Geometria plana

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Geometria plana

  1. 1. O A B O → vértice do ângulo AO e OB lados do ângulo α Ângulo AÔB = α ÂNGULOSÂNGULOS O A B AGUDO 0º < α < 90ºα ÂNGULOS - CLASSIFICAÇÃOÂNGULOS - CLASSIFICAÇÃO O A B RETO m(AÔB) = 90º OBTUSO 90º < β < 180º O A B β
  2. 2. 2 ÂNGULOS PODEM SER:2 ÂNGULOS PODEM SER: O β α + β = 90º α COMPLEMENTARES SUPLEMENTARES REPLEMENTARES O α α + β = 180º β O α β α + β = 360º x° 80° 30° SuplementoComplemento Replemento 60° 150° 330° 10° 100° 280° 90° - x 180° - x 360° - x
  3. 3. ÂNGULOS ENTRE PARALELASÂNGULOS ENTRE PARALELAS r s t 1 2 34 5 6 78
  4. 4. ÂNGULOS ENTRE PARALELASÂNGULOS ENTRE PARALELAS r s t β α α α α β β β α + β = 180º a b 2x – 10º 3x + 40º a//b 3x + 40º 3x + 40 + 2x – 10 = 180 5x + 30 = 180 5x = 150 x = 30º
  5. 5. ÂNGULOS NUM TRIÂNGULOÂNGULOS NUM TRIÂNGULO A C B A + B + C = 180º
  6. 6. A C B β r α A + B + C = 180º α + β + θ = 180° ⇒ r // AB α β θ
  7. 7. ÂNGULOS NUM TRIÂNGULOÂNGULOS NUM TRIÂNGULO A C B A + B + C = 180º TEOREMA DO ÂNGULO EXTERNOTEOREMA DO ÂNGULO EXTERNO α A C B α = A + B
  8. 8. f A C B e = A + B g e f = A + C g = B + C ÂNGULOS NUM TRIÂNGULOÂNGULOS NUM TRIÂNGULO A C B A + B + C = 180º TEOREMA DO ÂNGULO EXTERNOTEOREMA DO ÂNGULO EXTERNO
  9. 9. B A D 76º 115º C x y y 76 + y = 115 y = 39º⇒ 115 + y = x 115 + 39 = x x = 154º⇒ Exemplo • Na figura abaixo, AC é bissetriz interna do triângulo ABD. Calcular a medida x do ângulo indicado.
  10. 10. ÂNGULOS NUM TRIÂNGULOÂNGULOS NUM TRIÂNGULO A + B + C = 180º α A C B α = A + B CASOS IMPORTANTESCASOS IMPORTANTES xx x 60° 60° 60° EQUILÁTEROEQUILÁTERO ISÓSCELESISÓSCELES xx RETÂNGULORETÂNGULO α β α + β = 90°
  11. 11. SEGMENTOS NOTÁVEISSEGMENTOS NOTÁVEIS B A C M MEDIANAMEDIANA ALTURAALTURA B A C H BISSETRIZBISSETRIZ B A CS MEDIATRIZMEDIATRIZ A m B M
  12. 12. ESTUDO DOS POLÍGONOSESTUDO DOS POLÍGONOS  Lados AB, AC, CD, DE, EF e FA.  Os vértices A, B, C, D, E e F.  Os ângulos internos A, B, C, D, E e F.  α é ângulo externo relativo ao vértice A.  Diagonal BD. A B C D EF α
  13. 13. icoságono20octógono8 pentadecágono15heptágono7 dodecágono12hexágono6 undecágono11pentágono5 decágono10quadrilátero4 eneágono9triângulo3 PolígononPolígonon
  14. 14. ESTUDO DOS POLÍGONOSESTUDO DOS POLÍGONOS A B C D EF α d = n(n – 3) 2 NÚMERO DE DIAGONAISNÚMERO DE DIAGONAIS Polígonos Regulares com n ladosPolígonos Regulares com n lados n par:n par: n/2 diagonais passam pelon/2 diagonais passam pelo centrocentro n ímpar:n ímpar: não há diagonais quenão há diagonais que passam pelo centropassam pelo centro ÂNGULO NOS POLÍGONOSÂNGULO NOS POLÍGONOS A2 A3 A4 A5 An A1 SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOSSOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS Si = 180°(n – 2) SOMA DOS ÂNGULOS EXTERNOSSOMA DOS ÂNGULOS EXTERNOS Se = 360° ai + ae = 180° ai ae
  15. 15. ÂNGULO NOS POLÍGONOSÂNGULO NOS POLÍGONOS A2 A3 A4 A5 An A1 SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOSSOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS Si = 180°(n – 2) SOMA DOS ÂNGULOS EXTERNOSSOMA DOS ÂNGULOS EXTERNOS Se = 360° ai + ae = 180° ai ae d = n(n – 3) 2 POLÍGONOS REGULARESPOLÍGONOS REGULARES B A C D EF ai ai ai ai ai ai ai = Si n ae = Se n
  16. 16. ÂNGULOS NUMA CIRCUNFERÊNCIAÂNGULOS NUMA CIRCUNFERÊNCIA O A B ββ P αα m(APB) = β = α 2 P A B Q R m(APB) = m(AQB) = m(ARB) = AB 2
  17. 17. ÂNGULOS NUMA CIRCUNFERÊNCIAÂNGULOS NUMA CIRCUNFERÊNCIA O A B ββ P αα m(APB) = β = α 2 M A B P N
  18. 18. ÂNGULOS NUMA CIRCUNFERÊNCIAÂNGULOS NUMA CIRCUNFERÊNCIA O A B ββ P αα m(APB) = β = α 2 M A Br r r
  19. 19. TRIÂNGULOS SEMELHANTESTRIÂNGULOS SEMELHANTES A C B D E F cc aa bb dd ee ff aa dd == bb ee == cc ff hh h´h´ == h´h´ hh cc aa bb dd ee ff aa ff == bb dd == cc ee
  20. 20. TRIÂNGULO RETÂNGULO – RELAÇÕES MÉTRICASTRIÂNGULO RETÂNGULO – RELAÇÕES MÉTRICAS a2 = b2 + c2 HIP2 = CAT2 + CAT2 CAT1 . CAT2 = HIP . ALT b . c = a . h CAT2 = HIP . PROJ b2 = a . n ALT2 = PROJ1 . PROJ2 c2 = a . m h2 = m . n
  21. 21. POLÍGONOS REGULARES – TRIÂNGULO EQUILÁTEROPOLÍGONOS REGULARES – TRIÂNGULO EQUILÁTERO O A B a L C LLh 60° 4 3L A 2 = 2 3L h = .h 3 1 a = .h 3 1 r = .h 3 2 R = O r O R
  22. 22. POLÍGONOS REGULARES – QUADRADOPOLÍGONOS REGULARES – QUADRADO 2 LA =2Ld = .L 2 1 a = O A B a d L CD L L L .L 2 1 r = 2 2L R = O r O R 2 d R =
  23. 23. TRIÂNGULO EQUILÁTERO e QUADRADOTRIÂNGULO EQUILÁTERO e QUADRADO O A B a= r L C LLh 60° 4 3L A 2 = 2 3L h = R .h 3 1 r = .h 3 2 R = 2 LA =2Ld = O A B r R L CD L L L .L 2 1 r = 2 2L R =
  24. 24. O a LA B POLÍGONOS REGULARES – HEXÁGONO REGULARPOLÍGONOS REGULARES – HEXÁGONO REGULAR C DE F L L L L L 120° LL 2 3L a = 2 3L r = O r 4 3L 6A 2 = 4 3L 6.A 2 = O R R = L
  25. 25. ÁREA DE FIGURAS PLANASÁREA DE FIGURAS PLANAS b h 2 b.h A = c)b).(pa).(pp(pA −−−= α.sen 2 b.a A = a c α b TRIÂNGULOSTRIÂNGULOS h A = b.ha b a A = b.a D d 2 D.d A = 2 b).h(B A + = B b h
  26. 26. CÍRCULO E SUAS PARTESCÍRCULO E SUAS PARTES O R A = πR2 COROA CIRCULARCOROA CIRCULAR A = π(R2 - r2 ) SETOR CIRCULARSETOR CIRCULAR ° = 360 Rπα 2 A SEGMENTO CIRCULARSEGMENTO CIRCULAR A = ASETOR – ATRIÂNGULO

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