−1)E21 (2) A) = E32 (−1) U
E21 (2) A = E31 (1) E32 (−1)U
A = E21 (−2) E31 (1) E32 (−1) U
L

U

onde L ´ dada por um produto de matrizes invert´
e
ıveis.


 



 



1 0 0
1 0 0

 

L =  −2 1 0   0 1 0  E32 (−1)
0 0 1
1 0 1






1
0 0
1 0 0
1 0 0

 
 

=  −2 1 0   0 1 0  =  −2 1 0 
1 −1 1
0 −1 1
1 0 1
Nota. A matriz L armazena toda a informa¸˜o do processo de elimica
na¸˜o de Gauss.
ca
45
i.

Caso n˜o haja (no processo de elimina¸˜o de Gauss) troca de
a
ca
linhas, a matriz L ´ uma matriz triangular inferior com elementos
e
diagonais iguais a 1 e os elementos sob a diagonal de L s˜o os
a
sim´tricos dos multiplicadores usados na elimina¸˜o, cada um na
e
ca
posi¸˜o em que figura na respectiva matriz elementar. (Assim, a
ca
matriz L ´ muito f´cil de escrever.)
e
a

ii. Por´m, se houver necessidade de troca de linhas, a unica diferen¸a
e
´
c
´ que o algoritmo deve ser visto como aplicado n˜o a A mas a P A
e
a
onde P ´ uma matriz de permuta¸˜o (P ´ o produto das matrizes
e
ca
e
de permuta¸˜o correspondentes `s v´rias trocas de linha feitas
ca
a a
durante o algoritmo) e ao segundo membro P b.




1 1
1


Dada a matriz  3 3 −1  tem-se
1 −1 −1
L2 = L2 − 3L1
L3 = L3 − L1




L3 = L2
L2 = L3









1 1
1
1 1
1
1 1
1






A =  3 3 −1  →  0 0 −4  →  0 −2 −2  = U
1 −1 −1
0 −2 −2
0 0 −4
P23 E31 (−1) E21 (−3) A = U
E31 (−1) E21 (−3) A = P23 U
E21 (−3) A = E31 (1) P23 U
A = E21 (3) E31 (1) P23 U


1 0 0


A =  3 1 0  P23 U
1 0 1
L
1 0 0

A= 3 0 1
1 1 0

1 0

P23 A =  1 1
3 0




U

logo
P23 A = L U.
46



0

0 U
1
Notemos que foi poss´ escrever P A = LU embora a matriz L
ıvel
calculada n˜o coincida com a matriz L encontrada no meio do
a
processo.
Caso II A matriz A ´ (singular ou) do tipo m × n
e
(2.3 a) Teorema. Sendo A uma matriz arbitr´ria do tipo m × n
a
existe uma matriz de permuta¸˜o P tal que P A se pode factorizar na
ca
forma LU onde L ´ triangular inferior com elementos diagonais iguais
e
a 1 e U ´ uma matriz-em-escada. Os elementos sob a diagonal de L s˜o
e
a
os sim´tricos dos ”multiplicadores”usados no m´todo de elimina¸˜o
e
e
ca
aplicado a A e U ´ a matriz produzida pelo algoritmo (e portanto o
e
primeiro elemento n˜o-nulo em cada linha n˜o-nula ´ um pivot).
a
a
e

Resolu¸˜o do sistema Ax = b usando a factoriza¸˜o LU
ca
ca

Caso 1.

A matriz A ´ quadrada n˜o-singular.
e
a

Pretendemos resolver o sistema Ax = b. Suponhamos que P A = LU.
Ent˜o
a
Ax = b
sse
P Ax = P b
sse
LUx = P b
Ly = P b
sse
Ux = y
O sistema ´ transformado em dois sistemas triangulares tais que os
e
elementos das diagonais em ambas as matrizes s˜o n˜o-nulos. Ambos
a a
os sistemas s˜o poss´
a
ıveis e determinados e o sistema Ax = b ´ ainda
e
poss´ e determinado.
ıvel
Caso 2. A matriz A ´ (singular ou) do tipo m × n, (m = n).
e
Ent˜o de P A = LU vem
a
Ax = b

sse

Ly = P b
Ux = y

(1)
(2)

O sistema (1) ´ ainda poss´
e
ıvel e determinado. Mas na resolu¸˜o de
ca
(2) vamos poder obter um sistema indeterminado ou um sistema imposs´
ıvel. E, desta forma, tamb´m o sistema Ax = b poder´ ser poss´
e
a
ıvel
indeterminado ou imposs´
ıvel.
47
A Decomposi¸˜o LDU para A matriz n˜o-singular.
ca
a
Suponhamos que efectu´mos a decomposi¸˜o LU da matriz A (isto ´,
a
ca
e
n˜o foi necess´rio trocar linhas). Ent˜o teremos
a
a
a


1


21



31
A=
.

.

.

 n−1,1
n1






×





0
1
.
.
.

0
0
1
.
.
.

n−1,2

n−1,3

n2

n3

32

u11 u12 u13
0 u22 u23
0
0 u33
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0
0
0
0
0
0

···
···
···
..
.

···
···
···
..
.

0
0
0
.
.
.

···
···

1
n,n−1

u1,n1
u2,n1
u3,n1
.
.
.

u1n
u2n
u3n
.
.
.

0
0
0
.
.
.











0 

1






.



un−1,n 

· · · un−1,n−1
···
0

unn

Os elementos ”uii ”, i = 1, 2, ..., n s˜o os pivots do processo de elimina¸˜o
a
ca
(recordemos que car A = n). Ent˜o podemos escrever
a


21

.
.
.

0
1
.
.
.

n1



A=



1



n2

··· 0
u11 0 · · · 0

· · · 0   0 u22 · · · 0
.
.
.. .   .
..
.
.
. .  .
.
.  .
.
.
··· 1
0
0 · · · unn





1
0
.
.
.







 0


0

u12
u11

1
.
.
.

···
···
..
.

0
0

u1,n−1
u11
un−1,2
u22

···
···

.
.
.
1
0

u1n
u11
un,2
u22
un−1,n
un−1,n−1

Esta factoriza¸˜o designa-se por factoriza¸˜o LDU da matriz A.
ca
ca
Resolu¸˜o de Sistemas Homog´neos
ca
e
´
E evidente que um sistema homog´neo (com todos os segundos membros
e
iguais a zero) ´ sempre poss´
e
ıvel (admite, pelo menos a solu¸˜o nula).
ca
Para um sistema homog´neo
e
Ax = 0m×1 ,

A ∈ Mm×n (K)

(1)

designemos por N (A) o conjunto de todas as solu¸˜es do sistema (1).
co
48

.
.
.

1










Resolu¸˜o do Sistema Homog´neo
ca
e
Am×n xn×1 = 0m×1 ,

A ∈ Mm×n (K)

1o Passo Determina¸˜o da matriz-em-escada U. Seja car U = r.
ca
2o Passo No sistema Ux = 0 (que ´ equivalente ao sistema Ax = 0)
e
separam-se as inc´gnitas em b´sicas (correspondentes `s inc´gnitas
o
a
a
o
com pivots e que s˜o em n´mero de r) e em livres. Se n˜o houver
a
u
a
inc´gnitas livres o sistema ´ poss´
o
e
ıvel e determinado (admitindo somente a solu¸˜o nula).
ca
3o Passo Para cada inc´gnita livre, d´-se o valor 1 (de facto, poderia ser
o
a
um valor arbitr´rio mas este simplifica os c´lculos) a essa inc´gnita
a
a
o
e zero `s restantes inc´gnitas livres e resolve-se o sistema resultante
a
o
(com r equa¸˜es). As n − r colunas assim obtidas geram o conjunto
co
N (A) das solu¸˜es, isto ´, qualquer solu¸˜o ´ combina¸˜o linear dessas
co
e
ca e
ca
n − r colunas determinadas (uma para cada inc´gnita livre).
o
(2.3 b) Exemplo.
Utilizemos o algoritmo anterior no c´lculo de um “conjunto de gera
adores”para o conjunto, N (A), de solu¸˜es do seguinte sistema homog´neo.
co
e
Uma vez que temos






1 1 1
2



 0 0 −4 −4  

0 0 0
0

x1
x2
x3
x4





0

 

= 0 


0

as inc´gnitas b´sicas s˜o x1 e x3 sendo x2 e x4 as livres, logo o sistema ´
o
a
a
e
equivalente a
x1 + x3 = −x2 − 2x4
−4x3 = 4x4 .
Referente ` inc´gnita livre x2 , fazendo
a
o
x1 + x3 = −1
−4x3 = 0

49

x2 = 1
resolvendo o sistema
x4 = 0
x1 = −1
x3 = 0





obtemos o gerador 

−1
1
0
0




a
o
 . Agora referente ` inc´gnita livre x4 , fazendo


x2 = 0
x1 + x3 = −1
x1 = −1
e resolvendo o sistema
obtemos
x4 = 1
−4x3 = 4
x3 = −1


−1
 0 


o gerador 
.
 −1 
1

 

 −1
−1 




 


 1   0 
Assim 
e
,
 ´ um sistema de geradores do conjunto N (A),
 0   −1 





0
1 
isto ´, qualquer solu¸˜o do sistema homog´neo pode ser escrito como uma
e
ca
e
combina¸˜o linear destas duas matrizes-coluna,
ca
 






−1
−1


 



 0 

 1 


N (A) = α 
+β
: α, β ∈ K .


  0 

 −1 







0

1

(2.3 c) Teorema. Um sistema homog´neo com um n´mero de inc´gnitas
e
u
o
superior ao n´mero de equa¸oes ´ poss´ indeterminado.
u
c˜ e
ıvel
Demonstra¸˜o. A representa¸˜o matricial de um tal sistema ´ dado por
ca
ca
e
Ax = 0m×1 ,

A ∈ Mm×n (K)

com m  n.

´
E imediato que car A = r ≤ m  n e portanto h´ necessariamente n − r
a
inc´gnitas livres.
o
(2.3 d) Teorema. Se x for uma solu¸˜o do sistema Ax = b ent˜o o
ca
a
conjunto das solu¸˜es do sistema ´
co
e
{x + u : u ∈ N (A)}.

50
Demonstra¸˜o. E evidente que qualquer elemento da forma x + u com
ca ´
u ∈ N (A) ´ solu¸˜o do sistema Ax = b j´ que
e
ca
a
A(x + u) = Ax + Au = b + 0 = b.
Reciprocamente, para x solu¸˜o arbitr´ria do sistema Ax = b, fa¸a-se
ca
a
c
u=x −x.
Ent˜o
a
Au = A(x − x ) = Ax − Ax = b − b = 0
´
o que significa que u ∈ N (A). E claro que
x = x + (x − x ) = x + u
e logo da forma pretendida.

2.4

Invers˜o de Matrizes
a

Dada uma matriz quadrada de ordem n, An×n , pretendemos determinar
uma matriz Xn×n tal que
AX = In = XA
ou seja
A × (coluna 1 de X) A × (coluna 2 de X) · · · A × (coluna n de X)




=





1 0 ··· 0
0 1 ··· 0 

. . .. .  .
. .
. . 
. .
. 
0 0 ··· 1

A determina¸˜o de X que satisfa¸a AX = In ´ equivalente ` resolu¸˜o
ca
c
e
a
ca
de n sistemas de equa¸˜es lineares com a mesma matriz
co




Ax = 



1
0
.
.
.
0









 , Ax = 





0
1
.
.
.
0









 , ... , Ax = 





0
0
.
.
.








1

Estes sistemas podem ser resolvidos simultaneamente.
51
(2.4 a) Exemplo. Pretendemos determinar a inversa da matriz
1 2
.
3 4
Resolu¸˜o. Por defini¸˜o a matriz inversa da matriz dada,
ca
ca

x1 x3
x2 x4

,

dever´ satisfazer a condi¸˜o
a
ca
x1 x3
x2 x4

1 2
3 4

=

1 0
0 1

.

Efectuando os passos do processo de elimina¸˜o de Gauss
ca
1 2
3 4

x1 x3
x2 x4

=

1 0
−3 1

1 2
0 −2

x1 x3
x2 x4

=

1 0
0 1

1 0
−3 1

1 0
−3 1

somos levados ` resolu¸˜o de dois sistemas de equa¸˜es lineares
a
ca
co









1 2
0 −2

x1
x2

=

1
−3









1 2
x3
0
=
0 −2
x4
1
Mas existe outro processo poss´ para a resolu¸˜o simultˆnea dos sisıvel
ca
a
temas (processo de elimina¸˜o ascendente). Assim,
ca
1 2
0 −2

x1 x3
x2 x4

1 0
−3 1

=

multipliquemos (para anular o (1,2)-elemento da matriz) ambos os membros
por E12 (1). Obtemos
1 1
0 1

1 2
0 −2
1 =0
0
0
−2 =0

x1 x3
x2 x4
x1 x3
x2 x4

D
52

1 1
0 1

=

=

−2 1
−3 1

1 0
−3 1
.
Mas esta matriz D ´ invert´
e
ıvel. Logo
1
0
0 −1/2

1 =0
0
0
−2 =0

x1 x3
x2 x4

1
0
0 −1/2

=

−2 1
−3 1

ou ainda,
x1 x3
x2 x4

−2
1
3/2 −1/2

=

.

Aten¸˜o. Analisemos os passos efectuados. Temos
ca
E12 (1) E21 (−3)A = D
donde
A = E21 (3) E12 (−1) D
e logo
A−1 = D−1 E12 (1) E21 (−3)
A


1 2 |

| I2

3 4 |







↓

1



| 1 0


|


0 −2 | −3 1

Elimina¸˜o Descendente
ca

2



↑


 I2



| −2
1

|

| 3/2 −1/2

Elimina¸˜o Ascendente
ca
A−1

O Algoritmo de Gauss-Jordan para a Determina¸˜o da Inversa
ca
de uma Matriz
(2.4 b) Teorema. Uma matriz quadrada A ´ invert´ se e s´ se
e
ıvel
o
for n˜o-singular.
a
Demonstra¸˜o. Mostremos que a condi¸˜o ´ necess´ria, isto ´, admitindo
ca
ca e
a
e
que a matriz A ´ invert´ mostremos que ´ n˜o-singular.
e
ıvel
e a

53
Uma vez que A ´ invert´ ent˜o qualquer sistema Ax = b (cuja matriz
e
ıvel
a
seja A) ´ poss´ e determinado j´ que
e
ıvel
a
A−1 (Ax) = A−1 b
determina a solu¸˜o (´nica)
ca u
x = A−1 b.
Mas ent˜o, necessariamente, A tem n pivots, ou seja, ´ n˜o-singular.
a
e a
Resta agora mostrar que a condi¸˜o ´ suficiente, isto ´, admitindo que a
ca e
e
matriz A ´ n˜o-singular mostremos que ´ invert´
e a
e
ıvel.
Representemos por E o produto de todas as matrizes elementares correspondentes aos passos elementares do processo de elimina¸˜o que permite
ca
determinar uma matriz diagonal D de elementos diagonais n˜o-nulos. Ent˜o
a
a
D satisfaz
EA = D.
Mas a matriz A ´ invert´ porque ´ um produto de matrizes elementares
e
ıvel
e
que s˜o invert´
a
ıveis. Ent˜o
a
A = E −1 D
e logo A ´ invert´ j´ que E −1 D o ´. (De facto, A−1 = D−1 E.)
e
ıvel a
e
ALGORITMO. C´lculo da matriz inversa de uma dada matriz An×n
a
Para calcular a matriz inversa de A (se existir) efectua-se na mae
triz do tipo n × 2n, A | In a parte descendente do m´todo
de elimina¸˜o de Gauss aplicado a A. Se houver um n´mero
ca
u
de pivots inferior a n a matriz A n˜o ´ invert´
a e
ıvel. Se houver
n pivots usando-os pela ordem contr´ria ` anteriormente usada,
a a
anulam-se com opera¸˜es elementares todos os elementos acima
co
da diagonal da matriz situada ` esquerda. Finalmente, divide-se
a
cada linha pelo respectivo pivot. No fim deste processo a matriz
obtida ´
e
In | A−1 .

(2.4 c) Teorema. (Unicidade da factoriza¸˜o LU no caso n˜o-singular)
ca
a
Se A for n˜o-singular a factoriza¸˜o LU de A
a
ca
(ou de P A) ´ unica.
e´
54
Demonstra¸˜o. Suponhamos que
ca
P A = LU
P A = L1 U1
com L e L1 matrizes triangulares inferiores com elementos diagonais iguais
a 1 e U e U1 matrizes triangulares superiors com elementos diagonais n˜oa
nulos. Ent˜o
a
LU = L1 U1
donde
L−1 L
1

=

matriz
triangular inferior

U1 U −1
matriz
triangular superior

Como estas matrizes s˜o iguais tˆm de ser diagonais e os elementos diagonais
a
e
tˆm de ser iguais a 1 (porque s˜o os do primeiro membro). Logo
e
a
L−1 L = In
1
U1 U −1 = In
ou seja
L1 = L, U1 = U.
(2.4 d) Observa¸˜es.
co
(I) No caso da matriz A ser singular ou rectangular

1 2

de A ( ou de P A) pode n˜o ser unica. Para A =  2 4
a
´
0 0








a factoriza¸˜o LU
ca

0

0  temos
0


1 2 0
1 0 0
1 2 0





A =  2 4 0  =  2 1 0  0 0 0 
0 0 0
0 0 1
0 0 0
L
U


1 2 0
1 0 0



=  2 1 0  0 0 0 
0 0 0
0 5 1


L
55

U
com A singular (car A = 1).





0 0


Tamb´m, por exemplo, para A =  0 0  temos
e
0 0










0 0
1 0 0
0 0





A =  0 0  =  0 1 0  0 0 
0 0
0 0 1
0 0
L
U

1 0 0
0 0



=  2 1 0  0 0 
3 4 1
0 0


L

U.

(II) Determinemos a solu¸˜o do sistema
ca
Ax = b




1 1 1 2


para A =  3 3 −1 2 
1 1 −1 0







−2


(i) b =  6  ;
4



−2


(ii) b =  6  .
−1

Resolu¸˜o.
ca
1) Comecemos por calcular a decomposi¸˜o LU da matriz A.
ca












1 1 1 2
1 1 1
2
1 1 1
2






 3 3 −1 2  →  0 0 −4 −4  →  0 0 −4 −4 
1 1 −1 0
0 0 −2 −2
0 0 0
0
Logo







1 0 0
1 1 1
2



A =  3 1 0   0 0 −4 −4 
1 1/2 1
0 0 0
0
L

U

car A = 2
= n´mero de linhas n˜o-nulas de U
u
a
= n´mero de pivots de A
u

56
2) Resolvamos agora o sistema
Ly = b


 









1 0 0
y1
−2

 
 

1 0   y2  =  6 
 3
1 1/2 1
y3
4



−2


 6 
−1


 y1 = −2


3y + y = 6

1
2

 y + 1/2 y + y = 4
1
2
3

 y1 = −2


(= −1)

y = 12

 2
 y =0
3

(y3 = −5)

3) Resolu¸˜o do sistema Ux = y.
ca






1 1 1
2


 
 0 0 −4 −4  

0 0 0
0

x1
x2
x3
x4







−2

 

 =  12 






−2
 

=  12 
−5

0

Imediatamente no caso ii. o sistema ´ imposs´
e
ıvel. Continuando com a
resolu¸˜o da al´
ca
ınea i., as inc´gnitas b´sicas s˜o x1 e x3 sendo as livres x2 e
o
a
a
x4 . Resolvamos ent˜o o sistema equivalente
a
x1 + x3 = −2 − x2 − 2x4
−4x3 = 12 + 4x4

x1 = −2 − x2 − 2x4 + 3 + x4
x3 = −3 − x4

x1 = 1 − x2 − x4
x3 = −3 − x4
Logo a solu¸˜o geral ´
ca
e






x1
x2
x3
x4





 
 
=
 

1 − x2 − x4
x2
−3 − x4
x4





 
 
=
 

1
0
−3
0







 + x2







solu¸˜o particular de
ca
de Ax = b correspondente
a x2 = x4 = 0

57

−1
1
0
0







 + x4







−1
0
−1
1







solu¸˜o geral de
ca
de Ax = 0
para x2 , x4 arbitr´rios
a
2.5

Determinantes (algumas propriedades)

Pretendemos apresentar ainda outro crit´rio de invertibilidade de matrizes.
e
Ele vai aparecer como um corol´rio do seguinte facto.
a
(2.5 a) Teorema. Para A matriz quadrada e U a matriz que se obt´m
e
de A por aplica¸˜o do algoritmo de elimina¸˜o
ca
ca
de Gauss temos
det A = ± det U.

Demonstra¸˜o. Verific´mos anteriormente que o valor do determinante
ca
a
de uma matriz n˜o se altera quando a uma linha adicionamos um m´ltiplo
a
u
de outra linha (cf. (3) da Prop.(1.5j)). Mas tal significa que o valor do determinante de uma matriz n˜o se altera com a parte descendente do algoritmo
a
de elimina¸˜o de Gauss sempre que n˜o haja troca de linhas. Neste caso,
ca
a
se o algoritmo transformar A na matriz U temos det A = det U. Sempre
que haja troca de linhas no algoritmo de elimina¸˜o aplicado a A temos
ca
det A = det U se o n´mero de trocas for par e det A = −det U se o n´mero
u
u
de trocas for ´
ımpar.
Nota. Este teorema fornece ainda um processo de c´lculo de determia
nantes.
(2.5 b) Corol´rio. Uma matriz quadrada A ´ invert´
a
e
ıvel
se e s´ se det A = 0.
o
Demonstra¸˜o. Pelo teorema anterior temos det A = ± det U. Uma vez
ca
que U ´ triangular (superior) o det U ´ dado pelo produto dos elementos da
e
e
diagonal principal. No caso de A ser n˜o-singular (que ´ equivalente a ser
a
e
invert´
ıvel) os elementos diagonais de U s˜o os n pivots que se determinam
a
quando se aplica o m´todo de elimina¸˜o de Gauss a A e, portanto det A =
e
ca
det U = 0.
Demonstremos a implica¸˜o rec´
ca
ıproca, isto ´, sempre que det A = 0 ent˜o
e
a
A ´ invert´
e
ıvel, mostrando a validade do respectivo contra-rec´
ıproco. Assim
iremos admitir que A n˜o ´ invert´ e iremos mostrar que det A = 0. Sendo
a e
ıvel
A n˜o-invert´
a
ıvel, isto ´, sendo A singular, a caracter´
e
ıstica de A ´ inferior `
e
a
respectiva ordem. Ent˜o U tem pelo menos um elemento diagonal nulo e
a
58
logo det U = 0. Uma vez que det A = ± det U temos det A = 0, conforme
pretendido.
(2.5 c) Teorema. Para A e B matrizes quadradas de ordem n
det(AB) = det A det B.

Demonstra¸˜o. Vamos efectuar uma demonstra¸˜o por divis˜o do arguca
ca
a
mento em casos (referente a propriedades de B).
Caso 1. det B = 0
Ent˜o B ´ singular e portanto o sistema Bx = 0 tem solu¸˜es n˜oa
e
co
a
nulas. Seja v uma dessas solu¸˜es. Ent˜o Bv = 0. Multiplicando ambos os
co
a
membros por A obtemos
ABv = 0.
Mas tal significa que tamb´m o sistema ABx = 0 tem solu¸˜es n˜o-nulas o
e
co
a
que significa que a matriz AB ´ tamb´m singular e portanto, det (AB) = 0.
e
e
Logo
det (AB) = 0, det A det B = (det A) × 0 = 0
verificando-se a propriedade requerida.
Caso 2. det B = 0
Ent˜o a matriz B ´ n˜o-singular e logo pode escrever-se como produto de
a
e a
matrizes elementares (Recordemos que existe E matriz produto de matrizes
elementares tal que EB = D ou ainda, B = E −1 D ambas produto de elementares). Imediatamente, para B = Ek Ek−1 ... E1 matrizes elementares
temos, atendendo ` al´
a ınea (ii) do ultimo exerc´ do primeiro cap´
´
ıcio
ıtulo,
det (AB) = det (A Ek Ek−1 ... E1 )
= det (A Ek Ek−1 ... E2 ) det E1
...
= det A det Ek det Ek−1 ... det E1
...
= det A det(Ek ...E1 )
= det A det B.
(2.5 d) Corol´rio. Para A matriz quadrada invert´ tem-se
a
ıvel
1
det (A−1 ) =
.
det A
59
Demonstra¸˜o. De A A−1 = I vem, usando o teorema anterior,
ca
det A det A−1 = 1
donde o requerido.
(2.5 e) Proposi¸˜o. Para P matriz de permuta¸˜o tem-se
ca
ca
det(P T ) = det P.

Demonstra¸˜o. Uma vez que ambas as matrizes P e P T s˜o matrizes de
ca
a
permuta¸˜o, o determinante de cada uma delas ´ igual a 1 ou igual a −1.
ca
e
Mas como a inversa de uma matriz de permuta¸˜o ´ a respectiva transposta
ca e
temos P P T = I. Imediatamente det P det P T = 1. Logo det P e det P T
s˜o ambos iguais a 1 ou ambos iguais a −1.
a

(2.5 f) Teorema. Para A matriz quadrada tem-se
det AT = det A.

Demonstra¸˜o. Apliquemos ` matriz A o algoritmo de elimina¸˜o de
ca
a
ca
Gauss.
Suponhamos que n˜o h´ necessidade de efectuarmos trocas de linhas.
a a
Ent˜o temos
a
A = LU
det A = det U.
Quanto ` transposta temos
a
AT = U T LT
donde
det AT = det U T det LT = det U T
pois det LT = 1 porque LT ´ triangular com todos os elementos diagonais
e
iguais a 1. Mas U e U T tˆm os mesmos elementos diagonais. Logo det U T =
e
det U.
60
Mostremos agora que o mesmo acontece caso haja necessidade de efectuarmos trocas de linhas.
Neste caso temos
P A = LU.
Ent˜o, pelo teorema (2.5c),
a
det P det A = det L det U
det A = det P −1 det U.
Agora para as transpostas, de
P A = LU
vem
AT P T = U T LT
det AT det P T = det U T det LT
det AT det P = det U T .
Pela proposi¸˜o anterior det P T = det P e det U T = det U j´ que tˆm os
ca
a
e
mesmos elementos diagonais. Assim,
det AT = det P −1 det U
donde
det A = det AT .
Observa¸˜o. Atendendo ao teorema (2.5f ) todas as propriedades de
ca
determinantes que s˜o v´lidas para linhas s˜o tamb´m v´lidas para colunas.
a a
a
e
a

A regra de Cramer
Recordemos que, para A = aij
e i, j = 1, ..., n chamamos comn×n
plemento alg´brico de um elemento aij de A a
e
(−1)i+j det Aij
onde Aij designa a (n − 1) × (n − 1)-submatriz de A obtida por supress˜o
a
da linha i e da coluna j.
61
(2.5 g) Defini¸˜o.
ca
˜
Para A = aij
designamos por A a matriz dos comn×n
plementos alg´bricos dos elementos de A,
e
˜
A=

(−1)i+j det Aij

n×n

.

`
˜
A matriz AT chamamos matriz adjunta de A.

(2.5 h) Exemplo. A matriz adjunta de A =

a11 a12
a21 a22

´
e

a22 −a12
−a21 a11

˜
AT =





a11 a12 a13


(2.5 i) Exemplo. A matriz adjunta da matriz A =  a21 a22 a23 
a31 a32 a33
´
e





a22 a33 − a32 a23 ...
...
˜T =  −a21 a33 + a31 a23 ... −a11 a23 + a13 a21 
A


a21 a32 − a31 a22 ...
...
(Os elementos n˜o apresentados s˜o facilmente calculados.)
a
a
(2.5 j) Teorema. Para A matriz quadrada de ordem n




˜
A AT = 



det A
0
0
det A
.
.
.
.
.
.
0
0

···
···
..
.

0
0
.
.
.




 = (det A)In .



· · · det A

Demonstra¸˜o. E deixada como exerc´
ca ´
ıcio.
(2.5 k) Corol´rio. Para A matriz invert´
a
ıvel
A−1 =

1
˜
AT .
det A
62
Demonstra¸˜o. Pelo corol´rio anterior temos
ca
a
˜
A AT = (det A) In .
Sendo A invert´
ıvel, det A = 0, e podemos escrever
A

1
˜
AT = In
det A

1
˜
AT = A−1 .
det A

e logo

Nota. Este corol´rio fornece um m´todo de constru¸˜o da inversa de
a
e
ca
uma matriz.

(2.5 l) Teorema. (Regra de Cramer)
Para An×n martiz invert´
ıvel a solu¸˜o unica do sistema Ax = b ´ a
ca ´
e
coluna cujos elementos s˜o os quocientes
a
det A(i)
, i = 1, ..., n
det A
onde A(i) ´ a matriz que se obt´m de A substituindo a coluna i por b.
e
e
a11 a12
invert´ e b =
ıvel
a21 a22
a solu¸˜o do sistema Ax = b ´ o elemento (x1 , x2 ) dado por
ca
e
(2.5 m) Exemplo. Sendo A =

det

b1 a12
b2 a22

det

x1 =

e x2 =
det













det

a11 b1
a21 b2

a11 a12
a21 a22

b1 a12
b2 a22

det
a11 b1
a21 b2

det
,

detA

detA

63

,
a11 a12
a21 a22






 .





b1
b2

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Cap1

  • 1. Cap´ ıtulo 1 Matrizes e Determinantes 1.1 Generalidades Iremos usar K para designar IR conjunto dos n´meros reais u C conjunto dos n´meros complexos. u Deste modo, chamaremos n´meros ou escalares u aos elementos de K. Sejam m e n inteiros positivos. (1.1 a) Defini¸˜o. ca Chama-se matriz do tipo m × n sobre K a todo o quadro que se obt´m dispondo mn n´meros segundo m linhas e e u n colunas.    A=   a11 a21 . . . a12 a22 . . . ··· ··· .. . a1n a2n . . . am1 am2 · · · amn 1      
  • 2. (1.1 b) Nota¸˜es. Usamos igualmente como abreviatura co A= aij i=1,...,n ; j=1,...,n ou aij m×n ou ainda, simplesmente aij caso se subentenda o tipo da matriz. O n´mero u aij diz-se o elemento, entrada ou componente da matriz A. Em aij o i indica a linha onde se situa o elemento j indica a coluna onde se situa o elemento e, como tal, i diz-se o ´ ındice de linha j diz-se o ´ ındice de coluna do elemento aij . O elemento aij diz-se ainda o elemento (i, j) da matriz A. Para A matriz do tipo m × n de elementos sobre K i. a matriz A diz-se quadrada sempre que m=n ; ii. rectangular m = n; iii. matriz-linha ou vector-linha iv. m = 1; matriz-coluna ou vector-coluna 2 n = 1;
  • 3. Representamos por Mm×n (K) o conjunto de todas as matrizes do tipo m × n sobre K. Com abuso de linguagem, usamos a nota¸˜o ca Km para representar Mm×1 (K), ou seja, para representar o conjunto das matrizes com m linhas e 1 coluna de elementos em K, as matrizes-coluna,   a1     a2 Mm×1 (K) =  .  .  .    a m           : ai ∈ K, i = 1, 2, · · · , m ∼ =        ∼ K m = {(a1 , a2 , · · · , am ) : ai ∈ K, i = 1, 2, · · · , m} . = (1.1 c) Defini¸˜o. ca As matrizes A= aij ∈ Mm×n (K), B = bk ∈ Mp×q (K) dizem-se iguais sse m=p n=q e aij = bij , i = 1, ..., m; j = 1, ..., n. (1.1 d) Nota¸˜es. co (I) Aos elementos da matriz (quadrada) A ∈ Mn×n (K) com igual ´ ındice de linha e coluna chamamos elementos diagonais de A, a11 , a22 , a33 , ..., ann . (II) A sequˆncia ordenada ( ou n-upla) constitu´ pelos elementos diagoe ıda nais diz-se a diagonal principal de A. (III) A n-upla constitu´ pelos elementos da outra diagonal recebe o nome ıda de diagonal secund´ria de A, a an1 , an−1,2 , ..., a1n . 3
  • 4. (IV) Uma matriz quadrada A ∈ Mn×n (K) diz-se i. triangular superior sempre que aij=0 para i > j;       ii.  triangular inferior sempre que aij = 0 para i < j;   0 ··· 0 .. .  . .  .   0       iii.      0 . .. . . . 0 ··· 0 diagonal sempre que aij = 0 para i = j.        0 0 . .. . . . 0 ···  ··· 0 .. .  . .  .    0  0 e (V) A matriz identidade de ordem n, In , ´ a matriz diagonal de ordem n com elementos diagonais iguais a 1,        1 0 ··· 0 0 1 ··· 0   . . .. .  = . . . .  . . .  0 0 ··· 1 δij n×n . ´ E usual representarmos o elemento (i, j) da matriz In por δij , s´ ımbolo ou delta de Kron¨cker). e Matrizes Elementares Fixemos alguns tipos de opera¸˜es sobre as linhas de uma matriz que se co designam por opera¸˜es elementares de linha. co 4
  • 5. 1. Substitui¸˜o de uma linha de uma matriz pela soma dessa linha com um ca m´ltiplo de outra linha; u 2. Troca entre si de duas linhas de uma matriz; 3. Multiplica¸˜o de todos os elementos de uma linha por um n´mero difeca u rente de zero. (1.1 e) Defini¸˜o. ca Chama-se matriz elementar de ordem n a toda a matriz que se obt´m de In por aplica¸˜o de uma opera¸˜o elee ca ca mentar `s respectivas linhas. a Obtemos, deste modo, trˆs tipos diferentes de matrizes elementares de e ordem n. 1. Para i = j (por exemplo, i < j) e α ∈ K          Eij (α) =         1 0 ··· 0 ··· 0 ··· 0 1 ··· 0 ··· 0 ··· . . .. . .. . .. . . . . . . . . . . . 0 0 ··· 1 ··· α ··· . . .. . .. . .. . . . . . . . . . . . 0 0 ··· 0 ··· 1 ··· . . .. . .. . .. . . . . . . . . . . . 0 0 . . . 0 . . . 0 . . .         ...i      ...j     0 0 ··· 0 ··· 0 ··· 1 i j A matriz Eij (α) obt´m-se de In adicionando ` linha i a linha j previe a amente multiplicada por α. 5
  • 6. 2. Para i = j (por exemplo, i < j)          Pij =         1 0 ··· 0 ··· 0 ··· 0 1 ··· 0 ··· 0 ··· . . .. . .. . .. . . . . . . . . . . . 0 0 ··· 0 ··· 1 ··· . . .. . .. . .. . . . . . . . . . . . 0 0 ··· 1 ··· 0 ··· . . .. . .. . .. . . . . . . . . . . . 0 0 . . . 0 . . . 0 . . .         ...i      ...j     0 0 ··· 0 ··· 0 ··· 1 i j A matriz Pij obt´m-se de In trocando entre si a linha i com a linha j. e 3. Para α ∈ K, α = 0, 1 ≤ i ≤ n       Di (α) =      1 0 ··· 0 ··· 0 1 ··· 0 ··· . . .. . .. . . . . . . . . 0 0 ··· α ··· . . .. . .. . . . . . . . . 0 0 ··· 0 ··· 0 0 . . . 0 . . .         ...i    1 i A matriz Di (α) obt´m-se de In multiplicando a linha i por α. e Notas. i. Permutando apenas duas linhas entre si da matriz In obtemos uma das matrizes Pij . a co a ii. Ao efectuarmos v´rias permuta¸˜es `s linhas de In obtemos matrizes que em cada linha e em cada coluna tˆm apenas um elemento n˜o-nulo e a e esse elemento ´ 1. S˜o as chamadas matrizes de permuta¸˜o. e a ca 6
  • 7. 1.2 Opera¸oes com Matrizes c˜ (1.2 a) Defini¸˜o. ca Para A = aij ,B = bij ∈ Mm×n (K) e α ∈ K 1. A + B ´ a matriz do tipo m × n cujo elemento (i, j) ´ e e aij + bij A + B = sij para sij = aij + bij , ou simplesmente, A+B = 2. aij + bij m×n ; αA ´ a matriz do tipo m × n cujo elemento (i, j) ´ e e αaij , . αA = αaij m×n 7
  • 8. (1.2 b) Nota¸˜es. co (I) A matriz do tipo m × n com todos os elementos iguais a zero, 0, diz-se a matriz nula e escreve-se, simplesmente 0m×n . (II) Para A = aij define-se −A = (−1)A = −aij . (1.2 c) Teorema. Para A, B, C ∈ Mm×n (K) e α, β ∈ K tem-se 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. (A + B) + C = A + (B + C) (Associatividade da Adi¸˜o) ca A+B =B+A (Comutatividade da Adi¸˜o) ca A+0=0+A=A (0m×n ´ o elemento neutro da adi¸ao ) e c˜ A + (−A) = (−A) + A = 0 (−A ´ a sim´trica de A) e e α(A + B) = αA + αB (α + β)A = αA + βB (αβ)A = α(βA) 1A = A Demonstra¸˜o. E deixada como exerc´ ca ´ ıcio. Multiplica¸˜o de Matrizes ca Motiva¸˜o ca Dado o sistema de equa¸˜es lineares co   −2x1 + x2 + x3 = 1  4x + 2x − 3x = 0 1 2 3   −2x − 3x + 5x = 5 1 2 3 ele pode ser representado matricialmente na forma 8
  • 9.  −2 1     4   2 −2     coluna dos coeficientes de x1 em cada equa¸˜o ca  1  x1  1              −3   x2  =  0          −3 5 x3 ¡ A3×3 ee e coluna dos coeficientes de x2 em cada equa¸˜o ca vector-coluna dos termos independentes 5 x3×1 = b3×1 ¡ ¡ coluna dos coeficientes de x3 em cada equa¸˜o ca Se designarmos por A a matriz dos coeficientes das inc´gnitas nas equa¸˜es o co e por x a matriz-coluna das inc´gnitas, temos o     −2x1 + x2 + x3 1     = 0  . Ax =  4x1 + 2x2 − 3x3  5 3×1 −2x1 − 3x2 + 5x3 3×1 1) O exemplo anterior pode generalizar-se (de modo evidente) para A matriz arbitr´ria do tipo m × n e x vector-coluna arbitr´rio do tipo n × 1. a a ´ E imediato que a matriz resultante, a matriz produto, ser´ do tipo a m×1 Am×n d d . xn×1 m×1 = bm×1     2) A defini¸˜o anterior pode generalizar-se para qualquer matriz A do tipo ca m × n e qualquer matriz B do tipo n × p do seguinte modo Am×n .Bn×p = = A × (coluna 1 de B) A × ( coluna 2 de B) . . . A × (coluna p de B)       Am×n  −− −− · · · −− −− −− · · · −−    . . .  .. . . .  . . . .  −− −− . . . −− Bn×p | | . . . =      =     | (A.B)m×p | | . . . | j 9  j    .  
  • 10. (1.2 d) Defini¸˜o. ca Para A = aij ∈ Mm×n (K) e B = bjk ∈ Mn×p (K) a matriz produto AB ´ a matriz do tipo m×p cujo elemento e (i, k) ´ e ai1 b1k + ai2 b2k + ... + ain bnk ( i = 1, ..., m ; k = 1, ..., p ) AB = n j=1 aij bjk m×p . Nota. Como se pode inferir da defini¸˜o, o produto AB da matriz A ca pela matriz B apenas est´ definido se o n´mero de colunas da A for igual a u ao n´mero de linhas de B. u Sempre que tal acontece o n´mero de linhas de AB ´ igual ao n´mero de linhas de A; u e u o n´mero de colunas de AB ´ igual ao n´mero de colunas de B. u e u (1.2 e) Teorema. Para A, A ∈ Mm×n (K) B, B ∈ Mn×p (K) C ∈ Mp×q (K), α ∈ K temos 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. (AB)C = A(BC) AIn = Im A = A A(B + B ) = AB + AB (A + A )B = AB + A B α(AB) = (αA)B = A(αB) (Se AB = 0 ent˜o (A = 0 ou B = 0)) ´ falso. a e (Se AB = AB e A = 0 ent˜o (B = B )) ´ falso. a e (Se AB = A B e B = 0 ent˜o (A = A )) ´ falso. a e 8. A multiplica¸˜o de matrizes n˜o ´ comutativa. ca a e Demonstra¸˜o. Deixamos ao cuidado do leitor a demonstra¸˜o das ca ca primeiras cinco al´ ıneas. Demonstremos as trˆs ultimas. Uma vez que nos e ´ 10
  • 11. pedem para demonstrar que as implica¸˜es s˜o falsas basta apresentar um co a contra-exemplo, isto ´, um exemplo onde o antecedente seja verdadeiro e o e consequente seja falso.    1 0 0 0 0    6. Fa¸a A =  0 0 0  e B =  0 1 c 0 0 0 0 0 ´ imediato que AB = 03×3 mas A = 0 e E   0  0 . 0 B = 0.    1 0 0 0 0 0     7. Considere ainda A =  0 0 0  e B =  0 1 0  0 0 0 0 0 0   0 0 0   e B =  0 0 1 . 0 0 0 Ent˜o A = 0, AB = AB mas B = B . a 8.    2   Basta considerar A =  3  eB = 4 3×1 1 0 0 1×3 . Ent˜o A3×1 .B1×3 = a  2 0 0   enquanto que (B.A)1×1 =  3 0 0  4 0 0 3×3 2 . Retomemos a forma matricial de um sistema de m equa¸˜es lineares em co n inc´gnitas o Am×n xn×1 = bm×1 onde Am×n ´ a matriz dos coeficientes das inc´gnitas e o xn×1 ´ a matriz das inc´gnitas e o bm×1 ´ a matriz dos termos independentes e    Ax=   a11 a21 . . . a12 a22 . . . ··· ··· .. . a1n a2n . . . am1 am2 · · · amn 11       x1 x2 . . . xn      
  • 12.    =    a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn . . .      am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn    = x1    a11 a21 . . .   a12 a22 . . .      + x2      am1 am2        + xn      a1n a2n . . .    .   amn Nota 1. Dados r vectores-coluna v1 , v2 , ..., vr e r escalares (n´meros) u α1 , α2 , ..., αr a α1 v1 + α2 v2 + ... + αr vr chamamos combina¸˜o linear dos r vectores-coluna com coeficientes α1 , α2 , ..., αr . ca Imediatamente, sempre que o sistema Ax = b seja poss´ ent˜o o vector-coluna b ´ uma combina¸˜o linear dos vectoresıvel a e ca coluna de A onde os coeficientes dessa combina¸˜o linear constituem uma ca solu¸˜o do sistema. ca Por exemplo, admitindo o sistema   −2x1 + x2 + x3 = 1  4x + 2x − 3x = 0 1 2 3   −2x − 3x + 5x = 5 1 2 3   1   a solu¸˜o unica  1  ca ´ 2 temos         1 1 −2 1          0  = 1  4  + 1  2  + 2  −3  . 5 −3 −2 5 12
  • 13. Nota 2. Agora, na matriz produto Am×n       Bn×p  (A.B)m×p   | | . . . −− −− · · · −− −− −− · · · −−    . . .  .. . . .  . . . .  −− −− · · · −− =     =     | | . . .    .   | | j j a coluna j de AB (que ´ dada pelo produto A × (coluna j de B)) ´ uma e e combina¸˜o linear dos vectores-coluna de A sendo os coeficientes dessa comca bina¸˜o linear as componentes do vector-coluna j de B. ca Nota 3. Analogamente ao anteriormente exposto, a linha i da matriz produto AB     i  −− −− · · ·     −−    | | . . . | ··· | | ··· | . .. . . . . . . | | ··· |       =   −− −−   linha i de (A.B) =  ai1 ai2 · · · ain      b11 b21 . . . bn1 = ···    −−  i  b12 · · · b1p b22 · · · b2p   . .. .  . . .  . .  bn2 · · · bnp ai1 b11 + ai2 b21 + ... + ain bn1 · · · ai1 b1p + ai2 b2p + ... + ain bnp = ai1 b11 · · · b1p + · · · + ain bn1 · · · bnp combina¸˜o linear dos vectores-linha de B e os coeficientes dessa combina¸˜o ca ca linear s˜o as componentes do vector-linha i de A. a 13
  • 14. 1.3 Inversa de uma Matriz Quadrada Dada um n´mero (real ou complexo) n˜o-nulo temos sempre garantida a u a existˆncia (em IR ou C) do respectivo inverso multiplicativo. Recordemos a e defini¸˜o de inverso multiplicativo de um elemento, por exemplo, em IR. ca Dado a ∈ IR, a = 0, o elemento b ∈ IR que satisfaz ab = ba = 1 diz-se o inverso multiplicativo de a e escreve-se b = a−1 . Agora com matrizes... Dada uma matriz A procuramos uma matriz B que satisfa¸a c An×? . B?×n = In = B?×n . An×? . For¸osamente c ? = n. Logo s´ faz sentido falar em matriz inversa para uma dada matriz quadrada. o (1.3 a) Defini¸˜o. ca Uma matriz A quadrada de ordem n diz-se invert´ ıvel se existir uma matriz B quadrada de ordem n tal que AB = BA = In . Consequˆncias imediatas da defini¸˜o. e ca (I) A matriz 0n n˜o ´ invert´ a e ıvel. (Para A = 0n e B ∈ Mn×n (K) arbitr´ria a AB = 0n B = 0n donde 0n n˜o ´ invert´ a e ıvel.) 14
  • 15. (II) A matriz A = 1 2 2 4 ´ n˜o-invert´ e a ıvel. Pelo facto de existir 2 6 −1 −3 tal que 1 2 2 4 2 6 −1 −3 = 0 0 0 0 se A fosse invert´ ıvel, existiria A−1 e A−1 1 2 2 4 2 6 −1 −3 = A−1 2 6 −1 −3 = 02×2 = 02×2 2 6 −1 −3 I2 0 0 0 0 = 02×2 o que contradiz a defini¸˜o de igualdade entre duas matrizes. ca (III) A matriz In ´ invert´ j´ que e ıvel a In In = In . Pergunta 1. Em que condi¸˜es uma dada matriz admitir´ inversa? co a Pergunta 2. Como calcular, quando existe, a inversa de uma dada matriz? Mas, mesmo antes de responder a estas quest˜es, podemos demonstrar o algumas propriedades da inversa de uma matriz. (1.3 b) Teorema. Para A ∈ Mn×n (K) existe no m´ximo uma matriz a B ∈ Mn×n (K) tal que AB = BA = In . Demonstra¸˜o. Comecemos por admitir a existˆncia de duas matrizes ca e inversas de A e mostremos que s˜o iguais. a 15
  • 16. Para B, B ∈ Mn×n (K) satisfazendo AB = BA = In AB = B A = In temos B = B In = B (AB) = (B A)B = In B = B. Logo existe, no m´ximo, uma matriz B nas condi¸˜es requeridas. a co (1.3 c) Teorema. Para A e C matrizes quadradas de ordem n invert´ ıveis o produto AC ´ tamb´m invert´ e e e ıvel (AC)−1 = C −1 A−1 . Demonstra¸˜o. Verifiquemos que C −1 A−1 satisfaz as condi¸˜es exigidas ca co para que seja a inversa de AC. De facto, temos (AC)(C −1 A−1 ) = A(CC −1 )A−1 = AIn A−1 = AA−1 = In . De modo an´logo a (C −1 A−1 )(AC) = C −1 (A−1 A)C = C −1 In C = C −1 C = In . Logo podemos concluir que AC ´ invert´ e ıvel j´ que C −1 A−1 satisfaz as a condi¸˜es para ser a inversa de AC. co 1.4 Transposi¸˜o de Matrizes ca (1.4 a) Defini¸˜o. ca Dada uma matriz A = AT = bk aij ∈ Mm×n (K) a matriz ∈ Mn×m (K) com bk = a k , k = 1, ..., n; = 1, ..., m diz-se a transposta de A. A matriz A diz-se sim´trica se A = AT . e 16
  • 17. Notas. i. ii. A coluna i da AT ´ precisamente a linha i de A, para i = 1, ..., m. e Uma matriz ´ sim´trica sse for quadrada e forem iguais os elementos e e situados em posi¸˜es sim´tricas relativamente ` diagonal principal. co e a (1.4 b) Proposi¸˜o. A transposi¸˜o de matrizes goza das seguintes ca ca propriedades: (1) (2) (3) (4) (5) (6) (AT )T = A (A + B)T = AT + B T (αA)T = αAT , para α elemento de K (AB)T = B T AT (Ak )T = (AT )k , para k natural Se A for invert´ ıvel, AT tamb´m o ´, tendo-se e e (AT )−1 = (A−1 )T . Demonstra¸˜o. E deixada como exerc´ ca ´ ıcio. (1.4 c) Defini¸˜o. ca Uma matriz quadrada diz-se ortogonal se for invert´ e ıvel as respectivas inversa e transposta coincidirem A−1 = AT (A ortogonal). (1.4 d) Defini¸˜o. ca Para A = aij ´ a matriz e m×n matriz complexa, a conjugada de A ¯ A= aij ¯ m×n . Escrevemos A∗ ¯ para representar AT . Uma matriz diz-se herm´ ıtica sempre que A = A∗ . 17
  • 18. (1.4 e) Proposi¸˜o. As matrizes complexas gozam das seguintes proca priedades: (1) (A∗ )∗ = A (2) (A + B)∗ = A∗ + B ∗ (3) (αA)∗ = αA∗ , para α elemento de C ¯ (4) (AB)∗ = B ∗ A∗ (5) (Ak )∗ = (A∗ )k , para k natural (6) Se A for invert´ ıvel, A∗ tamb´m o ´, tendo-se e e (A∗ )−1 = (A−1 )∗ . Demonstra¸˜o. E deixada como exerc´ ca ´ ıcio. 1.5 Determinantes Pergunta 3. Ser´ poss´ associar a cada matriz um n´mero que dependa a ıvel u apenas de elementos da matriz e que nos permita decidir a existˆncia da e matriz inversa de uma dada matriz? A resposta a esta quest˜o ´ afirmativa . Tal n´mero ´ chamado o detera e u e minante da matriz. O Determinante de uma matriz em M1×1 (K). Um n´mero ´ invert´ sse for n˜o-nulo. Portanto uma matriz 1 × 1 ´ u e ıvel a e invert´ sse for n˜o-nula. (Mas, para matrizes de ordem superior tal j´ n˜o ıvel a a a se verifica.) Para A = a det A = det ∈ M1×1 (K) p˜e-se o a = |a| = a e chama-se determinante de A. Conclus˜o. Uma matriz A = a pectivo determinante for n˜o-nulo. a a 18 ∈ M1×1 (K) ´ invert´ sse o rese ıvel
  • 19. O determinante de uma matriz em M2×2 (K). 3 −13 −2 9 Reparemos que dada A = A se tem B 3 −13 −2 9 9 13 2 3 9 13 2 3 = 1 0 0 1 3 −13 −2 9 = 1 0 0 1 B A 9 13 foi obtida a partir da matriz A trocando 2 3 entre si os elementos da diagonal principal e mudando o sinal dos restantes elementos. onde a matriz B = 5 −8 2 −3 se verifica −3 8 −2 5 5 −8 2 −3 = 1 0 0 1 5 −8 2 −3 Ainda para A = −3 8 −2 5 = 1 0 0 1 . Pod´ ıamos, ent˜o, ser levados a pensar que a inversa de uma matriz a A= a b c d se poderia obter trocando entre si a e d e mudando o sinal a c e a b. Mas o facto de se ter a b c d d −b −c a = ad − bc 0 0 ad − bc leva-nos a ter um momento de reflex˜o. Tal procedimento levar-nos-ia, imea diatamente, ` inversa de A somente no caso de ad−bc = 1. E se ad−bc = 1? a Ser´ que poderemos ainda determinar a inversa de A? a 19
  • 20. Caso 1. Seja D = ad − bc = 0. Basta agora colocar d D c −D b −D a D para obter d D c −D b −D a b c d a D d D c −D a b c d b −D a D = I2 = I2 . Caso 2. Seja D = ad − bc = 0. Ent˜o a matriz A n˜o admite inversa. Suponhamos que existia A−1 , a a matriz inversa de A. Ter´ ıamos d −b −c a d −b −c a = I2 = (A−1 A) = A−1 (A d −b −c a d −b ) −c a = A−1 02 = 02 o que contradiz a defini¸˜o de igualdade entre duas matrizes. ca a c ∈ M2×2 (K) admite inversa sse b d D = ad − bc = 0. O n´mero D diz-se o determinante de A. u Conclus˜o. A matriz A = a (1.5 a) Nota¸˜es. Usa-se co det A = det aij = a11 a12 = a11 a22 − a12 a21 a21 a22 para representar este n´mero de K. u 20
  • 21. (1.5 b) Exemplo. Temos det 2 1 1 4 = 8 − 1 = 7, det −2 −3 4 5 = −10 + 12 = 2. (1.5 c) Observa¸˜o. ca O determinante de A est´, como vimos, relacionado com a existˆncia e a e o c´lculo da inversa de uma matriz A. Mas a importˆncia do determinante a a n˜o se esgota aqui. Por exemplo, dado o paralelograma P a     ∆ a12 2  R    (a21 , a22 )  ¢    P ¢  ∆  1¢  (a11 , a12 )    I ¢ a22 ¢    ¢   ¢  ∆2   ¢   ¢ a21 ∆1 R a11 temos (a11 + a21 )(a12 + a22 ) = ´rea P + 2 ´reaR + 2 ´rea∆1 + 2 ´rea∆2 a a a a ´rea P = (a11 + a21 )(a12 + a22 ) − 2a12 a21 − 2 (1/2)a21 a22 − 2 (1/2)a11 a12 a = a11 a22 − a12 a21 = det a11 a12 a21 a22 . 21
  • 22. Algumas Propriedades dos Determinantes em M2×2 (K) (d1 ) Para a, b, c, d, b , d , α ∈ K temos a b+b c d+d det det = det αa b αc d a b c d + det a b c d . a b c d =α (d2 ) Se as duas colunas de uma matriz forem iguais o determinante da matriz ´ igual a zero. e (d3 ) Para a matriz identidade de ordem 2 temos det 1 0 0 1 = 1. Demonstra¸˜o. ca (d1 ) Temos det a b+b c d+d = a(d + d ) − c(b + b ) = ad − bc + ad − b c a b = det + det c d det αa b αc d a b c d ; a b c d = (α a)d − (α c)b = α (ad − bc) = α det ´ ( Nota. E imediato que, para a, a , b, b , c, c , d, d , α ∈ K, temos ainda i. det a+a c+c b d = det a b c d + det a c b d ; ii. det a αb c αd = α det 22 a b c d = det αa b αc d ;
  • 23. iii. det(α a b ) = α2 det c d a b c d . ) (d2 ) Temos det a a c c = ac − ac = 0. O determinante de uma matriz em M2×2 (K) satisfaz ainda outras propriedades adicionais. Vejamos algumas. (1.5 d) Proposi¸˜o. ca Em M2×2 (K) (1) se adicionarmos um m´ltiplo de uma coluna ` outra o valor do u a determinante n˜o se altera; a (2) se trocarmos entre si as colunas o determinante muda de sinal. (3) Os determinantes de uma matriz A e da respectiva transposta coincidem, isto ´, detA = detAT . e Demonstra¸˜o. ca (1.) Temos a b + αa c d + αc = det a b c d + det = det a b c d + α det = det det a b c d . a αa c αc a a c c (2.) Temos det b a d c = bc − ad = −(ad − bc) = −det a b c d a c b d . (3.) Temos det = (ad − bc) = det 23 a b c d .
  • 24. O determinante de uma matriz em M3×3 (K).   a11 a12 a13   Seja A =  a21 a22 a23  . Vamos definir det A de acordo com a a31 a32 a33 f´rmula o det A = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − −a31 a22 a13 − a32 a23 a11 − a33 a21 a12 (1) que pode ser facilmente obtida atendendo aos seguintes diagramas: Diagrama 1. + + + - -     d     d a11 d d a11 a12 a13 a12    d  d  d    d  d d a21 a  a23 d d  a21   a22 d22  d  d  d d a31   a32 d a33   31 dd a a32 ©d  d ©‚   © ‚ ‚ d d - Diagrama 2. termos com sinal + termos com sinal r  e re      r e r r  e  r e e   err     e d ¡d ¡ ¨¨ ¨ ¡ ¨ ¨d ¡d d d¡¨¨ ¡ ¨ ¡d ¡d d ´ E imediato que 5 −1 3 1 2 0 0 1 1 = (5)(2)(1) + (−1)(0)(0) + (1)(1)(3)− −(0)(2)(3) − (1)(−1)(1) − (5)(1)(0) = 10 + 3 + 1 = 14. 24
  • 25. (1.5 e) Observa¸˜es. co ´ (1) E tamb´m imediato que e  det AT  a11 a21 a31   = det  a12 a22 a32  a13 a23 a33 = a11 a22 a33 + a13 a21 a32 + a12 a23 a31 −a13 a22 a31 − a11 a23 a32 − a12 a21 a33 = det A logo a propriedade (3) da proposi¸˜o (1.5d) continua a ser satisca feita para matrizes de M3×3 (K). (2) Mas os diagramas usados para os casos n = 2 e n = 3 n˜o se revea lam t˜o uteis e simples para ordens superiores. No entanto, existe a ´ outra estrat´gia para a defini¸˜o que vai ser de f´cil generaliza¸˜o. e ca a ca (3) Podemos, por exemplo, reagrupar os termos de (1) do seguinte modo (evidenciando os elementos da coluna 1.)   a1 b1 c1   det A = det  a2 b2 c2  a3 b3 c3 = a1 (b2 c3 − b3 c2 ) − a2 (b1 c3 − b3 c1 ) + a3 (b1 c2 − b2 c1 ) b c b c b c = a1 2 2 − a2 1 1 + a3 1 1 . (2) b3 c3 b3 c3 b2 c2 (4) De modo idˆntico e reagrupando de acordo com as restantes coe lunas ou linhas , poder´ ıamos obter outros cinco diferentes desenvolvimentos. Por exemplo, de acordo com os elementos da linha 3, ter´ ıamos det A = a3 b1 c1 a c a b − b3 1 1 + c3 1 1 . b2 c2 a2 c2 a2 b2 (3) A f´rmula (2) diz-se um desenvolvimento em coluna do det A (em o rela¸˜o ` coluna 1) sendo (3) um desenvolvimento em linha do ca a det A (relativamente ` linha 3). a (5) Em cada caso os 2 × 2-determinantes (determinantes de matrizes 2 × 2) que aparecem nas f´rmulas dizem-se menores do det A o da entrada pela qual est˜o a ser multiplicados. Deste modo, por a 25
  • 26. exemplo, o menor de a1 ´ o determinante da matriz que se obt´m e e de A eliminando a linha e a coluna onde a1 se encontra, isto ´, a linha 1 e a coluna 1. Semelhantemente, o menor de c2 em e a1 b1 c1 a b a2 b2 c2 ´ 1 1 . e a3 b3 a3 b3 c3 (6) A cada menor est´ associado um sinal determinado pela posi¸˜o a ca do elemento e de acordo com a seguinte tabela + − + − + − . + − + Olhando para a tabela podemos dela tirar uma regra: O sinal que vai afectar o menor do (i, j) -elemento ´ o e sinal de (−1)i+j . Deste modo, se i+j for par o sinal + ir´ afectar o menor da (i, j) -entrada da matriz. Sempre a que i + j seja ´ ımpar o sinal que ir´ afectar o menor ser´ a a −. e (7) Tal leva-nos ao conceito de co-factor ou complemento alg´brico de uma entrada da matriz A. O co-factor ou complemento alg´brico da (i, j)-entrada e ´ igual a e (−1)i+j × (menor da (i, j) − entrada).   a1 b1 c1   Por exemplo, para A =  a2 b2 c2  a3 b3 c3 complemento alg´brico de a1 = (−1)1+1 e b2 c2 b c = 2 2 b3 c3 b3 c3 complemento alg´brico de c2 = (−1)2+3 e a1 b1 a b =− 1 1 . a3 b3 a3 b3 (8) Usando as no¸˜es agora estabelecidas podemos descrever o deco senvolvimento de det A para A ∈ M3×3 (K)3 em colunas ou em linhas de acordo com a seguinte f´rmula (Teorema de Laplace): o O det A ´ igual ` soma dos produtos das entradas de e a uma coluna (ou linha) pelos respectivos complementos alg´bricos. e 26
  • 27. Por exemplo, usando o desenvolvimento em coluna (na primeira) obtemos 5 −1 3 2 0 −1 3 −1 3 1 2 0 =5 −1 +0 = 10 + 4 = 14 1 1 1 1 2 0 0 1 1 obtendo-se o mesmo valor ao efectuarmos o desenvolvimento em linha (por exemplo, na segunda) 5 −1 3 −1 3 5 3 5 −1 1 2 0 = −1 +2 −0 = 4 + 10 = 14. 1 1 0 1 0 1 0 1 1 ´ (1.5 f) Nota. E agora imediato estabelecer em M3×3 (K) a validade de uma proposi¸˜o correspondente a 1.5 d. ca O determinante de uma matriz em Mn×n (K), para n ≥ 4 . Suponhamos que a no¸˜o de determinante de uma matriz est´ j´ definida ca a a para matrizes de ordem at´ n − 1. e representemos por Dada uma matriz A = aij n×n Aij a (n − 1) × (n − 1)-matriz obtida de A por supress˜o a da linha i e da coluna j Deste modo podemos definir i. o menor de aij como sendo det Aij ; ii. o complemento alg´brico (co-factor ) de aij como sendo (−1)i+j detAij . e ´ E poss´ demonstrar que as somas ıvel n (−1)i+j aij det Aij , i=1 27 (j ´ constante) e
  • 28. n (−1)i+j aij det Aij , (i ´ constante) e j=1 tˆm o mesmo valor seja qual for o j escolhido na primeira e o i escolhido na e segunda. A primeira d´-nos o desenvolvimento na coluna j e a segunda d´-nos o a a desenvolvimento na linha i do det A. Deste modo podemos tomar cada uma destas somas para estabelecer a defini¸˜o de ca det A para o caso geral de uma matriz A ∈ Mn×n (K), para n natural arbitr´rio. a (1.5 g) Defini¸˜o. ca Para A ∈ Mn×n (K), para n natural arbitr´rio, a n det A = (−1)i+1 ai1 det Ai1 i=1 diz-se o desenvolvimento de det A na coluna 1 de A. (1.5 h) Exemplo. Para n = 4 temos a22 a23 a24 a12 a13 a14 det A = a11 a32 a33 a34 − a21 a32 a33 a34 a42 a43 a44 a42 a43 a44 +a31 a12 a13 a14 a12 a13 a14 a22 a23 a24 − a41 a22 a23 a24 . a42 a43 a44 a32 a33 a34 assim     det  1 2 −1 1  2 −1 1 5 0 2 2 0 2 5 0 2    = 1 0 6 0 − 2 −1 6 0 0 6 0  2 0 3 1 0 3 2 0 3 2 5 2 2 5 0 +(−1) −1 0 0 − 1 −1 0 6 1 2 3 1 2 0 = (90 − 24) − 2(36 − 12) − (11) − 6 = 1. 28
  • 29. Mas o c´lculo ´ muito mais r´pido se efectuarmos um desenvolvimento em a e a coluna, por exemplo, na coluna 3. De facto,     det  1 2 −1 1  2 −1 1 2 5 2 1 2 1 5 0 2    = −1 −1 0 0 + 6 2 5 2 0 6 0  1 2 3 1 0 3 2 0 3 = (−1)(−4 + 15) + 6(15 + 4 + 4 − 5 − 4 − 12) = −11 + 12 = 1. Algumas Propriedades (I) O determinante de uma matriz diagonal ´ igual ao produto e das entradas da diagonal principal. (Tamb´m para n = 4 temos e    det   a 0 0 0 0 b 0 0 0 0 c 0 0 0 0 d   b 0     = a det  0 c   0  0  = a.bcd = abcd 0 0 d conforme requerido. O caso geral demonstra-se por indu¸˜o.) ca Em particular, para as matrizes elementares do tipo Di (α), i = 1, ..., n, α ∈ K       det Di (α) = det      (II)  1 0 ··· 0 ··· 0 0 1 ··· 0 ··· 0   . . .. . .. .  . . . .  . . . .  . .  = α. 0 0 ··· α ··· 0   . . .. . .. .  . . . . . .  . . . . 0 0 ··· 0 ··· 1 Tamb´m para as matrizes elementares do tipo Eij (α) temos e det Eij (α) = 1, i, j = 1, ..., n, α ∈ K. 29
  • 30. (Por exemplo, para n = 4, i = 3, j = 2 temos 1 0 det E32 (α) = 0 0 0 1 α 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 = 1 α 1 0 = 1.1 =1 0 0 1 0 0 1 1 tendo, no terceiro passo, sido efectuado um desenvolvimento na 1a linha. O resultado geral demonstra-se por indu¸˜o. ca (III) Finalmente det Pij = −1. (De facto, para n = 4, i = 2, j = 4 temos det P24 1 0 = 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 = 1 0 1 0 = 1(−1) = −1.) 0 1 0 0 0 Mais uma vez o resultado geral demonstra-se por indu¸˜o. ca ´ E ainda usando o Princ´ ıpio da Indu¸˜o que se demonstra a validade do ca seguinte teorema. (1.5 i) Teorema. O determinante satisfaz as seguintes propriedades: (d1 ) Se para j = 1, ..., n representarmos por A(j) a coluna j da matriz A e se para um certo i ∈ {1, ..., n}, a coluna A(i) for a soma de dois vectores-coluna, A(i) = C + C , ent˜o a A(1) · · · C + C · · · A(n) = det A(1) · · · C · · · A(n) + det det A(1) · · · C · · · A(n) Para α ∈ K e A(i) = αC det A(1) · · · αC · · · A(n) 30 = α det A(1) · · · C · · · A(n) . .
  • 31. (d2 ) Se para j = i as colunas A(i) e A(j) da matriz A forem iguais ent˜o a det A = 0. (d3 ) Para n arbitr´rio, det In = 1. a Este teorema pode (e ´ usualmente) utilizado para definir a fun¸˜o dee ca terminante det : Mn×n (K) → K A → det A, A ∈ Mn×n (K), impondo que ela satisfa¸a (d1 ), (d2 ), (d3 ). c Para n ∈ I arbitr´rio, a propriedade correspondente ` Prop.1.5 d pode N a a agora ser estabelecida. (1.5 j) Proposi¸˜o. Em Mn×n (K) tem-se ca (1) O determinante de uma matriz e da respectiva transposta coincide. (2) Para i, j naturais, ao trocarmos entre si as colunas A(i) e A(j) da matriz A, o determinante da matriz assim obtida ´ o sim´trico e e do detA. ca a (3) Seja B a matriz obtida de A por adi¸˜o ` coluna i de A do m´ltiplo-λ da coluna j de A. Ent˜o detA = detB. u a Demonstra¸˜o. ca (1) Trata-se de uma consequˆncia imediata da defini¸˜o de determie ca nante. O desenvolvimento do determinante da matriz AT segundo a linha i coincide com o desenvolvimento do determinante da matriz A segundo a coluna i. (2) Atendendo a (d2 ) ao substituirmos as colunas A(i) e A(j) por A(i) + A(j) obtemos uma matriz com duas colunas iguais e logo de determinante igual a zero. Deste modo, 31
  • 32. 0 = det A(1) · · · A(i) + A(j) · · · A(i) + A(j) · · · A(n) = det A(1) · · · A(i) · · · A(i) · · · A(n) +det A(1) · · · A(j) · · · A(j) · · · A(n) +det A(1) · · · A(i) · · · A(j) · · · A(n) +det A(1) · · · A(j) · · · A(i) · · · A(n) donde o requerido. (3) Para A = A(1) · · · A(i) · · · A(j) · · · A(n) A(1) · · · A(i) + λA(j) · · · A(j) · · · A(n) Atendendo a (d2 ) tem-se B= detB = det A(1) · · · A(i) · · · A(j) · · · A(n) +det A(1) · · · λA(j) · · · A(j) · · · A(n) = det A(1) · · · A(i) · · · A(j) · · · A(n) + + +λ det A(1) · · · A(j) · · · A(j) · · · A(n) = detA + 0 = detA j´ que a segunda matriz tem duas colunas iguais. a Ainda Algumas Propriedades de Determinantes Exerc´ ıcio. Para A ∈ Mn×n (K), i, j = 1, ..., n, α ∈ K descreva em fun¸˜o da matriz A as matrizes ca Eij (α)A A Eij (α) ii. . A(1) · · · A(i) + λA(j) · · · A(j) · · · A(n) = det i. tem-se Di (α)A Pij A A Di (α) A Pij ; prove que det (Eij (α)A) = det Eij (α) det A det (Di (α) A) = det Di (α) detA det (Pij A) = det Pij detA. 32 =
  • 33. Cap´ ıtulo 2 Sistemas de Equa¸oes c˜ Lineares 2.1 Generalidades (2.1 a) Defini¸˜o. ca Uma equa¸˜o linear em (ou nas inc´gnitas) x1 , x2 , ..., xn ca o ´ uma igualdade do tipo e a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn = b onde a1 , a2 , ..., an e b s˜o elementos (n´meros) de K. a u A x1 , x2 , ..., xn chamamos inc´gnitas, sendo o a1 , a2 , ...an os coeficientes das inc´gnitas e o b o segundo membro ou termo independente. (2.1 b) Defini¸˜o. ca Um sistema de equa¸˜es lineares ´ uma colec¸˜o finita de co e ca equa¸˜es lineares. co 33
  • 34. Um sistema de m equa¸˜es em n inc´gnitas co o   a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1    a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = b2  ···    am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn = bm n aij xj = bi , i = 1, ..., m j=1 pode representar-se abreviadamente na forma matricial Ax = b onde    A=   a11 a21 . . . a12 a22 . . . ··· ··· .. . a1n a2n . . . am1 am2 · · · amn          x=   ,          ,b =    xn m×n matriz do sistema x1 x2 . . . n×1 matriz-coluna b1 b2 . . . bm       m×1 segundo membro das inc´gnitas o (2.1 c) Defini¸˜o. ca Uma solu¸˜o do sistema de equa¸˜es lineares nas inc´gnitas ca co o x1 , ..., xn ´ uma sequˆncia ordenada de n´meros e e u α1 , ..., αn tais que as substitui¸˜es co xi = αi , i = 1, ..., n transformam todas as equa¸˜es em identidades. co Resolver um sistema de equa¸˜es lineares ´ determinar todas as solu¸˜es co e co ou provar que n˜o existe solu¸˜o. a ca 34
  • 35. Tipos de sistemas relativamente ao n´ mero de solu¸˜es. u co Um sistema que admite pelo menos uma solu¸˜o diz-se poss´ ca ıvel (Diz-se determinado se s´ tiver uma, indeterminado se tiver mais o do que uma). Um sistema de equa¸˜es que n˜o tenha qualquer co a solu¸˜o diz-se imposs´ ca ıvel. Interpreta¸˜o geom´trica no caso K = IR e m = n = 2 ca e Seja dado o sistema ax + by = c a x+b y =c y com a = 0 ou b = 0 com a = 0 ou b = 0 y d d d d ¨ ¨¨ ¨ d d ¨¨ ¨¨   ¨¨       x d   d     d d d x y d d d d d d d   sistema poss´ ıvel determinado (rectas concorrentes) d x d d     d d d sistema poss´ ıvel indeterminado (rectas coincidentes) sistema imposs´ ıvel (rectas paralelas) (2.1 d) Defini¸˜o. ca Sistemas com o mesmo n´mero de equa¸˜es e inc´gnitas u co o dizem-se equivalentes se tiverem exactamente as mesmas solu¸˜es. co     Directos   M´todos de Resolu¸˜o   e ca de sistemas de equa¸˜es lineares d co d d d Iterativos (An´lise Num´rica) a e 35
  • 36. 2.2 O Algoritmo de Elimina¸˜o de Gauss (m´todo ca e directo) Ideia B´sica do M´todo: os sistemas (cujas matrizes sejam) triangulares a e (ou em escada) resolvem-se facilmente por substitui¸˜o ascendente. ca   2x + 3y − 4z = 1  2y + 5z = −3   z = 3/2 2z = 3   x = ...  2y + 5 × 3/2 = −3 y = −21/4 .)   z = 3/2 z = 3/2 (Por exemplo           Objectivo. Desenvolver um algoritmo para transformar o sistema dado noutro equivalente cuja matriz seja (triangular) em escada.   −2x + y + z = 1  (L1 ) 4x + 2y − 3z = 0 (L2 )   −2x − 3y + 5z = 5 (L3 ) vamos efectuar uma sequˆncia de passos-elementares que o transforme num e sistema equivalente de matriz (triangular) em escada. Dado o sistema Um passo elementar no m´todo de elimina¸ao de Gauss consiste na e c˜ adi¸˜o membro a membro a uma equa¸˜o de um m´ltiplo de outra de forma ca ca u a que, na equa¸˜o obtida, seja nulo o coeficiente de certa inc´gnita. Diz-se ca o ent˜o que se eliminou essa inc´gnita da equa¸˜o. a o ca Parte Descendente do M´todo e   −2x + y + z = 1  (L1 ) 4x + 2y − 3z = 0 (L2 )   −2x − 3y + 5z = 5 (L3 )   −2=0 x + y + z = 1    4=0 y − z = 2 −4 y + 4z = 4 (L1 = L1 ) (L2 = L2 − (−2L1 )) (L3 = L3 − L1 ) 36
  • 37.   −2=0 x + y + z = 1  4=0   (L1 = L1 ) (L2 = L2 ) a (L3 = L3 − ( a32 )L2 ) y−z =2 3z = 6 22 (Por exemplo, sendo a11 = 0 a adi¸˜o ` segunda equa¸˜o da ca a ca 21 primeira multiplicada por − a11 elimina a inc´gnita x1 da seo a gunda equa¸˜o.) ca Em seguida, passamos a eliminar a inc´gnita x2 de todas as equa¸˜es o co a partir da 3a - para o qual ´ necess´rio que a22 (o novo coeficiente de x2 e a na 2a equa¸˜o) seja n˜o-nulo. Este processo repete-se at´ n˜o ser poss´ ca a e a ıvel continu´-lo mais. Os n´meros n˜o-nulos a u a a11 , a22 , ... chamam-se pivots da elimina¸˜o. ca No presente caso em estudo h´ 3 pivots havendo 3 equa¸˜es e 3 inc´gnitas. a co o Parte Ascendente do M´todo e No caso em estudo   −2=0 x + y + z = 1     4=0 y − z = 2  3z = 6  z = 2         −2x + 1 + 2 = 1  x = 1   4y − 2 = 2   z=2 y=1 y=1   z=2   z=2 e logo o sistema ´ poss´ e determinado admitindo a solu¸˜o unica {(1, 1, 2)}. e ıvel ca ´ Algoritmo de Elimina¸˜o de Gauss ca Seja dado um sistema de m equa¸˜es em n inc´gnitas co o   a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1    a x + a x + ... + a x = b 21 1 22 2 2n n 2  ···    am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn = bm 37 (L1 ) (L2 ) ··· (Lm )
  • 38. i. Se a11 = 0, considere L1 = L1 L2 = L2 − . . . a21 a11 Lm = Lm − L1 passos elementares do m´todo e am1 a11 L1 Deste modo, a inc´gnita x1 ´ eliminada de todas as equa¸˜es a partir o e co da segunda. ii. iii. Seja agora a22 o coeficiente de x2 na segunda equa¸˜o do sistema ca (equivalente ao dado pelo Teorema (??) e obtido em (i.)). Se a22 = 0, usando um processo ao descrito em (i.), elimine a inc´gnita x2 em o todas as equa¸˜es do novo sistema a partir da 3a equa¸˜o. co ca E o processo ´ repetido enquanto poss´ e ıvel. Nota. Caso apare¸a um zero na posi¸˜o em que devia estar um pivot, c ca procura-se resolver o problema trocando a respectiva equa¸˜o por uma outra ca situada abaixo dela. Se nenhuma troca resolver o problema, o pivot passa a ser procurado entre os coeficientes da inc´gnita seguinte. o (2.2 a) Teorema. Cada passo elementar do m´todo de elimina¸˜o de e ca Gauss transforma um sistema noutro equivalente. Demonstra¸˜o. Cada passo elementar pode ser descrito matricialmente ca pela multiplica¸˜o ` esquerda por uma matriz elementar do tipo Eij (α). ca a Basta ent˜o reparar que Eij (α)−1 = Eij (−α). a (Por exemplo, a elimina¸˜o de x1 na segunda linha ´ efectuada pela ca e multiplica¸˜o ` esquerda por ca a E21 (− a21 ). a11 A partir do sistema Ax = b (1) obtemos o sistema E21 (− a21 a21 )Ax = E21 (− ) b. a11 a11 (2) 38
  • 39. Se x0 for solu¸˜o de (1) ´ imediatamente solu¸˜o de (2). Agora se x1 for ca e ca a21 solu¸˜o de (2) ent˜o por multiplica¸˜o de (2) por E21 ( a11 ) obtemos ca a ca Ax1 = b e logo x1 ´ tamb´m solu¸˜o de (1).) e e ca Do processo de elimina¸˜o de Gauss resulta um sistema equivalente ca Ux = c cuja matriz U (que ´ ainda do tipo m × n) tem uma forma especial e que se e diz matriz-em-escada. (2.2 b) Defini¸˜o. ca Uma matriz diz-se uma matriz-em-escada (de linhas) sempre que satisfa¸a: c (1) Se o primeiro elemento n˜o-nulo numa linha esa tiver na coluna j ent˜o a linha seguinte come¸a a c com, pelo menos, j elementos nulos. ıdas por ze(2) Se houver linhas totalmente constitu´ ros, elas aparecem depois das outras. (Pela pr´pria defini¸˜o, as matrizes triangulares superiores de elementos o ca diagonais n˜o-nulos s˜o matrizes-em-escada.) a a     • ∗ ∗    ∗     0 0 •   0 • • 0 0 0 0 ∗ 0 0 0 0 ∗ • 0 0 0 ∗ ∗ • 0 0 ∗ ∗ ∗ 0 0 ∗ ∗ ∗ 0 0 ∗ ∗ ∗ • 0 Aqui ∗ designa um elemento arbitr´rio de K a • representa um elemento n˜o-nulo em K. a 39               • 0 0 0 0 ∗ • 0 0 0 ∗ ∗ 0 0 0       
  • 40. Com a obten¸˜o da matriz-em-escada U termina a parte descendente do ca m´todo de elimina¸˜o de Gauss. e ca Neste momento verifica-se se o sistema obtido Ux = c ´ poss´ e ıvel, isto ´, verifica-se a n˜o-existˆncia de equa¸˜es com o primeiro e a e co membro nulo e o segundo n˜o-nulo. Se o sistema for poss´ resolve-se de a ıvel baixo para cima (parte ascendente do algoritmo) obtendo algumas inc´gnitas o (aquelas que est˜o a ser multiplicadas por pivots) em fun¸˜o das restantes. a ca ` As primeiras chamamos inc´gnitas principais ou b´sicas e `s outras (que o a a podem tomar qualquer valor em K) chamamos inc´gnitas n˜o-principais o a ou livres. Casos Poss´ ıveis no final da Elimina¸˜o (para m = n) ca (1) H´ n pivots. a O sistema Ux = c ´ do tipo e   a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = ˜1 ˜ ˜ b  ˜   ˜2  a22 x2 + ... + a2n xn = b ˜ ˜ . .   .    ann xn = ˜n ˜ b e por substitui¸˜o ascendente obtemos a solu¸˜o unica. O sistema ca ca ´ ´ poss´ e ıvel e determinado. (2) H´ k pivots com k n. a As ultimas equa¸˜es do sistema obtido s˜o do tipo 0 = 0 ou 0 = a ´ co a com a = 0. a. H´ pelo menos uma equa¸˜o do tipo 0 = a com a = 0. Neste a ca caso o sistema ´ imposs´ e ıvel. b. Considere as primeiras k equa¸˜es e passe as parcelas refeco rentes `s n − k inc´gnitas livres para os segundos membros. a o Resolva o sistema em rela¸˜o `s k inc´gnitas b´sicas. Obteca a o a mos os valores das k inc´gnitas b´sicas em fun¸˜o das n − k o a ca inc´gnitas livres. Neste caso, o sistema ´ poss´ o e ıvel e indeterminado. Diz-se que o grau de indetermina¸˜o do sistema ca ´ e n − k. n´mero de inc´gnitas u o 40 n´mero de pivots u
  • 41. (2.2 c) Exemplos. (I) O sistema   x − y + z = −2  −3x + 3y − z = 5   2x − 2y + z = −1   x − y + z = −2  0y + 2z = −1   0y − z = 3   x − y + z = −2  2z = −1   0z = 5/2 (L1 ) (L2 ) (L3 ) (L1 = L1 ) (L2 = L2 + 3L1 ) (L3 = L3 − 2L1 ) (L1 = L1 = L1 ) (L2 = L2 ) (L3 = L3 + (1/2)L2 ) ´ imposs´ (pela existˆncia da 3a equa¸˜o, ou seja, o n´mero de pivots ´ e ıvel e ca u e inferior ` caracter´ a ıstica da matriz ampliada do sistema). (II) No sistema   x − y + z = −2  (L1 ) (L2 ) (L3 ) −3x + 3y − z = 5   2x − 2y + z = −7/2   x − y + z = −2  2z = −1   −z = 1/2   x − y + z = −2  2z = −1   0z = 0 (L1 = L1 ) (L2 = L2 + 3L1 ) (L3 = L3 − 2L1 ) (L1 = L1 = L1 ) (L2 = L2 ) (L3 = L3 + (1/2)L2 ) para efeitos de determina¸˜o da solu¸˜o do sistema, esta ultima equa¸˜o ca ca ´ ca 0z = 0 ´ irrelevante j´ que qualquer valor de z satisfaz esta equa¸˜o. e a ca Comecemos por reparar que o n´mero de pivots, 2, ´ inferior ao n´mero u e u de inc´gnitas, 3, sendo x e z as inc´gnitas b´sicas (cujos coeficientes s˜o o o a a pivots) e sendo y uma vari´vel livre. a x + z = −2 + y z = −1/2 x = y − 3/2 z = −1/2 41
  • 42. O conjunto das solu¸˜es (solu¸˜o geral) ´, portanto, co ca e {(y − 3/2, y, −1/2) : y ∈ IR} sendo o grau de indetermina¸˜o do sistema ( igual ao n´mero de inc´gnitas ca u o livres), 1 = 3 − 2. (2.2 d) Defini¸˜o. ca A caracter´ ıstica de A, car A, ´ o n´mero de pivots que e u aparecem na matriz resultado da aplica¸˜o a A do m´todo ca e de elimina¸˜o de Gauss. ca Equivalentemente, car A ´ o n´mero de linhas n˜o-nulas e u a da matriz-em-escada U produzida pelo algoritmo de elimina¸˜o de Gauss aplicado a A. ca Uma matriz quadrada, An×n diz-se n˜o-singular se tiver a caracter´ ıstica igual a n, isto ´, se a caracter´ e ıstica e a ordem coincidirem. Se car An×n n a matriz A diz-se singular. No caso de A ∈ Mn×n (K) ser n˜o-singular, a matriz U ´ triangular a e superior com os elementos diagonais n˜o-nulos (s˜o os n pivots). a a Verific´mos que na aplica¸˜o do algoritmo de Gauss os coeficientes aij a ca e os termos independentes s˜o alterados. Para simplificar a aplica¸˜o do a ca m´todo ´ conveniente trabalhar com a seguinte matriz que se diz a matrize e ampliada do sistema.  A | b   =    a11 a21 . . . a12 a22 . . . ··· ··· .. . a1n a2n . . . | | b1 b2 . . . | am1 am2 · · · amn | bm 42      
  • 43. Casos Poss´ ıveis no Final da Parte Descendente do Algoritmo de Elimina¸˜o de Gauss ca (An´lise da matriz-ampliada obtida) a A ∈ Mm×n (K) car A car A | b Sistema Imposs´ ıvel                      • ∗ ∗ ∗ 0 • ∗ ∗ 0 0 • ∗ . . . .. . . . . . . . 0 0 0 ··· 0 0 0 ··· . . . .. . . . . . . . ∗ ∗ ··· ∗ ∗ ··· ∗ ∗ ··· . . .. . . . . . • ∗ ··· 0 0 ··· . . .. . . . . .  ∗ ∗ ∗ . . . | ∗ | ∗   | ∗   .  .  | .   ∗ | ∗   0 | ∗    . . | .  .  . .  0 0 0 0 0 0 ··· 0 | •   . . . .. . . .. . .  . . . . . . . . | .  . . . . . . . 0 0 0 0 0 0 ··· 0 | ∗ onde e • designa um elemento n˜o-nulo de K a ∗ representa um elemento arbitr´rio em K. a A ∈ Mm×n (K) car A = car A | b Sistema Poss´ ıvel e Determinado (n´mero de pivots = n´mero de inc´gnitas) u u o (s´ h´ vari´veis b´sicas) o a a a          • ∗ ∗ ∗ 0 • ∗ ∗ 0 0 • ∗ . . . .. . . . . . . . 0 0 0 ···     | ∗    | ∗     | ∗  ou    .    | .  .   • | ∗  ∗ ∗ ∗ . . .  • ∗ ∗ ∗ 0 • ∗ ∗ 0 0 • ∗ . . . .. . . . . . . . 0 0 0 ··· 0 0 0 ··· . . . .. . . . . . . . 0 0 0 43 0 ∗ ∗ ∗ . . .  | ∗ | ∗    | ∗   .  | .  .  • | ∗   0 | 0   . .  . | .  . .  0 | 0
  • 44. A ∈ Mm×n (K) car A = car A | b Sistema Poss´ ıvel e Indeterminado (n´mero de pivots n´mero de inc´gnitas) u u o ( h´ vari´veis livres) a a          • ∗ ∗ ∗ 0 • ∗ ∗ 0 0 • ∗ . . . .. . . . . . . . 0 0 0 ··· ∗ ∗ ··· ∗ ∗ ··· ∗ ∗ ··· . . .. . . . . . • ∗ ··· ∗ ∗ ∗ . . . ∗    | ∗    | ∗     | ∗  ou    .    | .  .   | ∗    • ∗ ∗ ∗ 0 • ∗ ∗ 0 0 • ∗ . . . .. . . . . . . . 0 0 0 ··· 0 0 0 ··· . . . .. . . . . . . . 0 0 0 0 ∗ ∗ ··· ∗ ∗ ··· ∗ ∗ ··· . . .. . . . . . • ∗ ··· 0 0 ··· . . .. . . . . . ∗ ∗ ∗ . . . Decomposi¸˜o LU de uma matriz (Resolu¸˜o ca ca de sistemas) Dada uma matriz A ∈ Mn×n (K) ser´ poss´ a ıvel (sempre?) escrevˆ-la como e um produto de duas matrizes A = LU onde L ´ triangular inferior e e U ´ triangular superior? e E o mesmo acontecer´ com A ∈ Mm×n (K) ? a Caso I A matriz A ´ n˜o-singular. e a Analisemos a aplica¸˜o do m´todo de elimina¸˜o de Gauss ` resolu¸˜o ca e ca a ca do seguinte sistema 44  ∗ | ∗   0 | 0   . .  . | .  . .  0 0 ··· 0 | 0 Todas as equa¸˜es com o 1o membro igual a zero tˆm tamb´m o 2o co e e membro igual a zero. 2.3  | ∗ | ∗    | ∗   .  . | . 
  • 45.       −2 1 1 x 1       2 −3   y  =  0   4 −2 −3 5 z 5  L2 + 2L1  −2   L3 − L1 1 1 | 1 → −2 1 1 | 1 →    2 −3 | 0  E21 (2)  0 4 −1 | 2  E31 (−1) −2 −3 5 | 5 −2 −3 5 | 5   4 A U1 L3 + L2     → −2 1 1 | 1 → −2 1 1 | 1     E31 (−1)  0 4 −1 | 2  E32 (1)  0 4 −1 | 2  0 −4 4 | 4 0 0 3 | 6 U2 U com E21 (2) A = U1 E31 (−1)(E21 (2) A) = U2 E32 (1)(E31 (−1) E21 (2) A) = U donde E32 (−1) (E32 (1)E31 (−1)E21 (2) A) = E32 (−1) U E21 (2) A = E31 (1) E32 (−1)U A = E21 (−2) E31 (1) E32 (−1) U L U onde L ´ dada por um produto de matrizes invert´ e ıveis.        1 0 0 1 0 0     L =  −2 1 0   0 1 0  E32 (−1) 0 0 1 1 0 1    1 0 0 1 0 0 1 0 0       =  −2 1 0   0 1 0  =  −2 1 0  1 −1 1 0 −1 1 1 0 1 Nota. A matriz L armazena toda a informa¸˜o do processo de elimica na¸˜o de Gauss. ca 45
  • 46. i. Caso n˜o haja (no processo de elimina¸˜o de Gauss) troca de a ca linhas, a matriz L ´ uma matriz triangular inferior com elementos e diagonais iguais a 1 e os elementos sob a diagonal de L s˜o os a sim´tricos dos multiplicadores usados na elimina¸˜o, cada um na e ca posi¸˜o em que figura na respectiva matriz elementar. (Assim, a ca matriz L ´ muito f´cil de escrever.) e a ii. Por´m, se houver necessidade de troca de linhas, a unica diferen¸a e ´ c ´ que o algoritmo deve ser visto como aplicado n˜o a A mas a P A e a onde P ´ uma matriz de permuta¸˜o (P ´ o produto das matrizes e ca e de permuta¸˜o correspondentes `s v´rias trocas de linha feitas ca a a durante o algoritmo) e ao segundo membro P b.   1 1 1   Dada a matriz  3 3 −1  tem-se 1 −1 −1 L2 = L2 − 3L1 L3 = L3 − L1   L3 = L2 L2 = L3     1 1 1 1 1 1 1 1 1       A =  3 3 −1  →  0 0 −4  →  0 −2 −2  = U 1 −1 −1 0 −2 −2 0 0 −4 P23 E31 (−1) E21 (−3) A = U E31 (−1) E21 (−3) A = P23 U E21 (−3) A = E31 (1) P23 U A = E21 (3) E31 (1) P23 U   1 0 0   A =  3 1 0  P23 U 1 0 1 L 1 0 0  A= 3 0 1 1 1 0  1 0  P23 A =  1 1 3 0    U logo P23 A = L U. 46  0  0 U 1
  • 47. Notemos que foi poss´ escrever P A = LU embora a matriz L ıvel calculada n˜o coincida com a matriz L encontrada no meio do a processo. Caso II A matriz A ´ (singular ou) do tipo m × n e (2.3 a) Teorema. Sendo A uma matriz arbitr´ria do tipo m × n a existe uma matriz de permuta¸˜o P tal que P A se pode factorizar na ca forma LU onde L ´ triangular inferior com elementos diagonais iguais e a 1 e U ´ uma matriz-em-escada. Os elementos sob a diagonal de L s˜o e a os sim´tricos dos ”multiplicadores”usados no m´todo de elimina¸˜o e e ca aplicado a A e U ´ a matriz produzida pelo algoritmo (e portanto o e primeiro elemento n˜o-nulo em cada linha n˜o-nula ´ um pivot). a a e Resolu¸˜o do sistema Ax = b usando a factoriza¸˜o LU ca ca Caso 1. A matriz A ´ quadrada n˜o-singular. e a Pretendemos resolver o sistema Ax = b. Suponhamos que P A = LU. Ent˜o a Ax = b sse P Ax = P b sse LUx = P b Ly = P b sse Ux = y O sistema ´ transformado em dois sistemas triangulares tais que os e elementos das diagonais em ambas as matrizes s˜o n˜o-nulos. Ambos a a os sistemas s˜o poss´ a ıveis e determinados e o sistema Ax = b ´ ainda e poss´ e determinado. ıvel Caso 2. A matriz A ´ (singular ou) do tipo m × n, (m = n). e Ent˜o de P A = LU vem a Ax = b sse Ly = P b Ux = y (1) (2) O sistema (1) ´ ainda poss´ e ıvel e determinado. Mas na resolu¸˜o de ca (2) vamos poder obter um sistema indeterminado ou um sistema imposs´ ıvel. E, desta forma, tamb´m o sistema Ax = b poder´ ser poss´ e a ıvel indeterminado ou imposs´ ıvel. 47
  • 48. A Decomposi¸˜o LDU para A matriz n˜o-singular. ca a Suponhamos que efectu´mos a decomposi¸˜o LU da matriz A (isto ´, a ca e n˜o foi necess´rio trocar linhas). Ent˜o teremos a a a  1  21    31 A= .  .  .   n−1,1 n1      ×     0 1 . . . 0 0 1 . . . n−1,2 n−1,3 n2 n3 32 u11 u12 u13 0 u22 u23 0 0 u33 . . . . . . . . . 0 0 0 0 0 0 ··· ··· ··· .. . ··· ··· ··· .. . 0 0 0 . . . ··· ··· 1 n,n−1 u1,n1 u2,n1 u3,n1 . . . u1n u2n u3n . . . 0 0 0 . . .          0  1      .    un−1,n  · · · un−1,n−1 ··· 0 unn Os elementos ”uii ”, i = 1, 2, ..., n s˜o os pivots do processo de elimina¸˜o a ca (recordemos que car A = n). Ent˜o podemos escrever a  21 . . . 0 1 . . . n1   A=   1  n2 ··· 0 u11 0 · · · 0  · · · 0   0 u22 · · · 0 . . .. .   . .. . . . .  . . .  . . . ··· 1 0 0 · · · unn   1 0 . . .        0  0 u12 u11 1 . . . ··· ··· .. . 0 0 u1,n−1 u11 un−1,2 u22 ··· ··· . . . 1 0 u1n u11 un,2 u22 un−1,n un−1,n−1 Esta factoriza¸˜o designa-se por factoriza¸˜o LDU da matriz A. ca ca Resolu¸˜o de Sistemas Homog´neos ca e ´ E evidente que um sistema homog´neo (com todos os segundos membros e iguais a zero) ´ sempre poss´ e ıvel (admite, pelo menos a solu¸˜o nula). ca Para um sistema homog´neo e Ax = 0m×1 , A ∈ Mm×n (K) (1) designemos por N (A) o conjunto de todas as solu¸˜es do sistema (1). co 48 . . . 1         
  • 49. Resolu¸˜o do Sistema Homog´neo ca e Am×n xn×1 = 0m×1 , A ∈ Mm×n (K) 1o Passo Determina¸˜o da matriz-em-escada U. Seja car U = r. ca 2o Passo No sistema Ux = 0 (que ´ equivalente ao sistema Ax = 0) e separam-se as inc´gnitas em b´sicas (correspondentes `s inc´gnitas o a a o com pivots e que s˜o em n´mero de r) e em livres. Se n˜o houver a u a inc´gnitas livres o sistema ´ poss´ o e ıvel e determinado (admitindo somente a solu¸˜o nula). ca 3o Passo Para cada inc´gnita livre, d´-se o valor 1 (de facto, poderia ser o a um valor arbitr´rio mas este simplifica os c´lculos) a essa inc´gnita a a o e zero `s restantes inc´gnitas livres e resolve-se o sistema resultante a o (com r equa¸˜es). As n − r colunas assim obtidas geram o conjunto co N (A) das solu¸˜es, isto ´, qualquer solu¸˜o ´ combina¸˜o linear dessas co e ca e ca n − r colunas determinadas (uma para cada inc´gnita livre). o (2.3 b) Exemplo. Utilizemos o algoritmo anterior no c´lculo de um “conjunto de gera adores”para o conjunto, N (A), de solu¸˜es do seguinte sistema homog´neo. co e Uma vez que temos    1 1 1 2     0 0 −4 −4    0 0 0 0 x1 x2 x3 x4    0     = 0   0 as inc´gnitas b´sicas s˜o x1 e x3 sendo x2 e x4 as livres, logo o sistema ´ o a a e equivalente a x1 + x3 = −x2 − 2x4 −4x3 = 4x4 . Referente ` inc´gnita livre x2 , fazendo a o x1 + x3 = −1 −4x3 = 0 49 x2 = 1 resolvendo o sistema x4 = 0 x1 = −1 x3 = 0
  • 50.     obtemos o gerador  −1 1 0 0    a o  . Agora referente ` inc´gnita livre x4 , fazendo  x2 = 0 x1 + x3 = −1 x1 = −1 e resolvendo o sistema obtemos x4 = 1 −4x3 = 4 x3 = −1   −1  0    o gerador  .  −1  1      −1 −1           1   0  Assim  e ,  ´ um sistema de geradores do conjunto N (A),  0   −1       0 1  isto ´, qualquer solu¸˜o do sistema homog´neo pode ser escrito como uma e ca e combina¸˜o linear destas duas matrizes-coluna, ca         −1 −1         0    1    N (A) = α  +β : α, β ∈ K .     0    −1        0 1 (2.3 c) Teorema. Um sistema homog´neo com um n´mero de inc´gnitas e u o superior ao n´mero de equa¸oes ´ poss´ indeterminado. u c˜ e ıvel Demonstra¸˜o. A representa¸˜o matricial de um tal sistema ´ dado por ca ca e Ax = 0m×1 , A ∈ Mm×n (K) com m n. ´ E imediato que car A = r ≤ m n e portanto h´ necessariamente n − r a inc´gnitas livres. o (2.3 d) Teorema. Se x for uma solu¸˜o do sistema Ax = b ent˜o o ca a conjunto das solu¸˜es do sistema ´ co e {x + u : u ∈ N (A)}. 50
  • 51. Demonstra¸˜o. E evidente que qualquer elemento da forma x + u com ca ´ u ∈ N (A) ´ solu¸˜o do sistema Ax = b j´ que e ca a A(x + u) = Ax + Au = b + 0 = b. Reciprocamente, para x solu¸˜o arbitr´ria do sistema Ax = b, fa¸a-se ca a c u=x −x. Ent˜o a Au = A(x − x ) = Ax − Ax = b − b = 0 ´ o que significa que u ∈ N (A). E claro que x = x + (x − x ) = x + u e logo da forma pretendida. 2.4 Invers˜o de Matrizes a Dada uma matriz quadrada de ordem n, An×n , pretendemos determinar uma matriz Xn×n tal que AX = In = XA ou seja A × (coluna 1 de X) A × (coluna 2 de X) · · · A × (coluna n de X)    =    1 0 ··· 0 0 1 ··· 0   . . .. .  . . . . .  . . .  0 0 ··· 1 A determina¸˜o de X que satisfa¸a AX = In ´ equivalente ` resolu¸˜o ca c e a ca de n sistemas de equa¸˜es lineares com a mesma matriz co    Ax =    1 0 . . . 0        , Ax =      0 1 . . . 0        , ... , Ax =      0 0 . . .       1 Estes sistemas podem ser resolvidos simultaneamente. 51
  • 52. (2.4 a) Exemplo. Pretendemos determinar a inversa da matriz 1 2 . 3 4 Resolu¸˜o. Por defini¸˜o a matriz inversa da matriz dada, ca ca x1 x3 x2 x4 , dever´ satisfazer a condi¸˜o a ca x1 x3 x2 x4 1 2 3 4 = 1 0 0 1 . Efectuando os passos do processo de elimina¸˜o de Gauss ca 1 2 3 4 x1 x3 x2 x4 = 1 0 −3 1 1 2 0 −2 x1 x3 x2 x4 = 1 0 0 1 1 0 −3 1 1 0 −3 1 somos levados ` resolu¸˜o de dois sistemas de equa¸˜es lineares a ca co         1 2 0 −2 x1 x2 = 1 −3        1 2 x3 0 = 0 −2 x4 1 Mas existe outro processo poss´ para a resolu¸˜o simultˆnea dos sisıvel ca a temas (processo de elimina¸˜o ascendente). Assim, ca 1 2 0 −2 x1 x3 x2 x4 1 0 −3 1 = multipliquemos (para anular o (1,2)-elemento da matriz) ambos os membros por E12 (1). Obtemos 1 1 0 1 1 2 0 −2 1 =0 0 0 −2 =0 x1 x3 x2 x4 x1 x3 x2 x4 D 52 1 1 0 1 = = −2 1 −3 1 1 0 −3 1 .
  • 53. Mas esta matriz D ´ invert´ e ıvel. Logo 1 0 0 −1/2 1 =0 0 0 −2 =0 x1 x3 x2 x4 1 0 0 −1/2 = −2 1 −3 1 ou ainda, x1 x3 x2 x4 −2 1 3/2 −1/2 = . Aten¸˜o. Analisemos os passos efectuados. Temos ca E12 (1) E21 (−3)A = D donde A = E21 (3) E12 (−1) D e logo A−1 = D−1 E12 (1) E21 (−3) A  1 2 |  | I2  3 4 |     ↓ 1  | 1 0   |   0 −2 | −3 1 Elimina¸˜o Descendente ca 2  ↑   I2  | −2 1  |  | 3/2 −1/2 Elimina¸˜o Ascendente ca A−1 O Algoritmo de Gauss-Jordan para a Determina¸˜o da Inversa ca de uma Matriz (2.4 b) Teorema. Uma matriz quadrada A ´ invert´ se e s´ se e ıvel o for n˜o-singular. a Demonstra¸˜o. Mostremos que a condi¸˜o ´ necess´ria, isto ´, admitindo ca ca e a e que a matriz A ´ invert´ mostremos que ´ n˜o-singular. e ıvel e a 53
  • 54. Uma vez que A ´ invert´ ent˜o qualquer sistema Ax = b (cuja matriz e ıvel a seja A) ´ poss´ e determinado j´ que e ıvel a A−1 (Ax) = A−1 b determina a solu¸˜o (´nica) ca u x = A−1 b. Mas ent˜o, necessariamente, A tem n pivots, ou seja, ´ n˜o-singular. a e a Resta agora mostrar que a condi¸˜o ´ suficiente, isto ´, admitindo que a ca e e matriz A ´ n˜o-singular mostremos que ´ invert´ e a e ıvel. Representemos por E o produto de todas as matrizes elementares correspondentes aos passos elementares do processo de elimina¸˜o que permite ca determinar uma matriz diagonal D de elementos diagonais n˜o-nulos. Ent˜o a a D satisfaz EA = D. Mas a matriz A ´ invert´ porque ´ um produto de matrizes elementares e ıvel e que s˜o invert´ a ıveis. Ent˜o a A = E −1 D e logo A ´ invert´ j´ que E −1 D o ´. (De facto, A−1 = D−1 E.) e ıvel a e ALGORITMO. C´lculo da matriz inversa de uma dada matriz An×n a Para calcular a matriz inversa de A (se existir) efectua-se na mae triz do tipo n × 2n, A | In a parte descendente do m´todo de elimina¸˜o de Gauss aplicado a A. Se houver um n´mero ca u de pivots inferior a n a matriz A n˜o ´ invert´ a e ıvel. Se houver n pivots usando-os pela ordem contr´ria ` anteriormente usada, a a anulam-se com opera¸˜es elementares todos os elementos acima co da diagonal da matriz situada ` esquerda. Finalmente, divide-se a cada linha pelo respectivo pivot. No fim deste processo a matriz obtida ´ e In | A−1 . (2.4 c) Teorema. (Unicidade da factoriza¸˜o LU no caso n˜o-singular) ca a Se A for n˜o-singular a factoriza¸˜o LU de A a ca (ou de P A) ´ unica. e´ 54
  • 55. Demonstra¸˜o. Suponhamos que ca P A = LU P A = L1 U1 com L e L1 matrizes triangulares inferiores com elementos diagonais iguais a 1 e U e U1 matrizes triangulares superiors com elementos diagonais n˜oa nulos. Ent˜o a LU = L1 U1 donde L−1 L 1 = matriz triangular inferior U1 U −1 matriz triangular superior Como estas matrizes s˜o iguais tˆm de ser diagonais e os elementos diagonais a e tˆm de ser iguais a 1 (porque s˜o os do primeiro membro). Logo e a L−1 L = In 1 U1 U −1 = In ou seja L1 = L, U1 = U. (2.4 d) Observa¸˜es. co (I) No caso da matriz A ser singular ou rectangular  1 2  de A ( ou de P A) pode n˜o ser unica. Para A =  2 4 a ´ 0 0     a factoriza¸˜o LU ca  0  0  temos 0  1 2 0 1 0 0 1 2 0      A =  2 4 0  =  2 1 0  0 0 0  0 0 0 0 0 1 0 0 0 L U   1 2 0 1 0 0    =  2 1 0  0 0 0  0 0 0 0 5 1  L 55 U
  • 56. com A singular (car A = 1).   0 0   Tamb´m, por exemplo, para A =  0 0  temos e 0 0      0 0 1 0 0 0 0      A =  0 0  =  0 1 0  0 0  0 0 0 0 1 0 0 L U  1 0 0 0 0    =  2 1 0  0 0  3 4 1 0 0  L U. (II) Determinemos a solu¸˜o do sistema ca Ax = b   1 1 1 2   para A =  3 3 −1 2  1 1 −1 0    −2   (i) b =  6  ; 4  −2   (ii) b =  6  . −1 Resolu¸˜o. ca 1) Comecemos por calcular a decomposi¸˜o LU da matriz A. ca       1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2        3 3 −1 2  →  0 0 −4 −4  →  0 0 −4 −4  1 1 −1 0 0 0 −2 −2 0 0 0 0 Logo    1 0 0 1 1 1 2    A =  3 1 0   0 0 −4 −4  1 1/2 1 0 0 0 0 L U car A = 2 = n´mero de linhas n˜o-nulas de U u a = n´mero de pivots de A u 56
  • 57. 2) Resolvamos agora o sistema Ly = b        1 0 0 y1 −2       1 0   y2  =  6   3 1 1/2 1 y3 4  −2    6  −1   y1 = −2  3y + y = 6 1 2   y + 1/2 y + y = 4 1 2 3   y1 = −2  (= −1) y = 12  2  y =0 3 (y3 = −5) 3) Resolu¸˜o do sistema Ux = y. ca    1 1 1 2      0 0 −4 −4    0 0 0 0 x1 x2 x3 x4     −2      =  12     −2    =  12  −5 0 Imediatamente no caso ii. o sistema ´ imposs´ e ıvel. Continuando com a resolu¸˜o da al´ ca ınea i., as inc´gnitas b´sicas s˜o x1 e x3 sendo as livres x2 e o a a x4 . Resolvamos ent˜o o sistema equivalente a x1 + x3 = −2 − x2 − 2x4 −4x3 = 12 + 4x4 x1 = −2 − x2 − 2x4 + 3 + x4 x3 = −3 − x4 x1 = 1 − x2 − x4 x3 = −3 − x4 Logo a solu¸˜o geral ´ ca e      x1 x2 x3 x4       =   1 − x2 − x4 x2 −3 − x4 x4       =   1 0 −3 0      + x2      solu¸˜o particular de ca de Ax = b correspondente a x2 = x4 = 0 57 −1 1 0 0      + x4      −1 0 −1 1      solu¸˜o geral de ca de Ax = 0 para x2 , x4 arbitr´rios a
  • 58. 2.5 Determinantes (algumas propriedades) Pretendemos apresentar ainda outro crit´rio de invertibilidade de matrizes. e Ele vai aparecer como um corol´rio do seguinte facto. a (2.5 a) Teorema. Para A matriz quadrada e U a matriz que se obt´m e de A por aplica¸˜o do algoritmo de elimina¸˜o ca ca de Gauss temos det A = ± det U. Demonstra¸˜o. Verific´mos anteriormente que o valor do determinante ca a de uma matriz n˜o se altera quando a uma linha adicionamos um m´ltiplo a u de outra linha (cf. (3) da Prop.(1.5j)). Mas tal significa que o valor do determinante de uma matriz n˜o se altera com a parte descendente do algoritmo a de elimina¸˜o de Gauss sempre que n˜o haja troca de linhas. Neste caso, ca a se o algoritmo transformar A na matriz U temos det A = det U. Sempre que haja troca de linhas no algoritmo de elimina¸˜o aplicado a A temos ca det A = det U se o n´mero de trocas for par e det A = −det U se o n´mero u u de trocas for ´ ımpar. Nota. Este teorema fornece ainda um processo de c´lculo de determia nantes. (2.5 b) Corol´rio. Uma matriz quadrada A ´ invert´ a e ıvel se e s´ se det A = 0. o Demonstra¸˜o. Pelo teorema anterior temos det A = ± det U. Uma vez ca que U ´ triangular (superior) o det U ´ dado pelo produto dos elementos da e e diagonal principal. No caso de A ser n˜o-singular (que ´ equivalente a ser a e invert´ ıvel) os elementos diagonais de U s˜o os n pivots que se determinam a quando se aplica o m´todo de elimina¸˜o de Gauss a A e, portanto det A = e ca det U = 0. Demonstremos a implica¸˜o rec´ ca ıproca, isto ´, sempre que det A = 0 ent˜o e a A ´ invert´ e ıvel, mostrando a validade do respectivo contra-rec´ ıproco. Assim iremos admitir que A n˜o ´ invert´ e iremos mostrar que det A = 0. Sendo a e ıvel A n˜o-invert´ a ıvel, isto ´, sendo A singular, a caracter´ e ıstica de A ´ inferior ` e a respectiva ordem. Ent˜o U tem pelo menos um elemento diagonal nulo e a 58
  • 59. logo det U = 0. Uma vez que det A = ± det U temos det A = 0, conforme pretendido. (2.5 c) Teorema. Para A e B matrizes quadradas de ordem n det(AB) = det A det B. Demonstra¸˜o. Vamos efectuar uma demonstra¸˜o por divis˜o do arguca ca a mento em casos (referente a propriedades de B). Caso 1. det B = 0 Ent˜o B ´ singular e portanto o sistema Bx = 0 tem solu¸˜es n˜oa e co a nulas. Seja v uma dessas solu¸˜es. Ent˜o Bv = 0. Multiplicando ambos os co a membros por A obtemos ABv = 0. Mas tal significa que tamb´m o sistema ABx = 0 tem solu¸˜es n˜o-nulas o e co a que significa que a matriz AB ´ tamb´m singular e portanto, det (AB) = 0. e e Logo det (AB) = 0, det A det B = (det A) × 0 = 0 verificando-se a propriedade requerida. Caso 2. det B = 0 Ent˜o a matriz B ´ n˜o-singular e logo pode escrever-se como produto de a e a matrizes elementares (Recordemos que existe E matriz produto de matrizes elementares tal que EB = D ou ainda, B = E −1 D ambas produto de elementares). Imediatamente, para B = Ek Ek−1 ... E1 matrizes elementares temos, atendendo ` al´ a ınea (ii) do ultimo exerc´ do primeiro cap´ ´ ıcio ıtulo, det (AB) = det (A Ek Ek−1 ... E1 ) = det (A Ek Ek−1 ... E2 ) det E1 ... = det A det Ek det Ek−1 ... det E1 ... = det A det(Ek ...E1 ) = det A det B. (2.5 d) Corol´rio. Para A matriz quadrada invert´ tem-se a ıvel 1 det (A−1 ) = . det A 59
  • 60. Demonstra¸˜o. De A A−1 = I vem, usando o teorema anterior, ca det A det A−1 = 1 donde o requerido. (2.5 e) Proposi¸˜o. Para P matriz de permuta¸˜o tem-se ca ca det(P T ) = det P. Demonstra¸˜o. Uma vez que ambas as matrizes P e P T s˜o matrizes de ca a permuta¸˜o, o determinante de cada uma delas ´ igual a 1 ou igual a −1. ca e Mas como a inversa de uma matriz de permuta¸˜o ´ a respectiva transposta ca e temos P P T = I. Imediatamente det P det P T = 1. Logo det P e det P T s˜o ambos iguais a 1 ou ambos iguais a −1. a (2.5 f) Teorema. Para A matriz quadrada tem-se det AT = det A. Demonstra¸˜o. Apliquemos ` matriz A o algoritmo de elimina¸˜o de ca a ca Gauss. Suponhamos que n˜o h´ necessidade de efectuarmos trocas de linhas. a a Ent˜o temos a A = LU det A = det U. Quanto ` transposta temos a AT = U T LT donde det AT = det U T det LT = det U T pois det LT = 1 porque LT ´ triangular com todos os elementos diagonais e iguais a 1. Mas U e U T tˆm os mesmos elementos diagonais. Logo det U T = e det U. 60
  • 61. Mostremos agora que o mesmo acontece caso haja necessidade de efectuarmos trocas de linhas. Neste caso temos P A = LU. Ent˜o, pelo teorema (2.5c), a det P det A = det L det U det A = det P −1 det U. Agora para as transpostas, de P A = LU vem AT P T = U T LT det AT det P T = det U T det LT det AT det P = det U T . Pela proposi¸˜o anterior det P T = det P e det U T = det U j´ que tˆm os ca a e mesmos elementos diagonais. Assim, det AT = det P −1 det U donde det A = det AT . Observa¸˜o. Atendendo ao teorema (2.5f ) todas as propriedades de ca determinantes que s˜o v´lidas para linhas s˜o tamb´m v´lidas para colunas. a a a e a A regra de Cramer Recordemos que, para A = aij e i, j = 1, ..., n chamamos comn×n plemento alg´brico de um elemento aij de A a e (−1)i+j det Aij onde Aij designa a (n − 1) × (n − 1)-submatriz de A obtida por supress˜o a da linha i e da coluna j. 61
  • 62. (2.5 g) Defini¸˜o. ca ˜ Para A = aij designamos por A a matriz dos comn×n plementos alg´bricos dos elementos de A, e ˜ A= (−1)i+j det Aij n×n . ` ˜ A matriz AT chamamos matriz adjunta de A. (2.5 h) Exemplo. A matriz adjunta de A = a11 a12 a21 a22 ´ e a22 −a12 −a21 a11 ˜ AT =   a11 a12 a13   (2.5 i) Exemplo. A matriz adjunta da matriz A =  a21 a22 a23  a31 a32 a33 ´ e   a22 a33 − a32 a23 ... ... ˜T =  −a21 a33 + a31 a23 ... −a11 a23 + a13 a21  A   a21 a32 − a31 a22 ... ... (Os elementos n˜o apresentados s˜o facilmente calculados.) a a (2.5 j) Teorema. Para A matriz quadrada de ordem n    ˜ A AT =    det A 0 0 det A . . . . . . 0 0 ··· ··· .. . 0 0 . . .     = (det A)In .   · · · det A Demonstra¸˜o. E deixada como exerc´ ca ´ ıcio. (2.5 k) Corol´rio. Para A matriz invert´ a ıvel A−1 = 1 ˜ AT . det A 62
  • 63. Demonstra¸˜o. Pelo corol´rio anterior temos ca a ˜ A AT = (det A) In . Sendo A invert´ ıvel, det A = 0, e podemos escrever A 1 ˜ AT = In det A 1 ˜ AT = A−1 . det A e logo Nota. Este corol´rio fornece um m´todo de constru¸˜o da inversa de a e ca uma matriz. (2.5 l) Teorema. (Regra de Cramer) Para An×n martiz invert´ ıvel a solu¸˜o unica do sistema Ax = b ´ a ca ´ e coluna cujos elementos s˜o os quocientes a det A(i) , i = 1, ..., n det A onde A(i) ´ a matriz que se obt´m de A substituindo a coluna i por b. e e a11 a12 invert´ e b = ıvel a21 a22 a solu¸˜o do sistema Ax = b ´ o elemento (x1 , x2 ) dado por ca e (2.5 m) Exemplo. Sendo A = det b1 a12 b2 a22 det x1 = e x2 = det            det a11 b1 a21 b2 a11 a12 a21 a22 b1 a12 b2 a22 det a11 b1 a21 b2 det , detA detA 63 , a11 a12 a21 a22        .     b1 b2