O documento introduz conceitos básicos de inferência estatística, incluindo: 1) População, amostra, variável aleatória e planejamento amostral; 2) Estatísticas e estimadores como formas de resumir características de uma amostra; 3) A teoria da otimalidade, que define o estimador ótimo como aquele que é não viesado e de variância mínima.

1. Introdução à Inferência Estatística
1. População: conjunto de indivíduos, ou itens, com pelo menos uma
característica em comum.
 Também será denotada por população objetivo, que é sobre a qual
desejamos obter informações e/ou fazer inferências.
 Pode, ainda, ser chamada de Universo.
Será denotada por:  Nu,,u,u,uU 321
iu unidades elementares, i = 1, 2, . . . , N.
N = no de elementos, ou tamanho, da população.
Exemplos:
a) Residentes da cidade de São Carlos;
b) Lote de peças produzido numa linha de produção de uma indústria;
c) Eleitores do município de São Paulo, aptos a votar na eleição;
d) Indivíduos do sexo masculino que sofrem de diabetes;
etc, etc, etc ...
1.1. Amostra: subconjunto, necessariamente finito, de uma
população.
 é selecionada de forma que todos os elementos da população tenham
a mesma chance de serem escolhidos.
1.1.1. Planejamentos Amostrais: são esquemas para coletas de dados
numa pesquisa amostral.
 Existem vários tipos de planejamentos dos quais destacaremos:
 Amostra Aleatória Simples – AAS
 Amostra Aleatória Estratificada – AAE
 Amostra Aleatória por Conglomerados – AAC

2. 1.2. Estudo Experimental: experimento no qual um tratamento é
deliberadamente aplicado aos indivíduos (ou itens) a fim de
observar a sua resposta.
Exemplos:
a) ensaios para se verificar a dureza de materiais;
b) estudos caso-controle em epidemiologia;
c) pesos de cobaias submetidas à diferentes dietas;
“Requer um Planejamento Experimental.”
 No estudo experimental é muito importante determinar o número de
elementos necessários, ou seja, o tamanho da amostra;
 É importante, também, planejar adequadamente a amostra de maneira a
não interferir nos resultados.
2. Levantamentos de dados: a seguir, serão apresentadas algumas
situações envolvendo levantamentos de dados.
2.1. Uma amostra: sortear ao acaso n elementos de uma população para
participar da amostra.
Exemplos:
a) dentre os eleitores de um município, sortear uma amostra para
participar de uma pesquisa de intenção de votos;
b) produzir uma amostra de peças de espuma, segundo uma específica
formulação, para serem colocadas num teste de resistência à tração.
 Normalmente compara-se a amostra com um padrão já conhecido;
 Espera-se que a população seja homogênea (pouca variabilidade).

3. 1
2 1
3 2

 n
N
População Amostra
2.2. Duas Amostras: amostras são retiradas de uma ou duas populações.
 quando dispomos de duas amostras, geralmente queremos realizar
uma comparação entre as mesmas.
2.2.1. Amostras independentes: nenhum elemento da primeira amostra
interfere nos da segunda.
a) dois tratamentos: tomar n elementos de uma única população e dividí-
los em dois grupos, de preferência de mesmo tamanho.
(ou sortear, independentemente, duas amostras de uma mesma
população)
1
1 2
2 
3 n1
 n1 + n2 = n
 1
2
N 
n2
População Amostras

4. b) Duas populações: sortear n1 elementos da primeira população e n2 da
segunda e aplicar o mesmo tratamento em ambas.
1 1
2 2
3 
 n1
N1  n1 + n2 = n
1 1
2 2
3 
 n2
N2
Populações Amostras
2.2.2. Amostras pareadas ou emparelhadas (dependentes): uma
amostra observada em dois instantes diferentes: (antes/depois),
(tempo 1, tempo 2).
1 1 Fazer as diferenças:
2 t 2
  di = yi2 – yi1
n n
t1 t2
Amostras

5. 2.2.3. k amostras: quando se tem k ≥ 3 amostras para comparar.
a) k grupos independentes: classificar, ao acaso, n elementos em k
grupos tal que n = n1 + n2 + . . . + nk.
 O ideal é que todos os grupos sejam de mesmo tamanho:
n1 = n2 = . . . = nk
A1 : 1, 2, . . . , n1

k grupos
independentes
A2 : 1, 2, . . . , n2

Ak : 1, 2, . . . , nk
 A variável A é chamada de fator e os grupos A1, A2, . . . , Ak são os
tratamentos ou níveis do fator A.
b) Medidas Repetidas: o mesmo grupo, de tamanho n, é observado em k
instantes diferentes.
1 1 1 1
2 2 2 . . . 2
   
n n n n
t1 t2 t3 tk

6. c) k grupos independentes com duas classificações: classificação
de vários grupos quando se tem dois critérios (ou fatores) para a
divisão dos mesmos.
 Considere, por exemplo, um fator com três níveis (A1, A2, A3) e um
segundo fator com dois níveis (B1, B2), terem-se k = 23 = 6
grupos para serem comparados.
A1
B1 A1 B1
B2 A1 B2
A2
B1 A2 B1
 6 grupos
B2 A2 B2
A3
B1 A3 B1
B2 A3 B2
RESUMO
1 amostra  1 população
2 amostras
Independentes
2 tratamentos (1 pop)
1 tratamento (2 pop)
Dependentes dados pareados
k amostras
( k ≥ 3 )
Independentes
1 fator
2 fatores
Dependentes medidas repetidas

7. 3. Conceitos em Inferência
3.1. Parâmetro Populacional
Geralmente denotado por , é uma característica populacional
de interesse que pode ser expressa através de uma quantidade numérica.
É desconhecido e fixo.
Exemplos:
 no de desempregados,
 salário médio de uma categoria ou população,
 opinião a respeito de uma dada atitude,
 casos de dengue,
 tempo gasto com filhotes,
 tamanho da população
 tempo de vida
 no de votos para um determinado candidato,
 produção agrícola, etc...
3.2. Espaço Paramétrico
Denotado por , é o conjunto dos possíveis valores de .
Exemplos:
  = {  | –∞ <  < ∞ };
  = {  | 0 <  < ∞ };
  = {  | 0 ≤  ≤ 1 };
  = { (1, 2 ) | –∞ < 1 < ∞ e 0 < 2 < ∞ }.

8. 3.3. Amostra aleatória: representada pelas iniciais aa, é formada pela
observação de n variáveis aleatórias X1, X2, . . . , Xn, independentes
e identicamente distribuídas, iid.
nXXX ,,, 21   )(xF
3.4. Variável aleatória: uma variável aleatória ou va, é uma característica
desconhecida, que pode variar de um indivíduo para outro da
população e que, ao ser observada ou mensurada, deve gerar uma
única resposta.
Tipos de variáveis:
a) Variáveis qualitativas: variáveis cujos possíveis resultados são
atributos ou qualidades. São NÃO NUMÉRICAS.
Podem ser classificadas em:
 ORDINAIS, quando obedecem a uma ordem natural ou
 NOMINAIS, quando não seguem nenhuma ordem.
b) Variáveis quantitativas: variáveis cujos possíveis resultados são
valores NUMÉRICOS, resultantes de mensuração ou contagem.
Podem ser classificadas em:
 DISCRETAS, quando assumem valores num espaço finito ou infinito
enumerável ou
 CONTÍNUAS, quando assumem valores num conjunto não
enuméral (conjunto dos números reais).
iid

9. 3.5. Estatística: é uma medida numérica, S(X), que descreve uma
característica da amostra e que não depende de parâmetros
desconhecidos.
A estatística é uma função da amostra: S(X) = f (X1, X2, . . . , Xn)
 toda estatística S(X) é uma va
Exemplos:

n
X
X
n
i
i

 1
– média amostral,

 
1
1
2
2





n
XX
s
n
i
i
– variância amostral,
 X(1) = mínimo  1ª estatística de ordem,
 X(n) = máximo  n-ésima estatística de ordem.
PARÂMETROS E ESTATÍSTICAS
Nome
ESTATÍSTICA
Amostra
PARÂMETRO
População
Média X 
Variância s2
2
Correlação rX,Y X,Y
Proporção pˆ p
  
3.6. Estimador: é uma quantidade, obtida a partir de uma amostra, que
“estima” o valor de um parâmetro populacional.
Será denotado por T(X).

10. { T(X) }  { S(X) }, ou seja, todo estimador é uma função da
amostra e, portanto, é uma estatística, porém, nem toda estatística é um
estimador.
 todo estimador T(X) é uma va
Notação: Como T(X) estima o parâmetro , uma notação simplificada
para o estimador é dada por:  ˆ)(XT
3.6.1. Estimativa: estimativa é o valor de T(X) obtido de uma aa.
3.7. A Inferência Estatística:
“A Inferência Estatística busca obter informações de
parâmetros populacionais por intermédio das características
de uma amostra e de suas distribuições de probabilidade”.
Amostra aleatória
 = parâmetro ˆ = estimador
Intervalos de Confiança
Testes de Hipótese

11. ESQUEMATICAMENTE
3.7.1. Questões que surgem:
 Quantos estimadores existem para um parâmetro populacional?
 Quais as qualidades que se deseja de um estimador?
 Como escolher o melhor estimador?
Resposta: Teoria da Otimalidade.

12. 3.8. O Estimador Ótimo
A teoria da Otimalidade estuda as propriedades dos estimadores e
define critérios para a escolha do estimador ótimo.
Segundo essa teoria um estimador é ótimo basicamente se for:
não viesado e de mínima variância.
3.8.1. Estimador não viesado (não viciado): o viés, do inglês bias, é
definido pela diferença entre o valor esperado do estimador e
o parâmetro o qual este está estimando.
Seja ˆ , estimador de , então o viés de ˆ é definido por:
B(ˆ ) = E(ˆ ) – 
em que  é o espaço paramétrico.
Se E(ˆ ) = , ˆ é dito não viesado (ou não viciado) e
B(ˆ ) = 0
3.8.2. Precisão: uma propriedade importante para um estimador é que
seja preciso, em outras palavras, que tenha baixa variabilidade
 ˆ deve ser escolhido tal que sua variância seja a menor
possível
 )ˆ(|ˆ  Var seja mínima 

13. 3.8.3. Consistência: além de ser não viesado e de variância mínima
deseja-se que o estimador ˆ seja consistente.
Um estimador ˆ é dito ser consistente para  se


)ˆ(lim E
n
e
0)ˆ(lim 

Var
n
Conforme aumenta o tamanho da amostra, mais ˆ se aproxima de .
3.8.4. O Erro Quadrático Médio (EQM): o erro quadrático médio de
um estimador ˆ é definido por
EQM(ˆ )= E[(ˆ – )2 ]
Prova-se facilmente que
EQM(ˆ ) = Var(ˆ ) + [B()]2
Logo, se o estimador ˆ é não viesado, então, seu EQM é mínimo e
EQM(ˆ ) = Var(ˆ )
Assim, a teoria da otimalidade procura, dentre os estimadores
não viesados, aquele de menor variância.

15. Exemplo: estimadores para a média populacional - .
1) Estimar a média das alturas dos alunos da turma B de Estatística 2.
Quais os estimadores possíveis?
Vamos propor 4 estimadores:
a) a média amostral:
n
X
X i
A
ˆ
b) o ponto médio entre os valores máximo e o mínimo da amostra:
2
ˆ
)1()( XX n
B


c) a mediana da amostra: XC
~
ˆ 
d) a 5ª observação: 5ˆ XD 

16. 4. Estimadores para a média 
A maioria das aplicações em estatística envolvem a estimação da
média populacional .
Quais os possíveis estimadores e qual deles é o melhor
(estimador ótimo).
 Média aritmética ou média amostral ( X );
 Média geométrica;
 Média harmônica;
 Média aparada;
 Média ponderada;
 Mediana amostral ( X
~
);
 Extimadores do tipo Bˆ e Dˆ (ver exemplo).
Qual desses estimadores é o melhor para estimar ?
a) 1º - escolher os não viesados;
b) 2º - dentre os não viesados, encontrar o de menor variância.
A teoria estatística (otimalidade) resolve esse problema e mostra
qual o estimador ótimo para .
Segundo essa teoria, o estimador ótimo para  é a média amostral
(aritmética) X .

17. Estudo das propriedades dos estimadores: média amostral, média
harmônica, média geométrica e média ponderada
( X1/3 + 2*X2/3 ) para amostras de tamanho n = 2, com reposição.
População 2 3 5 6 8
Parâmetros
Populacionais
Média
 = 4.8
Variância
2 = 4.56
Tamanho
N = 5

n
2

= 2.28
Amostras Estimadores
X1 X2 X M. Harm. M. Geom. M. Pond.
2 2 2 2.000 2.000 2.000
2 3 2.5 2.400 2.449 2.667
2 5 3.5 2.857 3.162 4.000
2 6 4 3.000 3.464 4.667
2 8 5 3.200 4.000 6.000
3 2 2.5 2.400 2.449 2.333
3 3 3 3.000 3.000 3.000
3 5 4 3.750 3.873 4.333
3 6 4.5 4.000 4.243 5.000
3 8 5.5 4.364 4.899 6.333
5 2 3.5 2.857 3.162 3.000
5 3 4 3.750 3.873 3.667
5 5 5 5.000 5.000 5.000
5 6 5.5 5.455 5.477 5.667
5 8 6.5 6.154 6.325 7.000
6 2 4 3.000 3.464 3.333
6 3 4.5 4.000 4.243 4.000
6 5 5.5 5.455 5.477 5.333
6 6 6 6.000 6.000 6.000
6 8 7 6.857 6.928 7.333
8 2 5 3.200 4.000 4.000
8 3 5.5 4.364 4.899 4.667
8 5 6.5 6.154 6.325 6.000
8 6 7 6.857 6.928 6.667
8 8 8 8.000 8.000 8.000
Médias 4.8 4.323 4.546 4.80
Variâncias 2.28 2.5852 2.3772 2.5333

18. Tabela resumo dos estimadores para a Média Populacional.
Estimadores
X M. Harm. M. Geom. M. Pond.
Média do Estimador 4.8 4.3229 4.5456 4.8
Vício 0 -0.4771 -0.2544 0
Vício ao quadrado 0 0.2277 0.0647 0
Variância do Estimador 2.28 2.5852 2.3772 2.5333
EQM 2.28 2.8129 2.4419 2.5333
Relação da variância de X com as demais 1 1.1339 1.0426 1.1111

19. Métodos de Estimação:
A teoria estatística define diversos métodos de estimação, dentre os
quais destacamos:
4.1. Método da máxima verossimilhança: o estimador é dado pelo valor
que maximiza a distribuição conjunta da amostra, também chamada de
função de verossimilhança.



n
i
ixfdadosL
1
)()|(  )]([maxˆ 

LMV
4.2. Métodos dos momentos: o estimador é obtido igualando os
momentos amostrais com os momentos populacionais.
 Depende da distribuição de probabilidade da população
 O momento de ordem k de uma va é definido como
)( k
k XE , k ≥ 1, se k = 1  )(1 XE
 O momento amostral de ordem k de uma va é definido como
n
X
m
k
i
k
 , se k = 1  Xm 1
 Para estimar a média populacional , faz-se:
11ˆˆ m
ou seja, Xˆ

20. Para um parâmetro  qualquer, se
)()(  fXE k
k  )ˆ(ˆ 1
kMM f  
.
Se k = 1, 1)( f e o estimador dos momentos para  é
)(ˆ 1
XfMM


4.3. Método mínimos quadrados: o estimador é aquele que minimiza
uma soma de quadrados de erros entre os valores da amostra e uma
função do parâmetro )(g .
 Se queremos estimar a média , então )()( XEg  .
Nesse caso, o erro e para cada observação é calculado por
)]([  iii gxe , i = 1, 2, . . . n, e



n
i
ii gxSQE
1
2
)]([)( .
O estimador de mínimos quadrados é dado pelo valor de 
que minimiza SQE():
)]([minˆ 

SQEMQ
 O estimador de mínimos quadrados é mais utilizado no ajuste de
modelos de regressão linear.

21. 4.4. Estimador Bayesiano: o estimador Bayesiano é obtido a partir
de uma ponderação da função de verossimilhança por uma
distribuição de probabilidade para .
 Seja uma distribuição de probabilidade (), denominada de
distribuição a priori de , então
(|dados)  ()L(|dados),
(|dados) é a distribuição a posteriori de , dada a amostra.
 Um estimador Bayesiano muito utilizado é dado pelo valor que
maximiza a posteriori, ou seja, pela moda de (|dados):
)]|([maxˆ dadosBay 

5. O Estimador para a média .
5.1. Mostrar que a média amostral X atende às propriedades de
estimador ótimo para .
5.2. A distribuição da média amostral X .
5.2.1. O Teorema do Limite Central (TLC).
5.3. O estimador para a proporção p.
5.3.1. A distribuição da proporção amostral pˆ .

22. 5.4. Determinação do tamanho da amostra na estimação da média
5.5. O estimador para a variância populacional 2
 .
5.5.1. A distribuição da variância amostral 2
s .
Exemplos:
1) Um elevador de capacidade 500kg serve um edifício. Se a distribuição
do peso dos usuários for N(70, 100), determine:
a) A probabilidade de que 7 passageiros ultrapassem esse limite.
b) E 6 passageiros?
2) Um produto da marca XIS é comercializado em pacotes de 1kg, sendo
que a distribuição do peso dos pacotes, em gramas, é N(1000, 51.2).
A fiscalização inspeciona o produto por amostras de 5 pacotes e aplica
uma multa se a média for menor do que 4g a menos do peso
especificado.
a) Qual a probabilidade de que o produto XIS seja multado?
Os produtores de XIS pretendem diminuir essa probabilidade. Para
isso o Estatístico da empresa deu duas sugestões: deslocar a média,
aumentando o peso dos pacotes ou aplicar ações visando reduzir a
variabilidade do processo de empacotamento.
b) Para quanto deve ser regulada a nova média de tal forma que a
probabilidade em (a) seja de no máximo 0.03?
c) Caso se escolha a segunda opção, de quanto deve ser a nova
variância para se obter o mesmo resultado?

23. Considere, agora, que a produtora tenha um custo adicional de 25
centavos por cada pacote com peso acima de 1008g. Qual a alteração
no custo em cada um dos casos para um produção de 5 toneladas?
3) Para estimar o nível de dureza de peças de espuma injetada com boa
precisão o técnico responsável decide selecionar uma amostra da
produção para medição. Como os ensaios de medição são destrutivos,
o número de peças para análise deve ser bem determinado para evitar
gastos desnecessários. (dados históricos registram a variância do
processo de produção como 2 = 2.96).
Inicialmente fixou-se como precisão  = 0.5ud.
a) Determinar o número de peças tal que a probabilidade de que a
precisão seja alcançada seja de 0.99.
b) A gerência achou esse número muito elevado e decidiu reduzir a
precisão para 0.75ud. Que o número de peças deve ser
inspecionado com esse novo valor?
4) Numa pesquisa eleitoral foi realizada uma pré-amostra de tamanho 40
obtendo-se 24.0ˆ p de eleitores que votam no candidato do partido
PX.
a) Qual deve ser o tamanho da amostra para que, com probabilidade
0.95, a estimativa pˆ não se distancie de p mais do que 0.02?
b) Refazer o cálculo do tamanho da amostra pelo método conservativo.
5) Seja uma população com 20 e 567.22
 .
a) Numa amostra de tamanho n = 9, qual a probabilidade de que a
variância amostral seja superior a 4.3?
b) Determine um limite inferior k para o qual a probabilidade de que 2
s
ser menor do que k seja de 0.025.

24. Exercícios de Revisão
6) Um produto pesa em média 10g com desvio-padrão de 3g. Este é
embalado em caixas de 150 unidades. A caixa vazia pesa, em média,
200g com desvio-padrão de 9g. Admitindo que as variáveis em questão
tenham distribuições normais e que as 150 unidades que são colocadas
em uma caixa são tomadas ao acaso, determine a probabilidade de
uma caixa cheia pesar mais de 1610g.
Resolução: Sejam as va’s
XP : peso do produto  N( 10 ; 9 )
XC : peso da caixa  N( 200 ; 81 )
XT : peso total da caixa cheia  ?
Resultados:
i) Se X1  N( 1 ; 1
2
) e X2  N( 2 ; 2
2
), independentes, então
 X1 ± X2  N(1 ± 2 ; 1
2
+ 2
2
)
ii) Se X1, X2, . . . , Xn  N(  ; 2
), iid
 X1 + X2 + . . . + Xn  N(n ; n2
)
De (i) e (ii), temos que XT = XP1 + XP2 + . . . + XP150 + XC e,
XT  N( T ; 2
T ), em que:
T = 15010 + 200 = 1700g
2
T = 1509 + 81 = 1431g2
ou seja, XT  N( 1700 ; 1431 ).
9913.0)38.2()1610(  ZPXP T .

25. 7) Uma máquina automática enche latas, baseada no peso bruto das
mesmas. O peso bruto tem distribuição normal com média 1.000g e
desvio padrão 20g. As latas têm pesos distribuídos normalmente com
média 90g e desvio padrão 10g. Qual a probabilidade de que uma lata
escolhida ao acaso tenha de peso líquido:
a) menor do que 830g?
b) maior do que 870 g?
c) entre 860 e 930g?
Resolução: Sejam as va’s
XB : peso do produto  N( 1000 ; 400 )
XL : peso da caixa  N( 90 ; 100 )
XQ : peso total da caixa cheia  N( Q ; 2
Q ),
De (i) temos que XQ = XB – XL e,
Q = 1000 – 90 = 910g
2
Q = 400 + 100 = 500g2
ou seja, XQ  N( 910 ; 500 ).
a) 0.0001718)58.3()830(  ZPXP Q
b) 0.96330367.01)79.1()870(  ZPXP Q
c) 0.01250.8133)89.024.2()930860(  ZPXP Q
0.80)930860(  QXP

26. 8) Seja X uma única observação de uma va com distribuição Bernoulli().
Sejam 1
ˆ = X e 2
ˆ = 1/2, dois estimadores para :
a) verifique se os estimadores são não viesados para ;
b) compare os EQM´s construa um gráfico como função de .
X  Bernoulli(  ), 0 ≤  ≤ 1, tal que
)(XE e )1()( XVar
a)  )()ˆ( 1 XEE  1
ˆ não é viesado para 
2
1
)2/1()ˆ( 2  EE  2
ˆ é viesado para , sendo
2
2 ]2/1[)ˆ( B
b) 22
111 )]ˆ([)ˆ()ˆ(  BVarEQM
22
22 25.0)]ˆ([)2/1()ˆ(  BVarEQM
Os EQM’s podem ser comparados obtendo-se os valores de  tal
que )ˆ()ˆ( 21  EQMEQM , ou seja,: 22
25.0 
Desta forma, se :








melhor1b
éˆou
a0
1


 
melhor
éˆba 2








fazb
tantoou
a

27. 9) Sejam X1, X2, . . . , Xn uma aa de tamanho n da distribuição uniforme no
intervalo (0, ).
Considere os estimadores Xc11
ˆ  e 




 

2
ˆ 1
22
nXX
c .
a) Ache c1 e c2 tais que 1
ˆ e 2
ˆ sejam não viesados para ;
b) encontre os EQM´s dos dois estimadores
X  U( 0,  ),  


2
)(XE e 2
2
12
)( 

XVar
a)
2
)()ˆ( 111

 cXcEE
 para 21 c , 1
ˆ não é viesado para 
22
)()(
2
)ˆ( 2
21
2
1
22














 
 c
XEXE
c
XX
cEE n
 para 22 c , 2
ˆ não é viesado para 
Logo, X2ˆ1  e 




 

2
2ˆ 21
2
XX
não são viesados para .
b) 2
)]ˆ([)ˆ()ˆ(  BVarEQM
12
)/(
4)2()ˆ()ˆ(
2
11
n
XVarVarEQM


n
EQM
3
)ˆ(
2
1


12
2)()(
2
4)ˆ(
2
21
1
2






 
 XVarXVar
XX
VarEQM n
6
)ˆ(
2
2

EQM