1. APOSTILA DE
GEOMETRIA PLANA
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
2014

2. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
(01) Se o segmento ̅̅̅̅ mede 17 cm, determine o valor de x nos casos:
Solução
AP = x
PB = 7
AP + PB = 17
x + 7 = 17
x = 10 cm
Solução
PB = x
AB = 17
AP = 21
AB = AP – PB
17 = 21 – x
x = 4 cm
Solução
x+3+x = 17
Solução
2x=17-3
AP – BP = AB
2x=14
2x – (x-3) = 17
x = 7 cm
2x – x + 3 = 17
x =14
(02) Determine x, sendo M ponto médio de ̅̅̅̅.
1

3. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
Solução
̅̅̅̅̅
Solução
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
𝐴𝑀
̅̅̅̅̅
𝑀𝐵
𝑥
9
𝑥
𝒙
𝟔
(03) Determine PQ, sendo AB = 31.
Solução
Solução
𝐴𝐵
𝑥
𝑥
𝑃𝑄
𝑥
𝑃𝑄
(
𝑷𝑸
)
(
𝟑𝟐
)
9
2

4. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
(04) Determine AB, sendo M ponto médio de ̅̅̅̅
Solução
𝐴𝑀
𝐴𝑃
𝑀𝐵
𝑥
(𝑥
𝑥
𝑥
𝑥
7
𝑀𝐵
𝑥
𝐴𝑀
8
𝑀𝐵
𝑀𝐵
8
𝑀𝐵
𝑀𝐵
𝑥
𝒙
(𝐴𝑀
7)
𝑥
𝟏𝟐
𝐴𝐵
𝐴𝑀
𝐴𝐵
𝑥
𝐴𝐵
𝑀𝐵)
𝑀𝐵
𝑥
𝑥
𝐴𝐵
𝐴𝐵
6
𝑨𝑩
𝟐𝟒
(05) O segmento ̅̅̅̅ de uma reta é igual ao quíntuplo do segmento ̅̅̅̅ dessa mesma
reta. Determine a medida do segmento ̅̅̅̅, considerando como unidade de medida a
quinta parte do segmento ̅̅̅̅.
Solução
3

5. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
AB = 5CD
AB=?
̅̅̅̅
(06) P, A e B são três pontos distintos de uma reta. Se P está entre A e B, que
relação deve ser válida entre os segmentos ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅?
Solução
Observando a figura, notamos que:
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
(07) P, Q e R são três pontos distintos de uma reta. Se ̅̅̅̅ é igual ao triplo de
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ = 32 cm, determine as medidas dos segmentos ̅̅̅̅ ̅̅̅̅.
Solução
Temos duas possibilidades:
(1º) Q está entre P e R:
4

6. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
(2º) R está entre P e Q:
𝑥
𝑥 →
𝑸𝑹
→ 𝒙
𝟏𝟔
𝟏𝟔
𝑃𝑄
𝑥
𝑥
𝑷𝑸
𝟒𝟖𝑃𝑄
𝑷𝑸
𝑥→
𝟐𝟒
(07) Os segmentos ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ são adjacentes, de tal maneira que ̅̅̅̅ é o triplo
de ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ é o dobro de ̅̅̅̅ AD = 36 cm. Determine as medidas dos segmentos
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅.
Solução
De acordo com o enunciado da questão, temos:
6
6
8
7
9
7
8
5

7. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
8
Resposta: ̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
.
(08) Sejam P, A, Q e B pontos dispostos sobre uma reta, nessa ordem. Se ̅̅̅̅
são segmentos congruentes, mostre que ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ são congruentes.
̅̅̅̅̅
Solução
( )
( )
Comparando (1) com (2), concluímos que ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ são congruentes.
(09) Se A, B e C são pontos colineares, determine AC, sendo AB = 20 cm e BC = 12
cm.
Solução
6

8. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
AC = x
AC = AB + BC
AC = 20+12
AC = 32 cm
x + 12 = 20
x =20 – 12
x=8
x = AC = 8 cm
(10) ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ são dois segmentos adjacentes. Se ̅̅̅̅ é quíntuplo de ̅̅̅̅ e AC = 42 cm,
determine AB e BC.
Solução
6
7
(11) Sendo ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ segmentos colineares consecutivos, ̅̅̅̅ o quádruplo de ̅̅̅̅ e ̅̅̅̅ =
45 cm, determine AB e BC.
Solução
7

9. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
AB = 4x
BC = x
4x + x = 45
5x = 45
x = 9
AB = 4x
AB = 4.9
AB = 36 cm
AB = 4x
BC = x
45 + x = 4x
3x = 45
x = 15
𝑩𝑪
𝟏𝟓 𝒄𝒎
AB = 4x
AB = 4.15
AB = 60 cm
Resposta: AB = 36 cm e BC = 9 cm ou AB = 60 cm BC = 15 cm.
(12) Numa reta r, tomemos os segmentos ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ e um ponto P de modo que ̅̅̅̅ seja
o quíntuplo de ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ seja o quádruplo de ̅̅̅̅ e AP = 80 cm. Sendo M e N os pontos
médios de ̅̅̅̅ ̅̅̅̅, respectivamente, determine MN.
Solução
8

10. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
BP = 80 – 5x (1)
AB = 5x  AB = 5.10
Como:
BP = 4x – x
AB = 50
BN = BC/2  BN = 40/2  BN =
20
BP = 3x (2)
Como:
Fazendo: (1) = (2)
MB = AB/2  MB = 50 ÷ 2
80 – 5x = 3x
x = 10
MN = 45 cm
MB = 25
8x = 80
𝑷𝑪
𝟏𝟎
MN = MB + BN  MN = 25 + 20
Como:
BC = 4x  BC = 4.10
BC = 40
5x + 4x + x = 80
10x = 80
x =
8
BC = 4x
AC = AP - CP
BC = 4.8
AC = 80 – 8
BC = 32
𝑩𝑵
𝟏𝟔
AC = 72
AB = 5x
MN = MB + BN
AB = 5.8
MN = 20 + 16
AB = 40
𝑴𝑩
𝟐𝟎
MN = 36
9

11. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
AB = 5 x
AC + CP = 80
PM + MB = PB
AB = 5.40
AC + CP = x + x
AB = 200
AC + CP = 2x
PM + 100 = 120
AM = 𝑴𝑩 100
PB = 3x
80 = 2x
PB = 3.40
x = 40
PB = 120
PM = 20
MN = PB – MB
MN = 120 – 100
MN = 20
Resposta: MN = 45 ou MN = 36 ou MN = 20.
(13) Se o
é isósceles de base BC, determine x:
AB = 2x – 7; AC x + 5.
Solução:
2x-7 = x+5
2x-x = 5+7
x = 12
(14) O triângulo ABC é equilátero. Determine x e y.
AB = 15-y; BC = 2x-7 e AC = 9
10

12. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
Solução
2x-7 = 9
15-y = 9
2x = 16
y = 15-9
x = 8
y = 6
é isósceles de base ̅̅̅̅, determine BC.
(15) Se o
AB = 3x-10; BC = 2x+4 e AC = x+4.
Solução
3x-10 = x+4
Como:
2x = 14
BC = 2x+4
x=7
BC = 2.7+4
BC = 18.
(16) Se o
̂
é isósceles de base BC, determine x.
e ̂
Solução
No triângulo isósceles os ângulos da base são
congruentes (iguais):
𝐵≡ 𝐶
𝑥
𝑥
𝒙
𝟐𝟎
11

13. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
é isósceles de base ̅̅̅̅, determine x.
(17) Se o
̂
̂
.
Solução
x+30° = 2x-20°
2x-x = 30°+20°
x = 50°
(18) Se o
é isósceles de base BC, determine x e y.
Solução
𝑥
𝑥
𝑥
𝒙
𝑥
𝟗𝟓
Como:
𝑦
𝑥
𝑦
9
𝑦
𝒚
8
8
8
𝟒𝟎
(19) Determine x e y, sabendo que o triângulo ABC é equilátero.
(a)
Solução
2x+ 1 = 3x-3
3x-2x =1+3
y = 2x+1
x = 4
y = 2.4+1
y = 9
12

14. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
(b)
Solução
x+y = x+3
Como:
y = x-x+3
x+3 = y+4
y = 3
x+3 = 3+4
x = 4
(20) Se o perímetro de um triângulo equilátero é de 75 cm, quanto mede cada ado.
Solução
Como os três lados são iguais, devemos ter:
7
÷
(21) Se o perímetro de um triângulo isósceles é de 100 m e a base mede 40 m,
quanto mede cada um dos outros lados?
(22) Determine o perímetro do triângulo ABC nos casos abaixo:
(a) Triângulo equilátero com AB = x+2y, AC = 2x-y e BC = x+y+3.
13

15. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
(b) Triângulo isósceles de base BC com AB = 2x + 3, AC = 3x – 3 e BC = x + 3.
Solução
(23) Num triângulo isósceles, o semiperímetro vale 7,5 m. Calcule os lados desse
triângulo, sabendo que a soma dos lados congruentes é o quádruplo da base.
Solução
14

16. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
Resposta: Os lados são: 3m, 6m e 6 m.
(24) Considere as retas r, s, t, u, todas num mesmo plano, com r
graus de (2x+3y) é:
(a) 64°
(b) 500°
(c) 520°
(d) 660°
u. O valor em
(e) 580°
Solução
15

17. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
Observe que:
z + 120°= 180° (z e 120° = São colaterais internos, logo, são
suplementares)
z = 60°
z + y + 20° = 180°
60° + y = 160
y = 100°
Observe que:
y = x = 100°, logo:
2x + 3y  2.100° + 3.100°  200° + 300°  500°
Resposta: Letra (b).
(25) Na figura abaixo as retas r e s são paralelas. A medida do ângulo b é:
(a) 100°
(b) 120°
(c) 110°
(d) 140°
(e) 130°
Solução
16

18. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
(1) b = 2x + 60° (i) ("𝑏" é ângulo externo)
b + 4x = 180° (“b” e “4x” são colaterais internos)
b = 180° - 4x (ii)
Fazendo (i) = (ii), temos:
2x + 60° = 180° - 4x
6x = 120°
x = 20°
Como:
b = 2x + 60°
b = 2.20° + 60°
b =100°
Resposta: Letra (a)
(26) Na figura, as retas r e r’ são paralelas, e a reta s é perpendicular a t. Se o
menor ângulo entre r e s mede 72°, então o ângulo “a” mede:
(a) 36°
(b) 32°
(c) 24°
(d) 20°
(e) 18°
Solução
17

19. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
No triângulo destacado na figura ao lado, temos:
90° + 72° + a = 180° (Soma dos ângulos internos)
162° + a = 180°
a = 18°
(27) Num triângulo ABC, os ângulos ̂ ̂ medem 50° e 70°, respectivamente. A
bissetriz relativa ao vértice A forma com a reta ̅̅̅̅ os ângulos proporcionais a:
(a) 1 e 2
(b) 2 e 3
(c) 3 e 4
(d) 4 e 5
(e) 5 e 6
Solução
Primeiramente, precisamos saber os valores dos ângulos “p”
e “q”.
Note que No
𝐴𝐵𝐶, temos:
A+50°+70° = 180°
A = 180° - 120°
̂
𝑨
𝟔𝟎 (A bissetriz AH divide esse ângulo em partes
iguais).
No
𝐴𝐵𝐻, temos:
p + 50° + 30° = 180°
p = 180° - 80°
p = 100°
No
𝐴𝐶𝐻, temos:
q + 30° + 70° = 180°
q = 180° - 100°
q = 80°
Logo, os ângulos p e q, têm a
seguinte relação:
𝑝
𝑞
8
8
𝟓
𝟒
Assim, a bissetriz AH forma
com a reta BC ângulos
proporcionais a 4 e 5.
Resposta; Letra (d)
18

20. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
(28) Na figura, o triângulo ABC é congruente ao triângulo DEC. Determine o valor de
“a” e “b”.
Dados:
𝐴
𝑎
𝐸
𝑏
𝐵
̂
𝐷
𝑏
8
𝑎
Solução
Observando a figura acima, temos:
≡̂
3a = 2a + 10°
a = 10°
≡
b + 48° = 5b
4b = 48
b = 12°
(29) Na figura abaixo, o triângulo ABD é congruente ao triângulo CBD. Calcule x e y e
os lados do triângulo ACD.
Dados:
AB = x
CD = 3x+8
BC = 2y
DA = 2x
19

21. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
Solução
Como os triângulos são semelhantes, temos:
2x = 3y + 8 (i)
x = 2y (ii)
Substituindo (ii) em (i), temos:
2(2y) = 3y + 8
4y = 3y + 8
y = 8
Como:
x = 2y  x = 2.8  x = 16
Cálculo dos lados do triângulo ACD:
AD = 2x  AD = 2.16  AD = 32
AC = x + 2y  AC = 16 + 2.8  AC = 32
DC = 3y + 8  DC = 3.8 + 8  DC = 32
(30) Na figura abaixo, o triângulo CBA é congruente ao triângulo CDE. Determine o
valor de x e y e a razão entre os perímetros desses triângulos.
Solução
20

22. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
2x – 6 = 22
2x = 28
x = 14
3y + 5 = 35
3y = 30
y = 10
(31) Na figura abaixo, o triângulo PCD é congruente ao triângulo PBA. Determine o
valor de x e y e a razão entre os perímetros dos triângulos PCA e PBD.
Solução
x + 5 = 15
x = 10
3y – 2 = 2y + 17
y = 19
Lado AP = 2y + 17  AP = 2.19+17  AP = 55
Lado DP = 3y - 2  DP = 3.19 – 2  DP = 55
𝑃𝑒𝑟 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑜
𝑃𝑒𝑟 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑜
𝑃𝐶𝐴
𝑃𝐵𝐷
𝐿𝑎𝑑𝑜 𝐴𝑃
𝐿𝑎𝑑𝑜 𝐷𝑃
21

23. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
(32) Na figura abaixo, os triângulos ABC e CDA são congruentes. Calcule x e y.
Solução
2x = 120°
x = 60°
3y = 27°
y = 9°
(33) As retas r e s das figuras abaixo são paralelas. Determine x e y.
(a)
Solução
x + 60° = 180° (Colaterais internos)
x = 120°
y + 105° = 180° ( Colaterais internos)
y = 75°
(b)
Solução
3x - 10° + 90° + 2x = 180° (Colaterais internos)
5x + 80° = 180°
5x = 100°
x = 20°
22

24. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
y = 3x – 10° (alternos internos)
y = 3.20° - 10
y = 50°
(34) A soma de quatro ângulos agudos formados por duas retas paralelas cortadas por
uma reta transversal é 80°. Determine o ângulo obtuso.
Solução
4x = 80°
x = 20°
x + y = 180°
20° + y = 180°
y = 160°
(35) Na figura abaixo, sendo a//b, calcule x.
Solução
17x – 9° + 8x + 9° = 180°
25x = 180°
x = 7° 12’
23

25. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
(36) Na figura abaixo, sendo r//s, calcule x e y.
Solução
3x -20° = 2x (Alternos internos)
x = 20°
y + 10° = 3x – 20°  y + 10° = 3.20° - 20° 
y = 40° - 10°  y = 30°
(37) Na figura abaixo, temos os ângulos a e b de lados respectivamente paralelos.
Sendo a = 8x e b = 2x + 30°, determine o suplemento de b.
Solução
Pela figura, notamos que:
a=b
8x = 2x + 30°
6x = 30°  x = 5°
Como:
Cálculo do suplemento de b:
b = 2x + 30°
x = 180° - 40°
b= 2.5 + 30°
x = 140°
b = 40°
(38) Se as retas r e s são paralelas, determine x, y e z nos casos abaixo:
(a)
24

26. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
Solução
Pela figura:
x = 50°
y = 60°
z + 50° + 60° = 180°
z = 180° - 110°
z = 70°
(b)
Solução
z = y (Alternos internos)
y + 20° + 40° = 180°
z = 120°
y = 180° - 60°
x + z + 20° = 180°
y = 120°
x + 120° + 20° = 180°
x = 40°
(39) Determine o valor de x na figura abaixo:
25

27. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
Solução
Pela figura ao lado, temos:
3x – 30° = x – 10° + x + 30°
3x – 2x = 20° + 30°
x = 50°
(40) Determine x e y, na figura abaixo:
Solução
26

28. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
No triângulo ABC, temos:
130° = x + 100°
x = 30°
No triângulo ACE, temos:
y + 40° + 80° + 30° = 180°
y = 180° - 150°
y = 30°
(41) Da figura abaixo, sabemos que AB = AC, ̂
Determine x =C ̂ D.
e AD = BC.
Solução
27

29. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
Solução
(1) Indiquemos as medidas AB = AC = b e CD =
A, donde obtemos BC = a + b.
(2) Tracemos ̅̅̅̅ com AP = b, de modo que
𝐴𝑃
𝐵𝐴 𝑃 6 . Obtemos desta forma o triângulo
equilátero (verde) APB de lado b.
(3) Consideremos agora os triângulos PAD
(amarelo) e ABC. Note que eles são congruentes
pelo caso LAL.
Logo: PD = AC = b e A𝑃 𝐷 = 100°.
(4) De PD = b concluímos que o PBD é isósceles.
Note que neste triângulo PBD, como 𝑃 = 160°,
concluímos que 𝐵 ̂ = 10°.
𝐷
(5) Finalmente, de A𝐵 P = 60°, D𝐵 P = 10° e
̂
C𝐵 𝐴
, concluímos que C𝑩 𝑫
𝒙
𝟏𝟎
(42) Determine a área da região sombreada na figura abaixo.
Solução
28

30. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
(1) Área do triângulo equilátero de lado igual a 10:
√
→
(
) √
√
→
→
√
(2) Área dos 3 setores circulares de ângulo central igual a 60° e raio igual a 5:
6
→
( )2 6
→
(3) Área da região sombreada:
→
√
→
√
→
(43) Na figura abaixo, ̅̅̅̅ é paralela a ̅̅̅̅. Sendo
35°, calcule a medida de A ̂ D.
(√
̂
)
igual a 80° e
̂
igual a
Solução
Solução
29

31. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
(1) No triângulo amarelo ABF, temos:
y + 80° + 35° = 180°
y = 180° - 115°
y = 65°
(2) No triângulo AGE, temos:
x = 35 +80° ( x é ângulo externo)
x = 115°
(44) Na figura abaixo, as retas r e s são paralelas. Calcule a.
Solução
No triângulo colorido, o ângulo 3a, é
ângulo externo, logo:
3a = 180° - 2a + 80°
5a = 260°
a = 52°
(45) Determine o valor de x na figura abaixo:
30

32. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
Solução
2a + 2(2x+10°) = 360° : 2
a + 2x + 10°= 180°
a + 2x = 170° (i)
2b + 2(2x-10°) = 360 ; 2
b + 2x – 10° = 180°
b + 2x = 190° (ii)
Fazendo (i) + (ii), temos:
a + 2x = 170°
b + 2x = 190°
+
+
a + b + 4x = 360° → a + b = 360° - 4x (iii)
No triângulo colorido, temos:
a + b + x = 180° (iv)
Substituindo (iii) em (iv), temos:
360° - 4x + x = 180°
3x = 180°
x = 60°
31

33. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
(46) Num triângulo isósceles ABC o ângulo do vértice A vale 1/10 da soma dos ângulos
externos em B e C. Sendo ̅̅̅̅ a base do triângulo, determine o ângulo A.
Solução
a=
1
10
(𝑑
𝑒) → 𝟏𝟎𝒂
𝒅
𝒆 (1)
a + b + c = 180°  b + c = 180° - a (2)
Note que:
d + b = 180°
+
c + e = 180°
d + e + b + c = 360°
10a + 180° - a = 360°
9a = 180°
a = 20°
(47) Num triângulo ABC, o ângulo obtuso formado pelas bissetrizes dos ângulos ̂
excede o ângulo ̂ em 76°. Determine ̂ .
̂
Solução
32

34. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
𝑑 = x + 76°
No triângulo ABC, temos:
x + 2y + 2z = 180°
2y + 2z = 180° - x (i)
No triângulo BCD, temos:
y + z + d = 180° (multiplicando por 2)
2y + 2z + 2d = 360° (ii)
Substituindo (i) em (ii), temos:
180° - x + 2d = 360°
180° - x + 2 (x + 67°) = 360°
180° - x + 2x + 152° = 360°
x + 332° = 360°
x = 28°
(48) Seja ABC um triângulo isósceles de base ̅̅̅̅. Sobre o lado ̅̅̅̅ desse triângulo
considere um ponto D tal que os segmentos ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ sejam todos congruentes entre
si. Calcule a medida do ângulo ̂ .
Solução
No triângulo BCD, temos:
𝑎
a+a+
𝑎
𝑎
𝑎
𝒂
8
2
𝑎
8
𝑎
6
6
𝟕𝟐
No triângulo ABC, temos:
x + a + a = 180°
x + 2a = 180°
x + 2.72° = 180°
x = 180° - 144°
x = 36°
33

35. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
(49) A largura e o comprimento de um terreno retangular estão na razão 4 para 7.
Admitindo-se que o perímetro desse terreno seja 66 m, calcule (em metros) a largura
desse terreno.
Solução
𝐿
𝐶
7
→
𝐿
𝐶
7
𝐿
→
𝑳
𝑪
𝑳
𝟏𝟏
(𝒊)
𝟒
2L + 2C = 66 (Perímetro do retângulo) : 2
L + C = 33 (ii)
Substituindo (ii) em (i):
𝐿
→ 𝑳
𝟏𝟐 𝒎
(50) Considere a figura abaixo. Se os retângulos ABCD e BCEF são semelhantes, e
AD = 1, AF = 2 e FB = x. Calcule o valor de x.
Solução
Como os retângulos são semelhantes, temos:
→
→
→
√
√
→
→
√8
→
→
→
√
34

36. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
(51) Observe a figura abaixo. Nela “a”, “2a”, “b”, “2b” e “x” representam as
medidas, em graus, dos ângulos assinalados. Calcule o valor de “x” ( em graus).
Solução
Note que x é ângulo externo do
𝐴𝐵𝐶 𝑙𝑜𝑔𝑜
x = 2a + 2b  x = 2(a + b) (i)
Note que 𝑐 , é ângulo externo do triângulo amarelo,
logo:
c = a + 2a
c = 3a
No triângulo vermelho, temos:
c + b + 2b = 180°
3a + 3b = 180° : 3
a + b = 60° x (2)
2 (a + b) = 120° (ii)
Substituindo (i) em (ii):
x = 120°
35

37. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
(52) Na figura abaixo, o triângulo ABC é retângulo e isósceles e o retângulo nele
inscrito tem lados que medem 4 cm e 2 cm. Calcule o perímetro do triângulo MBN.
Solução
Observando a figura acima, notamos que aos triângulos vermelho e amarelo são
semelhantes, portanto:
→
8
8→
2
6
→ (
6)
→
O lado BM do triângulo vermelho vale: x – 2  6 – 2 = 4.
36

38. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo MBN, temos:
(BN)²= 4²+ 4²→ (BN)²= 16 + 16  (BN)² = 32 BN = 4√
Cálculo do perímetro do triângulo MBN:
2p = 4 + 4 + 4√
2p = 8 + 4√
2p = 4(2 + √ )
(53) Calcule a área da região colorida na figura abaixo, sabendo que A e B são pontos
médios de dois lados do quadrado.
Solução
(1) Área dos triângulos (amarelo):
𝑆𝑡
→ 𝑺𝒕
𝟖
(2) Área do setor circular vermelho:
𝑆𝑠
𝜋𝑟 𝛼
→ 𝑆𝑠
6
𝜋
9
→ 𝑺𝒔
6
𝝅
(3) Área da região azul:
𝑆𝑎
𝑺𝒕
𝑺𝒔 → 𝑺𝒂
𝟖
𝝅
37

39. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
(54) Em uma cidade, há um terreno abandonado, na esquina da Rua da Paz com a
Avenida da Alegria. Esse terreno tem a forma de um trapézio retangular cujas bases
medem 18 m e 12 m e cuja altura mede 30 m. Uma pessoa amorou seu cavalo para
pastar nesse terreno, num ponto P, a uma corda de 12 m de comprimento. De acordo
com o esquema da figura abaixo, calcule a área (aproximada) do pasto do terreno que
o cavalo NÃO pode comer. Considere:
Solução
(1) Área do trapézio:
(
)
2
→
(1
12) 30
2
30 30
→
2
450
→
(2) Área do setor circular:
2
6
→
(
)2 9
6
→
→
→
(3) Área colorida:
→
→
(55) Considere um triângulo ABC isósceles de base ̅̅̅̅, e os pontos P e Q tais que
P ̅̅̅̅ e Q ̅̅̅̅. Se BC = BP = PQ = QA, qual é a medida do ângulo de vértice A, em
radianos?
Solução:
38

40. GEOMETRIA PLANA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
Observando a figura ao lado, notamos que os
ângulos B e C são congruentes, visto que o
triângulo ABC é isósceles, portanto:
2x+180°-6x = 3x
180°- 4x = 3x
7x = 180°
x=
1 0
7
Como:
𝜋
x =
8
𝝅
𝟕
39