1) O documento discute conceitos de probabilidade e estatística, incluindo espaço amostral, eventos, probabilidade, variáveis aleatórias discretas e contínuas. 2) São apresentados parâmetros como média, mediana, moda, variância e desvio-padrão para descrever distribuições de probabilidade. 3) Há exemplos ilustrativos sobre cálculo de probabilidades e parâmetros de distribuições.

1. Curso Probabilidade e Estatística
 Introdução
 Probabilidade:
Conceitos de:
Espaço Amostral (Todas combinações) Exemp:
Jogar dois dados
Eventos (subconjuntos definindo um resultado
bem determinado)
Exemplos:
E: dar 1 nos dois dados;
F: soma dos pontos igual a 4
G: soma dos pontos menor ou igual a 5
H: dar dois no 1o dado
Evento Intersecção : G H
Evento União :F H
Eventos mutuamente excludentes (exclusivos)
I J=Ø

2. Probabilidade e suas propriedades: Número real
a) 0 P(E) 1
b) P(S) = 1
c) P(Ø) = 0
d) Se E, F, ..., K mutuamente excludentes
P(E F .... K) = P(E)+P(F)+...+P(K)
e) P( ) = 1 – P(E)
f) P(E F) = P(E) + P(F) – P(E F)
g) P(E F) = P(E) + P( F)
h) Etc...
Atribuição frequencialista de Probabilidade
P(E) = m/n
Onde m = # de eventos favoráveis ao evento E
n = # de resultados possíveis (equiprováveis)
Probabilidade Condicionada
P(E/F) = P(E F)/P(F) P(F) ‡ 0
P(F/E) = P(E F)/P(E) →
P(E F) = P(E/F).P(F) = P(F/E). P(E)
P(E F G) = P(E).P(F/E).P(G/E F)

3. Teorema da Probabilidade Total
E1, E2, ..., En partições do S e F um evento qualquer
do S então
P(F) =
Teorema de Bayes
P(Ej/F) =
Exemplo
1)Suponha-se que um grande número de caixas de
bombons seja de dois tipos, A e B. O tipo A contém
70% de bombons doces e 30% de bombons
amargos, enquanto no tipo B estas percentagens
são inversas. Sabe-se que 60% das caixas são do
tipo A e o restante do tipo B. Você pode tirar um
bombom de amostra de uma determinada caixa e
através do seu sabor inferir se ele veio de caixa tipo
A ou B.
2)Faça o mesmo exercício para a retirada de dois
bombons.
3)Uma urna contém 3 bolas brancas e 4 pretas.
Extraindo-se simultaneamente 3 bolas da urna,
calcular a probabilidade de que a) pelo menos duas
sejam brancas; b) pelo menos uma seja preta.

4. 4)Uma caixa contém 5 bolas brancas e 3 pretas.
Duas bolas são retiradas simultaneamente ao acaso
e substituídas por três bolas azuis. Em seguida,
duas novas bolas são retiradas ao acaso da caixa.
a)Calcular a prob. destas duas últimas serem da
mesma cor.
b)Se as duas últimas bolas retiradas forem uma
branca e uma preta, calcular a probabilidade de
que, na primeira extração, tenham saído duas
brancas.
5)Em uma universidade, 40% dos estudantes
praticam futebol e 30% natação. Dentre os que
praticam futebol, 20% praticam também natação.
Qual a porcentagem de estudantes que não pratica
nenhum dos dois esportes?
6)Um meteorologista acerta 80% dos dias em que
chove e 90% dos dias em que faz bom tempo.
Chove em 10% dos dias. Tendo havido previsão de
chuva, qual a probabilidade de chover?
7)Sejam A e B dois eventos tais que P(A)=0,4 e
P(AυB) =0,7. Seja P(B) =p. Para que valores de p, A
e B serão mutuamente excludentes ou independ.?
8)Uma caixa tem 4 moedas, uma das quais com
duas caras. Uma moeda ao acaso foi jogada duas

5. vezes, obtendo–se duas caras. Qual é a prob. de
ser a moeda com duas caras?
Variáveis Aleatórias Unidimensionais
Exemplo: altura da população (noções sobre
variável e distribuição de probabilidade)
Variável aleatória: função que associa números
reais aos eventos, nem sempre quantitativos, de um
espaço amostral
Exemplos: variáveis aleatórias discretas.
a)jogar um dado, X=número de face para cima ou
X= o dobro do número de face superior menos um.
b)jogar 4 moedas e definir Y=número de caras
obtidas
A distribuição de probabilidade destas variáveis é
caracterizada por uma função probabilidade que
associa probabilidades não-nulas aos possíveis
valores da variável aleatória, e zero aos demais
valores. P( ou P

6. Variáveis aleatórias contínuas
Mesmo exemplo das alturas
Função densidade de Probabilidade (o equivalente
às funções de probabilidade nas variáveis discretas)
Obedece às seguintes propriedades:
a)
b)
c)
Exemplo:
para ;
para ;
para .
Função de repartição ou de distribuição
acumulada
→
p/ Variáveis discretas: e
p/ Variáveis contínuas: .

7. Parâmetros de posição
A. Média, ou expectância, ou esperança
matemática. Será denotada por μ ou E, e
definida por
= ,
para as variáveis discretas e por
,
para as variáveis contínuas
As propriedades da média:
a)
b)
c)
d)
e)
B. Mediana ( :
, Generalizando
esta idéia pode-se dividir a distribuição em
várias partes equiprováveis: os quartis (4
partes), decis(10 partes), percentis(100 partes),
etc.

8. C. Moda (mo)
Ponto(s) de maior probabilidade, no caso
discreto, ou maior densidade de probabilidade,
no caso contínuo
Parâmetros de dispersão
A. Variância ( ou, simplesmente,
→
no caso discreto e
no caso contínuo
Outra forma de escrever a definição da é:
onde no caso discreto e
no caso contínuo
Principais propriedades da variância são:
a)
b)
c)
d)
B. Desvio-padrão ( )

9. C. Coeficiente de variação (
D. Amplitude (R)
Diferença entre o maior e o menor valores
possíveis da variável
Desigualdade de tchebycheff
Pode-se demonstrar que, para qualquer distribuição
de probabilidade com média e desvio-padrão,
Exemplos
1. Dois dados são lançados. Determinar a função
probabilidade e a função de repartição da
variável aleatória Z, soma dos pontos obtidos.
Determinar a média, mediana, moda, variância,
desvio-padrão, coeficiente de variação, e
amplitude desta distribuição.

10. 2. Calcular a média, mediana, moda e desvio
padrão da variável aleatória discreta definida
pela seguinte função probabilidade.
250 0,10
253 0,35
256 0,30
259 0,15
262 0,05
265 0,05
3.Um jogo equitativo é um jogo em que o ganho
esperado é nulo. Se apostarmos R$1 que certa
pessoa nasceu em determinado dia da semana,
de quanto deve ser a contra proposta para que se
torne um jogo equitativo?
4.Uma urna contém 5 bolas brancas e 7 bolas
pretas. Três bolas são retiradas desta urna. Qual
a distribuição de probabilidade do número de
bolas brancas retiradas? Se ganharmos R$ 2,00
por bola branca retirada e perdemos R$1 por bola
preta retirada, até quanto vale a pena pagar para
entrar neste jogo?

11. 5.Seja a variável aleatória definida pela seguinte
função densidade de probabilidade
para ;
para ;
para .
Determinar sua função de repartição e calcular a
média, mediana, moda, variância e desvio-padrão.
6.Uma variável continua tem a seguinte função
densidade de probabilidade
para ;
para ;
para ;
para .
Determinar a constante , a função de repartição,
a probabilidade de se obter um valor superior a
1,5, a média, a mediana, a variância e o desvio-
padrão.