O documento define matrizes e suas propriedades, incluindo tipos de matrizes como quadrada, transposta e identidade. Ele também descreve operações matriciais como adição, subtração e multiplicação, além de propriedades como distributividade e transposição.

1. Matemática para Economia III
Aula 4: Matrizes e Operações
Matriciais

2. Definição 1 (Matriz): Chamamos de Matriz a todo conjunto de
“valores”, dispostos em linhas e colunas. Representamos
matrizes com letras maiúsculas do nosso alfabeto.
Dada uma matriz A denotaremos cada elemento da matriz A por
aij onde i é o número da linha e j é o número da coluna desse
elemento.
11 12 13 1
21 22 23 2
1 2 3
n
n
m m m mn m n
a a a a
a a a a
a a a a 
 
 
 
 
 
 

A

3. 










32
31
22
21
12
11
a
a
a
a
a
a
A
Exemplo: uma matriz genérica 3x2 teria a forma:
Matrizes-linha e matrizes-coluna (vetores linha e coluna) são de
importância especial e é prática comum denotá-los por letras
minúsculas em negrito em vez de letras maiúsculas. Assim um
vetor linha 1xn arbitrário a e um vetor coluna mx1 arbitrário b
podem ser escritos como














m
n
b
b
b
a
a
a

 2
1
2
1 ,
]
[ b
a

4. Tipos de Matrizes
Matriz Quadrada: é matriz cujo número de linhas é igual ao de
colunas.
Matriz Transposta: é a matriz obtida trocando-se a linha pela
coluna e vice-versa da matriz original.













6
3
2
4
2
0
5
3
1
A













6
4
5
3
2
3
2
0
1
T
A

5. Matriz Identidade: é a matriz quadrada cujos elementos da
diagonal principal são iguais a 1 e os demais elementos iguais
a zero.
diagonal principal
Matriz Nula: Chama-se matriz nula a matriz na qual todos os seus
elementos são iguais a zero.







0
0
0
0
0
0
0

6. Matriz Diagonal: é a matriz cujos elementos localizados acima e
abaixo da diagonal principal são iguais a zero.
Matriz escalar: Uma matriz escalar é uma matriz diagonal onde
todos os elementos da diagonal são iguais ao escalar k.
Matriz Triangular: é matriz cujos elementos localizados acima ou
abaixo da diagonal principal são iguais a zero.










6
1
3
0
2
5
0
0
4










3
0
0
0
5
0
0
0
2

7. T
A
A 
1 2 0
2 7 4
0 4 3
 
 
 
 
 
Matriz Anti-Simétrica: Os elementos opostos em relação à diagonal
principal são simétricos com o sinal trocado.
T
A
A 

0 5 2
5 0 1
2 1 0

 
 

 
 

 
Matriz Simétrica: Os elementos opostos em relação à diagonal
principal são iguais.

A

A

8. Se A é uma matriz quadrada então o traço de A, denotado por
tr(A), é definido pela soma das entradas na diagonal principal
de A. O traço de A não é definido se A não é uma matriz
quadrada.
Exemplo:
Traço de uma matriz
5
6
)
2
(
1
)
(
,
6
3
2
4
2
0
5
3
1


















A
tr
A

9. Operações sobre Matrizes
Igualdade de matrizes: Dadas duas matrizes A e B do mesmo
tamanho (ou seja, de mesma ordem), dizemos que A = B se
somente se os seus elementos são respectivamente iguais.
Simbolicamente, sendo A e B matrizes mx n, temos:
A = B <=> aij=bij

10. Adição e Subtração: Para adicionarmos ou subtrairmos
duas matrizes A e B basta que elas sejam de mesma ordem.
Isto é, elas devem ter o mesmo número de linhas e o mesmo
número de colunas.
Define-se a adição A + B = C como sendo formada pelos
elementos cij= aij + bij
Define-se a subtração A - B = C como sendo formada pelos
elementos cij= aij - bij
Exemplo:
























2
1
2
1
11
3
2
3
1
0
6
1
4
2
3
1
5
2
B
A
B
A
Operações sobre Matrizes

11. Multiplicação de matrizes:Dada duas matrizes A (m x n) e
B (n x p), chama-se produto da matriz A pela matriz B
que se indica C = A . B a matriz m x p definida por
Observações:
• O produto de duas matrizes existe se e somente se o
número de colunas da matriz A for igual ao número de
linhas da matriz B.
• Se as matrizes A e B são m x n e n x p respectivamente,
então o produto C = A . B existe e é uma matriz m x p,
Operações sobre Matrizes
Cij=ai1.b1j + ai2.b2j + ai3.b3j + ... + ain.bnj

12. Operações sobre Matrizes
Exemplo (Multiplicação):















































24
22
1
3
14
12
4
.
5
1
.
4
2
.
5
3
.
4
4
.
0
1
.
1
2
.
0
3
.
1
4
.
3
1
.
2
2
.
3
3
.
2
.
4
2
1
3
5
4
0
1
3
2
B
A
C
B
e
A

13.    
0
'
4
3
2
1
















A
A
A
M
A
A
B
B
A
C
B
A
C
B
A
Propriedades
aqui M representa a matriz nula (0) e A’=(-A)

14. Propriedades
Onde 1 é matriz identidade de mesma ordem de A, a e b são
escalares (o produto de uma matriz A por um escalar b
é a matriz bA obtida pela multiplicação de cada entrada
da matriz A por b).
   
 
 
A
A
A
b
A
a
A
b
a
B
a
A
a
B
A
a
A
b
a
A
b
a












.
1
4
.
.
.
3
.
.
.
2
.
.
.
.
1

15. Propriedades
Em geral A.B≠B.A
)
.
.(
)
.
.(
)
.
(
4
.
.
).
(
3
.
.
)
.(
2
).
.
(
)
.
.(
1
B
A
k
B
k
A
B
A
k
C
B
C
A
C
B
A
C
A
B
A
C
B
A
C
B
A
C
B
A














16. Propriedades
 
 
 
  t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
A
B
B
A
A
k
A
k
B
A
B
A
A
A
.
.
4
.
.
3
2
1











17. Matrizes em blocos (particionadas)
Uma matriz pode ser subdividida em blocos ou particionada em
matrizes menores inserindo cortes horizontais e verticais entre
linhas e colunas. Por exemplo, as seguintes são três partições
possíveis de uma matriz 3X4 arbitrária.

18. Multiplicação matricial por colunas e linhas
A partição de matrizes em blocos tem muitas utilidades, uma das
quais sendo encontrar uma linha ou coluna específica de um
produto matricial A.B sem calcular todo o produto.
Exemplo: Sejam
j-ésimo vetor coluna de A.B=A.[j-ésimo vetor coluna de B]
i-ésimo vetor linha de A.B=[i-ésimo vetor linha de A].B



















7
2
1
0
1
4
,
0
6
2
4
2
1
B
A

19. Multiplicação matricial por colunas e linhas
O segundo vetor coluna de A.B pode ser obtido calculando






































4
27
7
.
0
)
1
.(
6
1
.
2
7
.
4
)
1
.(
2
1
.
1
7
1
1
.
0
6
2
4
2
1
Segunda coluna
de B
Segunda
coluna de A.B

20. Sejam
Dizemos que o produto Ax de uma matriz A por um vetor
coluna x é uma combinação linear dos vetores colunas de A
com coeficientes provenientes do vetor x
Produtos matriciais como combinações lineares

21. Considere o sistema linear com m equações e n incógnitas:
Podemos substituir m equações deste sistema por uma única
equação matricial:
Forma matricial de um sistema linear

22. A matriz mx1 à esquerda desta equação pode ser escrita como um
produto:
Denotando estas matrizes por A, x e b, respectivamente, o
sistema original de m equações e n incógnitas foi substituído
pela única equação matricial:
Forma matricial de um sistema linear
Ax = b
Matriz de coeficientes Matriz-coluna
de incógnitas
Matriz-coluna de
constantes