1. O documento descreve a função exponencial, sua relação com a função logarítmica e algumas de suas propriedades fundamentais.
2. A constante e de Euler é definida como exp(1) e desempenha um papel importante na ligação entre a função exponencial e potenciação.
3. A função exponencial tem diversas aplicações importantes em áreas como física, química, biologia e economia para modelar fenômenos como resfriamento, crescimento populacional e desintegração radioativa.
O documento apresenta conceitos básicos sobre segurança e saúde no trabalho, incluindo a evolução histórica da área, os principais riscos ocupacionais e meios de prevenção e controle. Aborda temas como acidentes de trabalho, doenças profissionais, programas de prevenção e a importância de mapas de riscos para identificar perigos no ambiente laboral.
O documento discute os riscos biológicos no ambiente de trabalho, incluindo a classificação de agentes biológicos em grupos de risco e as principais doenças ocupacionais causadas por vírus, bactérias e outros microrganismos. Também apresenta medidas de prevenção como equipamentos de proteção, higienização, vacinação e protocolos de atendimento após exposição.
A escala cartográfica 1:100 é maior do que a escala 1:100.000.
Quanto menor o denominador da escala cartográfica, maior é a escala, pois significa que a relação entre as distâncias no mapa e no terreno é menor.
Na escala 1:100, cada unidade no mapa representa 100 unidades no terreno. Já na escala 1:100.000, cada unidade no mapa representa 100.000 unidades no terreno. Logo, a primeira permite uma representação mais detalhada.
Portanto, a escala cartográfica 1:100 é maior
Tst relatório de conclusão de estágio atualizadoMARIA DORA
Este relatório descreve as atividades realizadas durante um estágio de 600 horas em segurança do trabalho na obra de construção Spring Park. As principais atividades incluíram auxiliar em treinamentos sobre normas de segurança, organizar documentos, inspecionar a obra para identificar riscos, verificar equipamentos, aplicar normas internas e preencher formulários de EPIs. O estágio permitiu aplicar os conhecimentos técnicos adquiridos no curso e preparar a estudante para o mercado de trabalho.
2 cap 1 - aspectos humanos, sociais e econômicos da engenharia de segurança...Zacarias Junior
O documento discute a história da saúde e segurança no trabalho, desde o Antigo Egito até as leis e regulamentações modernas. Ele também aborda os significados econômico e social das doenças e acidentes de trabalho, além das responsabilidades compartilhadas na prevenção.
O documento discute os fatores de formação do solo, incluindo fatores ativos como clima e organismos, e fatores passivos como relevo, tempo e material de origem. Ele também descreve processos específicos como laterização, podolização, gleização e halomorfismo que influenciam as características do solo.
O documento discute os riscos à saúde associados ao processo de soldagem, incluindo fatores físicos e químicos que podem causar problemas pulmonares, intoxicação por manganês, febre de soldador, danos ao sistema nervoso, olhos e pele, e efeitos no sistema reprodutivo. Os riscos à saúde incluem pneumoconiose, disfunção pulmonar, manganismo, danos ao sistema nervoso e redução na qualidade do sêmen.
O documento discute as doenças relacionadas ao trabalho, dividindo-as em quatro grupos: 1) doenças comuns sem relação com o trabalho; 2) doenças comuns cuja frequência ou surgimento podem ser modificados pelas condições de trabalho; 3) doenças cuja etiologia é ampliada ou tornada mais complexa pelo trabalho; e 4) agravos à saúde específicos como acidentes e doenças profissionais. Os grupos 2, 3 e 4 constituem as Doenças Relacionadas ao Trabalho.
O documento apresenta conceitos básicos sobre segurança e saúde no trabalho, incluindo a evolução histórica da área, os principais riscos ocupacionais e meios de prevenção e controle. Aborda temas como acidentes de trabalho, doenças profissionais, programas de prevenção e a importância de mapas de riscos para identificar perigos no ambiente laboral.
O documento discute os riscos biológicos no ambiente de trabalho, incluindo a classificação de agentes biológicos em grupos de risco e as principais doenças ocupacionais causadas por vírus, bactérias e outros microrganismos. Também apresenta medidas de prevenção como equipamentos de proteção, higienização, vacinação e protocolos de atendimento após exposição.
A escala cartográfica 1:100 é maior do que a escala 1:100.000.
Quanto menor o denominador da escala cartográfica, maior é a escala, pois significa que a relação entre as distâncias no mapa e no terreno é menor.
Na escala 1:100, cada unidade no mapa representa 100 unidades no terreno. Já na escala 1:100.000, cada unidade no mapa representa 100.000 unidades no terreno. Logo, a primeira permite uma representação mais detalhada.
Portanto, a escala cartográfica 1:100 é maior
Tst relatório de conclusão de estágio atualizadoMARIA DORA
Este relatório descreve as atividades realizadas durante um estágio de 600 horas em segurança do trabalho na obra de construção Spring Park. As principais atividades incluíram auxiliar em treinamentos sobre normas de segurança, organizar documentos, inspecionar a obra para identificar riscos, verificar equipamentos, aplicar normas internas e preencher formulários de EPIs. O estágio permitiu aplicar os conhecimentos técnicos adquiridos no curso e preparar a estudante para o mercado de trabalho.
2 cap 1 - aspectos humanos, sociais e econômicos da engenharia de segurança...Zacarias Junior
O documento discute a história da saúde e segurança no trabalho, desde o Antigo Egito até as leis e regulamentações modernas. Ele também aborda os significados econômico e social das doenças e acidentes de trabalho, além das responsabilidades compartilhadas na prevenção.
O documento discute os fatores de formação do solo, incluindo fatores ativos como clima e organismos, e fatores passivos como relevo, tempo e material de origem. Ele também descreve processos específicos como laterização, podolização, gleização e halomorfismo que influenciam as características do solo.
O documento discute os riscos à saúde associados ao processo de soldagem, incluindo fatores físicos e químicos que podem causar problemas pulmonares, intoxicação por manganês, febre de soldador, danos ao sistema nervoso, olhos e pele, e efeitos no sistema reprodutivo. Os riscos à saúde incluem pneumoconiose, disfunção pulmonar, manganismo, danos ao sistema nervoso e redução na qualidade do sêmen.
O documento discute as doenças relacionadas ao trabalho, dividindo-as em quatro grupos: 1) doenças comuns sem relação com o trabalho; 2) doenças comuns cuja frequência ou surgimento podem ser modificados pelas condições de trabalho; 3) doenças cuja etiologia é ampliada ou tornada mais complexa pelo trabalho; e 4) agravos à saúde específicos como acidentes e doenças profissionais. Os grupos 2, 3 e 4 constituem as Doenças Relacionadas ao Trabalho.
O documento discute os conceitos de perigo e risco. Perigo se refere à propriedade inerente de uma substância de causar efeitos adversos, enquanto risco é a probabilidade desses efeitos ocorrerem devido à exposição. Risco depende tanto do perigo quanto do grau e duração da exposição, que podem ser controlados para reduzir o risco. Comunicar claramente os perigos ajuda a minimizar os riscos.
1) O processo de injeção consiste em fundir resina PET através de aquecimento e injetá-la em um molde onde se solidifica, tomando a forma final.
2) Um ciclo completo de injeção envolve as etapas de dosagem, fusão, injeção, resfriamento e ejeção da peça moldada.
3) Parâmetros como temperatura, pressão, velocidade de injeção e tempo devem ser controlados para obter peças de qualidade sem danificar o material.
Este documento descreve as diretrizes do Programa de Controle Médico de Saúde Ocupacional (PCMSO) de acordo com a Norma Regulamentadora NR-7. O PCMSO tem como objetivo promover e preservar a saúde dos trabalhadores por meio de exames médicos periódicos, avaliações de riscos à saúde e registro de dados médicos. O documento detalha os requisitos para os diferentes tipos de exames, responsabilidades do empregador, planejamento anual do programa e prestação de primeiros socorros.
A aula introduz conceitos básicos de probabilidade como experimentos aleatórios, espaço amostral, eventos e operações entre conjuntos. É resolvida uma questão sobre eventos relacionados ao tempo para realização de uma tarefa por um marinheiro, onde a alternativa correta é que o evento A é igual a {t|t ≥ 50}.
Segurança e higiene do trabalho - Aula 1IBEST ESCOLA
O documento discute conceitos fundamentais de segurança e higiene no trabalho, como aspectos, impactos, resíduos, acidentes de trabalho e trajeto. Apresenta as normas regulamentadoras de segurança e legislação aplicável, além de definir conceitos como acidente de trabalho, acidente de trajeto e acidente pessoal.
O documento descreve os componentes de uma rede de atenção à saúde da gestante e da criança, incluindo a população-alvo, estratificação de risco, estrutura operacional, e modelo de atenção. A rede é organizada de acordo com o nível de risco gestacional, indo da atenção primária à terciária conforme a complexidade do caso. O objetivo é fornecer os cuidados adequados a cada situação de saúde materno-infantil.
O documento descreve as diretrizes de um Programa de Controle Médico de Saúde Ocupacional (PCMSO), incluindo objetivos, responsabilidades, exames médicos, registros e cronograma de ações. É especificado que o PCMSO foi elaborado de acordo com normas regulamentadoras e leis trabalhistas, visando promover a saúde e prevenção de doenças ocupacionais dos servidores públicos.
Agrotóxicos e Trabalho: uma combinação perigosa para a saúde do trabalhador r...Natália Lima
Este documento discute os riscos à saúde dos trabalhadores rurais devido à exposição a agrotóxicos durante o trabalho agrícola. Ele explica como a agricultura moderna depende cada vez mais de agrotóxicos e como a exposição a esses produtos químicos pode causar intoxicações graves e até mortais. Além disso, destaca que a combinação de vários agrotóxicos aumenta os riscos à saúde devido a possíveis interações químicas. Finalmente, argumenta que as condições de trabalho
Uma pessoa passa maior parte da sua vida em um ambiente de trabalho, o que significa que é necessário ter boas condições físicas e mentais neste local, para garantir uma boa qualidade de vida entre os colaboradores, esse texto é apenas um breve ensaio sobre as Doenças ocupacionais, como estamos expostos a ela dia a dia em nossas atividades laborais e como podemos evita-las.
O documento discute vários tipos de doenças ocupacionais, incluindo lesões por esforços repetitivos, surdez ocupacional, catarata, distúrbios do sono, depressão e estresse. Também descreve o papel importante do enfermeiro do trabalho na prevenção e tratamento de doenças ocupacionais.
O documento discute substâncias tóxicas como crômio, mercúrio, manganês e níquel. Descreve suas propriedades químicas, fontes de exposição, efeitos na saúde humana e formas de prevenção de intoxicação. O crômio hexavalente é mais tóxico que o crômio tetravalente. O mercúrio pode causar lesões de pele, mucosas e intoxicação. O manganismo é a intoxicação pelo manganês. O níquel pode causar reações alé
Aerodispersóides fibrogênicos e não fibrogênicosFelipe.Abreu
Os aerodispersóides são partículas sólidas ou líquidas suspensas no ar que podem representar riscos à saúde dependendo de sua concentração e tamanho. Eles são classificados em névoas, neblinas, poeiras e fumos de acordo com sua origem e estão presentes em normas regulamentadoras como a NR7, NR9 e NR15.
O documento discute os riscos ocupacionais, definindo-os como a possibilidade de um trabalhador sofrer um dano como resultado de seu trabalho. Ele lista vários tipos de riscos como físicos, químicos, biológicos, ergonômicos e acidentes, fornecendo exemplos de cada um. O documento enfatiza a importância de reconhecer os riscos específicos de cada setor para proteger a saúde dos trabalhadores.
Acidente do trabalho e doenças ocupacionaisRONALDO COSTA
O documento discute acidentes de trabalho e doenças ocupacionais. Ele define acidente de trabalho segundo a lei e discute a responsabilidade das empresas na adoção de medidas de segurança. Também aborda o auxílio-acidente, os tipos de acidentes, causas comuns e ferramentas de prevenção como EPIs e EPCs. Por fim, explica o que são doenças ocupacionais e algumas das mais comuns.
O ambiente hospitalar apresenta diversos riscos à saúde dos profissionais, como riscos biológicos, químicos, físicos e ergonômicos. Acidentes são comuns, especialmente cortes de agulhas. Equipamentos de proteção individual e treinamento contínuo são essenciais para prevenir acidentes e doenças ocupacionais.
O documento discute os riscos ambientais no ambiente de trabalho, incluindo riscos físicos, químicos, biológicos, ergonômicos e de acidentes. Ele explica como esses riscos podem afetar a saúde dos trabalhadores e apresenta medidas de controle como EPIs, EPCs, treinamentos de segurança e exames médicos periódicos.
O documento fornece um guia sobre Saúde e Segurança do Trabalho (SST) para o eSocial, sistema online do governo brasileiro para coleta e armazenamento de informações trabalhistas, previdenciárias e fiscais. O guia explica como o eSocial irá exigir novas informações sobre SST e quais registros e programas de SST servirão como base para alimentar essas informações, como o PPRA, PCMSO, laudos de insalubridade e periculosidade.
O documento discute taxas de frequência e gravidade de acidentes de trabalho. Define acidentes com e sem perda de tempo, dias perdidos, dias debitados e horas-homem de exposição ao risco. Explica como calcular a taxa de frequência e a taxa de gravidade com base nesses conceitos e fornece exemplos de cálculos.
O documento é um relatório de estágio de um aluno do curso técnico em segurança do trabalho. Ele inclui informações sobre o aluno estagiário, a empresa onde o estágio será realizado, os objetivos do estágio e descreve brevemente a história da empresa.
Este documento descreve a Norma Regulamentadora NR-32, que estabelece as medidas de proteção à saúde e segurança dos trabalhadores em serviços de saúde. A NR-32 abrange todas as edificações destinadas à promoção, recuperação, assistência, pesquisa e ensino em saúde, não apenas áreas hospitalares. A norma define medidas de proteção contra riscos biológicos, químicos, radiológicos e outros riscos encontrados em serviços de saúde.
O documento discute a equação de Schrödinger e a função de onda em mecânica quântica. O plano de aula inclui: 1) A equação de Schrödinger clássica versus quântica, 2) Interpretação estatística da função de onda e normalização, 3) Valores esperados, operadores e princípio da incerteza. O documento também demonstra a invariância temporal da condição de normalização da função de onda.
Este documento trata sobre potências e suas propriedades matemáticas e operações. Discute também análise dimensional em física, incluindo símbolos dimensionais, equações dimensionais, homogeneidade dimensional e o teorema de Bridgman. Fornece exemplos e exercícios sobre esses tópicos.
O documento discute os conceitos de perigo e risco. Perigo se refere à propriedade inerente de uma substância de causar efeitos adversos, enquanto risco é a probabilidade desses efeitos ocorrerem devido à exposição. Risco depende tanto do perigo quanto do grau e duração da exposição, que podem ser controlados para reduzir o risco. Comunicar claramente os perigos ajuda a minimizar os riscos.
1) O processo de injeção consiste em fundir resina PET através de aquecimento e injetá-la em um molde onde se solidifica, tomando a forma final.
2) Um ciclo completo de injeção envolve as etapas de dosagem, fusão, injeção, resfriamento e ejeção da peça moldada.
3) Parâmetros como temperatura, pressão, velocidade de injeção e tempo devem ser controlados para obter peças de qualidade sem danificar o material.
Este documento descreve as diretrizes do Programa de Controle Médico de Saúde Ocupacional (PCMSO) de acordo com a Norma Regulamentadora NR-7. O PCMSO tem como objetivo promover e preservar a saúde dos trabalhadores por meio de exames médicos periódicos, avaliações de riscos à saúde e registro de dados médicos. O documento detalha os requisitos para os diferentes tipos de exames, responsabilidades do empregador, planejamento anual do programa e prestação de primeiros socorros.
A aula introduz conceitos básicos de probabilidade como experimentos aleatórios, espaço amostral, eventos e operações entre conjuntos. É resolvida uma questão sobre eventos relacionados ao tempo para realização de uma tarefa por um marinheiro, onde a alternativa correta é que o evento A é igual a {t|t ≥ 50}.
Segurança e higiene do trabalho - Aula 1IBEST ESCOLA
O documento discute conceitos fundamentais de segurança e higiene no trabalho, como aspectos, impactos, resíduos, acidentes de trabalho e trajeto. Apresenta as normas regulamentadoras de segurança e legislação aplicável, além de definir conceitos como acidente de trabalho, acidente de trajeto e acidente pessoal.
O documento descreve os componentes de uma rede de atenção à saúde da gestante e da criança, incluindo a população-alvo, estratificação de risco, estrutura operacional, e modelo de atenção. A rede é organizada de acordo com o nível de risco gestacional, indo da atenção primária à terciária conforme a complexidade do caso. O objetivo é fornecer os cuidados adequados a cada situação de saúde materno-infantil.
O documento descreve as diretrizes de um Programa de Controle Médico de Saúde Ocupacional (PCMSO), incluindo objetivos, responsabilidades, exames médicos, registros e cronograma de ações. É especificado que o PCMSO foi elaborado de acordo com normas regulamentadoras e leis trabalhistas, visando promover a saúde e prevenção de doenças ocupacionais dos servidores públicos.
Agrotóxicos e Trabalho: uma combinação perigosa para a saúde do trabalhador r...Natália Lima
Este documento discute os riscos à saúde dos trabalhadores rurais devido à exposição a agrotóxicos durante o trabalho agrícola. Ele explica como a agricultura moderna depende cada vez mais de agrotóxicos e como a exposição a esses produtos químicos pode causar intoxicações graves e até mortais. Além disso, destaca que a combinação de vários agrotóxicos aumenta os riscos à saúde devido a possíveis interações químicas. Finalmente, argumenta que as condições de trabalho
Uma pessoa passa maior parte da sua vida em um ambiente de trabalho, o que significa que é necessário ter boas condições físicas e mentais neste local, para garantir uma boa qualidade de vida entre os colaboradores, esse texto é apenas um breve ensaio sobre as Doenças ocupacionais, como estamos expostos a ela dia a dia em nossas atividades laborais e como podemos evita-las.
O documento discute vários tipos de doenças ocupacionais, incluindo lesões por esforços repetitivos, surdez ocupacional, catarata, distúrbios do sono, depressão e estresse. Também descreve o papel importante do enfermeiro do trabalho na prevenção e tratamento de doenças ocupacionais.
O documento discute substâncias tóxicas como crômio, mercúrio, manganês e níquel. Descreve suas propriedades químicas, fontes de exposição, efeitos na saúde humana e formas de prevenção de intoxicação. O crômio hexavalente é mais tóxico que o crômio tetravalente. O mercúrio pode causar lesões de pele, mucosas e intoxicação. O manganismo é a intoxicação pelo manganês. O níquel pode causar reações alé
Aerodispersóides fibrogênicos e não fibrogênicosFelipe.Abreu
Os aerodispersóides são partículas sólidas ou líquidas suspensas no ar que podem representar riscos à saúde dependendo de sua concentração e tamanho. Eles são classificados em névoas, neblinas, poeiras e fumos de acordo com sua origem e estão presentes em normas regulamentadoras como a NR7, NR9 e NR15.
O documento discute os riscos ocupacionais, definindo-os como a possibilidade de um trabalhador sofrer um dano como resultado de seu trabalho. Ele lista vários tipos de riscos como físicos, químicos, biológicos, ergonômicos e acidentes, fornecendo exemplos de cada um. O documento enfatiza a importância de reconhecer os riscos específicos de cada setor para proteger a saúde dos trabalhadores.
Acidente do trabalho e doenças ocupacionaisRONALDO COSTA
O documento discute acidentes de trabalho e doenças ocupacionais. Ele define acidente de trabalho segundo a lei e discute a responsabilidade das empresas na adoção de medidas de segurança. Também aborda o auxílio-acidente, os tipos de acidentes, causas comuns e ferramentas de prevenção como EPIs e EPCs. Por fim, explica o que são doenças ocupacionais e algumas das mais comuns.
O ambiente hospitalar apresenta diversos riscos à saúde dos profissionais, como riscos biológicos, químicos, físicos e ergonômicos. Acidentes são comuns, especialmente cortes de agulhas. Equipamentos de proteção individual e treinamento contínuo são essenciais para prevenir acidentes e doenças ocupacionais.
O documento discute os riscos ambientais no ambiente de trabalho, incluindo riscos físicos, químicos, biológicos, ergonômicos e de acidentes. Ele explica como esses riscos podem afetar a saúde dos trabalhadores e apresenta medidas de controle como EPIs, EPCs, treinamentos de segurança e exames médicos periódicos.
O documento fornece um guia sobre Saúde e Segurança do Trabalho (SST) para o eSocial, sistema online do governo brasileiro para coleta e armazenamento de informações trabalhistas, previdenciárias e fiscais. O guia explica como o eSocial irá exigir novas informações sobre SST e quais registros e programas de SST servirão como base para alimentar essas informações, como o PPRA, PCMSO, laudos de insalubridade e periculosidade.
O documento discute taxas de frequência e gravidade de acidentes de trabalho. Define acidentes com e sem perda de tempo, dias perdidos, dias debitados e horas-homem de exposição ao risco. Explica como calcular a taxa de frequência e a taxa de gravidade com base nesses conceitos e fornece exemplos de cálculos.
O documento é um relatório de estágio de um aluno do curso técnico em segurança do trabalho. Ele inclui informações sobre o aluno estagiário, a empresa onde o estágio será realizado, os objetivos do estágio e descreve brevemente a história da empresa.
Este documento descreve a Norma Regulamentadora NR-32, que estabelece as medidas de proteção à saúde e segurança dos trabalhadores em serviços de saúde. A NR-32 abrange todas as edificações destinadas à promoção, recuperação, assistência, pesquisa e ensino em saúde, não apenas áreas hospitalares. A norma define medidas de proteção contra riscos biológicos, químicos, radiológicos e outros riscos encontrados em serviços de saúde.
O documento discute a equação de Schrödinger e a função de onda em mecânica quântica. O plano de aula inclui: 1) A equação de Schrödinger clássica versus quântica, 2) Interpretação estatística da função de onda e normalização, 3) Valores esperados, operadores e princípio da incerteza. O documento também demonstra a invariância temporal da condição de normalização da função de onda.
Este documento trata sobre potências e suas propriedades matemáticas e operações. Discute também análise dimensional em física, incluindo símbolos dimensionais, equações dimensionais, homogeneidade dimensional e o teorema de Bridgman. Fornece exemplos e exercícios sobre esses tópicos.
Este documento trata sobre potências e suas propriedades matemáticas e operações. Discute também análise dimensional em física, incluindo símbolos dimensionais, equações dimensionais, homogeneidade dimensional e o teorema de Bridgman.
Este documento apresenta uma série de exercícios sobre mecânica quântica. O objetivo da aula é consolidar os conhecimentos adquiridos no módulo anterior aplicando-os à resolução dos exercícios. São abordados tópicos como partícula livre e em caixa de potencial tridimensional, operador momento angular e relações de comutação entre operadores.
I. As funções trigonométricas são utilizadas para modelar fenômenos periódicos na natureza, com conceitos como amplitude e período permitindo aplicações em diversas áreas.
II. O documento descreve as funções seno, cosseno e tangente, definindo-as geometricamente e explicando suas propriedades gráficas como intervalo de variação, período e deslocamentos.
III. Variações nos parâmetros de uma função trigonométrica geral influenciam seu gráfico, modificando amplitude, período ou deslocando
Este documento discute equações diferenciais parciais lineares de primeira ordem e o Teorema de Existência e Unicidade para o Problema de Cauchy. O documento introduz conceitos como operador diferencial parcial, equações diferenciais parciais lineares e não lineares, classificação de EDPs, e exemplos importantes como a equação de Laplace e equações de calor e onda.
O documento apresenta os conceitos básicos de trigonometria, incluindo as relações trigonométricas em triângulos retângulos, o teorema de Pitágoras, definições de seno, cosseno e tangente, valores notáveis dessas funções para ângulos de 30°, 45° e 60°, e fórmulas de adição e multiplicação para as funções trigonométricas.
O documento apresenta os conceitos básicos de trigonometria, incluindo as relações trigonométricas em triângulos retângulos, as definições de seno, cosseno e tangente, e valores notáveis dessas funções para ângulos de 30°, 45° e 60°. Também discute os conceitos de período e gráficos das funções seno, cosseno e tangente.
O documento apresenta os conceitos básicos de trigonometria, incluindo as relações trigonométricas em triângulos retângulos, as definições de seno, cosseno e tangente, valores notáveis dessas funções para ângulos de 30°, 45° e 60°, e fórmulas para adição e multiplicação de arcos.
O documento descreve funções logarítmicas cuja forma é f(x) = logax, com a > 0 e a ≠ 1. Explica que o domínio é R+ e o contradomínio é R. Apresenta exemplos e características do gráfico, mostrando que a função logarítmica é inversa da exponencial. Por fim, explica aplicações em economia, sismologia e astronomia.
1) O conceito de função evoluiu ao longo da história, com definições formais surgindo nos séculos XVI-XVII e XVIII.
2) Funções representam relações matemáticas entre variáveis, com aplicações em diversas áreas como física e astronomia.
3) A definição moderna de função surgiu com Euler no século XVIII, estabelecendo que uma função mapeia cada elemento de um conjunto de entrada para exatamente um elemento de saída.
Aula 7 - Uma Aula de Quântica no Ensino MédioNewton Silva
O documento discute os fundamentos da mecânica quântica, incluindo a função de onda Ψ, a equação de Schrödinger e como ela descreve o comportamento das ondas de matéria. A equação é usada para calcular a energia quantizada de uma partícula confinada em um poço de potencial.
1. O documento discute funções trigonométricas, equações e inequações trigonométricas. Apresenta as funções seno, cosseno e tangente, seus gráficos e propriedades.
2. Aborda os principais tipos de equações trigonométricas e como resolvê-las.
3. Explica o que são inequações trigonométricas e apresenta três casos de inequações envolvendo seno, cosseno e tangente.
O documento discute conceitos básicos de equações diferenciais ordinárias, incluindo tipos de equações, soluções e exemplos clássicos. Resume três pontos principais: 1) Equações diferenciais modelam movimentos e outros fenômenos físicos; 2) Exemplos históricos incluem movimento livre, queda livre e crescimento populacional; 3) A resolução de equações diferenciais é fundamental para a física e seu desenvolvimento.
1. O documento discute os princípios básicos das equações diferenciais ordinárias, incluindo conceitos como ordem, linearidade e soluções. 2. Apresenta exemplos clássicos de equações diferenciais que modelam movimentos como o movimento livre, queda livre e crescimento populacional. 3. Fornece exercícios para aplicar os conceitos discutidos.
Este documento apresenta exemplos e exercícios sobre funções e suas aplicações em diferentes situações. Na primeira situação de aprendizagem, discute-se sobre grandezas que dependem de outras variáveis e exemplos de funções, incluindo circunferência em função do raio, área em função do lado de um quadrado e massa em função do tempo de decomposição. A segunda situação trata da construção de gráficos funcionais. A terceira aborda as formas básicas de crescimento e decrescimento linear, exponencial e logarítmica.
O documento descreve um oscilador harmônico quântico simples, com três objetivos principais: 1) obter a solução da equação de Schrödinger para este sistema; 2) compará-la com a solução clássica correspondente; 3) aplicar o formalismo quântico ao potencial harmônico V(x)=1/2kx2.
O documento discute equações diferenciais de primeira ordem. Apresenta exemplos de como modelar problemas físicos usando tais equações e métodos para resolvê-las, como separação de variáveis. Exemplos incluem o movimento de um corpo sob a gravidade com e sem resistência do ar.
Este documento fornece uma introdução aos conceitos básicos de função polinomial de 1o grau, incluindo:
1) É apresentada a noção de função através de exemplos do cotidiano e de suas representações por tabela, diagrama e gráfico.
2) São explicados os conceitos de sistema de coordenadas cartesianas, domínio, conjunto imagem e a noção matemática de função.
3) São dados critérios para reconhecer através de diagramas e gráficos se uma relação é ou não uma função.
1) Uma função logarítmica transforma uma progressão geométrica em uma progressão aritmética.
2) A relação entre log10x e log10y é uma translação quando x = 10k * y.
3) A parte inteira de log10x é igual a k-1 quando a parte inteira de x tem k algarismos.
Semelhante a A função exponencial & trigonometria e aplicações (20)
Este documento fornece instruções para acessar um blog e áudio para aprender inglês repetindo o que é ouvido. Também apresenta a letra da música "Imagine" de John Lennon sobre um mundo sem fronteiras ou religião onde as pessoas vivem em paz.
Este documento fornece frases úteis em inglês para fazer compras, como perguntar onde encontrar lojas e itens, e interagir com vendedores ao comprar produtos. Ele inclui perguntas como "Where is the supermarket?" e respostas como "How much is it?".
O documento fornece frases em inglês para iniciar e encerrar conversas, como "Good morning", "How are you?", "Nice to meet you", "See you later", e exemplos de como se despedir para a próxima aula, semana ou dia da semana.
O documento é uma letra de música em que o cantor pede para a garota atender suas ligações e mensagens, pois sente falta de ouvir sua voz e vê-la. Ele diz que nunca vai desistir de ligar para ela porque sabe que ela é sua garota e que ela também o ama, apesar de não retornar suas muitas ligações e mensagens.
[1] O documento fornece instruções básicas para segurar e tocar violão, incluindo como posicionar as mãos e os dedos, como ler cifras e tablatura, e as partes fundamentais do violão.
[2] É explicado como inverter as cordas para canhotos e como posicionar o violão e as mãos corretamente.
[3] As cordas, casas, dedos, cifras musicais e tablatura são definidos para que o leitor entenda como ler e tocar músicas no violão.
O documento discute equações trigonométricas, definindo-as como equações que contêm funções trigonométricas de uma incógnita. Ele explica que as raízes de uma equação trigonométrica são os valores da incógnita que tornam a equação verdadeira e introduz as três equações trigonométricas fundamentais, resolvendo a primeira delas.
O documento descreve conceitos básicos de sistemas lineares, incluindo:
1) Equações lineares e sistemas lineares;
2) Matrizes associadas a sistemas lineares;
3) Classificação de sistemas lineares quanto ao número de soluções;
4) Técnica de escalonamento para resolver sistemas lineares.
1) Uma função quadrática é uma função polinomial do 2o grau da forma f(x)=ax2+bx+c, onde a, b e c são números reais e a ≠ 0. O gráfico de uma função quadrática é uma parábola.
2) Os zeros ou raízes de uma função quadrática são as soluções da equação do 2o grau ax2+bx+c=0, dadas pela fórmula de Bhaskara. O número de raízes reais depende do sinal do discriminante.
3) As coordenadas do vértice V
O documento descreve funções polinomiais do 1o grau, também chamadas de funções afins. Estas funções têm a forma f(x) = ax + b, onde a é o coeficiente de x e b é o termo constante. O documento explica que o gráfico de uma função afim é uma reta, e discute conceitos como crescimento, decrescimento, raiz e sinal destas funções.
O documento descreve o binômio de Newton, que fornece uma fórmula para calcular a potência de um binômio (a + b)n de forma sistemática. A fórmula utiliza coeficientes binomiais, que são organizados no triângulo de Pascal. A fórmula geral para o desenvolvimento do binômio de Newton é (a + b)n = ΣCnapnbn-p, onde Cna são os coeficientes binomiais e o somatório varia de p = 0 até p = n.
O documento descreve o binômio de Newton, que fornece uma fórmula para calcular a potência de um binômio (a + b)n de forma sistemática. A fórmula utiliza coeficientes binomiais, que são organizados no triângulo de Pascal. A fórmula geral para o desenvolvimento do binômio de Newton é (a + b)n = ∑(n sobre p)apbp, onde p varia de 0 a n.
O documento descreve o binômio de Newton, que fornece uma fórmula para calcular a potência de um binômio (a + b)n de forma sistemática. A fórmula utiliza coeficientes binomiais, que são organizados no triângulo de Pascal. A fórmula geral para o desenvolvimento do binômio de Newton é (a + b)n = ∑(n sobre p)apbp, onde p varia de 0 a n.
O documento apresenta o binômio de Newton, que fornece uma fórmula para calcular a potência de um binômio (a + b)n de forma sistemática. A fórmula utiliza coeficientes binomiais, que são organizados no triângulo de Pascal. A fórmula geral para o desenvolvimento do binômio de Newton é (a + b)n = ΣCnapnbn-p, onde Cnp são os coeficientes binomiais e o somatório varia de p = 0 até p = n.
O documento descreve os principais conjuntos numéricos: (1) os números naturais IN, (2) os números inteiros Z, (3) os números racionais Q, e (4) os números reais IR. Os números reais IR são a união dos números racionais Q e dos números irracionais. Entre qualquer dois números inteiros existem infinitos números reais.
Este documento explica conceitos fundamentais sobre módulo, funções modulares e equações modulares em 3 frases:
1) O módulo de um número real é sempre positivo ou nulo e representa a distância desse número até o ponto 0 na reta real.
2) Equações e inequações modulares envolvem módulos de expressões contendo incógnitas e devem ser analisadas em casos separados.
3) A função modular f(x)=|x| é definida por duas sentenças para números positivos e negativos e seu grá
O documento discute funções logarítmicas, apresentando: 1) Sua definição e domínio/contradomínio; 2) Como construir seus gráficos cartesianos para bases maiores ou menores que 1; 3) Exemplos de equações e inequações logarítmicas e como resolvê-las.
O documento discute funções logarítmicas, apresentando: 1) Sua definição e domínio/contradomínio; 2) Como construir seus gráficos cartesianos para bases maiores ou menores que 1; 3) Exemplos de equações e inequações logarítmicas e como resolvê-las.
O documento discute equações e funções exponenciais. Apresenta exemplos de equações exponenciais e seus passos de resolução, que envolvem reduzir os termos à mesma potência e aplicar a propriedade a^m = a^n => m = n. Também mostra gráficos de funções exponenciais f(x) = a^x para a > 1 e 0 < a < 1, e discute suas propriedades. Por fim, exemplifica inequações exponenciais e sua resolução.
O documento lista 18 identidades e fórmulas trigonométricas, incluindo relações entre seno, cosseno e tangente; fórmulas de adição, multiplicação e transformação em produto para seno e cosseno; e as condições sob as quais essas fórmulas são válidas.
1) O documento descreve progressões geométricas, que são sucessões de números obtidos multiplicando o número anterior por uma quantidade fixa chamada razão;
2) A fórmula para o termo geral de uma progressão geométrica é an = a1 x qn-1, onde a1 é o primeiro termo e q é a razão;
3) A soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica é dada por Sn = a1(1 - qn)/(1 - q).
As classes de modelagem podem ser comparadas a moldes ou
formas que definem as características e os comportamentos dos
objetos criados a partir delas. Vale traçar um paralelo com o projeto de
um automóvel. Os engenheiros definem as medidas, a quantidade de
portas, a potência do motor, a localização do estepe, dentre outras
descrições necessárias para a fabricação de um veículo
PRODUÇÃO E CONSUMO DE ENERGIA DA PRÉ-HISTÓRIA À ERA CONTEMPORÂNEA E SUA EVOLU...Faga1939
Este artigo tem por objetivo apresentar como ocorreu a evolução do consumo e da produção de energia desde a pré-história até os tempos atuais, bem como propor o futuro da energia requerido para o mundo. Da pré-história até o século XVIII predominou o uso de fontes renováveis de energia como a madeira, o vento e a energia hidráulica. Do século XVIII até a era contemporânea, os combustíveis fósseis predominaram com o carvão e o petróleo, mas seu uso chegará ao fim provavelmente a partir do século XXI para evitar a mudança climática catastrófica global resultante de sua utilização ao emitir gases do efeito estufa responsáveis pelo aquecimento global. Com o fim da era dos combustíveis fósseis virá a era das fontes renováveis de energia quando prevalecerá a utilização da energia hidrelétrica, energia solar, energia eólica, energia das marés, energia das ondas, energia geotérmica, energia da biomassa e energia do hidrogênio. Não existem dúvidas de que as atividades humanas sobre a Terra provocam alterações no meio ambiente em que vivemos. Muitos destes impactos ambientais são provenientes da geração, manuseio e uso da energia com o uso de combustíveis fósseis. A principal razão para a existência desses impactos ambientais reside no fato de que o consumo mundial de energia primária proveniente de fontes não renováveis (petróleo, carvão, gás natural e nuclear) corresponde a aproximadamente 88% do total, cabendo apenas 12% às fontes renováveis. Independentemente das várias soluções que venham a ser adotadas para eliminar ou mitigar as causas do efeito estufa, a mais importante ação é, sem dúvidas, a adoção de medidas que contribuam para a eliminação ou redução do consumo de combustíveis fósseis na produção de energia, bem como para seu uso mais eficiente nos transportes, na indústria, na agropecuária e nas cidades (residências e comércio), haja vista que o uso e a produção de energia são responsáveis por 57% dos gases de estufa emitidos pela atividade humana. Neste sentido, é imprescindível a implantação de um sistema de energia sustentável no mundo. Em um sistema de energia sustentável, a matriz energética mundial só deveria contar com fontes de energia limpa e renováveis (hidroelétrica, solar, eólica, hidrogênio, geotérmica, das marés, das ondas e biomassa), não devendo contar, portanto, com o uso dos combustíveis fósseis (petróleo, carvão e gás natural).
Este certificado confirma que Gabriel de Mattos Faustino concluiu com sucesso um curso de 42 horas de Gestão Estratégica de TI - ITIL na Escola Virtual entre 19 de fevereiro de 2014 a 20 de fevereiro de 2014.
Em um mundo cada vez mais digital, a segurança da informação tornou-se essencial para proteger dados pessoais e empresariais contra ameaças cibernéticas. Nesta apresentação, abordaremos os principais conceitos e práticas de segurança digital, incluindo o reconhecimento de ameaças comuns, como malware e phishing, e a implementação de medidas de proteção e mitigação para vazamento de senhas.
1. A função exponencial
A função exponencial natural é a função exp:R R+, definida como a inversa da
função logarítmo natural, isto é:
Ln[exp(x)]=x, exp[Ln(x)]=x
O gráfico da função exponencial é obtido pela reflexão do gráfico da função Logaritmo
natural em relação à identidade dada pela reta y=x.
Como o domínio da função Logaritmo natural é o conjunto dos números reais positivos,
então a imagem da função exp é o conjunto dos números reais positivos e como a
imagem de Ln é o conjunto R de todos os números reais, então o domínio de exp
também é o conjunto R de todos os números reais.
Observação: Através do gráfico de f(x)=exp(x), observamos que:
1. exp(x)>0 se x é real)
2. 0<exp(x)<1 se x<0
3. exp(x)=1 se x=0
4. exp(x)>1 se x>0
No Ensino Médio, a função exponencial é definida a partir da função logarítmica e
ciclicamente define-se a função logarítmica em função da exponencial como:
f(x)=exp(x), se e somente se, x=Ln(y)
Para uma definição mais cuidadosa, veja Logaritmos.
Exemplos:
1. Ln[exp(5)]=5
2. exp[ln(5)]=5
3. Ln[exp(x+1)1/2]=(x+1)1/2
4. exp[Ln((x+1)1/2]=(x+1)1/2
5. exp[3.Ln(x)]=exp(Ln(x³)]=x³
6. exp[k.Ln(x)]=exp[Ln(xk)]=xk
7. exp[(7(Ln(3)-Ln(4)]=exp[7(Ln(3/4))]=exp[(Ln(3/4)]7)=(3/4)7
A Constante e de Euler
Existe uma importantíssima constante matemática definida por
2. e = exp(1)
O número e é um número irracional e positivo e em função da definição da função
exponencial, temos que:
Ln(e)=1
Este número é denotado por e em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler
(1707-1783), um dos primeiros a estudar as propriedades desse número.
O valor deste número expresso com 40 dígitos decimais, é:
e=2,718281828459045235360287471352662497757
Conexão entre o número e e a função exponencial
Se x é um número real, a função exponencial exp(.) pode ser escrita como a potência de
base e com expoente x, isto é:
ex = exp(x)
Significado geométrico de e
Tomando um ponto v do eixo OX, com v>1 tal que a área da região do primeiro
quadrante localizada sob a curva y=1/x e entre as retas x=1 e x=v seja unitária, então o
valor de v será igual a e.
Propriedades básicas da função exponencial
Se x e y são números reais e k é um número racional, então:
1. y=exp(x) se, e somente se, x=Ln(y).
2. exp[Ln(y)]=y para todo y>0.
3. Ln[exp(x)]=x para todo x real.
4. exp(x+y)=exp(x) exp(y)
5. exp(x-y)=exp(x)/exp(y)
6. exp(x.k)=[exp(x)]k
Simplificações matemáticas
Podemos simplificar algumas expressões matemáticas com as propriedades das funções
exponenciais e logaritmos:
3. 1. exp[Ln(3)]=3.
2. Ln[exp(20x)]=20x.
3. exp[5.Ln(2)]=exp[Ln(25)]=25=32.
4. exp[2+5.ln(2)]=exp(2)exp(5.Ln(2))=32e².
Outras funções exponenciais
Podemos definir outras funções exponenciais como g(x)=ax, onde a é um número real
positivo diferente de 1 e de x. Primeiro, consideremos o caso onde o expoente é um
número racional r.
Tomando x=ar na equação x=exp[Ln(x)], obtemos:
ar=exp[Ln(ar)]
Como Ln[ar]=r.Ln(a), a relação acima fica na forma:
ar = exp[r.Ln(a)]
Esta última expressão, juntamente com a informação que todo número real pode ser
escrito como limite de uma sequência de números racionais, justifica a definição para
g(x)=ax, onde x é um número real:
ax=exp[x.Ln(a)]
Leis dos expoentes
Se x e y são números reais, a e b são números reais positivos, então:
1. axay=ax+y
2. ax/ay=ax-y
3. (ax) y=ax.y
4. (a b)x=axbx
5. (a/b)x=ax/bx
6. a-x=1/ax
Relação de Euler
Se i é a unidade imaginária e x é um número real, então vale a relação:
eix = exp(ix) = cos(x) + i sen(x)
Algumas Aplicações
Funções exponenciais desempenham papéis fundamentais na Matemática e nas ciências
envolvidas com ela, como: Física, Química, Engenharia, Astronomia, Economia,
Biologia, Psicologia e outras. Vamos apresentar alguns exemplos com aplicações destas
funções.
Lei do resfriamento dos corpos: Um indivíduo foi encontrado morto em uma sala com
temperatura ambiente constante. O legista tomou a temperatura do corpo às 21:00 h e
constatou que a mesma era de 32 graus Celsius. Uma hora depois voltou ao local e
4. tomou novamente a temperatura do corpo e constatou que a mesma estava a 30 graus
Celsius. Aproximadamente a que horas morreu o indivíduo, sabendo-se que a
temperatura média de um corpo humano normal é de 37 graus Celsius?
Partindo de estudos matemáticos pode-se construir uma função exponencial decrescente
que passa pelos pontos (21,32) e (22,30) onde abscissas representam o tempo e as
ordenadas a temperatura do corpo.
A curva que descreve este fenômeno é uma função exponencial da forma:
f(t) = C eA t
então obtemos que:
A = Ln(30)-Ln(32)
C = 32/ (30/32)21
A função exponencial que rege este fenômeno de resfriamento deste corpo é dada por:
f(t) = 124,09468 e-0,0645385t
e quando f(t) = 37 temos que:
t = 18,7504... = 18 horas + 45 minutos
que pode ser observado através do gráfico.
Observação: Neste exemplo, usamos a construção de um gráfico e as propriedades
operatórias das funções exponenciais e logarítmicas.
Curvas de aprendizagem: Devido ao seu uso por psicólogos e educadores na descrição
do processo de aprendizagem, as curvas exponenciais realizam um papel importante.
A curva básica para este tipo de estudo é da forma:
f(x) = c - a e-k.x
onde c, a e k são constantes positivas. Considerando o caso especial em que c=a temos
uma das equações básicas para descrever a relação entre a consolidação da
aprendizagem y=f(x) e o número de reforços x.
5. A função:
f(x) = c - a e-k.x
cresce rapidamente no começo, nivela-se e então aproxima-se de sua assíntota y=c.
Estas curvas também são estudadas em Economia, na representação de várias funções
de custo e produção.
Crescimento populacional: Em 1798, Thomas Malthus, no trabalho "An Essay on the
Principle of Population" formulou um modelo para descrever a população presente em
um ambiente em função do tempo. Considerou N=N(t) o número de indivíduos em certa
população no instante t. Tomou as hipóteses que os nascimentos e mortes naquele
ambiente eram proporcionais à população presente e a variação do tempo conhecida
entre os dois períodos. Chegou à seguinte equação para descrever a população presente
em um instante t:
N(t)=No ert
onde No é a população presente no instante inicial t=0 e r é uma constante que varia com
a espécie de população.
O gráfico correto desta função depende dos valores de No e de r. Mas sendo uma função
exponencial, a forma do gráfico será semelhante ao da função y=Kex.
Este modelo supõe que o meio ambiente tenha pouca ou nenhuma influência sobre a
população.
Desse modo, ele é mais um indicador do potencial de sobrevivência e de crescimento de
cada espécie de população do que um modelo que mostre o que realmente ocorre.
Consideremos por exemplo uma população de bactérias em um certo ambiente. De
acordo com esta equação se esta população duplicar a cada 20 minutos, dentro de dois
dias, estaria formando uma camada em volta da terra de 30 cm de espessura. Assim,
enquanto os efeitos do meio ambiente são nulos, a população obedece ao modelo
N=Noert. Na realidade, se N=N(t) aumenta, o meio ambiente oferece resistência ao seu
crescimento e tende a mantê-lo sobre controle. Exemplos destes fatores são, a
quantidade disponível de alimentos, acidentes, guerras, epidemias,...
Como aplicação numérica, consideremos uma colônia de bactérias se reproduzindo
normalmente. Se num certo instante havia 200 bactérias na colônia, passadas 12 horas
havia 600 bactérias. Quantas bactérias haverá na colônia após 36 horas da última
contagem?
No instante inicial havia 200 bactérias, então No=200, após 12 horas havia 600
bactérias, então
N(12)=600=200 er12
6. logo
e12r=600/200=3
assim
ln(e12r)=ln(3)
Como Ln e exp são funções inversas uma da outra, segue que 12r=ln(3), assim:
r=ln(3)/12=0,0915510
Finalmente:
N(48) = 200 e48.(0,0915510) = 16200 bactérias
Então, após 36 horas da útima contagem ou seja, 48 horas do início da contagem,
haverá 16200 bactérias.
Desintegração radioativa: Os fundamentos do estudo da radioatividade ocorrerram no
início do século por Rutherford e outros. Alguns átomos são naturalmente instáveis, de
tal modo que após algum tempo, sem qualquer influência externa sofrem transições para
um átomo de um novo elemento químico e durante esta transição eles emitem radiações.
Rutherford formulou um modelo para descrever o modo no qual a radioatividade decai.
Se N=N(t) representa o número de átomos da substância radioativa no instante t, No o
número de átomos no instante t=0 e k é uma constante positiva chamada de constante de
decaimento, então:
N(t) = No e-k.t
esta constante de decaimento k, tem valores diferentes para substâncias diferentes,
constantes que são obtidas experimentalmente.
Na prática usamos uma outra constante T, denominada meia-vida do elemento químico,
que é o tempo necessário para que a quantidade de átomos da substância decaia pela
metade.
Se N=No/2 para t=T, temos
No/2 = No e-k.T
assim
T=Ln(2)/k
Na tabela, apresentamos indicadores de meia-vida de alguns elementos químicos:
Substância Meia-vida T
Xenônio 133 5 dias
Bário 140 13 dias
Chumbo 210 22 anos
Estrôncio 90 25 anos
Carbono 14 5.568 anos
Plutônio 23.103 anos
Urânio 238 4.500.000.000 anos
Para o Carbono 14, a constante de decaimento é:
7. k = Ln(2)/T = Ln(2)/5568 = 12,3386 por ano
Trigonometria e aplicações
Introduzimos aqui alguns conceitos relacionados com a Trigonometria no triângulo
retângulo, assunto comum na oitava série do Ensino Fundamental. Também dispomos
de uma página mais aprofundada sobre o assunto tratado no âmbito do Ensino Médio.
A trigonometria possui uma infinidade de aplicações práticas. Desde a antiguidade já se
usava da trigonometria para obter distâncias impossíveis de serem calculadas por
métodos comuns.
Algumas aplicações da trigonometria são:
Determinação da altura de um certo prédio.
Os gregos determinaram a medida do raio de terra, por um processo muito
simples.
Seria impossível se medir a distância da Terra à Lua, porém com a trigonometria
se torna simples.
Um engenheiro precisa saber a largura de um rio para construir uma ponte, o
trabalho dele é mais fácil quando ele usa dos recursos trigonométricos.
Um cartógrafo (desenhista de mapas) precisa saber a altura de uma montanha, o
comprimento de um rio, etc. Sem a trigonometria ele demoraria anos para
desenhar um mapa.
Tudo isto é possível calcular com o uso da trigonometria do triângulo retângulo.
Triângulo Retângulo
É um triângulo que possui um ângulo reto, isto é, um dos seus ângulos mede noventa
graus, daí o nome triângulo retângulo. Como a soma das medidas dos ângulos internos
de um triângulo é igual a 180°, então os outros dois ângulos medirão 90°.
Observação: Se a soma de dois ângulos mede 90°, estes ângulos são denominados
complementares, portanto podemos dizer que o triângulo retângulo possui dois ângulos
complementares.
Para ver mais detalhes sobre triângulos clique aqui.
8. Lados de um triângulo retângulo
Os lados de um triângulo retângulo recebem nomes especiais. Estes nomes são dados de
acordo com a posição em relação ao ângulo reto. O lado oposto ao ângulo reto é a
hipotenusa. Os lados que formam o ângulo reto (adjacentes a ele) são os catetos.
Termo Origem da palavra
Cathetós:
Cateto
(perpendicular)
Hypoteinusa:
Hipotenusa
Hypó(por baixo) + teino(eu estendo)
Para padronizar o estudo da Trigonometria, adotaremos as seguintes notações:
Letra Lado Triângulo Vértice = Ângulo Medida
a Hipotenusa A = Ângulo reto A=90°
b Cateto B = Ângulo agudo B<90°
c Cateto C = Ângulo agudo C<90°
Para ver mais detalhes sobre ângulos clique aqui.
Nomenclatura dos catetos
Os catetos recebem nomes especiais de acordo com a sua posição em relação ao ângulo
sob análise. Se estivermos operando com o ângulo C, então o lado oposto, indicado por
c, é o cateto oposto ao ângulo C e o lado adjacente ao ângulo C, indicado por b, é o
cateto adjacente ao ângulo C.
Ângulo Lado oposto Lado adjacente
C c cateto oposto b cateto adjacente
B b cateto oposto c cateto adjacente
Um dos objetivos da trigonometria é mostrar a utilidade do conceitos matemáticos no
nosso cotidiano. Iniciaremos estudando as propriedades geométricas e trigonométricas
no triângulo retângulo. O estudo da trigonometria é extenso e minucioso.
Propriedades do triângulo retângulo
1. Ângulos: Um triângulo retângulo possui um ângulo reto e dois ângulos agudos
complementares.
9. 2. Lados: Um triângulo retângulo é formado por três lados, uma hipotenusa (lado
maior) e outros dois lados que são os catetos.
3. Altura: A altura de um triângulo é um segmento que tem uma extremidade num
vértice e a outra extremidade no lado oposto ao vértice, sendo que este segmento
é perpendicular ao lado oposto ao vértice. Existem 3 alturas no triângulo
retângulo, sendo que duas delas são os catetos. A outra altura (ver gráfico acima)
é obtida tomando a base como a hipotenusa, a altura relativa a este lado será o
segmento AD, denotado por h e perpendicular à base.
A hipotenusa como base de um triângulo retângulo
Tomando informações da mesma figura acima, obtemos:
1. o segmento AD, denotado por h, é a altura relativa à hipotenusa CB, indicada
por a.
2. o segmento BD, denotado por m, é a projeção ortogonal do cateto c sobre a
hipotenusa CB, indicada por a.
3. o segmento DC, denotado por n, é a projeção ortogonal do cateto b sobre a
hipotenusa CB, indicada por a.
Projeções de segmentos
Introduziremos algumas idéias básicas sobre projeção. Já mostramos, no início deste
trabalho, que a luz do Sol ao incidir sobre um prédio, determina uma sombra que é a
projeção oblíqua do prédio sobre o solo.
Tomando alguns segmentos de reta e uma reta não coincidentes é possível obter as
projeções destes segmentos sobre a reta.
Nas quatro situações apresentadas, as projeções dos segmentos AB são indicadas por
A'B', sendo que no último caso A'=B' é um ponto.
Projeções no triângulo retângulo
10. Agora iremos indicar as projeções dos catetos no triângulo retângulo.
1. m = projeção de c sobre a hipotenusa.
2. n = projeção de b sobre a hipotenusa.
3. a = m+n.
4. h = média geométrica entre m e n. Para saber mais, clique sobre média
geométrica.
Relações Métricas no triângulo retângulo
Para extrair algumas propriedades, faremos a decomposição do triângulo retângulo
ABC em dois triângulos retângulos menores: ACD e ADB. Dessa forma, o ângulo A
será decomposto na soma dos ângulos CÂD=B e DÂB=C.
Observamos que os triângulos retângulos ABC, ADC e ADB são semelhantes.
Triângulo hipotenusa cateto maior cateto menor
ABC a b c
ADC b n h
ADB c h m
Assim:
a/b = b/n = c/h
a/c = b/h = c/m
b/c = n/h = h/m
logo:
a/c = c/m equivale a c² = a.m
a/b = b/n equivale a b² = a.n
a/c = b/h equivale a a.h = b.c
h/m = n/h equivale a h² = m.n
11. Existem também outras relações do triângulo inicial ABC. Como a=m+n, somando c²
com b², obtemos:
c² + b² = a.m + a.n = a.(m+n) = a.a = a²
que resulta no Teorema de Pitágoras:
a² = b² + c²
A demonstração acima, é uma das várias demonstrações do Teorema de Pitágoras.
Funções trigonométricas básicas
As Funções trigonométricas básicas são relações entre as medidas dos lados do
triângulo retângulo e seus ângulos. As três funções básicas mais importantes da
trigonometria são: seno, cosseno e tangente. O ângulo é indicado pela letra x.
Função Notação Definição
medida do cateto oposto a x
seno sen(x)
medida da hipotenusa
medida do cateto adjacente a x
cosseno cos(x)
medida da hipotenusa
medida do cateto oposto a x
tangente tan(x)
medida do cateto adjacente a x
Tomando um triângulo retângulo ABC, com hipotenusa H medindo 1 unidade, então o
seno do ângulo sob análise é o seu cateto oposto CO e o cosseno do mesmo é o seu
cateto adjacente CA. Portanto a tangente do ângulo analisado será a razão entre seno e
cosseno desse ângulo.
12. sen(x)=
CO
H
=
CO
1
cos(x)=
CA
H
=
CA
1
tan(x)=
CO
CA
=
sen(x)
cos(x)
Relação fundamental: Para todo ângulo x (medido em radianos), vale a importante
relação:
cos²(x) + sen²(x) = 1