Este documento fornece uma introdução aos conceitos básicos de função polinomial de 1o grau, incluindo: 1) É apresentada a noção de função através de exemplos do cotidiano e de suas representações por tabela, diagrama e gráfico. 2) São explicados os conceitos de sistema de coordenadas cartesianas, domínio, conjunto imagem e a noção matemática de função. 3) São dados critérios para reconhecer através de diagramas e gráficos se uma relação é ou não uma função.

1. Função polinomial de 1º grau
(Parte 1)
Profa. Dra. Denise Ortigosa Stolf
Sumário Página
É possível estar em dois lugares ao mesmo tempo?................................................................... 1
Representação por tabela..................................................................................................... 2
Representação por diagrama ............................................................................................... 2
Representação por gráfico ................................................................................................... 3
Sistema de coordenadas cartesianas ........................................................................................... 4
A noção de função ...................................................................................................................... 5
Reconhecer através da análise de diagramas se uma relação é uma função .............................. 7
Reconhecer através da análise de gráficos se uma relação é uma função ................................ 10
Domínio e conjunto imagem de uma função ........................................................................... 11
Referências bibliográficas ........................................................................................................ 13

2. 1
FUNÇÃO POLINOMIAL DE 1º GRAU
É possível estar em dois lugares ao mesmo tempo?
Não, não é possível. A idéia de função originou-se exatamente na resposta
matemática a esta pergunta e se desenvolveu com os estudos do italiano Galileu
Galilei, no final do século XVI, a respeito do movimento dos corpos. Em
qualquer movimento seja de uma pedra que cai, de uma nave espacial a de um
cavalo no campo, ocorre uma relação especial entre dois conjuntos numéricos: o
do tempo e o do espaço. A cada instante do primeiro conjunto vai corresponder
uma, e somente uma, posição de um determinado corpo em movimento no
segundo. A partir desta idéia, o conceito de função foi sendo aplicado a todos os
movimentos numéricos em que essa relação especial acontece.
O conceito de função é um dos mais utilizados em Matemática. Ele se aplica não
somente a esta área, mas também à Física, à Química e à Biologia, entre outras.
Além disso, está muito presente em nosso cotidiano, ajudando a melhor
compreender o mundo que nos cerca.
Freqüentemente você se depara com tabelas e gráficos, em jornais, revistas e
empresas que tentam transmitir de forma simples fatos do cotidiano. Fala-se em
elevação e queda da Bolsa de Valores, de lucros de empresas, de inflação, e
apresenta-se um gráfico. Tudo isso, a partir da leitura de gráficos. Quem não
estiver familiarizado com essas interpretações perde muitas das informações
fornecidas.
Veja alguns exemplos da aplicação desse conceito:
• o preço de um armário é função da área que ele cobre;
• a dose de um remédio é função do peso da criança que é medicada;
• a altura de uma criança é função de sua idade;
• o desconto do Imposto de Renda é função da faixa salarial;
• o salário de um vendedor é função do volume de vendas;
• a área de um quadrado é função da medida de seus lados;
• o buraco na camada de ozônio é função do nível de poluição.

3. 2
Esses são apenas alguns exemplos. O que você precisa para entender o conceito
de função é pensar em duas grandezas que variam, sendo que a variação de uma
depende da variação da outra.
Representação por tabela
Para representar duas grandezas que dependem uma da outra, podemos utilizar
uma tabela. A que segue mostra a variação do preço de um armário embutido
por metro quadrado.
Vemos que a área do armário é uma grandeza variável; o preço é uma grandeza
variável; e a variação do preço depende da variação da área. Dizemos então que
o preço é função da área. Para cada um dos outros exemplos, podemos
construir uma tabela como a que acabamos de ver.
Vamos imaginar a bula de um remédio pediátrico que diz:
MODO DE USAR OU POSOLOGIA: 2 gotas a cada kg de peso.
Pela tabela abaixo, podemos ver a variação dessa função:
Representação por diagrama
É também muito comum representarmos a dependência entre duas grandezas
que variam (variáveis) utilizando conjuntos e flechas. Observe como ficariam
representadas as funções apresentadas nas duas tabelas:

4. 3
O conjunto A é o conjunto dos números que
expressam a medida da área, e o conjunto P é
o conjunto dos preços do armário para cada
área.
A cada elemento de A, corresponde um único
elemento de P, ou seja, para cada área, temos
um único preço.
No caso do remédio, chamaremos K o
conjunto dos valores que expressam os pesos
e D o conjunto do número de gotas.
Observe que, para cada peso, corresponde
uma única dose do remédio. Caso contrário,
continuaríamos sem saber que dose
administrar e não teríamos uma função.
Representação por gráfico
Outra forma de representar uma função é através de gráfico. Por exemplo, a
quantidade de água que sai de uma torneira vai depender do tempo que ela
permanecer aberta. Portanto a quantidade de água está em função do tempo.
Veja um gráfico para o exemplo da torneira:
Pelo gráfico rapidamente vemos que após 2 segundos vazaram 40 ml de água,
após 3 segundos 60 ml, e assim por diante.

5. 4
Sistema de coordenadas cartesianas
Em 1637, ao publicar seu livro La Geométrie, o filósofo e matemático francês
René Descartes lançou a idéia de que um par de números, disposto numa certa
ordem, poderia determinar uma posição no plano.
Usamos o sistema de Descartes, conhecido como sistema de coordenadas
cartesianas, para fazer, por exemplo, gráficos, mapas de ruas ou mapas-mundi.
Vamos ver como se constrói um sistema de coordenadas cartesianas:
• partindo-se de um ponto de referência, são traçadas duas retas
perpendiculares e orientadas;
• cada reta orientada é chamada de eixo. Observe que o sentido de cada eixo
indica o crescente dos números;
• o eixo horizontal é chamado de eixo das abscissas ou normalmente eixo x;
• o eixo vertical é chamado de eixo das ordenadas ou normalmente eixo y;
• o ponto de intersecção dos dois eixos recebe o nome de origem do sistema, e
corresponde ao par ordenado (0,0);
• nos eixos, a cada ponto fazemos corresponder um número: os números
positivos à direita e acima da origem; os números negativos à esquerda e
abaixo da origem.
• O sistema assim formado recebe o nome de plano cartesiano.
Dessa maneira um ponto P (x,y) pode ser representado por um par de números
que chamamos de par ordenado. O primeiro número do par indica a abscissa do
ponto e o segundo número indica a ordenada. Por exemplo, P (3,4), teria sua
representação assim:

6. 5
A noção de função
Como já foi dito, com bastante freqüência encontramos situações que envolvem
relações entre duas grandezas variáveis.
Consideremos a situação abaixo.
► Uma caneta custa R$ 30,00. Se representarmos por x o número dessas
canetas que queremos comprar e por y o preço correspondente a pagar, em reais,
podemos organizar a seguinte tabela:
Número de canetas (x) Preço a pagar (y)
1 1 · 30 = 30
2 2 · 30 = 60
3 3 · 30 = 90
4 4 · 30 = 120
... ...
10 10 · 30 = 300
11 11 · 30 = 330
... ...
Olhando a tabela você percebe que o preço y a pagar vai depender do número x
de canetas que foram compradas. Entre as grandezas y e x existe uma relação
expressa pela sentença matemática y = x · 30 ou y = 30x.
Você nota também que:
• o número x de canetas é uma grandeza variável;
• o preço y a pagar é uma grandeza variável;
• a todos os valores de x estão associados valores de y;
• para cada valor de x está associado um único valor de y.

7. 6
Nessas condições podemos dizer que:
O preço y a pagar é dado em função do número x de canetas e a sentença
y = 30x é chamada lei de formação da função.
Uma vez estabelecida a relação entre as variáveis número de canetas e preço a
pagar, podemos responder a questões como:
a) Quanto vou pagar por 50 canetas iguais a essa?
y = 30 x
y = 30 ⋅ 50
y = 1500
Logo, vou pagar R$ 1500,00 por 50 canetas.
b) Se eu tiver R$ 780,00, quantas canetas consigo comprar?
y = 30 x
780 = 30 x
780
x=
30
x = 26
Portanto, vou conseguir comprar 26 canetas.
OBS.: Quando escrevemos a lei de formação de uma função, utilizamos, em
geral, as letras x e y para representar as variáveis que estamos relacionando,
sendo y dada em função de x. Desse modo, estamos uniformizando a notação de
funções.

8. 7
Reconhecer através da análise de diagramas se uma relação é uma
função
Observe os quadrados abaixo onde estão assinaladas as medidas de seus lados.
Podemos construir uma tabela relacionado as medidas dos lados desses
quadrados com as medidas dos seus perímetros.
Medida do lado (cm) 0,5 1 1,5 2 2,5 3
Perímetro (cm) 2 4 6 8 10 12
Essa tabela também pode ser representada na forma de um diagrama, pelo qual
relacionamos dois conjuntos: A, conjunto formado pelas medidas dos lados, e B,
conjunto formado pelos perímetros.
As flechas indicam a relação:
lado 0,5 cm → perímetro 2 cm
lado 1 cm → perímetro 4 cm
E assim por diante.

9. 8
Nessa relação você pode notar que:
• todos os elementos do conjunto A estão associados a um valor do conjunto B;
• cada elemento do conjunto A está associado a um único valor do conjunto B.
Nessas condições, dizemos que a relação entre os conjuntos A e B é uma função
de A em B. Indicamos:
f : A →3
1 24B
4
função de A em B
Podemos também escrever a fórmula matemática ou lei de formação dessa
função: y = 4x, onde y é o perímetro e x a medida do lado.
► São dados os conjuntos A = {0, 1, 2} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e a relação entre
A e B expressa pela fórmula matemática y = x2, com x ∈ A e y ∈ B.
Vamos representar essa relação através de um diagrama:
x∈A y∈B
x = 0 → y = 02 = 0
x = 1 → y = 12 = 1
x = 2 → y = 22 = 4
Observe que:
• todos os elementos do conjunto A estão associados a um valor no conjunto B;
• cada elemento do conjunto A está associado a um único valor do conjunto B.
Nessas condições, dizemos que a relação entre os conjuntos A e B é uma função
de A em B.
Notação: f : A →3
1 24B
4
y = x2

10. 9
De maneira geral:
Sendo A e B dois conjuntos não-vazios, uma relação entre A e B é chamada
função quando a cada elemento x do conjunto A está associado um único
elemento y do conjunto B.
Resumo: Observe os diagramas abaixo que representam relações entre os
conjuntos A e B:
É função, pois todo elemento x ∈ A tem É função, pois todo elemento x ∈ A tem
correspondente em B, e cada elemento correspondente em B, e cada elemento
tem um único correspondente em B. tem um único correspondente em B.
Não é função, pois há elementos de A Não é função, pois há elementos de A
que não possuem correspondentes em B que possuem mais de um
1 correspondente em B (sendo x = 1,
(sendo x = −1, por exemplo, y = ∉ B. y = ± 1.
2

11. 10
Reconhecer através da análise de gráficos se uma relação é uma
função
Dado um gráfico, como posso reconhecer se é ou não o gráfico de uma função?
Já sabemos que para existir uma função é necessário que para qualquer x de um
conjunto de valores corresponda a um único y, de outro ou do mesmo conjunto
de valores.
Geometricamente, se esses dois conjuntos de valores são os dos números reais,
significa que qualquer reta perpendicular ao eixo x deve interceptar o gráfico,
sempre em um único ponto. Assim, se a reta não intersectar o gráfico ou
interceptar em mais de um ponto, esse gráfico não é gráfico de uma função.
Examine esses gráficos para esse conceito ficar mais claro.
O gráfico acima é de Este gráfico não é de Considerando x um
uma função, pois uma função, pois número real qualquer, este
qualquer reta existem retas gráfico não define uma
perpendicular ao eixo x perpendiculares ao eixo função, pois para x = 5,
intercepta-o em um x interceptando-o em por exemplo, não existe y
único ponto. (Todo x real mais de um ponto. (Há correspondente.
terá um único y) valores de x com mais de Mas, considerando x real
um correspondente em y) de 1 a 4, este gráfico
indica uma função. (Para
todo x real, 1 ≤ x ≤ 4 existe
sempre um único y.

12. 11
Domínio e conjunto imagem de uma função
Para introduzir este tópico, vamos desenvolver um exemplo com base no
conteúdo já estudado.
Com os conjuntos A = {1, 4, 7} e B = {1, 4, 6, 7, 8, 9, 12} criamos a função
f : A → B definida por f (x) = x + 5 que também pode ser representada por
y = x + 5. A representação, utilizando conjuntos, desta função, é:
• O conjunto de valores que variável x pode assumir chama-se domínio da
função. Vamos indicá-lo por “D”.
• O valor da variável y correspondente a um determinado valor de x é chamado
imagem do número x pela função. O conjunto formado por todos os valores
de y é chamado conjunto imagem da função. Vamos indicá-lo por “Im”.
Vejamos então para o nosso exemplo:
• O domínio da função é D = {1, 4, 7}
• A imagem da função é Im = {6, 9, 12}
OBS.: Note que existe uma diferença entre imagem e conjunto imagem, o
primeiro é um ponto em que a flecha de relacionamento toca, e o segundo é o
conjunto de todos elementos que as flechas tocam.

13. 12
Exemplos:
a) Dados os conjuntos A = {−3, 0, 3, 8} e B = {−2, 0, 15, 18, 27, 40} e a relação
entre A e B expressa pela fórmula matemática y = x2 − 3x, indique o domínio e o
conjunto imagem da função.
D = {−3, 0, 3, 8}
Agora devemos ver a imagem de cada um dos elementos do domínio para
descobrir o conjunto imagem:
Para x = −3 temos y = (−3) 2 − 3 ⋅ (−3) = 9 + 9 = 18
Para x = 0 temos y = 0 2 − 3 ⋅ 0 = 0 + 0 = 0
Para x = 3 temos y = 32 − 3 ⋅ 3 = 9 − 9 = 0
Para x = 8 temos y = 82 − 3 ⋅ 8 = 64 + 24 = 40
Então, Im = {0, 18, 40}
1
b) Considere a função dada pela fórmula y = . Nessa função, a variável x pode
x
assumir qualquer valor real, menos aqueles que anulem o denominador, uma vez
que não definimos fração com denominador zero.
Nesse caso, o domínio da função D = ou D = {x ∈ / x ≠ 0}.
1 1
Se x = 10, então y = → é a imagem do número 10 pela função.
10 10
1 1
Se x = −2, então y = − → − é a imagem do número −2 pela função.
2 2
1 1 1
Se x = , então y = = 8 → 8 é a imagem do número pela função.
8 1 8
8
Nesse caso, a imagem da função Im = ou Im = {y ∈ / y ≠ 0}.

14. 13
c) Quando a um número real associamos o seu triplo aumentado de 2 unidades,
temos uma função definida pela fórmula matemática y = 3 x + 2 . Nessa função
não há restrições para os valores que x pode assumir. Nesse caso, x pode assumir
todos os valores reais. Logo, D = .
Assim podemos determinar a imagem de qualquer elemento do domínio.
Se x = −10, então y = 3 ⋅ (−10) + 2 = −30 + 2 = −28 → −28 é a imagem do
número −10 pela função.
1  1
Se x = − , então y = 3 ⋅  −  + 2 = −1 + 2 = 1 → 1 é a imagem do número
3  3
1
− pela função.
3
Referências bibliográficas
[1] A conquista da matemática (5ª a 8ª Série). Giovanni, Castrucci e Giovanni Jr.. Editora
FTD.
[2] Matemática (Projeto Araribá) (5ª a 8ª Série). Editora Moderna.
[3] Matemática hoje é feita assim (5ª a 8ª Série). Antonio José Lopes Bigode. Editora FTD.
[4] Tudo é matemática (5ª a 8ª Série). Luiz Roberto Dante. Editora Ática.
[5] http://www.bibvirt.futuro.usp.br
[6] http://www.brasilescola.com
[7] http://www.ficharionline.com
[8] http://www.klickeducacao.com.br
[9] http://www.tutorbrasil.com.br