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  1. 1. 2014 APOSTILA DE GEOMETRIA PLANA EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves
  2. 2. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves 1 (01) Se o segmento ̅̅̅̅ mede 17 cm, determine o valor de x nos casos: Solução AP = x PB = 7 AP + PB = 17 x + 7 = 17 x = 10 cm Solução x+3+x = 17 2x=17-3 2x=14 x = 7 cm (02) Determine x, sendo M ponto médio de ̅̅̅̅. Solução PB = x AB = 17 AP = 21 AB = AP – PB 17 = 21 – x x = 4 cm Solução AP – BP = AB 2x – (x-3) = 17 2x – x + 3 = 17 x =14
  3. 3. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves 2 Solução ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ (03) Determine PQ, sendo AB = 31. Solução ( ) ( ) 9 퐴푀̅̅̅̅̅ 푀퐵̅̅̅̅̅ 푥 9 푥 풙 ퟔ Solução 퐴퐵 푥 푥 푃푄 푥 푃푄 푷푸 ퟑퟐ Solução
  4. 4. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves 3 (04) Determine AB, sendo M ponto médio de ̅̅̅̅ Solução 8 8 (05) O segmento ̅̅̅̅ de uma reta é igual ao quíntuplo do segmento ̅̅̅̅ dessa mesma reta. Determine a medida do segmento ̅̅̅̅, considerando como unidade de medida a quinta parte do segmento ̅̅̅̅. Solução 퐴푀 푀퐵 푀퐵 퐴푃 (퐴푀 푀퐵) 푀퐵 푥 (푥 푥 7) 푀퐵 푥 푥 7 푀퐵 푥 퐴푀 푀퐵 푥 푥 풙 ퟏퟐ 퐴퐵 퐴푀 푀퐵 퐴퐵 푥 푥 퐴퐵 푥 퐴퐵 퐴퐵 6 푨푩 ퟐퟒ
  5. 5. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves 4 AB = 5CD AB=? ̅̅̅̅ (06) P, A e B são três pontos distintos de uma reta. Se P está entre A e B, que relação deve ser válida entre os segmentos ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅? Solução Observando a figura, notamos que: ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ (07) P, Q e R são três pontos distintos de uma reta. Se ̅̅̅̅ é igual ao triplo de ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ = 32 cm, determine as medidas dos segmentos ̅̅̅̅ ̅̅̅̅. Solução Temos duas possibilidades: (1º) Q está entre P e R:
  6. 6. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves 5 (07) Os segmentos ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ são adjacentes, de tal maneira que ̅̅̅̅ é o triplo de ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ é o dobro de ̅̅̅̅ AD = 36 cm. Determine as medidas dos segmentos ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅. Solução De acordo com o enunciado da questão, temos: 6 6 8 7 9 7 8 푥 푥 → 푥 →풙 ퟏퟔ 푸푹 ퟏퟔ 푃푄 푥 푷푸 ퟒퟖ푃푄 푥→ 푷푸 ퟐퟒ (2º) R está entre P e Q:
  7. 7. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves 6 8 Resposta: ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ . (08) Sejam P, A, Q e B pontos dispostos sobre uma reta, nessa ordem. Se ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ são segmentos congruentes, mostre que ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ são congruentes. Solução ( ) ( ) Comparando (1) com (2), concluímos que ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ são congruentes. (09) Se A, B e C são pontos colineares, determine AC, sendo AB = 20 cm e BC = 12 cm. Solução
  8. 8. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves 7 AC = x AC = AB + BC AC = 20+12 AC = 32 cm (10) ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ são dois segmentos adjacentes. Se ̅̅̅̅ é quíntuplo de ̅̅̅̅ e AC = 42 cm, determine AB e BC. Solução 6 7 (11) Sendo ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ segmentos colineares consecutivos, ̅̅̅̅ o quádruplo de ̅̅̅̅ e ̅̅̅̅ = 45 cm, determine AB e BC. Solução x + 12 = 20 x =20 – 12 x = 8 x = AC = 8 cm
  9. 9. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves 8 AB = 4x BC = x 4x + x = 45 5x = 45 x = 9 AB = 4x AB = 4.9 AB = 36 cm Resposta: AB = 36 cm e BC = 9 cm ou AB = 60 cm BC = 15 cm. (12) Numa reta r, tomemos os segmentos ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ e um ponto P de modo que ̅̅̅̅ seja o quíntuplo de ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ seja o quádruplo de ̅̅̅̅ e AP = 80 cm. Sendo M e N os pontos médios de ̅̅̅̅ ̅̅̅̅, respectivamente, determine MN. Solução AB = 4x BC = x 45 + x = 4x 3x = 45 x = 15 푩푪 ퟏퟓ 풄풎 AB = 4x AB = 4.15 AB = 60 cm
  10. 10. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves 9 5x + 4x + x = 80 10x = 80 x = 8 AB = 5x  AB = 5.10 AB = 50 Como: MB = AB/2  MB = 50 ÷ 2 MB = 25 Como: BC = 4x  BC = 4.10 BC = 40 BC = 4x BC = 4.8 BC = 32 푩푵 ퟏퟔ AB = 5x AB = 5.8 AB = 40 푴푩 ퟐퟎ AC = AP - CP AC = 80 – 8 AC = 72 MN = MB + BN MN = 20 + 16 MN = 36 BP = 80 – 5x (1) BP = 4x – x BP = 3x (2) Fazendo: (1) = (2) 80 – 5x = 3x 8x = 80 x = 10 푷푪 ퟏퟎ Como: BN = BC/2  BN = 40/2  BN = 20 MN = MB + BN  MN = 25 + 20 MN = 45 cm
  11. 11. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves 10 Resposta: MN = 45 ou MN = 36 ou MN = 20. (13) Se o é isósceles de base BC, determine x: AB = 2x – 7; AC x + 5. (14) O triângulo ABC é equilátero. Determine x e y. AB = 15-y; BC = 2x-7 e AC = 9 AC + CP = 80 AC + CP = x + x AC + CP = 2x 80 = 2x x = 40 AB = 5 x AB = 5.40 AB = 200 AM = 푴푩 100 PB = 3x PB = 3.40 PB = 120 PM + MB = PB PM + 100 = 120 PM = 20 MN = PB – MB MN = 120 – 100 MN = 20 Solução: 2x-7 = x+5 2x-x = 5+7 x = 12
  12. 12. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves 11 (15) Se o é isósceles de base ̅̅̅̅, determine BC. AB = 3x-10; BC = 2x+4 e AC = x+4. (16) Se o é isósceles de base BC, determine x. ̂ e ̂ Solução 2x-7 = 9 2x = 16 x = 8 15-y = 9 y = 15-9 y = 6 Solução 3x-10 = x+4 2x = 14 x = 7 Como: BC = 2x+4 BC = 2.7+4 BC = 18. 퐵 ≡퐶 푥 푥 풙 ퟐퟎ Solução No triângulo isósceles os ângulos da base são congruentes (iguais):
  13. 13. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves 12 (17) Se o é isósceles de base ̅̅̅̅, determine x. ̂ ̂ . (18) Se o é isósceles de base BC, determine x e y. (19) Determine x e y, sabendo que o triângulo ABC é equilátero. (a) Solução x+30° = 2x-20° 2x-x = 30°+20° x = 50° 푥 푥 푥 푥 풙 ퟗퟓ 푦 푥 8 푦 9 8 푦 8 풚 ퟒퟎ Solução Como: Solução 2x+ 1 = 3x-3 3x-2x =1+3 x = 4 y = 2x+1 y = 2.4+1 y = 9
  14. 14. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves 13 (b) (20) Se o perímetro de um triângulo equilátero é de 75 cm, quanto mede cada ado. Solução Como os três lados são iguais, devemos ter: 7 ÷ (21) Se o perímetro de um triângulo isósceles é de 100 m e a base mede 40 m, quanto mede cada um dos outros lados? (22) Determine o perímetro do triângulo ABC nos casos abaixo: (a) Triângulo equilátero com AB = x+2y, AC = 2x-y e BC = x+y+3. Solução x+y = x+3 y = x-x+3 y = 3 Como: x+3 = y+4 x+3 = 3+4 x = 4
  15. 15. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves 14 (b) Triângulo isósceles de base BC com AB = 2x + 3, AC = 3x – 3 e BC = x + 3. Solução (23) Num triângulo isósceles, o semiperímetro vale 7,5 m. Calcule os lados desse triângulo, sabendo que a soma dos lados congruentes é o quádruplo da base. Solução
  16. 16. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves 15 Resposta: Os lados são: 3m, 6m e 6 m. (24) Considere as retas r, s, t, u, todas num mesmo plano, com r u. O valor em graus de (2x+3y) é: (a) 64° (b) 500° (c) 520° (d) 660° (e) 580° Solução
  17. 17. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves 16 Resposta: Letra (b). (25) Na figura abaixo as retas r e s são paralelas. A medida do ângulo b é: (a) 100° (b) 120° (c) 110° (d) 140° (e) 130° Solução Observe que: z + 120°= 180° (z e 120° = São colaterais internos, logo, são suplementares) z = 60° z + y + 20° = 180° 60° + y = 160 y = 100° Observe que: y = x = 100°, logo: 2x + 3y  2.100° + 3.100°  200° + 300°  500°
  18. 18. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves 17 Como: b = 2x + 60° b = 2.20° + 60° b =100° Resposta: Letra (a) (26) Na figura, as retas r e r’ são paralelas, e a reta s é perpendicular a t. Se o menor ângulo entre r e s mede 72°, então o ângulo “a” mede: (a) 36° (b) 32° (c) 24° (d) 20° (e) 18° Solução (1) b = 2x + 60° (i) ("푏 " é ângulo externo) b + 4x = 180° (“b” e “4x” são colaterais internos) b = 180° - 4x (ii) Fazendo (i) = (ii), temos: 2x + 60° = 180° - 4x 6x = 120° x = 20°
  19. 19. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves 18 (27) Num triângulo ABC, os ângulos ̂ ̂ medem 50° e 70°, respectivamente. A bissetriz relativa ao vértice A forma com a reta ̅̅̅̅ os ângulos proporcionais a: (a) 1 e 2 (b) 2 e 3 (c) 3 e 4 (d) 4 e 5 (e) 5 e 6 Solução No triângulo destacado na figura ao lado, temos: 90° + 72° + a = 180° (Soma dos ângulos internos) 162° + a = 180° a = 18° Primeiramente, precisamos saber os valores dos ângulos “p” e “q”. Note que No 퐴퐵퐶, temos: A+50°+70° = 180° A = 180° - 120° 푨̂ ퟔퟎ (A bissetriz AH divide esse ângulo em partes iguais). No 퐴퐵퐻, temos: p + 50° + 30° = 180° p = 180° - 80° p = 100° No 퐴퐶퐻, temos: q + 30° + 70° = 180° q = 180° - 100° q = 80° 푝 푞 8 8 ퟓ ퟒ Logo, os ângulos p e q, têm a seguinte relação: Assim, a bissetriz AH forma com a reta BC ângulos proporcionais a 4 e 5. Resposta; Letra (d)
  20. 20. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves 19 (28) Na figura, o triângulo ABC é congruente ao triângulo DEC. Determine o valor de “a” e “b”. Solução Observando a figura acima, temos: ≡ ̂ 3a = 2a + 10° a = 10° ≡ b + 48° = 5b 4b = 48 b = 12° (29) Na figura abaixo, o triângulo ABD é congruente ao triângulo CBD. Calcule x e y e os lados do triângulo ACD. 퐴 푎 퐸 푏 퐵 푏 8 퐷̂ 푎 Dados: Dados: AB = x CD = 3x+8 BC = 2y DA = 2x
  21. 21. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves 20 Solução Como os triângulos são semelhantes, temos: 2x = 3y + 8 (i) x = 2y (ii) Substituindo (ii) em (i), temos: 2(2y) = 3y + 8 4y = 3y + 8 y = 8 Como: x = 2y  x = 2.8  x = 16 Cálculo dos lados do triângulo ACD: AD = 2x  AD = 2.16  AD = 32 AC = x + 2y  AC = 16 + 2.8  AC = 32 DC = 3y + 8  DC = 3.8 + 8  DC = 32 (30) Na figura abaixo, o triângulo CBA é congruente ao triângulo CDE. Determine o valor de x e y e a razão entre os perímetros desses triângulos. Solução
  22. 22. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves 21 2x – 6 = 22 2x = 28 x = 14 3y + 5 = 35 3y = 30 y = 10 (31) Na figura abaixo, o triângulo PCD é congruente ao triângulo PBA. Determine o valor de x e y e a razão entre os perímetros dos triângulos PCA e PBD. Solução 푃푒푟 푚푒푡푟표 푑표 푃퐶퐴 푃푒푟 푚푒푡푟표 푑표 푃퐵퐷 퐿푎푑표 퐴푃 퐿푎푑표 퐷푃 x + 5 = 15 x = 10 3y – 2 = 2y + 17 y = 19 Lado AP = 2y + 17  AP = 2.19+17  AP = 55 Lado DP = 3y - 2  DP = 3.19 – 2  DP = 55
  23. 23. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves 22 (32) Na figura abaixo, os triângulos ABC e CDA são congruentes. Calcule x e y. Solução 2x = 120° x = 60° 3y = 27° y = 9° (33) As retas r e s das figuras abaixo são paralelas. Determine x e y. (a) (b) Solução x + 60° = 180° (Colaterais internos) x = 120° y + 105° = 180° ( Colaterais internos) y = 75° Solução 3x - 10° + 90° + 2x = 180° (Colaterais internos) 5x + 80° = 180° 5x = 100° x = 20°
  24. 24. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves 23 y = 3x – 10° (alternos internos) y = 3.20° - 10 y = 50° (34) A soma de quatro ângulos agudos formados por duas retas paralelas cortadas por uma reta transversal é 80°. Determine o ângulo obtuso. Solução (35) Na figura abaixo, sendo a//b, calcule x. 4x = 80° x = 20° x + y = 180° 20° + y = 180° y = 160° Solução 17x – 9° + 8x + 9° = 180° 25x = 180° x = 7° 12’
  25. 25. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves 24 (36) Na figura abaixo, sendo r//s, calcule x e y. (37) Na figura abaixo, temos os ângulos a e b de lados respectivamente paralelos. Sendo a = 8x e b = 2x + 30°, determine o suplemento de b. Solução Pela figura, notamos que: a = b 8x = 2x + 30° 6x = 30°  x = 5° (38) Se as retas r e s são paralelas, determine x, y e z nos casos abaixo: (a) Solução 3x -20° = 2x (Alternos internos) x = 20° y + 10° = 3x – 20°  y + 10° = 3.20° - 20°  y = 40° - 10°  y = 30° Como: b = 2x + 30° b= 2.5 + 30° b = 40° Cálculo do suplemento de b: x = 180° - 40° x = 140°
  26. 26. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves 25 Solução (b) (39) Determine o valor de x na figura abaixo: Pela figura: x = 50° y = 60° z + 50° + 60° = 180° z = 180° - 110° z = 70° Solução y + 20° + 40° = 180° y = 180° - 60° y = 120° z = y (Alternos internos) z = 120° x + z + 20° = 180° x + 120° + 20° = 180° x = 40°
  27. 27. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves 26 (40) Determine x e y, na figura abaixo: Solução Solução Pela figura ao lado, temos: 3x – 30° = x – 10° + x + 30° 3x – 2x = 20° + 30° x = 50°
  28. 28. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves 27 No triângulo ABC, temos: 130° = x + 100° x = 30° No triângulo ACE, temos: y + 40° + 80° + 30° = 180° y = 180° - 150° y = 30° (41) Da figura abaixo, sabemos que AB = AC, ̂ e AD = BC. Determine x =C ̂D. Solução
  29. 29. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves 28 (42) Determine a área da região sombreada na figura abaixo. Solução Solução (1) Indiquemos as medidas AB = AC = b e CD = A, donde obtemos BC = a + b. (2) Tracemos 퐴푃̅̅̅̅ com AP = b, de modo que 퐵퐴 푃 6 . Obtemos desta forma o triângulo equilátero (verde) APB de lado b. (3) Consideremos agora os triângulos PAD (amarelo) e ABC. Note que eles são congruentes pelo caso LAL. Logo: PD = AC = b e A푃 퐷 = 100°. (4) De PD = b concluímos que o PBD é isósceles. Note que neste triângulo PBD, como 푃 = 160°, concluímos que 퐵 퐷̂ = 10°. (5) Finalmente, de A퐵 P = 60°, D퐵 P = 10° e C퐵 퐴 , concluímos que C푩̂ 푫 풙 ퟏퟎ
  30. 30. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves 29 (1) Área do triângulo equilátero de lado igual a 10: √ → ( ) √ → √ → √ (2) Área dos 3 setores circulares de ângulo central igual a 60° e raio igual a 5: 6 → ( )26 → (3) Área da região sombreada: → √ → √ → (√ ) (43) Na figura abaixo, ̅̅̅̅ é paralela a ̅̅̅̅. Sendo ̂ igual a 80° e ̂ igual a 35°, calcule a medida de A ̂D. Solução Solução
  31. 31. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves 30 (44) Na figura abaixo, as retas r e s são paralelas. Calcule a. Solução (45) Determine o valor de x na figura abaixo: (1) No triângulo amarelo ABF, temos: y + 80° + 35° = 180° y = 180° - 115° y = 65° (2) No triângulo AGE, temos: x = 35 +80° ( x é ângulo externo) x = 115° No triângulo colorido, o ângulo 3a, é ângulo externo, logo: 3a = 180° - 2a + 80° 5a = 260° a = 52°
  32. 32. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves 31 Solução No triângulo colorido, temos: a + b + x = 180° (iv) Substituindo (iii) em (iv), temos: 360° - 4x + x = 180° 3x = 180° x = 60° 2a + 2(2x+10°) = 360° : 2 a + 2x + 10°= 180° a + 2x = 170° (i) 2b + 2(2x-10°) = 360 ; 2 b + 2x – 10° = 180° b + 2x = 190° (ii) Fazendo (i) + (ii), temos: a + 2x = 170° b + 2x = 190° a + b + 4x = 360° → a + b = 360° - 4x (iii) + +
  33. 33. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves 32 (46) Num triângulo isósceles ABC o ângulo do vértice A vale 1/10 da soma dos ângulos externos em B e C. Sendo ̅̅̅̅ a base do triângulo, determine o ângulo A. Solução (47) Num triângulo ABC, o ângulo obtuso formado pelas bissetrizes dos ângulos ̂ ̂ excede o ângulo ̂ em 76°. Determine ̂. Solução a = 110(푑 푒)→ퟏퟎ풂 풅 풆 (1) a + b + c = 180°  b + c = 180° - a (2) Note que: d + b = 180° c + e = 180° d + e + b + c = 360° 10a + 180° - a = 360° 9a = 180° a = 20° +
  34. 34. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves 33 (48) Seja ABC um triângulo isósceles de base ̅̅̅̅. Sobre o lado ̅̅̅̅ desse triângulo considere um ponto D tal que os segmentos ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ sejam todos congruentes entre si. Calcule a medida do ângulo ̂ . Solução 푑 = x + 76° No triângulo ABC, temos: x + 2y + 2z = 180° 2y + 2z = 180° - x (i) No triângulo BCD, temos: y + z + d = 180° (multiplicando por 2) 2y + 2z + 2d = 360° (ii) Substituindo (i) em (ii), temos: 180° - x + 2d = 360° 180° - x + 2 (x + 67°) = 360° 180° - x + 2x + 152° = 360° x + 332° = 360° x = 28° 푎 푎 8 푎 푎 6 푎 6 풂 ퟕퟐ No triângulo BCD, temos: a + a + 푎 2 8 No triângulo ABC, temos: x + a + a = 180° x + 2a = 180° x + 2.72° = 180° x = 180° - 144° x = 36°
  35. 35. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves 34 (49) A largura e o comprimento de um terreno retangular estão na razão 4 para 7. Admitindo-se que o perímetro desse terreno seja 66 m, calcule (em metros) a largura desse terreno. Solução (50) Considere a figura abaixo. Se os retângulos ABCD e BCEF são semelhantes, e AD = 1, AF = 2 e FB = x. Calcule o valor de x. Solução Como os retângulos são semelhantes, temos: → → → → → √ → √8 → √ → √ 퐿 퐶 7→ 퐿 퐶 퐿 7 → 푳 푪 푳 ퟏퟏ ퟒ (풊) 퐿 →푳 ퟏퟐ 풎 2L + 2C = 66 (Perímetro do retângulo) : 2 L + C = 33 (ii) Substituindo (ii) em (i):
  36. 36. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves 35 (51) Observe a figura abaixo. Nela “a”, “2a”, “b”, “2b” e “x” representam as medidas, em graus, dos ângulos assinalados. Calcule o valor de “x” ( em graus). Solução Note que x é ângulo externo do 퐴퐵퐶 푙표푔표 x = 2a + 2b  x = 2(a + b) (i) Note que 푐 , é ângulo externo do triângulo amarelo, logo: c = a + 2a c = 3a No triângulo vermelho, temos: c + b + 2b = 180° 3a + 3b = 180° : 3 a + b = 60° x (2) 2 (a + b) = 120° (ii) Substituindo (i) em (ii): x = 120°
  37. 37. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves 36 (52) Na figura abaixo, o triângulo ABC é retângulo e isósceles e o retângulo nele inscrito tem lados que medem 4 cm e 2 cm. Calcule o perímetro do triângulo MBN. Solução Observando a figura acima, notamos que aos triângulos vermelho e amarelo são semelhantes, portanto: → 8 8→ 2 6 → ( 6) → O lado BM do triângulo vermelho vale: x – 2  6 – 2 = 4.
  38. 38. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves 37 Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo MBN, temos: (BN)²= 4²+ 4²→ (BN)²= 16 + 16  (BN)² = 32 BN = 4√ Cálculo do perímetro do triângulo MBN: 2p = 4 + 4 + 4√ 2p = 8 + 4√ 2p = 4(2 + √ ) (53) Calcule a área da região colorida na figura abaixo, sabendo que A e B são pontos médios de dois lados do quadrado. Solução 푆푡 →푺풕 ퟖ 푆푠 휋푟 훼 6 →푆푠 휋 9 6 →푺풔 흅 푆푎 푺풕 푺풔→푺풂 ퟖ 흅 (1) Área dos triângulos (amarelo): (2) Área do setor circular vermelho: (3) Área da região azul:
  39. 39. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves 38 (54) Em uma cidade, há um terreno abandonado, na esquina da Rua da Paz com a Avenida da Alegria. Esse terreno tem a forma de um trapézio retangular cujas bases medem 18 m e 12 m e cuja altura mede 30 m. Uma pessoa amorou seu cavalo para pastar nesse terreno, num ponto P, a uma corda de 12 m de comprimento. De acordo com o esquema da figura abaixo, calcule a área (aproximada) do pasto do terreno que o cavalo NÃO pode comer. Considere: Solução (1) Área do trapézio: ( ) 2→ (1 12) 302→ 30 302→ 450 (2) Área do setor circular: 2 6 → ( )2 9 6 → → → (3) Área colorida: → → (55) Considere um triângulo ABC isósceles de base ̅̅̅̅, e os pontos P e Q tais que P ̅̅̅̅ e Q ̅̅̅̅. Se BC = BP = PQ = QA, qual é a medida do ângulo de vértice A, em radianos? Solução:
  40. 40. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Celso do Rosário Brasil Gonçalves 39 휋 8 Observando a figura ao lado, notamos que os ângulos B e C são congruentes, visto que o triângulo ABC é isósceles, portanto: 2x+180°-6x = 3x 180°- 4x = 3x 7x = 180° x = 1 0 7 Como: x = 흅 ퟕ

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