GEOMETRIA PLANA CONCEITOS E EXERCÍCIOS

Matemática
GEOMETRIA PLANA
Professor Dudan

Geometria Plana
Ângulo é a região de um plano concebida pelo encontro de duas semirretas que
possuem uma origem em comum, chamada vértice do ângulo .
A unidade usual de medida de ângulo, de acordo com o sistema internacional de
medidas, é o grau, representado pelo símbolo °, e seus submúltiplos são o minuto ’
e o segundo ”.
Temos que 1º (grau) equivale a 60’ (minutos) e 1’ equivale a 60”(segundos).
Ângulos

Tipos de Ângulo
• Ângulos Complementares: dois ângulos são complementares se a
soma de suas medidas é igual a 90°. Neste caso, cada um é o
complemento do outro.
Na ilustração temos que:
α + β = 90°
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• Ângulos Suplementares: dois ângulos são Suplementares quando a
suplemento do outro.
α + β = 180°
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• Ângulos Replementares: dois ângulos são replementares quando a
replemento do outro.
α + β = 360º
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• Exemplo: Assinale V para verdadeiro e F para falso nas sentenças
abaixo
( ) 80º e 10º são suplementares.
( ) 30º e 70º são complementares.
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Ângulos de um Polígono
A soma dos ângulos internos de qualquer polígono depende do número de lados (n),
sendo usada a seguinte expressão para o cálculo:
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Diagonais de um polígono
Diagonal de um polígono é o segmento de reta que liga um vértice
ao outro, passando pelo interior da figura. O número de diagonais
de um polígono depende do número de lados (n) e pode ser
calculado pela expressão:
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Exemplo:
Dada a figura abaixo , analise as sentenças
I. O triângulo CDE é isósceles.
II. O triângulo ABE é equilátero.
III. AE é bissetriz do ângulo BÂD.
é verdade que
(A) somente a I é falsa.
(B) somente a II é falsa.
(C) somente a III é falsa.
(D) são todas falsas.
(E) são todas verdadeiras.
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O teorema de Pitágoras é uma relação matemática entre os comprimentos dos lados
de qualquer triângulo retângulo.
Na geometria euclidiana, o teorema afirma que:
“Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado do comprimento da hipotenusa é igual
à soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos.”
Por definição, a hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto, e os catetos são os dois
lados que o formam.
Assim podemos equacionar
Teorema de Pitágoras
Geometria Plana

Exemplo
Calcule o valor do segmento desconhecido no triângulo retângulo a
seguir.
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Existem alguns tipos especiais de triângulos retângulos cujos lados são
proporcionais a:
Triângulos Retângulos PITAGÓRICOS
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Exemplo
Roberto irá cercar uma parte de seu terreno para fazer um canil. Como ele tem um
alambrado de 10 metros, decidiu aproveitar o canto murado de seu terreno (em
ângulo reto) e fechar essa área triangular esticando todo o alambrado, sem sobra.
Se ele utilizou 6 metros de um muro, do outro muro ele irá utilizar, em metros.
(A) 7.
(B) 5.
(C) 8.
(D) 6.
(E) 9.
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Triângulo é uma figura geométrica formada por três retas que se
encontram duas a duas e não passam pelo mesmo ponto,
formando três lados e três ângulos.
Para fazer o cálculo do perímetro de um triângulo basta fazer a
soma da medida de todos os lados.
A soma dos ângulos internos é sempre 180°.
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• Observando o triângulo podemos identificar alguns de seus
elementos:
A, B e C são os vértices.
Os lados dos triângulos são simbolizados pelas letras a, b e c.
Os triângulos ele tem 3 lados, consequentemente, 3 ângulos.
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• Quanto à medida do seu lado
Triângulo Equilátero: apresenta os três lados com a mesma medida.
Triângulo Isósceles: apresenta dois lados com a mesma medida.
Triângulo Escaleno: apresenta os três lados com medidas diferentes, ou
seja, três lados de tamanhos diferentes.
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• Quanto à medida dos ângulos
Triângulo Acutângulo: apresenta os três ângulos internos menores agudos.
Triângulo Obtusângulo: apresenta ângulo interno maior que 90º ou obtuso.
Triângulo Retângulo: apresenta um ângulo interno reto ou de 90o.
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TRIÂNGULO RETÂNGULO
Geometria Plana

A área de um triângulo é a metade do produto da medida da sua altura pela medida
da sua base. Assim, a área do triângulo pode ser calculada pela fórmula:
onde h é a altura do triângulo, b a medida da base.
Área de Triângulos
Geometria Plana

Exemplo
Determinar a área do triângulo a seguir considerando que a sua base mede 23
metros e a altura 12 metros.
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Exemplo
A área do triângulo sombreado da figura abaixo é
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TRIGONOMETRIA
no
TRIÂNGULO RETÂNGULO
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Composição do Triângulo Retângulo
• Catetos: correspondem aos lados que compõem o ângulo
reto, formada por dois catetos: adjacente e oposto.
• Hipotenusa: lado oposto ao ângulo reto considerado o
maior lado do triângulo retângulo.
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Relações Trigonométricas
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PRINCIPAIS ÂNGULOS
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Casos Especiais
Caso : “Coisa” , “2Coisa” e “Coisa
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Caso : Triangulo Retângulo Isósceles
Casos Especiais
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Exemplo
Considerando o triângulo retângulo ABC da figura, determine
as medidas a e b indicadas.
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Exemplo
Encontre os valores de x e y nos triângulos retângulos abaixo.
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Exemplo
No triângulo retângulo da figura abaixo, determine as medidas de x e y indicadas .
(Use: sen 65° = 0,91; cos 65° = 0,42 ; tg 65° = 2,14)
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Exemplo
Uma escada de 2m de comprimento está apoiada no chão e em uma parede vertical.
Se a escada faz 30° com a horizontal, a distância do topo da escada ao chão é de:
(A) 0,5 m
(B) 1 m
(C) 1,5 m
(D) 1,7 m
(E) 2 m
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QUADRILÁTEROS
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Um quadrilátero é um polígono de quatro lados.
Em geral, um quadrilátero será uma figura geométrica
limitada por quatro lados, todos diferentes e que formam
entre si quatro ângulos internos também diferentes.
Em qualquer caso, a soma dos valores dos ângulos internos
de um quadrilátero é sempre 360°.
Quadriláteros
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Algumas Propriedades dos quadriláteros:
1. A soma dos seus ângulos internos é 360°.
2. A soma dos seus ângulos externos é 360°.
3. Todos os quadriláteros apresentam 2 diagonais.
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Exemplo
Determine a medida dos ângulos indicados:
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Os quadriláteros classificam-se em paralelogramos e trapézios.
Paralelogramos : são quadrilátero de lados opostos paralelos.
Exemplos:
Retângulo - Paralelogramo em que todos os ângulos são retos. O
retângulo cujos lados são congruentes chama-se quadrado.
Quadrado- Retângulo cujos lados tem medidas iguais.
Losango, paralelogramo.
Classificação
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Exemplo
Observe os paralelogramos e, considerando as propriedades estudadas, determine:
a) MN e NP b) x e y

Trapézios: são quadrilátero que tem dois e só dois lados opostos paralelos.
Exemplos:
Trapézio Escaleno: tem todos os lados de medidas distintas.
Trapézio Retângulo: tem dois ângulos retos.
Trapézio Isósceles: tem os lados não paralelos com a mesma medida.

Principais Quadriláteros
Trapézio
Características:
Apresenta 2 lados paralelos apenas.
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Paralelogramo
Características:
Lados paralelos congruentes, ângulos opostos congruentes.
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Losango
Características:
Lados paralelos congruentes, todos os lados de mesma medida,
ângulos opostos congruentes, diagonais cortam-se nos seus pontos
médios e são perpendiculares entre si.
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Retângulo
Características:
Todos os ângulos internos são retos, lados paralelos congruentes,
diagonais de mesma medida e que se cortam nos seus pontos médios.
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Quadrado
Características:
Todos os ângulos internos são retos, lados paralelos congruentes, todos
os lados de mesma medida, diagonais de mesma medida,
perpendiculares entre si e que se cortam nos seus pontos médios.
Geometria Plana

Exemplo
O perímetro e a área da sala representada na figura valem:
(A) 20m e 15 m2
(B) 18m e 17 m2
(C) 20 m e 19 m2
(D) 20m e 20 m2
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De acordo com a Geometria Euclidiana, circunferência é o espaço
geométrico de uma região circular que compreende todos os pontos de
um plano, localizados a uma determinada distância, denominada raio,
de um ponto chamado centro. Podemos definir o círculo como a região
interna da circunferência. A circunferência limita o círculo, observe a
ilustração a seguir:
DEFINIÇÃO
Geometria Plana

A circunferência e o círculo possuem um elemento denominado
diâmetro, que constitui em um segmento que passa pelo centro da
figura. Outro segmento importante pertencente às duas figuras é o raio,
que corresponde à metade do diâmetro. Observe a figura:
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E O FAMOSO π ?
• E o famoso valor
Há duas interpretações distintas quanto ao valor do π:
Como constante matemática,costumamos definir PI como sendo a
razão entre a circunferência e o diâmetro de um circulo, ou seja vale
aproximadamente 3,14.
Agora quando trabalhamos com ângulos, temos a seguinte relação:
• π rad = 180°
Geometria Plana

1 – CÍRCULO / CIRCUNFERÊNCIA
Geometria Plana

Exemplo
Calcule o valor da área e do perímetro dos círculos abaixo:
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2 – SETOR CIRCULAR
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3 – COROA CIRCULAR
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Exemplo
Determine a área da coroa circular da figura a seguir, considerando o raio da
circunferência maior igual a 10 metros e raio da circunferência menor igual a 8
metros.
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Definição
• O perímetro é a medida do contorno de um objeto bidimensional, ou
seja, a soma de todos os lados de uma figura geométrica.
• Imagine a seguinte situação: Um fazendeiro quer descobrir quantos
metros de arame serão gastos para cercar um terreno de pastagem
com formato retangular. Como ele deveria proceder para chegar a uma
conclusão? De maneira bem intuitiva, concluímos que ele precisa
determinar as medidas de cada lado do terreno e então, somá-las,
obtendo o quanto seria gasto. A esse procedimento damos o nome de
perímetro.
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1 – TRIÂNGULO RETÂNGULO
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2 – TRIÂNGULO EQUILÁTERO
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3 – QUADRADO
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4 - RETÂNGULO
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ÀREA
• Área é um conceito matemático que pode ser definida
como quantidade de espaço bidimensional, ou seja, de
superfície.
Existem várias unidades de medida de área, sendo a mais
utilizada o metro quadrado (m²) e os seus múltiplos e sub-
múltiplos.
• Para não haver erro , lembre-se: “Área é o que eu posso
pintar”
Geometria Plana

Cuidado!
Primeiro, faremos um exemplo conhecendo as medidas do retângulo, depois
faremos a generalização.
Considere o retângulo
Sua área será de:
A1 = 10 x 3 = 30 cm2
Agora, vamos duplicar as medidas dos lados.
A área desse novo retângulo será de A2 = 20 x 6 = 120 cm2
Observe que ao dobrar as medidas dos lados do retângulo sua área mais que dobrou,
na verdade quadruplicou.

Exemplo
No desenho abaixo, uma cruz é formada por cinco quadrados de lado 1
justapostos.
A área do quadrado ABCD é:
(A) 4.
(B) 5.
(C) 6.
(D) 7.
(E) 8.
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Exemplo
Seja o octógono EFGHIJKL inscrito num quadrado de 12cm de lado,
conforme mostra a figura a seguir. Se cada lado do quadrado está
dividido pelos pontos assinalados em segmentos congruentes entre si,
então a área do octógono, em centímetros quadrados, é:
(A) 98.
(B) 102.
(C) 108.
(D) 112.
(E) 120.
Geometria Plana

O desnível entre a calçada e a garagem da residência de Pablo é de 1,5m.
Sabe-se que a rampa de acesso da calçada para a garagem possui inclinação de
30° com a horizontal. O comprimento dessa rampa mede:
(Dados: sem 30° = 0,5 , cós 30/ = 0,86, tg 30° = 0,58)
A)1,75 m aproximadamente.
B)2m.
C) 3m.
D) 3,45 m aproximadamente.
E)4m.
POLÍCIA MILITAR/RS - 2014

Um jardim em formato circular medindo 4m de diâmetro foi construído no
centro de uma praça. Qual é a área, em m², esse jardim? Utilize o valor de
π=3,14.
A) 12,56.
B) 24,12.
C) 32,48.
D) 40,82.
E) 50,24.
PREF DE LIBERATO SALZANO/RS - 2015

O perímetro de um retângulo é de 2.040m. A medida de um lado desse
retângulo é um quarto da medida do outro lado.
As dimensões desse retângulo é:
A) 51m e 102m.
B)50m e 200m.
C) 153m e 612m.
D)102m e 408m.
E)204m e 816m.
PREF DE FOZ OD IGUAÇU/PR- 2016

GABARITOS
Questões FUNDATECE : C-A-E

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