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Matrizes: tipos, operações e propriedades
- 1. 1.1 - DEFINIÇÃO: Denomina-se matriz m x n uma tabela retangular formada por m . n números reais, dispostos em m linhas e n colunas. Dizemos que a matriz é do tipo m x n ou de ordem m x n. Ex: notas de dois alunos. ou matriz de ordem 2 x 2 - Quando m=1, a matriz é chamada de matriz linha. - Quando n=1, a matriz é chamada de matriz coluna. 1º bim 2º bim Roberto 6 8 Carlos 5 9 95 86 95 86 Cap. 7 - pág.98
- 2. 1.2 – REPRESENTAÇÃO GENÉRICA DE UMA MATRIZ De maneira abreviada, podemos escrever uma matriz A na forma: Genericamente: A= jienjmicomaA nxmij ,1,1)( mnmmm n n n aaaa aaaa aaaa aaaa 321 3333231 2232221 1131211 Cap. 7 - pág.99
- 3. EXEMPLO. Vamos escrever a matriz jiparaa jiparaa quetaljeicomaB ij ij ij 0 1 ,3131)( 100 010 001 A 333231 232221 131211 aaa aaa aaa A Cap. 7 - pág.98
- 4. 1.3 – TIPOS DE MATRIZES 1.3.1 - Matriz quadrada: quando m = n dizemos que a matriz é quadrada de ordem m x m ou simplesmente de ordem m. Matriz de ordem 2. diagonal secundaria diagonal principal A diagonal principal de uma matriz quadrada é formada pelos elementos aij com i=j. 130 071 352 Cap. 7 - pág.100
- 5. 1.3.2 - Matriz triangular: quando os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são ZEROS. aij = 0 para i>j ou aij = 0 para i<j. Matriz triangular superior matriz triangular inferior 1.3.3 - Matriz diagonal: quando todos os elementos acima e abaixo da diagonal principal são ZEROS. aij = 0 para 597 038 002 500 430 312 ji 500 030 002 Cap. 7 - pág. 101
- 6. 1.3.4 - Matriz identidade In : quando os elementos da diagonal principal é 1 e os outros elementos são ZEROS. In = Ex: I3 = 1.3.5 - Matriz nula on : quando todos os elementos são ZEROS. aij = 0 para todo 02 = jiparaa jiparaa ij ij 0 1 100 010 001 ji, 00 00 Cap. 7 - pág. 101
- 7. 1.4 – OPERAÇÕES COM MATRIZES 1.4.1 - Igualdade de matrizes: Duas matrizes A e B são iguais, se e somente se, tem o mesmo tipo e seus elementos correspondentes são iguais. Ex. njemicombaBA bBeaA ijij nxmijnxmij 11, )()( 5 3 0 7 :, 0 7 5 3 d c b a entãoBAse d c Be b a Amatrizesasdadas Cap. 7 - pág. 102
- 8. 1.4.2 - Adição de matrizes: Dadas duas matrizes A e B do mesmo tipo m x n, denomina-se soma da matriz A com a matriz B, a matriz A+B do tipo m x n na qual cada elemento é obtido adicionando-se os elementos correspondentes de A e B. Ex. .11 )()()( njemicom baBAsomaabBeaA nxmijijnxmijnxmij 97 33 9007 0321 90 02 07 31 BAentãoBeA Cap. 7 - pág. 103
- 9. 1.4.3 - Matriz oposta: chama-se matriz oposta de A, indicada por –A, a matriz que somada com A resulta na matriz nula. 1.4.4 - Subtração de matrizes: Dadas duas matrizes A e B do mesmo tipo m x n, denomina-se diferença entre as matrizes A e B, a matriz A-B do tipo m x n na qual cada elemento é obtido subtraindo-se os elementos correspondentes de A e B. Ex. 2 0)( 12 63 12 63 AApoisAentãoAse .11 )()()( njemicom baBAtemosbBeaA nxmijijnxmijnxmij 2514 111 154 632 1010 523 Cap. 7 - pág. 104
- 10. 1.4.5 - Multiplicação de um número real por uma matriz: Se A é uma matriz m x n, de elementos aij , e k é um número real, então k.A é uma matriz m x n cujos elementos são k.aij . Ex. 1.4.6 - Multiplicação de matrizes: Só definimos o produto da matriz A pela matriz B, quando o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B. A.B é obtida multiplicando-se ordenadamente os elementos da linha de A pelos elementos da coluna de B, e somando-se os produtos obtidos. 42820 1284 175 321 .4.4 175 321 AentãoAse pxmpxnnxm ABBA Cap. 7 - pág. 105
- 12. 1.5 – MATRIZ TRANSPOSTA Seja uma matriz Am x n , denomina-se transposta de A, a matriz At n x m , cujas as linhas são, ordenadamente as colunas de A. Ex. 1.6 – MATRIZ INVERSA Dada uma matriz quadrada Am , se A-1 é uma matriz tal que A. A-1 =In , então A-1 é denominada matriz inversa de A. Lembre-se que In é a matriz identidade. Ex. 61 210 03 620 1103 t AA 32 851 AdeAinversamatrizaindique 10 01 3232 8585 10 01 . 32 851 dbca dbca dc ba IAA Cap. 7 - pág. 106
- 13. Ex. 32 851 AdeAinversamatrizaindique 10 01 3232 8585 10 01 . 32 851 dbca dbca dc ba IAA 032 185 ca ca I 132 085 db db II 218 2 3 .5 3 2 2.3 2 3 cc c aa c a 518 5 8 .2 8 5 )5.(8 5 8 dd d bb d b 52 831 dc ba Aassim Cap. 7 - pág. 111