1) O documento apresenta os principais conceitos de geometria plana, incluindo definições de polígonos, triângulos, quadriláteros e seus elementos. 2) É descrito o teorema de Tales, que estabelece que um feixe de retas paralelas cortadas por duas transversais determinam segmentos proporcionais. 3) Também é explicado o teorema da bissetriz de um ângulo interno de um triângulo, que afirma que a bissetriz divide o lado oposto ao ângulo em part

1. Geometria plana
Índice
Polígonos
Triângulos
Congruência de triângulos
Semelhança de triângulos
Relações métricas no triângulo retângulo
Quadriláteros
Teorema de Tales Esquadros de madeira ― www.ser.com.br
Teorema da bissetriz de um ângulo
interno de um triângulo
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2. Polígonos
Definição
Chama-se polígono toda linha poligonal fechada simples
juntamente com os pontos da região interna que essa linha
determina.
As figuras a seguir são polígonos
As figuras a seguir não são polígonos
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3. Polígonos
Polígonos convexos e polígonos côncavos
Polígonos convexos Polígonos côncavos
Um polígono se diz convexo quando o Um polígono se diz côncavo quando
segmento de reta que une dois pontos existem dois pontos de sua região interna
quaisquer de sua região interna está tais que o segmento de reta por eles
sempre contido nela. determinado não está contido nela.
A A
B
B
São polígonos convexos São polígonos côncavos
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4. Polígonos
Elementos de um polígono
No polígono ABCDE ao lado temos que:
• Os segmentos AB, BC, CD, DE, EA
A
são os lados do polígono;
• Os pontos A, B, C, D, E são os vértices
E B do polígono;
• Os segmentos AC, AD, BD, BE, CE
são as diagonais do polígono;
• ˆ ˆ ˆ ˆ ˆsão os ângulos
ABC, BCD, CDE, DEA, EAB
D C
do polígono;
Nota:
Diagonal de um polígono é o segmento de
reta que une dois vértices não
consecutivos desse polígono.
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5. Polígonos
Polígonos regulares
Chama-se polígono regular a todo
polígono que tem todos os lados
congruentes e todos os ângulos
A
congruentes (ângulos que possuem a
mesma medida).
E B Num polígono regular destacamos:
O
• O centro
É o ponto que dista igualmente de todos
os vértices do polígono. (Na figura ao
D C lado é o ponto O.)
M
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6. Polígonos
Nome dos polígonos
De acordo com o número de ângulos, o polígono recebe um nome especial.
Veja, no quadro abaixo, o nome de alguns polígonos:
Número de Nome Número de Nome
lados lados
3 Triângulo 9 Eneágono
4 Quadrilátero 10 Decágono
5 Pentágono 11 Undecágono
6 Hexágono 12 Dodecágono
7 Heptágono 15 Pentadecágono
8 Octógono 20 Icoságono
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7. Polígonos
Soma das medidas
dos ângulos internos:
Si = 180º ( n − 2 )
Soma das medidas
dos ângulos externos:
Se = 360º
Si 180º ( n − 2 )
Ângulos internos de
um polígono regular:
ai = ou ai =
n n
Se 360º
Ângulos externos de
um polígono regular:
ae = ou ae =
n n
n ( n − 3)
Número de diagonais
de um polígono:
d=
2
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8. Triângulos ― classificação
Quanto aos ângulos Quanto aos lados
Acutângulo: possui três ângulos agudos. Equilátero: três lados de mesma medida.
Obs.: os três ângulos internos têm
medidas de 60º.
Retângulo: possui dois ângulos agudos e Isósceles: dois lados de mesma medida.
um ângulo reto. Obs.: pode ser aplicado Obs.: os ângulos opostos aos lados
o teorema de Pitágoras: congruentes também são de mesma
hipotenusa2 = cateto2 + cateto2 medida.
Obtusângulo: possui dois ângulos agudos Escaleno: três lados de medidas
e um obtuso. diferentes entre si.
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9. Triângulos - medidas de seus ângulos
Soma das medidas dos Teorema do ângulo externo
ângulos internos
α + β + γ = 180º α + x = 180º β+γ=x
Condição de existência de um triângulo
A soma das medidas
dos dois lados menores
b+c>a
tem que ser maior que
a medida do lado maior.
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10. Triângulos – cevianas e pontos notáveis
Ceviana Definição Ponto notável Figura
É o segmento que tem como Baricentro (G): é o ponto de
extremidade um vértice do encontro das medianas do
Mediana triângulo e o ponto médio do lado triângulo; é o centro de
oposto a esse vértice. gravidade do triângulo.
É o segmento que tem uma Incentro (I): é o encontro das
extremidade em um vértice do bissetrizes internas do
Bissetriz triângulo, divide o ângulo ao meio triângulo; é o centro da
e tem a outra extremidade no circunferência inscrita no
lado oposto a esse vértice. triângulo, pois equidista dos
três lados.
É o segmento com uma Ortocentro (H): é o ponto de
extremidade em um vértice e a encontro das retas que contêm
Altura outra extremidade no lado oposto as alturas, podendo pertencer
ou no seu prolongamento, ao exterior do triângulo.
formando com ele ângulos retos.
Reta que passa pelo ponto médio Circuncentro (C): é o ponto
de um lado do triângulo e é de encontro das mediatrizes
Mediatriz perpendicular a ele. dos lados do triângulo; é o
centro da circunferência
circunscrita ao triângulo, pois
equidista dos três vértices.
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11. Congruência de triângulos
Dois triângulos são congruentes se coincidem ao serem
sobrepostos. Isso significa que seus lados, dois a dois, terão a
mesma medida e o mesmo ocorrerá com os seus ângulos.
1o caso: LAL 2o caso: LLL 3o caso: ALA 4o caso: LAAo
Dois lados congruentes Três lados congruentes Dois ângulos Um lado congruente,
e o ângulo formado congruentes e o lado um ângulo adjacente e
por eles congruente compreendido entre o ângulo oposto a esse
eles congruente lado congruente
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12. Semelhança de triângulos
Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem os três ângulos
ordenadamente congruentes e os lados homólogos proporcionais.
Dessa forma, basta verificar alguns elementos para saber se os dois triângulos são
semelhantes.
Assim teremos:
Casos de semelhança: AB BC AC
= = = constante
DE EF DF
1o caso: AA 2o caso: LLL 3o caso: LAL
Se dois ângulos de um Dois triângulos são Dois triângulos são
triângulo são semelhantes se os lados de semelhantes se possuem
respectivamente um são proporcionais aos um ângulo congruente
congruentes a dois ângulos lados do outro. compreendido entre lados
de outro, o terceiro ângulo proporcionais.
também será.
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13. Relações métricas no triângulo retângulo
Considere um triângulo ABC, retângulo em A, e o segmento AD
perpendicular ao lado BC , com D em BC .
Definições dos segmentos:
BC = hipotenusa (medida "a")
Assim teremos: a =b +c
2 2 2
AB = cateto (medida "c") a ⋅h = b ⋅c
AC = cateto (medida "b")
b = m⋅a
2
BD = projeção do cateto AB
sobre a hipotenusa (medida "m") c2 = n ⋅ a
DC = projeção do cateto AC h2 = m ⋅ n
sobre a hipotenusa (medida "n")
AD = altura relativa à
hipotenusa (medida "h")
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14. Quadriláteros
São polígonos de quatro lados em que a soma das medidas dos ângulos internos é 360º.
Quanto aos Quanto às Quanto aos
ângulos diagonais lados
Ângulos opostos Encontram-se no Lados opostos
Paralelogramo congruentes e seu ponto médio. congruentes.
ângulos
adjacentes
suplementares.
Quatro ângulos São congruentes. Lados opostos
Retângulo retos. congruentes.
Ângulos opostos São perpendiculares Quatro lados
Losango congruentes e entre si e estão congruentes.
ângulos contidas nas
adjacentes bissetrizes dos
suplementares. ângulos internos do
losango.
Quatro ângulos Encontram-se no Quatro lados
Quadrado retos. seu ponto médio e congruentes.
são congruentes.
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15. Quadriláteros
Os trapézios são quadriláteros que têm apenas um par de
lados paralelos, chamados base maior e base menor.
Trapézio retângulo Trapézio isósceles
É todo trapézio que tem dois É todo trapézio que tem dois
ângulos retos. Nele, um dos lados não paralelos
lados que não é base é congruentes.
perpendicular às duas bases.
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16. Teorema de Tales
Um feixe de retas paralelas cortadas por duas transversais quaisquer
determinam segmentos proporcionais.
Assim teremos:
AB BC AC
= =
DE EF DF
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17. Teorema da bissetriz de um ângulo interno de um triângulo
Em todo triângulo, a bissetriz de qualquer ângulo interno divide o
lado oposto a ele em duas partes proporcionais aos lados que
formam esse ângulo.
Assim teremos:
BD AB
=
DC AC
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