1. Geometria Plana: Exercícios de áreas de regiões poligonais
Notações: R[x]=raiz quadrada de x>0, cm²=centímetro quadrado.
1. Por dois modos distintos, mostrar como pode ser decomposta cada uma
das regiões poligonais em triângulos.
2. Seja um paralelogramo com as medidas da base e da altura
respectivamente, indicadas por b e h. Se construirmos um outro
paralelogramo que tem o dobro da base e o dobro da altura do outro
paralelogramo, qual será relação entre as áreas dos paralelogramos?
Resposta: A2 = (2b)(2h) = 4bh = 4A1
3. A razão entre as medidas dos lados de dois quadrados é 1:3. Qual é a
razão entre as áreas desses dois quadrados?
Resposta: a razão é 1:9
4. É possível obter a área de um paralelogramo, se conhecemos apenas
as medidas de seus lados?
Solução
Não, pois a área de um paralelogramo depende de sua altura,
que por sua vez depende do ângulo entre seus lados como está
ilustrado na figura.
5. É possível obter a área de um losango cujo lado mede 10 cm?
Resposta: Não, pois os lados de dois losangos podem ser diferentes.
6. Qual é a área de um losango que possui diagonais medindo 10 cm e 16
cm?
Resposta: A = 80 cm²

2. 7. Calcular a área de cada quadrilátero indicado abaixo:
a. Quadrado com lado medindo 5/3 cm.
b. Quadrado com perímetro 12cm.
c. Retângulo com comprimento 3cm e perímetro 10cm.
d. Quadrado com perímetro 12R[3]cm.
Respostas:
(a) 25/9 cm²
(b) 9 cm²
(c) 6 cm²
(d) 27 cm²
8. Um dos lados de um retângulo mede 10 cm. Qual deve ser a medida do
outro lado para que a área deste retângulo seja equivalente à área do
retângulo cujos lados medem 9 cm e 12 cm?
Resposta: lado = 10,8 cm
9. Se um retângulo possui o comprimento igual ao quíntuplo da largura e a
área é igual a 80 cm², quais são as medidas de seus lados?
Resposta: os lados medem 4 e 20 cm
10. Nos ítens abaixo, indicamos uma mudança na medida de um dos
lados. Que mudança deveremos realizar na medida do outro lado do
retângulo para que a área deste permaneça constante?
a. A base é multiplicada por 3;
b. A altura é dividida por 2;
c. A base é aumentada 25%;
d. A base é diminuída 25%
Respostas:
(a) a altura é dividida por três
(b) a base é multiplicada por dois
(c) a altura é diminuída 20%
(d) a altura é aumentada 1/3

3. 11. Calcular a área de um retângulo cujo lado mede s e a diagonal mede d.
Solução
Devemos calcular a medida do outro lado de retângulo, seja x
este lado, pelo teorema de Pitágoras temos que:
d²=s²+x²
x²=d²-s²
x = R[d²-s²]
Area=s×x=s×R[d²-s²]
12. Um triângulo retângulo tem um ângulo de 30 graus. Determinar as
medidas dos catetos, se a hipotenusa é indicada por a.
Solução
Dado o triângulo retângulo ABC, traçamos BD de modo que o
ângulo CBD também tenha 30 graus, o triângulo ABD é um
triângulo equilátero com AB=BD=a e AC=a/2.
Como: (AB)²=(AC)²+(BC)², segue que;
a²=(a/2)²+(BC)²
(BC)²=(3/4)a²
BC = R[3]a/2
Se a hipotenusa mede a, os catetos medem a/2 e R[3]a/2.
13. Um triângulo retângulo tem um ângulo de 45 graus. Determinar as
medidas dos catetos, se a hipotenusa é indicada por a.
Solução
Dado o triângulo ABC, com hipotenusa AB=a, segue pelo teorema
de Pitágoras que: a²=AC²+CB² e como o triângulo é retângulo
com um ângulo de 45 graus temos AC = CB,
então; a²=2(AC)² e AC=a/R[2].
Assim, se a hipotenusa mede a, os catetos são congruentes e
cada uma deles mede a R[2]/2.

4. 14. Obter a área de um paralelogramo conhecendo-se o ângulo Â=30
graus e cada um dos dados abaixo:
a. AD = 4 R[3] cm e AB = 8 cm
b. AX = 3 cm e AB = 4 R[2] cm
c. AB = 10 cm e AD = 6 cm
d. AB = 6 cm e AX= 3 R[3] cm
Respostas:
(a) 16 R (3) cm²
(b) 4 R (6) cm²
(c) 30 cm²
(d) 18 cm²
15. A frente de uma casa tem a forma de um quadrado com um triângulo
retângulo isósceles em cima. Se um dos catetos do triângulo mede 7
metros, qual é a área frontal desta casa?
Resposta: Área = 77/2 m²

5. 16. A frente de uma casa tem a forma de um quadrado com um triângulo
retângulo isósceles em cima. Se a diagonal do quadrado mede 2R[2] m,
calcular a área frontal desta casa.
Solução
Como a diagonal do quadrado mede 2.R[2]m, temos que
d²=a²+a²=2a², de onde segue que (2R[2])²=2a², que equivale a
8=2a². Obtemos assim a=2m, e Área do quadrado =4m². Como
AB=BC e o triângulo é retângulo, segue que a²=AB²+BC²=2 AB²,
de onde segue que AB²=4/2=2. Assim temos: AB=R[2]
Área do triângulo=(AB×AB)/2=R[2]×R[2]/2=1m².
Área total=área(quadrado)+área(triângulo)=5m²
17. O lado de um triângulo equilátero T1 mede 10 cm. Qual deve ser a
medida do lado de um outro triângulo equilátero T2 que possui o:
(a) dobro da área de T1?
(b) triplo da área de T1?
(c) quádruplo da área de T1?
Respostas:
(a) lado = 2 R (2) cm
(b) lado = 10 R (3) cm
(c) lado = 20 cm
18. Os números em cada linha na tabela abaixo, referem-se às medidas de
um triângulo, onde são conhecidas duas informações dentre: Base, Altura
e Área. Complete a tabela com os dados que estão faltando.
Base (cm) Altura (cm) Área (cm²)
(a) 5 10
(b) 5 12
(c) 2R[3] 3R[3]
(d) 6 12

6. Solução
As respostas estão em vermelho na tabela abaixo
Base (cm) Altura (cm) Área (cm²)
a. 4 5 10
b. 5 24/5 12
c. 2R[3] 3R[3] 9
d. 4 6 12
19. Os números em cada linha na tabela abaixo referem-se às medidas de
um trapézio, onde b1 e b2 são as bases, h é a altura e A a área. Complete
a tabela com os dados que estão faltando.
b1 (cm) b2 (cm) h (cm) A (cm²)
(a) 10 6 4
(b) 5 3 24
(c) 5 3 12
(d) 1/2 1/3 1
(e) 5R[2] 3R[2] 4R[6]
Solução
As respostas estão em vermelho na tabela abaixo
b1 (cm) b2 (cm) h (cm) A (cm²)
a. 10 6 4 32
b. 5 3 6 24
c. 3 5 3 12
d. 1/2 1/3 1 5/12
e. 5R[2] 3R[2] R[3] 4R[6]
20. Calcular a medida do lado de um triângulo equilátero com a área igual
a 9 R[3] unidades de área.
Resposta: L = 3 R(2) u

7. 21. Um fazendeiro possuía um terreno no formato de um triângulo
equilátero com lado medindo 6 Km e comprou do vizinho mais uma área
triangular isósceles cuja base mede 4 Km, de acordo com a figura, em
anexo. Qual era a área que o fazendeiro possuía e qual é a nova área?
Resposta: O fazendeiro possuía 18 R[3] Km².
A nova área é (18 R[3] + 4 R[2]) Km².
22. Um trapézio isósceles com bases medindo 12 cm e 16 cm está inscrito
em uma circunferência de raio 10 cm. Calcular a área do trapézio, se o
centro da circunferência está no interior do trapézio.
Na figura ao lado, a altura do trapézio mede h=a+b, onde:
a²=10²-8²=36
a=6
b²=10²-6²=64
b=8
h=6+8=14
Área do trapézio = (B+b)h/2=(16+12)×7=196cm².
23. Um trapézio isósceles com bases medindo 12 cm e 16 cm está inscrito
em uma circunferência de raio 10 cm. Calcular a área do trapézio, se o
centro da circunferência não está no interior do trapézio.
Na figura ao lado, a altura h do trapézio mede h=b-a, onde:
a²=10²-8²=36
a=6
b²=10²-6²=64
b=8
h=8-6=2 cm
Área do trapézio = (B+b)h/2=(16+12)×1=28cm².

8. 24. Calcular a área do trapézio isósceles, cujo desenho está na figura ao
lado, se todos os seus lados são tangentes à circunferência e as medidas
são dadas em cm.
Solução
Seja o triângulo isósceles construido prolongando os lados não
paralelos do trapézio, de acordo com a figura. Tomando h=AE e r
o raio da circunferência inscrita no trapézio. BC=18 e DF=8, logo
GC=9 e EF=4. Como o trapézio BCFD é isósceles, o triângulo ABC
é isósceles. O triângulo AGC é retângulo com ângulo reto em G.
O triângulo AEF é retângulo com ângulo reto em E e por
semelhança de triângulos, temos que: AE/EF=AG/GC implica que
h/4=(h+2r)/9, de onde segue que h=8r/5.
O triângulo ATO tem um ângulo reto em T, porque T é ponto de
tangência. Este triângulo ATO também é semelhante ao triângulo
AGC, logo:
AT/TO=AG/GC m(AT)/r=(h+2r)/9 (*)
Acontece que: AT=R[h²+2hr]=R[16r²/25+2r(8r)/5]=12r/5.
Substituindo este valor em (*), obtemos:
12r / 5r = (h+2r)/9 ·.· 12/5 = (8r/5 + 2r)/9 ·.· r=6
Seja B a base maior do trapézio e b a base menor do trapézio,
assim, a área do trapézio é dada por,
A=(B+b)×h/2
A=(18+8)×2×6/2=78

9. 25. No plano coordenado, os vértices de um paralelogramo são os pontos
A=(-3,-2), B=(6,-2), C=(10,3) e D=(1,3). Determinar a área do
paralelogramo ABCD.
Solução
Seja AB a base do paralelegramo e h sua altura, então,
AB=6-(-3)=9
h=3-(-2)=5
A Área do Paralelogramo é a base vezes a altura, então,
A=9×5=45 unidades de área.
26. Na figura representando o triângulo PQR, o segmento TS é paralelo ao
segmento PQ. Calcular a razão entre a área do triângulo RTS e a área do
trapézio PQST, sob as seguintes condições:
a. RT=1 cm, RP=2 cm
b. RT=2 cm, TP=3 cm
c. TS=2 cm, PQ=3 cm
d. TS=R[3] cm, PQ=2 cm
Dica: Obter a razão entre as áreas dos triângulos PQR e TSR.
Respostas:
(a) 1:3
(b) 4:21
(c) 4:5
(d) 3:1
27. Calcular a área de um triângulo equilátero cujas medidas são dadas
por: Respostas
a. Lado = 6 cm área = 9R[3] cm²
b. Apótema = 3 cm área = 27R[3] cm²
c. Raio = 6 cm área = 27R[3] cm²
d. Perímetro de medida t cm área = t² R[3]/36 cm²

10. 28. Calcular a área de um hexágono regular cujas medidas são dadas por:
a. Lado = 4 cm área = 24R[3] cm²
b. Apótema = 2R[3] cm área = 24R[3] cm²
c. Raio = 6 cm área = 54R[3] cm²
d. Perímetro = t cm área = 2t² R[3] cm²
29. ABC é um triângulo retângulo com ângulo reto em C. Se m(AB)=15 cm
e m(BC)=9 cm, qual é a área do quadrado de lado AC?
Resposta: área = 144 cm²
30. Pesquise a origem e o significado para cada uma das palavras que são
usadas em Geometria:
a. apótema: Segmento de reta perpendicular ao lado de um polígono traçada a partir do
centro do mesmo.
b. hipotenusa: maior lado do Triângulo Retângulo, opondo-se ao ângulo reto.
c. catetos: catetos são os menores lados do Triângulo Retângulo. Formam o ângulo de 90°
d. abscissa: Nome da coordenada do eixo x em um sistema cartesiano bidimensional.
e. ordenada: é uma das coordenadas que, no sistema cartesiano, definem a posição de
um ponto num plano ou no espaço.
31. Os números em cada linha da tabela abaixo referem-se às medidas do
polígono regular indicado, onde L é o lado, a é o apótema, p é o perímetro
e A a área. Complete a tabela com os dados que estão faltando.
1 L (cm) a (cm) p (cm) A (cm²)
Triângulo 2 R[3]
Pentágono k 4
Hexágono k
octógono t k
Decágono 40 40k
Solução: As respostas estão em vermelho na tabela abaixo
L (cm) a (cm) p (cm) A (cm²)
Triângulo 12 2 R[3] 36 36 R[3]
Pentágono 4/5 k 4 2k
Hexágono k k R[3]/2 6k (3 k²R[3])/2
octógono t k 8t 4tk
Decágono 2k 2k 40 40k

11. 32. Os lados correspondentes de dois pentágonos semelhantes estão na
razão 1:2. Qual é a razão entre as suas áreas? Qual é a razão entre os
seus perímetros?
Resposta: a razão entre as áreas é 1:4 e a razão entre os perímetros é 1:2
33. Dois hexágonos semelhantes possuem áreas iguais a 36 cm² e 64 cm²,
respectivamente. Qual é a razão entre as medidas de um par de lados
correspondentes (um em cada hexágono)?
Resposta: a razão é 3:4
34. Dois pentágonos semelhantes possuem áreas iguais a 50 cm² e 100
cm², respectivamente. Qual é a razão entre as medidas de um par de
lados correspondentes (um em cada pentágono)?
Resposta: a razão é 2:2
35. No triângulo ABC, desenhado ao lado, AB mede 5 cm e altura CD
mede 8 cm. Qual deverá ser a medida do lado de um quadrado com área
igual à área do triângulo ABC?
Resposta: L=2R[5]
36. A área de um polígono de n lados é 25/4 da área de um outro polígono
semelhante com n lados. Qual é a razão entre os perímetros dos dois
polígonos?
Resposta: a razão é 5:2
37. Os pontos X, Y e Z são os pontos médios dos lados de um triângulo
ABC. Qual é a razão entre a área do triângulo ABC e do triângulo XYZ?
Resposta: a razão é 1:4

12. 38. O lado menor de um polígono de área igual a 196 cm² mede 4 cm.
Calcular a área de um polígono semelhante a este que tem o lado menor
medindo 8 cm.
Resposta: área 784 cm²
39. Os lados de um quadrilátero medem 3 cm, 4 cm, 5 cm e 6 cm. Calcular
as medidas dos lados de um quadrilátero semelhante a este com área 9
vezes maior.
Resposta: L1 = 9 cm L2 = 12 cm L3 = 15 cm L4 = 18 cm
40. Qual é a razão entre as áreas de dois triângulos equiláteros, sabendo-
se que um deles está inscrito em uma circunferência de raio 6 cm e o outro
circunscrito na mesma circunferência?
Resposta: a razão é 1:4
41. Na figura ao lado D e E são, respectivamente, os pontos médios dos
lados do triângulo AC e BC. Qual é a razão entre as áreas dos triângulos
DEC e ABC?
Resposta: a razão é 1:3
42. Considere dois quadrados inscritos, um em uma semicircunferência de
raio r e o outro em uma circunferência de mesmo raio. Qual é a relação
existente entre suas áreas?
Resposta: a razão é 2:5
43. Um hexágono regular é inscrito em uma circunferência de raio r e um
segundo hexágono regular é circunscrito na mesma circunferência. Se a
soma das áreas dos dois hexágonos é 56 R[3] u.a, qual é o raio da
circunferência?
Resposta: R = 4 u

13. 44. O quadrilátero ABCD é um retângulo e os pontos E, F e G dividem a
base AB em quatro partes iguais. Qual é a razão entre a área do triângulo
CEF e a área do retângulo?
Resposta: razão = 1/8
45. O retângulo ABCD tem área 105 m². Qual a medida do lado do
quadrado EFGC?
46. De um quadrado cujo lado mede 8 cm, são recortados triângulos
retângulos isósceles nos quatro cantos de modo que o octógono formado
seja regular como mostra a figura ao lado. Qual é a medida do lado do
octógono?
Resposta: L = 4 (2-R[2]) cm