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Revisao geometria-plana-1º ano

Revisao geometria-plana-1º ano

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EREM PADRE OSMAR NOVAES
       GEOMETRIA PLANA

                         1. ÂNGULO

1) OPERAÇÃO COM ÂNGULOS

 38o 29’ 51’’ + 15o 45’ 24’’

    38o 29’ 51’’
  + 15o 45’ 24’’
    53º 74’ 75’’
    54º 15’ 15’’
EREM PADRE OSMAR NOVAES
     GEOMETRIA PLANA

                     1. ÂNGULO

2) CLASSIFICAÇÃO DOS ÂNGULOS

 Ângulo agudo:                   α < 90º


Ângulo reto:                     α = 90º


Ângulo obtuso:                   α > 90º


Ângulo raso:                     α = 180º
EREM PADRE OSMAR NOVAES
       GEOMETRIA PLANA

                          1. ÂNGULO

2) CLASSIFICAÇÃO DOS ÂNGULOS

Ângulo nulo:                               α = 0o
                 (lados coincidentes)


                                           α = 360o
Ângulo de 1 volta:
                                        Mesmo vértice e um lado
                                        comum entre os lados não
Ângulos adjacentes:                     comuns



                                        Mesmo vértice e, dois a dois, um
Ângulos consecutivos:                   lado comum.
EREM PADRE OSMAR NOVAES
      GEOMETRIA PLANA

                     1. ÂNGULO

2) CLASSIFICAÇÃO DOS ÂNGULOS

Ângulos complementares:      α              α + β = 90º
                                 β


                             α
Ângulos suplementares:               β      α + β = 180º


Ângulos replementares:   β   α           α + β = 360º
EREM PADRE OSMAR NOVAES
       GEOMETRIA PLANA

                                   1. ÂNGULO

3) ÂNGULOS FORMADOS POR DUAS PARALELAS
E UMA TRANSVERSAL.
                        t
            b       a       r
           c
                d

   f   e                    s
   g                            Correspondentes: a e e; d e h; b e f; c e g.
       h
                                Opostos pelo vértice: a e c; b e d; e e g; f e h.
                                Alternos internos: d e f; c e e.
                                Alternos externos: a e g; b e h.
                                Colaterais internos: d e e; c e f.
                                Colaterais externos: a e h; b e g.
EREM PADRE OSMAR NOVAES
        GEOMETRIA PLANA

                           1. ÂNGULO
Questão 3:
(UFES) O triplo do complemento de um ângulo é igual à terça
parte do suplemento deste ângulo. Este ângulo mede:
a) 45o
b) 48o 30’
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Revisao geometria-plana-1º ano

  • 1. EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 1. ÂNGULO 1) OPERAÇÃO COM ÂNGULOS 38o 29’ 51’’ + 15o 45’ 24’’ 38o 29’ 51’’ + 15o 45’ 24’’ 53º 74’ 75’’ 54º 15’ 15’’
  • 2. EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 1. ÂNGULO 2) CLASSIFICAÇÃO DOS ÂNGULOS Ângulo agudo: α < 90º Ângulo reto: α = 90º Ângulo obtuso: α > 90º Ângulo raso: α = 180º
  • 3. EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 1. ÂNGULO 2) CLASSIFICAÇÃO DOS ÂNGULOS Ângulo nulo: α = 0o (lados coincidentes) α = 360o Ângulo de 1 volta: Mesmo vértice e um lado comum entre os lados não Ângulos adjacentes: comuns Mesmo vértice e, dois a dois, um Ângulos consecutivos: lado comum.
  • 4. EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 1. ÂNGULO 2) CLASSIFICAÇÃO DOS ÂNGULOS Ângulos complementares: α α + β = 90º β α Ângulos suplementares: β α + β = 180º Ângulos replementares: β α α + β = 360º
  • 5. EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 1. ÂNGULO 3) ÂNGULOS FORMADOS POR DUAS PARALELAS E UMA TRANSVERSAL. t b a r c d f e s g Correspondentes: a e e; d e h; b e f; c e g. h Opostos pelo vértice: a e c; b e d; e e g; f e h. Alternos internos: d e f; c e e. Alternos externos: a e g; b e h. Colaterais internos: d e e; c e f. Colaterais externos: a e h; b e g.
  • 6. EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 1. ÂNGULO Questão 3: (UFES) O triplo do complemento de um ângulo é igual à terça parte do suplemento deste ângulo. Este ângulo mede: a) 45o b) 48o 30’ c) 56o 15’ d) 60o e) 78o 45’
  • 7. EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 1. ÂNGULO Questão 3: Solução: O triplo do complemento de um ângulo é igual à terça parte do suplemento deste ângulo. 1 630º 8 3.(90 − x) = .(180 − x) 3 6º 78º x 60’ 1 270 − 3 x = .(180 − x) 360º 8 3 0 45’ 810 − 9 x = 180 − x 8 x = 630 x = 78o 45'
  • 8. EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 1. ÂNGULO Questão 13: (UF-ES) Se as retas r e s da figura abaixo são paralelas então 3α + β vale: a)225o b)195o c)215o d)1750 e)1850
  • 9. EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 1. ÂNGULO Questão 13: Solução: α= 45º β = 60º 15º 30º 3α + β = 3.45 + 60 30º 60º 3α + β = 195o 60º
  • 10. EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 1. ÂNGULO Questão 16: (UF-MG) Na figura, AC = CB = BD e A = 25o. O ângulo x mede: a)50o b)60o c)70o d)75o e)80o
  • 11. EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 1. ÂNGULO Questão 16: Solução: AC = CB = BD 50º 50º 130º 80º 25º 75º
  • 12. COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 2. POLÍGONOS 1) POLÍGONOS CONVEXOS E NÃO-CONVEXOS CONVEXO NÃO-CONVEXO
  • 13. COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 2. POLÍGONOS 2) SOMA DOS ÂNGULOS n=3 1 x 180º Si = 180º n=4 2 x 180º Si = 360º n=5 3 x 180º Si = 540º Si = (n – 2).180o
  • 14. COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 2. POLÍGONOS 2) SOMA DOS ÂNGULOS α γ β α γ β Se = 360o
  • 15. COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 2. POLÍGONOS 3) NÚMERO DE DIAGONAIS no de diagonais determinadas a partir de 1 vértice: (n – 3) no de diagonais de um polígono c/ n lados: n.(n − 3) d= 2
  • 16. EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 2. POLÍGONOS Questão 2: (CESCEM-adaptada) Se ABCDE é um polígono regular, então a soma dos ângulos assinalados na figura é: a) 90o b)120o c)144o d)154o e)180o
  • 17. EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 2. POLÍGONOS Questão 2: Si = (n − 2).180 o Solução: Si = (5 − 2).180o Si = 540o 180º – C – E 180º – B – D 180º – A – D 180º – A – C 180º – B – E 180 – A – C + 180 – B – D + 180 – C – E + 180 – A – D + 180 – B – E = 540 2A + 2B + 2C + 2D + 2E = 360 2.(A + B + C + D + E) = 360
  • 18. EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 2. POLÍGONOS Questão 4: (ESAF/2006) Em um polígono de n lados, o número de diagonais determinadas a partir de um de seus vértices é igual ao número de diagonais de um hexágono. Desse modo, n é igual a: a) 11 b)12 c)10 d)15 e)18
  • 19. EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 2. POLÍGONOS Questão 4: Solução: O número de diagonais determinadas a partir de um de seus vértices é igual ao número de diagonais de um hexágono. Diagonais a partir de um dos vértices: (n – 3) Diagonais de um hexágono: n.(n − 3) Então: d= 2 n–3=9 6.(6 − 3) n = 12 d= 2 d =9
  • 20. EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 2. POLÍGONOS Questão 6: No hexágono ABCDEF abaixo, a medida do ângulo ABC é o quádruplo da medida do ângulo EFA. Calcule a medida de um ângulo obtuso formado pelas bissetrizes de ABC e EFA. a)100o b)110o c)120o d)130o e)140o
  • 21. EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 2. POLÍGONOS Questão 6: Solução: A medida do ângulo ABC é o quádruplo da medida do ângulo EFA. Calcule a medida de um ângulo obtuso formado pelas bissetrizes de ABC e EFA. 5x + 160 + 120 + 90 + 150 = (6 – 2).180 5x + 520 = 720 4x 5x = 200 x x = 40
  • 22. EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 2. POLÍGONOS Questão 6: Solução: A medida do ângulo ABC é o quádruplo da medida do ângulo EFA. Calcule a medida de um ângulo obtuso formado pelas bissetrizes de ABC e EFA. 5x + 160 + 120 + 90 + 150 = (6 – 2).180 80º 5x + 520 = 720 5x = 200 20º α x = 40 α + 20 + 160 + 80 = 360 α = 100º
  • 23. EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 2. POLÍGONOS Questão 8: Solução: 75º 110º
  • 24. EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 2. POLÍGONOS Questão 8: Na figura seguinte, o valor de α é: a) 90o b) 95o c) 100o d) 110o e) 120o
  • 25. EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS 1) CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA Em todo triângulo, qualquer lado é menor que a soma e maior que a diferença entre os outros dois. b c a |b - c| < a < b + c
  • 26. EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS 2) ELEMENTOS Altura: é o segmento de reta que liga um vértice ao lado oposto, perpendicularmente. Bissetriz interna: é a semi-reta que divide o ângulo em dois ângulos de medidas iguais.
  • 27. AB AC BP = PC EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS 2) ELEMENTOS Observação: Teorema da Bissetriz Interna. A bissetriz interna de um triângulo determina sobre o lado oposto dois segmentos proporcionais aos outros dois lados. A AB AC = BP PC B P C
  • 28. EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS 2) ELEMENTOS Mediana: é o segmento de reta que liga um vértice ao ponto médio do lado oposto. Mediatriz: é a reta perpendicular a um lado, que o divide em dois segmentos de mesma medida.
  • 29. EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS 2) ELEMENTOS Baricentro: é o ponto de interseção das medianas. OBSERVAÇÃO: O baricentro divide cada mediana na razão 2/3 a partir do vértice.
  • 30. EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS 2) ELEMENTOS Incentro: é o ponto de interseção das bissetrizes. OBSERVAÇÃO: O incentro é o centro da circunferência inscrita no triângulo. Assim, o incentro é eqüidistante dos lados do triângulo.
  • 31. EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS 2) ELEMENTOS Circuncentro: é o ponto de interseção das mediatrizes. OBSERVAÇÃO: O circuncentro é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo. Assim o circuncentro é eqüidistante dos vértices do triângulo.
  • 32. EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS 2) ELEMENTOS Ortocentro: é o ponto de interseção das alturas.
  • 33. EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS 2) ELEMENTOS OBSERVAÇÃO: Os três pontos de interseções, baricentro, circuncentro e ortocentro, de uma maneira geral são pontos distintos. Mas em qualquer triângulo, eles estão alinhados (Reta de Euller). Se o triângulo for eqüilátero, os quatro pontos (baricentro, incentro, ortocentro e circuncentro) são coincidentes.
  • 34. EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS 2) ELEMENTOS
  • 35. EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS 3) SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS Dois triângulos são semelhantes quando possuem lados homólogos* proporcionais e ângulos respectivamente de mesmas medidas. * lados homólogos: são lados opostos a ângulos iguais.
  • 36. EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS 3) SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS 3 cm 2 cm 45o 60o 45o 60o 50o 3 cm 50o 4,5 cm 8 cm 6 cm 4 cm 3 cm 2 cm 4 cm
  • 37. EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS 4) RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO A b2 = a.m c2 = a.n b c h h2 = m.n C m n B a a.h = b.c a2 = b 2 + c 2
  • 38. EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS 5) RELAÇÕES MÉTRICAS NUM TRIÂNGULO QUALQUER Triângulo Acutângulo: Num triângulo acutângulo qualquer, o quadrado do lado oposto a um ângulo agudo é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos duas vezes o produto de um deles pela projeção do outro sobre ele. C b a a2 = b2 + c2 - 2c.m h A m n B c
  • 39. EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS 5) RELAÇÕES MÉTRICAS NUM TRIÂNGULO QUALQUER Triângulo Obtusângulo: Num triângulo obtusângulo qualquer, o quadrado do lado oposto a um ângulo agudo é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, mais duas vezes o produto de um deles pela projeção do outro sobre ele. C a a2 = b2 + c2 + 2c.n h b n A c B m
  • 40. EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS 6) RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS C cateto oposto senθ = hipotenusa hipotenusa cateto adjacente cateto oposto cos θ = hipotenusa θ cateto oposto tgθ = B cateto adjacente A cateto adjacente
  • 41. EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS 6) RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS sen cos tg 30o 1 3 3 2 2 3 45o 2 2 1 2 2 60o 3 1 3 2 2
  • 42. EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS 7) LEI DOS SENOS Num triângulo qualquer, as medidas dos lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos. a b c = = = 2.r senA senB senC
  • 43. EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS 8) LEI DOS COSSENOS Num triângulo, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois, menos o dobro do produto das medidas desses dois lados pelo cosseno do ângulo oposto ao primeiro lado. a2 = b2 + c2 – 2.b.c.cosA
  • 44. EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS Questão 3 (COVEST 2003) Um triângulo com lados medindo 2.1050, 10100 – 1 e 10100 + 1: a) é isósceles b) é retângulo c) tem área 10150 – 1 d) tem perímetro 4.10150 e) é acutângulo
  • 45. EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS Solução: (10100 + 1) 2 = (10100 − 1) 2 + (2.1050 ) 2 10 200 + 2.10100 + 1 = 10 200 − 2.10100 + 1 + 4.10100 O triângulo é retângulo.
  • 46. EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS Questão 4 (COVEST 2006) A ilustração a seguir representa uma escada de comprimento 2,5m apoiada em uma parede vertical. A extremidade inferior da escada está a uma distância de 0,70m da parede. Determine a aresta da maior caixa cúbica que pode ser transportada pela região limitada pela escada e pela parede vertical. (Aproxime seu resultado até os centésimos)
  • 47. EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS Questão 4 y 2 + 0,7 2 = 2,52 y 2 + 0,49 = 6,25 y 2 = 5,76 ∴ y = 2,4m 2,4 – x m 2,4 − x x 2,5 = 2,4 0,7 x 1,68 − 0,7.x = 2,4.x x 3,1.x = 1,68 ∴ x ≅ 0,54m 0,70m
  • 48. EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS Questão 8 (COVEST 2001 – 2ª fase) Na ilustração a seguir, CD é um diâmetro da circunferência com centro em O e raio 8. AC e BD são perpendiculares a AB, e AB é tangente à circunferência em T. Se AB = 12, calcule AO. 6 6 Solução: x 8 x 2 = 6 2 + 82 8 x 2 = 100 ∴ x = 10 8
  • 49. EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS Questão 12 (Vunesp-adaptada) No triângulo ABC da figura, BD é bissetriz do ângulo interno B, e CD é bissetriz do ângulo externo relativo ao vértice C. Determine a medida do ângulo interno Â. a) 60o b) 70o c) 800 d) 90o e) 100o
  • 50. EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS OBSERVAÇÃO: θ x γ γ β α α β x+β=θ+α α=θ+β x+β=θ+θ+β x = 2.θ
  • 51. EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS Questão 12 (Vunesp-adaptada) No triângulo ABC da figura, BD é bissetriz do ângulo interno B, e CD é bissetriz do ângulo externo relativo ao vértice C. Determine a medida do ângulo interno Â. a) 60o b) 70o c) 800 d) 90o X 100o e)
  • 52. EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS Questão 13 (COVEST 2001) Na figura abaixo, BC e AC são bissetrizes dos ângulos DBE e DAB, respectivamente. Se o ângulo ACB mede 21o 30’, qual é a medida, em graus, do ângulo ADB? X 43 a) b) 41 c) 40 d) 44 e) 42
  • 53. EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS Questão 17 (UCSal/93-adaptada) Na figura abaixo têm-se o triângulo ABC, cujo perímetro é 26cm. O losango ADEF, cujos lados medem 4cm. Se BC mede 8cm, os outros dois lados do triângulo ABC medem: a) 5 e 13 b) 6 e 12 c) 7 e 11 d) 8 e 10 e) 9 e 9
  • 54. EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS Solução: x + y = 10 4 4 4+ x 4 = x 4+ y y 4 4 y 4. y + x. y = 16 + 4. y x. y = 16 8 x=8 e y=2 Os lados valem 6cm e 12cm
  • 55. EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS Questão 18 (Vunesp) Do quadrilátero ABCD de figura, sabe-se que os ângulos internos de vértices A e C são retos; os ângulos CDB e ADB medem, respectivamente, 45º e 30º; o lado CD mede 2dm. Então, os lados AD e AB medem, respectivamente, em dm: a) 6 e 3 b) 5 e 3 c) 6 e 2 d) 6 e 5 e) 3 e 5
  • 56. EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS OBSERVAÇÃO: hipotenusa cat. oposto 30o cat. adjacente cat.oposto 1 1 sen30o = = ∴ cat.oposto = .hipotenusa hipotenusa 2 2 cat.oposto 3 tg 30o = = cat.adjacente 3 3.cat.oposto cat.adjacente = ∴ cat.adjacente = 3.cat.oposto 3
  • 57. EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS OBSERVAÇÃO: 8 10 4 5 30o 30o 4.√ 3 5.√ 3 12 14 6 7 30o 30o 6.√ 3 7.√ 3
  • 58. EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS Solução: √2 2.√ √2 .√3 = √6 2 30o 45o
  • 59. EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS Questão 19 (UFBA/93-adaptada) Considere o triângulo eqüilátero ABC, com lado medindo 6cm. Seja M o ponto médio do lado AC, e seja P o ponto do lado BC tal que PB = 2cm. Sendo x cm 2 a área de um quadrado de lado MP, determine x.
  • 60. EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS Solução: B x 2 = 32 + 4 2 − 2.3.4. cos 60o 2 1 P x = 9 + 16 − 24. 2 2 6 4 x 2 = 13 x 60o A 3 3 C M
  • 61. EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS Questão 20 (UnB-DF/adaptado) Na figura abaixo, calcule a medida do ângulo AMD, sabendo que M é o ponto médio de BC. a) 15o b) 20o c) 30o d) 40o e) 50o
  • 62. EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS OBSERVAÇÃO: ⁄⁄ ⁄⁄ ⁄⁄
  • 63. EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS Solução: 50o 60o 40o 20o 20o 80o 60 o