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Curso Probabilidade e Estatística
 Introdução
 Probabilidade:
  Conceitos de:

  Espaço Amostral (Todas combinações) Exemp:
  Jogar dois dados

  Eventos (subconjuntos definindo um resultado
  bem determinado)
  Exemplos:
  E: dar 1 nos dois dados;
  F: soma dos pontos igual a 4
  G: soma dos pontos menor ou igual a 5
  H: dar dois no 1o dado

 Evento Intersecção : G   H
 Evento União       :F    H

 Eventos mutuamente excludentes (exclusivos)
 I J=Ø
Probabilidade e suas propriedades: Número real
     a) 0 P(E) 1
     b) P(S) = 1
     c) P(Ø) = 0
     d) Se E, F, ..., K mutuamente excludentes
        P(E F .... K) = P(E)+P(F)+...+P(K)
     e) P( ) = 1 – P(E)
     f) P(E F) = P(E) + P(F) – P(E F)
     g) P(E F) = P(E) + P(      F)
     h) Etc...

Atribuição frequencialista de Probabilidade
     P(E) = m/n
     Onde m = # de eventos favoráveis ao evento E
     n = # de resultados possíveis (equiprováveis)

Probabilidade Condicionada
P(E/F) = P(E F)/P(F) P(F) ‡ 0
P(F/E) = P(E F)/P(E) →
P(E F) = P(E/F).P(F) = P(F/E). P(E)
P(E F G) = P(E).P(F/E).P(G/E F)
Teorema da Probabilidade Total
E1, E2, ..., En partições do S e F um evento qualquer
do S então
P(F) =
Teorema de Bayes

P(Ej/F) =

Exemplo
1)Suponha-se que um grande número de caixas de
bombons seja de dois tipos, A e B. O tipo A contém
70% de bombons doces e 30% de bombons
amargos, enquanto no tipo B estas percentagens
são inversas. Sabe-se que 60% das caixas são do
tipo A e o restante do tipo B. Você pode tirar um
bombom de amostra de uma determinada caixa e
através do seu sabor inferir se ele veio de caixa tipo
A ou B.
2)Faça o mesmo exercício para a retirada de dois
bombons.
3)Uma urna contém 3 bolas brancas e 4 pretas.
Extraindo-se simultaneamente 3 bolas da urna,
calcular a probabilidade de que a) pelo menos duas
sejam brancas; b) pelo menos uma seja preta.
4)Uma caixa contém 5 bolas brancas e 3 pretas.
Duas bolas são retiradas simultaneamente ao acaso
e substituídas por três bolas azuis. Em seguida,
duas novas bolas são retiradas ao acaso da caixa.
a)Calcular a prob. destas duas últimas serem da
mesma cor.
b)Se as duas últimas bolas retiradas forem uma
branca e uma preta, calcular a probabilidade de
que, na primeira extração, tenham saído duas
brancas.
5)Em uma universidade, 40% dos estudantes
praticam futebol e 30% natação. Dentre os que
praticam futebol, 20% praticam também natação.
Qual a porcentagem de estudantes que não pratica
nenhum dos dois esportes?
6)Um meteorologista acerta 80% dos dias em que
chove e 90% dos dias em que faz bom tempo.
Chove em 10% dos dias. Tendo havido previsão de
chuva, qual a probabilidade de chover?
7)Sejam A e B dois eventos tais que P(A)=0,4 e
P(AυB) =0,7. Seja P(B) =p. Para que valores de p, A
e B serão mutuamente excludentes ou independ.?
8)Uma caixa tem 4 moedas, uma das quais com
duas caras. Uma moeda ao acaso foi jogada duas
vezes, obtendo–se duas caras. Qual é a prob. de
ser a moeda com duas caras?

      Variáveis Aleatórias Unidimensionais


Exemplo: altura da população (noções sobre
variável e distribuição de probabilidade)


Variável aleatória: função que associa números
reais aos eventos, nem sempre quantitativos, de um
espaço amostral
Exemplos: variáveis aleatórias discretas.
a)jogar um dado, X=número de face para cima ou
X= o dobro do número de face superior menos um.
b)jogar 4 moedas e definir Y=número de caras
obtidas
A distribuição de probabilidade destas variáveis é
caracterizada por uma função probabilidade que
associa probabilidades não-nulas aos possíveis
valores da variável aleatória, e zero aos demais
valores. P(        ou P
Variáveis aleatórias contínuas
Mesmo exemplo das alturas
Função densidade de Probabilidade (o equivalente
às funções de probabilidade nas variáveis discretas)
Obedece às seguintes propriedades:
  a)
  b)
  c)

Exemplo:
                para      ;
                para          ;
                para      .
Função de repartição ou de distribuição
acumulada
                 →
p/ Variáveis discretas:                  e

p/ Variáveis contínuas:                  .
Parâmetros de posição
 A. Média, ou expectância, ou esperança
   matemática. Será denotada por μ ou E, e
   definida por
             =           ,
   para as variáveis discretas e por
                              ,
   para as variáveis contínuas

   As propriedades da média:
    a)
    b)
    c)
    d)
    e)

 B. Mediana (     :
                                    , Generalizando
   esta idéia pode-se dividir a distribuição em
   várias partes equiprováveis: os quartis (4
   partes), decis(10 partes), percentis(100 partes),
   etc.
C. Moda (mo)
   Ponto(s) de maior probabilidade, no caso
   discreto, ou maior densidade de probabilidade,
   no caso contínuo

Parâmetros de dispersão
 A. Variância (     ou, simplesmente,
                      →
                            no caso discreto e
                                  no caso contínuo
    Outra forma de escrever a definição da      é:

    onde                      no caso discreto e
                              no caso contínuo
    Principais propriedades da variância são:
    a)
    b)
    c)
    d)

 B. Desvio-padrão (           )
C. Coeficiente de variação (



 D. Amplitude (R)
    Diferença entre o maior e o menor valores
    possíveis da variável

Desigualdade de tchebycheff
Pode-se demonstrar que, para qualquer distribuição
de probabilidade com média e desvio-padrão,



Exemplos

 1. Dois dados são lançados. Determinar a função
    probabilidade e a função de repartição da
    variável aleatória Z, soma dos pontos obtidos.
    Determinar a média, mediana, moda, variância,
    desvio-padrão, coeficiente de variação, e
    amplitude desta distribuição.
2. Calcular a média, mediana, moda e desvio
   padrão da variável aleatória discreta definida
   pela seguinte função probabilidade.

    250            0,10
    253            0,35
    256            0,30
    259            0,15
    262            0,05
    265            0,05


3.Um jogo equitativo é um jogo em que o ganho
esperado é nulo. Se apostarmos R$1 que certa
pessoa nasceu em determinado dia da semana,
de quanto deve ser a contra proposta para que se
torne um jogo equitativo?
4.Uma urna contém 5 bolas brancas e 7 bolas
pretas. Três bolas são retiradas desta urna. Qual
a distribuição de probabilidade do número de
bolas brancas retiradas? Se ganharmos R$ 2,00
por bola branca retirada e perdemos R$1 por bola
preta retirada, até quanto vale a pena pagar para
entrar neste jogo?
5.Seja a variável aleatória definida pela seguinte
função densidade de probabilidade
              para       ;
              para            ;
             para      .
Determinar sua função de repartição e calcular a
média, mediana, moda, variância e desvio-padrão.

6.Uma variável continua tem a seguinte função
densidade de probabilidade
                       para       ;
                       para           ;
                       para           ;
                      para       .
  Determinar a constante , a função de repartição,
  a probabilidade de se obter um valor superior a
  1,5, a média, a mediana, a variância e o desvio-
  padrão.
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1 introdução e variáveis aletórias

  • 1. Curso Probabilidade e Estatística  Introdução  Probabilidade: Conceitos de: Espaço Amostral (Todas combinações) Exemp: Jogar dois dados Eventos (subconjuntos definindo um resultado bem determinado) Exemplos: E: dar 1 nos dois dados; F: soma dos pontos igual a 4 G: soma dos pontos menor ou igual a 5 H: dar dois no 1o dado Evento Intersecção : G H Evento União :F H Eventos mutuamente excludentes (exclusivos) I J=Ø
  • 2. Probabilidade e suas propriedades: Número real a) 0 P(E) 1 b) P(S) = 1 c) P(Ø) = 0 d) Se E, F, ..., K mutuamente excludentes P(E F .... K) = P(E)+P(F)+...+P(K) e) P( ) = 1 – P(E) f) P(E F) = P(E) + P(F) – P(E F) g) P(E F) = P(E) + P( F) h) Etc... Atribuição frequencialista de Probabilidade P(E) = m/n Onde m = # de eventos favoráveis ao evento E n = # de resultados possíveis (equiprováveis) Probabilidade Condicionada P(E/F) = P(E F)/P(F) P(F) ‡ 0 P(F/E) = P(E F)/P(E) → P(E F) = P(E/F).P(F) = P(F/E). P(E) P(E F G) = P(E).P(F/E).P(G/E F)
  • 3. Teorema da Probabilidade Total E1, E2, ..., En partições do S e F um evento qualquer do S então P(F) = Teorema de Bayes P(Ej/F) = Exemplo 1)Suponha-se que um grande número de caixas de bombons seja de dois tipos, A e B. O tipo A contém 70% de bombons doces e 30% de bombons amargos, enquanto no tipo B estas percentagens são inversas. Sabe-se que 60% das caixas são do tipo A e o restante do tipo B. Você pode tirar um bombom de amostra de uma determinada caixa e através do seu sabor inferir se ele veio de caixa tipo A ou B. 2)Faça o mesmo exercício para a retirada de dois bombons. 3)Uma urna contém 3 bolas brancas e 4 pretas. Extraindo-se simultaneamente 3 bolas da urna, calcular a probabilidade de que a) pelo menos duas sejam brancas; b) pelo menos uma seja preta.
  • 4. 4)Uma caixa contém 5 bolas brancas e 3 pretas. Duas bolas são retiradas simultaneamente ao acaso e substituídas por três bolas azuis. Em seguida, duas novas bolas são retiradas ao acaso da caixa. a)Calcular a prob. destas duas últimas serem da mesma cor. b)Se as duas últimas bolas retiradas forem uma branca e uma preta, calcular a probabilidade de que, na primeira extração, tenham saído duas brancas. 5)Em uma universidade, 40% dos estudantes praticam futebol e 30% natação. Dentre os que praticam futebol, 20% praticam também natação. Qual a porcentagem de estudantes que não pratica nenhum dos dois esportes? 6)Um meteorologista acerta 80% dos dias em que chove e 90% dos dias em que faz bom tempo. Chove em 10% dos dias. Tendo havido previsão de chuva, qual a probabilidade de chover? 7)Sejam A e B dois eventos tais que P(A)=0,4 e P(AυB) =0,7. Seja P(B) =p. Para que valores de p, A e B serão mutuamente excludentes ou independ.? 8)Uma caixa tem 4 moedas, uma das quais com duas caras. Uma moeda ao acaso foi jogada duas
  • 5. vezes, obtendo–se duas caras. Qual é a prob. de ser a moeda com duas caras? Variáveis Aleatórias Unidimensionais Exemplo: altura da população (noções sobre variável e distribuição de probabilidade) Variável aleatória: função que associa números reais aos eventos, nem sempre quantitativos, de um espaço amostral Exemplos: variáveis aleatórias discretas. a)jogar um dado, X=número de face para cima ou X= o dobro do número de face superior menos um. b)jogar 4 moedas e definir Y=número de caras obtidas A distribuição de probabilidade destas variáveis é caracterizada por uma função probabilidade que associa probabilidades não-nulas aos possíveis valores da variável aleatória, e zero aos demais valores. P( ou P
  • 6. Variáveis aleatórias contínuas Mesmo exemplo das alturas Função densidade de Probabilidade (o equivalente às funções de probabilidade nas variáveis discretas) Obedece às seguintes propriedades: a) b) c) Exemplo: para ; para ; para . Função de repartição ou de distribuição acumulada → p/ Variáveis discretas: e p/ Variáveis contínuas: .
  • 7. Parâmetros de posição A. Média, ou expectância, ou esperança matemática. Será denotada por μ ou E, e definida por = , para as variáveis discretas e por , para as variáveis contínuas As propriedades da média: a) b) c) d) e) B. Mediana ( : , Generalizando esta idéia pode-se dividir a distribuição em várias partes equiprováveis: os quartis (4 partes), decis(10 partes), percentis(100 partes), etc.
  • 8. C. Moda (mo) Ponto(s) de maior probabilidade, no caso discreto, ou maior densidade de probabilidade, no caso contínuo Parâmetros de dispersão A. Variância ( ou, simplesmente, → no caso discreto e no caso contínuo Outra forma de escrever a definição da é: onde no caso discreto e no caso contínuo Principais propriedades da variância são: a) b) c) d) B. Desvio-padrão ( )
  • 9. C. Coeficiente de variação ( D. Amplitude (R) Diferença entre o maior e o menor valores possíveis da variável Desigualdade de tchebycheff Pode-se demonstrar que, para qualquer distribuição de probabilidade com média e desvio-padrão, Exemplos 1. Dois dados são lançados. Determinar a função probabilidade e a função de repartição da variável aleatória Z, soma dos pontos obtidos. Determinar a média, mediana, moda, variância, desvio-padrão, coeficiente de variação, e amplitude desta distribuição.
  • 10. 2. Calcular a média, mediana, moda e desvio padrão da variável aleatória discreta definida pela seguinte função probabilidade. 250 0,10 253 0,35 256 0,30 259 0,15 262 0,05 265 0,05 3.Um jogo equitativo é um jogo em que o ganho esperado é nulo. Se apostarmos R$1 que certa pessoa nasceu em determinado dia da semana, de quanto deve ser a contra proposta para que se torne um jogo equitativo? 4.Uma urna contém 5 bolas brancas e 7 bolas pretas. Três bolas são retiradas desta urna. Qual a distribuição de probabilidade do número de bolas brancas retiradas? Se ganharmos R$ 2,00 por bola branca retirada e perdemos R$1 por bola preta retirada, até quanto vale a pena pagar para entrar neste jogo?
  • 11. 5.Seja a variável aleatória definida pela seguinte função densidade de probabilidade para ; para ; para . Determinar sua função de repartição e calcular a média, mediana, moda, variância e desvio-padrão. 6.Uma variável continua tem a seguinte função densidade de probabilidade para ; para ; para ; para . Determinar a constante , a função de repartição, a probabilidade de se obter um valor superior a 1,5, a média, a mediana, a variância e o desvio- padrão.