Mat angulos

Ângulos

                                Profa. Dra. Denise Ortigosa Stolf




Sumário                                                                                                               Página
O ângulo e seus elementos.............................................................................................. 1
Medida de um ângulo...................................................................................................... 3
     Ângulos congruentes ................................................................................................ 6
     Ângulo raso e ângulo nulo........................................................................................ 7
Operações com medidas de ângulos ............................................................................. 13
     Transformação de unidades.................................................................................... 14
     Simplificando os resultados ................................................................................... 15
     Adição .................................................................................................................... 16
     Subtração ................................................................................................................ 16
     Multiplicação por um número natural .................................................................... 18
     Divisão por um número natural.............................................................................. 19
Ângulos consecutivos e ângulos adjacentes ................................................................. 21
Bissetriz de um ângulo.................................................................................................. 24
     Construção da bissetriz........................................................................................... 25
Ângulo reto, ângulo agudo e ângulo obtuso ................................................................. 28
     Retas perpendiculares............................................................................................. 29
Ângulos complementares e ângulos suplementares...................................................... 30
Ângulos opostos pelo vértice ........................................................................................ 34
     Uma propriedade importante dos ângulos o.p.v....................................................................... 35
Referências bibliográficas............................................................................................. 38
1


Ângulos



O ângulo e seus elementos
Veremos como representar matematicamente um ângulo e destacar suas partes
principais, utilizando os modelos abaixo:




Nos modelos matemáticos de figuras que surgem a idéia de ângulo, podemos
destacar duas semi-retas de mesma origem e não-opostas, que dividem o plano
em duas regiões: uma convexa e outra não-convexa.




Denominamos ângulo a região formada por duas semi-retas não-opostas que têm
                             a mesma origem.
2


No ângulo da figura abaixo, podemos destacar os seguintes elementos:




   O é o vértice do ângulo
   As semi-retas OA e OB são denominadas lados do ângulo



Para identificar esse ângulo utilizamos a notação AÔB ou BÔA :

                 (Lê-se “ângulo AOB”)
                 A letra que corresponde ao vértice deve ficar no meio




OBS.: Quando não houver dúvidas quanto ao ângulo a que nos referimos,
podemos utilizar uma notação que indica apenas o seu vértice.




   Ângulo Ô ou AÔB                        ˆ
                             Ângulo P ou MPN            Neste caso, há três
                                                     ângulos com vértices em
                                                     O: AÔB , BÔC e AÔC
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Medida de um ângulo


A medida de um ângulo é dada pela medida de sua abertura, e a unidade padrão
utilizada é o grau, que se representa pelo símbolo º após o número.

Vamos ver o que representa o grau.

As primeiras noções de ângulo foram desenvolvidas na Grécia antiga. Deve-se a
Hiparco de Nicéia (século II a.C.), considerado pelos gregos como o pai da
Astronomia, a primeira divisão do círculo em 360 partes iguais, com o objetivo
de medir ângulos.

A cada um desses 360 arcos em que a circunferência foi dividida associamos um
ângulo cuja medida chamaremos de 1 grau.




  O grau é uma unidade de medida de ângulo; 1 grau corresponde à medida do
                                                                         1
ângulo (com vértice no centro da circunferência) associado a um arco de     da
                                                                        360
                                circunferência.
4


Exemplos:




Assim, para medir um ângulo, comparamos sua medida à medida de um ângulo
de 1º. Ná prática, utilizamos um instrumento de medida chamado transferidor. O
transferidor já vem graduado com divisões de 1º em 1º.




Para medir um ângulo:

• coloque o transferidor sobre o ângulo, fazendo com que seu centro coincida
  com o vértice do ângulo
• coloque a escala correspondente ao zero no transferidor sobre um dos lados
  do ângulo
• identifique na escala do transferidor o número interceptado pelo outro lado do
  ângulo
5


Exemplos:


a) A medida do ângulo AÔB é 45º, e indicamos med (AÔB) = 45º.




b) A medida do ângulo AÔC é 160º, e indicamos med (AÔC) = 160º.
6


Ângulos congruentes


                               ˆ
Consideremos os ângulos AÔB e MPQ abaixo:




Se transportarmos um ângulo sobre o outro, podemos notar que os vértices e os
lados dos dois ângulos coincidem:




                                                     ˆ
                                  Assim, AÔB e MPQ possuem a mesma
                                  abertura e, portanto, a mesma medida.




 Dois ângulos que têm a mesma medida são chamados ângulos congruentes, e
                 utilizamos o símbolo ≅ para relacioná-los.


                                                              congruente
  med (AÔB) = med (MPQ)
                    ˆ

                                            AÔB ≅ MPQ
                                                   ˆ
    usamos o símbolo =
    quando comparamos
         medidas                         usamos o símbolo ≅
                                         quando comparamos
                                              ângulos
7


Na prática, utilizamos o transferidor para determinar se dois ângulos são ou não
congruentes.




                    ˆ
              med (ABC) = 56º                         med (DÊF) = 56º
                                 AÔB ≅ DÊF




Ângulo raso e ângulo nulo


• Quando duas semi-retas são opostas, dizemos que formam um ângulo raso ou
de meia-volta.




                    BÂC é um ângulo raso ou de meia-volta
8


• Quando duas semi-retas coincidem, obtemos dois ângulos: o ângulo nulo e
o ângulo de uma volta.




            ângulo nulo                       ângulo de uma volta




Usando um transferidor, podemos determinar as medidas, em graus, dos ângulos
abaixo:
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                               EXERCÍCIOS A

(1) Considere o ângulo da figura abaixo e responda:

a) Qual é o vértice desse ângulo?




b) Quais são os lados desse ângulo?




c) Qual é o nome desse ângulo?




(2) Na figura abaixo, identifique todos os ângulos e nomei os mesmos.
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(3) Na figura seguinte, dê as medidas dos ângulos indicados:




(4) Usando um transferidor, dê a medida de cada ângulo:

a)                                b)
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c)                                 d)




e)                                 f)




(5) No exercício anterior, identifique os pares de ângulos congruêntes.
12


(6) Construa, com a ajuda do transferidor, um ângulo de:

a) 42º




b) 90º




c) 125º




d) 180º
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Operações com medidas de ângulos


Como vimos, o transferidor mede ângulos com intervalos de 1 em 1 grau. Mas
há ângulos que não possuem como medida um número inteiro de graus. Como
não é costume utilizar decimais em medidas de ângulos, utilizamos os
submúltiplos do grau.
O grau tem dois submúltiplos: o minuto e o segundo. Para escrever a medida de
um ângulo utilizando o minuto e o segundo, utilizamos a base 60 de numeração.




• minuto → símbolo : ′

• segundo → símbolo : ′′



Portanto:




Por exemplo, o ângulo de medida 18,5º pode ser escrito assim:

18,5º = 18º + 0 ,5º = 18º + 30′ = 18º 30′
14


Transformação de unidades


Vejamos como fazer transformações de unidades de ângulos observando os
exemplos:


1) Quantos minutos tem 32º?




Resposta: 32º tem 1920′ .



2) Expresse 2º 7′ 30′′ em segundos.




Resposta: 2º 7′ 30′′ tem 7650′′ .



3) Escreva 5680′′ em graus, minutos e segundos.




Resposta: 5680′′ tem 1º 34′ 40′′ .
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Simplificando os resultados


Em algumas situações, principalmente nas operações com medidas de ângulos,
precisamos simplificar os resultados obtidos. Vejamos como fazer isso,
observando os exemplos.



1) Simplificar 54º 60′ .

54º 60′ = 54º + 1º = 55º

Resposta: 54º 60′ escrito na forma simplificada é 55º.



2) Simplificar 18º 126′ .

18º 126′ = 18º + 120′ + 6′ = 18º + 2º + 6′ = 20º + 6′ = 20º 6′

Resposta: 18º 126′ escrito na forma simplificada é 20º 6′ .



3) Simplificar 27 º 75′ 80′′ .

27º 75′ 80′′ = 27º + 75′ + 80′′
27º 75′ 80′′ = 27º + 75′ + 60′′ + 20′′
27º 75′ 80′′ = 27º + 75′ + 1′ + 20′′
27º 75′ 80′′ = 27º + 76′ + 20′′
27º 75′ 80′′ = 27º + 60′ + 16′ + 20′′
27º 75′ 80′′ = 27º + 1º +16′ + 20′′
27º 75′ 80′′ = 28º +16′ + 20′′

Resposta: 27 º 75′ 80′′ escrito na forma simplificada é 28º +16′ + 20′′ .
16


Adição


1) Quanto é a soma de 76º 35′ 53′′ com 47 º 54′ 38′′ ?




Expressamos o resultado sempre na forma simplificada. Então:




Resposta: A soma é 124º 30′ 31′′ .



Subtração


1) Calcule a diferença 68º 54′ 37′′ − 38º 16′ 29′′ .




Resposta: A diferença é 30º 38′ 8′′ .
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2) Qual é o valor de 105º 32′ 6′′ − 67 º 48′ 30′′ ?




Agora calculamos a diferença:




Resposta: O valor de 105º 32′ 6′′ − 67 º 48′ 30′′ é 37 º 13′ 36′′ .
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Multiplicação por um número natural


1) Qual é o produto de 17 º 18′ 30′′ por 6?




Expressamos o resultado sempre na forma simplificada. Então:




Resposta: O produto de 17 º 18′ 30′′ por 6 é 103º 51′ .
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Divisão por um número natural


1) Calcule o quociente ( 82º 31′ 40′′ ) : 4.




Resposta: O quociente é 20º 37′ 55′′ .
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                                    EXERCÍCIOS B

(1) Efetue as operações indicadas:

a) 13º 12′ + 41º 10′ 20′′                   c) (27 º 36′ 33′′) :3




b) 35º 20′ − 10º 15′ 30′′                   d) 4 ⋅ (10º 24′ 45′′)




(2) Determine, na forma mais simplificada possível, o valor das expressões:

a) 15º 12′ 35′′ + 27 º 18′ + 13º 51′ 30′′   b) (50º − 15º 20′) :5
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(3) Na figura abaixo, AÔC é um ângulo de meia-volta. Qual o valor de x?




Ângulos consecutivos e ângulos adjacentes


Observe a figura:




Nela identificamos os ângulos AÔC, CÔB e AÔB.

Verifique em cada uma das figuras seguintes que:
22




                                    Os ângulos AÔC e CÔB possuem:

                                    Vértice comum: O

                                    Lado comum: OC




                                    Os ângulos AÔC e AÔB possuem:
                                    Vértice comum: O

                                    Lado comum: OA




                                    Os ângulos CÔB e AÔB possuem:

                                    Vértice comum: O

                                    Lado comum: OB




Os pares de ângulos AÔC e CÔB, AÔC e AÔB, CÔB e AÔB são denominados
ângulos consecutivos.

Assim:

Dois ângulos que possuem o mesmo o mesmo vértice têm um lado comum são
                    denominados ângulos consecutivos.
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Observe os exemplos de ângulos consecutivos vistos anteriormente e verifique
que:




                                        Os ângulos AÔC e CÔB não possuem
                                        pontos internos comuns




                                        Os ângulos AÔC e AÔB possuem
                                        pontos internos comuns.




                                        Os ângulos CÔB e AÔB possuem
                                        pontos internos comuns.




Verifique que os ângulos AÔC e CÔB são consecutivos e não possuem pontos
internos comuns. Por isso eles são denominados ângulos adjacentes.

Assim:

     Dois ângulos consecutivos que não possuem ponto interno comum são
                      denominados ângulos adjacentes.
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Bissetriz de um ângulo


Observe a figura abaixo:




                                        med ( AÔP ) = med ( PÔB ) = 25º




Verifique que a semi-reta OP divide o
ângulo AÔB em dois ângulos ( AÔP e
PÔB ) congruentes.

Nesse caso, a semi-reta OP é
denominada bissetriz do ângulo AÔB .




Assim:



  Bissetriz de um ângulo é a semi-reta de origem no vértice desse ângulo que
       determina, com seus lados, dois ângulos adjacentes congruentes.
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Construção da bissetriz


Com o compasso e a régua, podemos facilmente traçar a bissetriz de um ângulo
dado, como veremos a seguir.

                   Traçar a bissetriz de um ângulo AÔB




Com o centro no vértice O, traçamos
um arco com abertura qualquer e
determinamos os pontos C e B.




Com centro nos pontos C e D
traçamos dois arcos de mesma
abertura, que se encontram no ponto
E.




A semi-reta é a bissetriz do ângulo
AÔB .
26


                                EXERCÍCIOS C

(1) Em cada figura, escreva os pares de ângulos adjacentes:



a)                         b)                         c)




(2) Com o transferidor, desenhe os ângulos abaixo, traçando em seguida a
bissetriz de cada um utilizando o compasso.

a) 60º
27


b) 110º




c) 90º




d) 77º
28


Ângulo reto, ângulo agudo e ângulo obtuso


Podemos classificar um ângulo em agudo, obtuso ou reto.




Ângulo reto é o ângulo cuja
medida é 90º.




Ângulo agudo é o ângulo cuja
medida é menor que 90º.




Ângulo obtuso é o ângulo cuja
medida é maior que 90º.
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Retas perpendiculares


Se traçarmos duas retas num plano, tais que sejam concorrentes (possuam um
ponto em comum), é possível obter 4 ângulos congruentes, ou seja, de mesma
medida.




É fácil verificar que cada um desses ângulos
mede 90º.
a=b=c=d




 Quando duas retas concorrentes formam entre si quatro ângulos retos, dizemos
que as retas são perpendiculares e utilizamos o símbolo ⊥ para representar esse
                              perpendicularismo.




Na figura ao lado, r e s formam entre si quatro
ângulos retos; então r ⊥ s .
Símbolo: ⊥ (perpendicular a)
30


Ângulos complementares e ângulos suplementares


                    ˆ     ˆ
Observe os ângulos AOB e BOC na figura abaixo:




Verifique que:
       ˆ             ˆ
med ( AOB ) + med ( BOC ) = 90º
                                    ˆ     ˆ
Nesse caso, dizemos que os ângulos AOB e BOC são complementares.



Assim:



   Dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas é 90º.



Para calcular a medida do complemento de um ângulo, devemos determinar a
diferença entre 90º e a medida do ângulo agudo dado.

                 Medida do ângulo        Complemento
                        x                   90º − x
31


                    ˆ     ˆ
Observe os ângulos AOB e BOC na figura abaixo:




Verifique que:
       ˆ             ˆ
med ( AOB ) + med ( BOC ) = 180º
                                    ˆ     ˆ
Nesse caso, dizemos que os ângulos AOB e BOC são suplementares.



Assim:



   Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas é 180º.



Para calcular a medida do suplemento de um ângulo, devemos determinar a
diferença entre 180º e a medida do ângulo agudo dado.

                 Medida do ângulo         Suplemento
                        x                   180º − x
32


Exemplos:


a) Determinar a medida do complemento e do suplemento do ângulo de 46º.

Complemento: 90º −46º = 44º

Suplemento: 180º −46º = 134º

Resposta: O complemento do ângulo de 46º mede 44º e o suplemento 134º.


b) Na figura abaixo, determinar o valor de x.

                                Como os ângulos são adjacentes complementares:
                                x + 30º + x − 10º = 90º
                                2x + 20º = 90º
                                2 x = 90º − 20º
                                2x = 70º
                                    70º
                                x=
                                     2
                                x = 35º

Resposta: O valor de x é 35º.


                                            ˆ     ˆ
c) Na figura abaixo, determinar as medidas ABC e CBD .

                                              Como os ângulos são adjacentes
                                              suplementares:
                                              3x + x + 12º = 180º
                                              4x + 12º = 180º
                                              4 x = 180º −12º
                                              4x = 168º
                                                  168º
                                              x=
                                                   4
                                              x = 42º

           ˆ               ˆ
Resposta: ABC mede 126º e CBD mede 54º.
33


                               EXERCÍCIOS D

(1) Nas figuras abaixo, determine x:



a)                                     b)




c)                                     d)




e)                                     f)
34


Ângulos opostos pelo vértice


Observe os ângulos AÔB e CÔD na figura abaixo:




                                          Verifique que:
                                           OA e OC são semi-retas opostas
                                           OB e OD são semi-retas opostas




Portanto, as semi-retas OA e OB que formam os lados do ângulo AÔB são
opostas, respectivamente, às semi-retas OC e OD que formam os lados do
ângulo CÔD .



Neste caso, podemos também afirmar que os lados do ângulo AÔB são
formados pelos prolongamentos dos lados do ângulo CÔD , e vice-versa.



A esses dois ângulos damos o nome de ângulos opostos pelo vértice.



Dois ângulos são chamados opostos pelo vértice (abreviamos o.p.v.) quando os
     lados de um forem prolongamentos dos lados do outro e vice-versa.
35


Uma propriedade importante dos ângulos o.p.v.



                                Na figura ao lado, os ângulos AÔD e BÔC
                                são opostos pelo vértice.
                                Indicamos por:
                                            ˆ
                                x = med ( BOC )
                                           ˆ
                                y = med ( AOD )
                                            ˆ
                                m = med ( AOB )



        ˆ      ˆ
Como AOB e AOD são adjacentes
suplementares:

m + y = 180º (I)

        ˆ      ˆ
Como AOB e BOC são adjacentes
suplementares:

m + x = 180º (II)

Comparando (I) e (II), temos:

m + y = 180º           m+y = m+x
                   ⇒
m + x = 180º             y=x



Podemos enunciar a seguinte propriedade:

   Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes, ou seja, têm a mesma
                                   medida.
36


Exemplo:


► Determinar os valores de x e y na figura abaixo.



                                x = 30º → ângulos o.p.v.
                                y + 30º = 180º → ângulos adjacetes suplementares
                                y = 180º − 30º
                                y = 150º

Resposta: O valor de x é 30º e de y é 150º.




                                EXERCÍCIOS E

(1) Nas figuras seguintes, calcule as medidas de x, y, a e b:

 a)
37


b)




c)




d)
38


Referências bibliográficas

ANDRINI, Álvaro; VASCONCELLOS, Maria José. Novo praticando
  matemática. São Paulo: Brasil, 2002.

BIGODE, Antonio José Lopes. Matemática hoje é feita assim. São Paulo:
   FTD, 2006.

DANTE, Luiz Roberto. Tudo é matemática. São Paulo: Ática, 2005.

EDIÇÕES EDUCATIVAS DA EDITORA MODERNA. Projeto Araribá:
   Matemática. São Paulo: Moderna, 2007.

EDUCOM:       ASSOCIAÇÃO    PORTUGUESA           DE     TELEMÁTICA
  EDUCATIVA. Disponível em: <http://portal.educom.pt>. Acesso em: 19 de
  outubro de 2008.

GIOVANNI, José Ruy; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy. Matemática: pensar e
   descobrir. São Paulo: FTD, 2005.

GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI; Benedito; GIOVANNI JUNIOR, José
   Ruy. A conquista da matemática. São Paulo: FTD, 1998.

GUELLI, Oscar. Matemática em construção. São Paulo: Ática, 2004.

GUELLI, Oscar. Matemática: uma aventura do pensamento. São Paulo:
  Ática, 1998.

IMENES, Luiz Márcio; LELLIS, Marcelo Cestari. Matemática paratodos. São
  Paulo: Scipione, 2006.

KLICK EDUCAÇÃO: O PORTAL DA EDUCAÇÃO. Disponível em:
   <http://www.klickeducacao.com.br>. Acesso em: 7 de outubro de 2008.

MIANI, Marcos. Matemática no plural. São Paulo: IBEP, 2006.

MORI, Iracema; ONAGA, Dulce Onaga. Matemática: idéias e desafios. São
  Paulo: Saraiva, 1997.
39


MUNDO VESTIBULAR. Disponível em: <http://www.mundovestibular.com.br>.
  Acesso em: 30 de outubro de 2008.

SÓ MATEMÁTICA. Disponível em: <http://www.somatematica.com.br>.
  Acesso em: 23 de outubro de 2008.

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Mat angulos

  • 1. Ângulos Profa. Dra. Denise Ortigosa Stolf Sumário Página O ângulo e seus elementos.............................................................................................. 1 Medida de um ângulo...................................................................................................... 3 Ângulos congruentes ................................................................................................ 6 Ângulo raso e ângulo nulo........................................................................................ 7 Operações com medidas de ângulos ............................................................................. 13 Transformação de unidades.................................................................................... 14 Simplificando os resultados ................................................................................... 15 Adição .................................................................................................................... 16 Subtração ................................................................................................................ 16 Multiplicação por um número natural .................................................................... 18 Divisão por um número natural.............................................................................. 19 Ângulos consecutivos e ângulos adjacentes ................................................................. 21 Bissetriz de um ângulo.................................................................................................. 24 Construção da bissetriz........................................................................................... 25 Ângulo reto, ângulo agudo e ângulo obtuso ................................................................. 28 Retas perpendiculares............................................................................................. 29 Ângulos complementares e ângulos suplementares...................................................... 30 Ângulos opostos pelo vértice ........................................................................................ 34 Uma propriedade importante dos ângulos o.p.v....................................................................... 35 Referências bibliográficas............................................................................................. 38
  • 2. 1 Ângulos O ângulo e seus elementos Veremos como representar matematicamente um ângulo e destacar suas partes principais, utilizando os modelos abaixo: Nos modelos matemáticos de figuras que surgem a idéia de ângulo, podemos destacar duas semi-retas de mesma origem e não-opostas, que dividem o plano em duas regiões: uma convexa e outra não-convexa. Denominamos ângulo a região formada por duas semi-retas não-opostas que têm a mesma origem.
  • 3. 2 No ângulo da figura abaixo, podemos destacar os seguintes elementos: O é o vértice do ângulo As semi-retas OA e OB são denominadas lados do ângulo Para identificar esse ângulo utilizamos a notação AÔB ou BÔA : (Lê-se “ângulo AOB”) A letra que corresponde ao vértice deve ficar no meio OBS.: Quando não houver dúvidas quanto ao ângulo a que nos referimos, podemos utilizar uma notação que indica apenas o seu vértice. Ângulo Ô ou AÔB ˆ Ângulo P ou MPN Neste caso, há três ângulos com vértices em O: AÔB , BÔC e AÔC
  • 4. 3 Medida de um ângulo A medida de um ângulo é dada pela medida de sua abertura, e a unidade padrão utilizada é o grau, que se representa pelo símbolo º após o número. Vamos ver o que representa o grau. As primeiras noções de ângulo foram desenvolvidas na Grécia antiga. Deve-se a Hiparco de Nicéia (século II a.C.), considerado pelos gregos como o pai da Astronomia, a primeira divisão do círculo em 360 partes iguais, com o objetivo de medir ângulos. A cada um desses 360 arcos em que a circunferência foi dividida associamos um ângulo cuja medida chamaremos de 1 grau. O grau é uma unidade de medida de ângulo; 1 grau corresponde à medida do 1 ângulo (com vértice no centro da circunferência) associado a um arco de da 360 circunferência.
  • 5. 4 Exemplos: Assim, para medir um ângulo, comparamos sua medida à medida de um ângulo de 1º. Ná prática, utilizamos um instrumento de medida chamado transferidor. O transferidor já vem graduado com divisões de 1º em 1º. Para medir um ângulo: • coloque o transferidor sobre o ângulo, fazendo com que seu centro coincida com o vértice do ângulo • coloque a escala correspondente ao zero no transferidor sobre um dos lados do ângulo • identifique na escala do transferidor o número interceptado pelo outro lado do ângulo
  • 6. 5 Exemplos: a) A medida do ângulo AÔB é 45º, e indicamos med (AÔB) = 45º. b) A medida do ângulo AÔC é 160º, e indicamos med (AÔC) = 160º.
  • 7. 6 Ângulos congruentes ˆ Consideremos os ângulos AÔB e MPQ abaixo: Se transportarmos um ângulo sobre o outro, podemos notar que os vértices e os lados dos dois ângulos coincidem: ˆ Assim, AÔB e MPQ possuem a mesma abertura e, portanto, a mesma medida. Dois ângulos que têm a mesma medida são chamados ângulos congruentes, e utilizamos o símbolo ≅ para relacioná-los. congruente med (AÔB) = med (MPQ) ˆ AÔB ≅ MPQ ˆ usamos o símbolo = quando comparamos medidas usamos o símbolo ≅ quando comparamos ângulos
  • 8. 7 Na prática, utilizamos o transferidor para determinar se dois ângulos são ou não congruentes. ˆ med (ABC) = 56º med (DÊF) = 56º AÔB ≅ DÊF Ângulo raso e ângulo nulo • Quando duas semi-retas são opostas, dizemos que formam um ângulo raso ou de meia-volta. BÂC é um ângulo raso ou de meia-volta
  • 9. 8 • Quando duas semi-retas coincidem, obtemos dois ângulos: o ângulo nulo e o ângulo de uma volta. ângulo nulo ângulo de uma volta Usando um transferidor, podemos determinar as medidas, em graus, dos ângulos abaixo:
  • 10. 9 EXERCÍCIOS A (1) Considere o ângulo da figura abaixo e responda: a) Qual é o vértice desse ângulo? b) Quais são os lados desse ângulo? c) Qual é o nome desse ângulo? (2) Na figura abaixo, identifique todos os ângulos e nomei os mesmos.
  • 11. 10 (3) Na figura seguinte, dê as medidas dos ângulos indicados: (4) Usando um transferidor, dê a medida de cada ângulo: a) b)
  • 12. 11 c) d) e) f) (5) No exercício anterior, identifique os pares de ângulos congruêntes.
  • 13. 12 (6) Construa, com a ajuda do transferidor, um ângulo de: a) 42º b) 90º c) 125º d) 180º
  • 14. 13 Operações com medidas de ângulos Como vimos, o transferidor mede ângulos com intervalos de 1 em 1 grau. Mas há ângulos que não possuem como medida um número inteiro de graus. Como não é costume utilizar decimais em medidas de ângulos, utilizamos os submúltiplos do grau. O grau tem dois submúltiplos: o minuto e o segundo. Para escrever a medida de um ângulo utilizando o minuto e o segundo, utilizamos a base 60 de numeração. • minuto → símbolo : ′ • segundo → símbolo : ′′ Portanto: Por exemplo, o ângulo de medida 18,5º pode ser escrito assim: 18,5º = 18º + 0 ,5º = 18º + 30′ = 18º 30′
  • 15. 14 Transformação de unidades Vejamos como fazer transformações de unidades de ângulos observando os exemplos: 1) Quantos minutos tem 32º? Resposta: 32º tem 1920′ . 2) Expresse 2º 7′ 30′′ em segundos. Resposta: 2º 7′ 30′′ tem 7650′′ . 3) Escreva 5680′′ em graus, minutos e segundos. Resposta: 5680′′ tem 1º 34′ 40′′ .
  • 16. 15 Simplificando os resultados Em algumas situações, principalmente nas operações com medidas de ângulos, precisamos simplificar os resultados obtidos. Vejamos como fazer isso, observando os exemplos. 1) Simplificar 54º 60′ . 54º 60′ = 54º + 1º = 55º Resposta: 54º 60′ escrito na forma simplificada é 55º. 2) Simplificar 18º 126′ . 18º 126′ = 18º + 120′ + 6′ = 18º + 2º + 6′ = 20º + 6′ = 20º 6′ Resposta: 18º 126′ escrito na forma simplificada é 20º 6′ . 3) Simplificar 27 º 75′ 80′′ . 27º 75′ 80′′ = 27º + 75′ + 80′′ 27º 75′ 80′′ = 27º + 75′ + 60′′ + 20′′ 27º 75′ 80′′ = 27º + 75′ + 1′ + 20′′ 27º 75′ 80′′ = 27º + 76′ + 20′′ 27º 75′ 80′′ = 27º + 60′ + 16′ + 20′′ 27º 75′ 80′′ = 27º + 1º +16′ + 20′′ 27º 75′ 80′′ = 28º +16′ + 20′′ Resposta: 27 º 75′ 80′′ escrito na forma simplificada é 28º +16′ + 20′′ .
  • 17. 16 Adição 1) Quanto é a soma de 76º 35′ 53′′ com 47 º 54′ 38′′ ? Expressamos o resultado sempre na forma simplificada. Então: Resposta: A soma é 124º 30′ 31′′ . Subtração 1) Calcule a diferença 68º 54′ 37′′ − 38º 16′ 29′′ . Resposta: A diferença é 30º 38′ 8′′ .
  • 18. 17 2) Qual é o valor de 105º 32′ 6′′ − 67 º 48′ 30′′ ? Agora calculamos a diferença: Resposta: O valor de 105º 32′ 6′′ − 67 º 48′ 30′′ é 37 º 13′ 36′′ .
  • 19. 18 Multiplicação por um número natural 1) Qual é o produto de 17 º 18′ 30′′ por 6? Expressamos o resultado sempre na forma simplificada. Então: Resposta: O produto de 17 º 18′ 30′′ por 6 é 103º 51′ .
  • 20. 19 Divisão por um número natural 1) Calcule o quociente ( 82º 31′ 40′′ ) : 4. Resposta: O quociente é 20º 37′ 55′′ .
  • 21. 20 EXERCÍCIOS B (1) Efetue as operações indicadas: a) 13º 12′ + 41º 10′ 20′′ c) (27 º 36′ 33′′) :3 b) 35º 20′ − 10º 15′ 30′′ d) 4 ⋅ (10º 24′ 45′′) (2) Determine, na forma mais simplificada possível, o valor das expressões: a) 15º 12′ 35′′ + 27 º 18′ + 13º 51′ 30′′ b) (50º − 15º 20′) :5
  • 22. 21 (3) Na figura abaixo, AÔC é um ângulo de meia-volta. Qual o valor de x? Ângulos consecutivos e ângulos adjacentes Observe a figura: Nela identificamos os ângulos AÔC, CÔB e AÔB. Verifique em cada uma das figuras seguintes que:
  • 23. 22 Os ângulos AÔC e CÔB possuem: Vértice comum: O Lado comum: OC Os ângulos AÔC e AÔB possuem: Vértice comum: O Lado comum: OA Os ângulos CÔB e AÔB possuem: Vértice comum: O Lado comum: OB Os pares de ângulos AÔC e CÔB, AÔC e AÔB, CÔB e AÔB são denominados ângulos consecutivos. Assim: Dois ângulos que possuem o mesmo o mesmo vértice têm um lado comum são denominados ângulos consecutivos.
  • 24. 23 Observe os exemplos de ângulos consecutivos vistos anteriormente e verifique que: Os ângulos AÔC e CÔB não possuem pontos internos comuns Os ângulos AÔC e AÔB possuem pontos internos comuns. Os ângulos CÔB e AÔB possuem pontos internos comuns. Verifique que os ângulos AÔC e CÔB são consecutivos e não possuem pontos internos comuns. Por isso eles são denominados ângulos adjacentes. Assim: Dois ângulos consecutivos que não possuem ponto interno comum são denominados ângulos adjacentes.
  • 25. 24 Bissetriz de um ângulo Observe a figura abaixo: med ( AÔP ) = med ( PÔB ) = 25º Verifique que a semi-reta OP divide o ângulo AÔB em dois ângulos ( AÔP e PÔB ) congruentes. Nesse caso, a semi-reta OP é denominada bissetriz do ângulo AÔB . Assim: Bissetriz de um ângulo é a semi-reta de origem no vértice desse ângulo que determina, com seus lados, dois ângulos adjacentes congruentes.
  • 26. 25 Construção da bissetriz Com o compasso e a régua, podemos facilmente traçar a bissetriz de um ângulo dado, como veremos a seguir. Traçar a bissetriz de um ângulo AÔB Com o centro no vértice O, traçamos um arco com abertura qualquer e determinamos os pontos C e B. Com centro nos pontos C e D traçamos dois arcos de mesma abertura, que se encontram no ponto E. A semi-reta é a bissetriz do ângulo AÔB .
  • 27. 26 EXERCÍCIOS C (1) Em cada figura, escreva os pares de ângulos adjacentes: a) b) c) (2) Com o transferidor, desenhe os ângulos abaixo, traçando em seguida a bissetriz de cada um utilizando o compasso. a) 60º
  • 29. 28 Ângulo reto, ângulo agudo e ângulo obtuso Podemos classificar um ângulo em agudo, obtuso ou reto. Ângulo reto é o ângulo cuja medida é 90º. Ângulo agudo é o ângulo cuja medida é menor que 90º. Ângulo obtuso é o ângulo cuja medida é maior que 90º.
  • 30. 29 Retas perpendiculares Se traçarmos duas retas num plano, tais que sejam concorrentes (possuam um ponto em comum), é possível obter 4 ângulos congruentes, ou seja, de mesma medida. É fácil verificar que cada um desses ângulos mede 90º. a=b=c=d Quando duas retas concorrentes formam entre si quatro ângulos retos, dizemos que as retas são perpendiculares e utilizamos o símbolo ⊥ para representar esse perpendicularismo. Na figura ao lado, r e s formam entre si quatro ângulos retos; então r ⊥ s . Símbolo: ⊥ (perpendicular a)
  • 31. 30 Ângulos complementares e ângulos suplementares ˆ ˆ Observe os ângulos AOB e BOC na figura abaixo: Verifique que: ˆ ˆ med ( AOB ) + med ( BOC ) = 90º ˆ ˆ Nesse caso, dizemos que os ângulos AOB e BOC são complementares. Assim: Dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas é 90º. Para calcular a medida do complemento de um ângulo, devemos determinar a diferença entre 90º e a medida do ângulo agudo dado. Medida do ângulo Complemento x 90º − x
  • 32. 31 ˆ ˆ Observe os ângulos AOB e BOC na figura abaixo: Verifique que: ˆ ˆ med ( AOB ) + med ( BOC ) = 180º ˆ ˆ Nesse caso, dizemos que os ângulos AOB e BOC são suplementares. Assim: Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas é 180º. Para calcular a medida do suplemento de um ângulo, devemos determinar a diferença entre 180º e a medida do ângulo agudo dado. Medida do ângulo Suplemento x 180º − x
  • 33. 32 Exemplos: a) Determinar a medida do complemento e do suplemento do ângulo de 46º. Complemento: 90º −46º = 44º Suplemento: 180º −46º = 134º Resposta: O complemento do ângulo de 46º mede 44º e o suplemento 134º. b) Na figura abaixo, determinar o valor de x. Como os ângulos são adjacentes complementares: x + 30º + x − 10º = 90º 2x + 20º = 90º 2 x = 90º − 20º 2x = 70º 70º x= 2 x = 35º Resposta: O valor de x é 35º. ˆ ˆ c) Na figura abaixo, determinar as medidas ABC e CBD . Como os ângulos são adjacentes suplementares: 3x + x + 12º = 180º 4x + 12º = 180º 4 x = 180º −12º 4x = 168º 168º x= 4 x = 42º ˆ ˆ Resposta: ABC mede 126º e CBD mede 54º.
  • 34. 33 EXERCÍCIOS D (1) Nas figuras abaixo, determine x: a) b) c) d) e) f)
  • 35. 34 Ângulos opostos pelo vértice Observe os ângulos AÔB e CÔD na figura abaixo: Verifique que: OA e OC são semi-retas opostas OB e OD são semi-retas opostas Portanto, as semi-retas OA e OB que formam os lados do ângulo AÔB são opostas, respectivamente, às semi-retas OC e OD que formam os lados do ângulo CÔD . Neste caso, podemos também afirmar que os lados do ângulo AÔB são formados pelos prolongamentos dos lados do ângulo CÔD , e vice-versa. A esses dois ângulos damos o nome de ângulos opostos pelo vértice. Dois ângulos são chamados opostos pelo vértice (abreviamos o.p.v.) quando os lados de um forem prolongamentos dos lados do outro e vice-versa.
  • 36. 35 Uma propriedade importante dos ângulos o.p.v. Na figura ao lado, os ângulos AÔD e BÔC são opostos pelo vértice. Indicamos por: ˆ x = med ( BOC ) ˆ y = med ( AOD ) ˆ m = med ( AOB ) ˆ ˆ Como AOB e AOD são adjacentes suplementares: m + y = 180º (I) ˆ ˆ Como AOB e BOC são adjacentes suplementares: m + x = 180º (II) Comparando (I) e (II), temos: m + y = 180º m+y = m+x ⇒ m + x = 180º y=x Podemos enunciar a seguinte propriedade: Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes, ou seja, têm a mesma medida.
  • 37. 36 Exemplo: ► Determinar os valores de x e y na figura abaixo. x = 30º → ângulos o.p.v. y + 30º = 180º → ângulos adjacetes suplementares y = 180º − 30º y = 150º Resposta: O valor de x é 30º e de y é 150º. EXERCÍCIOS E (1) Nas figuras seguintes, calcule as medidas de x, y, a e b: a)
  • 39. 38 Referências bibliográficas ANDRINI, Álvaro; VASCONCELLOS, Maria José. Novo praticando matemática. São Paulo: Brasil, 2002. BIGODE, Antonio José Lopes. Matemática hoje é feita assim. São Paulo: FTD, 2006. DANTE, Luiz Roberto. Tudo é matemática. São Paulo: Ática, 2005. EDIÇÕES EDUCATIVAS DA EDITORA MODERNA. Projeto Araribá: Matemática. São Paulo: Moderna, 2007. EDUCOM: ASSOCIAÇÃO PORTUGUESA DE TELEMÁTICA EDUCATIVA. Disponível em: <http://portal.educom.pt>. Acesso em: 19 de outubro de 2008. GIOVANNI, José Ruy; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy. Matemática: pensar e descobrir. São Paulo: FTD, 2005. GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI; Benedito; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy. A conquista da matemática. São Paulo: FTD, 1998. GUELLI, Oscar. Matemática em construção. São Paulo: Ática, 2004. GUELLI, Oscar. Matemática: uma aventura do pensamento. São Paulo: Ática, 1998. IMENES, Luiz Márcio; LELLIS, Marcelo Cestari. Matemática paratodos. São Paulo: Scipione, 2006. KLICK EDUCAÇÃO: O PORTAL DA EDUCAÇÃO. Disponível em: <http://www.klickeducacao.com.br>. Acesso em: 7 de outubro de 2008. MIANI, Marcos. Matemática no plural. São Paulo: IBEP, 2006. MORI, Iracema; ONAGA, Dulce Onaga. Matemática: idéias e desafios. São Paulo: Saraiva, 1997.
  • 40. 39 MUNDO VESTIBULAR. Disponível em: <http://www.mundovestibular.com.br>. Acesso em: 30 de outubro de 2008. SÓ MATEMÁTICA. Disponível em: <http://www.somatematica.com.br>. Acesso em: 23 de outubro de 2008.