1. Plana 8. Três polígonos convexos tem lados expressos por três
números consecutivos. Sendo 2700º a soma de todos os
1. Nas figuras abaixo, as retas r e s são paralelas. Encontre a ângulos internos dos três polígonos, determine o número de
medida dos ângulos x em cada caso. diagonais de cada um deles.
a)
x 9. Determine a medida do ângulo formado pelos
r prolongamentos dos lados AB e ED de um polígono regular A,
B, C, D ... de 20 lados.
2x 10. Qual polígono cujo número de diagonais é igual ao número
s de lados?
b)
11. Determine o número de diagonais que se pode traçar por um
110º dos vértices de um icoságono.
r 12. Determine o gênero do polígono cujo número de diagonais é
80º
o quádruplo do número de lados.
x
13. Na figura abaixo determine a medida do ângulo x , em
150º função de dos ângulos a, b e c.
s
2. Na figura abaixo podemos dizer que: a
a) α=β+θ
b) θ=β+α
c) α + β + θ = 180 b c
x
d) 180 - θ = α - β
e) n.r.a 14. Na figura abaixo AB = AC e BC = CD = DE = EF = FA . Calcule
a medida do ângulo α.
q
B
D
b a F
a A
C
E
3. Determine a medida do ângulo externo de um vértice de um 15. As bissetrizes de dois ângulos de lados respectivamente
triângulo ABC com relação aos ângulos internos. perpendiculares são :
a) semi-retas opostas
4. Na figura ao lado, AÔB e BÔC são dois ângulos adjacentes. b) semi-retas coincidentes
OX e OY são as bissetrizes desses ângulos. Sabendo-se que c) semi-retas paralelas ou perpendiculares
AÔY = 65º e XÔC = 70º, calcule XÔY. d) semi-retas que formam um ângulo de 270º
O
C 16. Nas figuras abaixo determine a soma de todos os ângulos
assinalados.
Y
a
B
X e b
A
5. Calcule o menor ângulo formado pelos ponteiros de um
relógio às:
a) 12 horas e 15 minutos d c
b) 3 horas e 20 minutos
c) 4 horas e 42 minutos
c d
6. Determine a soma de todos os ângulos assinalados na figura
abaixo.
b e
a
f
7. Calcular o número de diagonais de um pentadecágono.
1

2. 17. Dado O triângulo ABC, abaixo indicado, construímos a x
poligonal L =. Determine comprimento de L. A Q
A
60º
b c
60º P
60º
60º 60º 60º
C B O B y
a
22. Em um triângulo ABC, a base BC mede 10cm, Mb e Mc são
18. Se P é um ponto qualquer da base BC de um triângulo pontos médios de AC e AB respectivamente. Determine a
isósceles ABC, a soma das distâncias de P aos lados medida do segmento MbMc.
congruentes é constante e igual a :
a) à medida da base BC 23. Na figura abaixo, Q é o ponto médio de AB. QP é paralelo a
b) à altura relativa a um dos lados congruentes BC. Sendo AC = 30cm e BC = 20cm, determine a medida de
c) a um dos lados congruentes PQ e PO.
d) não é constante
e) distância do baricentro ao vértice A. 24. Suponhamos que três pontos A, B e C do plano representem
as posições de três casas construídas numa área de um
condomínio. Um posto policial estará localizado num ponto P
situado à mesma distância das três casas. Em geometria, o
19. Na figura a seguir, I é o incentro do triângulo ABC e PQ é ponto P é conhecido como :
paralelo a BC . Sendo AC = 18cm e AB = 10cm , calcule a a) Baricentro
medida do perímetro do triângulo APQ. b) Ortocentro
c) Circuncentro
A
d) Incentro
e) n.r.a
25. Num triângulo ABC, a altura AS forma com a mediana um
I Q ˆ ˆ
P ângulo de 22º. Calcule a medida dos ângulos B e C .
A
B C
22º
20. O triângulo ABC da figura abaixo é retângulo em Â, AH é
B C
altura , AD e AE são bissetrizes dos ângulos ∠HAB e ∠HAC. M S
Considere as seguintes afirmações: 26. (UFF) O hexágono regular abaixo representado possui lado
1) ∠DAE = 45º. igual a L.
2) ∆ ADE é isósceles.
M N
3) ∆ BAE é isósceles. 1 1
4) ∆ CAD é isósceles. M N L
Quantas estão certas? 2 2
a) nenhuma M N3
3
b) uma M
4 N4
c) duas
d) três M N5
e) todas 5
B M N
6 6
D
H M N
7 7
M N8
E 8
M N9
9
Sabendo-se que os 9 segmentos M1N1, M2N2, M3N3, .....,
A C M9N9 são todos paralelos e dividem o segmento M1N9 em 8 partes
iguais, pode-se afirmar que a soma M1N1 + M2N2 + ... + M9N9 é
21. Um ponto A qualquer é considerado sobre o lado Ox do igual a:
ângulo ∠xOy da figura. Traçamos então: a) 11 L
1) AB ⊥ Oy b) 12 L
2) AQ // Oy c) 13 L
3) OPQ tal que PQ = 2.AO d) 14 L
Se ∠POB = 26º, ∠xOy mede: e) 15 L
a) 61º
b) 66º
c) 72º
d) 78º
2

3. 27. (UFRJ) Um poste têm uma lâmpada colocada a 4m de 32. (UFF) Na figura abaixo, o vértice Q do retângulo PQRC foi
altura. Um homem de 2m de altura caminha a partir do poste obtido pela interseção do arco AM de centro em C e raio CA,
, em linha reta, em direção à porta de um edifício que está a com a hipotenusa BC do triângulo retângulo ABC. Sabendo
uma distância de 28m o poste. Calcule o comprimento da que PQ mede 12cm e QR mede 9cm, determine as medidas
sombra do homem que é projetada sobre a porta do edifício, dos lados do triângulo ABC.
no instante em que ele está a 10,5m dessa porta. Sua A B
resposta deve vir acompanhada de um desenho ilustrativo da
situação descrita.
P Q
28. (UERJ) Num cartão retangular, cujo comprimento é igual ao
dobro de sua altura, foram feitos dois vincos AC e BF, que
formam, entre si, um ângulo reto. Observe a figura, em que
BFA = CAB. C R M
33. (UFF) Na figura abaixo, os segmentos de reta
AB,BC, CD e DE são tais que AB ⊥ BC,BC ⊥ CD e CD ⊥ DE
.E
Considerando AF = 16 cm e CB = 9 cm, determine:
A) as dimensões do cartão; C. .D
B) o comprimento do vinco AC.
29. (CESGRANRIO) Considere um quadrilátero ABCD. Sendo M
o ponto médio do lado AD e O o ponto de interseção com o
segmento MC com a diagonal BD, determine a razão DO/OB.
. .
A B
30. (UFRJ) A figura a seguir representa um retângulo MNPQ
inscrito num triângulo ABC. O lado BC mede 12cm e a altura As medidas AB,BC, CD e DE de são, respectivamente,
relativa a esse lado mede 8cm. Seja x e z os comprimentos 3m, 4m, 1m e 4m. Determine a medida do segmento AE .
de MN e MQ, respectivamente.
A 34. (UNICAMP) Um observador O, na mediatriz de um
segmento AB e a uma distância d de AB, vê esse segmento
sob um ângulo α. O observador afasta-se do segmento ao
longo da mediatriz até uma nova posição O’ de onde vê o
Q P segmento sob o ângulo α/2. Expresse a distância x = OO’ em
termos de α e d.
35. (UFMG) Observe a figura:
B C A Q B
M N
a) exprima a altura z do triângulo em função da base x.
b) calcule os valores de x e z para as quais a área do R
retângulo é a maior possível.
31. (UFF) A figura abaixo representa um quadrado MNPQ de
P
lado L. Sabendo-se que J e K são os pontos médios de OM e
ON, se prolongarmos os segmentos QJ e PK de modo que se
encontrem no ponto T, a medida do segmento RS será: D S C
a) L/4 d) 4L/3
b) L/3 e) 3L/2 Nessa figura ABCD representa um quadrado de lado 11 e
c) 2L/3 AP = AS = CR = CQ . O perímetro do quadrilátero PQRS é:
T a) 11 3
b) 22 3
c) 11 2
M R S N
d) 22 2
36. (UFF) Na figura abaixo, os triângulos ABC e DEF são
L eqüiláteros.
.
B
P
.E
Q
A C D F
Sabendo que AB, CD e BE medem, respectivamente, 6m,
4m e 4m, calcule a medida de BE .
3

4. 37. A figura abaixo representa um quadrado ABCD e dois 42. (Vunesp-SP) Para calcular a distância entre duas árvores
triângulos eqüiláteros equivalentes. Se cada lado desses situadas nas margens opostas de um rio, nos pontos A e B,
triângulos mede 2 cm, calcule o lado do quadrado ABCD. um observador que se encontra junto a A afasta-se 20m da
margem, na direção da reta AB, até o ponto C e depois
caminha em linha reta até o ponto D a 40m de C, do qual
ainda pode ver as árvores. Tendo verificado que os ângulos
DCB e BDC medem, respectivamente, cerca de 15º e 120º,
que valor ele encontrou para a distância entre as árvores, se
usou a aproximação 6 ≅ 2, 4 .
B
38. (UERJ) Observe a bicicleta e a tabela trigonométrica. D
A
C
Os centros das rodas estão a uma distância PQ igual a 120 43. Um observador está em um ponto A do aterro do Flamengo e
cm e os raios PA e QB medem, respectivamente, 25 cm e 52 cm. vê o Pão de Açúcar segundo um ângulo de 10º com o plano
De acordo com a tabela, o ângulo AÔP tem o seguinte valor: horizontal (medido com o teodolito). Ele anda em direção ao
a) 10º seu objetivo até um ponto B distante 650m de A e agora vê o
b) 12º Pão de Açúcar segundo um ângulo de 14º. Qual é a altura do
c) 13º Pão de Açúcar em relação ao plano de observação? (tg 14º =
d) 14º 0,249, tg 10º = 0,176)
39. (UERJ) Um triângulo acutângulo ABC tem 4 cm2 de área e
seus lados AB e AC medem, respectivamente, 2 cm e 5 cm.
Mantendo-se as medidas desses dois lados e dobrando-se o
ângulo interno Â, calcule o aumento percentual de sua área.
[Dica: use sen(2x) = 2⋅sen(x)⋅cos(x)]
40. Para combater um incêndio, os bombeiros utilizaram duas
escadas AD e BE, que formavam entre si um ângulo de 45º, 44. As diagonais de um trapézio retângulo medem
7 respectivamente 9 cm e 12 cm. Calcule o perímetro do
conforme mostra a figura ao lado. Considere tgα = e as quadrilátero convexo cujos vértices são os pontos médios dos
17
lados do trapézio.
distâncias AC = 17 e BC = 5m. Determine:
a) O comprimento CD
b) A altura CE do prédio.
45. Calcule o valor de x no trapézio abaixo.
2
2L
L
41. (UFF) Na figura abaixo QRS é equilátero e está inscrito no
quadrado MNPQ, de lado L. Pode-se afirmar que o lado do 14
triângulo mede:
N R M
46. (CESGRANRIO) Assinale a alternativa que contêm a
propriedade diferenciadora do quadrado em relação aos
demais quadriláteros.
a) Todos os ângulos são retos
S b) Os lados são todos iguais
c) As diagonais são iguais e perpendiculares entre si.
d) As diagonais se cortam ao meio.
P Q
e) Os lados opostos são paralelos e iguais.
L 2 L 3 L 6
a)
2
b)
3
c)
2
d) L ( 2+ 6 ) e) L ( 6− 2 )
4

5. 47. (UERJ) Se um polígono tem todos os lados iguais, 52. (UFF) A figura abaixo representa uma circunferência de
então todos os seus ângulos internos são iguais.
centro O diâmetro PQ = 4 3 cm.
Para mostrar que essa proposição é falsa, pode-se usar como
exemplo a figura denominada:
a) losango M
b) trapézio
c) retângulo
d) quadrado P Q
O
48. Decida, em cada item, se as condições dadas são suficientes
N
para que ABCD seja um quadrilátero do tipo indicado.
(a) Paralelogramo. Se MN é o lado o hexágono regular inscrito na circunferência
i. Dois pares de lados congruentes; e MN é perpendicular a PQ, a medida do segmento PM, em cm é:
ii. Dois lados opostos congruentes e os outros paralelos;
ˆ ˆ
iii. Dois ângulos adjacentes, A e D suplementares e AB = BD ;
a) (
2 3 2+ 3 )
iv. Dois ângulos opostos iguais; 2 3 (2 − 3 )
b)
v. Todos os pares de ângulos adjacentes suplementares;
(b) Retângulo c) 3 (12 − 3 )
i. Dois ângulos retos;
ii. Três ângulos congruentes; d) 3 (12 + 3 )
(c) Losango e) 2 (12 + 3 )
i. Diagonais perpendiculares cortando-se ao meio;
ii. Três lados congruentes;
53. (UFRRJ) ABCDEFGH é um polígono regular convexo.
(d) Quadrado Sabendo que PE é tangente ao círculo , qual a medida, em
i. Três lados iguais e um ângulo reto; graus, do ângulo α?
ii. Diagonais perpendiculares cortando-se ao meio;
H A B
iii. Diagonais iguais e perpendiculares;
iv. Diagonais iguais perpendiculares e cortando-se ao meio.
(e) Trapézio isósceles G C
i. Diagonais iguais;
ii. Trapézio com diagonais iguais;
F D a P
49. Seja ABCD um trapézio retângulo tal que P é o ponto de
encontro das diagonais. Determine a distância de P ao lado E
perpendicular as bases, sabendo que as bases medem 3cm e 54. (UFRJ) Na figura a seguir:
6cm. AB é o lado de um octógono regular inscrito.
t é tangente.
50. Os pontos M, N, P, Q, R E S são médios dos lados AB, BC, Qual a medida de α?
CD, ... do hexágono regular ABCDEF. Se AB = 4 cm, ache o
raio do círculo inscrito no hexágono MNPQRS.
B t
A M
B
S N
F C O
A
R P
E Q D
51. (UERJ) Na figura abaixo, AB e AC são, respectivamente,
lados do triângulo equilátero e do quadrado inscritos na 55. (UFF) A figura abaixo representa um triângulo equilátero
circunferência de raio R. Com centro em A, traçam-se os FHN de lado L e um hexágono regular . Sabendo que I é o
arcos de circunferências BB’ e CC’, que interceptam a reta t ponto médio do lado HN e pertence ao segmento GL, assinale
em B’ e C’. a alternativa que representa o perímetro do quadrilátero
FGLM:
B H J K
C I
G L
F N M
C' A B'
a) 7L
A medida que está mais próxima do comprimento do b) 6L
segmento B’C’ é: c) 5L
a) o perímetro do quadrado de lado AC. d) 4L
b) o comprimento da semicircunferência de raio r. e) 3L
c) o dobro do diâmetro da circunferência de raio r.
d) o semiperímetro do triângulo equilátero de lado AB.
5

6. 56. (UFF) A figura abaixo representa o quadrado MNPQ de lado 59. (UERJ) Um triângulo acutângulo ABC tem 4 cm2 de área e
= 4cm . Sabendo que os retângulos NXYZ e JKLQ são seus lados AB e AC medem, respectivamente, 2 cm e 5 cm.
Mantendo-se as medidas desses dois lados e dobrando-se o
congruentes, o valor da medida do segmento YK é:
ângulo interno Â, calcule o aumento percentual de sua área.
3
(A) cm (D) 2cm
2 60. (UERJ) O decágono da figura abaixo foi dividido em 9
(B) 2 3cm (E) 2 2cm partes: 1 quadrado no centro, 2 hexágonos regulares e 2
triângulos equiláteros, todos com os lados congruentes ao do
2 quadrado, e mais 4 outros triângulos. Sendo T a área de cada
(C) cm
2 triângulo equilátero e Q a área do quadrado, pode-se concluir
N X P que a área do decágono é equivalente a:
(A) 14 T + 3 Q
Y (B) 14 T + 2 Q
Z
1 cm (C) 18 T + 3 Q
2 cm
K LA = 4 cm
(D) 18 T + 2 Q
M J Q
57. (UFF) A máquina a vapor foi constantemente aperfeiçoada
durante a Revolução Industrial, constituindo fator
fundamental para o progresso da indústria e dos meios de
transporte. Posteriormente, surgiram máquinas com motores
de combustão interna que utilizam o mecanismo chamado
“biela-manivela” – tal mecanismo transforma o movimento de
61. (ITA-SP) A diagonal menor de um paralelogramo divide um
rotação de uma polia em movimento de translação de um
dos ângulos internos em dois outros α e 2α. Determine a
pistão (vaivém) ou vice-versa. Observe as duas configurações
razão entre o lado menor e o maior do paralelogramo.
distintas desse mecanismo representadas a seguir. Sabendo
que OQ1 = OQ2 = r e Q1P1 = Q2P2, onde r é o raio da polia,
determine em (II), a distância entre P1 e P2 em
62. Os postes de energia variam de altura de acordo com a
função de r.
quantidade e espessura dos cabos de transporte de energia.
Este ano, nas prévias da eleição, a prefeitura do Rio em
Q 60º acordo com a Light, empresa que distribui energia para
cidade, adequou 25% dos postes da zona leste. Em uma
pesquisa prévia feita pela Light, um de seus funcionários
P1 verificou que certa rua necessitava de uma mudança de
Pistao
postes, mas esta era toda arborizada. Na esperança de poder
Polia fazer a troca dos postes, sem a poda fora do tempo, o
(I) funcionário fez as seguintes medidas para estimar a altura do
maior poste possível. Distante 6 metros do mais baixo galho
de todas as árvores mediu o ângulo de 22º 30’com o chão.
60º
Determine a maior altura de um poste para que não toque o
Q Q
galho mais baixo da árvore. Considere 2 = 1,41.
P1 x 1 − cos x
Pistao Dica use: tg   = ±
 2 1 + cos x
Polia
( II ) 63. Um corredor A está sobre uma reta r e corre sobre ela no
sentido AX. Um corredor B não está em r e, correndo em
58. (UFF) Duas réguas de madeira, MN e PQ , com 8 cm linha reta, pretende alcançar A (Figura). Considere
cada, estão ligadas em suas extremidades por dois fios, BAX = 110º, velocidade de A igual a 8 m/s e velocidade de B
formando o retângulo MNQP (fig. 1). Mantendo-se fixa a igual a 9 m/s. Determine o ângulo que a trajetória de B deve
régua MN e girando-se 180° a régua PQ em torno do seu
° fazer com a reta BA para que o encontro seja possível.
ponto médio, sem alterar os comprimentos dos fios, obtêm-se
dois triângulos congruentes MNO e QPO (fig. 2).
64. (Unb-DF) Os lados de um retângulo medem 25m e 25 3 m.
Os ângulos formados pela interseção das diagonais são:
a) 120º e 60º
b) 150º e 30º
c) 90º e 90º
d) 100º e 80º
e) 110º e 70º
A distância, em cm, entre as duas réguas, nesta nova
posição é:
(A) 10 (C) 5 2 (E) 6
(B) 5 3 (D) 5
6

7. 65. (Cefet-PR) Se na figura abaixo AB mede 9 cm, o segmento 70. (FEI-SP) Na figura abaixo o raio da circunferência maior é o
DF mede, em cm: triplo do raio da menor. A reta s é tangente às duas
circunferências. A reta t é tangente às duas circunferências,
no mesmo ponto.
α 
Quanto vale cos   ?
2
a) 5 b) 4 c) 8 d) 7 e) 6
66. (UFPB) O ângulo, sob o qual um observador vê o topo de
um prédio de 88 m de altura, duplica quando esse observador
se aproxima 110 m do prédio, e triplica quando ele se
aproxima mais 50 m. Neste instante, a distância entre o
observador e o prédio é:
1 1 2 3 2
a) b) c) d) e)
3 2 2 2 3
71. (UFRRJ) Na figura abaixo, sabendo-se que os ângulos  e Ê
são ângulos retos, a área do quadrilátero ACED vale:
a) 50 m b) 22 m c) 176 m d) 16 m e) 18 m
67. (UFMT) Para determinar a altura de um morro, um a) 25,2 cm2
topógrafo adotou o seguinte procedimento: b) 30,5 cm2
• Escolheu dois pontos A e B, situados no mesmo plano vertical c) 40,5 cm2
que passa por C; d) 52,5 cm2
• Mediu a distância AB encontrando 162 m; e) 65,5 cm2
• Com auxílio de um teodolito mediu os ângulos αβeγ,
encontrando, respectivamente, 60º, 90º e 30º.
A figura ilustra o procedimento descrito. Qual altura do morro (h), 72. (UFRRJ) Sendo S1 e S2 as áreas das figuras I e II,
em metros, encontrada pelo topógrafo? respectivamente, podemos afirmar que:
a) S1 = S2
3
b) S1 = S2
4
c) S1 = 3S2
68. (UFRJ) Os ponteiros de um relógio circular medem, do d) S1 = 2 S2
centro às extremidades, 2 metros, o dos minutos, e 1 metro,
4
o das horas. Determine a distância entre as extremidades dos e) S1 = S2
ponteiros quando o relógio marca 4 horas. 3
73. (UERJ) Observe o paralelogramo ABCD.
69. (UFRJ) O retângulo ABCD está inscrito no retângulo WXYZ, 2 2
a) Calcule AC + BD em função de AB = a e BC = b.
como mostra a figura. Sabendo que AB = 2 e AD = 1,
b) Determine a razão entre as áreas dos triângulos ABM e MBC .
determine o ângulo θ para que a área de WXYZ seja a
maior possível.
7

8. 74. (UFF 04) A figura a seguir esquematiza uma situação obtida 77. (UFRJ 1998-2) Um arquiteto projetou um salão
por meio de um sistema de captação e tratamento de quadrangular 10m x 10m. Ele dividiu o salão em dois
imagens, durante uma partida de vôlei. ambientes I e II através de um segmento de reta passando
pelo ponto B e paralelo a uma das diagonais do salão,
conforme mostra a figura a seguir:
A área do ambiente I é a sétima parte da área do ambiente
II. Calcule a distância entre os pontos A e B.
78. (UFF 03) As manifestações da Geometria na natureza vêm
intrigando muitas pessoas ao longo do tempo. Nas
proporções do corpo humano e na forma da concha do
Nos pontos M e N da figura estão localizados dois jogadores que
Nautilus, por exemplo, observa-se a chamada “razão áurea”,
estão olhando para a bola com um ângulo de visada de 30º, em
que pode ser obtida por meio da seguinte construção
relação ao solo. Sabe-se que a distância dos olhos (pontos P e Q)
geométrica:
e
de cada jogador até o solo é igual a 2,0 m PM = QN = 2,0m que j No quadrado PQRS representado na figura abaixo,
considere M o ponto médio do segmento PS. Construa um círculo
e
a distância entre os jogadores é igual a 1,5 m MN = 1,5m j e com centro em M e raio MR, obtendo o ponto T no prolongamento
de PS. O retângulo de lados PT e QP é áureo e a razão entre esses
que cos α =
3
. A distância (h) da bola (representada pelo ponto lados
FG IJ
PT
é a razão áurea. O valor desta razão é:
R)
4
até o chão (h = RT) é:
H K
QP
a) 2,5 m
b) 3,0 m
c) 3,7 m
d) 4,5 m
e) 5,2 m
a) 5 +1
5 +1
b)
75. (UENF-02) A extremidade A de uma planta aquática 2
encontra-se 10 cm acima da superfície da água de um lago
(fig.1). Quando a brisa a faz balançar, essa extremidade toca 5 −1
c)
2
a superfície da água no ponto B, situado a 10 3 cm do local
em que sua projeção ortogonal C, sobre a água, se d) 5 +2
encontrava inicialmente (fig. 2). Considere OA, OB e BC e) 5 +3
segmentos de retas e o arco AB uma trajetória do movimento
da planta. 79. (UFF-01) Unindo-se os pontos médios dos lados de um
hexágono regular de perímetro P, obtém-se um outro
hexágono regular de perímetro p. A razão P/ p é igual a:
a) 3
1
b)
2
2 3
c)
3
3
d)
2
e) 1
Determine:
(A) a profundidade do lago no ponto O em que se encontra
a raiz da planta;
(B) o comprimento, em cm, do arco AB .
76. (UFF 02) Uma folha de papel quadrada tem 2 dm de lado
(figura I). Dobram-se os lados AB e AD da folha, fazendo-os
coincidir com o segmento AG sobre a diagonal AC,
formando-se o triângulo AEF (figura II).
a) Determine a medida de EF.
b) Calcule tg(FÂC).
8

9. 80. (UFF 01) Um pedaço de papel tem a forma do triângulo 84. (UERJ 03/2q) Um barco navega na direção AB, próximo a
eqüilátero PQR, com 7 cm de lado, sendo M o ponto médio do um farol P, conforme a figura abaixo.
lado PR :
Dobra-se o papel de modo que os pontos Q e M coincidam,
conforme ilustrado a seguir.
(Adaptado de BONGIOVANNI, Vincenzo et alii. Matemática e Vida. São Paulo: Ática,
1990.)
No ponto A, o navegador verifica que a reta AP, da
embarcação ao farol, forma um ângulo de 30º com a direção AB.
Após a embarcação percorrer 1.000 m, no ponto B, o navegador
verifica que a reta BP, da embarcação ao farol, forma um ângulo
O perímetro do trapézio PSTR, em cm, é igual a:
de 60º com a mesma direção AB.
a) 9
Seguindo sempre a direção AB, a menor distância entre a
b) 17,5
embarcação e o farol será equivalente, em metros, a:
c) 24,5
a) 500
d) 28
e) 49 b) 500 3
c) 1000
81. (UFRJ 05) Uma roda de 10 cm de diâmetro gira em linha d) 1000 3
reta, sem escorregar, sobre uma superfície lisa e horizontal.
85. (UERJ 01)
Determine o menor número de voltas completas para a roda
percorrer uma distância maior que 10 m.
82. (UFRJ-02) O objetivo desta questão é que você demonstre
a lei dos cossenos. Mais especificamente, considerando o
triângulo da figura abaixo, mostre que
a2 = b2 + c 2 − 2bc ⋅ cos θ ,
C
A figura acima representa um quadrado ABCD e dois triângulos
eqüiláteros equivalentes. Se cada lado desses triângulos mede 2
cm, calcule o lado do quadrado ABCD.
b a
86. (UERJ 04) Considere o ângulo segundo o qual um
observador vê uma torre. Esse ângulo duplica quando ele se
aproxima 160 m e quadruplica quando ele se aproxima mais
θ
c 100 m, como mostra o esquema abaixo.
A B
83. (UER 03/2q) José deseja construir, com tijolos, um muro de
jardim com a forma de uma espiral de dois centros, como
mostra a figura abaixo.
A altura da torre, em metros, equivale a:
(A) 96
(B) 98
(C) 100
(D) 102
Para construir esta espiral, escolheu dois pontos que distam 1
metro um do outro. A espiral tem 4 meias-voltas e cada tijolo
mede 30 cm de comprimento. Considerando π = 3, o número de
tijolos necessários para fazer a espiral é:
(A) 100
(B) 110
(C) 120
(D) 130
9

10. 1.2.2 Triângulos Particulares
1. Áreas
1.1 Quadriláteros Triângulos Retângulos
Quadrados A C
c b a
h b
L
B C
a A c B
L
Área: a⋅h Área: b⋅c
Área: L2
Retângulos Triângulos Equiláteros
Altura (h)
L L L 3
h L h=
h 2
Base (B)
Área: B⋅h
⋅
Paralelogramos L L
2
L2 3
Área:
Altura (h) h 4
=
1.3 Triângulos Inscritos
Base (b) b
Área é igual a área do retângulo. ∴Área: B⋅h
⋅
A
c
Trapézios B
b ha
Base (b) a
b B
D O
1 C
x
h = 2 h
Base (B) B b E
Área é igual a área do paralelogramo. ∴Área: B⋅h
⋅ a ⋅ ha
A ABC =
2
Losangos
ha b
Como ∆ADC ~ ∆ABE, ⇒ =
c 2R
D D b⋅c a⋅b ⋅c
2
⇒ ha = . Logo A ABC =
2 2R 4R
D = = a⋅b⋅ c
d A ABC =
4R
d d 1.4 Triângulos Circunscritos
D⋅d
Área: A
2
1.2 Triláteros
Triângulos r b
c r O
1 r
= x
2
B a C
Área é igual a metade da área de um paralelogramo. A ABC = ABOC + A AOC + A AOB
b⋅h
Área: a ⋅ r b ⋅ r c ⋅ r (a + b + c) ⋅ r
2 A ABC = + + =
2 2 2 2
1.2.2 Fórmula trigonométrica
(a + b + c)
Como p= ∴ A ABC = p ⋅ r
2
A
1.5 Fórmula de Heron
c b ˆ
h ˆ a ⋅ c ⋅ senB
h = c.senB ⇒ Área:
2 A = p ( p − a ) ( p − b )( p − c )
B C
a
10

11. 1.6 Polígonos Regulares Convexos Segmento Circular
L
h
L L a
r
C1
L a L
Área: Área do setor – Área do triângulo isósceles
L
S=
⋅r r ⋅h r
− =
( −h )
Área = p⋅a 2 2 2
Aplicações: A fórmula da área dos polígonos regulares convexos Expressão trigonométrica da área do segmento
S = p⋅a, tem três aplicações:
r ( − r ⋅ senα )
Como h = r ⋅ senα ⇒ S =
(i) Cálculo da área em função do lado; 2
(ii) Cálculo da área em função do raio; Coroa Circular
(iii) Cálculo da área em função do apótema;
R 3 3L2 3
Ex1. No caso do hexágono regular, p=3L e a = ∴S =
2 2
Ex2. No caso do decágono regular, temos:
p = 5L = 5 ⋅
R ( 5 −1 )
2 C2 C1
R 10 + 2 5 5R 2 10 − 2 5
a= ∴S =
4 4 π (R 2 − r 2 )
Área:
2
1.6.1 Expressão trigonométrica da área dos polígonos
regulares Trapézio circular
Temos a fórmula:
S = p⋅a (1)
Supondo n o número de lados do polígono, sabemos que r
(ver 7.3)
180
L n = 2R ⋅ sen
n
donde, C2 C1
n ⋅ 2R ⋅ sen 180 ( 2 ) = nR ⋅ sen 180
p=
2 n (2) π (R 2 − r 2 ) α
e,
Área:
360°
(α em graus )
180 1.8 Relação entre as áreas de polígonos semelhantes
an = R cos
n B
Substituindo (2) e (3) em (1), temos para um polígono B'
regular de n lados , a fórmula geral: C C'
 180   180 
Sn = n ⋅ R 2 ⋅  sen  ⋅  cos  A A'
 n   n 
1.7 Círculos D'
D E'
E
As áreas de duas figuras planas semelhantes são
proporcionais ao quadrado da ração de semelhança.
S
r = r2
S'
O
O resultado vale para quaisquer figuras planas
C1 semelhantes, todavia vamos demonstrar aqui somente o caso
particular referente aos polígonos semelhantes.
Área: π r2 Dem.: Observemos inicialmente que todo polígono pode ser
Setor Circular decomposto em triângulos. Portanto, basta demonstrarmos o
resultado somente para triângulos.
a b c h
Seja r = = = =
a' b' c ' h'
a Pela fórmula da área do triângulo a razão entre as áreas
r S e S’ é dada por:
b⋅h
S b⋅h b h
C1 = 2 = = ⋅ = r2
S ' b '⋅ h ' b '⋅ h ' b ' h '
2
απ r2 απ r r ⋅r
Área:
360
=
180
⋅
2
=
2
(α em graus )
Portanto,
S 2
=r .
S'
11

12. 1.8.1 O Teorema de Pitágoras Exercícios
A área do quadrado construído sobre a hipotenusa de 1. (PUC) Se E é o ponto médio do lado AB do quadrado ABCD
um triângulo retângulo é equivalente a soma das áreas dos da figura abaixo, e se AB = 12, então a área do triângulo BDE
quadrados construídos sobre os catetos. vale:
A E B
S
2
S
b c 3
D C
a a) 30 b) 32 c) 34 d) 36 e) 38
2. (UNI-RIO) Uma fábrica quer imprimir o seu logotipo em
todas as folhas de papel que usa, conforme o modelo abaixo,
S no qual as medidas estão expressas em centímetros. A área
1 do papel ocupada pelo logotipo será de:
1 2
1
S1 = S2 + S3
4
Generalização. Se, sobre os lados do um triângulo retângulo
constroem-se figuras semelhantes, a área figura construída sobre 1
a hipotenusa é equivalente a soma das áreas das outras duas
figuras. 1
2
1
S
2 1 1 1
S
b c 3
a) 15 cm2 d) 18 cm2
a b) 16 cm2 e) 19 cm2
c) 17 cm2
S
1 3. (UNI-RIO) Uma placa de cerâmica com uma decoração
simétrica, cujo desenho está na figura acima, é usada apara
revestir a parede de um banheiro. Sabendo-se que cada placa
é um quadrado de 30 cm de lado, a área da região hachurada
é:
Dem.: De acordo com as relações entre as áreas, temos:
S 2 b2 S3 c2
= =
2
S1 a S1 a2
Somando, membro a membro, temos:
S2 + S3 b 2 + c 2
=
S1 a2
5cm
S 2 + S 3 b2 + c 2 a2
como a2 = b2 + c 2 ⇒ = = =1 a) 900 − 125π
S1 a2 a2
∴ S1 = S2 + S3 b) 900 ( 4 − π )
c) 500π − 900
Exemplo Resolvido d) 500π − 225
Construindo-se semicircunferências sobre os lados de
e) 225 ( 4 − π )
um triângulo retângulo, a soma das áreas de duas lúnulas é igual
a área do triângulo.
4. (UNIFICADO) ABCD é um paralelogramo e M é o ponto
Pelo que acabamos de ver S1 = S2 + S3 . Denotemos por médio do lado AB. As retas CM e BD dividem o paralelogramo
em quatro partes. Se a área do paralelogramo é 24, as áreas
ST a área do triângulo.
de I, II, III e IV são, respectivamente, iguais a:
Vamos dar um a demonstração visual:
a) 10, 8, 4 e 2.
b) 10, 9, 3 e 2.
L1 c) 12, 6, 4 e 2.
S d) 16, 4, 3 e 1.
2 S L2
3 e) 17, 4, 2 e 1.
ST D C
II
( S2 + S3 ) + S T ( S2 + S3 ) + St − S1 = I
III
S1 + S t − S1 = IV
St A M B
12

13. d
5. (UFF) Considere uma folha de papel em forma de retângulo
RSTU, como na figura 1. São feitas, sucessivamente, 2 dobras c
b
nessa folha. A primeira é feita de modo que o ponto S caia a
sobre o segmento MN, sendo M e N, respectivamente, pontos
médios de RS e UT, de acordo com a figura 2. A Segunda é
feita de modo que o ponto P também caia sobre o segmento
MN, conforme figura 3.
12cm
R S R M R M
a) Determine as medidas dos ângulos a, b, c, e d.
S P b) Calcule a razão entre a área sombreada e a área do
1ª 2ª quadrado.
dobra dobra
P
30cm
Q 9. (PUC) Um pentágono é formado de um quadrado e de um
triângulo isósceles de base coincidente com um lado do
quadrado. Sabendo que o perímetro do pentágono é 140dm e
o lado do triângulo é 5/6 do lado do quadrado calcule a área
do pentágono.
U T U N T U N T
A área do triângulo MPQ é: 10. (UERJ) Observe a figura abaixo (ABCD), que sugere um
a) 18 2 cm2 b) 30 cm2 quadrado de lado a, onde M e N são respectivamente os
pontos médios dos segmentos CD e AD, e F a interseção dos
c) 45 cm2 d) 36 2 cm2 segmentos AM e BN. Utilizando os dados resolva os itens a e
e) 45 3 cm 2 b.
D M C
6. (UERJ 03) Uma folha de papel retangular, como a da figura
1, de dimensões 8cm x 14cm, é dobrada como indicado na
figura 2.
N a
F
A B
a) Demonstra que o ângulo AFN é reto.
b) Calcule a área do triângulo AFN em função de a.
Se o comprimento CE é 8 cm, a área do polígono ADCEB, 11. (PUC) Os pontos A, B, C, D, E, E dividem em seis partes
em cm2, é igual a: iguais o círculo de raio R. Determine a área achurada.
(A) 112 (B) 88 (C) 64 (D) 24 A
7. (CESGRANRIO) A reta EF, inclinada 30º relativamente ao F B
lado DC, divide o quadrado ABCD da figura em dois trapézios
de mesma área.
A B
E C
F
D
12. (FUVEST) Na figura são dados: AB = BC = CD = DE = 1 e
E EF = FG = 2. Calcule a área hachurada.
30º D C
DE
Então a razão é igual a : C
AE A G
B D E F
3− 3 2− 3
a) 6 b) 2
3−2 3 2− 3
c) 3 d) 2 13. (UFRJ) A figura ao lado mostra dois arcos de circunferência
de centro O, raios R e 2R, e três ângulos iguais. Calcule a
3
razão entre as áreas das regiões hachuradas e não
e) 6 hachuradas.
8. (UFRJ) Um pedaço de papel quadrado é dobrado duas vezes
de forma que dois lados adjacentes se sobreponham sobre a
diagonal correspondente. Ao desdobrarmos o papel, vemos
os quatro ângulos assinalados na figura.
13

14. 14. (PUC) Calcule a área da região limitada pela circunferência 19. (UFF) A figura representa uma circunferência de raio 2cm.
de raio r e pelas tangentes à circunferência. Sabendo que os segmentos congruentes PM e QN são
B perpendiculares ao diâmetro AB e que a medida de OM é 1cm
determine a área da região assinalada.
P Q
O
P
60º A
A B
M N O
15. (ASSOCIADO) Na figura abaixo, os três círculos têm raio 1 e
são tangentes dois a dois. Calcule a área delimitada pelos
arcos AB, BC e CA.
A
20. (UFRJ)
4cm
C B
2 2 cm
45º
16. (UENF) Considere o teorema de Pitágoras: em todo triângulo 13cm
retângulo , a soma dos quadrados das medidas dos catetos é Calcule a área e a altura do trapézio representado acima.
igual ao quadrado da medida da hipotenusa. Observe a figura
abaixo, onde as indicações com os traços determinam os (UFRJ 03) Na figura abaixo, os círculos C1, C2 e C3 estão
lados que têm as mesmas medidas: inscritos nos quadrados ABCD, DEFG e GHIA, respectivamente.
Sabendo-se que o ângulo AGˆD é reto e que a área de C1 é igual
a 1, calcule a soma das áreas de C2 e de C3.
T3
T1
T2
Baseando-se no teorema de Pitágoras, demonstre que a soma das
áreas dos triângulos T1 e T2 é igual a área do triângulo T3.
17. (UFRJ) O retângulo ABCD, da figura abaixo, está subdividido
em 100 quadrados elementares iguais.
21. (UFRJ 04) A figura a seguir representa a planta de um
terreno plano, em forma de pentágono convexo, de lados
40m, 50m, 35m, 45m, e 40m. em toda volta deste terreno foi
construída uma calçada de 2m de largura (ou seja: a
distância de qualquer ponto da borda desta calçada ao
Determine a área sombreada correspondente as letras da sigla
terreno é exatamente 2m)
UFRJ se:
a) a área da letra U é a unidade de área.
b) A área do retângulo ABCD é igual a uma unidade de área.
18. (UFRJ) No círculo abaixo, a figura é formada a partir de
semicircunferências e AC = CD = DE = EB. Determine S1/S2,
a razão entre as áreas hachuradas.
S
2
Determine a área total da calçada.
A B
C D E
S
1
14

15. (UERJ-2003) O logotipo de uma empresa é formado por duas 90. (UFF 01) As circunferências de centro O e O’ possuem,
circunferências concêntricas e tangentes a uma elipse, como ambas, 1cm de raio e se interceptam nos pontos P e P’,
mostra a figura abaixo. A elipse tem excentricidade 0,6 e seu eixo conforme mostra a figura.
menor mede 8 unidades. A área da região por ela limitada é dada
por πab, em que a e b são as medidas dos deus semi-eixos.
Calcule a área da região definida pela cor cinza.
Determine a área da região hachurada.
91. (UFF 97) Determine a área da região hachurada na
figura abaixo, sabendo que todas as circunferências têm raio
r.
87. (UFF 01) Para a encenação de uma peça teatral, os
patrocinadores financiaram a construção de uma arena
circular com 10 m de raio. O palco ocupará a região
representada pela parte hachurada na figura a seguir:
Se O indica o centro da arena e se h mede 5m, então, a
área do palco, em m2 , vale:
(UERJ 04) Na tirinha abaixo, considere A1 a área inscrita na
75 3 + 50π circunferência que representa o acelerador americano e A2 a área
a)
3 inscrita naquela que representa o suíço. Observe que A1 é menor
do que A2.
25 3π
b)
2
50 2 + π
c)
2
5 2 + 10π
d)
3
e) 100π
88. (UFF 02) Os lados MQ e NP do quadrado MQPN estão
divididos em três partes iguais, medindo 1cm cada um dos
segmentos MU, UT,TQ, NR, RS e SP. Unindo-se os pontos N e
T, R e Q, S e M, P e U por segmentos de reta, obtém-se a
(Adaptado de CARUSO, F. & DAOU, L. Tirinhas de física, vol. 6. Rio de Janeiro, 2002.)
figura:
De acordo com os dados da tirinha, a razão
N R S P A1
corresponde, aproximadamente, a:
A2
(A) 0,167 (B) 0,060 (C) 0,046 (D) 0,023
92. (UERJ 01/2q) Um fertilizante de larga utilização é o nitrato
de amônio, de fórmula NH4NO3 . Para uma determinada
cultura, o fabricante recomenda a aplicação de 1 L de solução
de nitrato de amônio de concentração 0,5mol ⋅ L−1 por m2 de
M U T Q plantação. A figura abaixo indica as dimensões do terreno que
Calcule a área da região sombreada na figura acima. o agricultor utilizará para o plantio.
89. (UFF) Na figura abaixo, as retas r e s são paralelas, distando
30 cm uma da outra e a reta t é perpendicular às duas,
distando 25 cm do ponto M.
A massa de nitrato de amônio, em quilogramas, que o
Determine a área do retângulo MNPQ em função de α agricultor deverá empregar para fertilizar sua cultura, de acordo
(0 < α < 45º). com a recomendação do fabricante, é igual a:
(A) 120
(B) 150
(C) 180
(D) 200
15