Baixado 18 vezes
Mais conteúdo relacionado
Geometria plana I
- 1. GEOMETRIA PLANA 1 –PROPRIEDADES DE FIGURAS GEOMÉTRICAS 1.1 – ângulos opostos pelo vértice = 1.2 – ângulos formados por paralelas cortadas por um transversal Dadas as retas r//s e t uma reta transversal a r e s. Opostos pelo vértice: d=b , a=c , e=g , h=f Colaterais internos (suplementares): c+h=180º e b+e=180º Colaterais externos (suplementares): d+g=180º e a+f=180º Alternos internos (suplementares): b=h , c=e Alternos externos (suplementares): a=g , d=f PÁG. 392
- 2. 1.3 – propriedade Emtodo paralelogramo dois ângulos opostos são congruentes e dois ângulos não opostos são suplementares. observe que AB//CD e AD//BC. Os ângulos opostos: Os ângulos suplementares: 1.4 – soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo Observe que no triângulo ABC. DBeCA º180 CBA PÁG. 394
- 3. 1.5 – somados ângulos internos de um quadrilátero convexo Em todo quadrilátero convexo, a soma das medidas dos ângulos internos é 360º. 1.6 – soma dos ângulos internos de um polígono convexo Em um polígono convexo de n lados, a soma dos ângulos internos é: Ex. triangulo (3lados) quadrilátero (4 lados) º360 º360 º180 º180 DCBA zhyxDB zyD hxB CA º180)2( nSn º180 º180)23( 3 3 S S º360º1802 º180)24( 4 4 S S PÁG. 397
- 4. 1.6 – figurascongruentes Duas figuras são ditas congruentes se forem coincidentemente iguais em forma e tamanho. 1.7 – polígonos regulares Um polígono é dito regular se todos os seus lados e seus ângulos são congruentes (iguais). Ex. quadrado, triângulo equilátero, pentágono regular, hexágono regular,... 1.8 – congruência de triângulos A congruência de dois triângulos determina a congruência dos seus seis elementos. FHACHC GHBCGB FGABFA ladosÂngulos PÁG. 399
- 5. 1.8.1 – casosde congruência de triângulos 1º caso: LAL – dois lados e ângulo formado por eles congruentes. 2º caso: LLL – três lados congruentes. 3º caso: ALA – dois ângulos e o lado entre eles. 4º caso: LAAo – um lado e dois ângulos, sendo um deles oposto ao lado. FGHABCentãoGBeGHBCFGABse , FGHABCentãoFHACeGHBCFGABse , FGHABCentãoHCeGBGHBCse , FGHABCentãoFAeGBGHBCse , PÁG. 400
- 6. 2 – SEMELHANÇADE TRIÂNGULOS 2.1 – Teorema de Tales: um feixe de paralelas determina, em duas transversais quaisquer, segmentos proporcionais. 2.2 – Semelhança de triângulos: dois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem os três ângulos ordenadamente congruentes e os lados homólogos proporcionais. qp q nm n ou qp p nm m p q m n ou q p n m HC GB AA entãoFGHABC ~ alidadeproporcionderazãoék k FH AC GH BC FG AB e PÁG. 404
- 7. 2.2.1 – casosde semelhança de triângulos 1º caso: AA – dois triângulos são semelhantes se dois ângulos de um são congruentes a dois ângulos do outro. 2º caso: LLL – dois triângulos são semelhantes se os lados de um são proporcionais aos lados do outro. 3º caso: LAL – dois triângulos são semelhantes se possuem um ângulo congruente compreendido entre lados proporcionais. FGHABCentãoGBeFA FGHABCentão GH BC FH AC FG AB FGHABCentãoFAe FH AC FG AB PÁG. 407
- 8. 2.2.2 – Teoremafundamental da semelhança: toda reta paralela a um lado de um triângulo que intercepta os outros dois lados em pontos distintos determina outro triângulo semelhante ao primeiro. 2.2.3 – semelhança e medidas inacessíveis: uma forma fácil e rápida de determinar altura de estruturas inacessíveis se baseia na medida da sombra dessas estruturas. A altura e sombra de um objeto são sempre proporcionais a altura e sombra de outros objetos. ADEABCassim ECeDBAAcaso :º1 s hS HhSsH H h S s assim AAcasopelossemelhantesãotriângulosos . ..: :º1 PÁG. 408
- 9. 3 – RELAÇÕESMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 1ª e 2ª relação: º90:º1 HAeCCAAcasopeloHACABC º90:º1 HAeBBAAcasopeloHBAABC .HBAABCHACAssim cbha c h a b mab b m a b temosHACABCDe 2 : PÁG. 413
- 10. 3ª relação. 4ª relação. 5ª relação Teorema de Pitágoras: Somando a 1ª e a 3ª relação: nac c n a c temosHBAABCDe 2 : mnh h m n h temosHBAHACDe 2 : 2222222 22 2 2 )( cbaaacbmanacb mnacb mac nab a PÁG. 413