Aula de matrizes. jorge marcio

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  • INSTITUTO DE EDUCAÇÃO SANTO ÂNTONIO
  • Escreve-se matriz A=
  • Solução :
  • ......
  • Sendo A = B então :
  • 3 x 3
  • 7c = 1
  • VESTIBULAR UERJ 2006
  • Letra a:
  • Aula de matrizes. jorge marcio

    1. 1. Prof.: Jorge Marcio1 MATRIZES Prof.: Jorge MarcioProf.: Jorge Marcio
    2. 2. Prof.: Jorge Marcio2 Representação de uma MatrizRepresentação de uma Matriz Matrizes especiaisMatrizes especiais Igualdade de MatrizesIgualdade de Matrizes Adição e SubtraçãoAdição e Subtração Multiplicação de um número real por uma MatrizMultiplicação de um número real por uma Matriz Multiplicação de MatrizesMultiplicação de Matrizes Matriz InversaMatriz Inversa MATRIZES
    3. 3. Prof.: Jorge Marcio3 Quando abrimos jornais e revistas, encontramos com frequência informações numéricas organizadas na forma de tabelas com linhas e colunas. Em matemática essas tabelas são chamadas de matrizes. Vejamos um exemplo clássico de matriz que usamos constantemente. MATRIZES
    4. 4. Prof.: Jorge Marcio4 Colocação Time PG J V E D GP GC SG % 1º São Paulo 77 38 23 8 7 55 19 36 68% 2º Santos 62 38 19 5 14 57 47 10 54% 3º Flamengo 61 38 17 10 11 55 49 6 54% Fluminense 61 38 16 13 9 57 39 18 54% 5º Cruzeiro 60 38 18 6 14 73 58 15 53% 6º Grêmio 58 38 17 7 14 44 43 1 51% Palmeiras 58 38 16 10 12 48 47 1 51% 8º Atlético-MG 55 38 15 10 13 63 51 12 48% Botafogo 55 38 14 13 11 62 58 4 48% 10º Vasco 54 38 15 9 14 58 47 11 47% Internacional 54 38 15 9 14 49 44 5 47% Atlético-PR 54 38 14 12 12 51 50 1 47% 13º Figueirense 53 38 14 11 13 57 56 1 46% 14º Sport 51 38 14 9 15 54 55 -1 45% 15º Náutico 49 38 14 7 17 66 63 3 43% 16º Goiás 45 38 13 6 19 49 62 -13 39% 17º Corinthians 44 38 10 14 14 40 50 -10 39% 18º Juventude 41 38 11 8 19 43 65 -22 36% Paraná 41 38 11 8 19 42 64 -22 36% 20º América-RN 17 38 4 5 29 24 80 -56 15% BRASILEIRÃO 2007BRASILEIRÃO 2007 MATRIZES
    5. 5. Prof.: Jorge Marcio5 MATRIZES Representação de uma MatrizRepresentação de uma Matriz Consideremos uma matriz A do tipo m x n. Um elemento qualquer dessa matriz seráConsideremos uma matriz A do tipo m x n. Um elemento qualquer dessa matriz será representado pelo símbolo arepresentado pelo símbolo aij,ij, no qual o índice i refere-se à linha em que se encontra talno qual o índice i refere-se à linha em que se encontra tal elemento e o índice j refere-se à coluna em que se encontra tal elemento.elemento e o índice j refere-se à coluna em que se encontra tal elemento. A = a11 a12 a13 a14 ............ a1n a21 a22 a23 a24 ............ a2n a31 a32 a33 a34 ............ a3n a41 a42 a43 a44 ............ a4n ..... ..... ..... ..... ..... am1 am2 am3 am4 ............ amn m x n Escreve-se matriz A= (aij)m x n com “m” linhas e “n” colunas
    6. 6. Prof.: Jorge Marcio6 MATRIZES Exemplo : Como construir uma matriz A= (aij)2x3 onde aij= 2i + j Solução: aij= 2i + j a11= 2(1) + 1 = 3 a12= 2(1) + 2 = 4 a13= 2(1) + 3 = 5 a21= 2(2) + 1 = 5 a22= 2(2) + 2 = 6 a23= 2(2) + 3 = 7 A= a11 a21 a12 a22 a13 a23 = 3 5 6 7 4 5
    7. 7. Prof.: Jorge Marcio7 Matrizes especiaisMatrizes especiais MATRIZES Matriz LinhaMatriz Linha Matriz ColunaMatriz Coluna Matriz IdentidadeMatriz Identidade Matriz nulaMatriz nula Matriz quadradaMatriz quadrada a11 a12 a13 a14 ...... a1na11 a21 a31 a41..... am1 a21 a31 a41..... am1 m x 1 1 x n a11 a12 a13 a14............a1m a21 a22 a23 a24............a2m a31 a32 a33 a34............a3m a41 a42 a43 a44............a4m ..... ..... ..... ..... ..... am1 am2 am3 am4............amm m x m 0 0 0 0 0 .... 0 0 0 0 0 0 .... 0 0 0 0 0 0 .... 0 0 0 0 0 0 .... 0 ... ... ... ... ... ... 0 0 0 0 0 .... 0 1 0 0 0 0 ....0 0 1 0 0 0 ....0 0 0 1 0 0 ....0 0 0 0 1 0 ....0 ... ... ... ... ... ... 0 0 0 0 0 ....1
    8. 8. Prof.: Jorge Marcio8 MATRIZES Matriz TranspostaMatriz Transposta Dada uma matriz A de ordem m x n, a matriz transposta dela será representada por At de ordem “invertida” n x m, isto é, troca-se linha por coluna. A = a b c e f g i j k m n o Então At = 4 x 3 a b c e f g i j k m n o 3 x 4
    9. 9. Prof.: Jorge Marcio9 MATRIZES Igualdade de MatrizesIgualdade de Matrizes Duas matrizes A e B são iguais se todos os termos correspondentes são iguais. A= a11 a21 a12 a22 a13 a23 Sendo A = B então : a11 a21 a12 a22 a13 a23 = 10 11 16 3 6 9 B= 10 11 16 3 6 9 a11 = a21 a12 a22 a13 a23 10 11 16 3 6 9 = = = = =
    10. 10. Prof.: Jorge Marcio10 MATRIZES Adição e SubtraçãoAdição e Subtração Só podemos somar ou subtrair duas matrizes se as mesmas tiverem mesma ordem. Sejam as matrizes eA = B = EXEMPLO: A + B = 2 3 5 8 3 12 + = = -2 14 3 1 2 3 2 3 5 8 3 12 -2 14 3 1 2 3 2-2 3+14 5+3 8+1 3+2 12+3 0 17 8 9 5 15
    11. 11. Prof.: Jorge Marcio11 MATRIZES Multiplicação de um número real por uma MatrizMultiplicação de um número real por uma Matriz B= 10 11 16 3 6 9 Seja a matriz Então 2.B = 20 22 32 6 12 18 3.B = 30 33 48 9 18 27 1/2.B = 5 11/2 8 3/2 3 9/2
    12. 12. Prof.: Jorge Marcio12 Multiplicação de MatrizesMultiplicação de Matrizes MATRIZES Para que possamos multiplicar duas matrizes A e B, teremos que ter o número de colunas da primeira igual ao número de linhas da segunda. Exemplo: Sejam as matrizes A e B , calcule se for possível A.B A = 2 5 6 4 3 8 B = 1 9 6 7 8 2 A.B = 2 5 6 4 3 8 1 9 6 7 8 2 = 2.1 + 5.9 = 472.6 + 5.72 5 6 4 3 8 1 9 6 7 8 2 472.8 + 5.2 26 6.1 + 4.9 6.6 + 4.7 6.8 + 4.2 3.1 + 8.9 3.6 + 8.7 3.8 + 8.2 42 64 56 75 74 40 23 x 2 3x 3 x 3 colunas linhas
    13. 13. Prof.: Jorge Marcio13 MATRIZES Matriz InversaMatriz Inversa Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Uma matriz B é chamada inversa de A se, e somente se, A.B = B.A = In MATRIZ IDENTIDADE DE ORDEM n Exemplo: Encontre a matriz inversa de A, sabendo que A = 2 0 1 3
    14. 14. Prof.: Jorge Marcio14 SOLUÇÃO DO EXERCÍCIOSOLUÇÃO DO EXERCÍCIO A .A-1 = I2 1 3 1 0 0 1 = 1 0 0 1 = 2a - b a + 3b 2c -d c + 3d 2 -1 a b c d 2a – b = 1 a + 3b = 0 (-2) 2a – b = 1 -2a -6b = 0 (+) -7b = 1 A A-1 I2 b=- 1/7 2a – b = 1 2a - (-1/7) = 1 2a = 1 + (-1/7) 2a = 1 - 1/7 2a = 6/7 a = 3/7 2c - d = 0 c + 3d = 1 (3) 6c - 3d = 0 c + 3d = 1 (+) 7c = 1 c = 1/7 2(1/7) - d = 0 2/7 - d = 0 2c - d = 0 d = 2/7 a b c d =A-1 = 3/7 -1/7 1/7 2/7 2 -1 a b c d1 3
    15. 15. Prof.: Jorge Marcio15 Três barracas de frutas, B1, B2‚ e B3, são propriedade de uma mesma empresa. Suas vendas são controladas por meio de uma matriz, na qual cada elemento bij representa a soma dos valores arrecadados pelas barracas Bi e Bj em milhares de reais, ao final de um determinado dia de feira. x 1,8 3,0 a y 2,0 d c 7 B= VESTIBULAR UERJ 2006 Calcule, para esse dia, o valor, em reais: a) arrecadado a mais pela barraca B3 em relação à barraca B2; b) arrecadado em conjunto pelas três barracas.
    16. 16. Prof.: Jorge Marcio16 SOLUÇÃO x 1,8 3,0 a y 2,0 d c 7 = b11 b12 b13 b21 b22 b23 b31 b32 b33 Sabemos que a Matriz B é em sua essência : Pelo enunciado bij = Bi+ Bj , Então b12 = 1,8 = B1+ B2 E também b13 = 3,0 = B1+ B3 o que a barraca B3 arrecadou a mais que a barraca B2 será o resultado de b13 – b12 = ( B1+ B3 ) – (B1+ B2 ) = B3 – B2 = 3,0 – 1,8 = 1,2 = 1.200,00 Letra a:
    17. 17. Prof.: Jorge Marcio17 Letra b: SOLUÇÃO x 1,8 3,0 a y 2,0 d c 7 = b11 b12 b13 b21 b22 b23 b31 b32 b33 Calcule, para esse dia, o valor, em reais arrecadado em conjunto pelas três barracas. b13 + b12 + b23 = ( B1+ B3 )+ (B1+ B2 ) + (B2 + B3) = 1,8 + 3,0 + 2,0 2B1+ 2B3 + 2B2 = 6,8 logo B1+ B3 + B2 = 3,4 = 3.400,00
    18. 18. Prof.: Jorge Marcio18 Uma fábrica de guarda-roupas utiliza três tipos de fechaduras (dourada, prateada e bronzeada) para guarda- roupas em mogno e cerejeira, nos modelos básico, luxo e requinte. A tabela 1 mostra a produção de móveis durante o mês de outubro de 2005, e a tabela 2, a quantidade de fechaduras utilizadas em cada tipo de armário no mesmo mês. A quantidade de fechaduras usadas nos armários do modelo requinte nesse mês foi de a) 170 b) 192. c) 120. d) 218. e) 188.

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