Proporções e geometria plana

Inclusão para a vida Matemática C

UNIDADE 1 b) Dividir 14 em partes inversamente proporcionais a
3 e 4.

NÚMEROS PROPORCIONAIS Tarefa Mínima 
RAZÕES E PROPORÇÕES
1. Em uma universidade foram inscritos 3450 candidatos
Razão é a comparação obtida pela divisão entre as medidas para o curso de Odontologia. Sabendo que foram
de duas grandezas na mesma unidade. fornecidas 100 vagas, qual a razão do número de
Então, dados dois números a e b , denomina-se razão ao candidatos em relação ao número de vagas?
a
quociente de a por b e indica-se por 2. Determine dois números, sabendo que a soma deles é
b
60 e que a razão entre eles é 2 .
a
Obs.: a razão é usualmente lida assim: “a está para b”. 3
b 3. Determine os valores de x e y sendo: x – y = 10 e
A igualdade entre duas razões é uma proporção.
y 1
a c x 3
Representação:
b d
onde: a, d = extremos b, c = meios 4. Se (2, 3, x) e (8, y, 4) são duas sucessões de números
diretamente proporcionais, então:
a c
A expressão lê-se assim: a está para b, assim
b d a) x = 1 e y=6
como c está para d. b) x = 2 e y = 12
c) x = 1 e y = 12
Observações: d) x = 4 e y=2

Considere os conjuntos A = {a, b, c} e B = {d, e, f} duas 5. Divida o número 360 em partes proporcionais aos
sucessões numéricas dadas nessa ordem. números 2, 3, 4 e 6.

A e B são diretamente proporcionais se:
Tarefa Complementar
a b c
k
d e f 6. Divida o número 220 em partes inversamente
proporcionais aos números 2 , 3 e 4 .
k é a constante de proporção. 3 4 7

a b c a b c 7. A diferença entre as idades de duas pessoas é 15 anos e
Propriedade:
d e f d e f estão entre si como 7 para 4. Calcule as idades dessas
pessoas.
A e B são inversamente proporcionais se:
a.d=b.e=c.f=k 8. (PUC-SP) Se (9, x, 5) e (y, 8, 20) sejam diretamente
a b c proporcionais, isto, é, para que se verifique a igualdade
Propriedade: a . d = b . e = c . f = 9 x 5
1 1 1 , os valores de x e y devem ser
d e f y 8 20
Exercícios de Sala  respectivamente:
a) 2 e 36 b) 1 e 1
4 5
1. Um automóvel percorre 160km em 2 horas. A razão c) 2 e 5 d) 5 e 35
entre a distância percorrida e o tempo gasto para percorrê- e) n.d.a.
la é:
9. (F.Carlos Chagas) Se as seqüências (a, 2, 5) e (3, 6, b)
2. Determine dois números, sabendo que a soma deles é são de números inversamente proporcionais e a + mb =
3 10, então m é igual a:
42 e que a razão entre eles é .
a) 0,4 b) 1,0 c) 2,0
4 d) 2,5 e) 5,0
3. a) Dividir 150 em partes diretamente proporcionais a 3,
5 e 7.

Pré-Vestibular da UFSC 1

Matemática C Inclusão para a Vida

10. p é inversamente proporcional a q + 2. Sabendo que 1
1 grau é da circunferência.
p = 1 quando q = 4, quanto vale p quando q = 1? 360
a) – 2 b) 0 c) 0,5 Submúltiplos do Grau: 1° = 60´ e 1´= 60´´
d) 2 e) 3
Os ângulos recebem nomes especiais de acordo com a sua
11. (UFMG) Sabendo-se que x + y + z = 18 e que abertura.
x y z
, o valor de x é: Ângulo Agudo
2 3 4

12. (UFSC) O perímetro de um terreno é 72 m. As
medidas de seus lados são inversamente proporcionais
a 2, 3, 5 e 6. A medida, em metros, do menor lado
desse terreno, é:
Ângulo Reto
13. (UFBA) Sabe-se que das 520 galinhas de um aviário,
60 não foram vacinadas, e 92, vacinadas, morreram.
Entre as galinhas vacinadas, a razão do número de
mortas para o número de vivas é:

1 1 4 4
a) b) c) d) e) n.d.a.
4 5 1 5
Ângulo Obtuso
14. (FUVEST) Na tabela abaixo, y é inversamente
proporcional ao quadrado de x. Calcule os valores de p e
m.

x y
1 2 Dois ângulos e podem ser:
2 p
m 8 a) complementares: + = 90º
b) suplementares: + = 180º
15. Num tanque de combustível há 5 litros de óleo e 25 c) replementares: + = 360º
litros de gasolina. Determinar as razões das medidas.
ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE
a) do óleo para a gasolina
b) da gasolina para a mistura
c) do óleo para a mistura

UNIDADE 2
Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes.
GEOMETRIA PLANA
ÂNGULOS FORMADOS POR DUAS PARALELAS E
ÂNGULOS UMA TRANSVERSAL

Ângulo é a região formada por duas semi retas que têm a
mesma origem (vértice).

O ângulo formado é o ângulo AÔB no qual:
OA e OB são os lados do ângulo e O é o vértice
Triângulos
UNIDADES ANGULARES
Dados os pontos A, B e C não alinhados, chama-se
triângulo A, B, C (indicado por: ABC) à reunião dos
Sistema Sexagesimal (Grau)
segmentos AB, AC e BC.



Exercícios de Sala 

1. (UFMA) Dois ângulos opostos pelo vértice medem 3x
+ 10° e x + 50°. Um deles mede:

Pode-se classificar um triângulo segundo dois critérios:
2. Um ângulo mede a metade do seu complemento.
Então, esse ângulo mede:
Quanto aos lados
a) 30° b) 45° c) 60°
d) 80° e) 15°

3. Em cada figura abaixo, determine o valor de x.

Quanto aos ângulos

a) r //s

CRITÉRIOS: Sejam a, b e c lados de um triângulo e b) ABCD é um quadrado. ABE é um triângulo
considerando a, o lado maior temos: equilátero.

a2 < b 2 + c 2 triângulo acutângulo
a2 = b 2 + c 2 triângulo retângulo
a2 > b 2 + c 2 triângulo obtusângulo

ÂNGULOS NUM TRIÂNGULO

A + B + C = 180°
Tarefa Mínima 
Triângulo Equilátero
1. (ACAFE) Dois ângulos opostos pelo vértice medem 8x
– 40 e 6x – 20. O valor do ângulo é:

a) 80° b) 70° c) 40° d) 20° e) 10°

2. Um ângulo mede o triplo do seu suplemento. Então
esse ângulo mede:

a) 45° b) 135° c) 100° d) 175°
Se AB = BC = AC então A = B = C = 60°
3. Determine o valor de x na figura abaixo:
Triângulo Retângulo
25º
r//s

130º

x s



4. Nas figuras abaixo, o valor de x é: 7. (UECE) O ângulo igual a 5/4 do seu suplemento mede:
a) a) 100° b) 144°
c) 36° c) 80° e) n.d.a.

8. (UFSC) Dados os ângulos:
Â = 22°32'15'' C 75°01'52''
b) B = 17°49'47'' D = 32°44'20''
Calcular o valor, em graus, da expressão:

A C B D

c)
9. (UFSC) Na figura abaixo, o valor em graus da diferença
x y é:
r // s // t
23o
r

d)
s
y

t
o x
112

5. (FUVEST) Na figura, AB = BD = CD. Então:
10. (UFSC) Na figura abaixo as retas r e s são paralelas.
A medida do ângulo y, em graus, é:

a) y = 3x b) y = 2x c) x + y = 180°
d) x = y e) 3x = 2y

Tarefa Complementar 
11. (Cesgranrio) Duas retas paralelas são cortadas por
6. (UFSC) Na figura r e s são paralelas. O valor, em graus, uma transversal de modo que a soma de dois ângulos
do arco x é: agudos formados vale 72°. Então qualquer dos ângulos
obtusos formados mede:

a) 142° b) 144° c) 148°
d) 150° e) 152°

12. (Fuvest-SP) Na figura, as retas r e s são paralelas, o
ângulo 1 mede 45° e o ângulo 2 mede 55°. A medida em
graus do ângulo 3 é:



Triângulos - 3 lados
Quadriláteros - 4 lados
Pentágono - 5 lados
Hexágono - 6 lados
Heptágono - 7 lados
Octógono - 8 lados
Eneágono - 9 lados
a) 50 b) 55 c) 60 Decágono - 10 lados
d) 80 e) 100 Undecágono – 11 lados
Dodecágono - 12 lados
13. Sabendo que o complemento de um ângulo está para o Pentadecágono – 15 lados
seu suplemento assim com 2 está para 5, calcule em Icoságono - 20 lados
graus a medida do ângulo:
Observação: Um polígono é dito regular se for equilátero
(lados iguais) e equiângulo (ângulos iguais).
14. Na figura a seguir, r//s. Determine o valor de y.
r NÚMERO DE DIAGONAIS
60°
O número de diagonais de um polígono de n lados é dado
s
pela expressão:
Y
70°

15. Na figura , o valor de x é:
SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS

A soma dos ângulos internos de um polígono com n lados
(n 3) é dado pela expressão:

SOMA DOS ÂNGULOS EXTERNOS

A soma dos ângulos externos de um polígono com n lados
(n 3) é sempre igual a 360°
UNIDADE 3 Observações

ESTUDO DOS POLÍGONOS Para polígonos regulares, podemos calcular cada
ângulo interno ou externo através das seguintes
ELEMENTOS relações:

CLASSIFICAÇÃO

Os polígonos podem ser classificados quanto o número de Sendo n o número de lados de um polígono, se n é par,
lados. Os mais conhecidos são: então n/2 é o número de diagonais que passam pelo
centro.
Se n é ímpar, não há diagonais que passam pelo
centro.


POLÍGONOS REGULARES 2. Em um icoságono regular ABCDE... calcule:

Um polígono é regular quando tem lados e ângulos a) a soma dos ângulos internos.
congruentes. Todo polígono regular é inscritível e b) a soma dos ângulos externos.
circunscritível a uma circunferência. c) cada ângulo interno e externo.

Nomenclatura 3. Dado um triângulo eqüilátero de lado 2 3 cm,
determine:
 é o lado do polígono
R é o raio da circunferência circunscrita ao polígono a) altura do triângulo.
a é o raio da circunferência inscrita ou apótema b) raio da circunferência circunscrita.
c) raio da circunferência inscrita.
Triângulo Equilátero
4. Num quadrado de lado 10cm está circunscrita uma
circunferência cujo raio, em centímetros, é igual a:
h
a) 5 2 b) 10
c) 10 2 d) 20 2
e) 3 2

5. (VUNESP) A distância entre dois lados paralelos de
um hexágono regular é igual a 2 3 cm. A medida do
Quadrado lado desse hexágono, em centímetros, é:

a) 3 b) 2 e) 2,5
d) 3 c) 4

Tarefa Mínima 

1. O polígono que tem o número de lados igual ao
número de diagonais é o:

a) hexágono b) pentágono
c) triângulo d) heptágono
Hexágono Regular e) não existe

2. Cada ângulo interno de um decágono regular mede:
a) 230° b) 130° c) 144°
d) 28° e) 150°

3. Qual o polígono regular cujo ângulo interno é o triplo
do externo?

a) Dodecágono b) Pentágono
c) Octógono d) Heptágono
e) Hexágono

Exercícios de Sala  4. Dado uma círculo de raio 10cm. Determine:

1. (ACAFE) Diagonal de um polígono convexo é o a) o lado do triângulo equilátero inscrito nesse círculo
segmento de reta que une dois vértices não
consecutivos do polígono. Se um polígono convexo
tem 9 lados, qual é o seu número total de diagonais?

a) 72 b) 63 c) 36
d) 27 e) 18



a) 2a b) a 2
b) o lado do hexágono inscrito nesse círculo
c) a 3 d) a 3
2
e) 2a 2
3

11. (ACAFE-SC) A razão entre os comprimentos das
circunferências circunscrita e inscrita a um quadrado é:

c) o lado do quadrado inscrito nesse círculo
a) 2 b) 3 c) 2 2
3
d) 2 3 e)
2

12. (FUVEST) A, B, C e D são vértices consecutivos de
um hexágono regular. A medida, em graus de um dos
ângulos formados pelas diagonais AC e BD é:
5. O lado de um triângulo equilátero inscrito numa
circunferência mede 2 6 cm. Determine a medida da a) 90 b) 100 c) 110
altura do triângulo. d) 120 e) 150

13. Calcule a medida do ângulo central de um eneágono
a) 2 2 b) 2 c) 3 2 d) 2 e) n.d.a. Regular.

6. (ACAFE-SC) O diâmetro mínimo de um tronco de 14. Qual a razão entre os raios dos círculos circunscrito e
árvore, para que dele se possam fazer postes quadrados, inscrito de um triângulo equilátero de lado a?
cujas arestas das bases meçam 20cm, é:
a) 10cm b) 40cm c) 30cm d) 20 2 cm e) 80 cm 15. Determinar em função do raio R, o lado de um
decágono regular inscrito numa circunferência de raio R.
UNIDADE 4
7. (UNICAMP) O polígono convexo cuja soma dos
ângulos internos mede 1.440° tem exatamente:
CIRCUNFERÊNCIA
a) 15 diagonais b) 20 diagonais
c) 25 diagonais d) 30 diagonais ELEMENTOS
e) 35 diagonais

8. (UNIFEI-MG) Achar dois polígonos regulares cuja
razão entre os ângulos internos é 3/5 e a razão entre o
número de lados é 1/3.

9. ( MACK-SP ) Os ângulos externos de um polígono
regular medem 20°. Então o número de diagonais desse
polígono é:
Raio: segmento CB.
a) 90 b) 104 Corda: segmento MN.
c) 119 d) 135 Diâmetro: segmento AB.
e) 152
ÂNGULOS DA CIRCUNFERÊNCIA
10. (PUC-SP) A figura mostra um hexágono regular de Ângulo Central: ângulo que tem vértice no centro da
lado “a”. A diagonal AB mede: circunferência.
A

B



SEGMENTOS TANGENTES
Ângulo Inscrito: ângulo que tem vértice na
circunferência.

TEOREMA DE PITOT
Propriedade:
Em todo quadrilátero convexo circunscrito a uma
Consequências circunferência a soma de dois lados opostos é igual a soma
dos outros dois:

Se um triângulo inscrito numa semicircunferência tem um
lado igual ao diâmetro, então ele é um triângulo retângulo.

Ângulo excêntrico (fora do centro) interior SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
TRIÂNGULO RETÂNGULO

SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
Dois triângulos são semelhantes se e somente se os
ângulos internos forem congruentes e os lados
proporcionais. Assim temos:

Ângulo excêntrico (fora do centro) exterior

ˆ
A ˆ
D
a b c
ˆ
Se : B ˆ
E então k
d e f
ˆ
C ˆ
F

k é a constante de proporção ou constante de semelhança.
Quadrilátero Inscrito na circunferência
Observação: As medidas dos perímetros de dois
triângulos semelhantes são proporcionais às medidas de
dois lados homólogos quaisquer.

Triângulo Retângulo – relações métricas

Considere o triângulo abaixo, retângulo em A.



x

40°

Seus elementos são:
 a: hipotenusa
3. A circunferência está inscrita no triângulo ABC
( AB =8, AC=9 e BC=7 )
 b e c: catetos
 h: altura relativa à hipotenusa . Então, x vale:
A
 n e m: projeções ortogonais dos catetos sobre a
hipotenusa.

Relações Métricas

Através da semelhança de triângulos podemos estabelecer
B P C
as seguintes relações: x
 a2 = b2 + c2 (teorema de Pitágoras) a) 1,5 b) 2,8 c) 3,0
 a.h = b.c d) 4,6 e)5,0
 b2 = a.n
 c2 = a.m ˆ
4. Na figura abaixo os ângulos CÂD e A B D são
 h2 = m.n
congruentes. Então, o valor de x é:

1. Determine o valor de x em cada caso abaixo:
a)

a) 42 b) 32 c) 21
d) 60 e) 10

Tarefa Mínima 
b)
1. Nas figuras abaixo, determine o valor de x:

x 20°
O

c)
2. (ACAFE) Na figura a seguir, o valor de x é:
C

A 3x O 150°

B

2. Determine o valor do complemento do ângulo x a) 25° b) 30° c) 50°
indicado na figura abaixo: d) 75º e) 100°



3. (PUC-SP) Na figura, AB é diâmetro. O menor dos
arcos (AC) mede:
C

40°
A B
9. Na figura, PA = 16 cm e A, B e C são pontos de
tangência. Calcule o perímetro do triângulo PRS.

4. ( FUVEST-SP ) O valor de x na figura a seguir é:

x
2

3
10

10. Sendo O o centro da circunferência circunscrita no
pentágono abaixo, calcule x + y.

5. ( UFSC ) Na figura ao lado, AC é paralelo a DE.
Nessas condições, determine o valor de x + y.
C
10
E 11. Determine o perímetro do quadrilátero a seguir:
x+1
15 x
10
2x
3x
A y D 18 B

Tarefa Complementar  3x + 1

6. (FUVEST) A medida do ângulo ADC inscrito na 12. (ACAFE) Os lados de um triângulo medem 3cm, 7cm
circunferência de centro O é: e 9cm. Calcule os lados de um segundo triângulo
semelhante ao primeiro, cujo perímetro mede 38cm.
a) 8cm, 14cm e 16cm b) 6cm, 14cm e 18cm
c) 3cm, 7cm e 9cm d) 10cm, 13cm e 15cm
e) 5cm, 14cm e 19cm

13. (UNICAMP) A figura mostra um segmento AD
dividido em três partes: AB = 2cm, BC = 3cm e CD =
5cm. O segmento AD´ mede 13cm e as retas BB´e CC´
7. (Fuvest-SP ) Na figura abaixo, ABCDE é um são paralelas a DD´. Determine os comprimentos dos
pentágono regular. A medida em graus do ângulo é: segmentos AB´, B´C´ e C´D´

14. ( FUVEST ) No triângulo acutângulo ABC a base AB
mede 4cm, e a altura relativa a essa base mede 4cm.
MNPQ é um retângulo cujos vértices M e N pertencem ao
8. Na figura abaixo, o triângulo ABC é retângulo em A, e lado AB, P pertence ao lado BC e Q ao lado AC. O
o ângulo ACB mede 20°. Determine a medida do perímetro desse retângulo, em cm, é:
ângulo agudo formado pela mediana AM e a altura AH do
triângulo.


C

Q P

A M B
N

a) 4 b) 8 c) 12 d) 14 e) 16

15. Na figura abaixo as circunferências de centros A e B
têm raios 9cm e 6 cm, respectivamente, e a distância
entre os centros é 25cm. A reta t é uma tangente interior as
circunferências nos pontos C e D. Calcule, em centímetros,
a medida do segmento CD.

Círculo e suas partes
UNIDADE 5
Círculo

ÁREAS DE FIGURAS PLANAS

TRIÂNGULOS QUAISQUER
A = R2

Coroa Circular

A= (R2 – r2 )

Setor Circular

TRIÂNGULO EQUILÁTERO

απR 2
A=
360

1. (FCC-SP) O retângulo ABCD tem área 105 m2. O lado
do quadrado EFGD mede, em m:
QUADRILÁTEROS A E D

Paralelogramo 10

F
2

B C

A = a.h



01. A soma das áreas de A, B e C é 72m2.
a) 4 b) 5 c) 2 5
02. A área de A é 1/6 da área de C.
d) 5 2 e) 6 04. A área de A é 24m2.
08. Um dos lados de A mede 2m.
2. A área da coroa limitada pelas circunferências 16. Um dos lados de C mede 8m.
inscrita e circunscrita a um quadrado de lado 3 é:
5. (UFSC) Na figura a seguir, a área hachurada é de
a) 2,25 b) 5 c) 4 16 cm2. Sabendo-se que a diferença entre os dois
d) 2 e) 8 raios é de 2cm, determine o valor numérico do produto
desses raios.

Tarefa Mínima 

1. ( FCC-SP ) A área do triângulo ABC, conforme a
figura, é:
C

6. (FUVEST) No triângulo ABC, AB = 20cm, BC = 5cm
4
e o ângulo ABC é obtuso. O quadrilátero MBNP é um
120° losango de área 8cm2
B A
3
A

a) 3 b) 2 3
P
M
c) 3 d) 4 3 e) 6

2. (CEFET-PR) A área do hexágono regular inscrito B N C

numa circunferência de raio 2 é igual a:
A medida, em graus, do ângulo BNP é:

a) 3 3 cm2 b) 3 2 cm2 a) 15 b) 30 c) 45
c) 2 3 cm2 d) 2 2 cm 2 c) 60 d) 75
e) n.d.a.
7. (CESGRANRIO) A base de um retângulo de área S é
3. (UFSC) O triângulo ABC está inscrito em uma aumentada de 20% e sua altura é diminuída de 20%. A
área do novo retângulo formado é:
circunferência de centro O, cujo diâmetro mede 10cm.
Se a corda AB mede 6cm, então a área sombreada, em
a) 1,04 S b) 1,02 S
centímetros quadrados, é:
c) S d) 0,98 S
e) 0,96 S

8. (CESCEM-SP) O quadrilátero ABCD é um
retângulo, e os pontos E, F, G dividem a base AB em
quatro partes iguais. A razão entre a área do triângulo
CEF e a área do retângulo é:
D C

4. (UFPR) Um retângulo de 6m por 12m está dividido
em três retângulos, A, B e C, dispostos conforme a
figura abaixo, de modo que a área de B é a metade da B
A E F G
de A e um terço da de C.
a) 1/6 b) 1/7
c) 1/8 d) 1/9
B C e) 1/10

A

Com base nessas informações, é correto afirmar:



9. A área da coroa limitada pelas circunferências inscrita e
circunscrita a um triângulo equilátero ABC de lado 6cm é
igual a:
A

O UNIDADE 6

B C
GEOMETRIA ESPACIAL POLIEDROS

10. (MACK-SP) No círculo da figura, de centro O e raio Figuras tridimensionais limitadas por polígonos planos.
1, a área do setor assinalado é:

7π 7π 5π
a) b) c)
9 18 18
5π 8π
d) e)
9 9

Relação de Euler: V + F = A + 2

11. (UEM) Considere o triângulo ABC, com base BC Soma dos ângulos internos: Si = 360º (v – 2)
medindo 6cm e com altura 5cm. Um retângulo inscrito onde “v” é o número de vértices.
nesse triângulo tem o lado MN paralelo a BC, com x cm
de comprimento. Qual o valor de x, em cm, para que a Qual a quantidade de vértices, arestas e faces de um
área do retângulo seja máxima? poliedro limitado por seis faces quadrangulares e duas
faces hexagonais?
12. (VUNESP) Um cavalo se encontra preso num cercado
de pastagem, cuja forma é um quadrado, com lado
medindo 50m. Ele está amarrado a uma corda de 40m que
está fixada num dos cantos do quadrado. Considerando =
3,14, calcule a área, em metros quadrados, da região do
cercado que o cavalo não conseguirá alcançar porque está
amarrado.

a) 1244 b) 1256
c) 1422 d) 1424
e) 1444
Poliedros Regulares
13. (UFRGS) Se o raio de um círculo cresce 20%, sua
área cresce: Possuem todas as faces como polígonos regulares iguais e
ângulos formados pelas faces iguais.
a) 14% b) 14,4% c) 40%
d) 44% e) 144%

14. (UFSC) Considere as circunferências C1 de raio r e
C2 de raio R. A circunferência C1 passa pelo centro de
C2 e lhe é tangente. Se a área do circulo, limitado pela
circunferência C1, é igual a 4 centímetros quadrados,
calcule em cm2 a área do círculo limitado pela
circunferência C2.

15. (FUVEST) No trapézio ABCD, M é o ponto
médio do lado AD; N está sobre o lado BC e 2BN =
NC. Sabe-se que as áreas dos quadriláteros ABNM e
CDMN são iguais e que DC = 10. Calcule AB.



I - Um octaedro regular tem 8 faces quadradas.
II - Um dodecaedro regular tem 12 faces pentagonais.
III - Um icosaedro regular tem 20 faces triangulares.

É correto afirmar que apenas:

a) I é verdadeira b) II é verdadeira
c) III é verdadeira d) I e II são verdadeiras
e) II e III são verdadeiras.

Exercícios de Sala  Tarefa Complementar 

1. Um poliedro possui cinco faces triangulares, cinco faces 6. Some as alternativas corretas:
quadrangulares e uma pentagonal, determine as arestas,
faces e vértices. 01. Um poliedro convexo que tem 7 faces e 15 arestas
possui 10 vértices.
02. Um poliedro convexo que tem 6 faces triangulares e
2. Um poliedro convexo possui 9 faces triangulares, 9
somente faces triangulares possui 9 arestas.
faces quadrangulares, 1 face pentagonal e 1 face
04. Um poliedro que possui 10 vértices triédricos possui
hexagonal. Determine o número de vértices.
15 arestas.
08. Um poliedro que possui 6 vértices triédricos e quatro
3. Calcule a área total e o volume de um octaedro regular vértices pentaédricos possui 12 faces.
de aresta l. 16. Todo poliedro convexo que tem o número de vértices
igual ao número de faces possui um número par de
arestas.

7. (UFPR) Um poliedro convexo de 29 vértices possui
somente faces triangulares e faces hexagonais. Quantas
Tarefa Mínima  faces tem o poliedro se o número de faces triangulares é a
metade do número de faces hexagonais?
1. (FISS-RJ) Um poliedro convexo é formado por 20 faces
triangulares. O número de vértices desse poliedro é:
8. (CESGRANRIO) Considere o poliedro regular, de faces
triangulares, que não possui diagonais. A soma dos
a) 12 b) 15 ângulos das faces desse poliedro vale, em graus:
c) 18 d) 20 e) 24 a) 180 b) 360 c) 540
d) 720 e) 900
2. (CEFET – PR) Um poliedro convexo possui duas faces
triangulares, duas quadrangulares e quatro pentagonais.
9. (UFRGS) Um octaedro regular possui:
Logo, a soma dos ângulos internos de todas as faces será:
a) mais diagonais do que vértices;
a) 3240º b) 3640º c) 3840º b) mais faces que arestas;
d) 4000º e) 4060º c) mais vértices do que faces;
d) menos diagonais que faces;
e) igual número de vértices e de arestas.
3. (PUC–PR) Um poliedro convexo tem 3 faces
pentagonais e algumas faces triangulares. Qual o número
de faces desse polígono, sabendo-se que o número de
10. (PUC–PR) Se a soma dos ângulos das faces de um
arestas é o quádruplo do número de faces triangulares? poliedro regular é 1440º, então o número de arestas desse
poliedro é:
a) 6 b) 4 c) 5
d) 3 e) 8 a) 12 b) 8 c) 6 d) 20 e) 4

4. (PUC–PR) Um poliedro convexo de 10 vértices possui
8 faces triangulares e x faces quadrangulares. Qual o
número total de faces desse poliedro?

a) 4 b) 6 c) 8
d) 10 e) 12

5. (PUCCAMP–SP) Sobre as sentenças:



UNIDADE 7

PRISMAS

DEFINIÇÃO

Prismas são poliedros que possuem duas faces paralelas e
congruentes denominadas bases, e as demais faces em No prisma reto tem-se que as arestas laterais são iguais a
forma de paralelogramos. altura.

Fórmulas
Considere um prisma reto regular com n lados da base.

ELEMENTOS

BASES: são os polígonos A´BĆ´DÉ´ e ABCDE
FACES LATERAIS: São os paralelogramos ABA´B´;
BCBĆ; CDC´D´; ……
ARESTAS LATERAIS: são os segmentos AA´; BB´;
CC´; DD´ e EE´
ALTURA: A distância EH entre as duas bases é
denominada altura do Prisma.
ARESTAS DAS BASES: são os segmentos A´B´; BĆ´;
C´D´ ; DÉ´ e EÁ´ Exercícios de Sala 
NOMENCLATURA
1. Dado um Prisma triangular regular com aresta lateral
O nome do prisma se dá através da figura da base. igual a 7cm e aresta da base igual a 2cm. Determine:

Prisma Triangular: As bases são triangulares.
Prima Quadrangular: As bases são quadriláteros.
Prisma Hexagonal: As bases são hexágonos

Observação: Se o polígono da base for
regular, o prisma também será chamados de Regular.

a) a área total do prisma
b) o volume do prisma

2. (UFSC) O volume de um prisma hexagonal regular
de 2cm de aresta da base é 42 3 cm3. A medida, em
cm2, da área lateral desse prisma é:

Tarefa Mínima 
CLASSIFICAÇÃO
1. (ACAFE) Um prisma de 8dm de altura tem por base
De acordo com sua inclinação um prisma pode ser: um quadrado de 2dm de lado. O volume do prisma é:

Reto: quando as arestas Oblíquo: quando as arestas 2. (UFSC) Um prisma triangular regular tem uma área
laterais são laterais são oblíquas aos
total de ( 96 + 2 3 ) cm2. Sabe-se que a aresta da base
perpendiculares aos planos planos da base.
mede 2cm. A medida, em centímetros, da altura do
da base.
prisma é:



3. (PUC-PR) O volume do prisma reto de 3 m de
altura, cuja base é um hexágono de 2 m de lado, é:

a) 3 m3 b) 3 3 m3
c) 9 m3 d) 3 m3
e) 8 3 m3
UNIDADE 8
4. (Mack-SP) Num prisma de base triangular, a altura é
6 e os lados da base são 5, 6 e 7cm. O volume é em
cm3: TIPOS ESPECIAIS DE PRISMAS

PARALELEPÍPEDO RETO RETÂNGULO

Tarefa Complementar  Paralelepípedo é o prisma no qual as seis faces são
paralelogramos e as faces opostas são retângulos
congruentes.
5. (PUC-SP) Se a área da base de um prisma diminui
10% e a altura aumenta 20%, o seu volume:

a) aumenta 8% b) aumenta 15%
c) aumenta 108% d) diminui 8%
e) não se altera

6. (UFCE) Um prisma reto tem por base um losango Possui três dimensões:
cujas diagonais medem 8 cm e 4cm, respectivamente.
comprimento (a)
Se a altura do prisma é de 6cm, então o volume desse
prisma, em cm3, é: largura (b)
altura (c)

7. (ITA-SP) Considere P um prisma reto de base Fórmulas
quadrada, cuja altura mede 3m e com área total de
Área Total: ST = 2(ab + ac + bc)
80m2. O lado dessa base quadrada mede:
Volume: V = a.b.c
8. ( FCC-SP ) Na figura abaixo, tem-se um prisma reto de
base triangular. Se AB = 17cm, AE = 8 cm e ED = 14 cm, Diagonal: D2 = a2 + b2 + c2
a área total desse prisma, em cm2, é:
RELAÇÃO AUXILIAR: (a + b +c)2 = D2 + ST

Cubo – Hexaedro Regular

Cubo é um paralelepípedo com as dimensões iguais.

a) 1852 b) 1016
c) 926 d) 680
e) 508
Todas as faces são quadrados
9. (UFSC) Na figura a seguir, o segmento de reta AE é
paralelo ao segmento BF e o segmento de reta CG é Fórmulas
paralelo ao segmento DH; o trapézio ABDC tem os
lados medindo 2cm, 10cm, 5cm e 5cm, assim como o Área Total: ST = 6  2
trapézio EFHG; esses trapézios estão situados em planos Volume: V =  3
paralelos que distam 4cm um do outro. Calcule o volume
(em cm3) do sólido limitado pelas faces ABFE, CDHG, Diagonais: d =  2 D=  3
ACGE, BDHF e pelos dois trapézios.



Exercícios de Sala  7. (Fatec-SP) As medidas das arestas de um
paralelepípedo retângulo formam uma P.G. Se a menor das
1. (UFSC) O volume de um paralelepípedo retângulo é arestas mede 1/2 cm e o volume de tal paralelepípedo é
24 m3. Sabendo-se que suas dimensões são 64cm3, então a soma das áreas de suas faces é:
proporcionais aos números 4, 3 e 2, calcule, em metros
quadrados, a área total desse paralelepípedo. a) 292cm2 b) 298cm2 c) 296cm2
d) 294cm2 e) 290cm2

2. No cubo da figura, área da secção o ABCD é 8 cm2. 8. (UEPG) Sobre três cubos idênticos de aresta 1 dm
Calcule o volume do cubo. agrupados conforme mostra a figura abaixo, assinale o
que for correto.

Tarefa Mínima 

1. (UFSC) Na figura abaixo, que representa um cubo, o
perímetro do quadrilátero ABCD mede 8(1 + 2 ) cm.
Calcule o volume do cubo em cm3. 01. A área do triângulo ABC é 2 dm2.
02. AD 2 6 dm.
04. O triângulo ABC é retângulo isósceles.
08. O volume do sólido formado pelos três cubos é de 3
dm3
16. O perímetro do triângulo BCD vale 4 2 dm.

2. ( UFSC ) Considerando que uma das dimensões de um 9. (UFSC) Um tanque, em forma de paralelepípedo, tem
paralelepípedo retângulo mede 6dm, e as demais por base um retângulo de lados 0,50m e 1,20m. Uma
dimensões são diretamente proporcionais aos números 8 e pedra, ao afundar completamente no tanque, faz o nível da
2, e que a soma de todas as arestas é 44dm, calcule, em água subir 0,01m. Então, o volume da pedra, em
dm2, a área total desse paralelepípedo. decímetros cúbicos, é:

3. ( FGV-SP ) Um cubo tem 96m2 de área total. Em 10. (UNICAMP) Ao serem retirados 128 litros de água de
quanto deve ser aumentada a sua aresta, em metros, para uma caixa d’água de forma cúbica, o nível da água baixa
que seu volume se torne igual a 216 m3? 20 cm.

a) calcule o comprimento das arestas da referida caixa.
4. ( UFSC ) Usando um pedaço retangular de papelão, de b) calcule sua capacidade em litros.
dimensões 12cm e 16cm, desejo construir uma caixa sem
tampa, cortando, em seus cantos, quadrados iguais de 2cm
de lado e dobrando, convenientemente, a parte restante. A
terça parte do volume da caixa, em cm3, é:
UNIDADE 9

5. (UFSC) Num paralelepípedo retângulo, as medidas das PIRÂMIDES
arestas estão em progressão aritmética de razão 3. A
medida, em CENTÍMETROS, da menor aresta desse DEFINIÇÃO
paralelepípedo, sabendo que a área total mede 132 cm2, é:
Pirâmides são poliedros cuja base é uma região poligonal
ABCDEF e as faces são regiões triangulares.
Tarefa Complementar  Uma pirâmide se diz regular quando for reta
(projeção ortogonal do vértice coincide com o centro da
base) e a figura da base for regular
6. (UFSC) A área total de um paralelepípedo reto
retângulo é de 376 m2 e as suas dimensões são
proporcionais aos números 3, 4 e 5. Determine a décima
parte do volume desse paralelepípedo. Depois, passe o
resultado para o cartão resposta.



Para uma pirâmide regular com n lados da base vale as
seguintes relações:

Área da Base: SB = é a área do Polígono que está na
base

 ap
Área Lateral : SL = n.
2
NOMENCLATURA
Área Total: ST = SB + SL
Dá-se o nome da pirâmide através do polígono da base.
Observe alguns exemplos. SB.h
Volume V =
3

Relações Auxiliares na Pirâmide

Pirâmide Triangular a base é um triângulo ap2 = H2 + ab2
2

a  = ap +
2 2
2
a  2 = H2 + R2
Pirâmide quadrangular a base é um quadrado

1. Uma pirâmide quadrangular regular tem 4 m de altura e
a aresta de sua base mede 6m. Determine a área total dessa
pirâmide.

Pirâmide Pentagonal a base é um pentágono 2. Qual o volume de uma pirâmide regular hexagonal, cuja
altura mede 3 3 m e o perímetro da base mede 12 m?

3. (UFSC) A base quadrada de uma pirâmide tem 144 m2
de área. A 4 m do vértice traça-se um plano paralelo à base
e a secção assim feita tem 64 m2 de área. Qual a altura da
pirâmide?
Pirâmides Regulares
Tarefa Mínima 
Se a base de uma pirâmide reta for um polígono regular,
a pirâmide é regular.
1. (UFSC) Uma pirâmide regular, de base quadrada, tem
Elementos e Formulário aresta da base 8cm e apótema da pirâmide 5cm.
Determine, em cm3, o volume dessa pirâmide.

2. (UFSC) A aresta da base de uma pirâmide quadrangular
regular mede 4cm e sua altura mede 2 3 cm. Determine a
área total, em cm2, dessa pirâmide.

3. (UFSC) Em uma pirâmide quadrangular regular a aresta
lateral mede 5cm e a altura mede 4cm. O volume, em cm3,
é:
4. (Cescem-SP) Em uma pirâmide com 12cm de altura,
tendo como base um quadrado de lado igual a 10 cm, a
aresta da base - ℓ área lateral é:
aresta lateral -aℓ
altura – h a) 240cm2 b) 260cm2 c) 340cm2
apótema da base – ab d) 400cm2 e) n.d.a.
apótema da pirâmide – ap
Raio da circunferência circunscrita – R



5. (Osec-SP) Uma pirâmide quadrada tem todas as arestas a) 4 3 cm2 b) 8 3 cm2
medindo 2. Então, a sua altura mede:
c) 12 3 cm2 d) 16 3 cm2
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) n.d.a. e) 24 3 cm2

Tarefa Complementar  13. (PUC-PR) A aresta da base de uma pirâmide
hexagonal regular mede 3cm, e o apótema dessa pirâmide,
3 4cm. A área de uma das faces laterais desta pirâmide
6. (UFPA) Uma pirâmide triangular regular tem 9 cm de mede, em m2.
volume e 4 3 cm de altura. Qual a medida da aresta da a) 6.10-4 b) 6.10-2
-4
base? c) 12.10 d) 12.10-2
-4
e) 15.10
7. (UECE) Se o volume de um cubo de 6cm de aresta é
igual ao volume de uma pirâmide regular que tem para 14. (EE Volta Redonda) A base de uma pirâmide tem 225
base de um quadrado de 6cm de lado, então a altura da cm2 de área. Uma secção paralela à base, feita a 3cm do
pirâmide, em cm, é: vértice, tem 36cm2 de área. A altura da pirâmide é:
a) 4,5 cm b) 7,5 cm
8. O apótema de uma pirâmide regular é igual ao c) 1,5 cm d) 9,5cm
semiperímetro da base, e esta é um quadrado inscrito num e) 3,5cm
círculo de 8 metros de raio. Calcule a área total da
pirâmide. ( Divida o resultado obtido em m2 por dez ). AULAS 10
9. (UEPG-PR) Calcule a área total de um tetraedro regular
de aresta igual a 4 cm. CILINDRO, CONE e ESFERA
2 2
a) 4 3 cm b) 8 3 cm
2 CILINDRO DE REVOLUÇÃO
c) 12 3 cm d) 16 3 cm2
e) 24 3 cm2 Cilindro de revolução é o sólido obtido quando giramos
em torno de uma reta uma região retangular. Também é
10. (ACAFE-SC) A figura abaixo mostra a planificação chamado de cilindro circular.
de um sólido. O volume desse sólido é de:
Elementos

a) 1152cm3 b) 1440cm3 Se as geratrizes forem perpendiculares ao plano da base
c) 384cm3 d) 1200cm3 dizemos que o cilindro é reto, caso contrário, é dito
e) 240cm3 cilindro oblíquo. No caso do cilindro reto, temos que g = h

11. (VUNESP) Em cada um dos vértices de um cubo de Fórmulas
madeira, recorta-se uma pirâmide AMNP, em que M, N e
P são os pontos médios das arestas, como se mostra na Considere um cilindro reto.
ilustração. Se V é o volume do cubo, o volume do poliedro
que resta ao tirar as 8 pirâmides é igual a:

1 3 2 5 3
a) V b) V c) V d) V e) V
2 4 3 6 8
Área da Base: SB = r2
12. (UEPG-PR) Calcule a área total de um tetraedro
regular de aresta igual a 4 cm. Área Lateral: SL = 2 rh



Área Total: ST = 2SB + SL

Volume: V = r2h

Secção Meridiana:

A secção feita no cilindro reto por um plano que contém o
seu eixo denomina-se secção meridiana do cilindro. A Secção de uma esfera
secção meridiana é um retângulo de área: 2r.h. Quando a
secção é um quadrado temos um cilindro eqüilátero. Qualquer plano que secciona uma esfera de raio R
(g = h = 2r) determina como secção plana um círculo de raio r.
2R

h

CONE DE REVOLUÇÃO
d é a distância entre o plano e o centro da esfera.
Cone de revolução é o sólido obtido quando giramos um R é o raio da esfera.
triângulo retângulo em torno de um de seus catetos. Este r é o raio da secção.
cateto é a altura do cone, e o outro é seu raio. Já a Relação: R2 = r2 + d2
hipotenusa é a geratriz do mesmo.
Fórmulas da esfera
4 3
superfície esférica: As = 4 R2 volume: V = πR
3

1. (ACAFE) O volume de um cone circular reto é de 27
dm3 e a altura é de 9 dm. O raio da base é:

Fórmulas a) 4dm b) 9dm c) 2dm d) 5dm e) 3dm

Área da Base: SB = r2 Área Lateral: SL = rg 1
2. (UFSC) Determinar do volume em m3 de um cone
2
πr h
Área Total: ST = SB + SL Volume: V = de revolução cujo diâmetro da base mede 8m e a área
3 lateral, 20 m2.
Relação auxiliar: g2 = h2 + r2
3. (UFES) Enche-se um tubo cilíndrico de altura h =
Secção Meridiana 20cm e raio da base r = 2 cm com esferas tangentes ao
mesmo e tangentes entre si. O volume interior ao cilindro e
No cone reto temos a secção sendo um triângulo isósceles. exterior às esferas vale:
Quando a secção meridiana for um triângulo eqüilátero
teremos um cone eqüilátero ( G = 2R )

h g

2R a) 102 cm3 b) 80 cm3 c) 40 cm3
ESFERA
3 3
d) 160cm3 e) 80 cm3
Esfera é o conjunto dos pontos do espaço cujas distâncias
ao ponto O são menores ou iguais a R. A esfera também
pode ser considerada um sólido determinado pela rotação
de um círculo em torno de um de seus diâmetros.



Tarefa Mínima  9. Uma esfera de raio 8cm é seccionada por um plano
distante 5cm do seu centro. Calcule o raio (em cm) da
1. (UFSC) A área lateral de um cilindro eqüilátero é de secção.
1 a) 39 b) 36 c) 32
2 3
36 m . O valor, em m , de do volume desse cilindro é: d) 65 e) n.d.a.

10. (UFSC) A razão entre o volume de um cubo e sua área
2. (UFSC) Derrete-se um bloco de ferro, de forma cúbica,
de 9cm de aresta, para modelar outro bloco, de forma
1
total é 2. O valor de do volume da esfera, inscrita
15 3
cônica, de cm de altura e 12 cm de raio da base. O nesse cubo, é:
volume, em cm3, de ferro que sobrou após a
11. (UFSC) O volume, em cm3, de um cubo
modelagem, é:
circunscrito a uma esfera de 16 cm2 de superfície é:

3. (UDESC) Uma caixa d’água de forma cilíndrica tem 12. (F.Porto-Alegrense-RS) Se um cone e uma esfera têm
1,5 m de diâmetro e capacidade de 7065 litros. A altura da o mesmo volume, e o raio da base do cone é o triplo do
caixa é: raio da esfera, então a razão entre o raio da esfera e a altura
do cone é:
a) 3,2 m b) 3,6 m a) 9/4 b) 9/2 c) 3/4
c) 4,0 m d) 4,8 m d) 2/3 e) 1

4. (SUPRA) Um pedaço de cano de 30cm de comprimento 13. (Santa Casa-SP) O raio da base de um cone eqüilátero
e 10 cm de diâmetro interno se encontra na posição mede 6 3 cm. O volume da esfera inscrita nesse cone, em
vertical e possui a parte interna vedada. Colocando-se dois cm3, é:
litros de água em seu interior, a água: a) 144 b) 152 c) 192
d) 288 e) 302
a) ultrapassa o meio do cano
b) transborda 14. (UFRGS) Uma panela cilíndrica de 20 cm de diâmetro
c) não chega ao meio do cano está completamente cheia de massa para doce, sem
d) enche o cano até a borda exceder a sua altura, que é de 16cm. O número de doces
e) atinge exatamente o meio do cano em formato de bolinhas de 2cm de raio que se podem obter
com toda a massa é:
5. (FUVEST) Uma superfície esférica de raio 13cm é a) 300 b) 250 c) 200
cortada por um plano situado a uma distância de 12cm do d) 150 e) 100
centro da superfície esférica, determinando uma
circunferência, em cm, é: 15. (UFSC) A geratriz de um cone eqüilátero mede
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
2 3 cm. Calcule a área da seção meridiana do cone, em
Tarefa Complementar  cm2, multiplique o resultado por 3 e assinale o valor
obtido no cartão-resposta.
6. (UFSC) Um cilindro reto tem 63 cm3 de volume.
Sabendo que o raio da base mede 3cm, determine, em
centímetros, a sua altura. UNIDADE 11
7. (UFCE) O raio de um cilindro circular reto é aumentado
de 20% e sua altura é diminuída de 25%. O volume deste PROGRESSÃO ARITMÉTICA
cilindro sofrerá um aumento de:
a) 2% b) 4% c) 6% CONCEITOS INICIAIS
d) 8% e) n.d.a.
Vamos considerar a seqüência (an ) onde an = 3n + 1,
8. (PUC-PR) Um triângulo retângulo isósceles, de sendo n inteiro positivo. Temos:
hipotenusa 3 2 cm, gira em torno de um dos catetos. a1 = 4, a2 = 7, a3 = 10, a4 = 13 e assim por diante.
Qual é o volume do sólido de revolução gerado?
(4, 7, 10, 13, ...........)
a) 3 2 cm3 b) 9 cm3
c) 18 cm3 d) 27 cm3 Observe que a diferença entre cada termo e seu antecessor
e) 1/3 cm3 se mantém igual a 3. Seqüências como esta são
denominadas progressões aritméticas.



DEFINIÇÃO
Três termos em P.A.
Chama-se progressão aritmética uma seqüência em que, a :x–r. x.x+r
partir do segundo elemento, a diferença entre cada Quatro termos em P.A
elemento e seu antecessor é constante. Essa constante é : x – 3r . x – r . x + r . x + 3r
denominada razão da P.A. e é indicada por r. Cinco termos em P.A.
: x – 2r . x – r . x . x + r . x + 2r
Veja que para a seqüência a1.a2.a3...an ser uma P.A. é
necessário que: Propriedades da P.A.

a2 a1 = a3 a2 = ...... an an 1 = ..... = r Dada uma Progressão Aritmética qualquer, de n termos e
Veja os exemplos: razão r, podemos observar as seguintes propriedades:

a) a seqüência (2, 5, 8, .......) é uma P.A., pois, Um termo qualquer, excetuando os extremos é a
5 – 2 = 8 – 5 = ..... Sua razão é igual a 3. média aritmética entre o termo anterior e o
posterior.
b) a seqüência (1, 4, 5, .....) não é P.A., pois,
4 – 1 5 – 4. a a
an n 1 n 1
CLASSIFICAÇÃO DA P.A. 2
Uma P.A. pode ser classificada de acordo com valor da
razão. Observe o quadro abaixo: Exemplo: (2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23)

r>0 P.A. crescente (2, 4, 6, 8, 10) r = 2 8 14
r<0 P.A. decrescente (10, 7, 4, 1, -2) r = –3 11
2
r=0 P.A. constante (3, 3, 3, 3, 3) r = 0
Numa P.A. limitada, a soma dos termos extremos
FÓRMULA DO TERMO GERAL DA P.A.
é igual à soma dos termos eqüidistantes dos
extremos.
Considere a seqüência (a1, a2, a3......an). Partindo da
definição temos:
Observação: Se dois termos ap e aq são eqüidistantes dos
a2 = a 1 + r
extremos temos:
a3 = a2 + r = a1 + r + r = a1 + 2r
a4 = a3 + r = a1 + 2r + r = a1 + 3r
p+q=n+1
.
.
Com essa igualdade é possível saber se dois termos
an = a1 + (n – 1).r
quaisquer são eqüidistantes dos extremos ou não.
Por exemplo, numa seqüência de 50 termos, a 16 e a35 são
Importante:
eqüidistantes dos extremos, pois
16 + 35 = 50 + 1.
Se an e ak são dois termos quaisquer de uma P.A. , da
fórmula do termo geral temos:
INTERPOLAÇÃO ARITMÉTICA
an = a1 + (n – 1)r (1)
Interpolar, inserir ou intercalar m meios aritméticos entre a
ak = a1 + (k – 1)r (2)
e b significa formar uma P.A. de extremos a e b com
m + 2 elementos.
Subtraindo-se (1) de (2) vem:
Para determinarmos os meios aritméticos, devemos
an – ak = (n – 1)r – (k – 1)r
calcular a razão da P.A.
an – ak = (n – 1 – k + 1) r
an = ak + (n – k)r
SOMA DOS TERMOS DA P.A.
Logo, para dois termos quaisquer an e ak, podemos
escrever:
a an
an = ak + (n – k).r Sn 1 .n
2
Exemplos: a12 = a3 + 9r; a20 = a6 + 14r; a8 = a2 + 6r
Representações Especiais

Para facilitar a resolução de problemas em P.A. podemos 1. A seqüência (19 – 6x, 2 + 4x, 1 + 6x) são termos
utilizar os seguintes artifícios: consecutivos de uma P.A. Logo, o valor de x é:



2. Em uma P.A., a5 = 30 e a16 = 118. Calcule a razão da 10. O número de múltiplos de 5 compreendidos entre 21e
P.A. 623 é:

3. (UFSC) Marque no cartão resposta a ÚNICA 11. (U.CAXIAS DO SUL ) Sabendo que a seqüência (1 –
proposição correta. A soma dos múltiplos de 10, 3x, x – 2, 2x + 1…) é uma P.A, então o décimo termo da
compreendidos entre 1e1995, é P.A. (5 – 3x, x + 7, ….) é:

01. 198.000 a) 62 b) 40 c) 25 d) 89 e) 56
02. 19.950
04. 199.000 12. (PUC) Os números que exprimem o lado, a diagonal e
08. 1.991.010 a área de um quadrado estão em P.A, nessa ordem. O lado
16. 19.900 do quadrado mede:

Tarefa Mínima  a) 2 b) 2 2 -1 c) 1 + 2 d) 4 e) 2
1. Em cada caso abaixo, determine o valor de x para que 13. (CEFET-PR) O número de inteiros compreendidos
entre 200 e 500, que são divisíveis por 5 e não são
as seqüências representem três números consecutivos em
divisíveis por 15, é:
P.A.
a) 100 b) 39 c) 41 d) 59 e) 80
a) (3x - 1, x + 3 e x + 9 )
b) (2x – 3, 2x + 1, 3x + 1)
c) (x + 4)2, (x – 1)2 , (x + 2)2 14. (POLI) Inscrevendo nove meios aritméticos entre 15 e
45, qual é o sexto termo da P.A.
2. (FGV-SP) A seqüência ( 3m; m + 1; 5 ) é uma
progressão aritmética. Sua razão é: 15. (Unicamp-SP) Os lados de um triângulo retângulo
estão em progressão aritmética. Sabendo que a área do
triângulo é 150, determine a soma dos lados do triângulo.
3. (PUC-SP) Se o quarto e o nono termos de uma P.A. são
respectivamente, 8 e 13, então a razão da progressão é:
16. (UFSC) As medidas dos lados de um triângulo são
números inteiros ímpares consecutivos e seu perímetro
4. Calcule a razão de uma P.A sabendo que a soma do
mede 291 decímetros. Calcule em decímetros a medida do
terceiro termo com o oitavo é 74 e a soma do quinto com o
maior lado desse triângulo.
décimo segundo é 110.

5. (LONDRINA) Interpolando-se 7 termos aritméticos 17. Os lados de um triângulo retângulo estão em
progressão aritmética. Sabendo que a área do triângulo é
entre os números 10 e 98, obtém-se uma progressão
150, determine o raio da circunferência inscrita nesse
aritmética cujo quinto termo vale:
triângulo.
6. (PUC-SP) Três números positivos estão em PA. A
soma deles é 12 e o produto 18. O termo do meio é:
18. (UFSC) A Soma dos sete termos interpolados na P.A.
cujo primeiro termo e último termos são respectivamente,
7 e 17 é:
7. (U.F OURO PRETO) A soma dos n primeiros números
naturais ímpares é dada por:
19. (UFSC) A soma dos 10 primeiros termos de uma P.A.,
a) n2
b) 2n c) n/2 d) 2n – 1 e) n3 na qual o primeiro termo é igual a razão e a3 + a8 = 18, é:

8. Numa cerimônia de formatura de uma faculdade, os 20. (UFSC) Qual deve ser o número mínimo de termos da
formandos foram dispostos em 20 filas de modo a formar seqüência ( 133, 126, 119, 112...) para que a soma de
um triângulo; com 1 formando na primeira fila, 3 seus termos seja positiva.
formandos na segunda, 5 formandos na terceira e assim
por diante, constituindo uma progressão aritmética. O UNIDADE 12
número de formandos na cerimônia é:

a) 400 b) 410 c) 420 d) 800 e) 840 PROGRESSÃO GEOMÉTRICA

Tarefa Complementar DEFINIÇÃO

É uma sequência de números não nulos em que cada termo
9. (UFSC) Numa P.A. decrescente de 7 termos, a soma a partir do segundo, é igual ao anterior multiplicado por
dos termos extremos é 92, e a diferença entre os dois um número fixo chamado razão da PG.
primeiros termos é 5. O valor do 1º termo é: Representação: :: a1 : a2 : a3 : .... :an


onde Dada uma P.G com três termos consecutivos (a1, a2, a3),
a1 é o primeiro termo podemos dizer que o termo central é a média geométrica
a2 é o segundo termo entre o anterior (a1) e o seu posterior (a3), ou seja:
a3 é o terceiro termo
an é o enésimo ou último termo a22 = a1.a3 ou an2 = an - 1.an + 1
n é o número de termos
q é a razão da P.G. 2ª Propriedade

a2 a3 a4 an Numa P.G. limitada o produto dos extremos é igual ao
q produto dos termos eqüidistantes dos extremos.
a1 a2 a3 an 1 Veja a P.G. ( 2, 4, 8, 16, 32, 64 ).
Observe que: 2.64 = 4.32 = 8.16 = 128

CLASSIFICAÇÃO DA P.G. 3. Interpolação Geométrica

1º caso: a1 > 0 Interpolar, inserir ou intercalar m meios geométricos entre
a e b significa formar uma P.G. de extremos a e b com m
Se q > 0 P.G. crescente ( 2, 6, 18, 54,...) + 2 elementos.
Se q = 1 P.G. constante ( 5, 5, 5, 5,...) Para determinarmos os meios aritméticos, devemos
Se 0 < q < 1 P.G. decrescente ( 256, 64, calcular a razão da P.G.
16,...) 3. Soma dos termos de uma P.G. finita.

2º caso: a1 < 0 A soma dos "n" primeiros termos de uma P.G. finita é
dada pela expressão:
Se q > 0 P.G. decrescente (-2, -10, -50,..)
Se q = 1 P.G. constante ( -3, -3, -3,...) a1 ( q n 1) an .q a1
Se 0 < q < 1 P.G. crescente ( -40, -20, - Sn
10,...) q 1 q 1

Observação: São denominadas P.G. alternantes aquelas Observação: Se a razão da P.G. for igual a 1, temos
em que cada termo tem sinal contrário ao do termo uma P.G. constante, e a soma dos
anterior. Isso ocorre quando q < 0. termos dessa P.G será dada por:
Sn = n. a1
TERMO GERAL 4. Soma dos termos de uma P.G. infinita.

Considere a seqüência (a1, a2, a3, ........., an). Partindo da Dada uma P.G. com: n e an 0, sua soma pode
definição temos: ser calculada pela expressão:
a2 = a1.q a1
a3 = a2.q = a1.q.q = a1.q2 S 0 < |q| < 1
a4 = a3.q = a1.q2.q = a1.q3 1 q
5. Produto dos termos de uma P.G. finita

an = a1.qn - 1 O produto dos termos de uma P.G. finita é dado pela
expressão:
Assim, como na P.A., podemos relacionar dois termos
quaisquer de uma P.G. Ou seja, dados dois termos de uma
|Pn | = (a 1.an ) n
P.G. am e ak, podemos dizer que:

am = ak.qm - k Exercícios de Sala 
x
1. Representação de três termos em 1. (UEL-PR) A seqüência (2x + 5, x + 1, , ....) é uma
P.G. 2
progressão geométrica de termos positivos. O décimo
x terceiro termo dessa seqüência é:
, x , x q
q
a) 2 b) 3-10 c) 3 d) 310 e) 312
2. Propriedades
2. (MACK-SP) Em uma progressão geométrica o primeiro
1ª Propriedade: termo é 2 e o quarto é 54. O quinto termo dessa P.G. é:

a) 62 b) 68 c) 162 d) 168 e) 486


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